11. Impuls - public.fh

11. Impuls
© Peter Riegler, FH Wolfenbüttel
11.0 Mathematische Grundlagen
à Integral über 0
Welche Funktion ergibt abgeleitet 0, d.h. was ist FHxL = Ÿ 0 „ x?
FHxL = ___ __ ,
„F
ÅÅÅÅ = 0 .
denn ÅÅÅÅ
„x
*
b
à Winkel zwischen zwei Vektoren
γ
*
a
÷”
÷”
Berechnung über Skalarprodukt: ÷a” ÿ b = » ÷a” » » b » cosHgL
÷”
mit Skalarprodukt ÷a” ÿ b = ax bx + a y b y + az bz
÷” ÷”
aÿb
fl cosHgL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
÷” ÷Å”ÅÅÅÅ
»a» »b»
Beachte: ÷a” ÿ ÷a” = » ÷a” » » ÷a” » cosH0L = a2
momentum-0.nb
2
Beispiel
a = 82, 1<; b = 81, 1<; c = 8−1, 2<;
abetrag =
è!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!
a.a ; bbetrag = b.b ; cbetrag = c.c ;
÷”
Winkel zwischen ÷a” und b :
a.b
ArcCosA E
abetrag bbetrag
Im Gradmaß:
180
N@%D π
Winkel zwischen ÷a” und c” :
a.c
ArcCosA E
abetrag cbetrag
a.c
Zwei Vektoren stehen senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.
11.1 Impuls
Die Größe ÷p” = m v” heißt Impuls.
NB:
æ Der Impuls ist eine vektorielle Größe.
°
÷”
÷” °
æ Wegen F = m v” ist F = ÷p” . "Kraft ist Impulsänderung", d.h. Kräfte verursachen Impulsänderung und Impulsänderungen verursachen Kräfte.
æ Die SI-Einheit des Impulses ist: @pD = 1 kg m/s
momentum-0.nb
3
11.2 Impuls eines abgeschlossenen Systems
÷”
Die potentielle Energie eines Körpers ist die Arbeit, die man gegen eine konservative Kraft F verrichten muss,
um ihn relativ zu einem Bezugspunkt ”r0 zu verschieben.
” ÷”
Epot Hr”L = Ÿr”r F „ ÷x”
0
Abgeschlossenens System
Abgeschlossenes System: System von Massenpunkten, auf die keine Kräfte von außerhalb des Systgems wirken.
Trotzdem können interne Kräfte wirken!
÷”
Beispiel: Massenpunkte P und Q. P wirkt auf Q die Kraft F aus.
–
÷”
Bewegungsgleichung von Q: mQ ”rQ = F
actio = reactio fl Q wirkt auf P die Kraft ___ aus.
–
÷”
Bewegungsgleichung von P : mP ”rP = -F
Summe der beiden Bewegungsgleichungen
–
–
÷ ” ÷ ” ÷”
mQ ”rQ + mP ”rP = F - F = 0
°
Links stehen Ableitungen der Impulse ÷p”i = mi ”ri :
÷p”° = m ”r– + m ”r– = ÷p”° + ÷p”° = ÷0”
Q Q
P P
ges
Q
P
‡
°
÷p” = m ”r + m ”r° = ÷p” + ÷p” = const.
Q Q
P P
ges
Q
P
¤ Der Impuls eines Systems aus 2 Massenpunkten bleibt erhalten!
Die Aussage lässt sich auf Systeme mit beliebig vielen Körpern verallgemeinern.
momentum-0.nb
4
11.3 Impulserhaltung
Impulserhaltung:
Der Gesamtimpuls
÷p” = ⁄n ÷p” = ⁄n m v”
i
i=1 i
i=1
ges
eines abgeschlossenen Systems aus n Massenpunkten ist zeitlich konstant.
NB:
æ Impuls ist vektorielle Größe, d.h. die Komponente in jeder Raumrichtung bleibt in einem abgeschlossenen System
erhalten.
æ Wenn das System nur in einer Raumrichtung "abgeschlossen" ist, d.h. keine Kraft in dieser Raumrichtung wirkt, ist
der Impuls in dieser Raumrichtung erhalten. In den anderen Raumrichtungen dagegen nicht.
æ Der Impuls jedes einzelnen Massenpunktes kann sich ändern, aber die Summe aller Impulse bleibt erhalten
(Beispiel: Stoßgesetze).
Alternative Betrachtung
÷”
Die Summe aller internen Kräfte in einem System ist 0 (wegen actio = reactio).
÷”
Die resultierende Kraft F R auf das System ist die Summe aller externen Kräfte.
÷”
÷”
Abgeschlossenes System: F R = 0 .
°
÷”
÷”
Dynamischen Grundgesetz: F R = ÷p”ges = 0 fl ÷p”ges = const.
Impuls und Schwerpunkt
Wie bewegt sich System, wenn keine externe Kräfte wirken?
momentum-0.nb
5
Beispiel: System aus zwei Massenpunkten
÷”
Es wirke zusätzlich die resultierende Kraft F ext .
Bewegungsgleichung:
–
–
÷”
÷ ” ÷ ” ÷”
mQ ”rQ + mP ”rP = F ext + F - F = 0
Beachte:
–
–
–
mQ ”rQ +mP ”r P
mQ ”rQ + mP ”rP = HmQ + mP L ”rSP mit Schwerpunkt ”rSP = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
mQ +mP
–
÷”
¤ Bewegungsgleichung des Schwerpunktes: mges ”rSP = F ext
–
÷”
Die Bewegung des Schwerpunktes eines Systems wird alleine von den externen Kräften bestimmt: mges ”rSP = F ext .
Der Schwerpunkt des Systems bewegt sich so, als ob die Resultierende aller externen Kräfte alleine auf den
Schwerpunkt wirkt, unabhängig von den Bewegungen und Wechselwirkung der Teile des Systems.
Wirkt keine resultierende externe Kraft, bewegt sich der Schwerpunkt _____ .
Beispiel: Feuerwerkskörper
Schwerpunkt behält nach der Explosion Bahnkurve des Feuerwerkskörpers (Wurfparabel) bei.
Simulation: demnächst auf diesem Server
11.4 Stoßgesetze
Stöße in einer Dimension
Beteiligte Massen bewegen sich vor und nach Stoß in derselben Richtung
à Vollkommen inelastischer Stoß
Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind gleich.
vor Stoß nach Stoß
v1
w
m1
m2
v2
w
inelastic = 8m1 v1 + m2 v2 Hm1 + m2 L w<;
momentum-0.nb
6
inelasticSolution = Solve@inelastic, wD êê Simplify
m1 v1 + m2 v2
99w → ==
m1 + m2
Gesamtenergie vor und nach dem Stoß:
m1
m2
E1 = v1 2 + v2 2 ;
2
2
m1 + m2
E2 = w2 ê. inelasticSolution@@1DD
2
Hm1 v1 + m2 v2 L2
2 Hm1 + m2 L
Wohin geht Energie verloren?
Beim Zusammenstoß werden Massen verformt. Dazu wird Energie benötigt.
æ Ist die Verformung elastisch, d.h. geht die Verformung nach dem Stoß zurück, wird die Verformungsenergie wieder
in kinetischen Energie umgesetzt.
æ Ist die Verformung inelastisch, d.h. geht die Verformung (teilweise) nicht mehr zurück, kann die benötigte Verformungsenergie nicht mehr in kinetischen Energie umgewandelt werden.
Numerische Beispiele
Animate@inelasticcrash@2, 0, 1, 1, tD, 8t, 0, 10, .1<D
Gleiche Massen und gleiche, aber entgegengesetzte Geschwindigkeiten:
Animate@inelasticcrash@2, −2, 4, 4, tD, 8t, 0, 10, .1<D
Stoß mit sehr schwerer Masse:
Animate@inelasticcrash@2, 0, 1, 100, tD, 8t, 0, 6, .1<D
Limit@inelasticSolution, m2 → InfinityD
88w → v2 <<
momentum-0.nb
à Vollkommen elastischer Stoß
Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind gleich.
vor Stoß nach Stoß
v1
w1
m1
m2
v2
w2
Energie und Impuls sind erhalten!
m1
m2
m1
m2
elastic = 9m1 v1 + m2 v2 m1 w1 + m2 w2 , v1 2 + v2 2 == w1 2 + w2 2 =;
2
2
2
2
elasticSolution = Solve@elastic, 8w1 , w2 <D
m1 v1 − m2 v1 + 2 m2 v2
2 m1 v1 − m1 v2 + m2 v2
98w1 → v1 , w2 → v2 <, 9w1 → , w2 → ==
m1 + m2
m1 + m2
Die zweite Lösung ist die physikalisch sinvolle.
Stoß mit endlich schwerer ruhender Masse m2 :
Limit@elasticSolution, m2 → InfinityD
88w1 → v1 , w2 → v2 <, 8w1 → −v1 + 2 v2 , w2 → v2 <<
Machen Sie sich dieses Ergebnis im Bezugssystem von m2 klar!
Numerische Beispiele
Animate@elasticcrash@2, 0, 1, 1, tD, 8t, 0, 10, .1<D
Animate@elasticcrash@2, −1, 1, 1, tD, 8t, 0, 10, .1<D
Stoß mit sehr schwerer Masse:
Animate@elasticcrash@2, 0, 1, 100, tD, 8t, 0, 5, .1<D
Animate@elasticcrash@2, 0, 100, 1, tD, 8t, 0, 10, .1<D
Animate@elasticcrash@2, −5, 100, 1, tD, 8t, 0, 10, .1<D
7
momentum-0.nb
8
à Inelastischer Stoß mit Wirkungsgrad h
m1
m2
m1
m2
elasticEta = 9m1 v1 + m2 v2 m1 w1 + m2 w2 , v1 2 + v2 2 J w1 2 + w2 2 N=;
2
2
2
2
Solve@elasticEta, 8w1 , w2 <D êê Simplify
Stöße im Raum
Bei zwei beteiligten Massen liegen die beteiligten Impulsvektoren immer in einer Ebene. fl Es liegt Bewegung in der
Ebene vor.
à Stoß mit ruhender Masse (Spezialfall m1 = m2 )
inrest = 9m1 v1x m1 w1x + m2 w2x, 0 m1 w1y + m2 w2y,
m1
m2
m1
v1x2 == Hw1x2 + w1y2 L + Hw2x2 + w2y2 L=
2
2
2
9v1x m1 == w1x m1 + w2x m2 , 0 == w1y m1 + w2y m2 ,
v1x2 m
1
1
1 == Hw1x2 + w1y2 L m1 + Hw2x2 + w2y2 L m2 =
2
2
2
Solve@inrest, 8w1x, w1y, w2x, w2y<D
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables.
1
v1x m1 m2
,
99w1x → Jv1x m1 − − Hm2 H4 v1x2 m21 − 4 Hm1 + m2 L Hw2y2 m1 + w2y2 m2 LLL ê
m1
m1 + m2
w2y m2
H2 Hm1 + m2 LLN, w1y → − ,
m1
1
,
w2x → H2 v1x m1 + H4 v1x2 m21 − 4 Hm1 + m2 L Hw2y2 m1 + w2y2 m2 LLL=,
2 Hm1 + m2 L
1
v1x m1 m2
,
9w1x → Jv1x m1 − + Hm2 H4 v1x2 m21 − 4 Hm1 + m2 L Hw2y2 m1 + w2y2 m2 LLL ê
m1
m1 + m2
w2y m2
H2 Hm1 + m2 LLN, w1y → − ,
m1
1
,
w2x → H2 v1x m1 − H4 v1x2 m21 − 4 Hm1 + m2 L Hw2y2 m1 + w2y2 m2 LLL==
2 Hm1 + m2 L
3 Gleichungen mit 4 Unbekannten!
momentum-0.nb
9
Die Lösung hängt davon ab, ob Stoß zentral ist oder nicht! ("Anschneiden" beim Billiard). Der Einfachheit halber
w1 y
geben wir den "Flugwinkel" von m1 nach dem Stoß vor: ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ = tanj.
w1 x
inrest = 9m1 v1x m1 w1x + m2 w2x, 0 m1 w1y + m2 w2y,
m1
m2
m1
v1x2 == Hw1x2 + w1y2 L + Hw2x2 + w2y2 L, w1y w1x Tan@ϕD=
2
2
2
9v1x m1 == w1x m1 + w2x m2 , 0 == w1y m1 + w2y m2 ,
v1x2 m
1
1
1 == Hw1x2 + w1y2 L m1 + Hw2x2 + w2y2 L m2 , w1y == w1x Tan@ϕD=
2
2
2
inrestSolution =
Simplify@Solve@inrest, 8w1x, w1y, w2x, w2y<D, 8v1x > 0, m2 > 0, m1 > 0<D
99w2x → Jv1x Cos@ϕD2 m1 JSec@ϕD2 m2 + m1 Tan@ϕD2 − "#######################################################
Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN í
Hm2 Hm1 + m2 LL,
w2y → −Jv1x Cos@ϕD Sin@ϕD m1 Jm1 + "#######################################################
Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN í Hm2 Hm1 + m2 LL,
1
Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN,
w1y → Jv1x Cos@ϕD Sin@ϕD Jm1 + "#######################################################
m1 + m2
1
Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN=,
w1x → Jv1x Cos@ϕD2 Jm1 + "#######################################################
m1 + m2
9w2x → Jv1x Cos@ϕD2 m JSec@ϕD2 m + m Tan@ϕD2 + "#######################################################
Sec@ϕD2 m2 − m2 Tan@ϕD2 NN í
1
2
1
2
1
Hm2 Hm1 + m2 LL,
Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN í Hm2 Hm1 + m2 LL,
w2y → Jv1x Cos@ϕD Sin@ϕD m1 J−m1 + "#######################################################
1
w1y → Jv1x Cos@ϕD Sin@ϕD Jm1 − "#######################################################
Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN,
m1 + m2
1
Sec@ϕD2 m22 − m21 Tan@ϕD2 NN==
w1x → Jv1x Cos@ϕD2 Jm1 − "#######################################################
m1 + m2
Wir identifizieren die richtige Lösung, indem wir j=0 setzen:
Simplify@inrestSolution ê. ϕ → 0, 8v1x > 0, m2 > 0<D
98w2x → 0, w2y → 0, w1y → 0, w1x → v1x<,
v1x Hm − m2 L
2 v1x m1
, w2y → 0, w1y → 0, w1x → 1
==
9w2x → m1 + m2
m1 + m2
Nur die zweite Lösung ist physikalisch sinnvoll!
momentum-0.nb
10
à Allgemeiner Stoß mit ruhender Masse
m1
m2
vor Stoß
nach Stoß
”
”
v1
w1
Hv1 x ≠ 0, v1 y = 0L
”
”
”
v2 = 0
w2
v”1 = ÷w”1 + ÷w”2
Impulserhaltung:
-Komponente: v1 x = w1 x + w2 x
y-Komponente: 0 = w1 y + w2 y
fl Massen fliegen in unterschiedliche y-Richtungen weg.
v”1 2 = ÷w”1 2 + ÷w”2 2
Energieerhaltung:
÷ ” 2 + 2 ÷w” ÿ w
÷”
Impulserhaltung quadrieren fl v”1 2 = ÷w”1 2 + w
2
1
2
÷w” ÿ w
÷ ” = 0 fl Winkel ist p/2
1
2
à Stoß gegen Wand
Ø Übungsaufgabe
11.5 Impulsantrieb
Newton hat das Dynamische Grundgesetz nicht in der Form
÷”
F = m ÷a”
sondern
÷” °
F = ÷p”
formuliert.
°
°
Beachte: ÷p” = ÅÅÅÅdÅÅ ÷p” = ÅÅÅÅdÅÅ Hm v”L = m° v” + m v”
dt
dt
¤ Massenänderung führt zu Impulsänderung!
÷”
F = m ÷a” gilt nur, wenn m° = 0 .
Beispiel: Düsenantrieb
Rakete stößt Gas relativ mit v”gas aus.
momentum-0.nb
11
m
dm
*
vR
m
dm
*
*
v R + dv R
* *
vR + v gas
Impulsbilanz ("voher = nachher")
Hm + dmL v” R = m Hv” R + d v” R L + dm Hv” R + v”gasL
ñ 0 = m d v” + dm v”
» ÿ 1 ê dt
R
gas
°
fl Schubkraft: m v” R = -m° v”gas
11.6 Drehimpuls
Für Drehbewegungen gilt entsprechend:
Drehimpulserhaltung:
÷÷÷”
÷°” = ÷0”M, bleibt der Drehimpuls ÷L” = J w
÷ ” erhalten.
Wirkt kein äußeres Moment IM ext = J ÷÷w
Beispiel: Pirouetten-Drehen:
÷”
Ausgestreckte Arme: J1 , w
1
÷”
Angewinkelte Arme: J2 , w
2
Zusammenhang zwischen Trägheitsmomenten: J1 > J2
Drehimpulserhaltung: J1 ÷w”1 = J2 ÷w”2
fl
J1 ÷ ”
÷w” = ÅÅÅÅ
ÅÅ w1
2
fl
w2 = ÅÅÅÅ1ÅÅ w1 > w1
fl
Drehung mit angewinkelten Armen ist schneller
J2
J
J2
momentum-0.nb
12
Lernziele
æ Impuls, Drehimpuls definieren können
æ Impulserhaltung erklären können
æ Impulserhaltung zur Lösung physikalischer Probleme anwenden können
æ Eindimensionale Stoßvergänge berechnen können
æ Begriffe elastischer Stoß, inelastischer Stoß erklären können
æ Zusammenhang Kraft - Impuls erklären können
Literatur
obligatorisch
Tipler: 7 (ganz) oder Feynman: 10-1 bis 10-4
weiterführend
Gerthsen: 1.5.9 (Anwendungen des Energie- und Impulsbegriffes)
Source Code