Theoretische Elementarteilchenphysik – eine Einführung

Theoretische
Elementarteilchenphysik – eine
Einführung
Notizen
Michael Ratz
20. März 2011
1
INHALTSVERZEICHNIS
2
Inhaltsverzeichnis
Vorwort und Notation
6
Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Bemerkungen zur Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Quanten-Elektrodynamik (QED)
1.1 Elektrodynamik als abelsche Eichtheorie . . . . . . . . . .
1.2 Klassische Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Photon-Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Faddeev-Popov-Methode für abelsche Eichtheorien
(ii)
Eichfixierungsterm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 QED: Störungsentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Streutheorie
2.1 Streuprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
S- und T -Matrix . . . . . . . . . . . .
(ii)
Das erzeugende Funktional S[J, φ0 ] . .
(iii)
Betrachtungen im Fourierraum . . . .
(iv)
S-Matrix und Green’sche Funktionen .
2.2 Berechnung messbarer Größen . . . . . . . . .
2.3 Feynmanregeln der QED . . . . . . . . . . . .
2.4 QED auf Tree-Level: Beispiele . . . . . . . . .
(i)
Der Prozess e+ e− → µ+ µ− . . . . . .
(ii)
Møller-Streuung . . . . . . . . . . . .
(iii)
Bhabha-Streuung . . . . . . . . . . . .
(iv)
Compton-Streuung . . . . . . . . . . .
(v)
Paarvernichtung . . . . . . . . . . . .
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3 Nicht-abelsche Eichtheorien
3.1 Grundlegende Eigenschaften von Lie-Gruppen . . . . . . .
3.2 Yang-Mills-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Klassische Bewegungsgleichungen der Yang-Mills-Theorie
3.4 Fadeev-Popov-Methode für nicht-abelsche Eichtheorien . .
3.5 Feynman-Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Aspekte des Renormierungs-Programms
4.1 Fragestellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Effektive Kopplungsstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
(Dimensionale) Regularisierung des Vakuum-Polarisations-Tensors
(ii)
|k 2 | ≪ m2 : Quantenkorrekturen zum Coulomb-Potential . . . . . .
(iii)
|k 2 | ≫ m2 : Laufende Kopplungsstärke der QED . . . . . . . . . . .
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5 Quantenchromodynamik (QCD)
5.1 Historische Vorbemerkung . . . . . . . .
5.2 QCD als SU(3) Eichtheorie . . . . . . .
(i)
Lagrangedichte der QCD . . . .
(ii)
Feynmanregeln der QCD . . . .
5.3 Effektive Kopplungsstärke der QCD und
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asymptotische Freiheit
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6 Spontane Symmetriebrechung
6.1 Spontan gebrochene diskrete Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Das lineare Sigma-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Das Goldstone-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Spontan gebrochene Eichsymmetrie (Higgs-Mechanismus) . . . . .
(i)
Higgs-Mechanismus für die abelsche Eichtheorie . . . . . . .
(ii)
Ein ‘makroskopisches’ Beispiel für den Higgs-Mechanismus:
leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Higgs-Mechanismus für nicht-abelsche Symmetrien . . . . .
(iv)
Allgemeine Systematik beim Higgs-Mechanismus . . . . . .
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Supra. . . .
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. 92
7 Elektroschwache Theorie
7.1 Eichtheorie der elektroschwachen Wechselwirkung
7.2 Feynman-Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Fermion-Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Phänomenologische Aspekte . . . . . . . . . . . .
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8 Standardmodell
8.1 Fermion–Massen . . . . . . . . . . . .
(i)
Massen der Leptonen . . . . .
(ii)
Massen der Quarks . . . . . . .
8.2 Lagrangedichte des Standardmodells .
8.3 Symmetrien des Standardmodells . . .
(i)
Raum–Zeit–Symmetrien . . . .
(ii)
Globale Symmetrien . . . . . .
8.4 Vorhersagen und Tests . . . . . . . . .
8.5 Der Higgs–Sektor . . . . . . . . . . . .
(i)
Hierarchie–Problem . . . . . .
(ii)
Higgs–Produktion . . . . . . .
(iii)
Higgs–Kopplungen und Zerfall
(iv)
Schranken an die Higgs–Masse
5.4
5.5
5.6
(i)
Laufende Kopplungsstärke der QCD . . . . . . . . . . .
(ii)
Asymptotische Freiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Dimensionale Transmutation . . . . . . . . . . . . . . .
QCD Phänomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Das R-Verhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
QCD-Korrekturen (. . . am Beispiel der b b-Produktion) .
(iii)
Quark-Antiquark-Potential . . . . . . . . . . . . . . . .
(iv)
Hadronisierung und Jets . . . . . . . . . . . . . . . . . .
QCD-Bindungszustände leichter Quarks . . . . . . . . . . . . .
(i)
Ausreduzieren von Produkten von SU(3)c -Darstellungen
(ii)
Die SU(3)F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschliessende Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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123
9 Teilchenphysik jenseits des Standard–Modells
9.1 Neutrino–Massen . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Der effektive Neutrino–Massenoperator
(ii)
Dirac–Neutrino–Massen . . . . . . . . .
(iii)
See–Saw–Modell . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
9.2
9.3
4
(iv)
Ausintegrieren schwerer Freiheitsgrade . . . .
(v)
Neutrino–Massendiagonalisierung . . . . . . .
(vi)
Neutrino–Oszillationen . . . . . . . . . . . . .
(vii) Neutrinoloser doppelter β–Zerfall . . . . . . .
(viii) Vergleich zwischen Quark- und Leptonsektor
Große Vereinheitlichung . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Die Idee der GUTs anhand SU(5) . . . . . .
(ii)
Eichkopplungsvereinigung . . . . . . . . . . .
(iii)
SO(10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(iv)
Signaturen von GUTs . . . . . . . . . . . . .
(v)
Jenseits SU(5) und SO(10) . . . . . . . . . .
Aspekte von Supersymmetry . . . . . . . . . . . . .
(i)
Das Hierarchie–Problem . . . . . . . . . . . .
(ii)
Supersymmetrie–Transformationen . . . . . .
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10 Abschliessende Bemerkungen
I
153
Anhang
A Funktionalableitung
A.1 Erinnerungen an Analysis . . . . . . . . . . .
A.2 Grundlegende Begriffe der Funktionalanalysis
(i)
Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Operatoren . . . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Funktionale . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Definition der Funktionalableitung . . . . . .
A.5 Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Operatorableitung . . . . . . . . . . . . . . .
A.7 Höhere Funktionalableitungen . . . . . . . . .
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160
B Superzahlen
B.1 Algebra und Generatoren einer Algebra . . . . . . . . . .
B.2 Endlichdimensionale Grassmann-Algebra . . . . . . . . . .
B.3 Unendlichdimensionale Grassmann-Algebren; Superzahlen
B.4 Elemente der Analysis mit Superzahlen . . . . . . . . . .
(i)
Differentiation nach a-Zahlen . . . . . . . . . . . .
(ii)
Integration über a-Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
B.5 Fermionische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.6 Funktionalanalysis im Kontext von Superzahlen . . . . . .
(i)
Funktionalableitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Funktionalintegration . . . . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Funktionalintegrationsregeln für Fermionenfelder .
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C Lösungen der Dirac-Gleichung für freie Teilchen
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C.1 γ-Matrizen und Clifford-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
C.2 Basislösungen u und v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
D Spurbildung von Produkten von Dirac-Matrizen
170
INHALTSVERZEICHNIS
5
E Young-Tableaux
E.1 Generelle Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
Tensor-Notation für SU(N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Einführendes Beispiel: Symmetrische und antisymmetrische Tensoren zweiter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(iii)
Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2 Standard-Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3 Young-Tableaux zur Bestimmung der Dimension irreduzibler Darstellungen
der SU(N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.4 Young-Tableaux zur Ausreduktion von Produkten irreduzibler Darstellungen der SU(N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.5 Young-Tableaux zur Bestimmung der Verzweigungs-Regeln . . . . . . . .
(i)
Beispiel: SU(3) → SU(2) ⊗ U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii)
Verallgemeinerung SU(N + M ) → SU(N ) ⊗ SU(M ) ⊗ U(1) . . . .
172
. 172
. 172
. 172
. 173
. 174
. 175
.
.
.
.
177
179
179
180
F Matrix-Diagonalisierung
182
F.1 Hermitesche Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
F.2 Allgemeine Matrizen (Biunitäre Diagonalisierung) . . . . . . . . . . . . . . 182
F.3 Symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
G Die
G.1
G.2
G.3
G.4
Transformationen P , T und C
Die Paritätstransformation P . . . . .
Die Zeitumkehrtransformation T . . .
Ladungskonjugation . . . . . . . . . .
Die kombinierte Transformation P C T
.
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.
184
184
185
186
188
H Dirac- und Majorana–Massen
189
H.1 Weyl–Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
H.2 Dirac–Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
H.3 Majorana–Spinoren und Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
I
Supersymmetrie–Theoreme
191
I.1 Das Coleman-Mandula-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
I.2 Haag-Sohnius-Lopuszański-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Vorwort und Notation
6
Vorwort und Notation
Warnhinweis
Das ist kein ausgearbeitetes Skript sondern es handelt sich um Notizen zur Vorlesung
Theoretische Elementarteilchenphysik“, gehalten im WS 10/11. Diese Notizen können
”
zur Orientierung dienen, ersetzen aber nicht das sorgfältige Lesen von Büchern.
Feedback zu den Notizen (auch Verbesserung von Tippfehlern) ist höchst willkommen!
Danksagung
Ich danke Anna Brunnbauer und David Nolde für die Korrektur einiger Tippfehler und
für Verbesserungsvorschläge.
Allgemeine Vorbemerkungen
Diese Vorlesung richtet sich an Master-Studenten sowie Studenten des siebten Semesters
im Diplom-Studiengang allgemeine Physik“. Nach aktuellem Stand der Dinge ist die Vor”
lesung nicht verpflichtend für KTA Master-Studenten (die Pflichtvorlesung ist die Quantenmechanik 2); jedoch wird insbesondere den Studenten mit Interesse an Theorie nachdrücklich empfohlen, diese Vorlesung zu besuchen und darin die Prüfung abzulegen. Die
Grundvoraussetzungen beinhalten die üblichen Theorie-Vorlesungen (Mechanik, Elektrodynamik, Quantenmechanik 1 und 2); Kenntnisse aus der im sechsten Semester angebotenen Vorlesung zur Quantenfeldtheorie sind extrem hilfreich und vorteilhaft. Es wird
empfohlen, die parallel angebotene Vorlesung zur fortgeschrittenen Quantenfeldtheorie zu
besuchen.
Zielsetzung
Das Ziel der Vorlesung ist die Vermittlung eines fundamental(er)en Verständnisses der
Materie und Wechselwirkungen. Wir wissen, dass sich die Stoffe in unserer Umgebung aus
chemischen Elementen zusammensetzen, die sich in dem Periodensystem anordnen lassen.
Dies hängt damit zusammen, dass die Elemente aus Kernen und Hüllen bestehen, wobei
die Kerne sich aus Protonen (p) und Neutronen (n) zusammensetzen und die Hüllen aus
Elektronen (e− ). Es ist ebenfalls bekannt, dass die Protonen und Neutronen gebundene Zustände aus up- und down-Quarks (u und d) sind. Nach dem heutigen Verständnis
sind e− , u und d elementar“, d.h. setzen sich nicht aus kleineren Bausteinen zusammen.
”
Ein Ziel dieser Vorlesung ist die Beschreibung dieser Quarks und Leptonen sowie ihrer
schwereren Brüder“.
”
Es sind vier Grundkräfte bekannt – die Gravitation, der Elektromagnetismus, die schwache und die starke Kraft. Die drei letztgenannten Wechselwirkungen lassen sich durch
Eichtheorien beschreiben. Ein wesentliches Ziel der Vorlesung ist diese Beschreibung der
Grundkräfte durch Quanten-Eichtheorien. Die Gravitation wird weitestgehend außer Acht
gelassen.
Literatur
Für die Elementarteilchenphysik empfehlenswert sind die Bücher von Cheng und Li [1]
und von Bailin und Love [2]. Wie bereits erwähnt, ist für die theoretische Elementarteilchenphysik ein gutes Verständnis der Quantenfeldtheorie unerlässlich. Das Standard-Werk
für Quantenfeldtheorie mit Anwendungen aus der Elementarteilchenphysik ist das Buch
Vorwort und Notation
7
von Peskin und Schroeder [3]. Das Buch von Pokorski [4] ist durchaus vergleichbar. Ein
hervorragendes Buch, das zudem noch zum freien Download bereitsteht, ist [5]. Ein guter Einstieg in die Quantenfeldtheorie wird ermöglicht durch die Bücher von Ramond [6]
und Zee [7], die die zugrundeliegenden Ideen möglichst einfach erklären. Das Buch von
Ryder [8] erklärt die Ideen ebenfalls sehr strukturiert, allerdings sei davor gewarnt, dass
es in diesem Buch eine vergleichsweise hohe Zahl von Tippfehlern gibt. Die ganze Materie
wird exzellent vertieft in den Büchern von Weinberg [9, 10].
Spezielle Aspekte werden sorgfältig in weiteren Büchern dargestellt: Gruppentheorie in
den Büchern von Sexl und Urbantke [11] und Cornwell [12, 13], Renormierung in einem
Buch von Collins [14], a-Zahlen in einem Buch von Buchbinder und Kuzenko [15] und
Phänomenologie in [16]. Wesentliche Aspekte des Vorlesungsinhalts sind in [17] zusammengefasst. Die historische Entwicklung zum Standardmodell ist in [18] dargestellt.
Eine Einführung in Supersymmetrie ist beispielsweise in [19] gegeben. Ein relativ aktueller Überblick über Grand Unification findet sich in [20].
LITERATUR
8
Literatur
[1] T. P. Cheng and L. F. Li, Gauge theory of elementary particle physics, Oxford Science
Publications, 1984, 536 p.
[2] D. Bailin and A. Love, Introduction to quantum field theory, second ed., IOP Publishing, 1993.
[3] M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An introduction to quantum field theory, AddisonWesley, 1995.
[4] S. Pokorski, Gauge field theories, Cambridge, Univ. Pr, 1987, 394 p.
[5] M. Srednicki, Quantum field theory, Cambridge, UK: Univ. Pr. (2007) 641 p, online
version available under http://www.physics.ucsb.edu/ mark/qft.html.
[6] P. Ramond, Field theory: A modern primer, vol. 74, Addison-Wesley, 1989.
[7] A. Zee, Quantum field theory in a nutshell, Princeton University Press, 2003.
[8] L. H. Ryder, Quantum field theory, Cambridge University Press, 1996.
[9] S. Weinberg, The quantum theory of fields. vol. 1: Foundations, Cambridge University
Press, 1995, 609 p.
[10] S. Weinberg, The quantum theory of fields. vol. 2: Modern applications, Cambridge
University Press, 1996, 489 p.
[11] R. U. Sexl and H. K. Urbantke, Relativity, Groups, Particles, Springer, 2001.
[12] J. F. Cornwell, Group theory in physics. vol. 2, Academic, 1985, 589 p.
[13] J. F. Cornwell, Group theory in physics. vol. 3: Supersymmetries and infinite dimensional algebras, Academic, 1989, 628 p.
[14] J. C. Collins, Renormalization. an introduction to renormalization, the renormalization group, and the operator product expansion, Cambridge, Univ. Pr., 1984, 380
p.
[15] I. L. Buchbinder and S. M. Kuzenko, Ideas and methods of supersymmetry and supergravity: A walk through superspace, Bristol, UK: IOP, 1995, 640 p.
[16] J. F. Donoghue, E. Golowich, and B. R. Holstein, Dynamics of the standard model,
vol. 2, Camb. Monogr. Part. Phys. Nucl. Phys. Cosmol., 1992.
[17] W. Buchmüller and C. Lüdeling, Field theory and standard model, (2006),
hep-ph/0609174, http://arxiv.org/abs/hep-ph/0609174.
[18] S. Weinberg, The Making of the standard model, Eur. Phys. J. C34 (2004), 5–13,
hep-ph/0401010.
[19] S. P. Martin, A Supersymmetry primer, (1997), arXiv:hep-ph/9709356 [hep-ph],
http://arxiv.org/abs/hep-ph/9709356.
[20] S. Raby, Searching for the Standard Model in the String Landscape : SUSY GUTs,
(2011), arXiv:1101.2457 [hep-ph], http://arxiv.org/abs/arXiv:1101.2457.
LITERATUR
9
[21] S. R. Coleman, There are no Goldstone bosons in two-dimensions, Commun. Math.
Phys. 31 (1973), 259–264.
[22] I. L. Buchbinder and S. M. Kuzenko, Ideas and methods of supersymmetry and supergravity: A walk through superspace, IOP publishing, 1995, 640 p.
[23] M. Hamermesh, Group theory and its application to physical problems, AddisonWesley, 1962, 509 p.
[24] R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, spin and statistics, and all that, Redwood
City, USA: Addison-Wesley, 1989, 207 p. (Advanced book classics).
Notation
10
Bemerkungen zur Notation
In CGS- bzw. SI hat man
~ = 6.582 · 10−25 GeV s
Natürliche Einheiten.
~ = 1
und
und
~ c = 0.1973 GeV fm .
Die Einheiten werden im Folgenden so gewählt, dass
c = 1.
Damit sind sowohl Zeiten als auch Längen in reziproken Einheiten der Energie messbar,
10−25 s =
1
6.582 GeV
bzw.
10−13 cm =
1
.
0.1973 GeV
Indizes. Griechische Indizes (µ, ν, . . . ) bedeuten, dass der Index von 0 bis 3 läuft, lateinische Indizes (i, j . . . ), dass der Index nur über die räumlichen Komponenten, d.h. von 1
bis 3, läuft.
Ortskoordinaten.
Kontravariante Vierervektoren werden notiert mit
xµ = (t, x, y, z) = (t, ~r) = (t, ~x) ,
kovariante Vierervektoren mit
xµ = (t, −x, −y, −z) = (t, −~r) = (t, −~x) .
Die Indizes kann man hoch- bzw. runterziehen:
xµ = η µν xν
wobei
ηµν

bzw.
1 0
 0 −1
= 
 0 0
0 0
xµ = ηµν xν ,

0
0
0
0 
 = η µν
−1 0 
0 −1
der metrische Tensor ist. Hierbei haben wir die (Einstein’sche) Summenkonvention verwendet, die besagt, dass über gleiche Indizes, die einmal oben und einmal unten auftreten,
zu summieren ist. Beispielsweise
η µν xν :=
3
X
η µν xν .
ν=0
Entsprechend der obigen Diskussion werden griechische Indizes von 0 bis 3 und lateinische
Indizes von 1 bis 3 summiert; bei lateinischen Indizes wird die Indexstellung oft ignoriert.
Damit lautet die Norm
x2 = xµ xµ = t2 − ~r 2 .
Notation
11
Invariantes Raum-Zeit-Linienelement. In jedem (physikalischen) Bezugssystem ist der metrische Tensor derselbe. Entsprechend ist das RaumZeit-Linienelement
(ds)2
=
=
dxµ dxµ
c2 (dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2
t
dxµ
xµ
xµ + dxµ
in jedem Bezugssystem dasselbe.
Impulskoordinaten.
geschrieben als
pµ = (E, p~) ,
x
Der Viererimpuls wird
pµ = ηµν pν = (E, −~
p) .
Insbesondere stimmt das Quadrat des Viererimpulses eines Objektes in jedem Bezugssystem mit
seiner Ruhemasse überein,
p2 = pµ pµ = E 2 − p~2 = m2 .
Ableitungen.
∂µ
Man schreibt
∂
∂
∂ ∂
∂
~ = ∇µ
= (∂t , ∇)
=
,
,
,
=
∂xµ
∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3
bzw.
~ .
∂ µ = η µν ∂ν = (∂t , −∇)
Als d’Alembert-Operator“ bezeichnet man:
”
∂2
~ 2.
= ∂ µ ∂µ =
−∇
∂t2
Der Impulsoperator lautet in der Ortsdarstellung:
∂ 1~
∂
=
i , ∇
= i∇µ
pµ = i
∂xµ
∂t i
Hier und im Folgenden werden Operatoren immer fett geschrieben. Damit stimmt p2 bis
auf das Vorzeichen mit überein:
pµ pµ = −
∂ ∂
= − ∂ µ ∂µ = − .
∂xµ ∂xµ
Elektromagnetisches Feld.
Das elektromagnetische Feld wird als
~
Aµ = (φ, A)
geschrieben, und der Feldstärketensor ist
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ .
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
1
12
Quanten-Elektrodynamik (QED)
1.1
Elektrodynamik als abelsche Eichtheorie
Die folgende Diskussion folgt im Wesentlichen [3, Abschnitt 15.1]. Betrachte ein DiracFermionfeld Ψ(x). Für dieses wollen wir nun fordern, dass die Physik invariant ist unter
der lokalen Eichtransformation
Ψ(x)
Ψ(x)
→
→
U (x) Ψ(x) ,
Ψ(x) U † (x) ,
(1.1a)
(1.1b)
wobei U ∈ U(1) ist. U besitzt somit die Darstellung
U (x) = ei α(x)
(1.2)
mit einer reellwertigen Funktion α. Man spricht von einer abelschen Eichtheorie, da die den
Transformationen zugrundeliegende Gruppe U(1) abelsch ist, d.h. die Gruppenelemente
vertauschen, etwa
ei α(x) ei β(x) = ei β(x) ei α(x) .
Unser erster Versuch für eine Lagrangedichte ist die der freien Dirac-Theorie,
L0 = Ψ (i γ µ ∂µ − m) Ψ .
(1.3)
Diese ist jedoch nicht invariant unter der Eichtransformation (1.1).
Der Massenterm bereitet keine Probleme, allerdings der Ableitungsterm. Das kommt
daher, dass in der Richtungsableitung
Ψ(x + ε n) − Ψ(x)
,
εց0
ε
nµ ∂µ Ψ(x) = lim
(1.4)
wo n die Richtung der Ableitung ist, die zwei Felder Ψ(x) und Ψ(x + ε n) verglichen werden. Da α ortsabhängig ist, haben diese jedoch unterschiedliches Transformationsverhalten
unter (1.1),
Ψ(x)
Ψ(x + ε n)
→ ei α(x) Ψ(x) ,
→ ei α(x+ε n) Ψ(x + ε n) .
Um die Felder am Punkt x und y miteinander vergleichen zu können, muss man Ψ von
x nach y parallel-transportieren“. Dazu führt man eine Funktion U (y, x) ein mit den
”
Eigenschaften
U (y, x) → ei α(y) U (y, x) e−i α(x)
(1.5)
U (y, y) = 1 .
(1.6)
und
Da U (x, y) ∈ U(1), gilt
U (y, x) = ei φ(y,x)
mit rein reellem φ.
Damit hat man erreicht, dass
Ψ(y)
und
U (y, x) Ψ(x)
(1.7)
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
13
das gleiche Transformationsverhalten haben. Dies führt auf den Begriff der eichkovarianten
Ableitung
nµ Dµ Ψ(x) = lim
εց0
Ψ(x + ε n) − U (x + ε n, x) Ψ(x)
.
ε
(1.8)
Durch die Entwicklung von U
U (x + ε n, x)
=
=:
1 + (∂µ U )(x, x) ε nµ + O(ε2 )
1 + i g ε nµ Aµ (x) + O(ε2 ) ,
(1.9)
erhält man das Feld Aµ . Insbesondere erhält man durch Einsetzen von
Ψ(x + ε n) = Ψ(x) + ε nµ ∂µ Ψ(x) + O(ε2 )
in (1.8) die bekannte Form der eichkovarianten Ableitung,
Dµ Ψ(x) = ∂µ Ψ(x) − i g Aµ (x) Ψ(x) .
(1.10)
Wir werden später g = −e setzen; e bezeichnet die elektromagnetisch Kopplung in einer
Konvention, in der das Elektron negativ geladen ist.
Interessanterweise erwächst“ in diesem Zugang das Eichfeld Aµ , d.h. das Photon, aus
”
der Forderung, dass man die Felder mit einer ortsabhängigen Phase durchmultiplizieren
kann.
Aus
U (x + ε n, x)
=
→
=
=
=
1 + i g ε nµ Aµ (x) + O(ε2 )
ei α(x+ε n) 1 + i g ε nµ Aµ (x) + O(ε2 ) e−i α(x)
ei (α(x+εn)−α(x)) 1 + i g ε nµ Aµ (x) + O(ε2 )
1 + i ε nµ ∂µ α(x) + O(ε2 ) · 1 + i g ε nµ Aµ (x) + O(ε2 )
1
1 + i g ε nµ Aµ (x) + ∂µ α(x) + O(ε2 )
g
schließt man auf das Verhalten von Aµ unter (1.1),
Aµ (x) → Aµ (x) +
1
∂µ α(x) .
g
(1.11)
Damit wird die Lagrangedichte
1
L = Ψ(i γ µ Dµ − m) Ψ − Fµν F µν
4
(1.12)
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
(1.13)
mit1
1 F µν F
µν ist der einzige Term, der aus A und seinen Ableitungen gebildet werden kann, wenn man
Renormierbarkeit fordert (siehe [3], S. 485). Renormierung wird in der Vorlesung “QFT 2” diskutiert.
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
14
invariant unter der lokalen U(1)-Transformation (1.1) oder abelschen Eichtransformationen, denn
1
Dµ Ψ(x) →
∂µ − i g Aµ (x) + ∂µ α(x)
ei α(x) Ψ(x)
g
= ei α(x) {∂µ − i g Aµ (x)} Ψ(x) = ei α(x) Dµ Ψ(x) ,
(1.14)
und Fµν ist ebenfalls invariant unter der Eichtransformation.
Bemerkung:
Fµν läßt sich als Kommutator schreiben,
[Dµ , Dν ] = − i g Fµν .
(1.15)
Neben-Bemerkung: Der Parameter α in (1.2) lässt sich als Koordinate auf einem Kreis,
d.h. der S1 , auffassen. Eichtransformationen können auch als Freiheit verstanden werden,
den Ursprung des Kreises an jedem Punkt der Raumzeit unterschiedlich zu wählen. Es
stellt sich in der Tat heraus, dass, wenn man allgemeine Relativitätstheorie auf M4 × S1
betrachtet, die extra Komponenten des metrischen Tensors in 4 + 1 Dimensionen das
Eichfeld beinhalten. Schematisch hat man


g00 · · · · · · g03 A0
 ..
..
.. 

.
. 
(GM N ) =  .

 g03 · · · · · · g33 A3 
A0 · · · · · · A3 G55
D.h. die (Gravitations-)Kräfte, die mit den lokalen Koordinatentransformationen der internen Dimension zusammenhängen, erscheinen als Eichwechselwirkung. Diese Beobachtung
geht auf Kaluza und Klein zurück; eine ausführlichere Behandlung dieses Themas findet
sich etwa in [7, S. 419 ff.]. Ganz allgemein werden aus Isometrien kompakter Dimensionen
sog. interne Symmetrien in der (effektiven) vierdimensionalen Theorie.
1.2
Klassische Elektrodynamik
Es soll nun gezeigt werden, dass die Lagrangedichte (1.12) auf die klassische Elektrodynamik führt.
Feldstärketensor.
Der Zusammenhang zwischen dem Feldstärketensor,
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ,
und den Feldern der klassischen Elektrodynamik ist


0 −Ex −Ey −Ez
 Ex
0
−Bz By 
 .
F µν = 
 Ey B z
0
−Bx 
Ez −By Bx
0
(1.16)
(1.17)
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
Feldgleichungen.
15
Betrachte die Lagrangedichte
1
Lphoton = − Fµν F µν .
4
(1.18)
Die Euler-Lagrange-Gleichungen liefern
!
0 = ∂µ
∂Lphoton
= ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )
∂(∂µ Aν )
für ν = 0, 1, 2, 3, d.h.
Aν (x) − ∂ ν (∂µ Aµ (x)) = 0 .
(1.19)
Steht in der Lagrangedichte zusätzlich ein Quellterm −e j µ Aµ , d.h.
L = Lphoton − e j µ Aµ ,
so folgen als Bewegungsgleichungen
∂µ F µν = e j ν .
(1.20)
Diese Gleichungen sind nichts anderes als die inhomogene Maxwellgleichungen
~ ·E
~
∇
~ ×B
~ − ∂t E
~
∇
=
eρ ,
(1.21a)
=
e ~ ,
(1.21b)
mit j = (ρ, ~).
Die Stromdichte ist bereits in der Lagrangedichte (1.12) enthalten, denn der Aµ Term
in der eichkovarianten Ableitung liefert die Kopplung
Aµ Ψ γ µ Ψ = Aµ j µ
mit dem Dirac-Strom des Fermions
jµ = Ψ γµ Ψ .
Wie bereits bekannt ist, kann j als Ladungsstromdichte interpretiert werden.
Wegen der Antisymmetrie von F µν folgt
∂ λ F µν + ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ = 0 .
Für den dualen Tensor
1
~ → B,
~ B
~ → −E)
~
Fe µν = εµνρλ Fρλ = F µν (E
2
(1.22)
findet man
∂µ Fe µν
=
=
1
∂µ εµνρσ (∂ρ Aσ − ∂σ Aρ )
2
∂µ εµνρσ ∂ρ Aσ = 0
(1.23)
aufgrund der Antisymmetrie des ε-Tensors und der Symmetrie der zweiten Ableitung. Dies
entspricht den homogenen Maxwellgleichungen,
~ ×E
~ + ∂t B
~
∇
~ ·B
~
∇
=
0,
(1.24a)
=
0.
(1.24b)
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
16
Eindeutigkeit von A. A ist nicht eindeutig, denn unter einer Eichtransformation
Aµ → A′µ = Aµ + ∂ µ Λ
(1.25)
mit einem Skalarfeld Λ(x) = g1 α(x).
Wähle z.B. Λ = ΛL so, dass
ΛL (x) = − ∂µ Aµ (x) ,
(1.26)
was immer möglich ist, da (1.26) eine inhomogene Wellengleichung für Λ darstellt, die
immer lösbar ist. Dann folgt für AµL = Aµ + ∂ µ ΛL
∂µ AµL = 0 ;
(1.27)
man spricht von der Lorentz-Eichung.
AµL ist nun eindeutig bis auf
AµL → AµLC = AµL + ∂ µ χ
mit
χ = 0 .
Die Wellengleichung für χ läßt noch die Wahl von ∂t χ(0, ~x) und χ(0, ~x) zu. Wir wählen
nun
Z
∂t φL (0, ~y )
1
,
d3 y
∂t χ(0, ~x) = − φL (0, ~x) und χ(0, ~x) = −
4π
|~x − ~y |
~ L(C) ). Damit gilt
wobei AL(C) = (φL(C) , A
φLC (0, ~x)
∂t φLC (0, ~x)
=
=
0
∂t φL (0, ~x) + ∂t2 χ(0, ~x)
~ 2 χ(0, ~x)
∂t φL (0, ~x) + ∇
Z
∂t φL (0, ~y )
1
∆ d3 y
∂t φL (0, ~x) −
4π
|~x − ~y |
0.
=
=
=
Zusammenfassend haben wir für AµLC erreicht
AµLC = 0 ,
A0LC (0, ~x) = 0
und
∂t A0LC (0, ~x) = 0 .
Wegen der Eindeutigkeit der Lösungen der Wellengleichung gilt insbesondere
(1.27)
~ ·A
~ = 0.
A0LC (t, ~x) ≡ 0 −−−−→ ∇
Es ist also möglich, in einem Koordinatensystem
φ(x) = 0
und
~ ·A
~ = 0
∇
(1.28)
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
17
zu wählen. Man spricht von der Strahlungseichung bzw. Coulombeichung. Man beachte,
dass die Strahlungseichung im Gegensatz zur Lorentzeichung nicht kovariant ist.
Man lernt aus dieser Diskussion, dass das A Feld nur zwei unabhängige Komponenten
hat. Das gilt dann auch für (Quanten-)Anregungen, d.h. das (masselose) Photon besitzt
zwei physikalische Freiheitsgrade. Diese entsprechen eine Amplituden in die beiden räumlichen Richtungen, die transversal zum Wellenvektor sind,
~ · ~k = 0 .
A
(1.29)
Das klassische Eichfeld kann man nach ebene Wellen zerlegen,
µ
A (x) =
Z
3 h
X
∗ i k·x i
1
d3 k
r r
−i k·x
r ∗
r
p
a
ε
(k)
e
+
(a
)
ε
(k)
e
.
k
µ
k
µ
(2π)3 2ω~k r=0
(1.30)
Hierbei ist {εrµ }0≤r≤3 eine Basis von Polarisationsvektoren.
Wie oben diskutiert, haben physikalische Photonen nur zwei Freiheitsgrade. Man kann dieser
Tatsache dadurch Rechnung tragen, dass man
fordert, dass physikalische Photonen beschrieben
werden durch Polarisationsvektoren
εµ = (0, ~ε)
mit ~k · ~ε = 0 .
Polarisierte Photonen werden durch komplexe Linearkombinationen dieser Polarisationsvektoren
beschrieben.
Sz = +1
~k
0
(unphysikalisch)
Sz = −1
Wählt man das Bezugssystem so, dass
k = (kz , 0, 0, kz ) ,
so lauten diese
1
εµ± = √ (0, 1, ±i, 0) .
2
Anschaulich entsprechen diese den Spin-Einstellungen Sz = +1 und Sz = −1. Die SpinEinstellung Sz = 0 ist unphysikalisch für masselose Eichbosonen.
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
1.3
18
Photon-Propagator
Photonen werden beschrieben durch das Viererfeld A, das eindeutig ist bis auf Umeichung,
Aµ (x) → Aµ (x) + ∂ µ Λ(x) .
(1.31)
Hierbei ist Λ = g1 α. Das Ziel der folgenden Betrachtungen ist die (Pfadintegral-)Quantisierung
des Photon-Feldes.
(i)
Faddeev-Popov-Methode für abelsche Eichtheorien
Wir betrachten eine reine abelsche Eich-Theorie, d.h. Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte
1
Lphoton = − Fµν F µν .
4
(1.32)
Die resultierende Wirkung ist
Z
S =
d4 x L
Z
1
d4 x Aµ (x) {η µν − ∂ µ ∂ ν } Aν (x) + Oberflächenterme
=
|
{z
},
2
(1.33)
=0
d.h. man kann ebenso mit
L′ =
1
Aµ (x) {η µν − ∂ µ ∂ ν } Aν (x)
2
(1.34)
arbeiten.
Das Eichfeld soll nun mit der Pfadintegral-Methode quantisiert werden. Dazu betrachtet
man
Z
Z
4
′
µ
Zdiv [J] =
DA exp i d x L + J (x) Aµ (x) .
(1.35)
Hierbei werden Konfigurationen, die über (1.31) zusammenhängen und daher physikalisch
äquivalent sind, mehrfach gezählt. Das ist problematisch, weil im Raum dieser Konfigurationen der Operator {η µν − ∂ µ ∂ ν } nicht invertierbar ist. Im Folgenden geht es darum,
eine Methode zu finden, das Pfadintegral nur über physikalisch verschiedene Felder laufen
zu lassen.
Strategie: Die Idee ist, eine Eichung zu ‘fixieren’, indem man nur solche Felder A betrachtet, welche
FA = 0
(1.36)
erfüllen, wobei F ein Operator ist.
Um den Bereich der Pfadintegration einzuschränken, fügt man im Wesentlichen einen
Faktor
δ(F A)
ins Pfadintegral ein.
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
Beispiel:
19
Um sich auf Felder zu beschränken, wählen wir
F A = ∂ µ Aµ = 0 .
Um das Pfadintegral nur über Konfigurationen laufen zu lassen, die diese Relation erfüllen,
geht man folgendermaßen vor: Zunächst schreibt man die Zahl 1 in der Form
Z
1 = ∆FP DΛ δ F A(Λ) ,
(1.37)
wo
Aµ (Λ) = Aµ + ∂µ Λ
(1.38)
das einer Eichtransformation unterworfene Feld ist. ∆FP heißt Faddeev-Popov-Determinante
und liefert die Normierung. Diese 1 fügen wir dann in das Funktionalintegral ein,
Z
Z
ei S
Zdiv [J] =
DA ∆FP DΛ δ F A(Λ)
Z
Z
=
DΛ
DA ∆FP δ F A(Λ) ei S .
(1.39)
Damit hat man explizit den störenden Anteil der Pfadintegration, gegeben durch
Z
DΛ ,
R
isoliert. Man braucht nur noch durch DΛ teilen, um sich des Problems des DoppeltZählens zu entledigen.
Allerdings enthält (1.39) noch den unbestimmten Ausdruck ∆FP . Um diesen zu bestimmen, betrachtet man die Formel in N Dimensionen
Z
∂ϕi ,
(1.40)
1 =
dN λ δ (N ) ϕ(λ) · det
∂λj die sofort aus der Transformationsformel folgt. Dies wird im Kontinuumslimes zu
Z
δφ 1 =
DΛ δ φΛ det
(1.41)
δΛ δφ
.
δΛ
Durch Vergleich mit (1.37) erhält man einen Ausdruck für die Faddeev-Popov-Determinante,
δF A(Λ) ∆FP = det
(1.42)
,
δΛ
mit der Operatorableitung (y Anhang A)
wobei
φ Λ := F A(Λ)
als Operator wirkend auf Λ aufgefaßt wird.
Für geeignete, lineare F ist ∆FP unabhängig von Λ.
Gemäß (B.32) läßt sich die Determinante ihrerseits als Pfadintegral über a-Zahlen schreiben,
Z
Z
δF A(Λ)
δF A(Λ)
4
4
=
Dη Dη exp i d x d y η(x)
η(y)
(1.43)
det
δΛ
δΛ
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
Beispiel:
20
Für die Lorentzeichung ist
F A(Λ) = ∂ µ Aµ + ∂ µ ∂µ Λ .
(1.44)
Damit ist
δF A(Λ)
= ∂µ ∂ µ
δΛ
ein diagonaler Operator. Daher ist die Faddeev-Popov-Determinante
∆FP =
Z
Z
4
µ
Dη Dη exp i d x η(x) ∂µ ∂ η(x) .
(1.45)
Hierin sind die Felder η und η keine Spinorfelder, aber doch a-Zahlen. Die FaddeevPopov Determinante sorgt also für einen zusätzlichen Term in der Wirkung, der Spin0-Teilchen mit Fermicharakter beschreibt, d.h. unphysikalische Teilchen. Daher heißen η
bzw. η auch Geist-Felder“.
”
Glücklicherweise koppeln die Geist-Felder in dieser abelschen Eichtheorie nicht an die
physikalischen Felder, die Faddeev-Popov-Determinante kann also getrennt integriert werden und sorgt lediglich für einen zusätzlichen Normierungsfaktor.
Fazit: Das erzeugende Funktional für das Photonenfeld ist gegeben durch
Z
Z = ∆FP · DA ei S δ F A .
(1.46)
In der QED kann dabei die Faddeev-Popov-Determinante in die Normierung gesteckt werden.
Wie man den δ-Term eliminiert, wird im Folgenden behandelt.
(ii)
Eichfixierungsterm
Wir beschränken uns auf eine Verallgemeinerung der Lorentz-Eichung, d.h. der Operator
F aus (1.36) soll folgende Form haben:
F A = ∂ µ Aµ − ω ,
wo ω eine beliebige Funktion ist. Das Pfadintegral ergibt sich damit zu
Z
Ze = ∆FP DA ei S δ(∂ µ Aµ − ω) .
(1.47)
(1.48)
Um sich der Funktion ω zu entledigen, wird ein Funktionalintegral darüber ausgeführt.
Wir verwenden hierbei einen Gewichtsfaktor in Form einer Gauß’schen Glockenkurve,
Z
Z
Z
2
4 ω (x)
∆FP DA ei S δ(∂ µ Aµ − ω)
Z = N (α) Dω exp −i d x
2α
Z
Z
1 µ
(1.49)
(∂ Aµ )2 ,
= N (α) ∆FP DA ei S exp −i d4 x
2α
wo N (α) die Normierung des Pfadintegrals über ω liefert.
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
21
Fazit: Um die durch die Eichfreiheit resultierenden Probleme zu beseitigen, muß man
lediglich die Normierung des erzeugenden Funktionals ändern und einen zusätzlichen Term
der Lagrangedichte zufügen,
1 µ
1
L = − Fµν F µν −
(∂ Aµ )2
4
2α
{z
}
{z
}
|
|
.
(1.50)
Eichfixierungsterm
=:Lphoton
α wird als Eichfixierungsparameter bezeichnet. Man fordert anstatt der Eichfreiheit, dass
die sich mit dieser Lagrangedichte ergebenden Formeln nicht von α abhängen.
Achtung:
Man kann auch α = 0 wählen.
Erzeugendes Funktional. In Analogie zu den Skalarfeldern setzt man
Z
Z
4
µ
Z[J] = N DA exp i d x (L + Jµ A )
(1.51)
Mit partieller Integration und dem Gauß’schen Satz kann man das Argument der Exponentialfunktion umformen,
Z
Z
1
1
d4 x L =
d4 x − Fµν F µν −
(∂µ Aµ )2
4
2α
Z
1
1
=
− 1 ∂ µ ∂ ν Aν (x)
d4 x Aµ (x) η µν +
(1.52)
2
α
|
{z
}
=[D µν ]−1
+ Oberflächenterme
|
{z
} .
=0
Die Oberflächenterme verschwinden, wenn man - wie üblich - kanonische Randbedingungen
fordert. In Analogie zum Skalarfeld bezeichnet man [Dµν ]−1 als inversen Photonenpropagator.
Durch Fouriertransformation erhält man
b µν (k)]−1 = − k 2 η µν + 1 − 1 k µ k ν .
(1.53)
[D
α
Durch Matrixinversion und dem üblichen Hinzufügen des Terms i ε ergibt sich
e µν (k) = −
D
1
2
k + iε
kµ kν
η µν + (α − 1) 2
.
k
(1.54)
Dies ist dann der freie Photon-Propagator im Impulsraum. Durch Fourier-Rücktransformation ergibt sich
Dµν (x − y) = −
Z
d4 k −i k·(x−y) η
e
(2π)4
µν
+ (α − 1)
k2 + i ε
kµ kν
k2 .
(1.55)
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
22
Bis auf einen Faktor −i entspricht dieser freie Photon-Propgator wieder der Zweipunktfunktion,
(1.56)
Dµν (x − y) = − i − T Aµ (x) Aν (y) − .
Für den Feldoperator des Photons macht man den Ansatz
Z
3 h
i
X
∗
1
d3 k
p
Aµ (x) =
ark εrµ (k) e−i k·x + (ark )† εrµ (k) ei k·x .
3
(2π)
2ω~k r=0
(1.57)
Hierbei ist {εrµ }0≤r≤3 eine Basis von Polarisationsvektoren.
Beispiele für die Eichfixierung:
(1) α = 1: Feynman-Eichung:
e µν (k) =
D
−η µν
.
k2 + i ε
(2) α = 0: Landau-Eichung:
1.4
kµ kν
− η µν
e µν (k) = k 2
D
.
k2 + i ε
QED: Störungsentwicklung
Lagrangedichte der QED. Mit dem Photon-Feld Aµ und dem geladenen Dirac-Feld
Ψ lautet die Lagrangedichte der QED
1
LQED = Ψ(x) (i γ µ Dµ − m) Ψ(x) − F µν Fµν + Eichfixierung .
4
(1.58)
Hierbei verwenden wir die eichkovarianten Ableitung
Dµ = ∂µ + i e Aµ (x) .
(1.59)
Diese ist nach Konstruktion invariant unter der Eichtransformation
Ψ(x)
Ψ† (x)
Aµ (x)
→
→
→
e−i e Λ(x) Ψ(x) ,
Ψ† (x) e+i e Λ(x) ,
(1.60)
(1.61)
Aµ (x) + ∂ µ Λ(x) .
(1.62)
Die Ersetzung der partiellen Ableitung durch eichkovariante Ableitung ist die einzige Wahl
(solange man linear in dem Feld A bleibt), die die U(1)-Invarianz von L garantiert.
Erzeugendes Funktional. Man setzt
Z
Z
Z
Z
i
4
µ
2
Z[η, η, J] = N DΨ
DΨ DA exp −
d x (∂µ A (x)) ·
2α
Z
1
· exp i d4 x − Fµν F µν + Ψ(i γ µ (∂µ + i e Aµ ) − m)Ψ
4
µ
−Jµ A + η Ψ + Ψ η
,
(1.63)
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
23
wo
N −1 = Z[η = 0, η = 0, J = 0] .
Wir erinnern uns nun an die Diskussion des reellen Skalarfeldes. Mit einem Trick gelingt
es, Monome von Feldern vor das Pfadintegral zu ziehen: Mit der Formel
Z
Z
δ
Dφ exp i d4 x [L0 + J(x) φ(x)]
i δJ(y)
Z
Z
=
Dφ φ(y) exp i d4 x [L0 + J(x) φ(x)]
δ
sieht man, dass man in (der Potenzreihe) Lint anstatt φ(y) die Funktionalableitung iδJ(y)
einsetzen und vor das Pfadintegral ziehen kann,
Z
δ
4
·
Z[J] = N exp i d y Lint
i δJ(y)
Z
Z
4
· Dφ exp i d x [L0 + J(x) φ(x)] .
(1.64)
|
{z
}
∼Z0 [J]
Das verbleiben Pfadintegral entspricht bis auf den Normierungsfaktor N dem erzeugenden
Funktional für das freie Skalarfeld. Wir erhalten also
Z
4
Z[J] = N exp i d y Lint
mit
δ
i δJ(y)
Z0 [J]
Z
Z
i
4
4 ′
′
′
Z0 [J] = exp −
d x d x J(x) ∆F (x − x ) J(x ) .
2
(1.65)
(1.66)
Z[η, η, J] = N ·
Z
1 δ
1 δ
1 δ
· exp i d4 x e −
γµ −
Z0 [η, η, J] . (1.67)
i δη(x)
i δJµ (x) i δη(x)
Hierbei ist Z0 das wechselwirkungsfreie erzeugende Funktional,
Z
Z
Z
Z
R 4
µ
2
i
Z0 [η, η, J] =
DΨ DΨ DA e− 2α d x (∂µ A (x)) exp i d4 x L0
mit
1
L0 = − Fµν F µν + Ψ (i γ µ ∂µ − m) Ψ − Jµ Aµ + η Ψ + Ψ η .
4
Z0 wiederum kann folgendermaßen ausgedrückt werden:
Z
Z
i
4
Z0 [η, η, J] = exp −
d x d4 y Jµ (x) Dµν (x − y) Jν (y)
2
(1.68)
1
QUANTEN-ELEKTRODYNAMIK (QED)
−i
Z
4
d x
Z
4
d y η(x) SF (x − y) η(y)
24
.
(1.69)
Hierbei ist SF der übliche Feynman-Propagator für das Dirac-Feld,
SF (x) = (i γ ν ∂ν + m) ∆F (x) .
(1.70)
Aus den Zwei- und Drei-Punktfunktionen des erzeugenden Funktionals kann man die Feynmanregeln der QED herleiten. Diese Regeln lassen sich dazu verwenden, Übergangsamplituden in Streuprozessen zu berechnen.
2
STREUTHEORIE
2
25
Streutheorie
Wir interessieren uns nun dafür, Vorhersagen
für Streuprozesse zu machen. Dabei wird es im
Wesentlichen um Prozesse gehen, in denen Teilchen (a1 und a2 ) aufeinander geschossen werden,
und neue Teilchen entstehen, etwa
a1
•
•
•
•
a 1 + a 2 → b1 + b 2 + . . . bn .
Das Folgende startet mit einer Diskussion der
foirmaleren Aspekte, dann werden wir uns damit beschäftigen, wie man in der Praxis relevante Messgrössen (Wirkungsquerschnitte etc.) berechenet. Die Beispiele in diesem Abschnitt beziehen sich auf die QED, die Methoden werden
aber später auf andere Wechselwirkungen angewandt werden.
2.1
(i)
b1
b2
a2
bn
Streuprozesse
S- und T -Matrix
S-Matrix.
Das S-Matrix-Element Sf i ist definiert über
Sf i = hf | S |ii ,
(2.1)
wobei der Operator S den Übergang des asymptotisch freien Anfangszustand |ii in einen
anderen Zustand beschreibt, der dann auf den ebenfalls asymptotisch freien Endzustand
|f i projiziert wird. Die Wechselwirkungen werden zu endlichen Zeiten ein“- und ausge”
”
schaltet“.
Bemerkung: Auf die Schwierigkeiten, die sich aus der den asymptotisch freien Zuständen
ergeben, soll hier nicht näher eingegangen werden. Man fordert letztlich für φ(x) die sogenannte schwache asymptotische Bedingung, nämlich dass für beliebige Vektoren im Fockraum |ai und |bi gilt
lim ha| Φ(x) |bi = a| φout
in (x) |b .
t→±∞
T -Matrix. Die T -Matrix wird mit dem konventionsabhängigen Normierungsfaktor N
definiert durch
Sf i = δf i + i N hf | T |ii .
| {z }
(2.2)
:=Tf i
Der Grund für ist die Normierung ist: Sf i soll für die Übergangsamplitude stehen. Die
Zustände haben in unserer Konvention die Kontinuumsnormierung. Für eine Interpretation
als Übergangsamplitude benötigt man aber auf 1 normierte Zustände.
Mit (2.2) enthält die T -Matrix den nicht-trivialen Anteil der Propagation, sie erzeugt
nur noch zusammenhängende Diagramme. Die S- und die T - Matrixelemente sind Lorentzinvariant. Das T -Matrixelement hängt eng mit dem invarianten Matrixelement Mf i , das
2
STREUTHEORIE
26
wir später mit den Feynman-Regeln berechnen werden, und den n-Punkt Greensfunktionen
zusammen.
Der Normierungsfaktor ist in der hier verwendeten Konvention
Y 1 Y 1
√
p
.
(2.3)
N =
2Ei f
2Ef
i
(ii)
Das erzeugende Funktional S[J, φ0 ]
Es geht darum, die S- und T -Matrixelemente im Pfadintegralformalismus zu berechnen.
Der Weg, diese Matrixelemente zu berechnen, soll nun kurz skizziert werden. Zunächst
erinnert man sich, dass das Pfadintegral mit festen Anfangs- und Endfeldkonfigurationen,
Z
Z
4
(2.4)
I[φin , φout ] =
Dφ exp i d x L0 + Lint ,
φin
φout
gerade die Übergangsamplitude von φin nach φout wiedergibt. Könnte man dieses Pfadintegral einfach berechnen, hätte man bereits die S-Matrix-Elemente bestimmt.
Das ist nun leider nicht der Fall. Daher bedarf es einiger Anstrengungen, um hier weiterzukommen; wir folgen im Wesentlichen [2, S. 55 ff.]. Ein wesentlicher Schritt ist, ein
erzeugendes Funktional mit festen Grenzen zu definieren,
Z
Z
4
S[J, φ0 ] =
Dφ exp i d x L0 + L1 + J φ .
(2.5)
φ0
φ0
Den Wechselwirkungsterm kann man auf die übliche Weise herausziehen.
Bemerkung: Im Operatorkalkül wählt man als Ausgangspunkt die Formel für den T Operator in einem Formalismus, der sich aus Überlegungen der kanonischen Quantisierung
und der Pfadintegraldarstellung zusammensetzt (vgl. z.B. [8, S. 217 ff.]). Man erhält im
Fall von Skalarfeldern
T =

: exp 
Z

δ 
: W [J]J=0 .
dx φin (x) K
δJ(x)
(2.6)
Die Verallgemeinerung auf Diracfelder führt auf analoge Resultate. Das Funktional W [J]
erzeugt nur die zusammenhängenden Greensfunktionen und K ist der Differentialoperator
der Klein-Gordon-Gleichung,
K = + m2 .
Außerdem ist φin (x) der Feldoperator für asymptotisch freie Teilchen.
2
STREUTHEORIE
27
Zusammenhang S ↔ Z. Die Bedingung der festen Grenzen des Funktionalintegrals
kann umgeschrieben werden. Man erhält für S[J, φ0 ]
Z
δ
4
2
Z[J] .
(2.7)
S[J, φ0 ] = exp
d x φ0 (x) ( + m )
δJ(x)
Damit kann man einen Zusammenhang zwischen den n-Punkt Funktionen τ (n) (x1 , . . . xn )
und den Streuamplituden, bei denen n Teilchen beteiligt sind, finden. Zumeist formuliert
man die Übergangsamplituden im Impulsraum, die Gegenstand des folgenden Abschnittes
sind.
(iii)
Betrachtungen im Fourierraum
Das erzeugende Funktional kann als Funktional für die Quellfeldkonfigurationen im Ortsb
raum, J(x), oder alternativ für deren Fouriertransformierte J(k)
erklärt werden. Der Zub
sammenhang zwischen J(x) und J(k)
ist, wie üblich,
Z
d4 k −i k·x b
e
J(k) .
(2.8)
J(x) =
(2π)4
Damit ergibt sich
Z
Z
i
d4 x d4 y J(x) ∆F (x − y) J(y)
−
2
Z
Z
Z 4
d p1 d 4 p2 d 4 k
i
4
d
x
d4 y
= −
2
(2π)4 (2π)4 (2π)4
b 1 ) e−i (p1 +k)·x e−i (p2 −k)·y J(p
b 2)
J(p
=
−
i
2
Z
k 2 − m2 + i ε
b
b
d k J(k) J(−k)
.
(2π)4 k 2 − m2 + i ε
4
Dafür kann man genausogut schreiben
Z
Z
d4 x d4 y J(x) ∆F (x − y) J(y) =
(2.9)
Z
d4 p
(2π)4
Z
d4 q b (2π)4 δ (4) (p + q) b
J(q) .
J(p)
(2π)4
k 2 − m2 + i ε
(2.10)
Dies kann man in das erzeugende Funktional der wechselwirkungsfreien Theorie einsetzen,
Z
Z
d4 q b (2π)4 δ (4) (p + q) b
d4 p
i
J(p)
J(q)
.
(2.11)
Z0 [J] = exp −
2
(2π)4
(2π)4
p 2 − m2 + i ε
n-Punkt-Funktionen.
Man nennt
τ (x1 , x2 ) = h−| T φ(x1 ) φ(x2 ) |−i
oft Zweipunkt-Funktion und entsprechend
τ (x1 , . . . xn ) = h−| T φ(x1 ) . . . φ(xn ) |−i
n-Punkt-Funktion. Diese können durch n-fache Funktionalableitung des erzeugenden Funktionals gewonnen werden,
δn
n
τ (x1 , . . . xn ) = (−i)
Z0 [J]
.
(2.12)
δJ(x1 ) · · · δJ(xn )
J=0
2
STREUTHEORIE
28
Gleichung (2.11) zeigt, dass die Zwei-Punkt-Funktionen im Fourierraum automatisch
eine δ-Distribution enthalten. Dazu führt man die Funktionalableitung formal durch,
τb(2) (p1 , p2 )
:=
=
δ
δ
Z0 [J]
b
b
i δ J(p1 ) i δ J(p2 )
(2π)4 i
δ (4) (p1 + p2 )
.
p21 − m2 + i ε
(2.13)
Hier tritt offensichtlich die δ-Distribution auf. Diese impliziert Viererimpulserhaltung, d.h.
Energie und räumliche Impulserhaltung. Diese Tatsache rührt daher, dass der Propagator
nur eine Funktion des Abstands der Variablen x und y ist.
∆F (x, y) = ∆F (x − y) .
Dies wiederum ist eine Folge der Translationsinvarianz.
Green’sche Funktionen G (n) . Offensichtlich ist die in den n-Punkt-Funktionen auftretende δ-Funktion störend. Daher definiert man die Greensfunktionen in einer Weise,
dass diese bereits herausgekürzt ist. Man setzt spezifisch
G (n) (2π)4 δ (4) (p1 + · · · + pn ) :=
Z
d4 x1 · · · d4 xn τ (x1 , . . . xn ) e−i (p1 x1 +···+pn xn ) .
(2.14)
Green’sche Funktionen G(n) . Völlig analog transformiert man auch die zusammenhängenden n-Punktfunktionen in den Fourierraum,
G(n) (2π)4 δ (4) (p1 + · · · + pn ) :=
Z
d4 x1 · · · d4 xn Φ(x1 , . . . xn ) e−i (p1 x1 +···+pn xn ) .
(iv)
(2.15)
S-Matrix und Green’sche Funktionen
Wir interessieren uns nun konkret für einen Prozess, in dem im Anfangszustand m asymptotisch freie Teilchen mit Impulsen {pi }m
i=1 und im Endzustand n − m asymptotisch freie
Teilchen mit den Impulsen {pi }ni=m+1 auftreten. Hierfür wird erst eine Formel (vgl. [2]
(6.50a) auf S. 69. Für die Herleitung siehe [2], S. 54 ff.) zitiert:
δ n S[φ0 ]
−1
Sf i = {ρ(p1 ) · · · ρ(pn )}
, (2.16)
∗
∗
δa(p1 ) · · · δa(pm ) δa (pm+1 ) · · · δa (pn ) a=a∗ =0
wobei
und
ρ(p) = (2π)−3 (2p0 )−1 ,
Z
d3 p 1
a(p) e−i p·x + a∗ (p) ei p·x
φ0 =
3
(2π) 2ωp
S[φ0 ] = exp
Z
δ
d x φ0 (x) ( + m )
δJ(x)
4
2
Z[J]
(2.17)
(2.18)
.
J=0
(2.19)
2
STREUTHEORIE
29
Die S-Matrix ergibt sich als
Sf i = (2π)4 δ (4) (p1 + p2 + . . . pm − pm+1 − · · · − pn ) Mf i ,
(2.20)
Mf i = (−i)n (p21 − m2 ) · · · (p2n − m2 ) G (n) (p1 , . . . pm , −pm+1 , · · · − pn ) .
(2.21)
wobei Mf i gegeben ist durch
In diesem Matrixelement sind noch die trivialen Anteile enthalten, in denen anschaulich
die Teilchen ohne Wechselwirkung aneinander vorbeifliegen.
Die Berechnung dieser Übergangsamplitude entspricht üblicherweise nicht der Problemstellung, vielmehr ist man an der T -Matrix (vgl. (2.2)) interessiert. Es lässt sich nun
zeigen, dass diese bei der Betrachtung spezieller Prozesse (siehe [2], S. 70), auf die wir
uns im Folgenden beschränken, mit den zusammenhängenden n-Punktfunktionen G(n) im
Zusammenhang steht. Es gilt


X
X
Tf i = (2π)4 δ (4) 
pi −
pf  M f i ,
(2.22)
i
f
wobei
Mf i = (−i)n
n
Y
i=1
(p2i − m2 ) G(n) (p1 , . . . pm , −pm+1 , · · · − pn ) .
(2.23)
Das hier definierte invariante Matrixelement Mf i hängt wie oben angegeben mit den
zusammenhängenden n-Punkt-Greensfunktionen in der Fourierdarstellung zusammen.
Man kann damit die Feynmanregeln ablesen, mit denen dann die Konstruktion der Matrixelemente für spezielle Terme der n-Punkt Funktion möglich ist.2
Anschauliche Interpretation. Die graphische Veranschaulichung zeigt, dass jede äußere Linie in den n-Punkt-Funktionen einem Propagator entspricht. Die Multiplikation mit
−i (p2i − m2 ) kürzt gerade diesen Propagator, sodass man die S- bzw. T -Matrix erhält,
indem man die Propagatoren aus den äußeren Beinen entfernt.
Dieses Ergebnis lässt sich auch auf den Fall von Dirac-Feldern übertragen.
2.2
Berechnung messbarer Größen
Übergangswahrscheinlichkeiten dwf i . Die Übergangswahrscheinlichkeit ist gegeben
durch
|Tf i |2
dNf
(2.24)
dwf i =
T
mit der Zeit T , die der Prozess in Anspruch nimmt, und dem infinitesimalen Phasenraumelement dNf im Endzustand. Hierbei sind zwei Dinge zu beachten:
(1) Der Ausdruck für dwf i krankt an einem Term der Form:

2
X
X
(2π)4 δ (4) (
pi −
pf )  .
i
f
(2) Letztlich will man den Prozess charakterisieren durch Größen, die nicht von T
abhängen.
2 Die
negativen Vierer-Impulse können – wie üblich – in positive ‘umgewandelt’ werden, indem man
von der Teilchen- in die Anti-Teilchen-Sprache wechselt, d.h. (Teilchen-)Lösungen zu negativer Energie als
Anti-Teilchen mit positiver Energie (um-)interpretiert.
2
STREUTHEORIE
30
Fermis Trick. Um den Ausdruck


2
X
X
(2π)4 δ (4) 
pi −
pf  .
i
f
zu behandeln, benutzt man Fermis Trick für große V und T ,


 2
Z Y
X
X
d4 pf (2π)4 δ (4) 
pi −
pf  F (pf )
pf
→
=
i
Z Y
d 4 pf
pf
Z
d4 x e
V T (2π)
P
i
pi −
P
pf ) x
f


X
X
(2π)4 δ (4) 
pi −
pf  F (pf )
i
V,T
4
i(
f
Z Y
pf

d4 pf δ (4) 
X
i
pi −
X
f
f

pf  F (pf ) ,
(2.25)
für beliebige Funktionen F (pf ).
Formal können wir also schreiben:



2



X
X
X
X
Fermis
Trick
−−−−−−−−→ V T (2π)4 δ (4) 
pi −
pf  .(2.26)
(2π)4 δ (4) 
pi −
pf 


i
i
f
f
Man sieht sofort, dass das auftretende T mit dem T in der Definition von dwf i kürzt.
Das Phasenraumelement (im Impulsraum) für den Endzustand ist
dNf =
Y d 3 pf 1
Se ,
(2π)3 2Ef
(2.27)
f
wobei
Se =
Y 1
µf
µf : Vielfachheit der Teilchen im Endzustand
f
ein kombinatorischer Symmetriefaktor ist. Damit gewinnt man für die Übergangsrate den
Ausdruck:


X
X
Y d 3 pf 1
Se .
(2.28)
dwf i = V (2π)4 δ (4) 
pi −
pf  |Mf i |2
(2π)3 2Ef
i
f
f
Dieser ist aufgrund der verwendeten Normierung der Zustände proportional zum betrachteten Volumen V . Um eine davon unabhängige Größe zu erhalten, teilt man durch die
über das Volumen integrierte Flussdichte der einlaufenden Teilchen.
Fluss.
Die Flussdichte eines Teilchens in einem Bezugssystem ist
|~
p|
(2.29)
E
mit der Teilchendichte ρ. Bei der Betrachtung zweier Teilchen ist die Verallgemeinerung
dieser Formel gegeben durch:
φ = ρ·v
mit v =
φ = ρ1 ρ2 · vrel
mit vrel = |~v1 − ~v2 | .
(2.30)
2
STREUTHEORIE
31
Die Dichten ρi sind dabei durch die 0-ten Komponenten der Stromdichte gegeben,
ρi = 2Ei .
Der Gesamtfluss ist die über das Volumen integrierte Flussdichte,
Φ = φ·V .
Streuquerschnitt.
Der differentielle Streu- oder Wirkungsquerschnitt ist definiert durch
dwf i
.
Φ
(2.31)
dσ =
Man sieht, dass sowohl wf i als auch Φ proportional zu V sind, so dass dσ unabhängig von
dem betrachteten Volumen wird.
Die Interpretation des differentiellen Streuquerschnitts ist aus der Quantenmechanik
bekannt,
dσ(θ, ϕ) =
Strom der in Richtung (θ, ϕ) gestreuter Teilchen × r2 dΩ
,
Strom der einfallenden Teilchen
(2.32)
wo (r, θ, ϕ) die üblichen Kugelkoordinaten in drei Dimensionen bezeichnen, bzw.
dσ
=
dΩ
Strom der in Richtung (θ, ϕ) gestreuter Teilchen
× r2 .
Strom der einfallenden Teilchen
(2.33)
Der differentielle Wirkungsquerschnitt hat die Dimension einer Fläche. Man gibt ihn oft
in barn an,
1 barn = 1 b = 10−24 cm2 .
Wir werden häufig Situationen betrachten, in denen zwei Teilchen-Strahlen, etwa A und
B, aufeinandergeschossen werden. In solchen Situationen ist es eine Frage der Konvention,
ob (in der Sprache der QM 2) A das Projektil und B das Target ist oder umgekehrt. Die
Definition der Flussdichte (2.30) ist gerade so gewählt, dass sie dieser Symmetrie gerecht
wird.
Betrachtet man speziell zwei Teilchen im Anfangszustand, so ist der Streuquerschnitt
dσ gegeben durch
dσ(a1 + a2 → f ) =
wf i
dNf
φi
mit der Übergangswahrscheinlichkeit (und nach Anwendung von Fermis Trick)


X
X
wf i = (2π)4 δ (4) 
pi −
pf  |Mf i |2 ,
i
(2.34)
(2.35)
f
und der Flussdichte
1/2
.
φi = 2E1 2E2 vrel = 4 (p1 · p2 )2 − m21 m22
(2.36)
2
STREUTHEORIE
Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem.
und 2 Endzustände (C, D), d.h. der Prozess ist
32
Hat man 2 Anfangszustände (A, B)
A+B → C +D ,
so lässt sich dieser Ausdruck im Schwerpunktsystem p~A = −~
pB vereinfachen und es lässt
sich der differentielle Wirkungsquerschnitt in folgender Form angeben (mit: ECM = (EA +
EB )):
1
|~
pA |
dσ
=
| M f i |2 .
(2.37)
2
dΩ CM
2EA 2EB |~vA − ~vB | (2π) 4ECM
Im Falle gleicher Massen aller vier Teilchen wird daraus
|Mf i |2
dσ
=
(vier identische Massen) .
2
dΩ CM
64 π 2 ECM
(2.38)
Zerfallsraten. Die Zerfallsrate dΓ ist ein Spezialfall von dwf i mit nur einem einlaufenden Teilchen (siehe z.B. [3]).
2
STREUTHEORIE
2.3
33
Feynmanregeln der QED
Mit den Feynmanregeln kann man das invariante Matrixelement Mf i für Streuprozesse, wie
z.B. für den rechtsstehenden,
a1
b1
b2
•
•
a 1 + a 2 → b1 + b 2 + . . . bn ,
berechnen. Die Prozesse werden graphisch so dargestellt, dass die Anfangszustände |ai links und
die Endzustände |bi rechts sind.
•
•
a2
Faktor
bn
Einlaufende Fermionlinie
u(s) (p)
- im Anfangszustand
p
v (s) (p)
- im Endzustand
p
Auslaufende Fermionlinie
v (s) (p)
- im Anfangszustand
p
u(s) (p)
- im Endzustand
p
Einlaufendes Photon
Auslaufendes Photon
εµ
ε∗µ
Vertex
−i e γ µ
Innere Fermionlinie
Innere Photonlinie
Fermionring
p
q
i SF (p) = i
p
+m
p 2 − m2 + i ε
i Dµν (q) = − i
η µν + (α − 1)
qµ qν
q2
q2 + i ε
(−1)
Vorgehensweise:
• Die Elemente (Spinoren, γ-Matrizen, Propagatoren, Spinoren) werden so angeordnet,
dass sie, von links nach rechts gelesen, die Reihenfolge entgegengesetzt der Pfeile der
Feynmangraphen bilden.
• Für jede Fermion-Schleife nimmt man die Spur über die Spinor-Indizes.
• Jeden Impuls
q, der nicht durch Viererimpulserhaltung festgelegt ist, integriert man
R
(2π)−4 d4 q.
• Ein Faktor (−1) zwischen zwei Graphen, die sich nur durch Vertauschung zweier
äußerer Fermionlinien unterscheiden.
2
STREUTHEORIE
2.4
(i)
34
QED auf Tree-Level: Beispiele
Der Prozess e+ e− → µ+ µ−
In führender Ordnung Störungtheorie trägt zum Prozess der durch das folgende FeynmanDiagramm dargestellte Term zum Matrixelement bei:
µ−
e+
k
′
p
q=p+p′ =k+k′
µ
ν
.
p
k′
e−
µ+
Bei der Berechnung des unpolarisierten Wirkungsquerschnitts geht man wie folgt vor:
Vom Diagramm zum Matrixelement Mf i . Nach den Feynman-Regeln wandelt man
das Diagramm in einen Ausdruck für das Matrixelement um:
• Man verfolgt die Pfeile entgegen der Pfeilrichtung.
′
• Das auslaufende e+ im Anfangszustand erhält einen Faktor v̄ (s ) (p′ ), der Vertex
liefert −i eγ µ und das einlaufende e− u(s) (p).
• Die innere Photonenlinie trägt den Photonenpropagator i Dµν bei.
• Mit den auslaufenden Fermionen verfährt man wie mit den einlaufenden.
Man erhält also in erster Ordnung Störungsentwicklung


qµ qν
−i
η
+
(α
−
1)
µν

′
q2 
 v̄ (s′ ) (p′ ) (−i eγ µ ) u(s) (p) .
i Mf i = ū(r) (k) (−i eγ ν ) v (r ) (k ′ ) 


2
q + iε
(2.39)
Quadrieren von Mf i , Spinmittelung und weitere Vereinfachungen. Um einen
unpolarisierten Wirkungsquerschnitt zu erhalten, mittelt man über die Spins der Anfangszustände und summiert über die Spins der Endzustände. Des Weiteren verwenden wir
Feynman-Eichung, d.h. α = 1.
Dabei ist zu beachten: Zuerst wird |Mf i |2 gebildet und dann summiert bzw. gemittelt. Dies bedeutet anschaulich, dass die einzelnen Prozesse mit definiertem Spin nicht
miteinander interferieren.
Zu berechnen ist somit
1 X 1 XXX
|Mf i |2 .
(2.40)
2 s 2 ′ r ′
s
r
2
STREUTHEORIE
35
Bei der Berechnung von |Mf i |2 = Mf i M†f i hat man Terme der Form (v̄ Γ u)† auszuwerten,
(v̄ Γ u)† = u† Γ† (v † γ 0 )†
(γ 0 γ 0 =1)
u† γ 0 γ 0 Γ† γ 0 v = ū Γ v .
| {z } | {z }
=
=ū
Man erhält also
(v̄ Γ u)† = ū Γ v
(2.41)
:=Γ
mit Γ := γ 0 Γ† γ 0 .
(2.42)
Insbesondere gilt
γµ = γµ ,
(2.43)
denn für µ = 0 ist
3
= γ0
γ0 = γ0
und für i = 1, 2, 3 ist
2
†
= γi .
γi = γ0 γi γ0 = − γ0 γi γ0 = γi γ0
Wir haben es nun mit Ausdrücken wie z.B.
X
′
′
′
ū(r) (k) γ ν v (r ) (k ′ ) v̄ (r ) (k ′ ) γ ν u(r) (k)
ξ :=
r,r ′
X
=
r,r ′
ū(r) (k)
α
(γ ν )
αβ
′
v (r ) (k ′ )
β
′
v̄ (r ) (k ′ )
δ
γν
′
δε u(r) (k)
ε
(2.44)
zu tun, wo wir in der zweiten Zeile die Spinor-Indizes explizit zeigen. Dabei ist die Summenkonvention zu verwenden, d.h. über wiederholt auftetende Indizes zu summieren. Diesen
Ausdruck kann man umarrangieren,
i
′
′ δε
X h
X ′
αβ
ξ =
u(r) (k)
ū(r) (k)
(γ ν )
v (r ) (k ′ )
v̄ (r ) (k ′ )
γν
ε
r
(C.13)
=
=
α
r′
β
′ δε
αβ ′
k + mµ εα (γ ν )
k − mµ βδ γ ν
n
′ o
,
tr k + mµ (γ ν ) k′ − mµ γ ν
δ
(2.45)
wobei wir ausgenutzt haben, dass die in auftretende Summation über ε als Spur über
das Produkt der Dirac-Matrizen aufgefasst werden kann. Das analoge Vorgehen für den
e+ e− -Anteil“ von |Mf i |2 führt auf die Form
”
i
h
e4
1 X
′
µ
µ′
·
tr
(
p
−
m
)
γ
(
p
+
m
)
γ
|Mf i |2 =
e
e
4 ′ ′
4 [q 2 ]2
ss rr
i
h
′
(2.46)
· tr (k′ − mµ ) γ ν (k + mµ ) γ ν ηµν ηµ′ ν ′ ,
wo wir den +i ε-Term“ im Photon-Propagator weglassen konnten.
”
2
STREUTHEORIE
36
Auswerten der Spur. Die Rechenregeln für diese Art von Spuren sind in Anhang D
beschrieben. Unter Ausnutzung der zyklischen Invarianz der Spur und der Relationen der
Clifford-Algebra finden wir
tr [γ µ γ ν γ ρ γ σ ]
=
tr [γ ν γ ρ γ σ γ µ ]
=
=
=
tr [γ ν γ ρ (−γ µ γ σ ) + 2η µσ · 14 ]
− tr [γ ν γ ρ γ µ γ σ ] + 2 tr [γ ν γ ρ ] · η µσ
tr [γ ν γ µ γ ρ γ σ ] + 8η νρ η µσ − 8η νσ η µρ
=
− tr [γ µ γ ν γ ρ γ σ ] + 8 (η νρ η µσ − η νσ η µρ + η µν η ρσ ) .
Damit ergibt sich
tr [γ µ γ ν γ ρ γ σ ] = 4 (η µν η ρσ + η νρ η µσ − η νσ η µρ ) .
Wir erhalten deshalb
i
h
′
=
tr k′ γ ν k γ ν
=
(2.47)
i
h ′
′
(k ′ )µ′ kµ tr γ µ γ ν γ µ γ ν
i
h
′
′
′
4 p′ν pν + p′ν pν − p · p′ η νν .
(2.48)
Durch die analogen Schritte für die verbleibenden Terme ergibt sich
1 X
|Mf i |2
4 ′ ′
=
ss rr
8e4
[(p · k) (p′ · k ′ ) + (p · k ′ ) (p′ · k)
[q 2 ]2
+ m2µ (p · p′ ) + m2e (k · k ′ ) + 2 m2e m2µ .
(2.49)
Einsetzen der kinematischen Größen. Wir setzten uns in das Schwerpunktsystem
von e+ e− . Weiter vernachlässigen wir die Elektronmasse me gegen die Energie, d.h. p2 =
(p′ )2 = m2e = 0.
Aufgrund dieser Näherung und der
Wahl des Schwerpunkt-Systems als
Bezugssystem kann man die Impulse p und p′ wie in der Skizze rechts
schreiben. Für den Impuls des Myons gilt
q
E 2 − m2µ
|~k| =
k = (E, ~k)
p = (E, E ~ez )
•
ϑ
p′ = (E, −E ~ez )
und
~k · ~ez = |~k| cos ϑ .
Natürlich muss man als Bedingung
k ′ = (E, −~k)
für den Prozess E > mµ fordern,
d.h. die Schwerpunktsenergie muss
ausreichen, um 2 Myonen zu erzeugen.
Um den Ausdruck (2.49) umformen zu können, benötigt man die Produkte der ViererImpulse p, p′ , k, k ′ und den Impulsübertrag q 2 . Man erhält
q2
=
(p + p′ )2 = 4E 2 ,
2
STREUTHEORIE
p · p′
p·k
p · k′
=
=
=
37
2E 2 ,
p′ · k ′ = E 2 − E |~k| cos ϑ ,
p′ · k = E 2 + E |~k| cos ϑ .
Durch Einsetzen dieser Relationen in (2.49) ergibt sich
i
e4 h 2 ~ 2
1 X
2
2
E
+
|
k|
cos
ϑ
+
m
|Mf i |2 =
µ .
4 ′ ′
E2
(2.50a)
(2.51)
ss rr
Mandelstam-Variablen.
Speziell für Prozesse der Form
A+B → C +D ,
d.h. mit jeweils zwei Teilchen im Anfangs- bzw. Endzustand, ist es oft vorteilhaft, lorentzinvariante Größen einzuführen,
s
t
u
= (pA + pB )2 = (pC + pD )2 ,
= (pA − pC )2 ,
= (pA − pD )2 .
(2.52a)
(2.52b)
(2.52c)
Diese sind nicht unabhängig voneinander, denn es gilt
s+t+u
=
=
(pA + pB )2 + (pA − pC )2 + (pA − pD )2
3p2A + 2pA · pB − (pC + pD ) + p2B + p2C + p2D
| {z }
=pA +pB
=
m2A + m2B + m2C + m2D .
(2.53)
Wesentlich ist, dass man einige Streuquerschnitte alleine durch die Mandelstam-Variablen
s, t und u ausdrücken kann.
Betrachte z.B. die Spinsumme (2.49) im ultrarelativistischen Limes. Wir haben
s
t
2
u
2
=
=
=
(2.50)
(p + p′ )2 = q 2 ,
1
(2.50)
(p − k)2 = − p · k = − p′ · k ′ ,
2
1
(2.50)
(p − k ′ )2 = − p · k ′ = − p′ · k .
2
(2.54a)
(2.54b)
(2.54c)
Damit lässt sich die Übergandawahrscheinlichkeit alleine durch die Mandelstam-Variablen
ausdrücken,
( )
2
u 2
t
8e4
1 X
2
+
.
(2.55)
|Mf i | = 2
4 ′ ′
s
2
2
ss rr
Es sei bemerkt, dass für diesen Prozess die Definition der Mandelstam-Variablen t und
u nicht eindeutig ist, d.h. wir hätten sie ebenfalls umgekehrt definieren können.3 Die
Spinsumme (2.55) ist invariant unter der entsprechenden Vertauschung t ↔ u.
Interpretation der Mandelstam-Variablen im ultrarelativistischen Limes. Offensichtlich kann man s als Quadrat der Schwerpunktsenergie interpretieren. Im ultrarelativistischen Grenzfall eine Deutung der anderen beiden Variablen in Abhängigkeit des
Streuwinkels
3 Ich
danke für den entsprechenden Hinweis während der Vorlesung.
2
STREUTHEORIE
38
ϑ = ∢(~
pA , p~C )
p~C
im Schwerpunktsystem möglich,
t
u
ϑ
= −s sin2 ϑ/2 ,
= −s cos2 ϑ/2 .
p~A
Kreuzungssymmetrie. Man kann sich allgemein überlegen, was passiert, wenn man in
einer Reaktion ein einlaufendes Teilchen durch ein auslaufendes Antiteilchen ersetzt. Es
zeigt die Formel (2.16)
M φ(p) + · · · → . . .′
= M · · · → · · · + φ(−p) ,
(2.56)
φ(−p)
.
=
φ(p)
Man beachte, dass mit p niemals −p ein physikalischer Impuls sein kann. (2.56) besagt,
dass zwei Übergangsamplituden durch analytische Fortsetzung zusammenhängen. Diese
Betrachtung zeigt eine Symmetrie die S- bzw. T -Matrix als analytische Funktion der Impulsvariablen. Man spricht von Kreuzungssymmetrie.
Kreuzungssymmetrie und Mandelstamvariablen.
A(p) + C(k) → D(p′ ) + B(k ′ )
Betrachte nun z.B. den Prozess
(−−)
D
C
p′1
und den gekreuzten Prozess
A(p1 ) + B(p2 ) → C(p′1 ) + D(p′2 ) .
k
p′
q=p+k=p′ +k′
p′2
In der vorangegangenen Diskussion wären beiq=p1 −p′1
spielsweise A und C Elektronen (und entsprep2
p
chend C ein Anti-Elektron, d.h. ein Positron)
p1
k′
und D und B Myonen. Dieser Prozess wird beschrieben durch Feynmandiagramme, die gegenüber
(−−)
denen des Ausgangsprozesses gekippt sind bzw. A
B
bei denen die Richtung des Zeitflusses um 90◦
gedreht sind. In der rechtsstehenden Diagramm
muss man für den ersten Prozess das Diagramm
links nach rechts“ und für den zweiten von von
”
”
unten nach oben“ lesen. Dabei sind die Impulse
jeweils links bzw. rechts von den Fermionlinien
angezeigt.
Wir sehen, dass die Übersetzungsregeln für die Viererimpulse gegeben sind durch
p → p1 ,
p′ → p2 ,
k → − p′1
und k ′ → − p2 .
(2.57)
2
STREUTHEORIE
39
Wir überlegen uns nun, was die Mandelstam-Variablen sind,
A(p) + C(k)
s
t
u
→
=
=
=
D(p′ ) + B(k ′ ) ,
(p + k)2 ,
(p − p′ )2 ,
(p − k ′ )2 ,
A(p1 ) + B(p2 ) →
s =
t =
u =
C(p′1 ) + D(p′2 ) ,
(p1 + p2 )2 ,
(p1 − p′1 )2 ,
(p1 − p′2 )2 .
Offensichtlich geht unter den Ersetzungen (2.57)
s → t,
t → u
und
u → s
(2.58a)
und
u → t.
(2.58b)
mit der Umkehrung
s → u,
t → s
Die Kreuzungssymmetrie bringt somit den Vorteil, bei der Berechnung der Streuquerschnitte von gekreuzten Reaktionen viel Zeit sparen zu können.
Anwendung: e− -µ− -Streuung. Durch Kreuzen, d.h. durch Ausnutzen der Kreuzungssymmetrie, kann man sich durch Permutation der Mandelstamvariablen (2.58a) die Spinsumme für die e− –µ− -Streuung im ultrarelavistischen Limes besorgen,
µ−
µ−
:
8e4 s 2 u 2
1 X
2
.
+
|M| = 2
4
t
2
2
Spins
e−
e−
Von Mf i zum Wirkungsquerschnitt. Betrachten wir wieder den ursprünglichen Prozess e+ e− → µ+ µ− . Hier ist der differentielle Wirkungsquerschnitt von Interesse. Das
Matrixelement erhält man durch Einsetzen von (2.50) in (2.49) und daraus berechnet sich
der differentielle Wirkungsquerschnitt nach der Formel (2.37). In der Näherung E ≫ mµ
kann die vereinfachte Form (2.38) verwendet werden und man erhält
dσ
α2
2
=
(2.59)
2 (1 + cos ϑ)
dΩ
4ECM
mit ECM = 2E.
Interpretation des Ergebnisses. Zunächst erinnern wir uns daran, dass der Wirkungsquerschnitt die Dimension einer Fläche hat. Für grosse Schwerpunktenergien ist ECM die
2
einzige relevante dimensionsbehaftete Größe; wir hätten also die 1/ECM
-Abhängigkeit aus
der Dimensionsanalyse erschliessen können. Die ϑ-Abhängigkeit hat ebenfalls eine einfache Interpretation. Für ϑ = 90◦ ist der Wirkungsquerschnitt unterdrückt. Das lässt sich
mit der Forderung nach Helizitätserhaltung plausibel machen (siehe [3, S. 131 ff.] für eine
Diskussion des polarisierten Wirkungsquerschnitts).
2
STREUTHEORIE
(ii)
40
Møller-Streuung
Betrachte die Streuung von Elektronen an Elektronen,
e− (p1 ) + e− (p2 ) → e− (p′1 ) + e− (p′2 ) .
In niedrigster Ordnung tragen zwei Diagramme bei,
p′2
p′2
p2
p2
−
q=p1 −p′1
.
q=p1 −p′2
p1
p1
p′1
p′1
Das relative Vorzeichen −“ kommt von den Antikommutations-Eigenschaften der fermio”
nischen Felder; es bewirkt, dass die Matrix Mf i antisymmetrisch unter dem Austausch
der beiden Elektronen, d.h. antisymmetrisch unter p′1 ↔ p′2 , ist.
Das Übergangsmatrixelement Mf i ist gegeben durch
1
2
Mf i = e
u(p′1 ) γµ u(p1 )
u(p′2 ) γ µ u(p2 )
(p1 − p′1 )2 + i ε
1
′
′
µ
u(p1 ) γ u(p2 ) .
(2.60)
− u(p2 ) γµ u(p1 )
(p1 − p′2 )2 + i ε
Die zweite Zeile geht aus der ersten durch die Vertauschung (p′1 ↔ p′2 ) hervor. Bildung des
Betragsquadrats und Spinsummation wie in (2.46) führt auf drei Terme, die wir wie folgt
bezeichnen wollen:
II
I
1 X
2
+
|Mf i | =
2
2
4
′
2
4e
[(p1 − p1 ) + i ε]
[(p1 − p′2 )2 + i ε]
Spins
+
III
.
[(p1 − p′1 )2 + i ε] [(p1 − p′2 )2 + i ε]
(2.61)
Man erhält (mit m = me )
I
=
II
III
=
=
′
µ
′
ν
tr [(p
1 + m) γµ (p
1 + m) γν ] tr [(p
2 + m) γ (p
2 + m) γ ] ,
I mit (p′1 ↔ p′2 ) ,
′
µ
ν
′
− tr [γµ (p
1 + m) γν (p
2 + m) γ (p
2 + m) γ (p
1 + m)]
+ (p′1 ↔ p′2 ) .
(2.62a)
(2.62b)
(2.62c)
Die Spuren können wieder mit den Methoden in Anhang D ausgewertet werden,
′
tr [γν (p
1 + m) γµ (p
1 + m)]
4 [(p1 )ν (p′1 )µ − ηνµ p1 · p′1
+ (p1 )µ (p′1 )ν + m2 ηµν ,
′
µ
′
tr [γµ (p
γ ν (p
1 + m) γν (p
2 + m) γ (p
2 + m)
1 + m)]
= −32 (p1 · p2 )2 − 2m2 p1 · p2 .
=
(2.63)
(2.64)
2
STREUTHEORIE
41
Durch Zusammenzählen erhalten wir
(
(p1 · p2 )2 + (p1 · p′2 )2 + 2m2 (p1 · p′2 − p1 · p2 )
1 X
2
|Mf i | = 8
2
4
4e
[(p1 − p′1 )2 ]
Spins
(p1 · p2 )2 − 2m2 p1 · p2
+ (p′1 ↔ p′2 ) + 2 ′
,
(p1 − p1 )2 (p′2 − p1 )2
(2.65)
wobei die i ε Terme“ weggelassen wurden. Durch Rechnung ergibt sich der Streuquer”
schnitt
α2 dσ
=
(s − 2m2 )2 (t2 + u2 ) + u t (−4m2 s + 12m4 + u t) .
dΩ
s t2 u 2
(2.66)
Hierbei haben wir die Mandelstam-Variablen verwendet,
s
t
u
= (p1 + p2 )2 = 2m2 + 2p1 · p2 ,
= (p1 −
= (p1 −
p′1 )2
p′2 )2
2
= 2m − 2p1 ·
= 2m2 − 2p1 ·
p′1
p′2
(2.67a)
,
(2.67b)
(2.67c)
= t|p′1 ↔p′2 .
p~1′
Im Schwerpunktsystem hat man
s
= 4 E2 ,
t
u
= −4 (E 2 − m2 ) sin2 ϑ/2 ,
= −4 (E 2 − m2 ) cos2 ϑ/2 .
p~1
•
ϑ
p~2
Dabei ist ϑ der Winkel zwischen den einlaufenden und auslaufenden Teilchen.
Im Schwerpunktsystem erhält man für den Streup~2′
querschnitt die Møllersche Formel
4
α2 (2E 2 − m2 )2
4
dσ
3
(E 2 − m2 )2
1+
=
−
+
. (2.68)
dΩ
4E 2 (E 2 − m2 )2 sin4 ϑ sin2 ϑ (2E 2 − m2 )2
sin2 ϑ
Man kann die Formel im ultrarelativistischen Grenzfall auch durch Mandelstamvariablen
ausdrücken, indem man von (2.65) ausgeht,
α 2 s2 + u2
2s2
s 2 + t2
dσ
.
(2.69)
=
+
+
dΩ
2s
t2
ut
u2
Verwendet man die Formeln
t
u
= −s sin2 ϑ/2 ,
= −s cos2 ϑ/2 ,
mit dem Ablenkwinkel ϑ im Schwerpunktsystem, so kann man den Streuquerschnitt auch
folgendermaßen aufspalten:
dσ
α2 n 1 + cos4 ϑ/2
2
1 + sin4 ϑ/2 o
.
=
+
+
dΩ
8E 2
cos4 ϑ/2
sin4 ϑ/2
sin2 ϑ/2 cos2 ϑ/2
{z
}
{z
} |
{z
} |
|
direkter
Beitrag
InterferenzTerm
AustauschBeitrag.
(2.70)
2
STREUTHEORIE
42
Die etwas naive Interpretation der einzelnen Terme ist in der folgenden Skizze dargestellt:
ϑ
ϑ
direkt“
Austausch“
”
”
Selbstverständlich kann auf dem Quantenniveau, auf dem die beiden Elektronen im Endzustand ununterscheidbar sind, nicht zwischen den verschiedenen ‘Trajektorien’ unterschieden werden.
dσ
nicht von s abhängt. Dies kann man einsehen, inDes Weiteren sehen wir, dass s dΩ
dem man bemerkt, dass die einzige einheitenbehaftete Größe im ultrarelativistischen Limes die (Schwerpunkt-)Energie der Elektronen ist (die Masse wurde ja vernachlässigt).
dσ
Die einheitenlose Größe s dΩ
kann nur von Quotienten von einheitenbehafteten Größen
abhängen, und somit ergibt sich im Fall von nur einer einheitenbehafteten Größe eine
triviale Abhängigkeit. Gäbe es eine weitere einheitenbehaftet Größe in dem Problem, etwa eine “Ausdehnung” von Elektronen, würde man ein anderes Verhalten erwarten. Wir
werden später sehen, dass sich auch aufgrund von Quanteneffekten ein unterschiedliches
Verhalten ergibt.
dσ
dΩ
Ausserdem weist der Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von ϑ
eine Achsensymmetrie bzgl. des Winkels ϑ = 90◦ auf. Das ist eine offenϑ
|
sichtliche Konsequenz der Symmetrien des Problems.
90◦
(iii)
Bhabha-Streuung
Betrachte nun die Streuung von Elektronen an Positronen,
e− (p1 ) + e+ (p2 ) → e− (p′1 ) + e+ (p′2 ) .
In niedrigster Ordnung tragen wieder zwei Diagramme bei,
p′2
p′2
p2
p2
q=p1 +p2
−
p1
.
q=p1 −p′1
p1
p′1
p′1
Nach Rechnung ergibt sich für den Streuquerschnitt im Schwerpunktsystem die längliche
Formel von Bhabha, die wir uns hier sparen. Im ultrarelativistischen Limes wird der Vorteil
der Mandelstam-Variablen offenkundig: Durch die Vertauschung (2.58b), d.h. s → u, u → t
2
STREUTHEORIE
43
und t → s, für das Betrags-Quadrat des Matrixelements kann man den Streuquerschnitt
aus der Møllerschen Formel gewinnen,
2u2
α 2 s2 + u2
u 2 + t2
dσ
.
(2.71)
+
=
+
dΩ
2s
t2
st
s2
Man beachte, dass der Vorfaktor 1/s aus der Relation zwischen dem Betrags-Quadrat des
Matrixelements und dem differentiellen Strequerschnitt kommt (vgl. Gleichungen (2.38)
und (2.37) ). Im Schwerpunktsystem wird dies zu
1 + cos4 ϑ/2
α2
cos4 ϑ/2 1
dσ
2
=
−2 2
+ (1 + cos ϑ) ,
dΩ
8E 2
σ 4 ϑ/2
2
sin ϑ/2
im nichtrelativistischen Limes erhält man
dσ
1
α2
=
dΩ
m2 16 v 4 sin4 ϑ/2
mit der Relativgeschwindigkeit v. Die ϑ-Abhängigkeit ist wie beim Rutherford-Streuquerschnitt,
der in der Quantenmechanik II Vorlesung diskutiert wurde.
(iv)
Compton-Streuung
Die elastische Streuung eines Elektrons an einem Photon heißt Compton-Streuung. Wir
betrachten also
γ(k) + e− (p) → γ(k ′ ) + e− (p′ ) .
In niedrigster Ordnung gibt es zwei relevante Diagramme,
ε′
ε
ε
k′
ε′
k′
k
k
q=p+k
+
p
p
p′
q=p−k′
p′
Für den Wirkungsquerschnitt (vgl. Übungen) im Ruhessystem des Elektrons im Anfangszustand ergibt sich nach Rechnung die Klein-Nishina-Formel ,
′ 2 ′
dσ
ω
α2
ω
ω
′ 2
·
+
4
(ε
·
ε
)
−
2
.
(2.72)
=
+
dΩ
2m2 ω
ω
ω′
Dabei ist ε bzw. ε′ der Polarisationsvektor des Photons im Anfangs- bzw. Endzustand;
m ist die Masse des Elektrons. Bei diesem Streuquerschnitt wurde also nicht über die
Photonenspins – wohl aber über die Elektronenspins – gemittelt.
2
STREUTHEORIE
44
~k ′
Man kann auch über die Spins der Photonen gemittelten Streuquerschnitt angeben,
2 ′
dσ
α2 ω ′
ω
ω
2
·
=
+ ′ − sin ϑ .
dΩ
2m2 ω
ω
ω
~k
ϑ
•
Dabei ist ϑ der Ablenkwinkel des Photons im Ruhesystem des einlaufenden Elektrons.
(v)
~p ′
Paarvernichtung
Die Annihilation eines Elektrons und eines Positrons in zwei Photonen4 wird als Paarvernichtung bezeichnet:
e− (p) + e+ (p′ ) → γ(k) + γ(k ′ ) .
In niedrigster Ordnung tragen zwei Diagramme bei,
k′
ε′
ε′
k′
p′
p′
+
q=p−k
.
q=p−k′
p
p
k
k
ε
ε
Dieser Prozess ergibt sich also durch Kreuzen aus der Compton-Streuung. Für den Wirkungsquerschnitt ergibt sich nach Rechnung
′
dσ
α2 (m + E ′ )
ω
ω
′ 2
=
·
+ ′ − 4(ε · ε ) + 2 .
(2.73)
dΩ
8|~
p ′ | (m + E ′ − |~
p ′ | cos ϑ)2
ω
ω
Dabei ist ε bzw. ε′ der Polarisationsvektor des
Photons mit Impuls k bzw. k ′ . m ist die Masse des Elektrons. E ist die Energie des Positrons
und schließlich ϑ der Winkel zwischen den Impulsen des Positrons und eines der Photonen im
Ruhesystem des Elektrons.
Für grosse Energien hat man
α2 1 + cos2 ϑ
dσ
=
.
dΩ
s
sin2 ϑ
4 Annihilation
~k
~′
p
ϑ
•
~k ′
in ein Photon ist aus Gründen der Energie-Impulserhaltung nicht möglich.
(2.74)
3
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
3
45
Nicht-abelsche Eichtheorien
Wir hatten gesehen, dass die QED eine Eichtheorie basierend auf einer U(1) Symmetrie
ist. In diesem Abschnitt befassen wir uns mit Eichtheorien, die auf etwas reichhaltigeren
Eichgruppen G basieren. Die wesentliche Neuerung dabei ist, dass die Gruppen-Elemente
g ∈ G nicht kommutieren; man spricht von nicht-abelschen Gruppen.
3.1
Grundlegende Eigenschaften von Lie-Gruppen
Gruppe. Eine Menge G mit einer Verknüpfung m heißt Gruppe, falls folgende Axiome
erfüllt sind:
(i) Die Operation m, genannt Multiplikation, erfüllt
m : g, h 7→ m(g, h) = g · h ∈ G
(3.1)
für alle g, h ∈ G.
(ii) Assoziativität:
g1 · (g2 · g3 ) = (g1 · g2 ) · g3
(3.2)
für alle g1 , g2 , g3 ∈ G.
(iii) Existenz des neutralen Elements e mit
g·e = e·g = g
(3.3)
für alle g ∈ G.
(iv) Existenz des inversen Elements, d.h. für alle g ∈ G existiert ein g −1 ∈ G mit
g · g −1 = g −1 · g = e .
(3.4)
Lie-Gruppe. Lie-Gruppen sind ‘kontinuierliche’ Gruppen, d.h. Gruppen, bei denen die
Gruppenelemente durch kontinuierliche Variablen parametrisiert werden können,
G ∋ g = g(θ1 , . . . θd ) ,
θa ∈ R .
(3.5)
Mit anderen Worten, eine Lie-Gruppe ist eine Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur. Ohne
Beschränkung der Allgemeinheit kann die Parametrisierung so gewählt werden, dass g(0) =
e = 1.
Beispiel. Betrachte z.B. die Drehungen in der Ebene,
′ x
x
cos θ
x
=
D(θ)
=
7→
y′
y
y
− sin θ
sin θ
cos θ
x
·
.
y
(3.6)
Die Hintereinanderausführung entspricht der (Matrix-)Multiplikation; damit bilden die
D(θ) eine Gruppe. Dabei dient θ als Parameter bzw. als Koordinate“.
”
3
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
46
Lie-Algebra und Generatoren. Zu jeder Lie-Gruppe G gehört eine Lie-Algebra g,
deren Generatoren den Tangentialraum der Lie-Gruppe am Ursprung aufspannen,
∂g(θ1 , . . . , θd ) Xa =
.
(3.7)
∂θa
θ1 =···=θd =0
Die Gruppen-Elemente der Lie-Gruppe G, die in der gleichen Zusammmenhangs-Komponente
wie das Einheitselement liegen, gehen durch die Exponential-Abbildung aus den Generatoren hervor,
g(θ) = exp (θa Xa ) .
(3.8)
In der Physik werden die Generatoren Xa üblicherweise reskaliert und mit i-Faktoren
verziert, d.h.
g(θ) = exp (i θa Ta ) .
(3.9)
Wir werden im Folgenden mit den Generatoren Ta arbeiten, die der Normierung
tr(Ta Tb ) ∝ δab
(3.10)
genügen.
Lie-Gruppen-Homomorphismus. Ein Lie-Gruppen-Homomorphismus zwischen zwei
Lie-Gruppen G und H ist eine analytische Abbildung f : G → H mit
f (g1 · g2 ) = f (g1 ) · f (g2 )
∀ g1 , g2 ∈ G .
(3.11)
Matrixdarstellung. Sei n ∈ N. H bezeichne die Gruppe GL(n, R) bzw. GL(n, C). Ein
Lie-Gruppen-Homomorphismus f : G → H heißt n-dimensionale Darstellung der LieGruppe G über dem Darstellungsraum Rn bzw. Cn . Die Multiplikation in H ist dabei die
Hintereinanderausführung; sie entspricht also der Matrixmultiplikation.
Notation.“ Die Generatoren bzw. Gruppenelemente und ihre Darstellungs-Matrizen
”
werden synonym verwendet.
Strukturkonstanten. Eine grundlegende Eigenschaft von Lie-Algebren ist, dass sich
der Kommutator (oder die Lie-Klammer) zweier Generatoren als Linearkomination der
Generatoren schreiben läßt, d.h.
[Ta , Tb ] = linear in T .
Die Strukturkonstanten sind dann über
c
[Ta , Tb ] = i fab
Tc
(3.12)
definiert; dabei wird jetzt wie im Folgenden über zweifach auftretende Indizes a, b, c, . . .
c
von 1 bis d summiert. Die Strukturkonstanten fab
sind offensichtlich antisymmetrisch in a
und b; sie erfüllen darüber hinaus die Jacobi-Identität
c
e
c
e
c
e
fab
fcd
+ fda
fcb
+ fbd
fca
= 0.
(3.13)
3
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
Gruppentheoretische Konstanten.
spielen oft eine wichtige Rolle:
X
c1 (G) δ ab :=
f acd f b cd ,
47
Die folgenden gruppentheoretischen Konstanten
(3.14a)
c,d
c2 (R) δij
:=
X
(Ta Ta )ij ,
(3.14b)
a
ℓ(R) δ ab
:=
tr(Ta Tb ) ,
(3.14c)
wo ℓ(R) Dynkin-Index der irreduziblen Darstellung R und c2 (R) Quadratischer Casimir(Operator) heißen. R bezieht sich dabei auf die Darstellung, in der die Generator(matriz)en
angegeben werden, (3.14c) kann auch als Normierungsbedingung für die Generatoren verstanden werden. Diese beiden Invarianten stehen miteinander in Beziehung,
c2 (R) =
dim G
ℓ(R) ,
dim R
(3.15)
mit den Dimensionen dim G bzw. dim R der Gruppe bzw. der Darstellung. Die Dimension
der Gruppe dim G ist dabei definiert als die Anzahl der Generatoren; wir sehen an (3.9),
dass dies die Zahl der unabhängigen Parameter θa liefert.
Beispiel: SO(3) und SU(2). Wie bereits erwähnt, läßt sich die (abstrakte) Drehgruppe
durch SO(3) Matrizen darstellen. Diese hat drei Parameter, etwa die drei Euler-Winkel,
und entsprechend drei Generatoren. Die Matrizen wirken auf Vektoren im R3 . Die Dimension der fundamentalen (oder auch definierenden) Darstellung der SO(3) ist also 3.
Aus der Quantenmechanik ist bekannt, dass es weitere Objekte gibt, die unter räumlichen
Rotationen nicht-trivial transformieren – die Spinoren. Die Transformation erfolgt mit
SU(2)-Matrizen und die Spinoren sind (in drei räumlichen Dimensionen) 2-komponentige
Objekte; entsprechend ist die Dimension der fundamentalen Darstellung 2. Die Dimension
der SU(2) ist jedoch 3, wie wir nun explizit verifizieren werden. SO(3) und SU(2) sind
bis auf Überlagerungseigenschaften, die etwa bewirken, dass ein Spinor nur nach einer
Rotation um 4π in sich selbst übergeht, identisch.
SU(N ). In dieser Vorlesung werden vor Allem die SU(N )-Gruppen relevant sein. Ist insbesondere G = SU(N ), so sind die Generatoren Ta spurfrei und hermitesch; des Weiteren
ist d = dim SU(N ) = N 2 − 1. Dies sieht man folgendermassen ein: Für U = U (θ1 , . . . θd ) ∈
SU(N ) weiss man, dass U unitär ist und det U = 1. Aus der ersten Eigenschaft folgt
U †U
=
=
=
†
[exp(i θa Ta )] · exp(i θa Ta )
[ 1 + i θ a Ta + . . . ] · [ 1 + i θ a Ta + . . . ]
1 + i θa Ta − T†a =! 1 .
†
(3.16)
Da das für alle θa gelten soll, muss
Ta = T†a
(3.17)
sein. An der Relation
det exp(i θa Ta ) = exp [tr(i θa Ta )] ,
(3.18)
sieht man, dass die Spur der Ta verschwinden muss. Damit können wir uns die Dimension
d der Lie-Gruppe bzw. Lie-Algebra bestimmen. Ursprünglich hatten wir 2N 2 komplexe
3
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
48
N ×N -Matrizen; die Forderung der Hermitezität liefert N 2 Relationen und die Spurfreiheit
eine weitere Relation, so dass
dim SU(N ) = N 2 − 1 .
(3.19)
Häufig wird die Konvention verwendet, in der die Generatoren der irreduziblen Darstellung
N von SU(N ) so normiert sind, dass ℓ(N ) = 21 . Für SU(N ) Gruppen gilt
N2 − 1
.
2N
c2 (N ) =
(3.20)
Beispiel: SU(2) und Pauli-Matrizen. Speziell für die SU(2) wählt man in der Physik
für die Generatoren bis auf einen Faktor 1/2 die Pauli-Matrizen,
Ta =
σa
.
2
Beispiel: SU(3) und Gell-Mann-Matrizen. Für die Generatoren der SU(3) (als
Matrix-Gruppe) verwendet man häufig die sog. Gell-Mann-Matrizen; genauer gesagt wählt
man als Generatoren
Ta = λa /2 ,
wobei
λ1
=
λ4
=
λ6

0
 1
0

0
 0
1

0
 0
0
=
(3.21)

1 0
0 0  ,
0 0

0 1
0 0  ,
0 0

0 0
0 1  ,
1 0
λ2
λ5
λ7

0
=  i
0

0
=  0
i

0
=  0
0
−i
0
0
0
0
0
0
0
i

0
0  ,
0

−i
0  ,
0

0
−i  ,
0
λ3
λ8

1
=  0
0

0 0
−1 0  ,
0 0

1
1
= √  0
3
0

0 0
1 0  .
0 −2
(3.22)
Diese Matrizen erfüllen
tr(λa λb ) = 2 δ ab
und für die Strukturkonstanten gilt
λa λb
c
λc
,
fab
= −i tr
2 2
i
= − tr (λa λb λc − λb λa λc ) .
4
Die nichtverschwindenden Strukturkonstanten sind (bis auf Permutationen)
f 123
=
=
2 f 147 = 2 f 246 = 2 f 257 = 2 f 345 = − 2 f 156
2
2
−2 f 367 = √ f 458 = √ f 678 = 1 .
3
3
(3.23)
(3.24)
3
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
3.2
49
Yang-Mills-Theorie
Es wird nun diskutiert, wie die abelsche Eichtheorie auf nicht-abelsche Symmetriegruppen
verallgemeinert werden kann. Der Ausgangspunkt ist wieder ein (Fermion-)Feld


Ψ1 (x)


..
Ψ(x) = 
(3.25)
 ,
.
ΨN (x)
wo die Ψi für 4-komponentige Dirac-Felder stehen.
Lokale SU(N )-Transformation bzw. SU(N )-Eichtransformation.
Transformation bzw. SU(N ) Eichtransformation definiert man
Als lokale SU(N )
Ψ(x) → U (x) Ψ(x) ,
(3.26)
U (x) = exp {i θa (x) Ta }
(3.27)
wo
für jedes x ein Gruppenelement der nicht-abelschen Gruppe SU(N ) (N ≥ 2) ist. In diesem
Fall sagt man, Ψ transformiere als N -dimensionale oder fundamentale Darstellung unter
der SU(N ), oder einfach als N -plett.
Betrachte zunächst die Lagrangedichte für freie Fermionen,
L0 = Ψ(x) {i γ µ ∂µ − m} Ψ(x) =
N
X
i=1
Ψi (x) {i γ µ ∂µ − m} Ψi (x)
(3.28)
mit Ψ wie in (3.25). L0 ist nicht invariant unter G, d.h. L0 ist nicht invariant unter den
Eichtransformationen
Ψ(x)
Ψ(x)
→
→
U (x) Ψ(x) ,
Ψ(x) U † (x) .
(3.29a)
(3.29b)
Ähnlich wie im abelschen Fall ist L0 invariant unter globalen Transformationen, d.h.
U (x) = U0 . Ziel ist es nun, eine Lagrangedichte zu konstruieren, die invariant unter lokalen
Transformationen U (x) ist.
In Analogie zum abelschen Fall führt man d Eichbosonenfelder Aa mit Komponenten
a
Aµ (x) ein. Mit diesen Feldern konstruiert man die eichkovariante Ableitung
Dµ =
1N ∂µ − i g Aaµ (x) Ta .
(3.30)
Man beachte, dass im Gegensatz zum abelschen Fall hier die kovariante Ableitung eine
nicht-triviale Matrix-Struktur aufweist. Im nächsten Schritt setzt man als Yang-MillsLagrangedichte
1 a
µν
µ
LYM
g = Ψ(x) {i γ Dµ − m} Ψ(x) − Fµν (x)Fa (x)
4
(3.31)
3
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
50
mit dem Feldstärketensor
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + g f a bc Abµ Acν
(3.32)
a
[Dµ , Dν ] = − i g Fµν
Ta .
(3.33)
bzw.
Nun muß noch das Transformationsverhalten der Eichbosonenfelder festgelegt werden.
Wir wollen erreichen, dass für die transformierten Fermionfelder Ψ′ (x) = U (x) Ψ(x) und
die transformierten Eichbosonenfelder gilt
(Dµ Ψ)′
=
∂µ Ψ′ − i g A′µ a Ta Ψ′
=
U ∂µ Ψ + (∂µ U ) Ψ − i g A′µ a Ta U Ψ = U Dµ Ψ .
!
Der Term, der Probleme bereitet, ist (∂µ U ) Ψ. Er kann beseitigt werden, indem man
i
A′µ a Ta = − (∂µ U ) U † + U Aaµ Ta U †
g
(3.34)
setzt. Benutzt man noch, dass
0 = ∂µ (U U † )
y
(∂µ U ) U † = − U (∂µ U † ) ,
so kann man das gewünschte Transformationsverhalten von Dµ ψ erreichen durch die Forderung, dass die Eichbosonenfelder sich unter Eichtransformationen folgendermaßen verhalten sollen,
Aaµ (x) Ta
i
a
→ U (x) Aµ (x) Ta + ∂µ U † (x) .
g
(3.35)
Diese Gleichung impliziert insbesondere, dass unter einer globalen Transformation U0
Ta → U0 Ta U0† .
(3.36)
Zum Transformationsverhalten der Generatoren und Gruppenelemente. Die
Gruppenelemente und Generatoren transformieren in der sog. adjungierten Darstellung.
e := U
e Ψ mit U
e ∈ SU(N ). Man hat
Betrachte z.B. ein Feld Ψ
e → Ψ
e′ = U Ψ
e = UU
eΨ.
Ψ
(3.37)
eΨ → U
e ′ Ψ′ = U
e′ U Ψ
U
(3.38)
e → U
e′ = U U
e U† .
U
(3.39)
e auffassen, d.h. aus
Man kann das nun als Transformation von U
schliesst man, dass
3
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
51
Das ist das Transformationsverhalten in der adjungierten Darstellung. Für beliebige Gruppen ist die adjungierte Darstellung definiert durch
g
G ∋ h −
→ g · h · g −1 .
(3.40)
Aus der Identität
U exp(i θa Ta ) U † = exp i θa U Ta U †
(3.41)
sieht man weiterhin, dass die Ta ebenfalls in der adjungierten Darstellung transformieren,
Ta → U Ta U † .
Schreibweise.
Aµ (x)
Fµν (x)
:=
:=
(3.42)
Abkürzend setzt man
Aaµ (x) Ta ,
a
Fµν
(x) Ta .
(3.43a)
(3.43b)
Mit dieser Notation lautet die Yang-Mills-Lagrangedichte (3.31)
klass
LYM
= Ψ (i γµ Dµ − m) Ψ −
1
tr (Fµν F µν ) .
2
(3.44)
Dabei haben wir verwendet, dass tr(Ta Tb ) = 12 δ ab in unserer Konvention. Die eichkovariante Ableitung schreibt sich einfach als
Dµ = ∂µ − i g Aµ .
(3.45)
Durch Zusammenzählen läßt sich zeigen, dass
a
Fµν = Fµν
Ta → U Fµν U †
(3.46)
und dass somit die Lagrangedichte (3.44) invariant ist unter der lokalen nicht-abelschen
Eichtransformation (3.26) bzw. (3.35).
3.3
Klassische Bewegungsgleichungen der Yang-Mills-Theorie
Es sollen nun Yang-Mills-Theorien auf dem klassischen Niveau diskutiert werden. Dazu
erarbeitet man sich die Euler-Lagrange-Gleichungen für die Yang-Mills-Lagrangedichte
(3.31).
Für das Fermion-Feld ergibt sich einfach die Dirac-Gleichung mit eichkovarianter Ableitung
(i γ µ Dµ − m) Ψ(x) = 0 .
(3.47)
Dabei ist zu beachten, dass Ψ ein N -plett ist und Dµ einen nicht-triviale Matrix-Struktur
im SU(N ) Darstellungs-Raum besitzt. Zusätzlich treten noch die Felder der Eichbosonen
auf,
a
c
∂ µ Fµν
(x) + g f a bc Aµ b (x) Fµν
= − g jνa (x)
(3.48)
mit den Noetherströmen der Fermionen
jνa (x) = Ψ(x) γν Ta Ψ(x) .
(3.49)
3
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
52
Diese Strömen folgen aus den d globalen Symmetrien, entsprechend den d Generatoren.
Gemäß dem Noether’schen Theorem genügen die j a den Kontinuitätsgleichungen
∂µ j µ a (x) = 0 .
(3.50)
In der zuvor eingeführten kompakten Notation bekommen die Bewegungsgleichungen
(3.47) und (3.48) die Gestalt
(i γ µ Dµ − m) Ψ(x) = 0
(3.51)
[Dµ , Fµν ] = − g jν ,
(3.52)
und
wobei in Analogie zu (3.43)
jν = jνa Ta
gesetzt wird.
Bemerkungen:
(1) Es tritt ein neues Phänomem auf: In einer nicht-abelschen Eichtheorie gibt es Wechselwirkung zwischen den Eichbosonen.
(2) Als reine“ Eichtheorie bezeichnet man die Theorie ohne Fermionfelder, d.h. mit der
”
Lagrangedichte
Lpure
YM
1 a µν
Fa .
= − Fµν
4
Hier folgen die Bewegungsgleichungen:
a
c
c
∂ µ Fµν
= − g fab
Aµ b (x) Fµν
(x) ,
welche wegen der nichtverschwindenden rechten Seite die Wechselwirkung der Eichbosonen untereinander implizieren.
3.4
Fadeev-Popov-Methode für nicht-abelsche Eichtheorien
Fragestellung. Es geht darum, die Pfadintegralquantisierung einer nicht-abelschen Eichtheorie durchzuführen. Dazu betrachten wir nur die Eichfeldtheorie, die Fermionen können
später hinzugenommen werden.
Ausgangspunkt ist das Funktionalintegral
Z
Z
1 a µν
DA exp i d4 x − Fµν
Fa
,
(3.53)
4
3
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
53
wobei der Exponent bis auf einen Faktor i der Wirkung entspricht,
Z
1 a µν
Fa
.
S[A] =
d4 x − Fµν
4
Das Eichfeld A transformiert unter Eichtransformationen gemäß
i
µ a
µ
a
Aa T → U (x) Aa (x) T + ∂µ U † (x) ,
g
(3.54)
(3.55)
mit
U (x) = exp (i Λa (x) Ta ) .
Die Theorie ist invariant unter solchen Transformationen. Insbesondere ist die Wirkung
invariant unter infinitesimalen Transformationen
Aµa
→
:=
Aµa (Λ1 , . . . Λd )
1
Aµa (x) + ∂µ Λa (x) + Λc (x) f c ab Abµ (x) ,
g
(3.56)
wo d die Dimension der Lie-Gruppe ist, d.h. unter (3.56)
S[A(Λ)] = S[A] .
(3.57)
Felder A, welche durch eine Eichtransformation auseinander hervorgehen, sind physikalisch äquivalent. Wie im abelschen Fall will man erreichen, dass das Pfadintegral sich nur
über die Anteile der Felder erstreckt, die nicht durch eine Eichtransformation mit anderen
Feldern in Beziehung stehen. Wir suchen also ein Pfadintegral
Z
DA ,
das sich nur über eich-inäquivalente Feldkonfigurationen erstreckt.
Eichfixierung. Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der abelschen Theorie. Eine Eichung wird fixiert durch die d Bedingungen
!
F a A(Λ) = ∂ µ Aaµ (Λ) − ω a = 0 .
Damit ergibt sich analog zu (1.48)
Z
Z
Z[J] = ∆FP DA exp i d4 x Lpure
(3.58)
YM
+
Jµa Aµa
· δ(∂ µ A1µ − ω 1 ) · · · δ(∂ µ Adµ − ω d ) .
(3.59)
Die Abhängigkeit von den beliebigen Funktionen ω a beseitigt man analog zu (1.49) durch
Pfadintegration mit Gauss-förmiger Gewichtsfunktion.
Der wesentliche Unterschied ergibt sich bei der Auswertung der Faddeev-Popov-Determinante,
a
d
Y
δF A(Λ)
,
(3.60)
det
∆FP =
δΛ
a=1
denn hier ist das Verhalten von A unter der Eichtransformation durch (3.35) gegeben.
Fordern wir die verallgemeinerte Lorentz-Bedingung (3.58) und setzen die infinitesimale
Transformation (3.56) ein, so folgt nach Rechnung
δF a A(Λ)
1
= δba ∂ µ ∂µ + ∂ µ Acµ f a cb .
b
δΛ
g
(3.61)
3
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
54
Damit wiederum ergibt sich die Faddeev-Popov-Determinante zu
Z
Z
1
∆FP =
Dη Dη exp i d4 x η a − δba ∂ µ ∂µ + ∂ µ Acµ f a bc η b .
g
(3.62)
Um den üblichen kinetischen Term zu erhalten, muss man die Felder η und η reskalieren,
√
√
η → g η und η → g η .
Diese Reskalierung kann in der Normierung des Pfadintegrals absorbiert werden.
Fazit: Das erzeugende Funktional kann geschrieben werden in der Form
Z[J]
=
Z
DA
Z
Z
Dη Dη
( Z
"
1
1 X
4
exp i d x − tr (Fµν F µν ) + Jµa Aµa −
(∂µ Aµa )2
2
2ξ a
+ η a (−δba ∂ µ ∂µ + g ∂ µ Acµ f a bc ) η b .
(3.63)
Der Eich-Fixierungsterm ist hat die selbe Form wie im abelschen Fall. Fixiert man die Eichung durch eine spezifische Wahl von ξ spricht man auch von den Rξ -Eichung. Wie zuvor
kann die Faddeev-Popov-Determinante als Pfadintegral über a-Zahl-wertige Skalarfelder
geschrieben werden. Der wesentliche Unterschied zur abelschen Theorie ist jedoch, dass
die Geistfelder η und η an die Eichfelder koppeln, d.h. es gibt eine neue Wechselwirkungen
und ein zusätzliches propagierendes Feld.
Die Geist-Felder η und η repräsentieren keine physikalischen Freiheitsgrade, sondern
sind Hilfsfelder . Insbesondere tauchen diese nicht in Anfangs- oder Endzuständen auf, was
sich auch darin äussert, das Z keine Quellen für η und η aufweist.5 Andererseits werden
wir später sehen, dass nur durch die Geist-Beiträge die Übergangswahrscheinlichkeiten
eichinvariant werden.
3.5
Feynman-Regeln
Mit den üblichen Funktionalmethoden erhält man die folgenden Feynman-Regeln:
(1) Fermion-Eichboson-Vertex:
i
µ, a
:
i g γµ (Ta )ij
j
5 Um die Störungsentwicklung durchzuführen, kann man entsprechende Quellen als Rechentrick“
”
einführen.
3
NICHT-ABELSCHE EICHTHEORIEN
55
(2) Eichbosonen-Dreier-Vertex:
ν, c
k
p
λ, a
:
q
g f abc [(k − q)λ ηµν +
(q − p)ν ηλµ + (p − k)µ ηνλ ]
µ, b
(3) Eichbosonen-Vierer-Vertex:
ρ, c
σ, d

abe cd µρ νσ
2
µσ νρ
 −i g f fe (η η − η η )
ace bd
µν ρσ
+ f fe (η η − η µσ η νρ ) 
+ f ade febc (η µν η σρ − η µσ η νρ )
:
µ, a
ν, b
(4) Eichboson-Geist-Vertex:
b
µ, c
:
g fabc pµ
p
a
(5) Fermion-Propagator (fundamentale Darstellung):
j
i
p
i δ ij
p
− m + iε
:
(6) Eich-Propagator:
k
µ, a
ν, b
:
(7) Geist-Propagator:
b
q
a
:
i δ ab
q2 + i ε
−i δ ab
kµ kν
µν
η − 2 (1 − ξ)
k2 + i ε
k
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
4
4.1
56
Aspekte des Renormierungs-Programms
Fragestellung
In der QED gibt es Schleifendiagramme, z.B. die Strahlungskorrekturen aus Abb. 1.
γ
γ
γ
(a) Vakuumpolarisation.
γ
γ
(b) Selbstenergie.
(c) Vertex-Korrektur.
Abbildung 1: Beispiele für Schleifendiagramme in der QED.
Die Frage ist nun, was die Implikationen dieser Strahlungskorrekturen sind. Diese Frage
zu beantworten ist mit erheblichem technischen Aufwand verbunden, der in großem Detail in der parallel stattfindenden Vorlesung QFT 2“ behandelt wird. In dieser Vorlesung
”
konzentrieren wir uns auf die physikalischen Implikationen. Wir werden sehen, dass die
entsprechenden analytischen Ausdrücke (formal) divergieren. In diesem Abschnitt werden
wir die Divergenzen wegdiskutieren und die physikalischen Implikationen der Strahlungskorrekturen diskutieren.
4.2
Effektive Kopplungsstärke
Vakuum-Polarisation.
Als Polarisationstensor bezeichnet man
γ µ
γ
q
ν
µν
i Π (k) =
q−k
k
k
amputiert“
”
Z
4
d q
i (q − k + m)
i (q + m)
µ
ν
= −
.
tr (−i e γ )
(−i e γ ) 2
(2π)4
(q − k)2 − m2 + i ε
q − m2 + i ε
(4.1)
Hierbei betrachten wir das amputierte Diagramm, d.h. die analytischen Ausdrücke für die
Teilchen im Anfangs- bzw. Endzustand werden weggelassen. Des Weiteren lassen wir beliebige, d.h. auch off-shell“ Werte, für k zu, wir fordern also nicht, dass k 2 = 0. Später
”
werden wir den Polarisationstensor in Diagramme einbauen, in denen ein Photon ausgetauscht wird, das eben nicht on-shell“ ist, d.h. nicht k 2 = 0 erfüllt. In dem betrachteten
”
Fall entspricht Πµν (k) bis auf die Polarisationsvektoren der ein- bzw. auslaufenden Photonen dieser der Übergangsamplitude für die “Vakuumspolarisation”,
µν
Mf i = ε(i)
(εν(f ) )∗ .
µ · iΠ
Dieser Ausdruck für den Polarisationstensor ist so, wie er in (4.1) angegeben ist, nicht
wohldefiniert, denn das Integral konvergiert nicht. Wie wir später sehen werden, divergiert
es quadratisch.
Wir formen nun den Polarisationstensor
µ
Z
γ (q − k + m) γ ν (q + m)
d4 q
µν
2
,
(4.2)
tr
Π (k) = i e
(2π)4
(q 2 − m2 ) [(q − k)2 − m2 ]
bei dem bereits die i ε-Terme im Nenner bereits weggelassen wurden, weiter um.
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
Feynman-Parametrisierung.
ff.])
1
=
ab
Z1
57
Mit der Feynman-Parametrisierung (siehe z.B. [3, S. 189
1
[a x + b (1 − x)]2
dx
0
(4.3)
wird mit
a = (q − k)2 − m2
b = q 2 − m2
und
und der Substitution
p = q −kx
der Nenner symmetrischer,
Πµν (k)
=
i e2
Z
tr
d4 p
(2π)4
Z1
dx
0
ν
γ µ (p
− k (1 − x) + m) γ (p
+ k x + m)
2
2
2
[p − m + k x (1 − x)]2
.
(4.4)
Nach einigen Umformungen (siehe Übung) wird daraus:
Πµν (k)
=
i e2 4
Z1
dx
0
−
Z
d4 p
(2π)4
[p2
−
m2
2 pµ pν
+ k 2 x (1 − x)]2
2x (1 − x) [k µ k ν − η µν k 2 ]
η µν
− 2
2
2
2
p − m + k x (1 − x)
[p − m2 + k 2 x (1 − x)]2
.
(4.5)
Massendimension. Als Massendimension von dimensionsbehafteten Größen bezeichnet
man die die Dimension der entsprechenden Größe in Massen- bzw. Energieeinheiten, also
beispielsweise in GeV. Man hat dann
dim[m] = dim[E] = dim[p] = 1
und dementsprechend
dim[x] = − 1 ,
wo m, E, p bzw. x für Massen, Energien, Impulse bzw. Raumzeit-Koordinaten stehen
sollen. Die Wirkung S ist dimensionslos (weil wir in Einheiten arbeiten, in denen ~ = 1
gilt), und da
Z
S =
d4 x L
trägt die Lagrangedichte L Massendimension 4. Aus den kinetischen Termen für Skalare,
Spinoren bzw. Vektoren
1
tr(Fµν F µν )
2
liest man die Massendimensionen der Felder ab,
(∂µ φ)∗ (∂ µ φ) ,
Ψ ∂ Ψ
dim[φ] = 1 ,
dim[Ψ] = 3/2
bzw.
bzw.
dim[A] = 1 .
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
Naiver Divergenzgrad von Integralen.
Z
f (q 2 )
.
I =
d4 q 2
[q − ∆]n
58
Betrachte ein allgemeines Integral der Form
Aus Dimensionsgründen muss I eine um vier höhere Massendimension als der Integrand
haben. Ist die einzige massenbehaftete Größe, von der f abhängt, der Viererimpuls q, so
muss I wie eine ‘neue’ Skala Λ zu der entsprechenden Potenz skalieren,
I ∝ Λdim[f ]−2n+4 .
Der Exponent ist dann gegeben durch
4 + Zahl der qs im Zähler − Zahl der qs im Nenner .
Die Zahl 4 in dieser Formel bezeichnet die Zahl der Raumzeit-Dimensionen. Unsere Strategie wird nun sein, diese variabel zu lassen.
(i)
(Dimensionale) Regularisierung des Vakuum-Polarisations-Tensors
Dimensionale Regularisierung. Hierbei wird die Feldtheorie in d Dimensionen untersucht, wobei sich erweisen wird, dass d 6= 4 sind die Ausdrücke endlich sind. Dann wird
der Limes d → 4 gebildet.
Dimensionale Analyse.
Betrachte die Lagrangedichte
1
L = i Ψ γ µ ∂µ Ψ − m Ψ Ψ − e Ψ γ µ Ψ Aµ − F µν Fµν + Eichfixierung .
4
In d Dimensionen ergibt sich für die Lagrangedichte die Massendimension
dim[L ] = d ,
denn die Wirkung
Z
S =
dd x L
ist dimensionslos. Man kann leicht die folgenden Relationen ableiten:
dim[∂µ ] = 1 ,
dim[Aµ ] =
d
−1,
2
d−1
,
2
3
dim[Aµ Ψ γ µ Ψ] = d − 2 .
2
dim[Ψ] =
(4.6)
Damit der Wechselwirkungsterm ebenfalls die Massendimension d erhält, ersetzt man die
Ladung
e → e µ2−d/2 ,
dim[µ] = 1 .
Darin ist der zusätzliche Parameter µ willkürlich, µ muss lediglich die Massendimension
1 haben.
Damit lautet der Wechselwirkungsterm
Lint = − e µ2−d/2 Ψ γ µ Ψ Aµ .
(4.7)
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
59
Bemerkung zur Dirac-Algebra in d Dimensionen: Im Allgemeinen konstruiert
man die Dirac-Darstellung in d Dimensionen analog zu der vierdimensionalen Version.
Speziell für Renormierungszwecke hat sich ein Rezept etabliert, das auf besonders wenig
Komplikationen führt (das aber auch nicht wirklich die d-dimensionale Physik wiedergibt).
Die Dirac-Algebra wird weiterhin von Objekten γ µ gebildet, die
{γ µ , γ ν } = 2 η µν
erfüllen, wobei allerdings

1 0
 0 −1

η µν =  0 0

..
..
.
.
(4.8)
hier

0 ···
0 ··· 

−1 · · · 

..
..
.
.
(4.9)
ist. Die Spur dieses metrischen Tensors ist
ηµ µ = d ,
die Spur der Einheitsmatrix im Spinor-Raum ist eine Funktion von d:
tr 1 = f (d) ,
mit f (4) = 4 .
Besonders einfach werden die Ausdrücke für
f (d) = 4 .
Somit ist
tr(γµ γν ) = f (d) ηµν
(4.10)
und die Spur einer ungeraden Anzahl an γ-Matrizen verschwindet. Des Weiteren gilt
tr (γµ γκ γν γλ )
µ
ν
=
γ γ γµ
γ γ ν γ ρ γµ
=
=
γ µ γ ν γ ρ γ σ γµ
=
µ
f (d) {ηµκ ηνλ − ηµν ηκλ + ηµλ ηκν }
ν
(2 − d) γ ,
4 η νρ − (4 − d) γ ν γ ρ ,
−2 γ σ γ ρ γ ν + (4 − d) γ ν γ ρ γ σ .
Bemerkung zur Integration in d Dimensionen.
Berechnung von Integralen der Form
Z
f (p2 )
Id =
dd p 2
.
[p − ∆]n
(4.11a)
(4.11b)
(4.11c)
(4.11d)
Wir interessieren uns nun für die
(4.12)
Der erste Schritt ist eine sog. Wick-Rotation, d.h. wir fassen die 0-te Komponente des
Vierer-Impulses p0 als komplexe Größe auf und, anstatt die p0 entlang der reellen Achse
zu integrieren, integrieren wir entlang der imaginären Achse (s. Abb. 2). Das führt dann
auf einen euklidischen Viererimpuls pE wobei
p0 = i p0E .
Damit erhalten wir für den Fall f (p2 ) = 1
Z
Z
1
1
i
d
d p 2
d d pE 2
=
(p − ∆)n
(−1)n
[pE + ∆]n
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
60
Im p0
−
p
p~ 2 + ∆ + i ε
Re p0
p
2
p~ + ∆ − i ε
Abbildung 2: Wick Rotation.
= i (−1)
n
Z
Z∞
dΩd dr
rd−1
.
+ ∆]n
[r2
(4.13)
0
Im letzten Schritt haben wir r = |pE | gesetzt. Für das Oberflächenintegral kann man zeigen
(vgl. Übungen), dass
Z
2π d/2
dΩd =
.
(4.14)
Γ( d2 )
Bemerkung zur Γ-Funktion.
Die Γ-Funktion ist erklärt durch
Z∞
dt tz−1 e−t
Γ(z) =
(4.15)
0
und besitzt die Eigenschaft
Γ(1 + z) = z Γ(z) ,
(4.16)
d.h. Γ ist eine ‘kontinuierliche Erweiterung der Fakultät,
Γ(1 + n) = n!
für n ∈ N .
(4.17)
Eine wesentliche Eigenschaft der Γ-Funktion ist, dass Γ(z) Pole besitzt für z = 0, −1, −2, . . . .
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
61
Abschneiden von Integralen. Sehen wir uns nun wieder das Integral (4.12) in vier
Dimensionen an. Dieses konvergiert nicht, falls n ≤ 2. Die Divergenz kommt von der rIntegration im Unendlichen, also im Bereich großer euklidischer Impulse. Man kann die
Integration von Hand abschneiden“, in dem man einen Cut-Off Λ einführt, mit dem
”
2
ZΛ
Z∞
d−1
rd−1
r
Λ ,
d=4 ∧ n=1,
→
∝
dr 2
dr 2
2
n
n
ln(Λ
/∆)
,
d
=4 ∧ n=2.
[r + ∆]
[r + ∆]
0
0
Im ersten Fall, d.h. für n = 1, sagt man, das Integral divergiere quadratisch (in vier
Dimensionen), falls n = 2 spricht man von einer logarithmischen Divergenz.
Man kann jetzt versuchen, den physikalischen Grund für das Auftreten der Divergenz
zu identifizieren. Wie diskutiert ist der mathematische Grund, dass sich das Integral in
(4.1) bis ∞ erstreckt. D.h. wir betrachten das Elektron und das Photon als punktförmige
Teilchen bei allen Energie-Skalen. Die Divergenzen werden mit Impulsmoden assoziiert,
deren Komponenten (vom Betrag her) beliebig große Einträge besitzen können. Es ist
dann natürlich fraglich, ob diese Vorgehensweise sinnvoll ist. Wir könnten argumentieren,
dass die Schleifenkorrekturen endlich sind, wenn man die Integration auf gewisse Bereiche im Impulsraum einschränkt. Dies stellt ein mögliches Regularisierungsverfahren dar,
das unglücklicherweise nicht mit Eichtheorien harmoniert. Ausserdem hängen dann die
Ergebnisse von dem Abschneide-Parameter ab. Der Königsweg“ der Regularisierung von
”
Eichtheorien verläuft daher etwas anders und wird im Folgenden kurz diskutiert.
Regularisierung. Da die Übergangsamplitude Mf i nicht divergieren darf, sollte es ein
Verfahren geben, einen regularisierten Polarisationstensor Πµν
R zu konstruieren, der die
Physik richtig beschreibt. Dazu ist es nötig, die Divergenz, die in den Ausdrücken auftreten,
zu isolieren.
Renormierung. Das Verfahren der Renormierung, das wir im Folgenden diskutieren,
erfordert einige Schritte, die zunächst möglicherweise nur schwer zu verdauen sind. Wir
werden aber zum guten Schluss eine Prozedur entwickelt haben, deren Ergebnisse sehr gut
mit den Experimenten übereinstimmen. Es wird sich erweisen, dass durch Umparametrisierung die Theorie endlich gemacht werden kann. Dies hat zur Folge, dass man die Werte
für die Parameter Masse m, Ladung e etc. nicht als diejenigen ansehen darf, die man in die
Lagrangedichte steckt. Vielmehr werden diese Parameter durch Normierungsbedingungen
mit den n-Punkt-Funktionen in Verbindung gebracht; erst dadurch werden die Parameter
der Lagrangedichte fixiert.
Wir berechnen nun Πµν (k) in d statt 4 Dimensionen. Da nun die Kopplungsstärke
Massendimension hat, ist der Vakuum-Polarisationstensor gegeben durch
µ
Z
γ (q + m) γ ν (q − k + m)
dd q
µν
2 4−d
,
(4.18)
tr
Π (k) = i e µ
(2π)d
(q 2 − m2 ) [(q − k)2 − m2 ]
wobei die i ε-Terme im Nenner bereits weggelassen wurden.
Durch Verwenden der Relationen (4.10) und (4.11) wird daraus mit der FeynmanParametrisierung
µν
Π (k)
=
2
ie µ
4−d
4
Z1
0
dx
Z
dd p
(2π)d
[p2
−
m2
2 pµ pν
+ k 2 x (1 − x)]2
η µν
2x (1 − x) [k µ k ν − η µν k 2 ]
− 2
−
p − m2 + k 2 x (1 − x)
[p2 − m2 + k 2 x (1 − x)]2
.
(4.19)
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
62
Die p-Integrationen lassen sich durch eine Wick-Rotation in Integrale über den euklidischen Raum umformen. Das r-Integral lässt sich weiter umformen,
I
Z∞
dr
=
rd−1
[r2 + ∆]n
0
1
2
=
Z∞
(r2 )d/2−1
.
d(r2 ) 2
[r + ∆]n
(4.20)
0
Nun verwenden wir die Substitution y = ∆/(r2 + ∆), so dass
∆
,
y
r2 + ∆ =
r2 =
∆
(1 − y)
y
und
d(r2 ) =
−∆
dy .
y2
Damit hat man
1
I =
2
1
∆
n−d/2 Z1
0
dy y n−1−d/2 (1 − y)d/2−1 .
(4.21)
Das Integral lässt sich damit auf die Euler’sche Beta-Funktion
B(α, β) =
Z1
0
dy y α−1 (1 − y)β−1 =
Γ(α) Γ(β)
Γ(α + β)
zurückführen. Insgesamt erhalten wir
n−d/2
Z
dd p
1
i (−1)n Γ(n − d/2) 1
.
=
(2π)d [p2 − ∆]n
Γ(n)
∆
(4π)d/2
Analoges Vorgehen liefert (vgl. Übungen)
n−d/2−1
Z
p2
i (−1)n d Γ(n − d/2 − 1) 1
dd p
.
=
(2π)d [p2 − ∆]n
Γ(n)
∆
(4π)d/2 2
(4.22)
(4.23)
(4.24)
. . . zurück zum Polarisationstensor.
sammenträgt, erhält man
Wenn man alle gesammelten Informationen zu-
Πµν (k) = (k 2 η µν − k µ k ν ) · Π(k 2 )
(4.25)
mit der skalarwertigen Funktion
e2 Γ(εd /2) εd
−Π(k ) =
µ
2π 2 (4π)−εd /2
2
Z1
0
dx
x (1 − x)
.
[m2 − k 2 x (1 − x)]εd /2
(4.26)
Hierbei ist
εd = 4 − d .
Wir sehen, dass der Ausdruck (nach wie vor) für d → 4 divergiert. Die Divergenz von Πµν
lässt sich also auf einen einfachen Pol in εd zurückführen. Was wir bisher erreicht haben,
war, die Divergenz in Pole in der Abweichung von 4 Dimensionen auszudrücken. Damit
haben wir den Ausdruck regularisiert.
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
63
Nun wollen wir den Polarisationstensor in divergente und endliche Terme aufspalten.
Mit den Entwicklungen
aεd = exp(εd ln a) = 1 + εd ln a + . . .
und
Γ(εd /2) =
2
− γ + O(εd )
εd
,
wo γ = 0, 57722 . . . die Eulersche Zahl ist, erhält man


Z1

2
2
2 
1
m − k x (1 − x)
γ
e
dx
x
(1
−
x)
ln
+
O(ε
)
−
+
3
Π(k 2 ) =
d

6π 2  εd
2
4π µ2
0

√
γ
5 1 −k 2

 1
|k 2 | ≫ m2 ,
e2  εd + ln 4π − 2 + 6 + 2 ln µ2 ,
=
√
γ
1 m2
k2
1
6π 2 

+ ln 4π − + ln 2 +
, |k 2 | ≪ m2 .

εd
2 2
µ
10m2
(4.27)
Für den vollen“ Photon-Propagator, der alle Aneinanderreihungen von Schleifen berück”
sichtigt,6
=
+
+
+ ... .
Damit ergibt sich
i Dµν (k) = i D0µν (k) + i D0µκ (k) i Πκλ i D0λν (k) + . . . ,
wobei
D0µν (k) = −
1
k2
η µν + (α − 1)
kµ kν
k2
(4.28)
der Photonpropagator (1.54) ist.
Betrachte z.B. α = 1. Dann ist
=
−i
η µν
i η µκ η λν
− 2
i k 2 η κλ − k κ k λ Π(k 2 ) (−i) 2 + . . .
+ iε k + iε
k
k2
6 Für einen wirklich vollen Propagator müsste man alle Diagramme mitnehmen, nicht nur die Aneinanderreihung von Schleifen.
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
=
−i
64
η µκ
η µκ
η µν
+i 2
∆νκ Π(k 2 ) − i 2
∆λ ∆ν [Π(k 2 )]2 + . . . ,
+ iε
k + iε
k + iε κ λ
k2
(4.29)
wobei
∆νκ = ηκν −
kκ k ν
.
k2
Der Projektor ∆νκ hat die offensichtliche Eigenschaft
∆λκ ∆νλ = ∆νκ .
Somit ergibt sich
= −i
=
−i
(k 2 + i ε) [1 − Π(k 2 )]
i η µκ
η µν
+ 2
2
k + iε k + iε
ηκν −
kκ k ν
k2
Π(k 2 ) + Π2 (k 2 ) + . . . )
kµ kν
i
kµ kν
µν
η −
−
.
k2
(k 2 + i ε) k 2
Für allgemeine Eichfixierungsparameter α erhält man
i
kµ kν
kµ kν
1
µν
i Dµν (k) = − 2
η
−
+
α
.
k + i ε 1 − Π(k 2 )
k2
k2
(4.30)
(4.31)
Interpretation: Betrachte den die Streuung von einem Elektron an einem sehr viel
schwereren, positiv geladenen Teilchen, etwa einem Proton.
p+k
Dµν (k)
k
e0
P −k
k
e0
P
p
Man kann sich überlegen, dass der k µ k ν /k 2 -Anteil für die Berechnung von S-MatrixElementen keine Rolle spielt (vgl. [3, S. 246 ff.]), d.h. der Photon-Propagator ist für unsere
Zwecke
i Dµν (k) = −
k2
i
1
η µν .
+ i ε 1 − Π(k 2 )
Der Nenner dieses Propagators divergiert. In diesen Streuprozess geht jedoch nicht der
Propagator des Photons für sich ein, sondern nur die Kombination
i e20 Dµν (k) = −
i
e20
η µν .
k 2 + i ε 1 − Π(k 2 )
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
65
Dabei ist e0 die Kopplungskonstante der elektromagnetischen Wechselwirkung, die nicht
direkt experimentell zugänglich ist, sondern ein Parameter, der in der Lagrangedichte
auftaucht. Man fordert, dass der physikalisch beobachtbare Ladung gegeben ist durch
e20
= e2 (k 2 ) ,
1 − Π(k 2 )
e2 =
d.h. man kann entweder mit e0 rechnen und alle Schleifen berücksichtigen oder die Schleifen weglassen und mit der effektiven Konstante“ e2 arbeiten. Die Meßgröße Kopp”
”
lungsstärke“ geht also nicht direkt in der Lagrangedichte in die Theorie ein, sondern durch
den Abgleich mit Amplituden.
Insbesondere ist wegen der k-Abhängigkeit des Nenners 1−Π(k 2 ) die Ladung e ebenfalls
k-abhängig; für k ≈ 0 fordern wir, dass sich der bekannte Wert
4π
137
e2 (0) =
ergibt. Für endliche k spaltet man den Polarisationstensor auf,7


Z1

2 
2
2
e
1
γ
m
−
k
x
(1
−
x)
0
Π(k 2 ) =
+
−
3
+
O(ε
)
dx
x
(1
−
x)
ln
d

6π 2  εd
2
4πµ2
0
=
mit
Π(0) + ∆Π(k 2 )


Z1

γ
m2
e20  1
−
−
3
ln
Π(0) =
dx
x
(1
−
x)

6π 2  εd
2
4πµ2
(4.32)
(4.33)
0
und
e20
∆Π(k ) =
2π 2
2
Z1
0
dx x (1 − x) ln
m2 − k 2 x (1 − x)
.
m2
(4.34)
Damit erhält man
e2 (k 2 )
=
≃
e20
=
1 − Π(k 2 )
e2
0
∆Π(k 2 )
(1 − Π(0)) 1 −
1 − Π(0)
2
2
∆Π(k )
e0
1+
.
1 − Π(0)
(1 − Π(0))
(4.35)
Im Folgenden werden die Implikationen dieses Ergebnisses für |k 2 | ≪ m2 und |k 2 | ≫ m2
diskutiert.
7 Die Aufspaltung ist natürlich willkürlich. Die Art, wie man solche Größen wie den Polarisationstensor
in divergente und nicht-divergente Anteile aufteilt, wird als Renormierungschema bezeichnet.
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
(ii)
66
|k2 | ≪ m2 : Quantenkorrekturen zum Coulomb-Potential
Als Beispiel soll Coulomb-Streuung von Elektronen an sehr viel schwereren, positiv geladenen Teilchen diskutiert werden,
p+q
Dµν (q)
P −q
q
q
e0
e0
.
P
p
Dabei soll der Impulsübertrag klein und raumartig sein, d.h.
q µ = (0, ~q)
und |~q| ≪ m
Man erhält durch Entwickeln von (4.34) für kleine |~q|2
e20 |~q|2
∆Π(q ) ≃
2π 2 m2
2
Z1
0
dx x2 (1 − x)2 =
e20 |~q|2
.
60π 2 m2
Damit lautet ist |~q|-Abhängigkeit der Kopplungsstärke:
e2 |~q|2
.
e2 (|~q|2 ) ≃ e2 1 +
60π 2 m2
D.h. die Kopplung ist Impuls-abhängig,
e2 → e2 (|~q|2 ) .
Das Coulomb-Potential erhält man durch Fourier-Transformation aus dem Photon-Propagator.
Unter Einbeziehung der Korrekturen ergibt sich8
Z
d3 q i q~·~x −Z e2
e2 |~q|2
V (~x) =
1+
e
(2π)3
|~q|2
60π 2 m2
4
2
4 Z (3)
e
Ze 1
−
δ (~x) .
(4.36)
= −
2
4π |~x| (4π) 15 m2
Man spricht vom Uehling-Potential .
Dadurch verschieben sich beispielsweise die Energieeigenwerte für S-Zustände im Wasserstoffatom9
Z
α2
(3)
∆E =
d3 x |Ψ(~x)|2 −4
δ
(~
x
)
15 m2
4α2
|Ψ(0)|2 < 0 .
(4.37)
= −
15 m2
Wesentlich ist, dass wir nach der Anpassung von e20 /(1 − Π(0)) an den experimentell
gemessenen Wert nicht-triviale Vorhersagen machen konnten.
R
beachte, dass sich ein Vorzeichen daher ergibt, dass δ (3) (~
x) = d3 q e−i q~·~x · 1 ist. Ich danke für
den Hinweis während der Vorlesung.
9 Diese Verschiebung macht einen Teil dessen aus, was üblicherweise als Lamb-Shift“ bezeichnet wird.
”
Die gesamte Lamb-Shift hebt die S-Niveaus an, überkompensiert also diese Verschiebung.
8 Man
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
(iii)
67
|k2 | ≫ m2 : Laufende Kopplungsstärke der QED
Betrachte – im Gegensatz zum Vorangegangenen – große Impulsübertrgäge −q 2 ≫ m2
und bezeichne Q2 = −q 2 > 0. Dann ist
2
5
Q2
e20
+
ln
4π
−
γ
+
−
ln
+
O(ε
)
.
Π(q 2 ) =
d
12π 2 εd
3
µ2
Man erhält nun
e2 (q 2 ) =
e20
=
1 − Π(q 2 )
1 − Π(−µ2 )
e20
1−
e20
1
Q2
ln 2
2
2
1 − Π(−µ ) 12π
µ
.
Mit
e2 (−µ2 ) =
e20
1 − Π(−µ2 )
ergibt sich für Q2 > µ2
e2 (−Q2 ) =
e2 (−µ2 )
.
e (−µ2 )
Q2
1−
ln 2
12π 2
µ
(4.38)
2
Diese Formel hat eine praktische Anwendung:
Man bestimme e2 (Q21 ) an einem beliebig wählbaren Impulsübertrag Q21 durch das Experiment,
etwa für kleine Q21 e2 (Q21 ) ≃ 4π/137, und setzt
den Parameter
µ2 = Q21 .
Diese Wahl von µ definiert den sog. Renormierungspunkt.
e2
4π
•
1 −
137
•
|
ln Q21
|
ln Q22
Für alle anderen Werte von Q2 kann man dann e2 (−Q2 ) bzw. α aus der Formel bestimmen,
e2 (−Q22 ) =
e2 (−Q21 )
.
e (−Q21 )
Q22
1−
ln
12π 2
Q21
2
(4.39)
Insbesondere ist dann die Q2 -Abhängigkeit durch die µ2 -Abhängigkeit bestimmt. In der
QFT 2 Vorlesung wird erklärt, warum das so ist.
Die Formel ist insofern selbstkonsistent, als dass man von einem Wert e2 (−Q21 ) ausgehend einen zweiten Wert e2 (−Q22 ) berechnen kann, den man wiederum dazu verwendet,
um e2 (−Q23 ) zu bestimmen. Das selbe Ergebnis erhält man, wenn man direkt e2 (−Q21 ) als
Grundlage zur Berechnung von e2 (−Q23 ) benutzt.
Des Weiteren hatten wir gesehen, dass (4.39) nur für |~q|2 ≫ m2 gilt. D.h., der Effekt tritt
nur in Energiebereichen auf, in denen die Elektronen und Positronen, die in der Schleife
4
ASPEKTE DES RENORMIERUNGS-PROGRAMMS
68
+ −
propagieren, praktisch masselos sind. Das wiederum impliziert, dass wir für Energien kleiner als (z.B.) die Myonmasse die entsprechenden Schleifen nicht mit einbeziehen müssen.
M.a.W. die Theorie ist vorhersagekräftig in Energiebereichen, in denen alle Teilchen mit
Massen kleiner oder gleich der betrachteten Energie einbezogen werden.
+
+ −
−
−
+
+
−
Anschauliche Interpretation.
Die ElektronPositron-Paare wirken als Dipole, welche die nackten Ladungen abschirmen. Für einen sehr klei−
nen Abstand der Wechselwirkungspartner, was
−
+
+
einem größeren übertragenem Impuls ~q entspricht,
+ −
–
werden die Abschirmungseffekte geringer und die
Kopplungs- Konstante“ größer. Dieser Effekt hat
+
+
”
−
−
stärkere Auswirkungen bei der Betrachtung größe2
rer Q . Wesentlich ist, dass die Kopplungsstärke
des Elektromagnetismus für große Energie-Skalen
größer wird. Allerdings sollte nicht unerwähnt
bleiben, dass das hier beschriebene Bild einige
Schwächen hat. Warum funktioniert diese Argumentation nicht mit skalaren (anstatt fermionischen) Elektronen?10 Historisch hat sich erwiesen, dass die bahnbrechenden neue Erkenntnisse der Skalen-Abhängigkeit von Kopplungsstärken durch Rechnung und nicht durch anschauliche Bilder gewonnen wurden. Im Folgenden wollen wir den Fall einer nicht-abelschen
Eichtheorie diskutieren, in der die qualitative Abhängigkeit der Kopplungsstärke von der
Skala unterschiedlich zu dem bisher Diskutierten ist.
−
+
+ −
+
−
+ −
−
+
+
−
+
−
+ −
10 Hierbei ist zu beachten, dass für Skalare sich ein relatives Vorzeichen ergibt, das aus dem Fehlen des
Faktors (−1) für die Fermion-Schleife folgt.
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
5
5.1
69
Quantenchromodynamik (QCD)
Historische Vorbemerkung
Die Quantenchromodynamik (QCD) gilt heute als die Theorie der starken Wechselwirkung.
Um zu dieser Erkenntnis zu gelangen, waren einige Schlüsselexperimente und eine relativ
intelligente Interpretation ihrer Ergebnisse von notwendig. In diesen Notizen wird zuerst
die QCD vorgestellt und es werden erst danach die Experimente und ihre Deutung im
Rahmen der Theorie diskutiert.
5.2
QCD als SU(3) Eichtheorie
(α)
Die Quantenchromodynamik (QCD) ist eine SU(3) Eichtheorie, in der es Fermionen Ψi (x)
gibt, die als 3 bzw. 3 transformieren, die sog. Quarks. Hierbei ist i = 1, 2, 3 der Farb-Index
(α)
und α = u, d, s, c, b, t der Flavor-Index. Jedes der Ψi ist ein Dirac-Vierer-Spinor.
Die Theorie weist eine SU(3) Symmetrie auf, d.h. für jedes Farb-Triplett



 (α)
(α)
Ψrot (x)
Ψ1 (x)




=  Ψ(α)
Ψ(α) (x) =  Ψ(α)
grün (x) 
2 (x) 
(α)
(α)
Ψ3 (x)
Ψblau (x)
ist die Wirkung invariant unter

 (α)

Ψ1 (x)
տ

 (α)
U (x)
 Ψ2 (x)  → 
(α)
ւ
Ψ (x)
3

  (α)
Ψ1 (x)

(α)
·
 Ψ2 (x) 
(α)
ց
Ψ3 (x)
ր
(5.1)
mit U (x) ∈ SU(3).
Gemäß unserer Diskussion der nichtabelschen Eichtheorien kommen damit 8 Eichfelder
ins Spiel,
Aaµ (x) ,
(a = 1, . . . 8)
die als Gluonen bezeichnet werden.
(i)
Lagrangedichte der QCD
Die Lagrangedichte der QCD lautet
1 a µν X (α)
LQCD = − Fµν
Ψ (i γ µ Dµ − m(α) ) Ψ(α) + LGF
Fa +
4
α
(5.2)
wo g3 die SU(3) Eichkopplung bezeichnet und man z.B. Ta = λa /2 setzen kann. Die
eichkovarianten Ableitung ist
Dµ = ∂µ − i g3 Aaµ Ta
(5.3)
und die Eichfixierungs-Lagrangedichte
LGF = −
1 µ a
a
Aµa (∂µ cb ) cd
(∂ Aµ ) (∂µ Aµa ) + (∂µ ca ) (∂ µ ca ) + g3 fbd
2ξ
mit den Geistfeldern c und c.
(5.4)
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
(ii)
70
Feynmanregeln der QCD
Die Feynmanregeln können einfach aus 3.5 übernommen werden.
µ, a
:
i g 3 γ µ Ta
:
(5.5a)
ν, b
p
q
λ, c
g3 f abc {η µν (k − q)λ +
η νλ (q − p)µ + η λµ (p − k)ν }
k
µ, a
(5.5b)
ρ, d
λ, c
:
µ, a

 −i g32 {f abe fecd {η µλ η ρν − η µρ η νλ )
+ f ace febd (η µν η λρ − η µρ η νλ )

+ f ade febc (η µν η λρ − η µλ η νρ )}
ν, b
(5.5c)
c
k
µ, a :
b
p
j
i
:
q
µ, a :
ν, b
p
b
a
:
−g3 fabc k µ
(5.5d)
γ µ pµ + m
(5.5e)
p 2 − m2 + i ε
i δ ab
qµ qν
ab
µν
i Dµν (q) = 2
−η + (1 − ξ) 2
q + iε
q
(5.5f)
ab
iδ
(5.5g)
p2 + i ε
i SF (p) δij = i
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
5.3
(i)
71
Effektive Kopplungsstärke der QCD und asymptotische Freiheit
Laufende Kopplungsstärke der QCD
Es geht darum, das Renormierungsprogramm für eine nichtabelsche Theorie – konkret die
QCD – zu diskutieren. Es tragen die folgenden Diagramme bei:
k
a
p
iℓ
−i Σ (p)
p
ℓ,
= i
(5.6a)
p+k
(0)
i (Πab
µν )
=
,
(5.6b)
k
p
(1)
i (Πab
µν )
j
p
= µ, a
ν, b ,
(5.6c)
ν, b ,
(5.6d)
ν, a ,
(5.6e)
i
p+k
k
p
(2)
i (Πab
µν )
p
= µ, a
p+k
k
p
(3)
i (Πab
µν )
c
= µ, a
d
p+k
p
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
Λaµ
72
+
=
.
(5.6f)
Wir werden die Berechnung der Diagramme hier nicht durchführen; es sei auf die Vorlesung QFT 2 verwiesen.
Insgesamt führen die in (5.6) aufgeführten Quantenkorrekturen, analog zu dem Fall der
QED, zu einem Laufen der effektiven Kopplungsstärke
g32 (µ) =
g32 (µ0 )
1 − 2 b g32 (µ0 ) ln µµ0
mit
b =
1
16π 2
2
−11 + nF
3
(5.7)
.
Hierbei bezeichnet nF die Zahl Fermionen in 3 bzw. 3 Darstellungen, die in den Loops
propagieren; mehr dazu weiter unten. Dabei ist noch nicht völlig klar, wie die Skala µ zu
interpretieren ist.
Schwelleneffekte. Wie wir in (4.34) explizit gesehen hatten, treten im dimensionalen
Regularisierungsverfahren Integrale vom Typ
Z1
0
dx x(1 − x) ln
m2 − q 2 x (1 − x)
4π µ2
auf. Hier gibt es zwei Grenzfälle:
• Für −q 2 ≪ m2 hängt das Ergebnis kaum von −q 2 ab.
• Für −q 2 ≫ m2 kann man m2 vernachlässigen.
Damit kann man (mit Q2 := −q 2 ) für
• Q2 ≪ m2 den Impulsübertrag Q2 vernachlässigen und für
• Q2 ≫ m2 die Quarkmasse vernachlässigen.
Dies führt dazu, dass die Kopplungsstärke mit Q2 nur im ersten Fall läuft. Da verschiedene
Quarks mit verschiedenen Massen im Spiel sind, gibt es Schwellen, ab denen sich jeweils
nF erhöht. Man hat also
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
α3 (Q2 ) =
73
α3 (µ0 )
nF (Q2 )
)
3
Q2
α3 (µ0 ) ln 2
µ0
(11 − 2
1+
4π
,
(5.8)
wobei nF von der betrachteten Skala Q abhängt und
g22 (Q2 )
4π
die Feinstruktur konstante“ der QCD ist.
”
Für beliebige Impulsüberträge Q erhält man α(Q), indem man die einzelnen aus der
Schwellennäherung gewonnenen Ergebnisse zusammensetzt, d.h.
0,
Q2 < (m(α) )2 ,
Beitrag von Fermion α zu nF =
1,
Q2 > (m(α) )2 .
α3 (Q2 ) =
Das ist in Abbildung 3 illustriert.
nF = 3
nF = 4
nF = 5
•
α3
•
•
|
ms
|
mb
|
mc
•
|
mt ln Q2
Abbildung 3: Schwellen-Näherung.
(ii)
Asymptotische Freiheit
Man sieht, dass im realistischen Fall nF = 6 die Kopplungsstärke mit wachsendem Q sinkt.
Für sehr große Impulsüberträge Q2 erwartet man, dass durch die starke Wechselwirkung
gebundene Teilchen sich fast so verhalten wie freie Teilchen. Für diese und weitergehende
Beobachtungen erhielten 2004 Gross, Wilczek und Politzer den Physik-Nobelpreis.
(iii)
Dimensionale Transmutation
Experimentell erweist sich, dass
α3 Q2 = MZ2 = (91.2 GeV)2
= 0.1187(20) .
Damit kann man Gleichung (5.8) umschreiben,
α3 (Q2 ) =
0.1187
.
(11 − 2 nF /3)
Q2
1+
· 0.1187 · ln 2
4π
MZ
(5.9)
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
74
Damit sieht man, dass α3 divergiert, falls
1 =
M2
(11 − 2 nF /3)
· 0.1187 · ln 2Z .
4π
Λ
Dies passiert an der renormierungsgruppen-invarianten Skala
4π
MZ ,
Λ = exp −
2 (11 − 2nF /3) α3 (MZ )
(5.10)
die sich numerisch ergibt zu
Λ = ΛQCD = 200 − 250 MeV .
Das Wesentliche an dieser Skala ist, dass sie sich, wenn auch numerisch etwas anders,
ebenfalls ergeben würde für m(α) = 0 oder eine (reine Yang-Mills) Theorie ohne Quarks,
d.h. eine Theorie, die auf dem klassischen Niveau keine Massenskalen besitzt. Die Eigenschaft von Quantenfeldtheorien, Skalen ‘aus dem Nichts’ zu generieren ist als dimensionale
Transmutation bekannt.
Für die Beschreibung der Natur ist wesentlich, dass ΛQCD die Skala für die Nukleonmasse setzt; die u- und d-Quark-Massen liefern nur unterdrückte Korrekturen. M.a.W., im
Großen und Ganzen kommt die Masse der Materie in unserer Umgebung aus dimensionaler
Transmutation.
5.4
QCD Phänomenologie
Wir beginnen nun mit der Diskussion einiger Tests der QCD.
(i)
Das R-Verhältnis
In diesem Abschnitt geht darum, die Quarks als Spin- 12 -Fermionen zu identifizieren. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, Fermion-Antifermion-Paarproduktion bei der
Kollision von Elektronen mit Positronen,
e− + e− → f + f ,
zu diskutieren. Exemplarisch betrachte
e+
µ−
: e− + e+ → µ − + µ + .
e−
µ+
Wie wir diskutiert haben, erhält man für s ≫ m2µ den differentiellen Wirkungsquerschnitt
(2.59),
α2
dσ
=
(1 + cos2 ϑ) .
dΩ
4s
(5.11)
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
75
Durch ϑ-Integration ergibt sich daraus der totale Wirkungsquerschnitt
4πα2
.
(5.12)
3s
Nun soll untersucht werden, was sich am Wirkungsquerschnitt ändert, falls man Reaktionen des Typs
q
e+
σ(e− + e+ → µ− + µ+ ) =
q̄
e−
betrachtet, wo q für ein Quark steht. Um das Ergebnis für die Myonen zu übertragen, muß
man zwei Modifikationen vornehmen:
(1) Ersetze die Ladung e des Myons durch die Ladung Qq |e| des Quarks.
(2) Multipliziere σ mit dem Farbfaktor 3.
Man erwartet also, dass das R-Verhältnis
R =
σ(e− + e+ → q + q)
σ(e− + e+ → µ− + µ+ )
(5.13)
einen konstanten Wert annimmt,
R = 3 · Q2q .
In dem Energiebereich, in dem nur die drei Quarkflavors u, d und s erzeugt werden können,
erwartet man, dass
2 2 2 !
1
1
2
2
2
2
+
+
= 2.
R = 3 · Qu + Qd + Qs = 3
3
3
3
Wenn das c-Quark dazukommt, erwartet
man einen Sprung von R um
R
∆R = 4/3 ,
und einen weiteren Sprung:
∆R = 1/3 ,
wenn das b-Quark dazukommt. M.a.W.,
aus der Lage und der Höhe der Sprunge des totalen Wirkungsquerschnitts kann
man auf die Massen und die elektrische
Ladung der Quarks schliessen.
2 −
|
2m2c
|
2m2b
ln s
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
(ii)
76
QCD-Korrekturen (. . . am Beispiel der b b-Produktion)
Wir betrachten nun QCD-Korrekturen zu dem oben diskutierten Prozess. In führender
und zweiter Ordnung gibt es zwei Diagramme, bei denen ein bb-Paar erzeugt wird,
e+
e+
b
b
und
(5.14)
e−
e−
b̄
und zwei, bei denen ein hartes Gluon“ abgestrahlt wird,
”
e+
e+
b
b̄
b
g und
g.
e−
e−
b̄
Diese Diagramme werden in den Übungen diskutiert.
(iii)
(5.15)
b̄
Quark-Antiquark-Potential
Nun sollen Quark-Antiquark-Bindungszustände untersucht werden. Das Coulomb-Potential
ist durch das sog. Quark-Antiquark-Potential zu ersetzen. Der wesentliche Unterschied ist,
dass die Feinstruktur konstante“ im betrachteten Energiebereich, definiert durch den Im”
pulsübertrag Q, variiert:
Fall Q ≫ ΛQCD : Hier ergab sich, dass
α3 logarithmisch, d.h. kaum, von Q abhängt,
wobei die Korrekturen von α3 abhängen,
das in diesem Bereich perturbativ ist. Das
Potential im Ortsraum sollte sich im wesentlichen durch die Fouriertransformierte
des Gluon-Propagators berchnen, d.h.
V (r) ∼ 1/r
für kleine r .
Fall Q ց ΛQCD : Die Störungstheorie versagt. Man kann lediglich aussagen, dass
α3 beliebig groß wird. Man kann sich etwa
mit einem linearen Potential im Ortsraum
behelfen,
V (r) ∼ r
für große r .
V
r
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
(iv)
77
Hadronisierung und Jets
Hadronisierung. Die auseinanderlaufenden Quarks gehen nicht beliebig auseinander,
sondern das Laufen der Kopplungsstärke sorgt dafür, dass die Wechselwirkung mit größerem Abstand größer wird. Bei Abständen > 10−15 m setzt der Prozess der Hadronisierung
ein, der in Abbildung 4 illustriert ist. Die entstehendenden farb-neutralen Zustände wer-
Abbildung 4: Cartoon für Hadronisierung.
den dann als Hadronen bezeichnet. Solche Zustände können vergleichsweise langlebig sein
im Vergleich zu den Zeitskalen der zuvor diskutierten primären Reaktionen.
Hadronen
Hadronen
(a) 2-JetEreignis.
(b) 3-Jet-Ereignis.
Abbildung 5: Jets.
2-Jet-Ereignis. Wenn ein Quark-Antiquark-Paar, das beispielsweise in der Reaktion
(5.14) auseinanderläuft, so liefert das nach der Hadronisierung zwei auseinanderlaufende
Hadronjets (Abbildung 5(a)).
3-Jet-Ereignis. Wie wir gesehen haben, können auch Prozesse höherer Ordnung auftreten, z.B. (5.15). In Analogie zur elektromagnetischen Bremsstrahlung kann ein ( hartes“)
”
Gluon ausgesandt werden, welches als dritter Hadronenjet manifestiert. Das Wesentliche
an dieser Beobachtung ist, dass die Hadronen sich nicht irgendwie über den Raum verteilen, sondern in zwei oder drei Bündeln auftreten. Dies wird als experimentelle Stütze
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
78
dafür gedeutet, dass bei der e+ e− -Annihilation tatsächlich Quark-Antiquark-Paare und
ein Gluon entstehen, und dass die Teilstrahlen für sich hadronisieren“ (Abbildung 5(a)).
”
Numerischer Wert der Kopplungsstärke aus Jet-Experimenten. Da auch Prozesse in nichtführenden Ordnung in der starken Kopplungsstärke für die Jets verantwortlich
sind, erwartet man bei der Quark-Antiquark-Produktion eine erhöhte Übergangsrate gegenüber der µ− µ+ -Erzeugung bzw. einen erhöhten Wirkungsquerschnitt. Man erhält in
führender Ordnung Störungstheorie
nF
X
α3 (s)
σ(e− + e+ → Hadronen)
2
2
= 3
+ O(α3 ) ,
Qq 1 +
σ(e− + e+ → µ− µ+ )
π
q=1
wo s die Schwerpunktsenergie und der Vorfaktor in der Korrektur ∼ α3 durch Rechnung
(siehe Übungen) bestimmt ist. Auf diese Weise kann man α3 messen.
5.5
(i)
QCD-Bindungszustände leichter Quarks
Ausreduzieren von Produkten von SU(3)c -Darstellungen
Mit der Methode der Young-Tableaux11 kann man die Tensorprodukte der SU(3)c mit sich
selbst ausreduzieren. Der Index c“ in SU(3)c steht für color“.
”
”
(1) Ein 3-plett und ein 3-plett können zu einem Singlett und einem Oktett kombiniert
werden,
⊗
⊕
=
3 ⊗
3
=
1
,
⊕
8.
(2) Zwei 3-plett können zu einem 6-plett und zu einem 3-plett kombiniert werden,
⊗
⊕
=
3 ⊗
3
=
⊕
6
,
3.
(3) Drei 3-pletts können zu einem 10-plett, zwei 8-pletts und einem Singlett kombiniert
werden,
⊗
=
11 Siehe
⊗
=
⊕
Anhang E auf S. 172 ff.
⊕
⊕
⊕
⊗
= 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1 .
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
79
Wir hatten gesehen, dass die SU(3)c Eichwechselwirkung für große Abstände sehr stark
wird. Das führt auf den Begriff des Confinements, ber impliziert, dass lediglich Farbsingletts physikalischen Zuständen entsprechen. Die einzelnen solchen farbneutralen Zustände
sind:
(1) 3c ⊗ 3c = 8c ⊕ 1c : Das Singlett wird aus den Mesonen gebildet.
(2) 3c ⊗ 3c = 6c + 3c : Keine farbneutralen Zustände.
(3) 3c ⊗ 3c ⊗ 3c = 10c ⊕ 8c ⊕ 8c ⊕ 1c : Das Singlett wird aus den Baryonen gebildet.
(4) Ein weiteres Singlett erhält man in
(3c ⊗ 3c ) ⊗ (3c ⊗ 3c ) = (3c + 6c ) ⊗ (3c ⊕ 6c ) = 8c ⊕ 1c ⊕ . . .
Ob dies physikalischen Zuständen entspricht, ist ungeklärt. Auf jeden Fall wären
diese Zustände extrem kurzlebig.
(ii)
Die SU(3)F
Der Quark-Inhalt des Standardmodelles ist, wie wir später in mehr Detail sehen werden,
gegeben durch
u
d
c
s
t
b
Q = + 2/3
Q = −1/3
Es gibt zwei experimentelle Fakten:
• Die Quarks u, d, s haben eine Masse m ≪ GeV, wohingegen bei c, b, t m & 1 GeV
ist.
• Für viele Belange kann die elektromagnetische Wechsewirkung gegenüber der starken
vernachlässigt werden.
Dies führt auf:
Modell:
Die Massen der Quarks u, d, s sind gleich:
mu = md = ms .
Die SU(3)F . Wenn die Quarks u, d und s gleiche Massen haben, bilden sie im Rahmen
der starken Wechselwirkung ein Triplett unter einer Flavor-Symmetrie SU(3)F ,


Ψu
Ψ =  Ψd  = 3F .
Ψs
Die SU(3)F soll nicht mit der SU(3)c durcheinander gebracht werden.
Wir überlegen uns nun, welche Darstellungen unter SU(3)F gebundene Zustände von
mehreren Quarks, d.h. SU(3)F Tripletts 3F , einnehmen können. Wie wir uns zuvor überlegt
haben, zerfallen die SU(3)c -neutralen Objekte in Mesonen und Baryonen.
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
Die Mesonen-Multipletts.
zieren,
80
Die leichten Mesonen-Zustände entstehen durch Ausredu-
(3c , 3F ) ⊗ (3c , 3F ) = (3c ⊗ 3c , 3F ⊗ 3F ) = (1c , 8F ⊕ 1F ) + unphysikalisches .
Hierbei bedeutet ‘unphysikalisches’, dass es sich nicht um Farb-neutrale Zustände handelt,
somit nicht um freie Teilchen.
Strangeness und vorläufiger Isospin. Nun führen wir noch zwei (historisch entstandene) Quantenzahlen ein, um Bindungszustände leichter Quarks zu klassifizieren, die sog.
‘Strangeness’ S und den vorläufigen Isospin I3 . Den leichten Quarks weisen wir die folgenden Quantenzahlen zu:
u
d
s
S
I3
0
1/2
.
0 −1/2
−1
0
Nun gibt es zwei Arten von Mesonen, entsprechend der Tatsache, dass die Spins der
Quarks zu Skalar bzw. Vektor koppeln können, die pseudoskalaren Mesonen und VektorMesonen.
Pseudoskalare Mesonen. Die pseudoskalaren Mesonen sind in Abbildung 6(a) aufgeführt. Der Quarkinhalt der mittleren drei Mesonen ist
1 ↓
|π 0 i = √ |u↑ u↓ i − |d↑ d i ,
2
1 ↑ ↓
↓
|ηi = √ |u u i + |d↑ d i − 2 |s↑ s↓ i ,
6
1 ↑ ↓
↓
′
|η i = √ |u u i + |d↑ d i + |s↑ s↓ i .
3
Hier ist η ′ das Singlett 1F in der Zerlegung
3F ⊗ 3F = 8F ⊕ 1F
und wurde nur der Vollständigkeit halber in das Multiplett eingetragen.
Man erhält die Zustände des Oktetts, indem man die Kombinationen


u
¯ s̄ Λ  d 
ū, d,
s
betrachtet, wobei
1
1
3
8 1
1
2
4
5
6
7
Λ ∈
λ ,λ , √ λ ± iλ , √ λ ± iλ , √ λ ± iλ
2
2
2
bzw.
Λ =
1
mit den Gell-Mann-Matrizen aus (3.22) ist. Dies sind die Auf- und Absteigeoperatoren der
SU(3), d.h. die Verallgemeinderung der σ± = √12 (σ1 ± i σ2 ) in SU(2), und drückt natürlich
nichts anderes aus, als dass das Oktett die adjungierte Darstellung der SU(3) ist.
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
81
S
K ∼ s̄ d •
1
η
• π − ∼ ū d
K − ∼ ū s
• •
•
π0
K ∗0 •
K + ∼ s̄ u
•
0
η′
π + ∼ d¯u
•
I3
1/2
•
•
K̄ 0 ∼ d¯s
(a) Pseudoskalare Mesonen.
S
1
ω
−
ρ •
K ∗−
• •
•
ρ0
K ∗+
•
φ
•
1/2
ρ+
•
I3
•
K̄ ∗0
(b) Vektor-Mesonen.
Abbildung 6: SU(3)F Gewichtsdiagramme der Mesonen.
Vektormesonen. Das SU(3)F Gewichtsdiagramme der Vektormesonen findet sich in
Abbildung 6(b). Das ω-Meson entspricht dem Singlett, das wiederum nur aus Vollständigkeitsgründen auftaucht. Die Mesonen mit Strangeness 6= 0 nennt man konventionell KMesonen.
Baryonen. Die Baryonen sind gebundene Zustände aus drei fundamentalen Darstellungen, d.h. 3-pletts unter SU(3)c und SU(3)F und 2-pletts unter der SU(2), die den
räumlichen Drehungen zugeordnet ist.12 Ausreduktion liefert







⊕ 2·
⊕


für SU(3) ,






10
⊕
2·8
⊕ 1
(5.16)
⊗
⊗
=







⊕ 2·


für SU(2) .
4
⊕ 2·2
Man unterscheidet dementsprechend zwischen 1/2+ -Baryonen (vgl. Abbildung 7(a)), d.h.
der
Darstellung der SU(2), bei denen anschaulich zwei Spins parallel sind und der dritte
anti-parallel, und 3/2+ -Baryonen (vgl. Abbildung 7(b)), d.h. der vollkommen symmetrischen
Darstellung der SU(2), bei denen alle drei Spins parallel sind. Hierbei gibt
es einen wesentlichen Aspekt: Beispielsweise das N ∗++ Baryon (vgl. Abbildung 7(b)) setzt
sich aus 3 u-Quarks mit parallelen Spins zusammen. Andererseits ist es ein Farb-Singlett,
d.h. eine komplett antisymmetrische Kombination der Farbindizes,
N ∗++ ∼ εijk ui↑ uj↑ uk↑ .
Für gewöhnliche Tensoren ψ i würde die Kombination εijk ψ i ψ j ψ k verschwinden; u-Quarks
sind jedoch Fermionen, so dass sich beim Vertauschen ein zusätzliches Vorzeichen ergibt
und die obige Kombination nicht verschwindet. Diese und analoge Überlegungen ergeben,
dass die Spin-1/2 Baryonen bzw. die Spin-3/2 Baryonen lediglich als 8-plett bzw. 10-plett
unter SU(3)F transformieren.
12 Sie
transformieren als (0, 12 ) ⊕ ( 12 , 0) unter der Lorentz-Gruppe.
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
82
S
N ∗−
•
0
N •
S
n ∼ u u d•
p ∼ uud
•
0
• Σ∗−
Λ0
• Σ− ∼ s d d
• •
•
(a)
•
Σ∗0
Σ0 ∼ s u d
1/2
Σ∗+
•
I3
I3
•
1/2 Σ+ ∼ s u u
Ξ∗−
Ξ− ∼ s s d
0
N ∗++
•
N ∗+
•
•
•
Ξ∗0
•
Ξ0 ∼ s s u
1/2+ -Baryonen.
(b)
•
Ω
3/2+ -Baryonen.
Bemerkungen:
(1) Die SU(3)F ist explizit durch die Massen ms , md und mu sowie durch die elektrische
Ladung gebrochen.
(2) Die Pionen haben vergleichsweise kleine Massen. Man kann dies dadurch verstehen,
dass man sie als approximative Goldstone-Bosonen einer SU(2)V × SU(2)A Symmetrie auffasst [10]. Wir werden den Begriff des Goldstone-Bosons in Abschnitt 6
diskutieren.
5.6
Abschliessende Bemerkung
Wir haben gesehen, dass die perturbative QCD bei hohen Energien eine gute Beschreibung
der Theorie liefert. In der Nähe bzw. unterhalb der Skala ΛQCD bricht die Störungstheorie zusammen. Die Wechselwirkung wird stark, und es macht wenig Sinn die Theorie auf
nicht-trivialen Darstellungen der SU(3)C aufzubauen. Stattdessen kann man farb-neutrale,
zusammengesetzte Objekte, die Baryonen und Mesonen, als Freiheitsgrade einer effektiven
Theorie verwenden. Im Prinzip sind die Wechselwirkungen der effektiven Theorie durch
LQCD bestimmt. Die tatsächliche Berechung der Kopplungen der effektiven Lagrangedichte Leff ist aber sowohl technisch als auch konzeptionell nicht-trivial (siehe Abb. 7).
5
QUANTENCHROMODYNAMIK (QCD)
83
perturbative QCD
effektive Theorie
L = Leff (p, n, π ± , π 0 . . . )
L = LQCD (Quarks, Gluonen)
?
Q
Abbildung 7: QCD und effektive Theorie.
6
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
6
84
Spontane Symmetriebrechung
In diesem Abschnitt behandeln wir die Theorien weitgehende auf dem klassischen Niveau.
6.1
Spontan gebrochene diskrete Symmetrie
Betrachte die φ4 -Theorie eines reellen Skalarfeldes mit der Lagrangedichte
L =
1
1
λ
(∂µ φ) (∂ µ φ) − m2 φ2 − φ4 .
2
2
4!
(6.1)
Ersetzt man den Parameter m2 durch −µ2 , so entsteht
L
=
=
1
λ
1
(∂µ φ) (∂ µ φ) + µ2 φ2 − φ4
2
2
4!
T −V
(6.2)
mit der kinetischen Energie T und dem Potential
1
λ
V (φ) = − µ2 φ2 + φ4 .
2
4!
(6.3)
Das Potential und somit auch die Lagrangedichte besitzen eine diskrete (Z2 ) Symmetrie
V
φ → −φ.
Das Potential V hat zwei Minima bei
r
6
±
φ0 = ± v = ±
µ.
λ
−v
v
φ
Man nennt v (bzw. −v) den Vakuumerwartungswert von φ.
Nun kann man V um eines der beiden
Minima, etwa φ = v, entwickeln,
φ(x) = v + σ(x) .
(6.4)
Setzt man (6.4) in (6.2) ein, ergibt sich für die Lagrangedichte bis auf eine Konstante
r
1
λ
λ
1
µ
2
2
µ σ3 − σ4 .
(6.5)
L = (∂µ σ)(∂ σ) − (2µ ) σ −
2
2
6
4!
Das Hinzunehmen der Konstante hat keine Konsequenzen für die Dynamik, d.h. die EulerLagrange-Bewegungsgleichungen.
√
Die Lagrangedichte (6.5) beschreibt ein massives Skalarfeld mit Masse 2µ und σ 3 bzw. σ 4 -Wechselwirkung. Sie ist offensichtlich nicht (mehr) invariant unter der Symmetrie
σ → −σ. Man sagt, die diskrete Symmetrie sei spontan gebrochen, d.h. während die Theorie
die Symmetrie aufweist, respektiert der Grundzustand diese nicht.
6
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
6.2
85
Das lineare Sigma-Modell
Anstatt des reellen Skalarfeldes betrachte nun das relle N -plett
 1 
φ
 .. 
φ =  .  .
φN
Die zugehörige Lagrangedichte sei13
N
L =
1X
λ
1
(∂µ φi )(∂ µ φi ) + µ2 φ2 − (φ2 )2
2 i=1
2
4
(6.6)
mit dem Skalarprodukt
φ2 =
N
X
(φi )2 .
(6.7)
i=1
Diese ist invariant unter SO(N )-Transformationen
φ → R·φ,
φi → R i j φj ,
(6.8)
wo R eine orthogonale N × N -Matrix ist.
Das Potential
λ
1
V (φ) = − µ2 φ2 + (φ2 )2
2
4
ist minimal für Felder φ0 mit
µ2
.
λ
Für N = 2 hat es das rechtsstehende, som”
brerohafte“ Aussehen.
Ein mögliches Minimum ist


0
 .. 
µ


mit v = √ .
φ0 =  . 
 0 
λ
v
φ20 =
V
Φ1
Stellt man ein beliebiges φ dar in der Form


π 1 (x)


..


.
φ(x) = 
 ,
 π N −1 (x) 
v + σ(x)
Φ2
(6.9)
(6.10)
N −1
so erhält man durch Einsetzen die Lagrangedichte in Abhängigkeit von den Feldern {π k }k=1
und σ,
L
=
N −1
1
1
1 X
(∂µ π k ) (∂ µ π k ) + (∂µ σ) (∂ µ σ) − (2 µ2 ) σ 2
2
2
2
k=1
13 Beachte:
Anstatt 4! steht hier im Bruch unter λ nur 4, um in den weiteren Ergebnissen keinen Faktor
6 mitschleppen zu müssen.
6
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
−
√
λ µ σ3 −
√
λ µ π2 σ −
λ 4 λ 2 2 λ 2 2
σ − π σ − (π ) ,
4
2
4
86
(6.11)
wobei in Analogie zu (6.7)
π2 =
N
−1
X
(π k )2
(6.12)
k=1
und eine Konstante
weggelassen wurde. Diese Lagrangedichte beschreibt ein massives Feld
√
N −1
. Die SO(N )-Symmetrie ist verσ der Masse 2µ und N − 1 masselose Felder {π k }k=1
borgen; offensichtlich ist nur eine SO(N − 1)-Symmetrie der Felder π k , die sich dadurch
manifestiert, dass L nur von π 2 abhängt.
Das Verhalten des Grundzustands, nicht die volle Symmetrie der Lagrangedichte zu
besitzen, bezeichnet man als spontane Symmetriebrechung. Im obigen Beispiel sagt man,
die Symmetrie sei spontan von SO(N ) auf SO(N − 1) gebrochen.
6.3
Das Goldstone-Theorem
Betrachte eine Theorie mit N Feldern {φi }N
i=1 und eine Lagrangedichte der Form
L = (Ableitungsterme) − V (φ) .
Es sei φ0 ein konstantes Feld, welches V minimiert, d.h.
∂ = 0,
V
∂φi φ=φ0
∂2
V
=: m2ij ist positiv semi-definit .
i
i
∂φ ∂φ (6.13)
(6.14a)
(6.14b)
φ=φ0
Entwicklung von V um das Minimum φ0 führt auf
1X 2
m (φ − φ0 )i (φ − φ0 )j + . . . .
V (φ) = V (φ0 ) +
2 i,j ij
(6.15)
Betrachte nun eine allgemeine, einparametrige Symmetrietransformation
φ → ℓ(α, φ) ,
ℓ(0, φ) = φ
(6.16)
mit der Entwicklung
ℓ(α, φ) = φ + α ∆φ + O(α2 ) .
(6.17)
Hierbei sind die Komponenten von ∆φ gegeben durch
X
∆φi = ∂ξ ℓi (ξ, φ)|ξ=0 = i
Ti j φj (1 ≤ i ≤ N )
j
mit dem Generator der Symmetrietransformation T = (Ti j ).
Dabei soll Symmetrietransformation heißen, dass L invariant unter (6.16) ist. Spezialisiert man sich auf konstante Felder, so verschwinden die Ableitungsterme, und V muß
invariant unter (6.16) sein, d.h.
V (φ + α ∆φ) = V (φ)
für infinitesimale α .
6
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
87
Die Bedingung der Invarianz kann also geschrieben werden als
X ∂
V (φ) ∆φi = 0 .
i
∂φ
i
Durch Differenzieren nach φk und Einsetzen von φ = φ0 ergibt sich
2
X
X ∂V ∂ V
i
i
Tk+
∆φ |φ
0 =
.
∂φi φ0
∂φi ∂φk φ0
| {z }0
i
i
{z
}
=Ti j (φ0 )j |
(6.18)
(6.19)
=m2ik
Der erste Term verschwindet, da φ0 ein Minimum von V ist. Also muß auch der zweite
Term verschwinden. Nun gibt es zwei Fälle:
(1) Die Symmetrietransformation läßt φ0 invariant, d.h. φ0 ist im Kern von Ti j . Das
bedeutet insbesondere, dass der Grundzustand die entsprechend Symmetrie respektiert, denn exp(α T) φ0 = φ0 für beliebige α.
(2) Ist aber ∆φ|φ0 6= 0, d.h. der Grundzustand φ0 besitzt nicht die Symmetrie der
Lagrangedichte, so ist ∆φi ein nichtverschwindender Eigenvektor der Massenmatrix
m2ik = m2ki zum Eigenwert 0.
Goldstone-Theorem: Für jede spontan gebrochene kontinuierliche Symmetrie erhält
man ein Feld, welches ein masseloses Teilchen beschreibt. Dieses Teilchen nennt man
Goldstone-Boson.
Beispiel: Betrachten wir das lineare Sigma-Modell aus Abschnitt 6.2. Die SO(N ) besitzt
N (N − 1)/2 Generatoren und die SO(N − 1) somit (N − 1) (N − 2)/2 davon, was einer
Zahl von N − 1 gebrochenen Generatoren“ entpricht. Die Goldstone-Bosonen sind die
”
Felder π k , bei denen wir explizit gesehen hatten, dass sie masselos sind.
Bemerkung: Wir führen die Diskussion bisher auf dem klassischen Niveau. Es stellt
sich heraus, dass die Ergebnisse in drei oder mehr Dimensionen auch im Rahmen der
Quantenfeldtheorie qualitativ Bestand haben. In zwei Dimensionen gibt es das Phänomem
der spontanen Symmetriebrechung jedoch nicht. (Dies ist die Aussage des sog. MerminWagner-Theorems; siehe z.B. [21].)
6.4
Spontan gebrochene Eichsymmetrie (Higgs-Mechanismus)
Es geht darum, zu studieren, was passiert, wenn eine Eichsymmetrie, d.h. eine lokale
Symmetrie, gebrochen wird.
(i)
Higgs-Mechanismus für die abelsche Eichtheorie
Der einfachste Fall ergibt sich bei der Betrachtung einer abelschen Eichgruppe, also bei
der Invarianz der Lagrangedichte unter lokalen U(1)-Transformationen
φ(x) → ei Λ(x) φ(x) .
(6.20)
6
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
88
Als Lagrangedichte wählt man
1
L = (Dµ φ)(Dµ φ)∗ + µ2 φ∗ φ − λ (φ∗ φ)2 − Fµν F µν
4
(6.21)
mit
Dµ = ∂µ + i e Aµ ,
wobei gegenüber der Lagrangedichte der (skalaren) QED das Vorzeichen von m2 geändert
und der Term −λ(φ∗ φ)2 hinzugefügt wurde.
Das Potential
V = − µ2 φ∗ φ + λ (φ∗ φ)2
wird minimiert durch Felder, die
r
v
µ2
=: √
|φ| =
2λ
2
(6.22)
erfüllen. φ ist darin wieder nicht
√ eindeutig bestimmt; wir wählen das Feld der Vakuumkonfiguration reell, d.h. φ = v/ 2.
Nun ist es üblich, das komplexe Feld φ durch die rellen Felder σ und ξ auszudrücken,
φ(x)
v + σ(x)
√
2
=
ei ξ(x)/v
=
1
√ (v + σ(x) + i ξ(x) + . . . ) .
2
(6.23)
Da V überhaupt nicht von der Phase ξ abhängt, bleibt ξ masselos. ξ ist ein sog. “MöchteGern-Goldstone-Boson”, denn wäre die U(1) Symmetrie global, wäre ξ das GoldstoneBoson.
Nun führen wir eine Eichtransformation mit Λ = −ξ/v durch,
φ(x)
→
φ′ (x) = e−i ξ(x)/v φ(x) =
Aµ (x)
→
A′µ (x) = Aµ (x) −
v + σ(x)
√
,
2
1
∂µ ξ(x) .
ev
(6.24)
Mit diesen neuen Feldern lautet die Lagrangedichte,
L
=
1 ′ µν ′ 1
1
− Fµν
F
+ ∂µ σ ∂ µ σ + e2 v 2 A′µ Aµ′
4
2
2
1 2
1
1 2 ′ 2
+ e (Aµ ) σ (2v + σ) − σ (3λ v 2 − µ2 ) −λ v σ 3 − λ σ 4 .
|
{z
}
2
2
4
(6.25)
=2µ2
Man kann zwei wichtige Resultate ablesen:
(1) Es erscheint hier das Feld ξ nicht mehr; es wurde mit (6.24) weggeeicht“. Man sagt
”
auch, das Feld ξ wurde vom Eichfeld A aufgegessen“.
”
(2) Das Eichfeld A erhält durch den Term 21 e2 v 2 A′µ A′µ Masse.
6
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
89
Man beachte, dass die Zahl der Freiheitsgrade
Sz = +1
erhalten bleibt: Zwar fehlt das Feld ξ, aber das
massiv gewordene Vektorfeld verfügt nun zusätz
lich über eine longitudinale Polarisation. Eine
 aufgegessenes
~
k
Möglichkeit, das einzusehen, besteht darin, dass
Möchte-Gern
0
man sich bei einem massiven Vektorfeld, im Ge
Goldstone-Boson
gensatz zu der Situation beim masselosen Vektorfeld, in das Ruhesystem setzen kann. Dort
verliert der Begriff der Transversalität“ seine
Sz = −1
”
Bedeutung, d.h. alle drei räumlichen Richtungen
sind gleichberechtigt. Entsprechend kann die Zahl der Polarisationen nicht auf zwei beschränkt sein.
Higgs-Mechanismus. Insgesamt sehen wir, dass bei der spontanen Brechung einer
Eichsymmetrie das Eichfeld das Möchte-Gern-Goldstone-Boson“ absorbiert (oder auf”
”
isst“) und dadurch massiv wird. Dieser Vorgang trägt den Namen Higgs-Mechanismus.
Vergleich mit spontan gebrochener globaler Symmetrie. Abschliessend soll der
Unterschied zur gebrochenen globalen Symmetrie noch verdeutlicht werden:
Globale U(1)-Symmetrie
2 massive∗ Skalarfelder
⇓


 1 massives Skalarfeld 
+


1 masseloses Skalarfeld

 Lokale U(1)-Symmetrie
 2 massive∗ Skalarfelder 
+


1 Photon
⇓


 1 massives Skalarfeld 
+


1 massives Vektorfeld
Der hochgestellte Stern ∗ soll jeweils andeuten, dass es sich nicht wirklich um massive“
”
Felder handelt, sondern dass der der Parameter m2 das falsche Vorzeichen hat.
(ii)
Ein ‘makroskopisches’ Beispiel für den Higgs-Mechanismus: Supraleitung
Die makroskopische (effektive) Beschreibung eines Typ II Supraleiters erfolgt durch die
Ginzburg-Landau-Theorie. Die supraleitende Phase wird beschrieben durch ein komplexes
Ordnungsparameterfeld“ φ, das die Cooper-Paare beschreibt.
”
Ausgangspunkt ist eine die U(1)-eichkovariante Lagrangedichte für ein Skalarfeld φ im
stationären Fall, d.h. alle Zeitableitungen seien Null. Man betrachtet also
2
h
i h
i
~ ×A
~ .(6.26)
~ − ieA
~ φ · ∇
~ + ieA
~ φ∗ − m2 |φ|2 − λ |φ|4 − 1 ∇
L = − ∇
2
Bemerkungen:
(1) Der letzte Term ergibt sich aus dem Quadrat des Feldstärketensors:
2
1 ~
1
~
∇×A
Fµν F µν =
4
2
im stationärenen Fall
6
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
90
(2) Das negative der Lagrangedichte,
−L =
2 2
1 ~
~ + ∇
~ − ieA
~ φ + m2 |φ|2 + λ|φ|4
∇×A
2
ist als Ginzburg-Landau freie Energie bekannt.
(3) In der Nähe der kritischen Temperatur Tc gilt
m2 = a (T − Tc )
mit a > 0 .
Die Symmetriebrechung erfolgt also für T < Tc .
Für m2 < 0 ist das Minimum der freien Energie gegeben durch
|φ|2 = −
m2
>0.
2λ
(6.27)
Der Grundzustand kann beispielsweise reell gewählt werden und bricht die lokale U(1)Symmetrie. Damit haben wir bereits das Möchtegern–Golstone–Boson eliminiert. Dies
~ in der Lagrangedichte. Für konstante Felder φ folgen
führt zu einem Massenterm für A
~
letztlich Bewegungsgleichungen für A
~ 2 − µ2 A
~ = 0,
∇
(6.28)
~ führen,
welche auf ein exponentielles Verhalten von A
~
~0 .
A(x)
∼ e−µ x A
x parametrisiert hierbei eine Eindringtiefe in den Supraleiter. Dies impliziert insbesondere
auch ein exponentielles Abfallen des magnetischen Feldes
~ = ∇
~ ×A
~,
B
also den Meissner-Effekt.
(iii)
Higgs-Mechanismus für nicht-abelsche Symmetrien
Exemplarisch soll ein SO(3)-Modell betrachtet werden. Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte
L =
2
1
~ · (Dµ φ)
~ +µ φ
~·φ
~ − λ (φ
~ · φ)
~ 2 − 1 F~µν · F~ µν
(Dµ φ)
2
2
4
mit den reellen Feldern


φ1
~ =  φ2 
φ
φ3
und den Eichbosonenfeldern
 µ 
A1
µ
~

Aµ2  .
A =
Aµ3
(6.29)
6
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
91
Die eichkovarianten Ableitung ist
~ µ · ~L ,
Dµ = ∂ µ + i g A
wo die La die Generatoren der SO(3) sind, explizit


0 0 0
L1 = Lx = i  0 0 1  ,
0 −1 0


0 0 −1
L2 = Ly = i  0 0 0  ,
1 0 0


0 1 0
L3 = Lz = i  −1 0 0  .
0 0 0
Entsprechend gibt es drei Feldstärketensoren
~ ν − ∂ν A
~µ + g A
~µ × A
~ν .
F~µν = ∂µ A
Das Vakuum ist wieder entartet, wir wählen das Feld für den Grundzustand


0
µ
mit v = √ .
φ0 =  0 
2 λ
v
Diese Wahl des Grundzustands respektiert die von den L3 generierten Transformationen,
wird aber von L1 und L2 (und beliebigen Linearkombinationen daraus) rotiert. D.h., der
Generator L3 ist ungebrochen“ wohingegen L1 und L2 gebrochen“ sind. Wiederum ist es
”
”
vorteilhaft, die Felder {φi }3i=1 durch die Felder ξ1 , ξ2 und σ auszudrücken,


0
i
 ,
0
(ξ1 (x) L1 + ξ2 (x) L2 ) 
(6.30)
φ(x) = exp
v
v + σ(x)
Nun führen wir wieder eine Eichtransformation durch, welche die ξ-Felder beseitigt,
φ
~ µ · ~L
A
wobei
→
→
φ′ = Ω φ ,
~ µ ′ · ~L = Ω A
~ µ · ~L Ω−1 − i (∂µ Ω) Ω−1 ,
A
g
i
Ω = exp − (ξ1 L1 + ξ2 L2 ) .
v
(6.31)
(6.32)
Die Terme der Lagrangedichte mit den Eichbosonenfeldern lauten dann, wie man durch
Nachrechnen bestätigt,
1 ′ ~ ′µν 1 2 2 1 1µ
·F
+ g v (Aµ A + A2µ A2µ ) .
L (A) = − F~µν
4
2
(6.33)
Die Felder A1 und A2 haben Masse erhalten, A3 nicht. Dies bringt zum Ausdruck, dass
das (willkürlich festgelegte) Vakuum keine Drehsymmetrie bzgl. der 1- bzw. 2-Achse mehr
aufweist, aber die Drehsymmetrie bzgl. der 3-Achse erhalten bleibt.
6
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
92
In der übrigen Lagrangedichte
L (σ)
1
∂ µ σ ∂ µ σ + m2 σ 2
2
+ höhere Terme in σ + Konstanten
=
(6.34)
treten die Felder ξ1 und ξ2 nicht mehr auf.
Auch hier halten wir den Unterschied zu einer gebrochenen globalen Symmetrie fest.
Globale SO(3)-Symmetrie
3 massive∗ Skalarfelder
⇓

1 massives Skalarfeld 
+


2 masselose Skalarfelder


 Lokale SO(3)-Symmetrie

 3 massive∗ Skalarfelder 
+


3 Eichfelder
⇓


1
massives
Skalarfeld 







+


2 massive Vektorfelder




+






1 masseloses Vektorfeld
Man beachte auch, dass sich die Zahl der Freiheitsgrade wieder nicht ändert, d.h. die zwei
weggegessenen“ Freiheitsgrade der ξ-Felder erscheinen nun als zusätzliche longitudinale
”
Polarisationsrichtungen der Felder A1 bzw. A2 . Das masselos gebliebene Eichfeld entspricht
der residualen SO(2) Symmetrie.
(iv)
Allgemeine Systematik beim Higgs-Mechanismus
Betrachte eine Theorie mit einer N -dimensionalen Eichgruppe G. Ausgangspunkt ist die
Lagrangedichte
1 a µν 1 Fa +
(∂µ − i g Aaµ Ta ) φ (∂ µ − i g Aµ b Tb ) φ − V (φ) ,
L = − Fµν
4
2
(6.35)
wobei V so beschaffen sein soll, dass Symmetriebrechung erfolgt. Ferner ist φ ein L-Tupel
von reellen Skalarfeldern.14 Sei φ = φ0 eine Wahl von φ, die V minimiert.
Dieses Vakuum φ0 sei invariant unter einer M -dimensionalen Untergruppe H von G,
d.h. wählt man ohne Einschränkung als Generatoren von H die letzten M Generatoren
von G: {Ta }N
a=N −M +1 , so ist φ0 invariant unter
)
(
N
X
a
(6.36)
α Ta φ 0 = φ 0
φ0 → exp i
a=N −M +1
a
für beliebige α .
Das Skalarfeld φ wird zweckmäßig parametrisiert durch
!
)
( N −M
N
X
i X a
ξ Ta
σa (x)
φ0 +
φ = exp
v a=1
a=N −M +1
mit linear unabhängigen σa , die auch lokal orthogonal sind zu den durch exp
aufgespannten Richtungen, und v = |φ0 |.
(6.37)
i
v
NP
−M
a=1
a
ξ Ta
14 Wir können uns auf reelle Felder beschränken, da komplexe Felder immer in Real- und Imaginärteil
zerlegt werden können, und SU(n) ⊂ SO(2n).
φ0
6
SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG
93
Die ξ-Felder können durch die eine Eichtransformation werden eliminiert bzw. wegge”
eicht“ werden,
)
(
NX
−M
i
(6.38)
ξ a Ta φ = U φ .
φ → φ′ = exp −
v a=1
Setzt man diese Parametrisierung in die Lagrangedichte ein, so kann man Massenterme
für die Vektorfelder aufsammeln,
1
1 a
Aµ (m2 )ab Aµ b = (g Ta φ0 |g Tb φ0 ) Aaµ Aµ b ,
2
2
(1 ≤ a, b ≤ N − M )
(6.39)
wo mit den Klammern (·|·) das Skalarprodukt der L-komponentigen Spalten Ta φ0 bzw.
Tb φ0 gemeint ist. Das Objekt (m2 )ab ist die Massenmatrix für die Eichbosonen. Sie ist
von der Form
m2ab = ua · ub
(6.40)
mit ua = g Ta φ0 . Sie ist symmetrisch und somit diagonalisierbar. Die Diagonalelemente sind durch das Betrags-Quadrat der (transformierten) u-Vektoren gegeben, somit ist
(m2 )ab positiv definit.
Somit gibt es N − M massive Vektorfelder, die übrigen M Stück bleiben masselos.
Fazit: Spontane Symmetriebrechung bei einer N -dimensionalen Eichgruppe G, wobei
das Vakuum invariant ist unter der M -dimensionalen Symmetriegruppe H ⊂ G, läßt sich
wie folgt zusammenfassen:


L − (N − M ) massive Skalarfelder 

L massive∗ Skalarfelder
+ M masselose Vektorfelder
=⇒
+ N masselose Eichfelder


+ N − M massive Vektorfelder
Die M masselosen Vektorfelder sind die Eichbosonen der ungebrochenen Eichsymmetrie
H, die (N − M ) massiven Vektorfelder erhalten ihre Masse durch das Aufessen“ der
”
Möchte-Gern-Goldstone-Bosonen.
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
7
94
Elektroschwache Theorie
Es wird die Theorie der elektroschwachen Vereinheitlichung formuliert. Diese liefert eine
Erklärung, warum die schwache Wechselwirkung so schwach ist, und liefert nebenbei“ die
”
Massen der geladenenen Leptonen.
7.1
Eichtheorie der elektroschwachen Wechselwirkung
Links- und rechtshändige Fermionen. Ausgangspunkt ist ein Satz an masselosen
Fermionen, die jeweils beschrieben werden durch die Dirac-Lagrangedichte
LDirac = i Ψ γ µ ∂µ Ψ .
(7.1)
Aus den Fermionfeldern kann man jeweils den links- bzw. rechtshändigen Anteil herausprojizieren,
1 − γ5
Ψ,
(7.2a)
Ψ L = PL Ψ =
2
1 + γ5
Ψ R = PR Ψ =
Ψ.
(7.2b)
2
Mit diesen Definitionen können die kinetischen Terme in der Lagrangedichte umgeschrieben werden,
i Ψγ µ ∂µ Ψ
=
i (ΨL + ΨR ) γ µ ∂µ (ΨL + ΨR )
=
i Ψ R γ µ ∂ µ ΨR + i Ψ L γ µ ∂ µ ΨL ,
(7.3)
da γ5 mit den γ µ antikommutiert. Das bedeutet, das die kinetischen Terme nur Felder mit
identischen Transformationseigenschaften ‘verheiratet’.
Beispielsweise das Elektron hat L- und R-Komponenten; vorläufig nehmen wir an, die
Neutrinos νe , νµ und ντ besäßen nur L-Komponenten. Für die kinetischen Terme einer
Lepton-Lagrangedichte setzt man also
LLepton ⊃ i eR γ µ ∂µ eR + i eL γ µ ∂µ eL + i ν e γ µ ∂µ νe + (e → µ) + (e → τ ) .
(7.4)
Die µ- und τ -Terme werden im folgenden weggelassen, da sie analog zu den e-Termen
behandelt werden können.
Schwacher Isospin. Kontinuierliche Symmetrien von (7.4) dürfen Zustände nur auf
Zustände mit identischen Raum-Zeit-Eigenschaften abbilden, also nur etwa eL und νe
‘mischen’. Dies legt nahe, eL und νe in Isospinor“zusammenzufassen,
”
νe
ℓ =
,
(7.5)
eL
der aufgefaßt wird als Dublett einer nicht-abelschen SU(2)-Gruppe, die wir im Folgenden als SU(2)L bezeichnen werden. Die Eigenwerte I3 dieser Gruppe definieren eine neue
Quantenzahl, genannt schwacher Isospin. Der übriggebliebene Zustand
r = eR
(7.6)
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
95
ist ein Singlett bzgl. dieser Gruppe. Insgesamt ordnet man also den Teilchen den folgenden
Isospin zu:
r = eR


νe

ℓ = 
eL
SU(2)L
1
I
0
2
1
2
I3
0
1
2
1
−
2
Somit ist die Lagrangedichte
L = i r γ µ ∂µ r + i ℓ γ µ ∂µ ℓ
(7.7)
invariant unter der globalen Transformation
ℓ
r
→
→
exp (−i αa Ta ) ℓ ,
(7.8a)
r,
(7.8b)
oder explizit



νe
a
 eL  →  exp (−i α Ta )
0 0
eR


0
νe
0   eL  .
1
eR
(7.9)
Hierbei sind die Generatoren Ta bis auf einen Faktor durch die Paulimatrizen gegeben
sind, d.h.
Ta =
1
σa ,
2
(7.10)
und die Summation über den Gruppenindex a erstreckt sich von 1 bis 3.
Hyperladung. (7.4) weist noch eine weitere Symmetrie auf: Man kann die Felder jeweils
mit einem Phasenfaktor multiplizieren, und L bleibt unter dieser Operation invariant.
Dabei kann zunächst die Phase für jedes Feld eine andere sein. Allerdings müssen wir
den Komponenten von ℓ die gleiche Phase zuordnen, denn sonst würden wir die SU(2)L
Symmetrie explizit brechen. Natürlich rotieren bei einer SU(2)L Transformation in σ3 Richtung die beiden Komponenten ℓ mit entgegengesetzter Phase. Für r kann die Phase
weiterhin anders gewählt werden. Somit ergibt sich die folgende U(1)-Symmetrie:

 inβ



e
0
0
νe
νe
 eL  →  0
ei n β
0   eL  ,
(7.11)
eR
eR
0
0
ei β
wo β die erwähnte Phase ist und n noch zu ermitteln bleibt. Mit dieser Symmetrie folgt
die Existenz einer erhaltenen Ladung, die schwache Hyperladung genannt und mit qY
bezeichnet wird. n beschreibt das Verhältnis der Ladung von ℓ zur Ladung von r.
Weinbergs Vorschlag. Der schwache Isopsin und die schwache Hyperladung haben –
im Gegensatz zur elektrischen Ladung Q – in der QED keine Bedeutung. Weinberg hat
daher einen Zusammenhang der Form
Q = I 3 + qY
(7.12)
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
96
gefordert. Um elektrisch geladene Elektronen und neutrale Neutrinos zu erhalten, muß
man für
ℓ : qY = −1/2
und
r : qY = −1
setzen; dies legt n auf 21 fest. Damit schreibt sich (7.11)

 i β/2



e
0
0
νe
νe
 eL  →  0
ei β/2 0   eL  .
eR
eR
0
0
ei β
(7.13)
Übergang zur lokalen Symmetrie bzw. Eichsymmetrie. Die Lagrangedichte (7.4)
ist invariant unter globalen SU(2)L ×U(1)Y Transformationen. Nun fordern wir Invarianz
unter lokalen SU(2)L × U(1)Y -Transformationen. Dies führt dazu, dass man die partiellen
Ableitungen durch die eichkovarianten zu ersetzen hat,
∂µ ℓ
→
∂µ r
→
σa
ℓ − i g1 (− 12 ) Bµ ℓ ,
2
Dµ r = ∂µ r − i g1 (−1) Bµ r ,
Dµ ℓ = ∂µ ℓ − i g2 Wµa
(7.14a)
(7.14b)
mit den Eichkopplungen g1 der U(1)Y und g2 der SU(2)L . Dabei wurden die Felder der
Eichbosonen für die SU(2)L -Symmetrie {W a }3a=1 und für die U(1)Y -Symmetrie B eingeführt.
Des Weiteren benötigen wir die kinetischen Terme für die Eichbososonen. Da gibt es
zum Einen für die SU(2)L
~ ν − ∂ν W
~ µ + g2 W
~µ×W
~ ν )2 =: Wµν W µν ,
(∂µ W
wobei schon ausgenutzt wurde, daß die Strukturkonstanten bei der Wahl der Pauli-Matrizen
als Generatoren der Lie-Algebra der SU(2) gleich dem Levi-Civita-Symbol εabc sind. Zum
Anderen hat man für die U(1)Y
(∂µ Bν − ∂ν Bµ ) (∂ µ B ν − ∂ ν B µ ) = Bµν B µν .
Diese Terme, die im Elektromagnetismus dem Quadrat des Feldstärketensors entsprechen,
werden der Lagrangedichte addiert. Insgesamt ergibt sich eine Lagrangedichte der Form
1
1
L1 = i r γ µ Dµ r + i ℓ γ µ Dµ ℓ − Wµν W µν − Bµν B µν .
4
4
(7.15)
Dabei bedeuten die Symbole Dµ vor ℓ bzw. r gemäß (7.14a) und (7.14b) jeweils etwas
Anderes.
Man beachte, dass auf diesem Niveau die Fermion-Massen durch die (globale) SU(2)L ×
U(1)Y -Symmetrie verboten sind, d.h. es können der Lagrangedichte keine SU(2)L ×U(1)Y invarianten Massenterme hinzugefügt werden. Man sagt, die Fermionen seien chiral bzgl.
der SU(2)L × U(1)Y -Symmetrie.
Die SU(2)L × U(1)Y -Symmetrie ist jedoch offenbar in dem Grundzustand, den wir beobachten, nicht linear realisiert. D.h., wir beobachten derzeit weder masselose W - noch
Y -Bosonen. Somit müssen diese Symmetrien, wenn sie überhaupt existieren, spontan gebrochen sein.
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
97
Higgs-Feld. Um diese Brechung zu bewerkstelligen, führt man das sog. Higgs-Feld ein,
+ φ
,
(7.16)
φ =
φ0
das bzgl. SU(2)L als Dublett transformiert. Des Weiteren müssen φ+ und φ0 komplex sein,
sodass das Higgsfeld die Quantenzahlen
I =
1
2
und
qY = 1/2
trägt, wobei die Festsetzung von qY
ante Ableitung von φ lautet dann
σa
−
Dµ φ =
∂µ − i g2 Wµa
2
auf 1/2 sich später rechtfertigen wird. Die eichkovarii
g1 Bµ
2
φ.
(7.17)
2
Eichinvariante Terme für das Higgs-Feld umfassen einen ‘Massenterm’ m2 φ† φ sowie einen
‘quartischen’ Term λ4 (φ† φ)2 . Des Weiteren soll das φ-Feld noch mit der Kopplungsstärke
ye mit e− und νe wechselwirken. Somit erhalten wir eine Lagrangedichte
L2 = (Dµ φ)† (Dµ φ) +
µ2 †
λ
φ φ − (φ† φ)2 − (ye ℓ φ r + ye∗ r φ† ℓ) .
2
4
(7.18)
Der Massenterm“ mit dem falschen Vorzeichen bewirkt, dass die Vakuumfeldkonfiguration
”
von φ nicht bei φ = 0 liegt, sondern bei
r
v2
2
2
+ 2
0 2
|φ| = |φ | + |φ | =
mit v =
µ.
2
λ
Wir wählen als Vakuumkonfiguration
1
0
.
φ0 = √
v
2
(7.19)
√
Hierbei wurde der Konventionsfaktor 1/ 2 eingeführt wurde, damit die Fluktuationen
um φ0 , die im Gegensatz zu φ durch reelle Skalarfelder beschrieben wurden, kanonisch
normiert sind, d.h. den richtigen“ kinetischen Term haben.
”
Bemerkung: (7.19) ist eine spezifische Wahl, die gewissermassen das Koordinatensystem im SU(2)L -Raum festlegt. Genausogut hätten wir
1
v
√
φ0 =
0
2
setzen können. Dies hätte zur Konsequenz, dass wir auch die Komponenten von ℓ und
φ, die wir im Vorgriff auf die Wahl (7.19) bereits sinnvoll“ benannt hatten, vertauschen
”
2
müßten. Jede Wahl von φ0 so, dass |φ0 |2 = v2 , ist physikalisch äquivalent.
Beliebige φ-Felder parametrisieren wir durch
i
1
0
[ξ0 (12 − σ3 )ξ1 σ1 + ξ2 σ2 ]
.
(7.20)
φ = √ exp
v+h
2v
2
Durch die lokale SU(2)L × U(1)Y -Transformation
i
′
φ → φ = exp −
[ξ0 (12 − σ3 ) + ξ1 σ1 + ξ2 σ2 ] φ
2v
(7.21)
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
98
lassen sich die ξ-Felder wegtransformieren,
1
0
′
φ (x) = √
.
v + h(x)
2
(7.22)
Hier haben wir die Linearkombination von 12 und σ3 verwendet, die die Phase von (v +
h(x)) ändert. Die orthogonale Linearkombination 12 +σ3 läßt den Vakuumerwartungswert
invariant. Dies hat, wie wir später sehen werden, zur Folge, dass ein Eichfeld, entsprechend
einer ungebrochenen U(1) Symmetrie, masselos bleibt. Später werden wir ebenfalls sehen,
dass die Wechselwirkungsterme in (7.18) für Massenterme für die Leptonen sorgen.
Nun wenden wir uns den Massentermen für die W -Bosonen sowie für B zu. In der obigen
Eichung erhalten wir
† σa
1
i
0
· ···
(Dµ φ)† (Dµ φ) =
∂µ − i g2 Wµa
− g1 Bµ √
v + h(x)
2
2
2
1
=
(∂µ h) (∂ µ h)
2
† 1
0
g2 W3µ + g1 B µ g2 (W1µ − i W2µ )
· · · · . (7.23)
+
v+h
g2 (W1µ + i W2µ ) −g2 W3µ + g1 B µ
8
Die Terme, die quadratisch in v und den Eichbosonen sind, liefern die Massenterm
LEichbosonmassen
=
g22 v 2 1 1 µ
Wµ W + Wµ2 W 2 µ
8
v2 +
(g2 Wµ3 − g1 Bµ ) (g2 W3µ − g1 B µ ) .
8
(7.24)
Die zweite Zeile kann kompakter geschrieben werden,
(g2 Wµ3
Die Matrix
M =
−
g1 Bµ ) (g2 W3µ
g22
−g1 g2
µ
− g1 B ) =
−g1 g2
g12
(W3µ , B µ )
·
g22
−g1 g2
−g1 g2
g12
Wµ3
·
.
Bµ
läßt sich diagonalisieren durch die Transformation
0 Wµ3
Zµ
Wµ3
cos ϑW − sin ϑW
→
=
·
.
sin ϑW
cos ϑW
Bµ
Aµ
Bµ
(7.25)
M hat verschwindende Determinante, d.h. ein Masseneigenwert ist 0. Der zugehörige (normierte) Eigenvektor und der dazu orthogonale Vektor sind
1
1
g1
g2
u0 = p 2
und u⊥ = p 2
.
g2
−g1
g1 + g22
g1 + g22
Damit bestimmt sich der sog. Weinberg-Winkel ϑW zu
p
g2
g22
+ g12
= cos ϑW .
(7.26)
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
99
Mit den neuen Feldern
g2 Wµ3 − g1 Bµ
p
= cos(ϑW ) Wµ3 − sin(ϑW ) Bµ
g22 + g12
Zµ0 =
und
(7.27)
g1 Wµ3 + g2 Bµ
p
= sin(ϑW ) Wµ3 + cos(ϑW ) Bµ ,
g22 + g12
Aµ =
(7.28)
lautet der Term in der zweiten Zeile von (7.23)
v2
g2 Wµ3 − g1 Bµ (g2 W3µ − g1 B µ )
8
=
1
Z 0 µ , Aµ ·
2
m2Z
0
0
0
0 Zµ
·
.
Aµ
(7.29)
Hierbei ist
g12 + g22 2
v .
4
m2Z =
Definiert man weiter
1
Wµ± = √ Wµ1 ∓ i Wµ2 ,
2
(7.30)
so sieht an (7.23), dass die W ± - und Z-Bosonen Masse erhalten,
m2W + = m2W − =
g22 v 2
=: m2W
4
und
m2Z =
m2W
;
cos2 ϑW
(7.31)
die Masse von A verschwindet.
Die W ± -Bosonen bzw. das Z 0 können erzeugt werden. Man kann ihre Masse bestimmen
und somit den Weinberg-Winkel. Die gemessenen Werte sind
mW
mZ
=
=
sin2 ϑW
=
80.425(38) GeV ,
91.1876(21) GeV ,
m2
= 0.23120(15) .
1− W
m2Z
Kopplung der Fermionen an die ‘rotierten’ Eichbosonen. Man kann sich genau
überlegen, wie die einzelnen Fermionen an die neuen Eichfelder koppeln. Dazu betrachtet
man die linkshändigen Anteile
ℓ i γ µ Dµ ℓ = ℓ γ µ i ∂µ − qY g1 Bµ 12 − i g2 Wµa σa ℓ
!)
(
(ν)
(ν)
(ℓ)
Qem Aµ + QN Zµ0
QC Wµ+
µ
ℓ.
(7.32)
i ∂µ − i
= ℓγ
(e)
(e)
(ℓ)
Qem Aµ + QN Zµ0
QC Wµ−
Durch Vergleich erhält man
Qe/ν
em
=
(I3 + qY ) e ,
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
e/ν
=
QLC
=
QN
100
(I3 cot ϑW − qY tan ϑW ) e ,
g2
2I √
2
mit der elektromagnetischen Kopplungskonstanten
e = p
g1 g2
g12 + g22
= g2 sin ϑW .
(7.33)
Völlig analog formt man die rechtshändigen Anteile um,
r i γ µ Dµ r = r γ µ {i ∂µ − qY g1 Bµ } r
n
o
(e) 0
= r γ µ i ∂µ − Q(e)
em Aµ − QN Zµ r .
(7.34)
Insbesondere sind die Ladungen von links- und rechtshändigen Elektronen (formal) identisch,
formal
Q(e)
em
=
(e)
QN
−e
=
−qY tan ϑW e
=
(I3 + qY ) ,
formal
=
(I3 cot ϑW − qY tan ϑW ) .
Hierbei ist I = I3 = 0 für r. Insgesamt erhalten wir also, daß sich die Kopplung an die
Vektorfelder Z 0 und W ± bzw. an das elektromagnetische Feld aus den Quantenzahlen I,
I3 und qY ablesen läßt,
Kopplung an A :
Kopplung an Z 0 :
Kopplung an W ± :
Qem = (I3 + qY ) e ,
QN = (I3 cot ϑW − qY tan ϑW ) e ,
g2
QC = 2I √ .
2
Bemerkungen:
(1) Das masselose Feld A koppelt nur an die Elektronen, und zwar gleich stark an linksund rechtshändige Anteile, nicht aber an die Neutrinos. Wir identifizieren es mit dem
Photon.
(2) Die Z-Bosonen koppeln unterschiedlich an die Ströme der linkshändigen Elektronen,
der rechtshändigen Elektronen und der Neutrinos.
(3) Da man Terme ψγ µ ψ als Stromdichten für Dirac-Teilchen interpretiert, bezeichnet
√
man beispielsweise ν γ µ eL als Elektron-Neutrino-Strom“. Dieser koppelt mit g2 / 2
”
an das Vektorfeld W ± .
(4) Die W ± -Bosonen koppeln nur an linkshändige Fermionen (und rechtshändige AntiFermionen). Prozesse, bei denen diese als Austauschbosonen dienen, würden also in
einem raumgespiegelten System nicht ablaufen; man spricht von maximaler Paritätsverletzung.
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
101
(5) Wesentlich ist, dass die drei Parameter aus der Theorie g1 , g2 und v sowohl mW
und mZ als auch die Kopplung der Fermionen and die Eichbosonen A, Z 0 und W ±
festgelegen. Wenn man also die Kopplungen kennt, ist das Verhältnis mW /mZ eine
Vorhersage; für diese Vorhersage erhielten Glashow, Salam und Weinberg 1979 den
Nobelpreis.
7.2
Feynman-Regeln
Aus der Lagrangedichte kann man die Feynman-Regeln ablesen. Man erhält (s. z.B. [3])
eL
eL
µ
γ
µ : −i e γ PL
µ : i e γµ
− 21 + sin2 ϑW
PL
cos ϑW sin ϑW
µ : i e γµ
sin2 ϑW
PR
cos ϑW sin ϑW
Z0
eL
eL
eR
eR
µ
γ
µ : −i e γ PR
Z0
eR
eR
νe
W−
g
µ : −i √2 γ µ PL
2
eL
νe
µ:
Z0
1
i e γµ
PL
2 cos ϑW sin ϑW
νe
Für den Propagator eines massiven Eichbosons erhält man
k
−i
kµ kν
µν
: 2
η
−
(1
−
ξ)
µ
ν
k − m2 + i ε
k 2 − ξ m2
mit dem Eichfixierungsparameter ξ und den Eichbosonenmassen m = mW , mZ bzw. 0 für
die W -Bosonen, das Z-Boson bzw. das Photon.
7.3
Fermion-Massen
Wir hatten zuvor gesehen, dass in der SU(2)L × U(1)Y Eichtheorie das Elektron masselos
ist – der Massenterm ist verboten durch die Eichsymmetrie. Es wird nun gezeigt, dass die
Massenterme durch die elektroschwache Symmetriebrechung generiert werden.
Ausgangspunkt ist die Yukawa-Kopplung
(7.35)
LY = − ye ℓ · φ r + ye∗ r φ† ℓ = − ye ℓ · φ r + h.c. .
Hierbei betrachten wir zunächst nur eine Generation, d.h.
νe
ℓ =
und r = eR .
eL
(7.36)
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
102
Ersetzt man das Higgs-Feld durch seinen Vakuumerwartungswert,
1
0
φ → √
,
v
2
so erhält man
LY
→
=
(7.37)
ye
0
eR + h.c.
− √ (νe , eL ) ·
v
2
ye v
− √ eL eR + h.c. =: − me eL eR + h.c. = − me Ψe Ψe ,
2
(7.38)
wo Ψe der Dirac-Spinor ist, der links- und rechtshändige Komponenten des Elektrons
zusammenfasst,
PL/R Ψe = eL/R .
Nun verallgemeinern wir die Diskussion auf die drei Generationen der Leptonen, d.h.
 ′ 
′ ′ ′ eR
νµ
ντ
νe
.
(7.39)
,
,
r =  µ′R  und ℓT =
τL′
e′L
µ′L
′
τR
Wir werden weiter unten sehen, warum die Felder mit Apostrophen
Lagrangedichte ist nun
LY = −
3
X
′
verziert sind. Die
f
(Ye )f g ℓ · φ rg + h.c. ,
(7.40)
f,g=1
wobei Ye eine 3 × 3-Matrix ist und f, g Generationen-Indizes bezeichnen. Führt man nun
die Ersetzung (7.37) durch, ergibt sich
 ′ 
eR
LY → − (e′L , µ′L , τL′ ) · M ·  µ′R  + h.c. .
(7.41)
τR′
Hierbei ist M = √12 Ye v eine komplexe 3 × 3 Matrix. Diese kann durch eine sog. bi-unitäre
Transformation diagonalisiert werden,


me
0
0
†
(7.42)
U L M U R = D =  0 mµ 0  ,
0
0 mτ
wobei UL/R unitäre 3 × 3-Matrizen sind. Wir führen wir nun eine Feld-Redefinition durch,


 ′ 
 ′ 


eL
eR
eR
eL
 µL  = U †  µ′L 
 µR  = U †  µ′R  ,
(7.43)
und
L
R
τL
τR′
τR
τL′
so dass
((νe , eL ) , (νµ , µL ) , (ντ , τL )) =
Damit erhält man
νe′ , e′L , νµ′ , µ′L , ντ′ , τL′
UL .
Lmass = − me eL eR − mµ µL µR − mτ τL τR + h.c. .
(7.44)
(7.45)
D.h. man kann die drei Dirac-Massenterme für die geladenen Leptonen auf die Lagrangedichte LY zurückführen.
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
103
Fazit: Die Tatsache, dass das Higgs-Feld einen Vakuumerwartungswert entwickelt, führt
neben den Massentermen für die Eichbosonen W ± und Z 0 auch auf Massentermen für die
geladenen Leptonen.
7.4
Phänomenologische Aspekte
Betrachte nun z.B. den µon-Zerfall
µ − → e− + ν e + ν µ .
In führender Ordnung Störungstheorie wird der Prozess beschrieben durch das Diagram
νe
q
′
k
µ−
W
e−
−q
p
p′
νµ
Nach den Feynmanregeln ergibt sich ein Übergangsmatrixelement
kµ kν
−i
η
−
µν
m2W
g22
u(p′ ) γ µ PL u(p)
u(q) γ ν PL v(q ′ )
Mf i =
2
k 2 − m2W + i ε
kµ kν
−i ηµν − 2
mW
g22
u(p′ ) γ µ (1 − γ5 ) u(p)
u(q) γ ν (1 − γ5 ) v(q ′ ) . (7.46)
=
8
k 2 − m2W + i ε
Dabei wurde der übertragene Impuls q eingeführt, der in den Argumenten der Spinoren
unterdrückt ist. Im Propagator für das W -Boson wird die sog. R∞ -Eichung verwendet.
Da mµ ≪ mW , hat man
k 2 ≪ m2W .
D.h., man kann man k 2 im Propagator vernachlässigen, im Ortsraum wird der Propagator
zur δ-Funktion und man spricht von Punktwechselwirkung. Des Weiteren erhält man für
das Übergangsmatrixelement die einfache Gestalt
Mf i = i
g22 λ †
GF λ † µ
j(e) λ
j(µ) j(e) λ = i √ j(µ)
2
8mW
2
mit den Strömen“
”
λ
j(µ)
= u(p) γ λ (1 − γ5 ) u(p′ )
und der Fermi-Konstante
GF =
g2
√ 2 2 .
4 2 mW
und
λ
j(e)
= u(q) γ λ (1 − γ5 ) v(q ′ )
(7.47)
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
104
M.a.W., wir können das Diagramm mit dem W -Boson durch ein Diagramm mit VierFermion-Wechselwirkung ersetzen,
νe
νe
q′
q′
k2 ≪m
k
µ−
W
W
e− −−−−−→ µ−
−q
q
p
p
p′
e− .
p′
νµ
νµ
Historisch wurde zuerst die Fermi-Theorie zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung formuliert und erst später die elektroschwache Theorie vorgeschlagen. Die VierFermion-Wechselwirkung führt auf zwei wesentliche konzeptionelle Schwierigkeiten. Zum
Einen ist sie nicht renormierbar, zum Anderen verletzen die damit gewonnenen Übergangswahrscheinlichkeiten für große Energien Unitarität. Nichts desto trotz liefert die FermiTheorie im Energie-Bereich weit unterhalb mW eine akkurate Beschreibung. Dies ist ein
Beispiel für eine effektive Theorie.
Mit der Formel (vgl. [3, S. 808])


n n
X
(2π)4 Y d3 pf 1
2
pf  ,
|M(X → f1 + · · · + fn )| δ (4) pX −
dΓ =
2MX
(2π)3 2Ef
f =1
f =1
(7.48)
die den Zerfall des instabilen Teilchens X in n Teilchen mit Impulsen pf beschreibt, kann
man die Zerfallsrate berechnen. Ein wesentlicher Aspekt dabei ist, dass es sich um einen
3-Körper-Zerfall handelt. Die Phasenraum-Integration ergibt für die inverse Lebensdauer
bzw. die Zerfallsrate
τµ−1 = Γ(µ → e− + ν̄e + νµ ) ≃
G2F m5µ
,
192 π 3
(7.49)
wobei die Elektron-Masse gegen die Masse des µ vernachlässigt wurde. Experimentell findet
man, dass
τµ ≃ 2.197 · 10−6 s .
Wesentlich ist, dass wir GF alleine durch den Vakuumerwartungswert des Higgs-Feldes v
ausdrücken können,
m2W =
g22 2
v
4
y
GF =
1
g2
√ 2 2 = √
.
4 2 mW
2 v2
Die Lebensdauer des µ ist also gemäß (7.49) (beachte: GeV−1 ≃ 6.6 · 10−25 s)
v 4
τ ≃ 6.16
s,
GeV
was
v ≃ 246 GeV
und
1
√ v ≃ 175 GeV
2
7
ELEKTROSCHWACHE THEORIE
105
liefert. Dies impliziert insbesondere, dass die Elektron, µ und τ Yukawa-Kopplungen durch
ye ≃ 3 · 10−6 ,
yµ ≃ 6 · 10−4
und
yτ ≃ 1 · 10−2
gegeben sind. Man kann offensichtlich die Parameter der Lagrangedichte so wählen, dass
die beobachteten Fermion-Massen reproduziert werden. Andererseits sind diese Parameter,
im Gegensatz zu den Eichkopplungen, hierarchisch klein und stark unterschiedlich. Es ist
bislang noch nicht verstanden, warum das so ist.
8
STANDARDMODELL
8
106
Standardmodell
8.1
Fermion–Massen
(i)
Massen der Leptonen
Wir haben die Massen der Leptonen bereits im Rahmen der elektroschwachen Theorie
diskutiert. Dort war der Ausgangspunkt die Lagrangedichte (7.40),
LY = −
3
X
f
(Ye )f g ℓ · φ rg + h.c. ,
f,g=1
wobei Ye eine 3 × 3–Matrix ist, f, g Generationen–Indizes bezeichnen und
 ′ 
′ ′ ′ eR
νµ
ντ
νe
.
,
,
r =  µ′R  und ℓT =
τL′
e′L
µ′L
′
τR
Wenn man das Higgs–Feld durch seinen Vakuumerwartungswert ersetzt,
1
0
√
φ →
,
v
2
ergibt sich
LY


e′R
→ − (e′L , µ′L , τL′ ) · M ·  µ′R  + h.c. .
τR′
Die Massenmatrix M =
werden,
UL† M UR
√1 Ye
2

v kann durch eine bi–unitäre Transformation diagonalisiert
me
= D =  0
0
0
mµ
0

0
0  ,
mτ
(8.1)
wobei UL/R unitäre 3 × 3–Matrizen sind. D.h., durch die Feld–Redefinitionen


 ′ 
 ′ 


eL
eR
eL
eR
 µL  = U †  µ′L 
 µR  = U †  µ′R  ,
und
L
R
τL
τR′
τR
τL′
erhält man die Massenterme der geladenen Leptonen,
Lmass = − me eL eR − mµ µL µR − mτ τL τR + h.c. .
Bemerkung:
Wir identifizieren beispielsweise
1
me = √ y e v .
2
Dabei ist zu beachten, dass der Massenterm für die W - bzw. Z–Bosonen ebenfalls ∼ v
ist. Der Parameter ye sorgt dafür, dass die Massen von Elektronen und dieser Bosonen
um 6 Größenordnungen auseinander liegen. Diese Hierarchie ist ein Input und findet keine
Erklärung im betrachteten Modell. Die Kleinheit der Yukawa–Kopplungen ist jedoch stabil
8
STANDARDMODELL
107
unter Quanten–Korrekturen. Quantenkorrekturen können beschrieben werden durch die
sog. Renormierungsgruppengleichungen, welche im betrachteten Fall der Form
3
15
9
d
ye = ye
|ye |2 + (|ye |2 + |yµ |2 + |yτ |2 ) − g12 − g22 + . . .
(8.2)
16π 2 µ
dµ
2
4
4
ist. Insbesondere sind die Korrekturen zur Yukawa–Kopplung eines Fermions sind proportional zur Yukawa–Kopplung selbst, d.h. eine hierarchisch kleine Kopplung bleibt hierarchisch klein.
(ii)
Massen der Quarks
Das Vorgehen für die Leptonen kann auf die Quarks übertragen werden. Wir wollen wieder
Massen erhalten, die linear im Vakuumerwartungswert v des Higgsfeldes sind. D.h., wir
benötigen in der Lagrangedichte Kopplungen, die linear in dem Higgsfeld φ sind. Das wiederum impliziert, dass irgendwelche Quarks als SU(2)L –Dubletts transformieren. Analog
zu den Leptonen versuchen wir es mit den linkshändigen Quarks, d.h. wir führen (zunächst
nur für eine Generation) das linkshändige Quark–Dublett
uL
QL =
(8.3)
dL
ein. Damit können wir zwei Arten von SU(2)L –invarianten Termen hinschreiben,
Lud = − yd QL · φ dR − yu εij (QL )i (φ∗ )j uR + h.c.
mit dem Levi–Civita–Symbol
0 1
ij
(ε) =
−1 0
und
(ε)ij =
0
1
−1
0
Bemerkung zu den SU(2) Dublett–Kontraktionen.
SU(2) Dubletts ψ und χ invariant zu kontrahieren,
ψ∗ · χ
und
ψ·ε·χ.
(8.4)
.
Es gibt zwei Möglichkeiten,
(8.5)
Die erste Kontraktion ist übertragbar auf beliebige SU(N ) Symmetrien während die zweite
spezifisch für die SU(2) gilt und Konsequenz der Tatsache ist, dass eine anti–symmetrische
2 × 2–Matrix nur eine Komponente hat.
Wir müssen uns nun über die Quantenzahlen der Felder QL , uR und dR Gedanken
machen. Ausgangspunkt ist die Forderung, dass das Quark–Dublett als 3–plett unter der
SU(3)C und als 2–plett unter der SU(2)L transformiert. Des Weiteren transformieren die
rechts–händigen Quark–Singletts uR und dR als 3–pletts unter SU(3)C . Deren elektrische
Ladungen sind durch Q = qY gegeben. Um dem u–Quark bzw. dem d–Quark die Ladungen
Q = 2/3 bzw. Q = −1/3 zu verleihen, müssen also uR bzw. dR die Hyperladungen
qY (uR ) = 2/3
bzw.
qY (dR ) = − 1/3
tragen. Damit die Terme in (8.4) eichinvariant sind, muss, da φ die Ladung 1/2 hat, QL
die Ladung 1/6 haben. Interessanterweise sind beide Terme in (8.4) konsistent mit dieser
Ladungszuweisung; wir werden später einen möglichen Grund kennenlernen.
Setzen wir jetzt den Vakuum–Erwartungswert für das Higgs–Feld ein (siehe (7.22)), so
ergibt sich
1
1
Lud → − √ yd v dL dR − √ yu v uL uR + h.c. .
2
2
(8.6)
8
STANDARDMODELL
108
Dies führt auf die Quark–Massen
1
md = √ y d v
2
und
1
mu = √ y u v .
2
Das jetzt massive u–Quark wird durch uL und uR beschrieben. Im Folgenden soll dieses
Verfahren auf die anderen Quark–Generationen ausgedehnt werden.
Wie wir aus dem Experiment wissen, gibt es drei Generationen an Quarks. Daher können
zusätzliche Kopplungsterme auftreten, die die Generationen mischen. Wir betrachten also
drei Generationen an Quarks,
f uL
QfL =
: 3 × (3, 2)1/6 unter SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y ,
dfL
ufR
:
dfR
3 × (3, 1)2/3 ,
:
3 × (3, 1)−1/3 .
Die Notation ist dabei folgendermassen zu verstehen: Die beiden fett gedruckten Zahlen
in den Klammern geben die Dimension der Darstellung bzgl. SU(3)C und SU(2)L an; das
Subskript ist die Hyperladung. Wir haben hierbei eine willkürliche Basis für die Zustände
gewählt. In dieser Basis haben wir
−LQuark =
3 h
X
f,g=1
i
f
f
QL · φ (Yd )f g dgR + QL · ε · φ∗ (Yu )f g ugR + h.c. .
(8.7)
Es gibt ausgezeichnete Basen. Die wichtigste ist die der Massen–Eigenzustände, in der
die Yukawa–Matrizen Yu bzw. Yd diagonal sind. Es ist bekannt, dass sich beliebige Matrizen
(u)
biunitär diagonalisieren lassen (siehe Anhang F.2), d.h. es existieren unitäre Matrizen UL ,
(u)
(d)
(d)
UR , UL und UR , so dass


yu
†
(u)
(u)
 ,
yc
(8.8a)
UL
Yu UR
= 
yt


yd
†
(d)
(d)
 .
ys
(8.8b)
UL
Yd UR
= 
yb
Hierbei sind yu , yc , yt , yd , ys und yb reell und positiv. Die Tatsache, dass die linkshändigen
Quarks in Dubletts zusammengefasst sind, führt allerdings zu Subtelitäten. Um dies zu
sehen, gehen wir zunächst in die Massen–Basis für die ‘u–artigen’ Quarks, d.h. anstatt in
der ursprünglichen (willkürlich gewählten) Basis arbeiten wir in der Basis der gestrichenen
Felder
†
(u) ~ ′
~
~ ′ = U (u) Q
~L ,
UL Q
bzw.
Q
(8.9a)
L = QL
L
L
†
(u)
(u)
UR ~uR′ = ~uR
bzw.
~uR′ = UR
~uR .
(8.9b)
Gemäß dem oben Gesagten ist in dieser Basis die Yukawa–Matrix Yu diagonal, denn z.B.
~ T Y ~u = Q
~ ′ T U (u) † Y U (u) ~u ′ = Q
~ ′ T diag(y , y , y ) ~u ′ .
Q
u R
u c t
L u R
L
R
L
R
L
8
STANDARDMODELL
109
Bezeichnen wir nun
uL
cL
tL
~ ′L )T =
(Q
,
,
d′L
s′L
b′L
und
(~uR′ )T = (uR , cR , tR ) ,
(8.10)
so entsteht nach elektroschwacher Symmetriebrechung, d.h. für
1
0
,
φ → √
v
2
aus dem Yu –Term in (8.7)
3
X
f,g=1
f
QL · ε · φ∗ (Yu )f g ugR
→
yu v
y v
y v
√ uL uR + √c cL cR + √t tL tR
2
2
2
=:
mu u L u R + mc c L c R + mt t L t R .
(8.11)
Wir können die selben Schritte für die ‘d–artigen’ Quarks wiederholen. D.h., wir können
in einer Basis
†
(d) ~ ′′
~
~ ′′L = U (d) Q
~L ,
UL Q
bzw.
Q
(8.12a)
L = QL
L
†
(d)
(d)
bzw.
d~R′′ = UR
UR d~R′′ = d~R
d~R .
(8.12b)
arbeiten, wobei
~ ′′ )T =
(Q
L
u′L
dL
′ ′ cL
tL
,
,
sL
bL
und
(d~′R )T = (dR , sR , bR ) .
(8.13)
Analog zu (8.11) entsteht
3
X
f,g=1
f
QL · φ (Yd )f g dgR
→
yd v
y v
y v
√ dL dR + √s sL sR + √b bL bR
2
2
2
=:
md d L d R + ms s L s R + mb bL bR .
(8.14)
Allerdings haben wir i.A. (und in der realen Welt)
~ ′ 6= Q
~ ′′ .
Q
L
L
(8.15)
Dies hat wichtige Konsequenzen. Die Tatsache, dass die QiL als SU(2)L 2–pletts transformieren, impliziert, dass die kovariante Ableitung Terme mit den W –Bosonen beinhalten,
σa 1 f
Dµ QfL = ∂µ QfL − i g2
W Q + ... .
(8.16)
2 µ L
Hierbei ist f ein Flavor–Index und a ein SU(2)L –Generator–Index. Nach der Diagonalisierung der Eichbosonen–Massen (siehe (7.23)) ergibt sich zunächst eine Kopplung zwischen
den linkshändigen Quarks und den W ± Bosonen der Form
X 1 f
1 f
√ uL γ µ dfL Wµ+ + √ dL γ µ ufL Wµ− .
(8.17)
2
2
f
In der Massenbasis der u–artigen Quarks entsteht aus der Kopplung an W +
1 √ uL γ µ d′L + cL γ µ s′L + tL γ µ b′L Wµ+ ,
2
(8.18)
8
STANDARDMODELL
wobei
110
′

տ
dL
 sL  = 
bL
ւ

(u)
UL
(u) †
ր
ց
† 
 ·
(d)
տ
ւ
(d)
UL

dL
 ·  sL  .
bL
ց
ր
 
(8.19)
Die Matrix–Kombination UL UL bezeichnet — bis auf Phasenkonventionen, die wir
uns etwas später ansehen werden — die sog. Cabibbo–Kobayashi–Maskawa–Matrix oder
kurz CKM–Matrix VCKM .15 Zumeist schreibt man sie in der Form
 

 ′ 

d
Vud Vus Vub
d
 s′  =  Vcd Vcs Vcb  ·  s  ,
(8.20)
b′
Vtd Vts Vtb
b
wo die gestrichenen Zustände diejenigen sind, in welche die Masseneigenzustände bei Prozessen der schwachen Wechselwirkung übergehen.
In dem rechtsstehenden Diagramm geht ein linkshändiges
u–Quark in seinen Wechselwirkungspartner
d′ = Vud d + Vus s + Vub b
d′
über. Die Übergangswahrscheinlichkeit für den Übergang q →
q ′ ist proportional zu |Vqq′ |2 . Die Matrix ist stark diagonaldominant, die Diagonalelemente sind vom Betrag ≥ 0.97; die
Elemente, die ein Quark der ersten Generation mit einem
Quark der zweiten Generation verknüpfen liegen betragsmäßig
bei etwa 0.2 und die, die mit einem Quark der dritten Generation was zu tun haben, sind wesentlich kleiner als 0.02.
(u) †
u
W+
(d)
Phasen–Ambiguitäten. Die CKM–Matrix, VCKM = UL
· UL , ist nicht eindeutig.
(u)
Um dies einzusehen, betrachte z.B. UL . Diese unitäre Matrix ist bestimmt dadurch, dass
(u) †
UL
(u)
Yu Yu† UL
!
= diag(yu2 , yc2 , yt2 )
mit yu , yc , yt ∈ R. Wenn UL
(u)
(u) ′
UL
(8.21)
die Gleichung (8.21) erfüllt, erfüllt
(u)
= UL · diag(ei ϕ1 , ei ϕ2 , ei ϕ3 )
die Gleichung (8.21) ebenfalls. D.h., man hat drei Phasen, die nicht bestimmt sind, die man
(willkürlich) in eine globale Phase (etwa ϕ3 ) und zwei relative Phasen (etwa ϕ1 − ϕ3 und
(u) †
(d)
ϕ2 − ϕ3 ) einteilen kann. Insgesamt sehen wir dann, dass in UL · UL sind die Differenz
der globalen Phasen und die insgesamt vier Relativ–Phasen unbestimmt sind.
Ganz allgmein ist die CKM–Matrix bei n Generationen von Quarks eine U(n)–Matrix.
2n − 1 Parameter lassen sich in der Phasenwahl der Zustände absorbieren, sodass man die
CKM–Matrix durch n2 − 2n + 1 Parameter beschreiben kann.
Cabibbo–Winkel. Betrachte nur zwei Generationen. Dann gibt es lediglich einen Parameter, den sog. Cabibbo–Winkel θC . Man hat dann beispielsweise
j
V1j d′ L = cos θC d′L + sin θC s′L .
(8.22)
Der Term sin θC erlaubt es einem s–Quark, schwach in ein u–Quark zu zerfallen.
15 Kobayashi und Maskawa haben im Jahr 2008 für damit im Zusammenhang stehende Arbeiten den
Nobelpreis erhalten.
8
STANDARDMODELL
111
Standardparametrisierung der CKM–Matrix. Für n = 3 benötigt man 4 Parameter. Die Matrix wird dann üblicherweise zerlegt in zwei unphysikalische Phasenmatrizen
und die physikalische CKM–Matrix V ,
U
wobei
=
diag(ei δu , ei δc , ei δt ) · V · diag(e−i φ1 /2 , e−i φ2 /2 , 1) ,

c12 c13
V =  −c23 s12 − s23 s13 c12 eiδ
s23 s12 − c23 s13 c12 eiδ
s12 c13
c23 c12 − s23 s13 s12 eiδ
−s23 c12 − c23 s13 s12 eiδ
(8.23)

s13 e−iδ
s23 c13  .
c23 c13
(8.24)
Dabei sind cij := cos θij und sij := sin θ12 . Die beiden Phasen-Matrizen diag(ei δu , ei δc , ei δt )
und diag(e−i φ1 /2 , e−i φ2 /2 , 1) können in einer Re-Definition der Felder absorbiert werden.
Was bleibt sind die physikalischen CKM-Parameter θ12 , θ13 , θ23 und δ. Insbesondere ergibt sich für δ 6= 0 eine komplexe Matrix, was, wie später diskutiert wird, CP-Verletzung
impliziert.
Wolfenstein-Parametrisierung. Zum Teil wird von der sog. Wolfenstein-Parametrisierung
Gebrauch gemacht, die eine näherungsweise Beschreibung der CKM-Matrix erlaubt,


λ
A λ3 (ρ − iη)
1 − 12 λ2
 .
A λ2
1 − 21 λ2
(8.25)
V ≃  −λ − i A λ5 η
3
2
4
A λ (1 − ρ − iη) −A λ − i A λ η
1
Diese kann als Entwicklung in λ ≃ 0.23 ≃ sin θC aufgefasst werden.
i
i
Fazit: Die Masseneigenzustände der Quarks u′ L bzw. d′ L und die Quarkzustände, die
an die schwache Wechselwirkung koppeln, stimmen nicht überein, sondern sind durch
die CKM-Matrix verbunden. Durch die schwache Wechselwirkung sind also Übergänge
zwischen den Quark-Generationen im Sinne der Masseneigenzustände möglich.
Ausdehnung auf Leptonen: Prinzipiell spräche nichts dagegen, die Vorgehensweise
g
von den Quarks auf die Leptonen zu übertragen. Man müsste lediglich drei Felder νR
einführen, die komplett invariant unter SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y sind. Zusätzlich müsste
zur Lagrangedichte (7.18) ein Term
fi
g
Lν = − (Yν )f g εij ℓL (φ∗ )j νR
+ h.c.
(8.26)
addiert werden. Völlig analog zu den Quarks würde man
• massive Neutrinos und
• Übergänge zwischen den Leptonenfamilien
bekommen.
Tatsächlich werden beide Phänomene beobachtet. Allerdings ist die Masse der Neutrinos von der Größenordnung 0.1 eV oder darunter. Dies erfordert Yukawa–Kopplungen von
Ordnung . 10−12 . Später werden wir eine Konstruktion diskutieren, die kleine Neutrinomassen plausibel macht.
8
STANDARDMODELL
8.2
112
Lagrangedichte des Standardmodells
Eichgruppe.
Die Eichgruppe des Standardmodells ist
GSM = SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y .
(8.27)
Selbstverständlich gilt, dass
[Ta , Ii ] = [Ta , Y ] = [Ii , Y] = 0 ,
{Ta }8a=1
(8.28)
SU(3)C , {Ii }3i=1
wo
mit Ta = λa /2 die Generatoren der
ratoren der SU(2)L und Y der Generator der U(1)Y sind.
mit Ii = σi /2 die Gene-
Fermionen. Die Eichquantenzahlen der Fermionen des Standardmodells sind in Tabelle 8.1 zusammengefasst.
ν e
e
L
νµ
µ
eR
µR
u
c
d′
s′
L
Darstellung
ν τ
τ
L
L
L
(1, 2)−1/2
Q
0
−1
τR
t
b′ L
(1, 1)−1
−1
(3, 2)1/6
2
3
− 31
uR
cR
tR
(3, 1)2/3
2
3
dR
sR
bR
(3, 1)−1/3
− 31






















Leptonen
Quarks
Tabelle 8.1: Fermionen des Standardmodells. Q bezeichnet die elektromagnetische Ladung.
Higgs. Des Weiteren beinhaltet das Standardmodell noch das skalare Higgsfeld φ, das
bzgl. der SU(2)L als 2–plett transformiert und die schwache Hyperladung +1/2 trägt, d.h.
+
φ
: (1, 2)1/2 .
φ =
φ0
Bezüglich der SU(3)C sind alle Leptonen Singletts, die Quarks Tripletts und das Higgsfeld Singlett.
Lagrangedichte.
L
=
Die Lagrangedichte des Standardmodells ist
1
1
1
− tr(Gµν Gµν ) − tr(Wµν W µν ) − Bµν B µν
2
2
4
3 h
X
f
f
QL iγ µ Dµ QfL + ufR iγ µ Dµ ufR + dR iγ µ Dµ dfR
+
f =1
f
+ ℓL iγ µ Dµ ℓfL + efR iγ µ Dµ efR
−
3 h
X
f,g=1
f
i
f
f
(Yu )f g QL · ε · φ∗ ugR + (Yd )f g QL · φ dgR + (Ye )f g ℓL · φ egR + h.c.
i
8
STANDARDMODELL
113
+ (Dµ φ)† (Dµ φ) −
+ Eichfixierung .
2
λ †
φ φ − v2
2
(8.29)
Dabei gilt:
• Die einzelnen Feldstärketensoren sind
=
Gaµν Ta
Wµν
=
i
Wµν
Ii
Bµν
=
∂ µ Bν − ∂ ν Bµ .
Gµν
a
mit Gaµν = ∂µ Gaν − ∂ν Gaµ + g3 fbc
Gbµ Gcν ,
mit Wµν
i
=
∂µ Wνi
−
∂ν Wµi
+
i
g2 fjk
Wµj
Wνk
(8.30a)
,
(8.30b)
(8.30c)
Die Spuren können dabei auch in Kontraktionen der Gruppenindizes umgewandelt
werden, etwa
1
1
tr(Gµν Gµν ) = Gaµν Gµν
a .
2
4
• Die einzelnen kovarianten Ableitungen sind implizit durch die jeweilige Darstellung
gegeben,
Dµ QfL = ∂µ − i g3 Gaµ Ta − i g2 Wµi Ii − i g1 qY (QL ) Bµ QfL ,
(8.31a)
f
f
i
(8.31b)
Dµ ℓL = ∂µ − i g2 Wµ Ii − i g1 qY (ℓL ) Bµ ℓL ,
f
f
a
Dµ uR = ∂µ − i g3 Gµ Ta − i g1 qY (uR ) Bµ uR ,
(8.31c)
(8.31d)
Dµ dfR = ∂µ − i g3 Gaµ Ta − i g1 qY (dR ) Bµ dfR ,
Dµ efR
Dµ φ
=
=
[∂µ − i g1 qY (eR ) Bµ ] efR ,
∂µ − i g2 Wµi Ii − i g1 qY (φ) Bµ φ .
(8.31e)
(8.31f)
Die Hyperladungen qY erscheinen als Index in Tabelle 8.1.
• Im Grundzustand hat man
SU(2)L × U(1)Y
0
φ→
v
−−−−−−−−−→ U(1)em .
Die resultierenden elektrischen Ladungen sind in der letzten Spalte von Tabelle 8.1
aufgelistet.
Parameter des Standardmodells.
auf:
Im Standardmodell treten die folgenden Parameter
3
Eichkopplungen:
g1 , g2 , g3
9
Fermion–Massen:
(mν = 0)
m u , md , mc , ms , mt , mb
me , mµ , mτ
4
CKM–Parameter:
θ12 , θ13 , θ23 , δ
2
Higgs–Parameter:
v, λ
18
Parameter des Standardmodells
8
STANDARDMODELL
114
Bemerkungen:
(1) 18 Parameter genügen, um eine große Zahl an Observablen zu beschreiben. Anderseits sind 18 Parameter ein bisschen zu viel dafür, um das Standardmodell eine
wirklich grundlegende Theorie nennen zu können.
(2) Die Terme in LSM umfassen alle eichinvariante und renormierbare (d.h. die Kopplungsstärke hat nicht–negative Massendimension) Möglichkeiten bis auf
e µν ,
θQCD Gµν G
(8.32)
e µν = 1 εµνρσ Gρσ den sog. dualen Feldstärketensor bezeichnet, und der analogen
wo G
2
Konstruktion für Wµν und Bµν . Während die beiden letztgenannten keine beobachtbaren Konsequenzen haben, würde ein nicht–triviales θQCD interessante Implikationen besitzen. Bisher kann man nur obere Schranken an θQCD angeben; man könnte
θQCD durchaus als 19. Parameter des Standardmodells bezeichnen.
(3) Diese herkömmliche Version von LSM beschreibt nicht die beobachteten Neutrino–
Massen, die wir separat in 9.1 diskutieren werden.
(4) Alle Parameter des Standardmodells sind (abgesehen von Messungenauigkeiten) bekannt bis auf λ, ein Maß für die Higgs–Masse. Tatsächlich repräsentiert die letzte
Zeile in (8.29) nur die ökonomischste Möglichkeit, elektroschwache Symmetriebrechung zu realisieren. Das Higgs Teilchen wurde (noch?) nicht nachgewiesen; es ist
durchaus denkbar, dass es die elektroschwache Symmetriebrechung von einem komplexeren Sektor kommt.
8.3
Symmetrien des Standardmodells
Neben den Eich–Symmetrien SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y hat das Standardmodell noch
weitere Symmetrien, die im Folgenden diskutiert werden.
(i)
Raum–Zeit–Symmetrien
Die SU(2)L × U(1)Y –Wechselwirkungen verletzen offensichtlich P und C. Z.B. gilt
P
νL −→ νR ,
(8.33a)
d.h. ein Teil des SU(2)L Lepton–Dubletts wird abgebildet auf ein Teilchen, das es im
Standardmodell nicht gibt. Die analoge Aussage gilt für
C
νL −→ ν L .
(8.33b)
Jedoch hat man für die kombinierte Transformation
CP
νL −−−→ ν R ,
das Antiteilchen zum linkshändigen Neutrino ist ein rechtshändiges Anti–Neutrino.
(8.34)
8
STANDARDMODELL
115
Bemerkung: Tatsächlich ist die Benennung SU(2)L , wobei das L“ für links“ steht,
”
”
reine Konvention, da wir die Chiralität der Teilchen, aus denen sich unsere Umgebung
zusammensetzt, betrachten. Im Prinzip könnten wir die Rolle von Teilchen und Anti–
Teilchen vertauschen; wir würden dann in einer Welt leben, in der die Gegenstände im
Wesentlichen aus Anti–Materie besteht, und würden von einer SU(2)R sprechen.
Nun könnte man vermuten, dass die Kombination CP erhalten ist. Im Folgenden soll
0
gezeigt werden, dass dies nicht der Fall ist. Dazu betrachte das K 0 − K –System. Die
Kaonen sind auch s- und d–Quarks zusammengesetzt,
|K 0 i = |s di ,
0
|K i = |d si .
(8.35)
0
|K 0 i und |K i werden durch CP bis auf eine Phase in einander abgebildet,
0
C P |K 0 i = ξ |K i ;
(8.36)
wir wählen ξ = −1.
0
Die Zustände |K 0 i und |K i mischen. Dies kann daran gesehen werden, dass beide
in Pionen zerfallen können. Für unsere Diskussion werden die in Abbildung 8 gezeigten
Diagramme von Bedeutung sein.
d¯
u, c, t
u, c, t
s
d¯
s̄
W
W
d
(a)
s̄
ū, c̄, t̄
W
s
W
u, c, t
(b)
d
Abbildung 8: Box–Diagramme.
Nun soll ein System von zwei mischenden Zuständen quantenmechanisch beschrieben
werden. Hier folgen wir [16, S. 232 ff.]. Dazu identifizieren wir
0
a(t)
0
|ψ(t)i = a(t) |K i + b(t) |K i ≡
.
(8.37)
b(t)
Wir sind nur an der Zeit–Abhängigkeit interessiert. Der Hamilton–Operator ist dann eine
Matrix
i
H11 H12
H = H = M− Γ =
,
(8.38)
H21 H22
2
wobei M † = M und Γ† = Γ gilt. Es lässt sich zeigen, dass CPT–Invarianz impliziert
H11 = H22 ,
M11 = M22 ,
Somit können wir H schreiben als
i
A p2
H = M− Γ =
q2 A
2
Γ11 = Γ22 .
(8.39)
(8.40)
Diagonalisieren der hermiteschen Matrix H führt auf zwei Eigenzustände |KL i und |KS i,
d.h.
H |KL/S i = λL/S |KL/S i ,
(8.41)
8
STANDARDMODELL
116
wobei
mit
|KL/S i = p
1
|p|2 + |q|2
0
p |K 0 i ± q |K i
λL/S
=
2
q
p
i
i
p
ML/S − ΓL/S = M11 − Γ11 ±
2
2
q
=
∗
M12
− 2i Γ∗12
,
M12 − 2i Γ12
2p q
=
=
(8.42)
i
M12 − Γ12
2
,
i
(ML − MS ) − (ΓL − ΓS )
2
1/2
1/2 i
i
∗
2 M12 − Γ12
M12
− Γ∗12
.
2
2
Betrachte nun die CP–Eigenzustände
i
1 h
0
0
|K±
i = √ |K 0 i ∓ |K i
2
(8.43)
(8.44)
(8.45)
(8.46)
mit
0
0
C P |K±
i = ± |K±
i.
(8.47)
Vergleich mit (8.42) zeigt, dass die CP–Eigenzustände nicht den Eigenzuständen von H
entsprechen, sondern
|KL/S i = p
Hierbei ist
ε =
1
1+
|ε|2
0
0
|K∓
i ± ε |K±
i .
p−q
.
p+q
(8.48)
(8.49)
Man kann weiter zeigen, dass ein Zustand aus zwei bzw. drei Pionen gerade bzw. ungerade unter CP ist (vgl. Übungen). Das langlebige Kaon KL zerfällt dominant in drei
Pionen, aber zu einem kleinen Teil auch in zwei Pionen. Dies zeigt, dass KL einen (kleinen) Anteil an K+ hat. Andererseits kann man sich vorstellen, dass man KL aus drei
Pionen produziert. Wenn KL dann in zwei Pionen zerfällt, ist offensichtlich CP verletzt.
Man kann mittels der Box–Diagramme (Abbildung 8) die Mischung der Kaonen, und
somit CP–Verletzung, zur CKM–Matrix in Beziehung setzen. Man findet durch Rechnung
der Diagramme, dass im Quark–Sektor des Standardmodells CP genau dann verletzt ist,
wenn
• δ nicht–trivial ist, d.h. δ 6= 0, π (vgl. Gleichung (8.24)), und
• es nicht–triviale Mischung zwischen allen drei Generationen gibt.
Experimentell findet man δ ≃ 60◦ . Man beachte auch, dass CP–Verletzung nicht–triviale
CKM–Matrix–Elemente erfordert. M.a.W., ohne Quark–Mischung gäbe es auch keine CP
Verletzung im Quark–Sektor. Das wird durch die sog. Jarlskog–Invarianten explizit gemacht, die durch
JCP
=
1
1
∗
∗
∗
∗
|Im(V11
V12 V21 V22
)| = |Im(V11
V13 V31 V33
)|
2
2
8
STANDARDMODELL
=
117
1
1
∗
∗
|Im(V22
V23 V32 V33
)| = c12 c213 c23 sin δ s12 s13 s23 2
2
(8.50)
gegeben sind, und die ein Maß für die CP–Verletzung darstellen. Ist beispielsweise θ13 = 0,
so verschwindet JCP , und es gibt keine CP–Verletzung.
Abschließend sei bemerkt, dass CP–Verletzung eine entscheidende Rolle in der (Teilchen)Kosmologie spielt. So erfordert die Erklärung der beobachteten Baryonen–Antibaryonen–
Asymmetrie eine Verletzung von CP.
CP–Verletzung impliziert nach dem CPT–Theorem T–Verletzung. Ob die mikroskopische CP–Verletzung in direktem Zusammenhang mit der z.B. durch den zweiten Hauptsatz
der Thermodynamik ausgezeichneten Zeitrichtung steht, ist nicht wirklich geklärt.
Fazit: Die diskreten Transformationen P, T und C sind nicht Symmetrien des Standardmodells der Elementarteilchenphysik.
(ii)
Globale Symmetrien
Neben den Eichsymmetrien gibt es im Standardmodell kontinuierliche globale Symmetrien.
Die Lagrangedichte (8.29) hat vier globale U(1) Symmetrien, die Baryonzahl U(1)B sowie
die drei Leptonfamilienzahlen U(1)e , U(1)µ und U(1)τ , die definiert sind durch
U(1)B :
QfL → exp(i β/3) QfL ,
(8.51a)
,
(8.51b)
,
(8.51c)
(8.51d)
ufR
dfR
U(1)e :
U(1)µ :
U(1)τ :
→
exp(i β/3) ufR
exp(i β/3) dfR
→
eR → exp(i αe ) eR
νe
→ exp(i αe )
eL
,
νe
eL
,
(8.51e)
µR → exp(i αµ ) µR ,
νµ
νµ
→ exp(i αµ )
,
µL
µL
(8.51f)
τR → exp(i ατ ) τR ,
ντ
νe
→ exp(i ατ )
.
τL
eL
(8.51g)
(8.51h)
(8.51i)
D.h., die Quarks tragen Baryon–Zahl 1/3. Gemäß dem Noether’schen Theorem ergeben
sich daraus vier klassische Erhaltungsgrößen, die Baryon–Zahl B sowie die drei Leptonfamilienzahlen Le , Lµ und Lτ . Die Baryon–Zahl–Erhaltung impliziert die Stabilität des
Protons; das Proton ist bekanntlich sehr stabil, seine ‘Halbwertszeit’ beträgt mindestens
1033 Jahre.
Es sei bemerkt, dass diese klassischen Erhaltungsgrößen auf dem Quantenniveau nicht
streng erhalten sind, sondern dass die entsprechenden Erhaltungssätze durch sog. Anomalien gebrochen werden. Es zeigt sich jedoch, dass es eine nicht–anomale Linearkombination
gibt, die U(1)B−L , die sich ergibt, indem man β = −αe − αµ − ατ setzt in (8.51). Diese
ist nicht–anomal in dem Sinn, dass sich die gemischten SU(3)C − SU(3)C − U(1)B−L -,
SU(2)L − SU(2)L − U(1)B−L - und U(1)Y − U(1)Y − U(1)B−L –Anomalien wegheben. Damit
sich die gravitationellen und U(1)B−L − U(1)B−L − U(1)B−L –Anomalien ebenfalls wegheben, muss man drei rechts–händige Neutrinos einführen (siehe Gleichungen (8.26) und
(9.5)).
8
STANDARDMODELL
118
Fazit: Die Lepton- und Baryonzahl–Symmetrien sind zufällige Symmetrien des Standardmodells und auf dem Quanten–Niveau gebrochen. Es gibt eine globale U(1)B−L –
Symmetrie, die frei ist von Anomalien. Wie wir später in Abschnitt 9.1 diskutieren werden,
gibt es Gründe, anzunehmen, dass diese ebenfalls gebrochen ist.
8.4
Vorhersagen und Tests
Der elektroschwache Sektor beinhaltet vier Parameter, die zwei Eichkopplungen g1 und g2
sowie die Parameter des Higgs–Potentials µ2 und λ. Diese Parameter können eingetauscht
werden gegen vier Messgrößen, die Feinstruktur–Konstante α, die Fermi–Konstante GF ,
die Z–Masse MZ und die (noch) unbekannte Higgs–Masse mh .
f
W
f
Z
f′
(a) W → f + f ′ .
f
(b) Z → f + f .
Abbildung 9: Zerfall eines (a) W - bzw. (b) Z–Bosons in zwei Fermionen. Beim W –Zerfall können
das Fermion und das Anti–Fermion verschiedene Flavors haben. Die Blobs deuten an, dass
(Quanten-)Korrekturen berücksichtigt sind.
Am LEP Experiment wurden die W - und Z–Bosonen in großen Zahlen produziert.
Es gibt viele Observablen im Zusammenhang mit ihrer Produktion bzw. ihrem Zerfall
(Abbildung 9).
Zerfallsraten und W - bzw. Z–Masse. Die Massen MW und MZ können beispielsweise kinematisch gemessen werden, die Lebensdauer liefert die Zerfallsraten ΓW und ΓZ .
R–Verhältnisse. Die Verhältnisse der verschiedenen partiellen Zerfallsraten, etwa das
Verhältnis der Zerfallsrate des Z in b–Quarks zu der Zerfallsrate des Z in beliebige Hadronen,
Rb =
1
Γ Z →b+b .
Γ(Z → Hadronen)
(8.52)
Wie wir in Abschnitt 5.4 (i) diskutiert haben kann man aus den R–Verhältnissen auch auf
die Zahl der Farben schließen.
8
STANDARDMODELL
119
f
e+
Vorwärts–Rückwärts–Asymmetrien.
aktionen vom Typ
In Re-
e+ + e− → Z/γ → f + f
Z, γ
ist die Richtung des auslaufenden Fermions f
korreliert mit der Richtung des einlaufenden Elektrons. Dies wird durch die sog. Vorwärts–Rückwärts– e−
Asymmetrien Affb ausgedrückt, die erklärt sind
über
Affb =
σff − σbf
σff
+
σbf
f
für f = µ, τ, b, c .
ρ =
MZ2
ϑ
e−
Dabei ist σff der Wirkungsquerschnitt für ein vorwärts
auslaufendes Fermion, d.h. ϑ ∈ [0, π/2] in der rechtsstehenden Abbildung, wohingegen σbf den Wirkungsquerschnitt für ein vorwärts auslaufendes Fermion bezeichnet.
ρ–Parameter.
f
•
e+
f
Eine weitere wichtige Observable ist der sog. ρ–Parameter, der durch
2
MW
cos2 θW
(8.53)
definiert ist. Auf Tree–Niveau gilt ρ = 1. Schleifen korrigieren diesen Wert. Insbesondere
liefern Schleifen Korrekturen zu der Masse der W ± - und Z–Bosonen (Abbildung 10).
t
W+
t
W+
b
(a) Korrektur zum W + Propagator.
Z
Z
t
(b) Korrektur zum Z Propagator.
h
h
W ±, Z
W ±, Z
(c) Higgs–Korrektur.
W ±, Z
W ±, Z
(d) Higgs–Korrektur.
Abbildung 10: Schleifen–Korrekturen zum ρ–Parameter.
Dabei haben die Korrekturen, etwa 10(a) und 10(b), die identische Struktur, unterscheiden sich jedoch dadurch, dass die Teilchen, die in den Schleifen propagieren, verschiedene
Massen und Kopplungen an die Eichbosonen haben. Hätten sie identische Massen und
Kopplungen, wären die Quantenkorrekturen universell und es würde ρ = 1 auch auf dem
Quantenniveau gelten. Man sagt, es gibt eine ‘custodial SU(2) Symmetrie’, die lediglich
8
STANDARDMODELL
120
durch die Yukawa–Kopplungen und die Hyperladung gebrochen wird. Dementsprechend
hängen die Korrekturen von den Fermionmassen ab und sind durch die t–Masse dominiert.
Die Diagramme in Abbildungen 10(a) und 10(b) liefern
∆ρ(t) ≃
m2t
3GF m2t
√ ∝
2 .
MW
8π 2 2
(8.54)
Historisch konnte damit die t–Masse vorhergesagt werden bevor das Teilchen am TeVatron
gefunden wurde.
Die Higgs–Korrekturen 10(c) und 10(d) hängen von der Higgs–Masse ab, jedoch nur
logarithmisch,
∆ρ(h) = − C ln
m2h
2 .
MW
(8.55)
Damit kann man im Prinzip die Higgs–Masse vorhersagen. Jedoch ist diese Vorhersage
sehr sensitiv auf Parameter wie z.B. die t–Masse, von der ρ quadratisch abhängt. Wir
werden später sehen, dass dadurch die Vorhersage noch relativ große Fehlerbalken hat;
dies gilt leider auch für analoge Möglichkeiten, die Higgs–Masse indirekt zu bestimmen.
Eichboson–Selbstwechselwirkung. Wie wir bei der Diskussion der nicht–abelschen
Eichtheorien gesehen hatten, treten Wechselwirkungen zwischen den Eichbosonen auf (vgl.
S. 52). Beispielsweise benötigt man, um die Beobachtung im Prozess
e+ + e− → W + + W −
beide in Abbildung 11 dargestellten Diagramme.
e−
W−
e−
W−
νe
Z, γ
e+
(a)
W+
e+
(b)
W+
Abbildung 11: W –Boson Paar–Produktion.
8.5
Der Higgs–Sektor
Alle Teilchen des Standardmodells wurden im Experiment gesehen — bis auf das Higgs–
Boson. An dieser Stelle sei bemerkt, dass das Higgs–Boson die minimale Möglichkeit darstellt, die elektroschwache Symmetriebrechung zu bewerkstelligen und die Fermion–Massen
zu generieren. Es ist sehr gut möglich, dass es einen ganzen Higgs–Sektor gibt; beispielsweise sagen supersymmetrische Theorien mindestens zwei Higgs–Bosonen voraus. Eine der
wesentlichen Aufgaben des derzeit laufenden LHC Experiments ist die Suche nach dem
Higgs bzw. die Klärung der Frage des Ursprungs der elektroschwachen Symmetriebrechung.
8
STANDARDMODELL
(i)
121
Hierarchie–Problem
Ein konzeptionelles Problem des Higgs–Sektors ist, dass die Higgs–Masse UV–sensitiv“
”
ist. Damit ist gemeint, dass Strahlungskorrekturen der Higgs–Masse von der Größenordnung einer Einbettungs–Skala Λ sind, d.h. einer Skala, an der die Beschreibung durch das
Standardmodell ihre Gültigkeit verliert. Um das zu sehen, betrachte die Korrekturen, die
aus den Yukawa–Kopplungen resultieren,
f
−i M 2 (p)
k+p
= h
k
p
=
− (−iyf )2
=
− 4 yf2
Z
f
Z
h
p


 i k+p+m i k+m 
d4 k
f
f
i
ih
tr h
(2π)4  (k + p)2 − m2 k 2 − m2 
f
f
k · (p + k) + m2f
d4 k
i.
ih
h
(2π)4 (k + p)2 − m2 k 2 − m2
f
f
(8.56)
Durch dimensionale Analyse sehen wir, dass das Integral (nach einer Wick–Rotation) quadratisch divergiert (vgl. die Diskussion auf S. 61). M.a.W., die Korrekturen zur Higgs–
Masse gehen wie yf2 Λ2 , wegen yt ≫ yf 6=t also
∆m2h ≃
1 2 2
y Λ .
16π 2 t
(8.57)
Man nimmt deswegen an, dass das Standardmodell nicht zu beliebig hohen Skalen die
Physik angemessen beschreibt, sondern dass es bei Λ ≃ TeV neue Physik jenseits des
Standardmodelles gibt. Wir werden darauf kurz in Abschnitt 9 eingehen.
(ii)
Higgs–Produktion
Um das Higgs–Boson direkt nachzuweisen, muss es zunächst einmal produziert werden.
Dafür sind sowohl Lepton- als auch Hadron–Collider geeignet (Abbildung 12). Am LEP
Experiment wurde nach dem Higgs gesucht, es jedoch nicht gefunden. Daraus leitet man
eine Schranke
mh & 114 GeV
(8.58)
an die Higgs–Masse ab. Dabei muss man insofern vorsichtig sein, als dass das eine Schranke
an ein Boson mit den Eigenschaften des SM Higgses ist; in Erweiterungen des SM gibt
es durchaus die Möglichkeit, leichtere Skalare zu haben die konsistent sind mit dem LEP
Experiment.
(iii)
Higgs–Kopplungen und Zerfall
Am LHC wird man (hoffentlich) viele Resonanzen sehen. Nehmen an, eine davon hat eine
Masse von mehr als 114 GeV und ist neutral. Ist das das Higgs?
Es gibt einige, für das Higgs charakteristische Eigenschaften. Alle Tree–Niveau Kopplungen sind proportional zu Massen, da die Massen ja ihrerseits vom Vakuum–Erwartungswert
des Higgs kommen. Dementsprechend ist der Zerfall von dem schwersten kinematisch
zugänglichen Teilchen dominiert. Das kann, für ein schweres Higgs, das tt–Paar sein oder,
8
STANDARDMODELL
122
e−
h
G
h
Z
e+
Z
G
(b)
(a)
Abbildung 12: Higgs–Produktion. Das Higgs–Boson kann sowohl in (a) e+ e− –Kollisionen als auch
in (b) Hadron–Collidern produziert werden.
Wlong , Zlong
f
h
h
Wlong , Zlong
f
(a) M ∝ mf .
(b) M ∝ mh .
G
h
γ
h
(c)
G
γ
(d)
Abbildung 13: Higgs–Zerfälle. Die Übergangsamplituden der Tree–Niveau Diagramme (a) und (b)
sind proportional zu Massen, aber es gibt auch Schleifendiagramme, etwa (c) und (d), die den
Zerfall in masselose Teilchen erlauben.
für ein leichteres Higgs, die bb- bzw. τ τ –Paare (Abbildung 13(a)). Es gibt auch eine signifikante Zerfallsrate in die longitudinalen Komponenten der W - und Z–Bosonen (Abbildung 13(b)). Diagramme mit Schleifen ermöglichen den Zerfall in Gluonen (Abbildung 13(c)) und Photonen (Abbildung 13(d)).
Die Zerfallsraten für den Zerfall in Fermionen (Abbildung 13(a)) und in die longitudinalen Komponenten der W –Bosonen sind für mh ≫ mf , MW
Γ h→f +f
Γ(h → Zlong + Zlong )
=
=
GF mh m2f
√
Nc ,
4π 2
1
GF m3h
√ .
Γ(h → Wlong + Wlong ) =
2
32π 2
(8.59a)
(8.59b)
Dabei konzentrieren wir uns auf die longitudinalen Komponenten der Z–Bosonen, denn
8
STANDARDMODELL
123
es erweist sich, dass diese Prozesse die dominanten Beiträge liefern (vgl. die Übung zum
Goldstone Equivalence Theorem“). Des Weiteren ist Nc ein Farbfaktor, d.h. Nc = 3 für
”
Quarks und Nc = 1 für Leptonen.
Die Verzweigungsverhältnisse des Higgs in verschiedene Zerfallsprodukte hängt stark von
der betrachteten Energie ab. Falls das Higgs–Boson vergleichsweise schwer ist, mh > 2MW ,
dominiert der Zerfall in zwei W –Bosonen. Falls das Higgs relativ nahe bei der unteren
Massenschranke von ungefähr 114 GeV ist, könnte der Zerfall in zwei Photonen der Kanal
mit den größten Erfolgsaussichten bedeuten. Das würde bedeuten, dass es mehrere Jahre
dauern könnte, bis das Higgs–Boson am LHC gefunden ist.
(iv)
Schranken an die Higgs–Masse
Wir beschäftigen uns nun mit der Higgs–Masse. Im Standardmodell ist m2h = 2λv 2 ein
freier Parameter und kann nicht vorhergesagt werden. Nun sollen kurz die experimentellen
Schranken angegeben werden:
• Das Higgs wurde beim LEP Experiment nicht gefunden. Daher schliesst man, das
mh & 114 GeV .
(8.60)
• Wie bereits erwähnt, trägt das Higgs zu Strahlungskorrekturen bei, insbesondere
zum ρ–Parameter. Daher liefern Präzisionsmessungen indirekte Schranken an die
Higgs–Masse. Die Resultate eines globalen Fits sind im sog. “Blueband–Plot” (Abbildung 14) dargestellt. Mit einer statistischen Sicherheit von 95 % ist das Higgs–Boson
leichter als 185 GeV.
Bemerkung: Es gibt theoretische Argumente, die relativ enge obere bzw. untere Schranken für die Higgs–Masse implizieren.
(1) In der minimalen supersymmetrischen Erweiterung des Standardmodells ist die Higgs–
Selbstkopplung λ durch die Eichkopplungen gegeben und man ein relativ leichtes
Higgs, mh . 135 GeV.
(2) Unter der Annahme, dass das Standardmodell eine adäquate Beschreibung auch
bei höheren Energieskalen liefert, kann man Schranken aus der Forderung, dass λ
zum einen perturbativ bleibt und zum Anderen nicht negativ wird, ableiten. Die
relevanten Renormierungsgruppengleichungen lauten
µ
d
λ(µ)
dµ
=
µ
d
yt (µ)
dµ
=
1
2
12λ2 − 12 yt4 + . . . ,
(4π)
9 2
yt
2
y
−
8g
+
.
.
.
.
3
2
2 t
(4π)
(8.61a)
(8.61b)
Hierbei ist µ die Skala in dimensionaler Regularisierung und soll nicht mit dem
Parameter im Higgs–Potential verwechselt werden! Wir sehen an (8.61), dass yt mit
größerer Renormierungsskala µ kleiner wird. Das Verhalten von λ hängt von seinem
Startwert“ an der elektroschwachen Skala, d.h. der Higgs–Masse ab. Wir nehmen
”
nun an, das Standardmodell würde eine adäquate Beschreibung der Physik bis zu
einer Skala Λ liefern. Dann gibt es zwei Schranken:
STANDARDMODELL
124
6
Theory uncertainty
∆αhad =
(5)
5
0.02758±0.00035
0.02749±0.00012
incl. low Q2 data
2
4
∆χ
8
3
2
1
0
Excluded
30
100
300
mH [GeV]
Abbildung 14: “Blueband–Plot”. (Für die Quelle der Abbildung siehe [17].)
• Die sog. Trivialitäts–Schranke“ λ(µ) < ∞ für v ≤ µ ≤ Λ. λ muss in dem
”
betrachteten Bereich endlich bleiben. Würde die Kopplung also an einer Skala
µL < Λ explodieren, dann wäre die perturbative Interpretation der Theorie
nicht mehr angemessen. M.a.W., das Standardmodell wäre nur bis zur Skala µL
gültig. Im Umkehrschluss liefert also die Forderung, dass das Standardmodell
bis zu einer Skala Λ die richtige Beschreibung liefert, eine obere Schranke an
λ(v), und damit an die Higgs–Masse.
• Die sog. Vakuum–Stabilitäts–Schranke“ λ(µ) > 0. Falls λ im Intervall v ≤ µ ≤
”
Λ negativ würde, wäre das Higgs–Potential nach unten unbeschränkt, und das
elektroschwache Vakuum wäre nicht länger der Grundzustand der Theorie.16
Die numerischen Implikationen sind in Abbildung 15 dargestellt.
16 Es
besteht durchaus die Möglichkeit, dass wir in einem metastabilen Vakuum leben.
8
STANDARDMODELL
125
60 0
M H [GeV/
2
c ]
mh /GeV
50 0
40 0
Triviality
EW
3 00
Precision
2 00
1 00
EW vacuum is absolute minimum
0
3
5
7
9
11
13
15
17
19
Λ
[ Ge V ]
log10 Λ/GeV
lo g 10
Abbildung 15: Trivialitäts- und Vakuum–Stabilitäts–Schranken an die Higgs–Masse. Nach rechts
ist die Skala, bis zu der das Standardmodelle eine adäquate Beschreibung liefert, angetragen. (Für
die Quelle der Abbildung siehe [17].)
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
9
9.1
126
Teilchenphysik jenseits des Standard–Modells
Neutrino–Massen
Das Standardmodell kann aus verschiedenen Gründen keine vollständige Beschreibung der
Natur liefern. Es gibt einige wenige experimentelle Befunde, die zeigen, dass man das
Standard–Modell, definiert durch (8.29), erweitert werden muss. Einer dieser Befunde ist
die Beobachtung der sog. Neutrino–Oszillationen, die hier näher betrachtet werden sollen.
Die bei Weitem plausibelste Erklärung von Neutrino–Oszillationen ergibt sich, wenn man
annimmt, dass Neutrinos massive Teilchen sind.
Allerdings kann man sich leicht überlegen, dass man mit dem Teilcheninhalt des Standardmodells (vgl. Tabelle 8.1) keine eichinvarianten und renormierbaren Terme schreiben
lassen, die über (8.29) hinausgehen. D.h., um Neutrino–Massen zu beschreiben muss man:
(1) nicht–renormierbare Operatoren zulassen und/oder
(2) neue (νR ) Freiheitsgrade einführen.
Im Folgenden soll zuerst die erste Möglichkeit betrachtet werden.
(i)
Der effektive Neutrino–Massenoperator
Betrachte
g
1
f
κgf ℓC
·
ε
·
φ
ℓ
·
ε
·
φ
+ h.c. .
(9.1)
L
L
4
Hierbei ist ℓC
L der ladungskonjugierte Spinor zu ℓL , κ eine Matrix von Kopplungen mit
Massendimension GeV−1 , f und g sind Flavor–Indizes.
Im Vakuum, d.h. für
1
0
,
φ → √
v
2
hat man
g
1
Lκ → κgf v 2 νLC νLf + h.c. .
(9.2)
8
Dies stellt einen sog. Majorana–Massenterm dar (siehe Anhang H). Der Klarheit halber
drücken wir (9.2) durch Weyl–Spinoren aus. Bezeichnen wir die linkshändigen ν Weyl–
Spinoren mit ξ,
f ξ
,
νLf =
0
Lκ =
so wird (9.2) zu
1
1 f g ¯f ¯g κgf v 2
ξ ·ξ +ξ ·ξ ,
(9.3)
4
2
wo ·“ das SL(2, C)–invariante Spinor–Produkt bezeichnet. Der Faktor 1/2 vor der Klam”
mer ist ein kombinatorischer Faktor, der, wie auch im Fall des reellen Skalarfeldes, auftritt,
¯
da die Klammer quadratisch in den ξ- und ξ–Spinoren
ist.
Wir identifizieren dementsprechend als Neutrino–Massen–Matrix
1
(mν )gf = κgf v 2 .
(9.4)
4
Diese Massenterme (und natürlich auch (9.1)) brechen die Lepton–Zahl–Symmetrien in
(8.51). Wenn diese Konstruktion in der Natur realisiert ist, sind Neutrinos gewissermaßen
ihre eigenen Antiteilchen.
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
(ii)
127
Dirac–Neutrino–Massen
Nun wenden wir uns der zweiten Möglichkeit zu, d.h. wir führen neue Freiheitsgrade ein,
rechtshändige Neutrinos
f
νR
: (1, 1)0 ,
(9.5)
d.h. Singletts unter GSM . Dies ermöglicht es, die Lagrangedichte des Standardmodells um
einen renormierbaren Term zu erweitern,
g
f
+ h.c. .
LνDirac = − (Yν )gf ℓL · ε · φ∗ νR
(9.6)
Dieser Term ist das Analogon zum Yu –Term in (8.29). Analog zur Diskussion im Quark–
Sektor liefert dieser Term eine Dirac–Masse für die Neutrinos,

−LνDirac

0 
v
−−−−−−−−−→
φ→ √12 
=:
(iii)
v
f
+ h.c.
(Yν )gf √ νL g νR
2
f
+ h.c. .
(mDirac
)gf νL g νR
ν
(9.7)
See–Saw–Modell
Wenn man die νR –Freiheitsgrade einführt und alle renormierbaren eichinvarianten Terme
in die Lagrangedichte aufnimmt, gibt es noch einen Term, der berücksichtigt werden muss,
g
1
C ν f + h.c. .
LνMajorana = − Mgf νR
R
2
(9.8)
Man kann sich überlegen, dass nur der symmetrische Teil von M eine Rolle spielt, d.h.
MT = M .
(9.9)
Es ist zu beachten, dass die Skala von M unabhängig von der elektroschwachen Skala ist.
Betrachten wir jetzt der Einfachheit halber nur eine Generation, d.h.
−LνDirac
=
−LνMajorana
=
y ℓL ε φ∗ νR + h.c. ,
1
C ν + h.c. .
M νR
R
2
(9.10a)
(9.10b)
Dann kann dann die sog. See–Saw–Lagrangedichte umschreiben in
−LSee−Saw = − (LνMajorana + LνDirac ) =
1 C
Ψ M Ψ + h.c. ,
2
wobei
Ψ :=
νL
C
νR
und
M =
0
y
√v
2
y √v2
M
!
.
(9.11)
(9.12)
Die Massenmatrix M hat die Invarianten
det M = − y 2
v2
2
und
tr M = M .
(9.13)
Für die Eigenwerte m1 und m2 ergibt sich daher
m1 · m2 = − y 2 v 2
und
m1 + m 2 = M .
(9.14)
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
Dies führt auf
m1/2
M
=
2
1∓
r
y2 v2
1+4 2
M 2
!
.
128
(9.15)
Betrachte nun den Fall M ≫ y v. Es ergibt sich
m1 ≃ −
y2 v2
(mDirac
)2
ν
= −
2M
M
und m2 ≃ M .
(9.16)
Insbesondere gilt nun für die Eigenzustände ν1/2
ν1 ≃ νL
und
ν2 ≃ νR .
(9.17)
Diese Eigenschaft bleibt erhalten, wenn man anstatt einer drei Generationen betrachtet.
Ein wesentliches Merkmal dieses Szenarios ist, dass man leichte Neutrinomassen erhält,
die durch die See–Saw–Formel bestimmt sind,
|mleicht
| ≃
ν
)2
(mDirac
ν
.
M
(9.18)
Diese Struktur ergibt sich auch mit dem effektiven Neutrino–Massenoperator (9.1), wenn
man κ = 1/M wählt. Tatsächlich entsteht (9.1) durch Ausintegieren schwerer rechtshändiger Neutrinos, wie die folgende Diskussion zeigt.
(iv)
Ausintegrieren schwerer Freiheitsgrade
Es soll das Konzept des Ausintegrierens von effektiven Theorien erklärt werden. Wir betrachten dazu eine ‘Spielzeug–Lagrangedichte’
M2 2
1
Φ + a(φ) Φ − Lleicht (φ) .
−Ltoy = − (∂µ Φ) (∂ µ Φ) +
2
2
(9.19)
Hierbei ist Φ ein schweres reelles Skalarfeld, φ repräsentiert leichte Skalarfelder, die via
dem a(φ) Φ Term an Φ koppeln. Nun soll die Theorie für Energieskalen E ≪ M untersucht
werden. Für solche Energien kann der kinetische Term von Φ gegen M vernachlässigt
werden,
−Ltoy ≃
M2 2
Φ + a(φ) Φ − Lleicht (φ) .
2
Quadratische Ergänzung liefert
2
a(φ)
a(φ)2
M2
Φ+
− Lleicht (φ)
−
−Ltoy ≃
2
M2
2M 2
M 2 2 a(φ)2
=:
Φ̃ −
− Lleicht (φ) .
2
2M 2
(9.20)
(9.21)
Die Vorhersagen der Quantenfeldtheorie erhält man aus dem erzeugenden Funktional, d.h.
aus dem Pfadintegral (bei dem wir die Quellen 0 gesetzt haben)
Z
Z
4
(9.22)
Z =
Dφ DΦ exp i d x Ltoy .
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
Wenn man die kinetischen Terme vernachlässigt, ergibt sich
Z
Z
M 2 2 a(φ)2
4
e
Φ̃ +
+ Lleicht (φ)
.
Z ≃
Dφ DΦ exp i d x −
2
2M 2
129
(9.23)
e und die (Gauß’sche) IntegraNun kann man die Integrationsvariable verschieben, Φ → Φ,
e durchführen mit dem Ergebnis
tion über Φ
Z
Z
a(φ)2
4
Z ≃ N Dφ exp i d x
+ Lleicht (φ)
.
(9.24)
2M 2
N ist eine irrelevante Normierungskonstante. Das schwere Feld Φ ist aus der Theorie
verschwunden, man sagt es sei ‘ausintegriert’ worden. Die Theorie wird nun durch eine
effektive Lagrangedichte beschrieben,
Leff =
a(φ)2
+ Lleicht (φ) ,
2M 2
(9.25)
die nur die leichten Freiheitsgrade betrifft. Es gibt neue Wechselwirkungen zwischen den
leichten Feldern, die durch die Skala M unterdrückt sind, und die nicht–renormierbare
Terme beinhalten kann auch wenn die Ausgangstheorie renormierbar war.
Bemerkung:
!
0 =
Wenn man in den Bewegungsgleichungen von Φ,
∂Ltoy
∂Ltoy
− ∂µ
,
∂Φ
∂(∂µ Φ)
die Ableitungs–Terme vernachlässigt, erhält man die algebraische Relation
Φ = −
a(φ)
.
M2
Einsetzen in Ltoy und Vernachlässigen des kinetischen Terms von Φ liefert ebenfalls Leff .
Diese Aussage gilt ganz allgemein:




Ersetzung




Ausintegrieren








von Φ durch




schwerer
Bewegungsgleichung
↔


 Freiheitsgrade 



unter Vernachlässigung 






Φ für E ≪ M


der kinetischen Terme
Es gibt Ausnahmen von dieser Regel, wenn man Eichtheorien betrachtet.
Beispiel: Der effektive Neutrino–Massen–Operator (9.1) ergibt sich durch Ausintegrieren der rechtshändigen Neutrinos in der See–Saw–Lagrangedichte (9.11).
(v)
Neutrino–Massendiagonalisierung
Neutrinomassen implizieren, dass — wie auch im Quark–Sektor — die Wechselwirkungspartner bzgl. der schwachen Wechselwirkung nicht mit den Masseneigenzuständen übereinstimmen müssen. Es soll nun die Neutrinomassendiagonalisierung für die betrachteten
Fälle diskutiert werden.
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
130
Dirac–Neutrinos. Die Diskussion verläuft parallel zu den Quarks. Im ersten Schritt
gehen wir in eine Basis, in der die Yukawa–Kopplungen der geladenen Leptonen Ye diagonal
sind. In dieser Basis können wir Yν diagonalisieren,
†
(ν)
(ν)
= diag(y1 , y2 , y3 ) .
(9.26)
UL
Yν UR
Majorana–Neutrinos. Im Fall von drei rechts- und linkshändigen Neutrinos kann die
Massenmatrix M aus (9.12) geschrieben werden als
!
0
YνT √v2
1
M =
.
(9.27)
Yν √v2
M
2
Diese Matrix kann diagonalisiert werden, wobei man entsprechend der obigen Diskussion
eine Näherungsformel für die 3 × 3–Massenmatrix der leichten Neutrinos erhält,
mMajorana
≃ −
ν
v2 T
Y · M −1 · Yν .
2 ν
(9.28)
In einer Basis, in der Ye diagonal ist, kann man dann die symmetrische Majorana–Massenmatrix
mMajorana
diagonalisieren,
ν
U T mMajorana
U = diag(m1 , m2 , m3 ) .
ν
(9.29)
In beiden Fällen hat man einen Zusammenhang zwischen den Wechselwirkungspartnern
νℓ (ℓ = e, µ, τ ) der geladenen Leptonen und den Masseneigenzuständen νi ,
X
νℓ =
Uℓi νi .
(9.30)
i
Die Mischungsmatrix U wird gemeinhin als MNS–Matrix bezeichnet, gemäß den Pionieren
in der Theorie der Lepton–Mischung Maki, Nakagawa und Sakata.
Bemerkung:
Im Majorana–Fall treten zwei zusätzliche Phasen auf,
Majorana
Dirac
UMNS
= UMNS
· diag(1, ei ϕ1 /2 , ei ϕ2 /2 ) ,
(9.31)
Dirac
wobei UMNS
analog zur CKM–Matrix parametrisiert werden kann.
(vi)
Neutrino–Oszillationen
Die Tatsache, dass Neutrino–Masseneigenzustände nicht–triviale Superpositionen von Neutrino–
Flavoreigenzuständen sind, hat wichtige Konsequenzen. Ein Neutrino, das irgendwo als
‘Elektron–Neutrino’ erzeugt wird, kann an einem anderen Platz (falls die Energie ausreichend ist) als µ–Neutrino detektiert werden, oder umgekehrt (siehe Abb. 16).
Im Folgenden soll eine vereinfachte, quantenmechanische Beschreibung des Phänomens
gegeben werden. Die zeitliche Entwicklung von Neutrinos ist dann
X
|νℓ (t)i =
e−i Ej t Uℓj |νj i ,
(9.32)
j
wobei
Ej =
q
p~ 2 + m2j .
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
131
W
W
ν
µ−
e−
Abbildung 16: Neutrino–Flavor–Übergänge.
Die Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Übergang in den Neutrino–Flavor ℓ′ zum Zeitpunkt t ist
X
†
−i Ej t
hνℓ′ |νℓ (t)i =
hνk |Ukℓ
Uℓj |νj i
′ e
j,k
=
X
e−i Ej t Uℓj Uℓ∗′ j .
(9.33)
j
Im letzten Schritt wurde verwendet, dass die Masseneigenzustände orthonormal sind,
hνk |νj i = δjk .
Die Wahrscheinlichkeit für den Flavorübergang ist dann das Betragsquadrat,
2
X
−i Ej t ∗ ′
Uℓj e
U ℓ′ j .
P (νℓ → νℓ ; t) = j
(9.34)
Um ein Gefühl für diesen Ausdruck zu bekommen, wird die Diskussion im 2 × 2–Fall
durchgeführt. Hier haben wir
c s
(9.35)
U =
−s c
mit c = cos θ und s = sin θ. D.h., die Wechselwirkungspartner bzgl. der schwachen Wechselwirkung des Elektrons und des µ sind
|νe i
|νµ i
=
=
c |ν1 i + s |ν2 i ,
−s |ν1 i + c |ν2 i .
(9.36a)
(9.36b)
Ferner erweist es sich, dass in Prozessen, in denen nachweisbare Neutrinos produziert
werden, die Energien sehr viel größer sind als die Neutrino–Massen. Daher kann man die
Energie entwickeln,
Ej =
q
m2j
m2j
p~ 2 + m2j ≃ |~
p| +
≃ |~
p| +
.
2|~
p|
2E
Damit ergibt sich (für universelles |~
p|)
∆m2
P (νℓ → νℓ′ ; t) = sin2 2θ sin2
t
4E
(9.37)
(9.38)
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
132
mit ∆m2 = m22 − m21 . Außerdem bewegen sich die Neutrinos praktisch mit Lichtgeschwindigkeit, d.h. man kann die Zeit t durch die durchquerte Distanz L ersetzen,
L
,
(9.39)
P (νℓ → νℓ′ ; L) = sin2 2θ sin2 π
Losc
wobei die sog. Oszillationslänge
4π E
(9.40)
Losc =
∆m2
eingeführt wurde. Wenn man also an einem Ort ein Elektron–Neutrino produziert, ist die
Wahrscheinlichkeit, im Abstand L wieder ein Elektron–Neutrino zu messen i.A. von 1
verschieden. Diese Wahrscheinlichkeit ist eine oszillierende Funktion des Abstands (Abbildung 17).
P (νe → νe )
1
sin2 2θ
Losc
L
Abbildung 17: Neutrino–Oszillationen.
Es lässt sich zeigen, dass im 3 × 3–Fall die selben Effekte auftreten. Der einzige Unterschied ist, dass man hier drei Mischungswinkel und zwei Massenquadrat–Aufspaltungen
als Parameter eingehen.
Wir beobachten zwei Arten von Neutrino–Oszillationen in der Natur. Zum Einen die
solaren Neutrino–Oszillationen, die das sog. solare Neutrino–Problem lösen, d.h. die Frage,
warum weniger Elektron–Neutrinos an der Erde ankommen als das gemäß dem Sonnen–
Modell sein sollte. Dies sind Oszillationen zwischen Elektron–Neutrinos und anderen Neutrino–
Flavors. Zum Anderen beobachten wir die atmosphärischen Neutrino–Oszillationen. Diese
erklären, warum wir weniger µ–Neutrinos messen als wir es gemäß der µs, die durch die
Wechselwirkung von hochenergetischer kosmischer Strahlung mit der Atmosphäre entstehen, erwarten würden. Diese beiden Arten von Neutrino–Oszillationen sind charakterisiert durch unterschiedliche Oszillationslängen und damit unterschiedliche ∆m2 , die
entsprechend mit ∆m2sol bzw. ∆m2atm bezeichnet werden. Wir folgen der Konvention,
∆m2sol = m22 − m21 und ∆m2atm = |m23 − m22 | zu setzen. Dabei ist z.Zt. noch nicht geklärt, ob m3 > m2 oder m3 < m2 ist. Man unterscheidet zwischen Neutrino–Spektren
mit normaler und invertierter Hierarchie (Abbildung 18). Des Weiteren ist die Masse m1
unbekannt; astrophysikalische Argumente legen m1 . 0.2 eV nahe. Im Folgenden stellen
wir kurz Schlüssel–Experimente vor, die es uns möglicherweise in der Zukunft erlauben
werden, m1 zu bestimmen.
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
m2
133
m2
νe
νµ
ντ
m32
solar~7×10−5eV2
atmospheric
~2×10−3eV2
m22
m12
m22
m12
atmospheric
~2×10−3eV2
solar~7×10−5eV2
m32
?
?
0
0
Abbildung 18: Neutrino–Spektren mit normaler (links) und invertierter (rechts) Hierarchie. Die
farbigen Balken geben die Flavor–Zusammensetzung der einzelnen Massen–Eigenzustände wieder.
(vii)
Neutrinoloser doppelter β–Zerfall
Im gewöhnlichen β–Zerfall zerfällt ein Neutron in ein Proton, ein Elektron und ein Anti–
Neutrino (Abb. 19(a)). Wenn Neutrinos Majorana–Massen haben, ist Lepton–Zahl gebrochen, und es können zwei β–Zerfälle gleichzeitig ablaufen, ohne dass (Anti–)Neutrinos
entstehen (Abb. 19(b)). Das resultiert in einer Verschiebung des Spektrums der Elektronen hin zu höheren Energien. Der Nachweis von neutrinolosem doppelten β–Zerfall würde
somit zeigen, dass Neutrinos Majorana–Teilchen sind.
Umgekehrt kann man auch die kinematische Masse der Neutrinos messen. Ist diese
bekannt und sind die Schranken an die neutrinolose doppelten β–Zerfalls–Amplitude hinreichend stark, so kann man schließen, dass Neutrinos Dirac–Teilchen sind.
Derzeit ist diese Frage nicht geklärt. M.a.W. wissen wir nicht, mit welchen Termen in
der Lagrangedichte Neutrino–Massen beschrieben werden.
(viii)
Vergleich zwischen Quark- und Leptonsektor
Abschließend sollen noch die Parameter im Leptonsektor mit denen im Quark–Sektor
verglichen werden. Man kann davon ausgehen, dass alle Teilchen massiv sind, wobei der
Nachweis der Masse für das leichteste Neutrino noch aussteht. Die Massen–Eigenwerte
sind
md ≃ 3 . . . 7 MeV ,
ms = 95 ± 25 MeV ,
mb = 4.20 0, 07 GeV ,
me = 511 keV ,
mµ = 105 MeV ,
mτ = 1.8 GeV ,
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
n
p
W
p
n
134
e−
W
e−
e−
ν̄
W
(a) β–Zerfall.
n
p
(b) Neutrinoloser doppelter β–
Zerfall.
Abbildung 19: Falls Neutrinos Majorana–Teilchen sind, ist neutrinoloser doppelter β–Zerfall
möglich.
mu ≃ 1.5 . . . 3 MeV ,
mc ≃ 1.25 GeV ,
mt ≃ 173 GeV ,
m1 = ? ,
∆m2sol = (7.3 . . . 8.5) · 10−5 eV2 ,
∆m2atm = (2.2 . . . 3.0) · 10−3 eV2 .
(9.41)
Während die Massen
p der geladenen Teilchen starke Hierarchien aufweisen, hat man im
Neutrino–Sektor ∆m2atm /∆m2sol ∼ 5. Die Neutrinos sind auch systematisch sehr viel
leichter als die geladenen Teilchen. Eine plausible Erklärung für die Unterdrückung der
Neutrino–Massen ist durch das See–Saw–Modell gegeben. Um Neutrino–Massen im Bereich
von 0.1 eV zu bekommen, benötigt man für die Eigenwerte der Massenmatrix M
Mi ≃ 1014 GeV ,
(9.42)
wenn für die Yukawa–Kopplungen in Yν Werte der Größenordnung 1 angesetzt werden.
Die Mischungsstruktur im Quark- und Lepton–Sektor ist stark unterschiedlich,




0.82 0.56
0
0.97
0.23 0.004
|VCKM | ≃  0.23 0.973 0.04  ↔ |UMNS | ≃  0.41 0.56 0.71  .
0.41 0.56 0.71
0.008 0.04
1
Im Standardmodell, erweitert durch Neutrino–Massen, bedeuten die obigen Aussagen, dass
man die Parameter entsprechend wählen muss. Viele Teilchenphysiker sind der Auffassung,
dass die Massen- und Mischungsstruktur des Fermion–Sektors des Standardmodells in
Erweiterungen eine Erklärung findet. Obwohl es viele Erklärungsversuche gibt, erfordert
es noch große theoretische und experimentelle Anstrengungen, die zutreffende Erklärung
zu finden bzw. zu identifizieren.
9.2
(i)
Große Vereinheitlichung
Die Idee der GUTs anhand SU(5)
Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik beschreibt drei der vier bekannten Grundkräfte mit großer Präzision. Es basiert auf der Symmetriegruppe
GSM = SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y .
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
135
Die sog. fundamentalen Fermionen transformieren mit den Quantenzahlen
linkshändige“ Quark–Dubletts Q : (3, 2)1/6 ,
”
rechtshändige“ u–artige Quarks u : (3, 1)2/3 ,
”
rechtshändige“ d–artige Quarks d : (3, 1)−1/3 ,
”
linkshändige“ Lepton–Dubletts ℓ : (1, 2)−1/2 ,
”
rechtshändige“ Lepton–Singletts e : (1, 1)−1 .
”
Die erste Beobachtung ist, dass der Teilchencharakter der Fermionen durch die Transformationseigenschaften unter GSM festgelegt ist. Wie wir diskutiert haben, bedeutet die
Notation z.B. dass linkshändige“ Quark–Dubletts als 3–Vektor“ unter einer SU(3)C
”
”
Transformation transformiert,


 

 ′


qrot
qrot
∗ ∗ ∗
qrot
′
 =  ∗ ∗ ∗  ·  qgrün  .
 qgrün  →  qgrün
′
qblau
∗ ∗ ∗
qblau
qblau
{z
}
|
SU(3)C Matrix
Zweitens ist der Materie–Inhalt des Standardmodells etwas merkwürdig. Warum gibt es
genau diese Darstellungen, und nicht andere? Um diese Frage zu beantworten, schreiben
wir zunächst mal alle Teilchen des Standardmodells als linkshändige Fermionen,
linkshändige“ Quark–Dubletts Q : (3, 2)1/6 ,
”
linksshändige“ Anti–u–artige Quarks uC : (3, 1)−2/3 ,
”
linkshändige“ Anti–d–artige Quarks dC : (3, 1)1/3 ,
”
linkshändige“ Lepton–Dubletts ℓ : (1, 2)−1/2 ,
”
linksshändige“ Anti–Lepton–Singletts eC : (1, 1)1 .
”
Man kann sich jetzt überlegen, dass GSM in SU(5) passt“,
”
GSM ⊂ SU(5) .
Für SU(3)C und SU(2)L ist das relativ einfach zu sehen,
können zu einer 5 × 5 Matrix zusammengefasst werden,



∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
 ∗ ∗ ∗ ∗
 ∗ ∗ ∗ 


∗ ∗ ∗
→  ∗ ∗ ∗ ∗
 ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
eine 3 × 3 und eine 2 × 2 Matrix
∗
∗
∗
∗
∗



 .


(9.43)
Darüber hinaus findet man, dass sich die Standardmodell Materie in zwei SU(5) Multipletts
zusammenfassen lässt. Konkret hat man


d¯rot
 d¯grün 


¯

(9.44)
5 = ψi = 

 dblau
 ℓ↑ 
ℓ↓
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
136
und
10 = χij


1 

= √ 
2

0
−uC
blau
uC
grün
−Q↑rot
−Q↓rot
uC
blau
0
−uC
rot
−Q↑grün
−Q↓grün
−uC
grün
uC
rot
0
−Q↑blau
−Q↓blau
Q↑rot
Q↑grün
Q↑blau
0
−eC
Q↓rot
Q↓grün
Q↓blau
eC
0




 .


(9.45)
Für die 5–Darstellung ist es relativ offensichtlich, dass — unter der Annahme der Block–
Gestalt (9.43) — die oberen 3 Komponenten als SU(3)C 3–plett und die unteren beiden
als SU(2)L 2–plett transformieren. Bei dem 10–plett, d.h. dem antisymmetrischen SU(5)–
Tensor zweiter Stufe, muss man sich vor Augen halten, dass χ mit zwei SU(5)–Matrizen
transformiert,
χ → U · χ · UT .
(9.46)
Nun schreiben wir U als
U3 0
U =
0 U2
(9.47)
mit den SU(3)C - bzw. SU(2)L –Matrizen U3 bzw. U2 sowie
1
uC
Q
.
10 = √
−QT eC
2
(9.48)
Damit finden wir für die einzelnen Blöcke im 10–plett das Transformationsverhalten




0
uC
−uC
0
uC
−uC
grün
grün
blau
blau
 · U3T ,
 → U3 ·  −uC
 −uC
0
uC
0
uC
rot
rot
blau
blau
C
C
C
C
ugrün −urot
0
ugrün −urot
0



Q↑rot
Q↑grün
Q↑blau
Q↓rot
Q↓grün
Q↓blau
C
0
−eC
e
0



→
→


U3 · 
U2 ·
Q↑rot
Q↑grün
Q↑blau
0
−eC
Q↓rot
Q↓grün
Q↓blau
C
e
0


T
 · U2 ,
· U2T .
(9.49a)
(9.49b)
(9.49c)
Wir sehen, dass die uC –Matrix in (9.49a) als antisymmetrischer Tensor zweiter Stufe unter SU(3)C , also als 3–plett, und als Singlett unter SU(2)L transformiert. Des Weiteren
transformiert die Q–Matrix in (9.49b) als SU(3)C 3–plett und als SU(2)L 2–plett; die eC –
Matrix in (9.49c) transformiert als antisymmetrischer Tensor zweiter Stufe unter SU(2)L ,
also als Singlett.
Zwischen–Resume: Wir finden, dass die SU(5)–Darstellungen 5 und 10 eine Generation an Standardmodell–Materie beinhalten,

Q 
dC
→ 10 .
(9.50)
→ 5 , uC
ℓ

eC
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
137
Darüber hinaus erweist es sich, dass SU(5) nicht nur SU(3)C und SU(2)L beinhaltet,
sondern auch Hyperladung. Es gibt einen Generator in SU(5), der mit den Generatoren
der SU(3)C - und SU(2)L –Untergruppen vertauscht,


−1/3


−1/3


 .
−1/3
tY = N 
(9.51)




1/2
1/2
Dabei ist N eine Normierungskonstante, um die wir uns etwas später kümmern, und es
geht ein, dass die Generatoren der SU(N ) spurfrei sind. In einer etwas mathematischeren
Sichtweise würden wir sagen, dass SU(N ) Rang N − 1 hat, so dass SU(3) und SU(2)
zusammen Rang 3 besitzen, und Hyperladung den Rang auf 4 = Rang(SU(5)) ergänzt.
Insgesamt haben wir also
SU(5) ⊃ SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y = GSM .
(9.52)
Wir müssen nun überprüfen, dass tY tatsächlich die richtigen Hyperladungen liefert. Für
das 5–plett liefert eine infinitesimale Transformation
 C 

 1 C 

drot
qY dC
rot
3 drot
 dC


 qY d C
 1 dC

grün 
 grün



 31 grün
C
C
C





−tY  dblau  = N  3 dblau  = N  qY dblau 
(9.53)
 .
 ℓ↑ 
 qY ℓ ↑ 
 − 1 ℓ↑ 
2
ℓ↓
qY ℓ ↓
− 12 ℓ↓
Die Notation hier ist etwas schlampig; qY nimmt je nach Multiplett einen anderen Wert an.
Durch Vergleich finden wir, dass (bis auf die Normierung N ) die richtigen“ Hyperladungen
”
qY entstehen. Das 10–plett schreiben wir in Blockform und erhalten für das Verhalten
unter einer infinitesimalen Transformation
C
C
C
u
Q
u
Q
u
Q
tTY
+
→ tY
−Q eC
−Q eC
−Q eC
1
C
C
1
−3 0
u
Q
u
Q
−3 0
·
+N
·
= N
1
1
−Q eC
−Q eC
0
0
2
2
− 31 − 31 uC
− 13 + 12 Q
= N
1
+ 1 eC
− −1 + 1 Q
2 C3 12 2 2
Q
−3 u
qY u C qY Q
6
= N
.
(9.54)
= N
−qY Q qY eC
− 61 Q 1 eC
tY liefert in der Tat die richtigen Hyperladungen; die Normierung N kann in eine Redefinition der Kopplungsstärke g1 gesteckt werden. Es ist überaus bemerkenswert, dass die
Einbettung von GSM in SU(5) die auf die beobachteten Hyperladungen führt.
Ladungsquantisierung. Insbesondere erklärt die obige Analyse, warum die die Ladungen quantisiert“ sind, d.h. warum alle qY –Ladungen ganzzahlige Vielfache von 1/6
”
sind. Es sei jedoch bemerkt, dass Ladungsquantisierung ebenfalls aus den Anomalien–
Bedingungen folgt (siehe [10, S. 383 ff.]).
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
138
GUT–Normierung für Hyperladung. Wie wir im Zusammenhang mit den nicht–
abelschen Eichtheorien besprochen haben (siehe z.B. die Relation (3.14c)), werden die
Generatoren der SU(N ) Gruppen auf 1/2 normiert. Wir müssen daher fordern, dass
r
3
2
2 5 ! 1
y N =
.
(9.55)
=
tr(tY · tY ) = N · (3/9 + 2/4) = N ·
6
2
5
Die Normierung kann in einer Redefinition der Kopplungsstärke g1 absorbiert werden.
(ii)
Eichkopplungsvereinigung
Es gibt ein offensichtliches Problem mit der Idee der großen Vereinheitlichung. Obwohl die
Struktur der SM Materie perfekt in SU(5) passt, wissen wir, das die Kopplungsstärken
der Eichgruppen SU(3)C , SU(2)L und U(1)Y unterschiedlich sind. Andererseits haben
wir in vorher im Zusammenhang mit der QED (siehe S. 67) und der QCD (siehe S. 71)
gesehen, dass die Kopplungsstärken von der Skala abhängig sind. Darüber hinaus haben wir
gefunden, dass die Kopplung g3 der QCD zu höheren Energien hin abnimmt während die
Kopplung g1 einer U(1) Eichwechselwirung größer wird. M.a.W., die Kopplungen bewegen
sich aufeinander zu. Die Situation ist in Abbildung 20 veranschaulicht, wo g1 in GUT–
Normierung (9.55) aufgetragen ist.
Abbildung 20: Laufen der Eichkopplungen im Standardmodell.
Wir sehen, dass die Kopplungen sich beinahe treffen. Die Skala, an der das passiert
ist von der Größenordnung 1014−16 GeV. Interessanterweise haben wir eine vergleichbare
Skala bei der Diskussion des See–Saw Mechanismus in (iii) kennengelernt (siehe Gleichung (9.42)).
Es wird jedoch i.A. nicht davon ausgegangen, dass das SM die Physik bis zu dieser Skala
die gültige Beschreibung liefert. Aufgrund des Hierarchie–Problems (siehe (i)) nimmt man
an, dass es bei einer Skala von etwa einem TeV neue Physik gibt, die es uns erlaubt, zu
verstehen, warum der Vakuumerwartungswert des elektroschwachen Higgsfeldes von der
Größenordnung 100 GeV ist. Ein sehr attraktiver Kandidat für diese neue Physik ist Supersymmetrie, die hier aus Zeitgründen nicht im Detail diskutiert wird. Supersymmetrie impli-
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
139
ziert, dass es für jedes Teilchen einen Superpartner gibt. Der Superpartner eines Fermions
ist ein Boson und umgekehrt. In der sog. minimalen supersymmetrischen Erweiterung des
Standardmodells, dem MSSM, führt man für jedes Standardmodell–Teilchen einen Superpartner ein (sowie ein zweites Higgs–Superfeld, um die Anomalien wegzuheben). Die
Anwesenheit dieser Superpartner modifiziert die Renormierungsgruppengleichungen. In
Abbildung 21 wird die Evolution der Eichkopplungen unter der Annahme gezeigt, dass die
Superpartner Massen von einem TeV haben. Man erkennt, dass sich die Eichkopplungen
Abbildung 21: Laufen der Eichkopplungen in der minimalen supersymmetrischen Erweiterung des
Standardmodells.
praktisch exakt treffen bei einer Skala
MGUT ≃ 2 · 1016 GeV ,
(9.56)
die relativ ähnlich zu der naiven See–Saw–Skala (9.42) ist (und sich auch nicht allzu stark
von der Planck–Skala MP ≃ 2 · 1018 GeV unterscheidet).
Extra Eichbosonen. Wie wir diskutiert haben, hat die SU(5) zwei Unterblöcke, entsprechend den nicht–abelschen Untergruppen SU(3)C und SU(2)L , und Hyperladung lebt“
”
in beiden Blöcken. Wir können folglich die Eichbosonen der SU(5) in die Eichbosonen des
Standardmodells und einen Rest zerlegen,


X1
Y1
 G − √2 B

X2
Y2

30
1 


X3
Y3
(9.57)
A = √ 
 ,

3
1
∗
∗
∗
3
+
2
√
√
X
X
X
W
+
B
W
 1

2
3
2
30
Y1∗ Y2∗ Y3∗
W−
− √12 W 3 + √330 B
wo G für die Gluonen steht. Gruppentheoretisch zerlegt sich die adjungierte Darstellung
von SU(5) gemäß
24 = (8, 1)0 ⊕ (1, 3)0 ⊕ (1, 1)0 ⊕ (3, 2)−5/6 ⊕ (3, 2)5/6 ,
(9.58)
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
140
wobei (8, 1)0 , (1, 3)0 bzw. (1, 1)0 den Generatoren von SU(3)C , SU(2)L bzw. U(1)Y entsprechen und hermitesche Linearkombinationen der Auf- bzw. Absteigeoperatoren (3, 2)−5/6
bzw. (3, 2)5/6 die X- und Y –Bosonen liefern. Letztere vermitteln zwischen den verschiedenen Standardmodell–Multipletts.
GUT–Symmetriebrechung.
spontane Symmetriebrechung
Ähnlich wie im Standardmodell ist der Sektor, der die
SU(5) → GSM
(9.59)
induziert, möglicherweise der unästhetischste Teil der ganzen Diskussion. Um in SU(5)
das gewünschte zu erreichen, benötigen wir (in der minimalen Version) zwei Higgs–Felder,
das 24–plett H, das die Brechung (9.59) bewerkstelligt, sowie φ, das das elektroschwache
Higgs beinhaltet. Für den ersten Schritt betrachtet man das Skalarpotential
2
(9.60)
V (H) = − m21 tr H 2 + λ1 tr H 2 + λ2 tr H 4 ,
wobei λ2 > 0. Wie man zeigen kann (vgl. Übungen), gibt es drei inäquivalente Möglichkeiten für das Minimum,
m21 < 0 y hHi = 0 ,
m21 > 0 ∧ λ1 > −
y
y
7
λ2
30
hHi = v1 diag(2, 2, 2, −3, −3)
m21 > 0 ∧ −
(9.61a)
mit v12 =
m21
,
60λ1 + 14λ2
(9.61b)
13
7
λ2 > λ1 > − λ2
30
20
hHi = v1 diag(1, 1, 1, 1, −4)
mit v12 =
m21
.
40λ1 + 26λ2
(9.61c)
Im ersten Fall (9.61a) bleibt SU(5) ungebrochen und im dritten Fall (9.61c) wird SU(5)
zu SU(4) × U(1) gebrochen; im zweiten Fall ist hHi proportional zu tY und SU(5) wird
zu GSM gebrochen. Dies ist der interessante Fall, d.h. von jetzt an nehmen wir an, dass
7
m21 > 0 und λ1 > − 30
λ2 , so dass SU(5) zu GSM gebrochen wird.
Wir können die Fluktuationen von H um hHi gemäß (9.58) zerlegen,


HX 1 H Y1

HX 2 H Y2 
H8 − √230 H0


′
HX 3 H Y3 
H = H − hHi = 
(9.62)
 .

∗
∗
∗

 HX
H
H
X2
X3
1
H3 + √330 H0
HY∗1 HY∗2 HY∗3
Die Fluktuationen HXi bzw. HYi werden von den X- bzw. Y –Eichbosonen aufgegessen.
Die Massen dieser massiven Vektorfelder sind
r
25
g v1 ,
(9.63)
MX = MY =
2
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
141
wo g die vereinheitlichte Eichkopplung bezeichnet. In Analogie zur Schwellen–Näherung
(5.8) finden wir, dass die Eichbeiträge zu den radiativen Korrekturen zu den Eichkopplungen oberhalb MX/Y universell sind und sich unterhalb MX/Y unterscheiden; entsprechend
können wir die Skala der Vereinheitlichung abschätzen durch
r
25
MGUT ≃ MX = MY =
g v1 .
(9.64)
2
Die Higgsfelder H8 , H3 bzw. H0 bekommen Massen, die durch
m28
m23
m20
=
=
=
20 λ2 v12 ,
80 λ2 v12 ,
4m21
(9.65a)
(9.65b)
(9.65c)
gegeben sind.
Nun müssen wir noch das 5–plett φ diskutieren, das das elektroschwache Higgs beinhaltet. Dafür erweitern wir (9.60) um Terme mit φ; wenn alle renormierbaren Terme, die
konsistent sind mit der SU(5) Symmetrie zulassen, bekommen wir
V (H, φ) = V (H) + V (φ) + λ4 (tr H 2 ) (φ† φ) + λ5 (φ† H 2 φ)
(9.66)
mit V (H) aus (9.60) und
V (φ) = − m22 (φ† φ) + λ3 (φ† φ)2 .
(9.67)
Nach Einsetzen des Vakuumerwartungswertes für H bekommen die Dublett- und Triplett–
Komponenten von φ unterschiedliche Massen,
m2Triplett
m2Dublett
=
=
−m22 + (30 λ4 + 4 λ5 ) v12 ,
−m22
+ (30 λ4 + 9 λ5 )
v12
.
(9.68a)
(9.68b)
Man benötigt aus verschiedenen Gründen eine große Triplett–Masse. Zum Einen würde die
Anwesenheit eines Tripletts bei Skalen unterhalb von MGUT die Eichkopplungsvereinigung
(zer-)stören. Zum Anderen führt ein leichtes Triplett auf Proton–Zerfallsraten (siehe die
Diskussion in (iv)) die inkonsistent sind mit der Beobachtung. Um ein schweres Triplett
und ein leichtes Dublett zu erhalten, benötigen wir eine beinahe perfekte Auslöschung
der verschiedenen Terme in (9.68b). Dies ist ein Teil des sog. doublet–triplett splitting
”
problems“, für das im Rahmen von vierdimensionalen GUT Modellen keine besonders ansprechende Lösung bekannt ist. Andererseits lässt sich das Problem in Modellen mit mehr
als vier Raum–Zeit–Dimensionen sehr elegant lösen; mit etwas gutem Willen kann man
das als Motivation für Stringtheorie werten, die 10 Raum–Zeit–Dimensionen vorhersagt.
(iii)
SO(10)
Die Vereinfachung des Materie–Inhalts des Standardmodells kann noch weiter getrieben werden. SU(5) ist eine Unterguppe von SO(10). Es stellt sich heraus, dass die 16–
dimensionale Spinordarstellung von SO(10), das 16–plett, sowohl das 10–plet als auch das
5–plett von SU(5) beinhaltet,
SO(10)
16
⊃
→
SU(5) × U(1)χ ,
101 ⊕ 5−3 ⊕ 15 .
(9.69a)
(9.69b)
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, sich die Spinordarstellungen der orthogonalen Gruppen zu veranschaulichen. Eine davon ist, die Spinoren als fundamentale Darstellungen des
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
142
Tensorprodukts mehrerer SU(2)–Faktoren aufzufassen. Die Elemente der Darstellung des
16–pletts von SO(10) kann dann beschrieben werden als Produkt von fünf 2–dimensionalen
Spinoren,
ψ
=
=
=:
ψ (1) ⊗ ψ (2) ⊗ ψ (3) ⊗ ψ (4) ⊗ ψ (5)
↑
↑
↑
↑
↑
⊗
⊗
⊗
⊗
↓
↓
↓
↓
↓
(± ± ± ± ±) ,
(9.70)
wobei die Zahl der ↓ bzw. Minuszeichen gerade sein muß (und ungerade für das 16–plett).
Durch Abzählen sehen wir, dass man so gerade eine Darstellung mit 16 Elementen erhält.
Das SU(5)–Singlett ist das Element der Darstellung mit 0 Minuszeichen, das 10–plett das
mit 2 Minuszeichen und das 5–plett das mit vier Minuszeichen (siehe Tabelle 9.1). Die
SO(10) GUT
SM
U(1)Y
νC
0
eC
1
urot
drot
ugrün
1
6
dgrün
ublau
dblau
uC
rot
uC
− 32
grün
uC
blau
dC
rot
1
dC
grün
3
dC
blau
ν
− 21
e
SU(3)C
+++
+++
−++
−++
+−+
+−+
++−
++−
+−−
−+−
−−+
+−−
−+−
−−+
−−−
−−−
SU(2)L
++
−−
+−
−+
+−
−+
+−
−+
++
++
++
−−
−−
−−
+−
−+
1















10




















5





Tabelle 9.1: Spinor–Darstellung von SO(10).
Hyperladung qY ist gegeben durch
3
qY
5
1X
1X
=
Si −
Si
3 i=1
2 i=4
(9.71)
mit Si = ± 12 .
Wir sehen, dass das SU(5) und damit GSM Singlett, also ein Kandidat für das rechtshändige Neutrino, enthalten ist. Damit entsteht ein Zusammenhang zwischen der GUT-Skala
und der See-Saw-Skala. Insbesondere liefert ein naives Gleichsetzen von M = MGUT in
(9.18) liefert leichte Neutrino-Massen von ungefähr der richtigen Größenordnung.
Die kleinste Darstellung, die das Higgs–Dublett enthält, ist das 10–plett, d.h. die Vektor–
Darstellung von SO(10). Das führt automatisch auf zwei Higgs–Dubletts und ebensoviele
Tripletts. In der minimalen supersymmetrischen Erweiterung des Standardmodells hat
man ebenfalls zwei Higgs–Dubletts. Die Frage, warum die Tripletts so schwer sind, bleibt
auch hier unbeantwortet.
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
(iv)
143
Signaturen von GUTs
Protonzerfall. Der experimentelle Nachweis erfordern würde, dass man die entsprechenden Eichbosonen sehen müsste. Wie wir gesehen haben, sind die Massen der extra
Eichbosonen sind von der Größenordnung MGUT . Man kann die extra Eichbosonen jedoch
indirekt sehen, da diese Übergänge zwischen den verschiedenen Multipletts des Standardmodells ermöglichen. Die entsprechenden Kopplungen bekommt man, indem man eichinvariante Kopplungen zwischen Standardmodell-Fermionen und den X- und Y -Bosonen
identifiziert, die gemäß (9.58) mit den Quantenzahlen (3, 2)−5/6 und (3, 2)5/6 kommen.
Eichinvariante Terme sind
(3, 2)1/6 (3, 2)−5/6 (3, 1)2/3
:
(3, 2)1/6 (3, 2)5/6 (1, 1)−1
:
(1, 2)−1/2 (3, 2)5/6 (3, 1)−1/3
:
µ i
j
εij εabc uC
a γ Qb (Xc )µ ,
(9.72a)
j
εij eC γ µ Qia (X a )µ ,
j
µ i
εij dC
a γ ℓ (X a )µ .
(9.72b)
(9.72c)
Dabei werden ein links- und ein rechtshändiges Fermion zu einem Vektor kombiniert und
der Vektor-Index mit dem des X-Bosons kontrahiert, die wir in SU(2) Multipletts gepackt haben, X i = (X, Y ). Diese Vertizes führen auf Prozesse, bei denen Baryonzahl und
Leptonzahl verletzt sind (Abbildung 22).
u
d
u
X
u
(a)
d
d
Y
Y
e+
d
u
ν
u
(b)
(c)
e+
Abbildung 22: Baryonzahl-verletzende Prozesse, die durch die X- und Y -Bosonen vermittelt werden.
Diese Prozesse erlauben insbesondere den Zerfall eines Protons,
p → π 0 + e+ .
(9.73)
Es wird zur Zeit intensiv nach solchen Prozessen gesucht; bisher leider ohne Erfolg.
(v)
Jenseits SU(5) und SO(10)
Es gibt eine (natürlich spekulative) Kette der Vereinheitlichung“,
”
GSM ⊂ SU(5) ⊂ SO(10) ⊂ E6 ⊂ E7 ⊂ E8 .
Diese Kette endet bei der exzeptionellen Gruppe E8 , die auch in der (heterotischen)
Stringtheorie eine Schlüsselrolle spielt. Für einen relativ aktuellen Überblick der Thematik
siehe z.B. [20].
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
9.3
144
Aspekte von Supersymmetry
Supersymmetrie ist der vielleicht derzeit popolärste Kandidat für Physik jenseits des Standardmodells. Dies hat viele Gründe. Wir haben bereits gesehen, dass Supersymmetrie aufgrund der Eichkopplungsvereinigung in der minimalen supersymmetrischen Erweiterung
des Standardmodells (MSSM) präzise treffen. Es gibt aber noch einige weitere Aspekte,
die Supersymmetrie besonders attraktiv erscheinen lasse (für eine Einführung und einen
Überblick siehe z.B. [19]).
Zunächst wenden wir uns noch einmal dem sog. Hierarchie-Problem zu und sehen, dass
eine Symmetrie zwischen den bosonischen und fermionischen Freiheitsgraden des Standardmodells es ermöglicht, dieses zu lösen bzw. zu lindern. Dann werden das sog. HaagSohnius-Lopuszański-Theorem heranziehen, um die unter gewissen Voraussetzungen möglichen Erweiterungen der Poincarè-Symmetrie zu konstruieren. Wir werden diese Symmetrie
am Wess–Zumino Modell illustrieren.
(i)
Das Hierarchie–Problem
Beispiel: Korrektur zum Photonpropagator. Wir hatten bereist in Abschnitt 4
Korrekturen zum Photonpropagator diskutiert. Wir hatten gefunden, dass die Korrektur
Πµν (0) =
(9.74)
γ
γ amputiert“
”
nicht auf einen Massenterm für das Photon führt. Dies läßt sich folgendermaßen einsehen.
Der Ausdruck entspricht einem Massenterm für das Photon. Dieser ist jedoch wegen der
Eichsymmetrie verboten.
Beispiel: Korrektur zum Propagator des Elektrons. Nun betrachten wir die Korrektur zum Propagator des Elektrons. Hier ist
Σe =
γ
amputiert“
”
Z
d4 k
i
−i ηµν
=
(−i e γ µ )
(−i e γ ν )
(2π)4
k2
k − me
Z
4
d k
1
= −
γµ (k + me ) γ µ
4
2
2
(2π) k (k − m2e )
Z
2me − k
d4 k
= − 2 e2
4
2
(2π) k (k 2 − m2e )
Z
1
d4 k
Λ
= − 2 e 2 me
∼ me ln
.
(9.75)
4
2
2
2
(2π) k (k − me )
me
Hier bezeichnet Λ einen ‘Cut-Off’ Parameter, und die Korrektur geht logarithmisch mit
diesem,
δme ∼ me
α
Λ
ln
.
π me
(9.76)
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
145
D.h., durch Quanteneffekte entstehen Korrekturen zur Tree-Level-Masse me . Diese sind
jedoch proportional zur Masse me (und numerisch kleiner als me , wenn man etwa von
Λ ∼ MGUT ∼ 1016 GeV ausgeht).
Folgende Überlegungen lassen das Ergebnis verstehen: Eine Lagrangedichte ohne Massenterm ist invariant unter der Transformation
Ψ e → e i λ γ5 Ψ e
und
Ψ e → Ψ e e i λ γ5 ,
(9.77)
man spricht von der chiralen Symmetrie. Eine sehr kleine Masse ist von der Symmetrie
geschützt.
Beispiel: Korrektur zum Propagator des Higgs-Bosons.
Yukawakopplung der Fermionen an das Higgsboson ist
λf
λf
L = − λf f¯ f φ + h.c. = − √ h f¯ f − √ v f¯ f + h.c. .
2
2
| {z }
Die Lagrangedichte der
(9.78)
=mf
Diese liefert bekanntlich die Massenterme für die Fermionen. Wie wir in (8.56) gesehen
hatten, gehen die Yukawakopplungen λf in die Massen–Korrektur für das Higgsboson ein,
f
λf
λf
2
−i M (p) = h
h
f
amputiert“
”
Z
4
k
·
(p
+ k) + m2f
d
k
h
ih
i.
(9.79)
= − 4 λ2f
(2π)4 (k + p)2 − m2 k 2 − m2
f
f
In diesem Fall divergiert die Korrektur quadratisch,
δm2h ∼
λ2f
Λ2 ≫ m2h .
16π 2
(9.80)
Gemäß der vorangegangen Diskussion sind plausible Werte für Λ die GUT- oder See–Saw–
Skala. Die Quantenkorrekturen zu der Higgs–Massenskala sind also sehr viel größer als
die Massenskala selbst. Dies ist das sog. Hierarchie-Problem. Die Korrektur ist um einige
Größenordnungen höher als der physikalische Wert der Masse, was extremes Fine-Tuning
für die Wahl der Potential-Parameter für das Higgs-Feld erfodert.
Die quadratische Divergenz im letzten Beispiel tritt auf, da im Standardmodell keine
Symmetrie existiert, welche die Higgsmasse schützt. Nun wollen wir eine solche Symmetrie
konstruieren.
Postulat: Es gibt Skalarfelder feL , feR , welche durch folgende Lagrangedichte an das
Higgsfeld koppeln
e
2 2
e 2 |feL |2 + |feR |2
L f = λfe|φ|2 feL + feR + λf Af φ feL feR + h.c − m
=
λfe
2
(h2 + 2 h v) |feL |2 + |feR |2
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
146
λf
e 2 |feL |2 + |feR |2 .
+ √ Af h feL feR + h.c. − m
2
(9.81)
In der zweiten Zeile haben wir durch den Vakuumerwartungswert v induzierte Korrekturen
zu den Massen von feL und feR vernachlässigt.
Diese Felder und Kopplungen führen auf drei Diagramme, welche neue Korrekturen zum
Higgs-Propagator liefern,
f˜L ,f˜R
e
f
Πh (0) =
h
h amputiert“
”
Z
Z
d4 k
d4 k
i
1
=
=
−
2
λ
,
(9.82)
(i
λ
)
e
e
2
f
f
(2π)4
k2 − m e
(2π)4 k 2 − m2e
f
f
und
ee
Πfhf (0)

=
=
=

 vλ ˜

f
h



Z
feL , feR
vλf˜
h
+
feL , feR

h
λf Af
feL , feR
!2
d4 k 
(i λfev)2
(2π)4
feL , feR


λf Af 
h



i
i
+ (i λf Af )2
k 2 − m2e
k 2 − m2e
f
f
h
i Z d4 k
1
∼ ln Λ .
2 (λfe v)2 + (λf Af )2
4
2
(2π) (k − m2e)2
2

amputiert“
”
!2 

(9.83)
f
Die quadratischen Divergenzen kommen alleine von (9.79) und (9.82). Wählt man speziell
λfe = − λ2f ,
so ergibt ihre Summe
Πhq.D. = 2 λ2f
Z
m2f − m2fe
d4 k
.
(2π)4 (k 2 − m2f ) (k 2 − m2e)
(9.84)
f
Die quadratische Divergenz verschwindet also, falls
(1) eine gleiche Anzahl an bosonischen und fermionischen Freiheitsgraden existiert, und
(2) es Beziehungen zwischen den dimensionslosen Kopplungen in L gibt.
Wenn zusätzlich gilt
(3) m2f = m2fe = m2fe und
L
R
(4) Af = 0,
so verschwindet die Korrektur identisch, d.h.
Πh (0) = 0 .
(9.85)
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
147
Die Bedingungen 1 und 2 implizieren bereits, dass die Massenkorrektur lediglich logarithmisch ist,
Πh (0)
∼
.
i
A2f h
Λ
2
2
2
c
(m
−
m
)
+
c
A
1
2
f
f · ln
e
2
f
2π
mf
2
m2h ∼ MW
.
(9.86)
Das bedeutet, dass
mfe, |Af | . 1 TeV
gelten muß.
Um also die Korrekturen zur Higgsmasse zu klein zu halten, kann man eine Symmetrie zwischen bosonischen und fermionischen Freiheitsgraden der Theorie einführen. Man
spricht von einer fermionischen Symmetrie bzw. Supersymmetrie.
In den vorausgehenden Überlegungen sind wir zu dem Schluß gekommen, dass man das
Hierarchie-Problem lösen kann, falls Folgendes gilt:
(1) Es gibt die gleiche Anzahl an bosonischen und fermionischen Freiheitsgraden.
(2) Es existieren Beziehungen zwischen den Kopplungen.
Die Gültigkeit dieser Aussagen kann Konsequenz einer Symmetrie sein, die zwischen bosonischen und fermionischen Freiheitsgraden vermittelt, schematisch
Q |Bosoni = |Fermioni
und
Q |Fermioni = |Bosoni .
(9.87)
Im Folgenden geht es darum, eine solche Symmetrie bzw. deren Algebra zu konstruieren. Da Bosonen und Fermionen verscheidenden Darstellungen der Poincaré-Gruppe sind,
können die Generatoren Q nicht mit denen der Poincaré-Algebra kommutieren.
Darüber hinaus findet man, dass – unter relativ schwachen Voraussetzungen – jegliche
Erweiterung der Poincaré-Algebra fermionisch sein muss (vgl. Anhang I).
(ii)
Supersymmetrie–Transformationen
Eine Supersymmetrie–Transformation sollte zwischen einem bosonischen Feld φ und einem
Fermion–Feld ψα vermitteln. Die einfachste Lagrangedichte ist dann gegeben durch
on−shell
LWZ
= LSkalar + LFermion ,
(9.88)
wobei
LSkalar
LFermion
∗
= (∂µ φ) ∂ µ φ ,
= i ψ̄ σ̄ µ ∂µ ψ .
(9.89a)
(9.89b)
WZ“ steht für Wess und Zumino, denn die Lagrangedichte (9.88) definiert das sog.
”
Wess–Zumino–Modell. Die Terminologie on–shell” wird später erklärt. Eine offensicht”
liche Möglichkeit für eine solche Transformation ist
δε φ
δε φ ∗
=
=
εψ ,
ε ψ̄ ,
(9.90a)
(9.90b)
wobei εα ein infinitesimales, zwei–komponentiges und a–Zahl–wertiges Objekt ist, das wie
eine Weyl–Fermion unter der Lorentzgruppe transformiert. Wir beschränken uns hier auf
globale Lorentztransformationen, so dass εα konstant ist. Da ψ bzw. φ Massendimensionen
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
148
3/2 bzw. 1 besitzen, muss ε Massendimension −1/2 haben. LSkalar transformiert unter
(9.90) gemäß
δε LSkalar = ε (∂ µ ψ) (∂µ φ∗ ) + ε ∂ µ ψ̄ (∂µ φ) .
(9.91)
Damit wir eine Symmetrie bekommen, sollten diese Terme (bis auf eine mögliche totale
Ableitung) durch δε LFermion kompensiert werden. Durch Vergleich von (9.91) mit LFermion
sehen wir, dass dazu δε ψ linear in ε und φ sein und eine Ortsableitung beinhalten sollte.
Wir setzen deshalb an, dass
δε ψα = − i (σ µ ε)α ∂µ φ
und
δε ψ̄α̇ = i (εσ µ )α̇ ∂µ φ∗ .
(9.92)
Mit diesem Ansatz erhalten wir
δε LFermion = − εσ µ σ̄ ν ∂ν ψ ∂µ φ∗ + ψ̄σ̄ ν σ µ ε ∂µ ∂ν φ .
(9.93)
An diesem Punkt benötigen wir einige Identitäten für die Pauli–Matrizen,
σαµα̇ σ̄µβ̇β
σαµα̇ σµβ β̇
=
=
2δαβ δα̇β̇ ,
2εαβ εα̇β̇ ,
(9.94a)
(9.94b)
σ̄ µα̇α σ̄µβ̇β
µ ν
σ σ̄ + σ ν σ̄ µ α β
µ ν
β̇
σ̄ σ + σ̄ ν σ µ α̇
=
2εαβ εα̇β̇ ,
(9.94c)
=
2η µν δαβ ,
(9.94d)
=
2η µν δα̇β̇
µν ρ
(9.94e)
σ̄ µ σ ν σ̄ ρ
σ µ σ̄ ν σ ρ
=
=
,
η σ̄ + η νρ σ̄ µ − η µρ σ̄ ν − i εµνρκ σ̄κ ,
η µν σ ρ + η νρ σ µ − η µρ σ ν + i εµνρκ σκ ,
(9.94f)
(9.94g)
wobei wir hier zwischen gepunkteten und ungepunkteten Spinorindizes für rechts- und
linkshändige Weylspinoren unterscheiden. Unter Verwendung von (9.94d) und (9.94e) und
der Symmetrie der zweiten Ableitung, (∂µ ∂ν = ∂ν ∂µ ), wird aus Gleichung (9.93)
δε LFermion
=
−ε∂ µ ψ ∂µ φ∗ − ε∂ µ ψ̄ ∂µ φ
− ∂µ εσ ν σ̄ µ ψ ∂ν φ∗ − εψ ∂ µ φ∗ − εψ̄ ∂ µ φ .
(9.95)
Die ersten beiden Terme lieferen gerade das Negative von δε LSkalar und der Rest ist eine
totale Ableitung. Somit finden wir
Z
δε S =
d4 x (δε LSkalar + δε LFermion ) = 0 .
(9.96)
Dies rechtfertigt in Nachhinein den Ansatz (9.92).
Um wirklich zu zeigen, dass das Wess–Zumino–Modell (9.88) eine Symmetrie aufweist,
müssen wir zeigen, dass die obigen Transformationen eine Algebra bilden, d.h. der Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen δε1 und δε2 muss wieder eine Supersymmetrie–
Transformation sein. Einsetzen von (9.92) in (9.90) liefert
(δε2 δε1 − δε1 δε2 ) φ ≡ δε2 (δε1 φ) − δε1 (δε2 φ) = i (−ε1 σ µ ε2 + ε2 σ µ ε1 ) ∂µ φ .(9.97)
Dieses Resultat ist bemerkenswert: Wir sehen, dass der Kommutator zweier Supersymmetrie–
Transformationen eine Ableitung liefern, die ihrerseits eine Translation generiert!
Der Kommutator zweier Supersymmetrie–Transformationen angewandt auf Fermionen
ergibt gemäß (9.90) und (9.92)
(δε2 δε1 − δε1 δε2 ) ψα = − i (σ µ ε1 )α ε2 ∂µ ψ + i (σ µ ε2 )α ε1 ∂µ ψ .
(9.98)
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
149
Wir verwenden nun die sog. Fierz-Identitität
χα (ξη) = − ξα (ηχ) − ηα (χξ)
(9.99)
und die Relation
ξ † σ̄ µ χ = − χσ µ ξ † = (χ† σ̄ µ ξ)∗ = − (ξσ µ χ† )∗
(9.100)
für drei Weyl–Spinoren χ, ξ und η. Wir wählen zum Einen
χ = σ µ ε1 ,
ξ = ε2
und
η = ∂µ ψ
(9.101a)
ξ = ε1
und
η = ∂µ ψ
(9.101b)
und zum Anderen
χ = σ µ ε2 ,
für die beiden Terme in (9.98). Damit ergibt sich
(δε2 δε1 − δε1 δε2 ) ψα
i (−ε1 σ µ ε2 + ε2 σ µ ε1 ) ∂µ ψα
+ i ε1α ε2 σ̄ µ ∂µ ψ − i ε2α ε1 σ̄ µ ∂µ ψ .
=
(9.102)
Die Terme in der zweiten Zeile verschwinden on–shell“, d.h. nach Einsetzen der Bewe”
gungsgleichungen für das freie Weyl–Fermion. Der Term in der ersten Zeile ist — genau
wie beim Skalarfeld — eine Ortsableitung.
Die Tatsache, dass die Supersymmetrie–Algebra nur on–shell schließt, ist auf den ersten
Blick besorgniserregend, denn sie könnte dadurch durch Quanteneffekte verletzt sein. Um
dieses Problem zu lösen, führt man ein sog. Hilfsfeld F ein, das in diesem Fall keinen
kinetischen Term besitzt, d.h. F entspricht keinen propagierenden Freiheitsgraden. Die
Lagrangedichte für F ist einfach
LHilfsfeld = F ∗ F .
(9.103)
Wir sehen, dass F Massendimension 2 tragen muß. Die Bewegungsgleichungen sind
∂LHilfsfeld
∂LHilfsfeld !
− ∂µ
= 0
∂F
∂(∂µ F )
y
F = F∗ = 0 .
(9.104)
Das Hilfsfeld kann in die Supersymmetrie–Algebra eingebaut werden. Aufgrund der Massendimensionen ist es plausibel, anzusetzen, dass
δε F
δε F ∗
=
=
−i εσ̄ µ ∂µ ψ ,
i ∂µ ψ̄σ̄ µ ε .
(9.105a)
(9.105b)
Die Vorzeichen sind in weiser Voraussicht gewählt. Damit transformiert LHilfsfeld wie
(9.106)
δε LHilfsfeld = − i εσ̄ µ (∂µ ψ) F ∗ + i ∂µ ψ̄ σ̄ µ ε F .
Dieser Ausdruck verschwindet on–shell, jedoch nicht allgemein. Nun ändern wir das Transformationsverhalten von ψ und ψ̄ zu
δε ψα
δε ψα̇†
=
=
−i (σ µ ε)α ∂µ φ + εα F ,
µ
∗
∗
i (εσ )α̇ ∂µ φ + εα̇ F .
(9.107a)
(9.107b)
Damit erhält man einen zusätzlichen Beitrag zu δε LFermion , der – bis auf eine totale
Ableitung – gerade δε LHilfsfeld aufhebt.
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
on-shell (nB = nF = 2)
off-shell (nB = nF = 4)
φ
2
2
ψ
2
4
150
F
0
2
Tabelle 9.2: Freiheitsgrade im Wess–Zumino–Modell.
Insgesamt haben wir dann eine Theorie mit Lagrangedichte
off−shell
LWZ
= LSkalar + LFermion + LHilfsfeld ,
(9.108)
die invariant unter Supersymmetrie–Transformationen ist. Für das Transformationsverhalten der sog. Komponentenfelder X = φ, φ∗ , ψ, ψ̄, F, F ∗ ergibt sich
(δε2 δε1 − δε1 δε2 ) X = i (−ε1 σ µ ε2 + ε2 σ µ ε1 ) ∂µ X .
(9.109)
Dabei haben wir (9.90), (9.105) und (9.107) eingesetzt, jedoch keine Bewegungsgleichungen
off−shell
verwendet. Man sagt, in LWZ
sei Supersymmetrie off–shell“ realisiert.
”
Der Grund dafür, dass wir Hilfsfelder benötigen für eine off–shell Formulierung, hat
eigentlich nichts mit Supersymmetrie zu tun. Vielmehr werden Fermionen durch Weyl–
Spinoren mit zwei (a–Zahl–wertigen) komplexen Komponenten beschrieben, entsprechen
aber nur zwei physikalischen Freiheitsgraden. Im Gegensatz zu dem Skalarfeld sind die
kanonischen Variablen bei einem Fermion nicht unabhängig. D.h. abgesehen vom Feld
ψ hat man den kanonischen Impuls ∂L /∂ ψ̇, der jedoch — anders als beim Skalarfeld
— keine Zeitableitung aufweist. Wir mussten deshalb zwei zusätzliche off–shell skalare
Freiheitsgrade einführen, d.h. das komplexe Feld F . Die on– und off–shell–Freiheitsgrade
sind in Tabelle 9.2 aufgeführt.
Gemäß dem Noether’schen Theorem impliziert eine kontinuierliche Symmetrie immer
einen erhaltenen Strom, der im Fall der Supersymmetrie als Superstrom“ bezeichnet
”
wird. Hier haben wir es mit einer fermionischen Transformation zu tun, so dass der Suµ
perstrom Jα einen Spinorindex α trägt und durch a–Zahlen beschrieben wird. Gemäß der
Noether’schen Formel hat man
X
δL
δε X
− Kµ ,
(9.110)
εJ µ + εJ †µ ≡
δ(∂µ X)
X
µ
wo K die totale Ableitung reproduziert, die durch die Supersymmetrie–Transformation
entsteht, d.h. δε L = ∂µ K µ . K µ ist eindeutig bis auf Vektoren k µ , die ∂µ k µ = 0 erfüllen,
etwa k µ = ∂ µ ∂ν aν − ∂ν ∂ ν aµ . Nach einer kurzen Rechnung erhält man einen möglichen
Superstrom der Form
Jαµ
=
Jα̇†µ
=
(σ ν σ̄ µ ψ)α ∂ν φ∗ ,
ψ̄σ̄ µ σ ν α̇ ∂ν φ .
(9.111a)
(9.111b)
Der Superstrom (und sein hermitesch Konjugiertes) ist erhalten,
∂µ Jαµ = ∂µ Jα̇†µ = 0 ,
(9.112)
wobei man die Bewegungsgleichung benutzen muss. Wie üblich konstruiert man die Operatoren der erhaltenen Ladungen
√ Z 3
(9.113a)
Qα = 2 d x J 0α ,
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
Qα̇ =
√ Z 3
2 d x J †0
α̇ ,
151
(9.113b)
die die Supersymmetrie–Transformationen generieren.17 Hierbei sind wir von den Strömen
zu den entsprechenden Operatoren übergegangen, indem wir die Felder durch die Feldoperatoren ersetzt (und die Reihenfolge beibehalten) haben. Sie erfüllen
√
(9.114)
εQ + εQ, X = − i 2 δε X
für beliebige Komponentenfelder X bis auf Terme, die on–shell verschwinden. Um dies zu
verifizieren, benötigt man die gleichzeitigen (Anti-)Kommutatoren
h
i
[φ(t, ~x), π(t, ~y )] = φ† (t, ~x), π † (t, ~y ) = i δ (3) (~x − ~y ) ,
(9.115)
n
o
ψ α (~x), ψ †α̇ (~y )
= (σ 0 )αα̇ δ (3) (~x − ~y ) .
(9.116)
Mit (9.114) findet man, dass
h
i h
i
ε2 Q + ε2 Q, ε1 Q + ε1 Q, X − ε1 Q + ε1 Q, ε2 Q + ε2 Q, X
=
2 (ε1 σ µ ε2 − ε2 σ µ ε1 ) i ∂µ X
(9.117)
~ ) mit dem
bis auf Terme, die on–shell verschwinden. Der Impulsoperator ist P µ = (H, P
Hamilton–Operator H. Im kanonischen Formalismus hat man
Z
h
i
~ † ) · (∇φ)
~
~
H =
d3 x π † π + (∇φ
+ i ψ †~σ · ∇ψ
,
(9.118)
Z
~ = − d3 x π ∇
~ ψ .
~ φ + π† ∇
~ φ† + i ψ † σ̄ 0 ∇
(9.119)
P
Der Operator des Viererimpulses generiert eine Raum–Zeit–Translation der Komponentenfelder X,
[P µ , X] = − i ∂ µ X .
Damit wird aus (9.117) unter Benutzung der Jacobi–Identität
h
i
ε2 Q + ε†2 Q, ε1 Q + ε†1 Q , X
= 2 (−ε1 σµ ε†2 + ε2 σµ ε†1 ) [P µ , X] ,
für beliebige X bis auf Terme, die on–shell verschwinden. Daher gilt
ε2 Q + ε†2 Q, ε1 Q + ε†1 Q = 2 (−ε1 σµ ε†2 + ε2 σµ ε†1 ) P µ .
(9.120)
(9.121)
(9.122)
Durch Entwickeln von (9.122) erhält man die N = 1 Supersymmetrie–Algebra
{Qα , Qα̇ } =
{Qα , Qβ } =
{Qα̇ , Qβ̇ } =
17 Die
√
2σαµα̇ P µ ,
(9.123a)
0,
(9.123b)
0.
(9.123c)
2–Faktoren sind historische Artefakte.
9
TEILCHENPHYSIK JENSEITS DES STANDARD–MODELLS
152
Durch Entfernen der a–Zahl–wertigen Spinoren ε1 und ε2 wurde aus dem Kommutator in
(9.122) der Antikommutator in (9.123a) und (9.123). Aus (9.120) und der Tatsache, dass
die Supersymmetrie–Transformationen global sind, also nicht von x abhängen, folgt, dass
[Q , P µ ]
α µ
Qα̇ , P
=
0,
(9.124a)
=
0.
(9.124b)
α̇
Schliesslich folgt aus der Tatsache, dass Qα bzw. Q wie links- bzw. rechtschirale Weylspinoren transformieren, dass
[M µν , Qα ] =
i
h
α̇
=
M µν , Q
− 12 (σµν )α β Qβ ,
(9.124c)
− 12 (σ µν )α̇ β̇ Q .
(9.124d)
β̇
10
10
ABSCHLIESSENDE BEMERKUNGEN
153
Abschliessende Bemerkungen
Elementarteilchenphysik ist ein Gebiet, das (zum Glück) noch nicht abgeschlossen ist.
Deswegen fällt es schwer, eine Zusammenfassung der Vorlesung zu geben. Stattdessen
schliessen wir die Vorlesung mit historischen Bemerkungen ab, die auch Spekulationen
auf zukünftige Entwicklungen nahelegen; wir folgen hier [17]. Wie in [18] dargestellt, war
die Entwicklung des Standardmodells geprägt von einigen guten Ideen“, die aufgrund von
”
Missverständnissen“ nicht unmittelbar in der richtigen Weise angewendet wurden, so dass
”
Durchbrüche um einige Jahre verzögert wurden.
(1) Eine gute Idee“ war das Quark-Modell (siehe S. 79). Die Annahme, dass sich Hadro”
nen aus Quarks und Anti-Quarks zusammensetzen erlaubt es, die Quantenzahlen zu
verstehen. Andererseits hatten viele Physiker Zweifel an diesem Bild, denn schliesslich wurden ja keine Teilchen mit drittel-zahligen Ladungen gefunden.
Erst das Bild des Confinements“ konnte klären, warum das Bild Sinn macht und
”
man trotzdem (bei niedrigen Energien) keine freie Quarks sieht.
(2) Eine weitere gute Idee“ war die Formulierung von nicht-abelschen Eichtheorien
”
von Yang und Mills im Jahr 1954. Aber die entsprechenden Eichbosonen wurde
nicht gesehen. In den ersten Versuchen, nicht-abelsche Eichtheorien für die reale
Welt zu verwenden wurde die Eichsymmetrie explizit gebrochen. Abgesehen von
der Tatsache, dass das relativ unästhetisch ist, gibt es in solchen Theorien große
konzeptionelle Probleme, sie sind insbesondere nicht renormierbar.
Erst die Erkenntnis, dass bei der spontanen Brechung (siehe Abschnitt 6) einer lokalen Symmetrie die Eichbosonen massiv wurden, hat den Vorschlag der elektroschwache Theorie ermöglicht, deren Vorhersagen präzise bestätigt wurden.
Ausblick. Heutzutage gibt es ebenfalls eine Menge guter Ideen“ wie z.B. GUTs, Su”
persymmetrie, Stringtheorie und Vieles mehr. Aus der historisch Entwicklung könnte man
aber schliessen, dass diese Ideen z.Zt. etwas zu naiv angewandt werden, d.h. es gibt vermutlich noch eine Reihe von Missverständissen“. Vielleicht können am LHC Experiment
”
einige davon geklärt werden.
154
Teil I
Anhang
A
FUNKTIONALABLEITUNG
A
A.1
155
Funktionalableitung
Erinnerungen an Analysis
Gewöhnliche Differentiation. Sei U ⊂ Rn eine offene Menge und f : U → Rm eine
Abbildung. f heißt im Punkt x ∈ U differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung
A:
Rn → Rm
(A.1)
gibt, so dass in einer Umgebung von x
f (x + ξ) = f (x) + A ξ + ε(ξ)
(A.2)
gilt, wobei ε eine in einer Umgebung von 0 definierte Funktion mit Werten in
ε(ξ)
lim
= 0.
ξ→0 kξk
Man bezeichnet:
R ist mit:
n
Df := A
als Differential von f .
Das Differential in einem Punkt x ist offensichtlich die lineare Approximation an f in
diesem Punkt. Im Folgenden soll die Begriffsbildung auf den Fall übertragen werden, dass
anstatt einer Funktion f ein Funktional F betrachtet wird.
A.2
(i)
Grundlegende Begriffe der Funktionalanalysis
Räume
Ein linearer, normierter, vollständiger Raum heißt Banachraum; ein linearer, unitärer,
vollständiger Raum heißt Hilbertraum.
Im folgenden sollen Vektorräume V von Funktionen behandelt werden. In der Physik
kann man sich auf unendlich oft differenzierbare Funktionen beschränken.18 Konkret seien
die Räume von der Form:
C ∞ (M, M ′ ) = {φ : M → M ′ ; φ ist unendlich oft differenzierbar} .
Von besonderem Interesse sind die folgenden Räume:
Raum der Testfunktionen:
D(Rn ) = {φ ∈ C ∞ (Rn , C); supp φ ist kompakt} ,
wo supp φ = {x ∈ Rn ; φ(x) 6= 0} der Träger von φ ist.
Schwartz-Raum S n : Raum der beliebig oft differenzierbaren und stärker als jede Potenz
abfallenden Funktionen φ : Rn → C.
(ii)
Operatoren
Gegeben seien zwei Räume V und V ′ . Unter einer Operationsvorschrift O verstehen wir
eine Vorschrift, die Elementen φ ∈ V eindeutig jeweils ein Element φ′ ∈ V ′ zuordnet,
O φ = φ′ .
Die Gesamtheit der φ, für die O eine Zuordnung vermittelt, heißt Definitionsbereich D ⊆
V , die Menge der Bilder Of heißt Wertebereich W =: OD ⊆ V ′ .
Die Operationsvorschrift O zusammen mit dem Definitionsbereich D nennen wir Operator O, kurz O auf D“.
”
18 Denn: Jede integrierbare Funktion kann im Sinne der L1 -Norm beliebig genau durch eine C ∞ -Funktion
approximiert werden.
A
FUNKTIONALABLEITUNG
(iii)
156
Funktionale
Wenn der Bildraum V ′ eines Operators der Körper
C der komplexen Zahlen ist,
V ⊇ D −→ W ⊆ C ,
O
bezeichnen wir den Operator als Funktional.19
A.3
Lineare Funktionale
Linear-stetiges Funktional. Als linear-stetiges Funktional L über einem linearen metrischen oder normierten oder unitären Raum V bezeichnen wir eine
(1) überall definierte,
(2) lineare, d.h.
L(a1 φ1 + a2 φ2 ) = a1 L(φ1 ) + a2 L(φ2 ) ,
und
(3) stetige
Abbildung von V nach C.
Die linear-stetigen Funktionale über einem Funktionenraum, meist über D(Rn ) oder
n
S , heißen auch Distributionen.
Beispiele:
(1) Die δ-Distribution
δ : φ 7→ δ[φ] = φ(0) ∈ C
erfüllt die drei oben genannten Eigenschaften.
(2) Sei V = C ∞ ([a, b], R). Für ein festes f ∈ C([a, b], R) ist das Funktional bzw. die
Distribution
Tf : φ 7→
Zb
dx f (x) φ(x)
(A.3)
a
ebenfalls linear-stetig. Die Gesamtheit aller linearen Funktionale, die sich durch (A.3)
darstellen lassen, heißt Menge der regulären Distributionen.
A.4
Definition der Funktionalableitung
Betrachtet sei ein Funktional A : DA → C, also eine Abbildung vom Banachraum V nach
C; DA sei die Definitionsmenge von A. Gesucht ist eine lineare Approximation an A, d.h.
ein lineares Funktional L, sodass für f ∈ V und h ∈ V mit khk klein“ folgendes gilt:
”
A[φ + h] ≈ A[φ] + L(A, φ)[h] .
(A.4)
Dabei hängt L von A und von der Stelle φ ab.
19 Dies auch dann, wenn die φ ∈ V keine Funktionen sind; ist etwa V =
Funktional.
Rn , so ist die Norm k · k ein
A
FUNKTIONALABLEITUNG
157
Definition: Ein Funktional A : V ⊃ DA → C heißt an der Stelle φ ∈ DA differenzierbar,
wenn es ein lineares Funktional
L(A, φ) =:
δA
δφ
gibt, so dass Folgendes gilt:
A[φ + h] − A[φ] − δA [h] ≤ ε(khk) .
δφ (A.5)
Dabei ist ε(·) eine Nullfunktion, d.h. ε(x)/x → 0 für x → 0. Existiert so ein L, so heißt
δA
δφ Funktionalableitung.
Spezialfall. Beschränkt man sich auf den Fall, dass DA = V ein Funktionenraum ist,
dass A überall auf V differenzierbar ist und dass δA
δφ überall stetig ist, so ist die Funktionalableitung eine Distribution.
Wir nehmen an, dass sich das Funktional als reguläre Distribution schreiben läßt, d.h.
Z
δA
δA
[h] =
dξ
h(ξ) .
(A.6)
δφ
δφ(ξ)
Damit beschreibt die zugehörige Funktion g(x), die man formal schreibt als
δA
= Tg
δφ
mit g(x) =:
δA
δφ(x) ,
also
δA
.
δφ(x)
δA
Anschaulich beschreibt δφ(x)
die Änderung des Funktionals A[φ] bei Änderung der Funktion φ an der Stelle x, denn man kann solche h betrachten, die nur in der Umgebung von
x von Null verschieden sind.
δA
mit der FunktionalableiIn der Physik identifiziert man oft die reguläre Funktion δφ(x)
tung,
δA
= Tg
δφ
Identifizierung
=
g(x) =:
δA
.
δφ(x)
Diese Identifizierung führt auf den Begriff der δ-Funktion. Obwohl δ keine reguläre
Distribution ist, schreibt man
Z
δ[φ] = φ(0) =:
dx δ(x) φ(x) .
(A.7)
Beispiele:
(1) Läßt sich das Funktional schreiben in der Form:
Zx+
A[φ] =
dx ℓ(x, φ(x), φ′ (x)) ,
(A.8)
x−
so liefert eine Taylorentwicklung (vgl. Übung)
Zx+ n o
A[φ + h] − A[φ] =
dx ℓ x, φ(x) + h(x), φ′ (x) + h′ (x) − ℓ x, φ(x), φ′ (x)
x−
A
FUNKTIONALABLEITUNG
158
Zx+ ∂ℓ dx ℓ x, φ(x), φ′ (x) +
x, φ(x), φ′ (x) · h(x)
=
∂φ
x−
∂ℓ ′
′
′
x,
φ(x),
φ
(x)
·
h
(x)
−
ℓ
x,
φ(x),
φ
(x)
+
∂φ′
+ O khk2 + O kh′ k2
Zx+ ∂ℓ
∂ℓ ′
′
′
dx
=
x, φ(x), φ (x) · h(x) +
x, φ(x), φ (x) · h (x)
∂φ
∂φ′
x−
=
+ O khk2 + O kh′ k2
Zx+ ∂ℓ
d ∂ℓ ′
dx
x, φ(x), φ′ (x) −
x,
φ(x),
φ
(x)
·
h(x)
∂φ
dx ∂φ′
x−
∂ℓ ′
x,
φ(x),
φ
(x)
· h(x)
∂φ′
+ O khk2 + O kh′ k2 .
+
x+
x−
Daraus liest man sofort die Distribution
Funktion ist somit:
δA
δφ(x)
=
(A.9)
δA
δf
ab. Die zugehörige verallgemeinerte
d ∂ℓ ∂ℓ ′
x, φ(x), φ′ (x) −
x,
φ(x),
φ
(x)
∂φ
dx ∂φ′
∂ℓ
x, φ(x), φ′ (x) [δ(x − x+ ) − δ(x − x− )] .
+
∂φ′
(A.10)
(2) Die lineare Approximation an ein lineares Funktional an der Stelle φ ist wieder
das lineare Funktional. Insbesondere ist die Funktionalableitung der Distribution
T = δ(· − y) an der Stelle φ wieder δ(· − y).
Da T (φ) = φ(y) ist, schreibt man formal
δφ(y)
= δ(x − y) .
δφ(x)
(A.11)
(3) Hängt ein Funktional von einem Parameter y ab und läßt es sich darstellen mit
Integral über den sog. Kern K(y, ·),
Fy [φ] =
Z
dx′ K(y, x′ ) φ(x′ ) ,
(A.12)
so ist die Funktionalableitung ebenfalls abhängig vom Parameter y und es gilt
δFy
= K(y, x) .
δφ(x)
A.5
Regeln
Die folgenden Regeln werden in den Übungen hergeleitet.
(A.13)
A
FUNKTIONALABLEITUNG
Produktregel.
159
Läßt sich ein Funktional F als Produkt schreiben:
F [φ] = G[φ] · H[φ] ,
so kann man die Funktionalableitung mit der Produktregel berechnen:
δG
δH
δF
=
· H[φ] + G[φ] ·
.
δφ(x)
δφ(x)
δφ(x)
Kettenregel.
(A.14)
Ist das Funktional F Argument einer Funktion g, so gilt
δg(F [φ])
δF
dg
=
.
δφ(x)
dF [φ] δφ(x)
(A.15)
Schreibt man umgekehrt in das Argument eine Funktion von der (Test-)Funktion φ, so gilt
dg
δF
δF [g(φ)]
=
(φ(x)) .
δφ(x)
δg(φ(x)) dφ
(A.16)
Steht im Argument das Bild eines Operators O, so gilt
δF [Oφ]
δO
δF
=
,
δφ(x)
δ(Oφ(x)) δφ
(A.17)
wobei wir die Operatorableitung benötigen.
A.6
Operatorableitung
Die Funktionalableitung läßt sich auf Operatoren verallgemeinern. (Ein Funktional ist ein
Spezialfall für einen Operator.) Auch hier sucht man die lineare Approximation an einen
Operator O, d.h. einen linearen Operator L mit
O(φ + h) ≃ O φ + L h
für kleine“ h.
”
Ein Operator O auf DO heißt an der Stelle φ ∈ DO differenzierbar, wenn
δO
gibt, sodass
es einen linear-beschränkten Operator
δφ
O(φ + h) − Oφ − δO h ≤ ε(khk)
(A.18)
δφ Definition:
gilt mit einer Nullfunktion ε, d.h.
x→0
ε(x) −−−→ 0 .
Das Objekt
δO
heißt dann Operatorableitung.
δφ
Bemerkung: In der Physik hat man es meist mit linearen Operatoren zu tun, daher
kommt die Operatorableitung nicht so häufig zum Tragen.
A
FUNKTIONALABLEITUNG
A.7
160
Höhere Funktionalableitungen
Die Funktionalableitung δF
δφ ist ein lineares Funktional über V , das i.a. von der Stelle φ
abhängt. Bei festem h ist
δF
[h]
δφ
wiederum eine Abbildung der φ ∈ V nach C, die man wiederum nach φ differenzieren
kann.
Durch
δF 2
δF
δ
F
−
[h]
[h] −
[h,
k]
(A.19)
≤ kkk · ε(kkk)
2
δφ
δφ
δφ
φ+k
φ
wird die zweite Funktionalableitung
δ2F
δφ2
eines Funktionals F : V → R eindeutig definiert, sofern sie existiert.
Man setzt also:
δ δF
δ2F
[h,
k]
=
[h]
[k] .
δφ2
δφ δφ
(A.20)
Auf die gleiche Weise, wie man die erste Funktionalableitung identifizieren kann mit einer
Funktion f : Rn → C, identifiziert man die zweite Funktionalableitung mit einer Funktion
g : Rn × Rn → C. Dafür schreibt man:
g(x, y) =
δ2F
δφ(x) δφ(y)
Identifizierung
=
δ2 F
,
δφ2
wodurch auch klar wird, wie man (A.20) auszuwerten hat:
Z
Z
δ2F
δ2 F
n
[h,
k]
=
d
x
dn y
h(x) k(y) .
2
δφ
δφ(x) δφ(y)
(A.21)
(A.22)
Dabei wurde wieder vorausgesetzt, dass die entsprechenden Funktionalableitungen regulär
sind.
Beispiel:
Betrachte
Z
Z
1
F [φ] =
dx dy φ(x) ∆(x, y) φ(y) ,
2
wo ∆ symmetrisch in seinen Argumenten sein soll.
Mit der ersten Funktionalableitung identifiziert man:
Z
δF
=
dy ∆(x, y) φ(x) .
δφ(x)
Diese hängt offensichtlich von der Stelle φ ∈ V ab. Die zweite Funktionalableitung wird
mit den selben Regeln gebildet, die auch für die erste gelten. Man erhält gemäß (A.13)
δ2F
= ∆(x, y) .
δφ(x) δφ(y)
Verallgemeinerung:
Die Bildung höherer Funktionalableitungen erfolgt analog.
B
SUPERZAHLEN
B
161
Superzahlen
Die folgenden Ausführungen orientieren sich an dem Buch von Buchbinder & Kuzenko
[22].
B.1
Algebra und Generatoren einer Algebra
Definition:
Eine Algebra ist ein linearer Raum A, auf dem eine Multiplikation “·“
(α, β) 7→ α · β ∈ A
∀α, β ∈ A
(B.1)
definiert ist, die für α, β, γ ∈ A und a, b ∈ C folgende Axiome erfüllt:
α (a β + b γ)
(a β + b γ) α
=
=
aαβ + bαγ ,
aβ α + bγ α .
(B.2)
Ist die Multiplikation assoziativ, so nennt man A eine assoziative Algebra.
Definition: Sei A eine assoziative Algebra mit Einselement 1 und sei B ⊂ A eine Teilmenge von A. Man nennt die Elemente ζi ∈ B Generatoren der Algebra A, falls sich jedes
Element γ ∈ A als ein Polynom endlicher Ordnung in den Elementen ζi ∈ B darstellen
läßt,
γ = γ
(0)
1+
p
X
X
(k)
k=1 i1 ,i2 ...ik
B.2
γi1 ,i2 ...ik ζi1 ζi2 · · · ζik .
(B.3)
Endlichdimensionale Grassmann-Algebra
Definition: Die Grassmann-Algebra Λn der Dimension n ist eine assoziative Algebra
mit Einselement. Sie wird dadurch definiert, dass die Generatoren die folgenden Antikommutatorrelationen erfüllen:
{ζi , ζj } := ζi ζj + ζj ζi = 0 ,
i, j = 1, . . . , n .
(B.4)
Für die Generatoren gilt wegen (B.4) insbesondere
ζi2 = 0 .
(B.5)
Ein beliebiges Element γ der endlichdimensionalen Grassmann-Algebra läßt sich darstellen
als ein Polynom der Form
γ = γ
(0)
1+
n
X
X
k=1 i1 <i2 <···<ik
(k)
γi1 i2 ···ik ζi1 ζi2 · · · ζik .
(B.6)
Dabei sind die Koeffizienten γi1 i2 ···ik ∈ C. Die Polynome, nach denen γ entwickelt“ wird,
”
sind in dieser Darstellung wegen i1 < i2 < · · · < ik linear unabhängig und bilden zusammen
mit dem Einselement eine Basis der Algebra. Wegen (B.5) verschwinden alle Polynome
mit ii = ij und wegen (B.4) sind Polynome mit permutierten Generatoren nicht linear
unabhängig.
(k)
B.3
Unendlichdimensionale Grassmann-Algebren; Superzahlen
Durch den Übergang zu unendlich vielen Generatoren ζi kann man eine unendlichdimensionale Grassmann-Algebra erklären.
B
SUPERZAHLEN
162
Definition: Die Elemente der unendlichdimensionalen Grassmannalgebra Λ∞ heißen Superzahlen.
Superzahlen z lassen sich schreiben als Summe
z = zB + zS ,
(B.7)
wo zB ∈ C und
zS
∞
X
1 X
zi ···i ζi . . . ζi1
=
n! i ,i ,...i 1 n n
n=1
1
2
(B.8)
k
gilt. Man kann Superzahlen z in einen geraden und einen ungeraden Teil zerlegen
z
u
v
= u+v ,
∞
X
= zB +
(B.9)
1
(2n)!
n=1
i
=
∞
X
1
(2n
+ 1)!
n=0
X
1 ,i2 ,...ik
X
i1 ,i2 ,...ik
zi1 ···i2n ζi2n . . . ζi1 ,
(B.10)
zi1 ···i2n+1 ζi2n+1 . . . ζi1 .
(B.11)
Rein ungerade Superzahlen heißen a-Zahlen und antikommutieren untereinander. Rein
gerade Superzahlen heißen c-Zahlen und kommutieren mit allem anderen. Die Menge der
a-Zahlen Ca bildet keine (Unter-)Algebra, die Menge Cc der c-Zahlen hingegen schon.
a-Zahlen bzw. c-Zahlen werden als reine Superzahlen bezeichnet.
Definition:
Sei z eine reine Superzahl. Die Parität ε ist
0,
falls z ∈ Cc ,
ε(z) :=
1,
falls z ∈ Ca .
(B.12)
Definition: Die komplex konjugierte z ∗ einer Superzahl z ∈ Λ∞ ist erklärt über folgende
Wirkungsweise der komplexen Involution ∗
(ζ i )∗ := ζ i ,
(α z)∗ := α∗ z ∗ ,
i = 1, 2, . . .
α∈C
(z + w)∗ := z ∗ + w∗ ,
(z w)∗ := w∗ z ∗ .
w ∈ Λ∞
(B.13a)
(B.13b)
(B.13c)
(B.13d)
Entsprechend heißt z reell, falls z ∗ = z und imaginär, falls z ∗ = −z.
Bemerkung:
Das Produkt zweier reeller a-Zahlen ist imaginär, denn
(w z)∗ = z ∗ w∗ = z w = − w z .
Die Menge der reellen Superzahlen in
Ca bzw. Cc wird als Ra bzw. Rc bezeichnet.
Bemerkung: Man muß bei der durch Transposition bedingten Vertauschung von aZahlen auf das Vorzeichen achten: Seien a1 und a2 a-Zahlen. Wir fordern, dass das Transponierte einer Superzahl wieder die selbe Superzahl ist, d.h.
!
(a1 a2 )T = η aT2 aT1 = η a2 a1 = − η a1 a2 = a1 a2 .
Dies legt η auf −1 fest. Transposition entspricht also der naiven Vertauschung und führt
daher gegebenenfalls auf Vorzeichen.
B
SUPERZAHLEN
163
Satz B.1. Analytische Funktionen von a-Zahlen f :
f (θ) = f0 + f1 θ
B.4
mit
Ca → Λ∞ haben stets die Gestalt
f0 , f1 ∈ Λ∞ .
(B.14)
Elemente der Analysis mit Superzahlen
Es werden Superfunktionen betrachtet, d.h. Abbildungen
f:
Rp|q → Λ∞ .
(B.15)
Hierbei ist Rp|q = Rpc × Rqa , d.h. die Menge der (p + q)-Tupel (x1 , . . . , xp , θ1 , . . . , θq ) mit
xi ∈ Rc und θα ∈ Ra . Eine solche Funktion heißt superanalytisch, falls sie sich in als
Potenzreihe darstellen läßt,
f (z)
=
=
f (x1 , . . . , xp , θ1 , . . . , θq )
∞
X
fM1 M2 ...Mk zM1 zM2 · · · zMk ,
(B.16)
k=0
mit
zα =
xα ,
θα−p ,
1≤α≤p,
p<α≤p+q .
(B.17)
wobei fM1 M2 ...Mk ∈ Λ∞ . Nun ist klar, dass die Entwicklung in den a-Zahlen θα schnell
abbricht; daher läßt sich (B.16) auch wie folgt ausdrücken:
f (x1 , . . . , xp , θ1 , . . . , θq )
q
X
1
= f0 (x1 , . . . xp ) +
f[α α ...α ] (x1 , . . . xp ) θα1 θα2 · · · θαk .
k! 1 2 k
(B.18)
k=1
Dabei deuten die eckigen Klammern [. . . ] an, dass die superanalytischen Koeffizientenfunktionen f[α1 α2 ...αk ] total antisymmetrisch in den Indizes sind.
Da sich das Bild f (z) zerlegen läßt in c-Teil und a-Teil
f (z) = fc (z) + fa (z) ,
fc (z) ∈ Cc ,
fa (z) ∈ Ca ,
genügt es, gerade oder bosonische“ Funktionen
”
fc : Rp|q → Cc
und ungerade oder fermionische“ Funktionen
”
fa : Rp|q → Ca
zu betrachten. Diesen weist man die Parität
0,
falls f bosonisch ,
ε(f ) =
1,
falls f fermionisch ,
zu. Damit weiß man auch sofort die Parität der Koeffizientenfunktionen,
ε(f0 ) = ε(f ) ,
(i)
ε(fα1 α2 ...αk ) = ε(f ) + k mod 2 .
Differentiation nach a-Zahlen
Für Funktionen von Superzahlen mit Werten in Λ∞ läßt sich eine Differentiation definieren.
Dabei genügt es nach (B.18), festzulegen, wie die Differentiation auf ein Polynom aus den
antikommutierenden θs mit wirkt.
B
SUPERZAHLEN
164
Definition: Man erklärt die sog. Linksdifferentiation dadurch, dass sie bei einem Produkt aus antikommutiereneden Variablen nur dann auf ein bestimmtes Element wirken
kann, wenn es sich am linken Rand des Ausdrucks befindet. Die übrigen Differentiationsregeln werden beibehalten. Insbesondere gilt:
q
X
1
∂
f (z) = (−1)ε(f )
f[αα1 ...αk−1 ] (x) θα1 · · · θαk−1 .
(−1)k
∂θα
(k − 1)!
(B.19)
k=1
Analog kann auch Rechtsdifferentiation definiert werden. Im folgenden wird unter der
Differentiation immer Linksdifferentiation verstanden.
Beispiel: Betrachte eine Funktion f :
f0 , f1 , f2 , f12 , f21 die Darstellung
R2a → Λ∞ . Sie besitzt mit den Koeffizienten
1
f (θ1 , θ2 ) = f0 + f1 θ1 + f2 θ2 + (f12 θ1 θ2 + f21 θ2 θ1 ) .
|2
{z
}
=f12 θ1 θ2
Terme höherer Ordnung treten wegen θi2 = 0 nicht auf. Wie die Differentiation nach θi auf
f wirkt, hängt gemäß (B.19) von der Parität von f ab.
Wir wollen nun ein bosonisches f betrachten und wählen daher f0 , f12 , f21 ∈ Cc und
f1 , f2 ∈ Ca . Die Ableitungen lauten dann:
∂f
∂θ1
=
1
−f1 + (f12 − f21 ) θ2 = − f1 + f12 θ2 ,
2
∂2f
= − f12
∂θ1 ∂θ2
| {z }
∂
≡ ∂θ
∂f
∂θ2
=
1
−f2 − (f12 − f21 ) θ1 = − f2 + f21 θ1 ,
2
∂f
1 ∂θ2
∂2f
= − f21 = f12 .
∂θ2 ∂θ1
Das zeigt, dass die Reihenfolge der Differentialoperatoren von Bedeutung ist, bzw. dass
die zweite fermionische Ableitung antisymmetrisch ist.
Die zweite Zeile erhält man anschaulich, wenn man die Vertauschung θ1 θ2 = − θ2 θ1
durchführt, um die Linksdifferentiation ∂θ∂ 2 ausführen zu können.
Bemerkung: Aus der Definition der Linksdifferentiation folgen die Antikommutatorrelationen
∂
∂
∂
θα ,
= δαβ ,
,
= 0.
(B.20)
∂θβ
∂θα ∂θβ
(ii)
Integration über a-Zahlen
Um die Integration einer Funktion von a-Zahlen einzuführen, fordert man neben Linearität
und Translationsinvarianz die Normierung
Z
dθi θi := 1 .
(B.21)
Aus der Translationsinvarianz folgt
Z
Z
Z
!
dθ1 f (θ1 ) =
dθ1 f (θ1 + θ2 ) =
dθ1 {f0 + f1 · (θ1 + θ2 )}
B
SUPERZAHLEN
=
165
Z
dθ1 f (θ1 ) +
Z
dθ1 1 f1 θ2
=⇒
Z
dθα 1 = 0 .
(B.22)
Mehrfache Integrale werden als Iteration von Einfachintegralen verstanden. Um diese zu
berechnen, benötigt man Regeln zur Vertauschung der Differentiale dθi . Die Relationen
dafür werden wir uns nun ermitteln.
Bemerkung: Im Raum der a-Zahlen sind Integration und Differentiation identische
Operationen. Es gilt:
Z
∂
.
(B.23)
dθα =
∂θα
Um diese Aussage zu begründen, betrachte eine fermionische Funktion f :
gilt:
Z
Z
∂
dθ1 f (θ1 ) =
dθ1 (f0 + f1 θ1 ) = f1 =
f (θ1 ) .
∂θ1
Ra → Ra . Es
Wegen (B.23) fordert man für die Differentiale dieselben Antikommutatorrelationen wie
für die Differentiationsoperatoren (B.20):
{dθi , dθj } = 0 ,
{dθi , θj } = δij
(B.24)
Dies sind die gesuchten Regeln für die Vertauschung der Reihenfolge bei Mehrfachintegration.
Beispiel: Gauß-Integrale mit a-Zahlen (vgl. Übungen)
Es seien θα , θ̄α , ηα und η̄α (i = 1, . . . , n) jeweils a-Zahlen. Wir betrachten nun das Integral
Z
ZG (η, η̄) =
dθ̄1 dθ1 · · · dθ̄n dθn exp{−S0 }
(B.25)
mit
S0 =
n
X
θ̄α aαβ θβ +
α,β=1
n
X
(η̄α θα + θ̄α ηα ) = θ̄T A θ + η̄ T θ + θ̄T η
(B.26)
α=1
und der symmetrischen, invertierbaren Matrix A = (aij ).
(a) Mit der Variablentransformation
θα = θα′ − (A−1 )αβ ηβ
und
θ̄α = θ̄α′ − η̄β (A−1 )βα ,
zeigt man, dass
ZG = (det A) exp

n
 X

α,β=1
η̄α (A−1 )αβ ηβ



= (det A) exp η̄ T A−1 η .(B.27)
(b) Jetzt wird zu S0 die Wechselwirkung“ V (θ, θ̄) addiert. Dann ergibt sich
”
Z
Z(η, η̄) =
dθ̄1 dθ1 · · · dθ̄n dθn exp{−S0 + V (θ, θ̄)}
∂ ∂
ZG (η, η̄)
= exp V − ,
∂ η̄ ∂η
(B.28)
B
SUPERZAHLEN
166
Bemerkung: Vergleich mit dem Gaußintegral in Cn : Für komplexe, unabhängige Variablen φi und φ∗i lautet die entsprechende Formel:
Z
dφ∗1 dφ1 · · · dφ∗n dφn exp −φ† · A · φ ∼ (det A)−1 .
Die Determinante von A steht hier im Nenner.
B.5
Fermionische Felder
Im Kontinuumslimes
θα −→ θ(x) .
wird der diskrete Satz an a-Zahlen zum fermionischen Feld θ :
riablen θ(x) sind dann für jedes x a-Zahlen.
B.6
(i)
M4 → Ca , d.h. die Feldva-
Funktionalanalysis im Kontext von Superzahlen
Funktionalableitung
Die Regeln zur Differentiation nach a-Zahlen lassen sich auf die Regeln zur Funktionalableitung nach fermionischen, d.h. a-Zahl-wertigen, Feldern übertragen. Es gilt:
δθ(x)
= δ 4 (x − y) .
δθ(y)
Die Antikommutatorrelationen lauten:
δ
, θ(y)
= δ 4 (x − y)
und
δθ(x)
(ii)
(B.29)
δ
δ
,
δθ(x) δθ(y)
= 0.
(B.30)
Funktionalintegration
Man überträgt die Integrationsregeln für a-Zahlen auf die Regeln zur Integration über
fermionische Felder. Es soll gelten:
Z
Z
dθ(x) θ(x) = 1 ,
dθ(x) 1 = 0 .
(B.31)
R
Dabei bedeutet dθ(x) die Integration über
R die a-Zahl zum kontinuierlichen ”Index“ x.
Bei der Definition des Funktionalintegrals Dθ mittels Diskretisierung des Index“ x und
”
anschließendem Grenzübergang zum Unendlichdimensionalen wird für jeden Generator
zum diskreten Index xk diese Normierung des Integrals,
Z
dθ(xk ) θ(xk ) = 1 ,
gefordert.
B
SUPERZAHLEN
(iii)
167
Funktionalintegrationsregeln für Fermionenfelder
Betrachtet man Dirac-Felder, so sind die Feldvariablen ψ(x) und ψ(x) unabhängige fermionische Felder. Im Folgenden wird angenommen, dass sich (B.27) für verschwindenden
Quellterm verallgemeinern läßt zu:
Z
Z
Z
Dψ Dψ exp i d4 x′ d4 x ψ(x′ ) O(x′ , x) ψ(x)
= det O .
(B.32)
Dabei ist O ein Operator. Für den Ausdruck det O gilt die Formel
det O = exp {tr(ln O)} .
(B.33)
Im Unterschied zur Integration über kommutierende Skalarfelder steht der Ausdruck (det O)
im Zähler anstatt im Nenner. Im Ausdruck für das erzeugende Funktional wird der Term
aus (B.32) in der Normierung absorbiert. Es wird davon ausgegangen, dass sich (B.27)
verallgemeinern läßt zu
Z
Z
Z
Z
4
4 ′
′
′
4
d x ψ(x ) O(x , x) ψ(x) + d x ψ(x) η(x) + η(x) ψ(x)
Dψ Dψ exp i d x
Z
Z
−1 ′
4 ′
′
4
= (det O) exp i d x d x η(x ) O (x , x) η(x)
(B.34)
Dabei sind η(x) und η(x) unabhängige fermionische Felder.
C
LÖSUNGEN DER DIRAC-GLEICHUNG FÜR FREIE TEILCHEN
C
C.1
168
Lösungen der Dirac-Gleichung für freie Teilchen
γ-Matrizen und Clifford-Algebra
Die Dirac-Gleichung, d.h. die Feld-Gleichung für Spinoren Ψ, wird üblicherweise mit Hilfe
der γ-Matrizen ausgedrückt. Diese sind Darstellungsmatrizen von Elementen der CliffordAlgebra, und erfüllen somit die Anti-Kommutationsrelationen
{γµ , γν } = 2 ηµν .
(C.1)
Es gibt einige besonders nützliche Darstellungen der γ-Matrizen. Hierbei sind insbesondere
die Dirac-Darstellung und die Weyl-Darstellung zu nennen. In der Dirac-Darstellung hat
man
12 0
0
σi
i
0
,
(C.2)
, γ =
γ =
0 −12
−σ i 0
wohingegen in der Weyl-Darstellung gilt
0 σµ
.
γµ =
σ̄ µ 0
(C.3)
Die Darstellungen stehen durch unitäre Transformationen U miteinander in Beziehung,
1
12 −12
γµ′ = U † γµ U , Ψ′ = U † Ψ
mit U = √
.
(C.4)
12 12
2
Insbesondere hat man
µ
µ
γDirac
= U † γWeyl
U.
C.2
(C.5)
Basislösungen u und v
Betrachte die Dirac-Gleichung
(i γ µ ∂µ − m) Ψ =:
i ∂ − m Ψ = 0 .
(C.6)
In der Dirac-Darstellung zerlegt man die Lösung Ψ in Lösungen zu positiver und negativer
Energie,
Ψpos (x)
Ψneg (x)
=
=
exp(−i p · x) u(s) (p) ,
exp(i p · x) v
(s)
(p) .
(C.7a)
(C.7b)
Die Spinoren u und v erfüllen hierbei die Matrix-Gleichungen
(s)
(p
− m) u (p)
(s)
(p
+ m) v (p)
=
=
0,
0.
Es hat sich folgende Wahl für die Spinoren u und v eingebürgert:
√
p · σ χ(s)
√
,
u(s) =
p · σ̄ χ(s)
√
p · σ ε χ(s)
.
v (s) = − √
p · σ̄ ε χ(s)
(C.8a)
(C.8b)
(C.9a)
(C.9b)
C
LÖSUNGEN DER DIRAC-GLEICHUNG FÜR FREIE TEILCHEN
Hierbei sind
χ(1) =
1
0
und
χ(2) =
0
1
,
169
(C.10)
Basis-Spinoren mit Spin in z-Richtung von ±1/2 und
0 1
ε =
.
−1 0
(C.11)
Es gilt (Übung)
√
√
p·σ+m
p · σ̄ + m
und
,
p·σ = p
p · σ̄ = p
0
2 (p + m)
2 (p0 + m)
p
wobei p0 = E = m2 + p~ 2 .
Die Spinoren u und v erfüllen die Vollständigkeitsrelationen
X
u(s) (p) u(s) (p) = p
+m,
(C.12)
(C.13a)
s=1,2
X
s=1,2
v (s) (p) v (s) (p)
=
p
−m.
Des Weiteren hat man
†
†
′
′
u(s) (k) u(s ) (k) = v (s) (k) v (s ) (k)
†
†
′
′
u(s) (~k) u(s ) (−~k) = v (s) (~k) u(s ) (−~k)
(C.13b)
′
=
2ωk δ ss ,
(C.14a)
=
0,
(C.14b)
wobei in der zweiten Zeile durch die Schreibweise ~k zum Ausdruck gebracht wird, dass nur
die räumlichen Komponenten des Vierervektors k ein Minus erhalten.
D
SPURBILDUNG VON PRODUKTEN VON DIRAC-MATRIZEN
D
170
Spurbildung von Produkten von Dirac-Matrizen
Für die Spur von Produkten von γ-Matrizen gelten die folgenden Regeln:
(1) tr 14 = 4.
(2)
tr (a
1 a
2 ) = 4 a1 · a2 .
(D.1)
(3) Die Spur einer ungeraden Anzahl an γ-Matrizen verschwindet,
tr (a
1 a
2 · · · a
n ) = 0 für ungerades n.
(D.2)
(4) Für eine gerade Anzahl gilt die Rekursionsformel:
tr (a
1 · · · a
n )
=
a1 · a2 tr (a
3 · · · a
n ) − a1 · a3 tr (a
2 a
4 · · · a
n )
+a1 · a4 tr (a
2 · · · a
3 a
5 · · · a
n ) − · · ·
+a1 · an tr (a
2 · · · a
n−1 ) ,
(D.3)
insbesondere:
tr (a
3 a
4 ) =
2 a
1 a
4 [(a1 · a2 ) (a3 · a4 ) + (a1 · a4 ) (a2 · a3 ) − (a1 · a3 ) (a2 · a4 )] .
(D.4)
D
SPURBILDUNG VON PRODUKTEN VON DIRAC-MATRIZEN
171
Zu (D.1):
tr(a
b)
Zu (D.2):
1
= tr(b a)
b + b a)
= 2 tr(a
1 µ ν
a b tr (γµ γν + γν γµ )
=
2
= ηµν aµ bν tr 14 = 4 a · b .
Wegen der zyklischen Invarianz der Spur gilt:
tr a
1 · · · a
n γ5 .
1 · · · a
n = tr a
1 · · · a
n |γ5{zγ}5 = tr γ5 a
=1
Mit der Relation γµ γ5 + γ5 γµ = 0 kann man das linke γ5 nach rechts durchziehen,
n
tr a
1 · · · a
n = (−1) tr a
1 · · · a
n γ5 γ5 = 0 .
D.h., für ungerades n muß die Spur verschwinden.
Zu (D.3):
a
1 a
2
Da
=
=
aµ1 aν2 γµ γν = aµ1 aν2 (γµ γν + γν γµ − γν γµ )
2 aµ1 aν2 ηµν − aν2 aµ1 γν γµ = 2a · b − a
2 a
1
gilt, kann man mit a
1 + 2a1 · a2 den Faktor a
1 nach rechts schieben,
1 a
2 = −a
2 a
tr a
1 a
2 · · · a
n = 2 a1 · a2 tr a
3 · · · a
n − tr a
2 a
1 a
3 · a
n .
Durch Fortsetzung des Prozesses ergibt sich
tr a
1 · · · a
n
=
2 a1 · a2 tr a
3 · · · a
n − 2 a1 · a3 tr a
2 a
4 · · · a
n
+ · · · + 2 a1 · an tr a
·
·
·
a
−
tr
a
·
·
·
a
2
n−1
2
n a
1 .
Bringt man den letzten Term auf die rechte Seite und benutzt die zyklische Invarianz der
Spur, erhält man die Behauptung.
Weitere Hilfsformeln:
(a) Für beliebige Dirac-Matrizen M gilt:
|uf M ui |2 = (uf M ui ) (ui M uf )
(D.5)
mit M = γ 0 M † γ 0 , denn
(ui M uf )
(b)
=
(u†i γ 0 γ 0 M † γ 0 uf )
=
(u†f γ 0 M ui )† .
tr(γ µ γ ν γ ρ γ σ γ5 ) = − 4 i εµνρσ .
(D.6)
E
YOUNG-TABLEAUX
E
172
Young-Tableaux
Das Ziel dieser Ergänzung ist es, einen Überblick über die SU(N ) Darstellungstheorie zu
geben. Die Diskussion richtet sich im Wesentlichen an [1, S. 102 ff.].
E.1
(i)
Generelle Eigenschaften
Tensor-Notation für SU(N )
Wir betrachten in diesem Abschnitt Tensoren der SU(N ), d.h. Elemente einer Darstellung
der speziellen unitären Gruppe. Mit einem (p, q)-Tensor |ψi assoziieren wir die Kompoj ...j
nenten ψi11···iqp ,
E
i ···i
j ...j
(E.1)
|ψi = j11 ...jqp ψi11···iqp .
j ...j
Wir werden im Folgenden nicht zwischen dem Tensor |ψi und seinen Komponenten ψi11···iqp
unterscheiden.
(ii)
Einführendes Beispiel: Symmetrische und antisymmetrische Tensoren zweiter Stufe
Betrachte nun einen (0, 2)-Tensor Ψij . Offensichtlich läßt sich dieser zerlegen in einen
(+)
(−)
symmetrischen Anteil ψij und einen antisymmetrischen Anteil ψij ,
)
(+)
ψij
= 21 (Ψij + Ψji )
(+)
(−)
↔ Ψij = ψij + ψij .
(E.2)
(−)
ψij
= 21 (Ψij − Ψji )
Eine wesentliche Beobachtung ist, dass unter einer Transformation die Anteile nicht mischen, d.h. wegen
(ψ (+) )′kℓ
(+)
=
Uk i Uℓ j ψij
Symmetrie
=
Uk i Uℓ j ψji
Umindizierung (i↔j)
Uk j Uℓ i ψij
=
(+)
(+)
= (ψ (+) )′ℓk
(E.3)
(−)
und der analogen Überlegung für ψij bleiben die Symmetrieeigenschaften erhalten. Es
hat sich die Notation eingebürgert, Antisymmetrie mit einem ;“ zu kennzeichnen,
”
(−)
ψi;j := ψij
= Ψ[ij] ,
(E.4a)
und bei einem fehlenden ;“ von Symmetrie auszugehen,
”
(+)
ψij = ψij
= Ψ{ij} .
(E.4b)
Man erhält die Tensoren durch Symmetrisierung bzw. Antisymmetriesierung.
Die Idee der Young-Tableaux ist nun, die Symmetrieeigenschaften mit Kästchen darzustellen. Nebeneinander angeordnete Kästchen deuten Symmetrie und untereinander angeordnete Kästen Antisymmetrie an, d.h.
ψ i j ↔ ψij
und
ψ i ↔ ψi;j ,
j
E
YOUNG-TABLEAUX
173
oder kürzer (wir sparen uns das ψ auf der linken Seite in den Formeln)
i j
(+)
↔ ψij
und
i
j
(−)
↔ ψij
.
In der Sprache der Young-Tableaux schreibt sich (E.2) demzufolge als
Ψij = ψij + ψi;j =
(iii)
i .
i j +
j
(E.5)
Verallgemeinerungen
Ein beliebiger (0, q)-Tensor läßt sich stets zerlegen in Anteile definierter Symmetrie,
Ψi1 ...iq
=
ψi1 ...iq
+ ψi1 ···iq−1 ;iq + ψi1 ···iq−2 ;iq−1 iq + · · · + ψi1 ;i2 ···iq
+ ψi1 ···iq−2 ;iq−1 ;iq + · · · + ψi1 ;i2 ···iq−1 ;iq
..
.
+ ψi1 ;i2 ;··· ;iq .
(E.6)
Analog zu (E.3) finden wir, dass die Transformationen nur innerhalb der Zustände definierter Symmetrie vermitteln. Allerdings beihnaltet (E.6) unnötig viele Ausdrücke; wir
werden später in E.2 sehen, wie man Redundanzen vermeidet.
Ein Young-Tableau ist also ein Schema
,
das mit Indizes aufgefüllt wird. Mit den Indizes repräsentiert es einen Tensor gemischter
Symmetrie, z.B.
i j
k
↔ ψij;k ,
wobei die Kästchen den Plätzen der Indizes entsprechen. Der wesentliche Aspekt ist, dass
die Anordnung der Kästchen die Symmetrie bzgl. Austausch der Indizes i, j, k festlegt:
• Sind die Kästchen nebeneinander angeordnet, so ist der Tensor symmetrisch bzgl.
Austausch der Indizes, und
• sind die Kästchen übereinander angeordnet, so ist der Tensor antisymmetrisch bzgl.
Austausch der Indizes.
Im obigen Fall ist der Zustand also symmetrisch bzgl. der Vertauschung i ↔ j und antisymmetrisch bzgl. i ↔ k.
Folgerung: Nach Konstruktion läßt sich jeder Tensor mit einer definierten Symmetrie
durch solch ein Schema beschreiben. Solche Zustände mit n Kästchen sind Tensoren einer
irreduziblen Darstellung der Permutationsgruppe Sn .
E
YOUNG-TABLEAUX
E.2
174
Standard-Anordnung
Wegen der Symmetrieeigenschaften ist beispielsweise ψ21;3 durch ψ12;3 oder ψ1;22 = −ψ2;12
durch −ψ12;2 gegeben. Es genügt also, einige wesentliche Komponenten von ψ zu kennen
[23].
Unter der Standard-Anordnung eines Young-Tableaux versteht man eine Anordnung,
die die folgenden Bedingungen erfüllt:
• Die Zeilen werden immer kürzer und sind linksbündig,
und nicht
.
• Die Zahlen nehmen nach rechts nicht ab,
1 2 3 4
oder
1 2 2 3
, aber nicht
1 2 3 2 .
• Die Zahlen werden nach unten größer,
1
2
3
, aber nicht
1
3
2
oder
1
2 .
2
Satz: Jeder einer irreduziblen Darstellung der Sn angehörige Tensor n-ter Stufe, der sich
als Tensorprodukt von Tensoren erster Stufe eines N -dimensionalen Multipletts der SU(N )
schreiben läßt, transformiert unter einer irreduziblen Darstellung der Gruppe SU(N ).
Folgerung: Jeder Tensor mit n Indizes, der einem Young-Tableau entspricht, ist ein
Basiszustand einer Darstellung der SU(N ). Die Zahl der Young-Tableaux in Standardanordnung mit dieser Kästchenanordnung ist die Dimension dieser irreduziblen Darstellung.
Beispiel: Die Möglichkeiten, zwei ununuterscheidbare Teilchen in zwei Zuständen symmetrisch anzuordnen, sind die drei Standard-Anordnungen:
1 1
,
2 2
und
1 2 .
Dies entspricht einer dreidimensionalen irreduziblen Darstellung der SU(2), also beispielsweise dem Triplett bei der Drehimpulskopplung zweier Spin- 21 -Teilchen. Umgekehrt gibt
es nur ein Young-Tableau in Standard-Anordnung für den antisymmetrischen Fall,
1 .
2
Dieser entspricht dem Singlett und spiegelt wieder, dass eine antisymmetrische 2×2 Matrix
nur eine linear unabhängige Komponente hat.
Es zeigt sich also, dass der horizontalen Anordnung der Kästchen drei Tableaux in
Standard-Anordnung entsprechen, der vertikalen Anordnung nur eine. Im Folgenden werden allgemeine Regeln aufgestellt, womit man aus der Kästchenanordnung sofort die Anzahl der Tableaux in Standard-Anordnung ermitteln kann.
E
YOUNG-TABLEAUX
175
Beispiel: Wir betrachten nun die SU(3) und einen Tensor Ψij;k mit gemischter Symmetrie. Was bedeutet die Symmetrisierung oder Anti-Symmetrisierung hier? Wir symmetrisieren zunächst zeilenweise und führen dann eine Antisymmetrisierung bzgl. untereinanderstehender Indizes durch.20 Wir starten also mit dem Tensor ψijk . Symmetrisierung der
Indizes i und j führt auf die Summe ψijk + ψjik . Nun antisymmetrisieren wir bzgl. der
Vertauschung i ↔ k und erhalten damit bis auf einen möglichen Normierungs-Faktor
Ψij;k = ψijk + ψjik − ψjki − ψkji .
(E.7)
Im Fall N = 3 ergeben sich die folgenden Tableaux in Standard-Anordung:
1 1 ,
2
1 1 ,
3
1 2 ,
2
1 2 ,
3
1 3 ,
2
1 3 ,
3
2 2
3
und
2 3 .
3
(E.8)
Durch Einsetzen in (E.7) sieht man, dass beispielsweise Ψ12;2 nicht verschwindet,
Ψ12;2 = ψ122 + ψ212 − ψ221 − ψ221 6= 0 .
Ähnlich überzeugt man sich davon, dass alle in (E.8) aufgeführten Tableaux nicht-verschwindenden
und unabhängigen Komponenten von Ψ entsprechen. Das bedeutet, dass dieser Tensor 8
unabhängige Komponenten hat. Alle weiteren Komponenten können auf diese zurückgeführt werden. Wir werden Ψij;k mit der adjungierten Darstellung identifizieren.
E.3
Young-Tableaux zur Bestimmung der Dimension irreduzibler
Darstellungen der SU(N )
Die SU(N ) hat eine definierende Darstellung der Dimension N ; physikalisch bedeutet
das N Basiszustände, beispielsweise beschreibt die SU(2) den Spin von Teilchen mit zwei
Einstellmöglichkeiten für den Spin.
Weglänge. Jedem Kästchen eines Tableaus wird eine Weglänge L zugeordnet. Diese ist
durch die Anzahl der nach rechts und unten durchquerten Kästchen erklärt, z.B.
• × × ×
×
↔
Weglänge = 5
Abstand. Der Abstand D zum ersten Kästchen ist definiert als die Zahl der Schritte, die man benötigt um vom linken oberen Kästchen zu einem gegebenen Kästchen zu
kommen. Dabei zählen
horizontale
vertikale
Schritte
positiv
negativ
,
z.B.
0
−1
−2
+1
0
+2
+1
+3
+4
.
Es wurde bereits erwähnt, dass jede Anordnung von Kästchen einer irreduziblen Darstellung entspricht. Die Dimension M dieser Darstellung ist gerade die Anzahl der YoungTableaux in Standard-Anordnung.
20 Ich
danke für die Diskussion am Ende der bzw. am Anfang der Vorlesungen.
E
YOUNG-TABLEAUX
176
Dimension M einer irreduziblen Darstellung.
der Kästchen berechnet man M gemäß
M =
Y Di + N
Li
i
Beispiel:
=
Aus den Weglängen und den Abständen
Produkt aller (Abstände+N )
.
Produkt aller Weglängen
(E.9)
Betrachte die SU(2).
N =2
0 −−−→ 2
:
N =2
0 1 −−−→ 2 3
:
0 N =2 2
−−−→
1
-1
:
2
= 2,
1
2·3
M =
= 3,
2·1
2·1
= 1.
M =
2·1
M =
Insbesondere trägt ein Young-Tableau mit N Zeilen immer Dimension 1,





→
Dimension M = 1 .
N




Daraus resultiert die Regel, dass man eine Spalte mit N Zeilen aus einem Young-Tableau
einfach herausstreichen darf,
→
N
Beispiel:
(E.10)
Betrachte die SU(3).
0
0 1
N =3
−−−→
N =3
−−−→
0 N =3
−−−→
-1
0 1
-1
N =3
−−−→
Man assoziiert mit
Tensoren εijk und εijk ,
3
:
3 4
:
3
2
:
3 4
2
:
3
= 3,
1
3·4
= 6,
M =
2·1
3·2
M =
= 3,
2·1
M =
M =
3·4·2
= 8.
3·1·1
die Darstellung 3 und mit
die Darstellung 3. Die Levi-Civita-
in Tableaux-Schreibweise, transformieren als Singlett. Dies sieht
man beispielsweise an
εijk → Ui ℓ Uj m Uk n εℓmn = (det U) εijk = εijk .
(E.11)
E
YOUNG-TABLEAUX
177
Die Levi-Civita-Tensoren erlauben es uns insbesondere, Indizes “hoch- bzw. runterzuziehen”, etwa
ψ i;j = εijk ψk
bzw.
ψi = εijk ψ j;k .
(E.12)
M.a.W., ein vollkommen anti-symmetrischer (2, 0)-Tensor transformiert wie ein (0, 1) Tensor und umgehehrt. Des Weiteren transformiert ψ i φi trivial, woraus wir sehen können,
dass
Ui j = (U−1 )i j = (U† )i j
(komponentenweise) .
Wir können nun auch verstehen, warum
Tensor-Schreibweise wird diesem Tableau ψ
erhalten wir
ψ ij;k = εjkℓ ψ i ℓ
bzw.
(E.13)
der adjungierten Darstellung entspricht: In
ij;k
zugeordnet. Durch Kontraktion mit εjkℓ
ψ i j = ψ ik;ℓ εjkℓ .
(E.14)
Das bedeutet, dass der (0, 3)-Tensor mit ψ ij;k gemischter Symmetrie wie ein (1, 1)-Tensor
transformiert. Dies entspricht dem Transformationsverhalten
Ta → U Ta U †
(E.15)
in der adjungierten Darstellung.
E.4
Young-Tableaux zur Ausreduktion von Produkten irreduzibler
Darstellungen der SU(N )
Das ausreduzierte Produkt zweier irreduziblen Darstellungen kann durch ein Produkt zweier Schemata dargestellt werden. Die Produktbildung der Schemata erfolgt in folgenden
Schritten [1]:
Schritt 1. Kennzeichne im ersten der beiden Tableaux alle Kästchen der ersten Zeile mit einem
a, die der zweiten mit einem b usw.
Schritt 2. (a) Summiere über alle Schemata mit abfallender Skyline, die sich durch Zusammensetzen des zweiten der Ausgangsschemata mit den Kästchen des Typs a
ergeben. Dabei darf keine Spalte mehr als N Zeilen enthalten.
(b) Fahre auf die selbe Weise fort mit den Kästchen des Typs b.
(c) usw.
Schritt 3. Streiche alle Spalten mit N Zeilen, solange das Schema nicht nur die Spalte ist.
Schritt 4. Bilde für jedes der resultierenden Schemata eine Zeichenkette, indem die Label der
ersten Zeile rückwärts gelesen werden, dann die zweite Zeile rückwärts gelesen und
angefügt usw. Wenn die Zeichenkette links von einem beliebigen Element mehr b als
a oder mehr c als b usw. enthält, verwerfe das entsprechende Schema.
E
YOUNG-TABLEAUX
178
Beispiel: Betrachte die SU(3). Quarks sind Farb-Tripletts. Wir reduzieren das Tensorprodukt der adjungierten Darstellung mit sich selbst aus:
⊗
Schritt 1.
−−−−−−→ a a ⊗
b
a a ⊕
Schritt 2.a
−−−−−−→
a
a a b ⊕
Schritt 2.b
−−−−−−→
a
⊕
Schritt 3.
−−−−−−→
Schritt 4.
b
a
a
b
⊕
a
a a ⊕
⊕
a
b
a
a
a a
⊕
b
a
⊕
a
a
a
b ⊕
⊕
b
a
a b
⊕
a
a ⊕
a
a a ⊕
a
b
⊕
=
⊕
⊕
=
27 ⊕ 10 ⊕ 10 ⊕ 2 · 8 ⊕ 1 .
⊕
a
a
a a
⊕
b
a
b
a
a b ⊕
a
a b
b
⊕
b
a
a
a b
b ⊕
a
a
b
⊕
a
a
⊕2·
⊕
⊕
a
a b
a
a b
E
YOUNG-TABLEAUX
E.5
(i)
179
Young-Tableaux zur Bestimmung der Verzweigungs-Regeln
Beispiel: SU(3) → SU(2) ⊗ U(1)
Die SU(2) ist auf folgende, offensichtliche Weise in die SU(3) eingebettet:
!
տ ր
0
SU(2) ∗∗
ւ σi ց
0
SU(3) .
↔
∗ ∗ ∗
0 0 0
Der Generator λ8 vertauscht mit den eingebetteten SU(2)-Generatoren λ1−3 , generiert
deshalb eine U(1). Folglich haben wir SU(2) ⊗ U(1) in die SU(3) eingebettet. Weiterhin
sieht man, dass die 3 in 21/3 und 1−2/3 zerfällt. Das relative Vorzeichen der U(1)-Ladungen
ergibt sich aus




x
x
iα
 y  ,
exp(iαλ8 )  y  = exp √
3
0
0




0
0
−2iα
 0  .
exp(iαλ8 )  0  = exp √
3
z
z
Die Frage ist nun, wie ein SU(3)-Tensor ψi1 ···iq unter SU(2) ⊗ U(1) transformiert. Jeder
Index kann entweder als Singlett oder Dublett unter der SU(2) transformieren. Um dies
herauszufinden, verteilt man alle Kästchen eines zu einer Darstellung gehörigen YoungTableaux auf die SU(2) und die U(1), und konstruiert alle Young-Tableaux die sich als
Tensorprodukt der aufgeteilten Schemata ergeben. Ein Kästchen in der U(1) entspricht +1
für die U(1)-Ladung, und es ist klar, dass die U(1)-Schemata keine vertikale Ausdehnung
grösser als 1 besitzen dürfen. Desweiteren ergibt sich für ein Schema mit n Kästchen,
wovon j unter SU(2) als Dubletts transformieren, eine Gesamt-Ladung“ von
”
1
2
2
Y = j − (n − j) = − n + j .
(E.16)
3
3
3
Ergibt sich das Ausgangs-Tableau n mal, so tritt die Kombination in der Zelegung n mal
auf.
Beispiel: Zerlegung der 6.
→
: • ⊕
6 →
:
32/3 ⊕ 2−1/3 ⊕ 1−4/3 .
⊕ • :
Dabei bedeutet ein • die Abwesenheit von Kästchen unter SU(2) bzw. U(1).
Beispiel: Zerlegung der 8.
→
: • ⊕
8 →
21 ⊕ 10 ⊕ 30 ⊕ 2−1
:
⊕
:
⊕
:
E
YOUNG-TABLEAUX
(ii)
180
Verallgemeinerung SU(N + M ) → SU(N ) ⊗ SU(M ) ⊗ U(1)
Das Vorgehen des letzten Abschnitts läßt sich auf SU(N + M ) → SU(N ) ⊗ SU ⊗ U(1)
verallgemeinern. Offensichtlich sind Block-Matrizen mit Blöcken aus SU(N ) bzw. SU(M )
selbst Matrizen aus SU(N + M ),


∗ ··· ∗

 ..
.

 . N ..



 ∗ ··· ∗
 .

(E.17)

∗ ··· ∗ 



..
. 

. M .. 
∗ ···
∗
Darüberhinaus gibt es immer eine Superposition der Cartan-Generatoren, welche mit den
Generatoren der Untergruppen vertauscht, nämlich


M


. .N


.




1
M

 .
(E.18)
H=p


−N
2 N M (N + M ) 



. .M


.
−N
Die Kästchens eines Tableaux unter SU(N + M ) können analog zum vorangehenden Abschnitt verteilt werden. Aus der Gestalt des eingebetteten U(1) Generators (E.18) resultiert
die U(1)-Ladung nM − mN für ein Schema mit n Kästchen in SU(N ) und m Kästchen
in SU(M ). Beachte, dass Physiker dabei oft – wie auch bei SU(3) → SU(2) ⊗ U(1) – die
U(1)-Ladung umnormieren.
Beispiel: SU(5) → SU(3)⊗SU(2)⊗U(1). Die U(1)-Ladung ergibt sich zu 5·j−2·n, wobei
n die Gesamtzahl und j die Zahl der Kästchen bezeichnet, die unter SU(3) transformieren.
Physiker multiplizieren diese Zahl noch mit einem Konventionsfaktor von 1/6.
(a) Zerlegung der 10.
→
10
→
: • ⊕
:
⊕ • :
3 ⊗ 1 −4/6 ⊕ (3 ⊗ 2)1/6 ⊕ (1 ⊗ 1)6/6 .
{z
} | {z } | {z }
|
qL
uR
eR
(b) Zerlegung der 5.
→
=


:

⊕
:
(1 ⊗ 2)−3/6 ⊕ 3 ⊗ 1 2/6 .
|
{z
} | {z }
ℓL
dR
E
YOUNG-TABLEAUX
181
Der Teilchengehalt einer Generation von Standard-Modell-Teilchen lässt sich also aus 5
und 10 unter SU(5) gewinnen. Das rechtshändige Neutrino kann als Singlett unter SU(5)
eingeführt werden.
Bemerkung: Das Young-Tableau der komplex konjugierten Darstellung erhält man,
indem man ein gegebenes Young-Tableau auffüllt sodass alle Spalten die Länge N besitzen.
Das Komplement, d.h. der fehlende Teil, entspricht dann nach einer Punktspiegelung genau
dem Young-Tableau der komplex konjugierten Darstellung. Betrachte z.B. die SU(5):
→
→
F
MATRIX-DIAGONALISIERUNG
F
F.1
182
Matrix-Diagonalisierung
Hermitesche Matrizen
Theorem: Hermitesche Matrizen M können durch unitäre Transformationen diagonalisiert werden,
U † M U = diag(M1 , . . . , Mn ) ,
(F.1)
wo U unitär ist und die Eigenwerte Mi reell sind. Die Spalten von U enthalten die Eigenvektoren von M .
Beweis:
F.2
Siehe die Vorlesung zur linearen Algebra.
Allgemeine Matrizen (Biunitäre Diagonalisierung)
Theorem: Eine allgemeine, nicht-singuläre Matrix M kann diagonalisiert werden durch
eine biunitäre Transformation,
UL† M UR = diag(M1 , . . . , Mn ) .
(F.2)
UL und UR sind unitär, die Mi sind reell und positiv. Die Matrizen UL und UR können
bestimmt werden, indem man unitäre Matrizen ermittelt, die M M † bzw. M † M diagonalisieren, d.h.
UL† M M † UL
UR†
†
M M UR
Beweis:
=
diag(M12 , . . . , Mn2 ) ,
(F.3a)
=
diag(M12 , . . . , Mn2 )
(F.3b)
.
Definiere
H 2 := M M † .
(F.4)
Diese Matrix ist offensichtlich hermitesch und kann daher durch eine unitäre Transformation diagonalisiert werden,
UL† M M † UL = diag(M12 , . . . , Mn2 ) =: D2 ,
(F.5)
wobei die Mi reell sind. Die Eigenwerte, d.h. die Diagonalelemente von D2 , sind positiv,
weil M M † nur positive Eigenwerte hat. Um das zu sehen, betrachte eine Eigenvektor u
von M M † ,
M M† u = λ u ,
und definiere v := M u. Dann ist
0 < v † v = u† M M † u = u† (M M † ) u = λ u† u ,
wo dann aus u† u > 0 die Behauptung λ > 0 folgt. Definiere nun D als diejenige diagonale
Matrix, deren Diagonalelemente durch die Wurzeln der Diagonalelemente von D2 gegeben
sind. Dann erfüllt
H := UL D UL†
(F.6)
offensichtlich (F.4). Mit der Matrix V := H −1 M , die unitär ist aufgrund
V†V
H † =H
=
M † H −1 H −1 M
(F.4)
=
M † (M M † )−1 M =
1,
(F.7)
F
MATRIX-DIAGONALISIERUNG
183
erhalten wir
M = HV
(F.6)
=
UL D UR† ,
(F.8)
wobei UR := V † UL unitär ist. Somit ist (F.2) bewiesen. Darüber hinaus diagonalisiert
UR die Matrix M † M , denn
UR† M † M UR
(F.8)
=
UR† UR D UL† UL D UR† UR = D2 ,
(F.9)
was (F.3b) zeigt.
F.3
Symmetrische Matrizen
Corrolar: Komplexe symmetrische Matrizen M können diagonalisiert werden mit einer
unitären Matrix U ,
U T M U = diag(M1 , . . . , Mn ) =: D ,
(F.10)
U † M † M U = D2 ,
(F.11)
wobei
d.h. die reellen Zahlen Mi sind die Wurzeln der Eigenwerte von M † M .
Beweis:
Von Theorem F.2 wissen wir, dass
M = UL D UR† ,
(F.12)
wobei UL , UR und D are eindeutig bestimmt sind.21 Da M symmetrisch ist, folgt
M = M T = UR∗ D ULT .
(F.13)
Andererseits können wir diese Gleichung als Diagonalisierung von M T auffassen, die gemäß
Theorem F.2 eindeutig bestimmt ist. Somit können wir UL = UR∗ schliessen. Setzt man
nun U := UR und berücksichtigt (F.3b), ist die Behauptung gezeigt.
21 Beachte, dass U und U nicht eindeutig sind, falls die Eigenwerte von D entartet sind. In diesem Fall
L
R
gibt es Matrizen U , die M † M diagonalisieren, d.h. U † M † M U = D, die jedoch nicht M diagonalisieren.
Man kann M natürlich immer noch diagonalisieren, aber die Matrix U , die das bewerkstelligt, kann nicht
bestimmt werden, indem man einfach die Eigenvektoren von M † M bestimmt. Jedoch gilt die Aussage des
Corrollars immer noch.
G
DIE TRANSFORMATIONEN P , T UND C
G
184
Die Transformationen P , T und C
Es geht darum, das Verhalten der Lösungen der Dirac-Gleichung unter den Operationen
Raumspiegelung, Zeitumkehr und Ladungskonjugation zu diskutieren.
Wir verwenden die ‘Master-Formel’ (vgl. [4, S. 554])
εp
+ m · 1 + γ5 s Ψ ,
(G.1)
Ψ(ε, p, s) =
2m
2
welche es erlaubt, aus einem Dirac-Spinor mit Impuls p~ auf den Anteil zu positiver (ε = 1)
bzw. negativer (ε = −1) Frequenz sowie den Spin zu projizieren. Insbesondere hat man,
falls
1 + γ5 s
εp
+m
Ψ(ε, p, s) =
·
Ψ(ε, p, s)
2m
2
eine Lösung mit Frequenz-Vorzeichen ε und Spinvektor s. Der Spinvektor s besitzt dabei
die Eigenschaften
s2 = − 1
und
p·s = 0;
im Ruhesystem ist
sRuhesystem = (0, ~s) ,
wobei ~s den anschaulichen Spin angibt.
G.1
Die Paritätstransformation P
Die Paritätstransformation P wirkt auf die Koordinaten folgendermaßen:
P : xµ = (t, ~x) → (t, −~x) = x′µ .
(G.2)
Nun wollen wir dem Rechnung tragen, indem wir fordern, dass der Vektor v µ = Ψ γ µ Ψ
wie x transformiert. Man kann sehr einfach sehen, dass die Transformation
P Ψ(x) = Ψ′ (x′ ) = eiϕ γ0 Ψ(x)
| {z }
(G.3)
=P
das Gewünschte liefert,
Ψ′ γ µ Ψ′
† −iϕ
= Ψ e
0 †
0
µ
0 iϕ
(γ ) γ γ γ e Ψ =
Ψγ 0 Ψ ,
−Ψγ i Ψ ,
falls µ = 0 ,
falls µ = i .
Im Folgenden wählen wir ϕ = 0. Die elektromagnetischen Potentiale transformieren unter
P wie xµ ,
P A0 (x)
i
P A (x)
=
=
A′0 (x′ ) = A0 (x) ,
′i
′
i
A (x ) = − A (x) .
(G.4a)
(G.4b)
Wir fassen die Transformationen (G.2)–(G.4) unter dem Symbol P zusammen. Aus der
Diracgleichung
∂
∂
(G.5)
γ 0 i 0 − e A0 + γ j i j − e Aj − m Ψ(x) = 0
∂x
∂x
G
DIE TRANSFORMATIONEN P , T UND C
185
wird durch Linksmultiplikation mit γ 0 und Durchtauschen der γ-Matrizen
∂
∂
j
0
i j − e Aj − m γ0 Ψ(x) = 0 .
i 0 − e A0 − γ
γ
∂x
∂x
(G.6)
Das entspricht der Diracgleichung nach Paritätstransformation,
∂
∂
γ 0 i ′0 − e A′0 + γ j i ′j − e A′j − m Ψ′ (x′ ) = 0 .
∂x
∂x
(G.7)
Die Diracgleichung ist also invariant unter P .
Wir untersuchen nun das Verhalten eines Zustands
mit ε, p, s,
1 + γ5 s
εp
+m
0
Ψ
P Ψ(ε, p, s) = γ
2m
2
′
εp
+ m γ 0 1 + γ5 s Ψ
=
2m
2
′
1 + γ5 s′ 0
εp
+m
=
γ Ψ
|{z}
2m
2
P
Q = −e
Q = −e
p~
~s
~s ′ = ~s
e−
=Ψ′
mit
e−
p~ ′ = −~
p
s′ = (−s0 , ~s) .
Unter Paritätstransformation ändert der Zustand also
lediglich p → p′ , d.h. p~ → −~
p.
G.2
Die Zeitumkehrtransformation T
Betrachte die Zeitumkehrtransformation im Ortsraum,
T : t → t′ = − t ,
~x → ~x ′ = ~x
(G.8)
und die Transformation T im Spinorraum
Ψ(x) → Ψ′ (x′ ) = T Ψ(x) = i γ 1 γ 3 Ψ∗ (x) .
(G.9)
Aus der Elektrodynamik ist bekannt, sich A unter T ändert gemäß
T A0 (x)
~
T A(x)
=
=
A′0 (x′ ) = A0 (x) ,
~ ′ (x′ ) = − A(x)
~
A
,
(G.10)
(G.11)
~ = ∂t A
~ → E
~ geht. Es ist zu beachten, dass es ein relatives Vorzeichen zwiso dass E
schen der Transformation von Aµ und xµ gibt. Faßt man (G.8)–(G.11) in der Zeitumkehrtransforamtion T zusammen, so ist die Diracgleichung invariant unter T , denn aus
der Diracgleichung,
∂
∂
~ · ~γ − m Ψ(x) = 0 ,
(G.12)
i γ 0 0 + γ j j − e A0 γ 0 − A
∂x
∂x
wird unter Verwendung von
µ
γ ,
µ 6= 2 ,
µ ∗
(γ ) =
−γ 2 ,
µ=2,
(G.13)
G
DIE TRANSFORMATIONEN P , T UND C
186
durch komplexe Konjugation
n
1 ∂
2 ∂
3 ∂
0 ∂
+γ
−γ
+γ
−i γ
∂x0
∂x1
∂x2
∂x3
o
−e A0 γ 0 − (A1 γ 1 − A2 γ 2 + A3 γ 3 ) − m Ψ∗ (x) = 0 .
(G.14)
Weitere Linksmultiplikation mit i γ 1 γ 3 liefert
n
∂
∂
∂
∂
− i γ0 0 − γ1 1 − γ2 2 − γ3 3
∂x
∂x
∂x
∂x
o
~ · ~γ − m i γ 1 γ 3 Ψ∗ (x) = 0 ,
− e A0 γ 0 + A
Somit gilt
i γµ
∂
− e A′µ γ µ − m
∂x′µ
(G.15)
Ψ′ (x′ ) = 0 .
(G.16)
Damit ist die Diracgleichung invariant unter T .
Nun betrachten wir die Wirkung von T auf einen
Zustand mit ε, p und s,
∗
εp
1 + γ5s∗
+m
T Ψ(ε, p, s) = i γ 1 γ 3
Ψ∗ (x) .Q = −e
2m
2
Wegen
1
3
µ ∗
γ γ (γ )
=
γ0γ1γ3 ,
−γ µ γ 1 γ 3 ,
Q = −e
p~
~s
µ=0
µ = 1, 2, 3
T
e−
e−
folgt
T Ψ(ε, p, s) =
′
εp
+m
2m
p~ ′ = −~
p
1 + γ5s′
2
Ψ′ (x′ )
~s ′ = −~s
mit
p′ = (p0 , −~
p)
und
s′ = (s0 , −~s) .
Unter der Transformation T kehren sich also der räumliche Impuls p~ und der Spin ~s um; dies entspricht der
Intution Film rückwärts laufen lassen“.
”
G.3
Ladungskonjugation
Ist Ψ Lösung der Dirac-Gleichung im äußeren elektromagnetischen Feld,
p − eA − m Ψ = 0 ,
(G.17)
so ist ΨC eine Lösung für ein Teilchen der Ladung −e statt e,
(
p + e A − m) ΨC = 0 .
(G.18)
Hierbei ist der ladungskonjugierte Spinor gegeben durch
ΨC = C Ψ = i γ 2 Ψ∗ = C γ 0 Ψ∗
wobei die Vorschrift
mit C := i γ 2 γ 0 ,
(G.19)
G
DIE TRANSFORMATIONEN P , T UND C
187
Bilde das konjugiert Komplexe von Ψ
”
und multipliziere mit i γ2“
als Ladungskonjugation bezeichnet wird. Diese Definition bzw. die häufig benutzte Alternative
ΨC = i γ 2 γ 0 Ψ
T
sind in dieser Form nur für bestimmte Darstellungen der Dirac-Algebra verwendbar.
Nun benötigen wir die Formeln
(γ µ )
†
=
γ0 γµ γ0 ,
=
γ (γ ) γ ,
(G.20b)
[C, γ5 ]
=
0,
(G.20c)
y (γ )
µ T
−1
C (γ ) C
=
µ T
(G.20a)
µ ∗
0
0
µ
−γ .
(G.20d)
Mit der ‘Master-Formel’ (G.1), erhalten wir
[Ψ(ε, p, s)]
C
C γ 0 Ψ∗ (ε, p, s)
∗ εp
+m
1 + γ5s ∗ ∗
0
Ψ (ε, p, s)
Cγ
2m
2
T
1 − γ5s T
εp
+m
C
·1·
·1· γ 0 Ψ∗
|{z}
|{z}
2m
2
=C−1 C
=C−1 C
−ε p
+
m
1
+
γ
s
5
ΨC .
2m
2
=
=
(G.20)
=
=
Es wird also eine positive Lösung, d.h. ε = 1, mit p und s in eine negative Lösung, d.h.
ε = −1, mit demselben p und s transformiert (bis auf einen Phasenfaktor). Insbesondere
vermittelt die Ladungskonjugation zwischen den Basislösungen (vgl. Abschnitt C.2),
v (s) (p)
u
(s)
(p)
=
=
C [u(s) (p)]T
T
C [v (s) (p)]
(G.21)
T
(G.22)
Wir führen nun den Operator C der Ladungskonjugation ein durch
C
(1) Ψ −→ ΨC = i γ 2 Ψ∗ und
C
(2) Aµ −→ A′µ = − Aµ .
Dieser Operator vermittelt zwischen den Gleichungen
(G.17) und (G.18),
i ∂ − e A − m Ψ = 0
l C
′ − m ΨC = 0
i ∂ − e A
bzw.
Die Dynamik eines
Elektrons im Feld A
lC
Die Dynamik eines
Positrons im Feld A′
C
Q = −e
Q = +e
p~
~s
e−
~s ′ = ~s
p~ ′ = ~p
e+
G
DIE TRANSFORMATIONEN P , T UND C
188
Neben-Bemerkung: Auf den ersten Blick erscheint es etwas merkwürdig, dass die
Trnasformationen P und T der Raumzeit im selben Atemzug mit der Ladungskonjugation C diskutiert werden. Man kann das aber durch die Nebenbemerkung auf Seite 14
motivieren. Eichsymmetrien können als Isometrien interner Dimensionen aufgefasst werden; Ladungskonjugation ist dann nichts Anderes als Spiegelung der Koordinaten dieser
Dimensionen.
G.4
Die kombinierte Transformation P C T
Unter P C T geht ein Spinor Ψ über in
Ψ(x)
→
=
ΨP CT (x′ ) = γ 0 i γ 2 i γ 1 γ 3 Ψ∗ (x)
γ 0 γ 2 γ 1 γ 3 Ψ(x) = i γ5 Ψ(x)
∗
(G.23)
oder kurz
ΨPCT (x′ ) = i γ5 Ψ(x) ,
x′ = − x .
(G.24)
Um das Verhalten von ε, p und s zu bestimmen, betrachten wir
εp
+m
1 + γ5 s
P CT
Ψ(x)
Ψ(ε, p, s) −−−−→ i γ5
2m
2
−ε p
1 − γ5 s
+m
ΨPCT (x)
=
2m
2
(G.25)
Das bedeutet, dass ΨPCT eine Positronwelle beschreibt, wenn Ψ eine Elektronwelle ist, und
umgekehrt. Insbesondere ist das Anti-Teilchen zu einem linkshändigen Teilchen rechtshändig.
Das Verhalten von ΨΨ (Skalar), Ψγ5 Ψ (Pseudoskalar), Ψγ µ Ψ (Vektor) und Ψγ5 γ µ Ψ
(Pseudovektor), Ψσ µν Ψ sowie der partiallen Ableitung unter den Transformationen P , T ,
C und C P T ist in Tabelle G.1 zusammengefasst. Dabei ist
P
T
C
CP T
ΨΨ
+
+
+
+
Ψγ5 Ψ
−
−
+
+
Ψγ µ Ψ
(−)µ
(−)µ
−
−
Ψγ5 γ µ Ψ
−(−)µ
(−)µ
+
−
Ψσ µν Ψ
(−)µ (−)ν
−(−)µ (−)ν
−
+
∂µ
(−)µ
−(−)µ
+
−
Tabelle G.1: Transformation von (Pseudo-)Skalar, (Pseudo-)Vektor, Tensor zweiter Stufe und
Ableitung.
(−)
µ
:=
+1 ,
−1 ,
µ=0,
µ>0.
(G.26)
Insbesondere transformieren potentielle Kandidaten für Terme einer relativistisch invarianten Lagrangedichte alle trivial unter C P T . Es lässt sich zeigen, dass jede relativistische
lokale Quantenfeldtheorie symmetrisch bzgl. der kombinierten Transformation P C T ist
[24].
H
DIRAC- UND MAJORANA–MASSEN
H
H.1
189
Dirac- und Majorana–Massen
Weyl–Spinoren
Die Spinor–Darstellung der Lorentz–Gruppe L↑+ zerfällt in
1
1
L↑+ = D( 2 ,0) ⊕ D(0, 2 ) ,
(H.1)
durch SL(2, C) und D
durch deren (nicht–äquivalente)
wobei (per Konvention) D
1
komplex konjugierte Matrizen dargestellt werden können. Es ist üblich, Spinoren aus D( 2 ,0)
(0, 12 )
mit kleinen griechischen Buchstaben α, β usw. zu verzieren, wohingegen man für D
mit gepunkteten griechischen Indizs α̇, β̇ usw. kennzeichnet.
Spinor–Indizes können mit ε gehoben bzw. gesenkt werden,
(0, 21 )
( 21 ,0)
ψ α = εαβ ψβ
bzw.
ε = (εαβ ) =
wobei
0
−1
ψα = εαβ ψ β ,
1
0
bzw.
εT = (εαβ ) =
(H.2)
0 −1
1 0
.
(H.3)
Das Skalarprodukt zweier Spinoren ist symmetrisch,
ξ · η := ξ α εαβ η β = ξ α ηα = − ξα η α = η · ξ ,
(H.4)
wobei wir verwendet haben, dass Spinoren durch a–Zahlen beschrieben werden. Das “Quadrat” eines Spinors ist erklärt durch ψ 2 = ψ · ψ.
H.2
Dirac–Spinoren
Zwei Weyl–Spinoren ξ und η können kombiniert werden zu einem Dirac–Spinor
ξ
ξα
Ψ :=
.
=
η̄ α̇
η̄
(H.5)
Hier und im Folgenden arbeiten wir in der Weyl–Basis, in der γ5 diagonal ist, d.h.
−12 0
0 σµ
µ
γ5 =
.
(H.6)
12 , γ =
0
σ̄ µ 0
Üblicherweise sind die Rechenregelen für Dirac–Spinoren formuliert. Aus Weyl–Spinoren
kann man immer Dirac–Spinoren machen, in dem man die üblichen Projektoren PL/R =
(1 ∓ γ5 )/2 verwendet. Beispielsweise das u–Quark wird beschrieben durch
uα
0
.
(H.7)
Ψu =
,
u
=
P
Ψ
=
R
R u
(ūC )α̇
(ūC )α̇
Für die anderen Fermionen des Standardmodelles folgt man analogen Konventionen.
Dirac–Massenterm.
Spinoren,
Der Dirac–Massenterm m Ψ Ψ verbindet zwei verschiedene Weyl–
m Ψ Ψ = m Ψ† γ0 Ψ = m (ξ¯ · η̄ + η · ξ) .
(H.8)
H
DIRAC- UND MAJORANA–MASSEN
H.3
190
Majorana–Spinoren und Massen
Das Ladungskonjugierte eines Dirac–Spinor ist erklärt durch
εαβ
0
T
ηα
C
wobei C =
= CΨ
Ψ =
ξ¯α̇
0
εα̇β̇
(H.9)
in der Weyl–Basis. Spinoren, die
ΨC = Ψ
(H.10)
erfüllen, heissen Majorana–Spinoren. Die Majorana–Bedingung (H.10) impliziert
ξα
C
ξ = η und Ψ =
.
(H.11)
ξ¯α̇
Durch (H.10) werden die Majorana–Spinoren mit ihrem Ladungskonjugierten gleichgesetzt und sind somit gewissermassen mit ihren Anti-Teilchen identifiziert. M.a.W., durch
Majorana-Spinoren beschriebene Freiheitsgrade sind ihre eigenen Anti-Teilchen.
Majorana–Massenterm.
Für den Majorana–Massenterm erhalten wir
1
1
1
M Ψ Ψ = M Ψ ΨC = M ξ¯ · ξ¯ + ξ · ξ .
2
2
2
(H.12)
Insbesondere verbindet eine Majorana–Massenterm einen Weylspinor mit sich selbst.
I
SUPERSYMMETRIE–THEOREME
I
191
Supersymmetrie–Theoreme
Ziel der Dikussion ist, zu zeigen, dass – unter relativ schwachen Voraussetzungen – jegliche
Symmetrie, die mit der Poincaré–Symmetrie vertauscht, nicht bosonisch sein kann, d.h.
wenn es sie gibt, muss sie fermionisch sein. Es stellt sich weiter heraus, dass eine solche
Symmetrie existiert und praktisch eindeutig ist.
I.1
Das Coleman-Mandula-Theorem
Wir wollen uns nun eine Symmetrie konstruieren, welche verträglich ist mit der Poincaré–
Gruppe. Konkret geht es darum, eine Algebra zu finden, welche die Poincaré–Algebra als
Unteralgebra beinhaltet. Das folgende Theorem schränkt eine solche Symmetrie ein:
Theorem von Coleman und Mandula.
den folgenden Annahmen genügt
Betrachte eine relativistische Feldtheorie, die
(1) Zu jeder Masse M existiert nur eine endliche Anzahl an Spezies mit Masse kleiner
als M .
(2) Jeder Zwei–Teilchen–Zustand unterzieht sich für fast alle Energien, d.h. alle bis auf
endlich viele, einer Reaktion.
(3) Die Amplituden der elastischen Zwei–Körper–Streuung sind analytische Funktionen
der Streuwinkel für fast alle Energien und Winkel.
Dann ist jede bosonische Symmetrie der S–Matrix das direkte Produkt aus Poincaré–
Gruppe und einer internen Symmetrie.
Folgerung: Die Generatoren einer echten Erweiterung der Poincaré-Gruppe müssen fermionisch sein.
I.2
Haag-Sohnius-Lopuszański-Theorem
Man kann also nur durch Einführung fermionischer Generatoren die Poincaré-Gruppe echt
erweitern.
Haag-Sohnius-Lopuszański-Theorem. Sei H ein Hilbert-Raum mit positiv definiter
”
Metrik“, d.h.
2
o E
D n
2
(I.1a)
. . . G, G† . . . = |G |. . .i| + G† |. . .i > 0
für jeden Generator G 6= 0. Des Weiteren sei die Energie positiv, d.h.
P 0 |E, . . .i = E |E, . . .i
⇒
E>0.
Dann ist die maximale Erweiterung der Poincaré-Algebra gegeben durch
(I.1b)
I
SUPERSYMMETRIE–THEOREME
[P µ , P ν ]
[M µν , P ρ ]
=
=
[M µν , M ρσ ]
[B r , B r ]
=
=
[B r , P µ ]
i
Qα , P µ
M µν , Qiα
M µν , Q̄α̇
i
i
Qα , B j
i
Q̄α̇ , B j
n
o
Qiα , Q̄jβ̇
Qiα , Qjβ
n
o
Q̄iα̇ , Q̄jβ̇
=
=
[Z ij , ∗]
=
=
=
192
0,
i (ηνρ P µ − ηµρ P ν ) ,
(I.2a)
(I.2b)
−i (ηµρ M νσ − ηνσ M νρ − ηνρ M µσ + ηνσ M µρ ) ,
i ctrs B t ,
(I.2c)
(I.2d)
[B r , M µν ] = 0 ,
i
Q̄α̇ , P µ = 0 ,
(I.2e)
(I.2f)
− 12 (σµν )α β Qiβ ,
(I.2g)
− 21 (σ̄µν )α̇ β̇ Q̄β̇i ,
(I.2h)
(bj )ℓ k Qkα ,
=
−(bj )ℓ
=
ij
2δ
k
Q̄ℓα̇
σαµβ̇
(I.2i)
,
(I.2j)
Pµ ,
=
2εαβ Z ij
=
−2 εα̇β̇ Z ij
=
0.
mit Z ij =
(I.2k)
arij B r
,
(I.2l)
mit Z ij = Z †ij ,
(I.2m)
(I.2n)
Bemerkungen:
(1) Die ersten drei Relationen, (I.2a)–(I.2a) sind gerade die der Poincaré–Algebra.
(2) Die Generatoren Qα bzw. Q̄α̇ (1 ≤ i ≤ N ) sind fermionisch und die B r bosonisch.
(3) Die sog. zentralen Ladungen Z ij sind gemäß (I.2l) antisymmetrisch in i und j, für
N = 1 müssen sie verschwinden. Sie kommutieren mit allen anderen Generatoren der
Algebra, entsprechend liegen die von ihnen generierten Gruppenelmente im Zentrum
der erweiterten Poincaré-Gruppe. Dies erklärt den Namen zentrale Ladung“.
”
(4) Man kann zeigen, dass die Renormierbarkeit N ≤ 4 erzwingt. Für eine renormierbare
Theorie mit massebehafteten Freiheitsgraden muß man sogar N ≤ 1 fordern. Des
Weiteren kann man nur für N ≤ 8 konsistente Supergravitationstheorien formulieren.
(5) Aus phänomenologischer Sicht ist der N = 1 Fall besonders relevant, da nur dieser
chirale Theorien zuläßt. Hier kann man die Indizes i und j von den Generatoren Qα
bzw. Q†α̇ entfernen und erhält (abgesehen von (I.2a)–(I.2c) und (I.2f))
n
o
Qα , Q̄β̇
Qα , Q β
=
=
2 σαµβ̇ P µ ,
n
o
Q̄α̇ , Q̄β̇
= 0.
(I.3a)
(I.3b)