1.5M - Institut für Theoretische Physik

Quantenstochastik:
Ein Modellvergleich
Diplomarbeit
von
Claus M. Granzow
Hauptberichter: Prof. Dr. G. Mahler
Mitberichter: Prof. Dr. Dr. h.c. W. Weidlich
Institut fur Theoretische Physik und Synergetik
Universitat Stuttgart
1996
Im Gedenken an meine Mutter
Friedchen Granzow.
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
5
Einleitung
6
1 Theoretische Grundlagen
8
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Die Entwicklung abgeschlossener Systeme : : : : : : : : : : :
Der Dichteoperator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Die Entwicklung oener Systeme, die Master-Gleichung : : :
Das auere Treiberfeld : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Die Transformation auf zeitunabhangige Hamiltonoperatoren
Die SU(n)-Algebra : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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2 Stochastische Dierentialgleichungen
8
10
11
12
13
14
18
2.1 Der Wiener Proze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18
2.2 Der It^o-Typ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19
2.3 Der Stratonovich-Typ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20
3 Historische Anmerkungen zur Quantenstochastik
3.1
3.2
3.3
3.4
Nelson : : : : : : : : : : : :
Ghirardi, Rimini und Weber
Claverie und Diner : : : : :
Pearle : : : : : : : : : : : :
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23
23
24
25
Inhaltsverzeichnis
3
3.5 Gisin : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25
3.6 Consistent-History-Approach (CHA) : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26
4 Der quantenmechanische Meproze
4.1 Das Projektionspostulat : : : : : :
4.2 Die Entropie : : : : : : : : : : : : :
4.2.1 Die von-Neumann-Entropie
4.2.2 Entropie und Meproze : :
27
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5 Das kontinuierliche Memodell
5.1 Das kontinuierliche Memodell am Beispiel des Zwei-Niveau-Systems
5.1.1 Die H^ eff -Dynamik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.1.2 Der Detektorklick : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.1.3 Schlufolgerungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.1.4 Der Simulations-Algorithmus : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.2 Die Stochastische Master-Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.3 Die Homodyne- und Heterodyne-Detektion : : : : : : : : : : : : : : :
5.3.1 Die Photo-Detektions-Verteilung : : : : : : : : : : : : : : : :
5.3.2 "Third-Party\-Szenarien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.3.3 Die stochastische Dierentialgleichung als Grenzfall : : : : : :
5.4 Invarianz der Master-Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.4.1 Transformationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.4.2 Beispiele : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.4.3 Diskussion : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.5 "Third-Party\-Simulationen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.5.1 Das stark getriebene Zwei-Niveau-System : : : : : : : : : : : :
5.5.2 Der harmonische Oszillator im koharenten Anfangs-Zustand :
28
31
31
31
34
34
36
37
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40
41
43
43
45
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55
55
57
69
70
70
73
Inhaltsverzeichnis
4
6 Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
6.1 Das Drei{Niveau{System : : : : : : : : : : : : :
6.2 Detektionsereignisse im QSD-Modell : : : : : :
6.2.1 Das Zwei-Niveau-System im QSD-Modell
6.2.2 Detektions-Korrelationsfunktionen : : :
6.2.3 Der koharente Anfangszustand : : : : : :
6.3 Bewertung des QSD-Modells : : : : : : : : : : :
6.4 Die Theorie der Primary State Diusion : : : :
Zusammenfassung
80
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81
82
83
86
88
90
94
98
Anhang
101
Literaturverzeichnis
104
Danksagung
109
A Berechnung von j (t)i fur Kap. 5.3.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 101
B Durchfuhrung des Grenzubergangs fur Gleichung 5.9 : : : : : : : : : : 103
Abbildungsverzeichnis
1.1 Gedampftes Zwei-Niveau-System :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : : 15
5.1 Niveauschema des Zwei-Niveau{Systemas :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : 35
5.2 Schema der Spektroskopie mit einem lokalen Oszillator :: : : : : : :: : : : : :: : : : 45
5.3 Schema zur "Third-Party-Messung\ : : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 47
5.4 Trajektorien des Zwei-Niveau-Systems : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 49
5.5 Das Quantum Beat-Szenario :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : 58
5.6 Simulation des Quantum Beat-Szenarios : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : 61
5.7 Zerfall in zwei eng beieinanderliegende Niveaus : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : 62
5.8 Simulation des Zerfalls in zwei Niveaus :: : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 62
5.9 Drei-Niveau-Kaskade mit zwei Dampfungsoperatoren : : : : : :: : : : : : :: : : : : : : 63
5.10 Einzelsimulation fur die Drei-Niveau-Kaskade ohne Transformation : : : : : :: 64
5.11 Einzelsimulation fur die Drei-Niveau-Kaskade mit Transformation : : :: : : : : 65
5.12 Ankopplung eines Detektorsystems an ein Zwei-Niveau-System. : :: : : : : : :: 66
5.13 Selektive Ankopplung an eine Drei-Niveau-Kaskade : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : : 67
5.14 Drei-Niveau-Kaskade mit gekoppelten Detektorsystemen : : : : :: : : : : :: : : : : : 68
5.15 Third-Party-Simulation mit einem Zwei-Niveau-System : : : : : : :: : : : : :: : : : : 70
5.16 Rechner-Simulation von drei gekoppelten Zwei-Niveau-Systemen :: :: : : : : :: 72
5.17 Third-Party-Simulation mit einem Oszillator : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : 76
5.18 Wechselwirkung mit einem harmonischen Oszillator :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: 77
5.19 Besetzung der Oszillator-Niveaus : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : 78
5.20 Rechner-Simulation mit angekoppeltem Oszillator : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : 79
6.1 Niveauschema des Drei{Niveau{Systems : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : 82
6.2 Drei-Niveau-System im kontinuierlichen Memodell :: : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : 83
6.3 Drei-Niveau-System im QSD-Modell : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : 84
6.4 Niveauschema des Zwei-Niveau-Systems : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : : 84
6.5 Gedampftes Zwei-Niveau-System im QSD-Modell : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : : 85
6.6 Meprotokoll eines getriebenen Zwei-Niveau-Systems im QSD-Modell : : : :: 87
6.7 Next- und Any-Photonenstatistik eines getriebenen Zwei-Niveau-Systems : 89
6.8 Entwicklung eines koharenten Anfangszustandes (1) : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : 91
6.9 Entwicklung eines koharenten Anfangszustandes (2) : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : 92
6.10 Statistik der Photonenverteilung aus koharentem Anfangszustand : : : :: : : : : 93
Einleitung
Die klassische Mechanik geht zuruck auf Galilei (1564{1642) und Newton (1643{
1727); sie ist auch heute noch die Grundlage vieler physikalischer Beschreibungen.
Seit der Jahrhundertwende sind jedoch Experimente bekannt, deren Ausgang nicht
mit ihr erklart werden konnen. Mit der Quantenmechanik, deren Ansatze von Max
Planck (1858{1947) gelegt wurden, kann die Unzulanglichkeit der klassischen Mechanik beseitigt werden. Die Quantenmechanik widerspricht in ihren Aussagen vielen
Alltagserfahrungen, so da zur Beschreibung ihres Charakters verschiedene Modelle
verwendet werden. In dieser Arbeit sollen zwei Modelle der Quantenstochastik einander gegenubergestellt werden.
Die Theorie der Quantenmechanik liefert in der Beschreibung der Groe und Stabilitat der Atome und in den Spektren (beispielsweise des harmonischen Oszillators
oder des Wasserstoatoms) hervorragende Ergebnisse. Schwieriger jedoch ist es,
wenn man den expliziten zeitlichen Ablauf von Teilchenbewegungen quantentheoretisch erfassen will. Geht man hierbei uber die Beschreibung isolierter Systeme
hinaus, so ist bisher lediglich die Darstellung von Gesamtheiten (Ensembles) in gesicherter Weise moglich. In diesem Zusammenhang bedeutend ist die sogenannte
Master-Gleichung, die von Haken und Weidlich [1] in die Quantentheorie zur Beschreibung des Lasers eingefuhrt wurde. Mit ihr ist es moglich, den dissipativen
Einu zu beschreiben, den die Umgebung des Systems auf dasselbe ausubt. Die
Umgebung zwingt dem System dadurch seinen klassischen Wesenszug auf.
Da lange Zeit auch experimentelle Ergebnisse nur als Ensemble-Mittelung moglich
waren, konnten sie gut mit Master-Gleichungen, die ebenfalls nur Gesamtheiten wiedergeben, beschrieben werden.
Aufgrund experimenteller Fortschritte kann inzwischen z.B. in sogenannten PaulFallen Spektroskopie an einzelnen Atomen bzw. Ionen betrieben werden. Somit ist
es also moglich, einzelne Quantensysteme zu beobachten und auerdem gezielt zu
manipulieren [2][3]. Fur diese Einzelbetrachtung kann man die Master-Gleichung
entfalten\, wobei die Vorgehensweise aber keinesfalls eindeutig ist. Dieses moderne
"Fenster\
(der Einzelbetrachtung) in die mikroskopische Welt wirft auch in der theo"retischen Physik
neue Fragestellungen auf: Wie kann die Dynamik eines einzelnen
Systems, das an die Umgebung gekoppelt ist, beschrieben werden? In welcher Weise
Einleitung
7
genau verandert die Umgebung die Dynamik des Quantensystems?
Fur diese Problematik gibt es grundlegend unterschiedliche Ansatze, die jeweils eine
eigene Interpretation der Quantentheorie mit sich bringt. Es geht hier also um die
Grundlagen der Quantenmechanik, die zum Teil heute, uber 90 Jahre nach ihrer
Begrundung, immer noch nicht befriedigend geklart sind.
Man unterscheidet prinzipiell diusionsartige Modelle, bei denen die Evolution kontinuierlich verlauft, und Sprungmodelle mit diskontinuierlicher Entwicklung. In dieser Arbeit wollen wir uns mit zwei speziellen Modellen beschaftigen. Zum einen mit
dem kontinuierlichen Memodell als Vertreter der Sprungmodelle und zum anderen
mit dem Quantenzustandsdiusionsmodell als Beispiel fur ein diusionsartiges Modell. Diusionsmodelle haben typischerweise kontinuierliche Quantentrajektorien,
wahrend Sprungmodelle durch diskontinuierliche Trajektorien charakterisiert sind.
Quantentrajektorien sind das Ergebnis eines quantenstochastischen Modells und
charakterisieren den Zustand eines Einzelsystems zu jedem Zeitpunkt im Sinne der
Quantentheorie vollstandig (formulierbar durch die Wellenfunktion j (t)i). Die Mittelung uber eine Gesamtheit von Quantentrajektorien mu aus Konsistenzgrunden
der Losung der Master-Gleichung entsprechen.
Mogliche Anwendungen dieser Dynamik nicht-klassischer Quantenzustande liegen in
der Kommunikations- und Rechner-Technik. Der Quanten-Computer, bestehend aus
einem Netzwerk von vielen einzelnen Quantenpunkten, beruht auf einer hochgradigen Verschrankung dieser einzelnen Subsysteme. Durch Ausnutzung dieser quantenmechanischen Eigenschaft des Entanglements ware die Berechnung von Problemen
moglich, die gegenuber einem klassischen Rechner exponentiell beschleunigt ware.
Mochte man das "Rechnen\ mit dem Quantencomputer realistisch untersuchen, so
gibt es noch eine Menge ungeloster Fragen. Wie kann das Resultat ausgelesen werden, ohne es durch die Projektion zu zerstoren? Wie sollte es trotz des Einusses
der nie ganz zu vermeidenden Dampfung dennoch moglich sein, Resultate mit hoher Zuverlassigkeit zu erzielen? Ist es uberhaupt realisierbar, ein mikroskopisches
System hoher Komplexitat, so unter Kontrolle zu haben, da die Dynamik gezielt
gesteuert werden kann und gleichzeitig die Koharenzen nicht zerstort werden?
Dies alles sind Fragen, die die Dynamik einzelner Systeme betreen, die an die
klassische Welt angekoppelt sind. Mittelpunkt dieser Betrachtung ist der Einu
des quantenmechanischen Meprozesses und seiner mathematischen Beschreibung.
Mit der Modellierung solcher Systeme soll ein besseres Verstandnis der ablaufenden
Prozesse erreicht werden, damit die theoretischen Grundlagen einer experimentellen
Realisierung den Weg ebnen.
Kapitel 1
Theoretische Grundlagen
In diesem Kapitel soll eine kurze Einfuhrung in die Grundlagen der Beschreibung
quantenoptischer Szenarien gegeben werden. Eine tiefergehende Darstellung ndet
sich in [4][5][6].
1.1 Die Entwicklung abgeschlossener Systeme [7]
In abgeschlossenen Systemen ist die zeitliche Entwicklung eines Zustandes j (t)i
durch den Hamilton-Operator des Systems H^ (t) gegeben:
@ j (t)i = H^ (t) j (t)i :
ih @t
(1.1)
Diese Schrodinger-Gleichung kann fur einen beliebigen Anfangszustand j (0)i formal
durch
j (t)i = U^ (t) j (0)i
gelost werden. U^ (t) gibt an, wie sich ein beliebiger Anfangszustand j (0)i im Laufe
der Zeit entwickelt. Einsetzen in die Schrodinger-Gleichung ergibt folgende Bestimmungsgleichung fur U^ (t):
@ U^ (t) = H^ (t)U^ (t) ;
ih @t
(1.2)
die unter der Anfangsbedingung U^ (0) = 1^ zu losen ist. Die entsprechende adjungierte Gleichung von Gl. 1.2 lautet:
; ih @t@ U^ + (t) = H^ (t)U^ (t) + = U^ + (t)H^ (t) :
(1.3)
Kapitel 1. Theoretische Grundlagen
9
Gl. 1.2 soll nun mit U^ + (t) von links und Gl. 1.3 mit U^ (t) von rechts multipliziert
werden, so da die anschlieende Subtraktion
^ (t) @ U^ + (t) ^ !
@ U^ + (t)U^ (t) = 0
+ @U
^
ih U (t) @t + @t U (t) = ih @t
(1.4)
ergibt. Aus dieser Gleichung folgt fur alle Zeiten U^ + (t)U^ (t) = c^ = konstant, so da
aufgrund der Anfangsbedingung diese Konstante auf Eins gesetzt werden mu:
U^ + (t)U^ (t) = U^ + (0)U^ (0) = 1^ :
U^ (t) ist also ein unitarer Operator. Bei richtiger Zeitordnung der nachfolgenden
Faktoren, kann U^ (t) in der kompakten Form:
Zt
U^ (t) = exp ; hi dt0 H^ (t0)
0
geschrieben werden [8]. Fur einen explizit zeitunabhangigen Hamiltonian @t@ H^ = 0
erhalt man
n
o
^ h :
U^ (t) = exp ;iHt=
Die bisherige Darstellung fand im Schrodinger-Bild statt, in dem die Zustande zeitabhangig sind und die Operatoren A^ (abgesehen von expliziter Zeitabhangigkeit)
nicht von der Zeit abhangen. Im Heisenberg-Bild werden die Operatoren A^H (t) mit
den unitaren Operatoren U^ (t) durch
A^H (t) = U^ + (t)A^U^ (t)
deniert. Sie unterliegen einer Bewegungsgleichung, der sogenannten HeisenbergGleichung, die ausgehend von Gl. 1.2 elementar zu:
d A^ (t) = i hH^ (t); A^ (t)i + @ A^ (t)
(1.5)
H
dt H
h H
@t H
berechnet werden kann. Der Heisenberg-Zustand j H i ist deniert durch:
j H i = U^ + (t) j (t)i = j (0)i
und ist unabhangig von der Zeit: ddt j H i = 0.
Der Mittel- oder Erwartungswert einer Observablen ist "Bild-invariant\ und berechnet sich nach:
h (t)j A^ j (t)i = h (t)j U^ (t)U^ + (t)A^U^ (t)U^ + (t) j (t)i = h H j A^H (t) j H i :
Kapitel 1. Theoretische Grundlagen
10
1.2 Der Dichteoperator
Von uberragender Bedeutung fur die Beschreibung oener Systeme ist der Dichteoperator ^(t), fur den auch die Bezeichnung statistischer Operator gebrauchlich
ist. Er charakterisiert, ahnlich wie die Wellenfunktion j (t)i, den augenblicklichen
Zustand eines Systems, ermoglicht jedoch daruber hinaus auch die Beschreibung von
Systemen, uber die man nicht die maximale Information hat ("Gemische\) [8].
Im Falle eines reinen Zustandes besteht der Zusammenhang
^(t) = j (t)ih (t)j :
Diese Struktur erlaubt es, fur den Erwartungswert alternativ zu schreiben:
hA^i = h (t)j A^ j (t)i = Trf^(t)A^g :
Trf: : :g steht fur die Spurbildung (engl. trace) und bedeutet die Aufsummation
aller Diagonalmatrixelemente. Fur reine Zustande gilt: Trf^(t)2g = Trf^(t)g2.
Liegt in einem Ensemble eine statistische Verteilung von Zustanden vor oder kennt
man von einem einzelnen System nur die Wahrscheinlichkeit dafur, da es sich in
einem bestimmten Zustand bendet, so spricht man von einer gemischten Gesamtheit. Wahrend solch ein Gemisch nicht mehr durch eine einzige Wellenfunktion
ausgedruckt werden kann, ist es im Formalismus des Dichtoperators moglich, den
Zustand durch
X
^(t) = pi j i(t)ih i(t)j
i
zu beschreiben. pi ist dabei die klassische Wahrscheinlichkeit dafur, da sich ein
beliebig herausgegrienes Element des Ensembles im Zustand j i(t)i bendet. Der
Erwartungswert hA^i berechnet sich nun nach:
X
hA^i = pi h i(t)j A^ j i(t)i = Trf^(t)A^g ;
i
die Formel bleibt also fur den Dichteoperator unverandert. Gemische haben die
Eigenschaft, da Trf^(t)2g < Trf^(t)g2 ist.
Allgemein gilt, da der Dichteoperator ^(t) ein hermitescher Operator ist (^+ = ^)
und die Spur eins hat (Trf^g = 1). Daruberhinaus ist er positiv denit, so da die
Diagonalelemente nn als Wahrscheinlichkeit, im Zustand j ni zu sein, interpretiert
werden konnen.
Die Bewegungsgleichung fur einen beliebigen Dichteoperator ^(t) lat sich aus der
Schrodinger-Gleichung ableiten. Wir wollen dazu wieder den unitaren Zeitentwicklungsoperator U^ (t) verwenden, der nun den Dichteoperator zum Zeitpunkt t
X
^(t) = pi j i(t)ih i(t)j
i
Kapitel 1. Theoretische Grundlagen
11
mit demjenigen zum Anfangszeitpunkt t = 0
X
^(0) = pi j i(0)ih i(0)j
i
verbindet:
^(t) = U^ (t)^(0)U^ + (t) :
Die Bewegungsgleichung fur (t) ergibt sich daraus zu:
^(t) = ih @ U^ (t) ^(0)U^ + (t) + ihU^ (t)^(0) @ U^ + (t)
ih @ @t
@t
@t
+
+
^
^
^
^
^
= H U (t)^(0)U (t) ; U (t)^(0)U (t)H^
= H^ ^(t) ; ^(t)H^
i
@ ^(t) = ; i hH;
^ ^(t) :
@t
h
Diese Dierential-Gleichung nennt man von-Neumann- bzw. Liouville-Gleichung.
Sie gilt auch fur zeitabhangige Hamilton-Operatoren.
Besteht das Hauptinteresse nur fur ein Teilsystem dessen, was der Dichtoperator beschreibt, so konnen wir uber das, was uber dieses Teilsystem hinausgeht, ausspuren,
was zum reduzierten Dichteoperator fuhrt. Damit gehen naturlich auch samtliche
Informationen uber diesen Rest verloren, weshalb i.a. in reduzierten Teilraumen
keine Beschreibung mit Zustandsvektoren moglich ist. Wichtig wird dieses Verfahren bei der Betrachtung eines oenen Systems, welches z.B. an ein Bad gekoppelt
ist.
1.3 Die Entwicklung oener Systeme,
die Master-Gleichung
Unter einem oenen System versteht man ein "kleines\ System, das an ein "groes\
Bad oder Reservoir gekoppelt ist, welches sich im thermischen Gleichgewicht bendet und sich praktisch nicht andert ("Badnaherung\). Diese System-ReservoirWechselwirkung fuhrt immer zu einem irreversiblen Zerfall des Systems und kann
auf zwei Arten in Angri genommen werden: im Heisenberg-Bild mit den QuantenLangevin-Gleichungen und im Schrodinger-Bild mit der Master-Gleichung. Wir wollen uns in dieser Arbeit vor allem auf letzteren Zugang konzentrieren, der von der
Liouville-Gleichung ausgeht. Da man sich nur fur Systemgroen interessiert, beschreibt die Master-Gleichung lediglich die Entwicklung des reduzierten Dichteoperators, bei dem uber alle Badvariablen ausgespurt wurde. Wichtig bei der Ableitung
der Master-Gleichung, die hier nicht im einzelnen erfolgen soll (wir verweisen auf
Kapitel 1. Theoretische Grundlagen
12
[4][5][10]), ist die sogenannte Marko-Naherung. Diese geht davon aus, da die Korrelationszeit des Bades sehr viel kleiner als die Zeitskala der Systemdynamik ist,
Gedachtniseekte also keine Rolle spielen.
In allgemeinster Form hat die Master-Gleichung in der Lindblad-Darstellung folgende Gestalt [11][12]:
d ^ = L^^ = L^ ^ + L^ ^ :
(1.6)
coh
incoh
dt
Hierbei ist L^ der Lindblad-Operator, der sich aufspalten lat in:
h^ i
L^coh ^ = ; hi H;
^
und mit L^incoh = L^(1)
+ L^(2)
incoh
incoh in:
2 ;1
nX
L^(1)
Dij F^i^F^j+ ;
(1.7)
incoh ^ =
i;j =1
2 ;1
1 nX
h ^+ ^
+ ^i
^
L^(2)
^
=
;
D
F
F
^
+
^
F
Fi :
ij
i
j
j
incoh
2 i;j=1
(1.8)
Die Operatoren F^i sind die Dampfungsoperatoren und beschreiben den Einu der
Umgebung. Die Matrix Dij ist positiv denit; jedoch nur fur die Diagonalelemente
Dii sind die einzelnen Komponenten als Dampfungsraten interpretierbar.
Die Master-Gleichung ist normerhaltend, uberfuhrt aber i.a. reine Zustande in Gemische.
Als Beispiel wollen wir hier das gedampfte Zwei-Niveau-System betrachten. Die
Master-Gleichung kann fur diesen Fall geschrieben werden als:
i
d ^ = ; i hH;
^ ^ + W P^12^P^21 ; 1 P^22^ ; 1 ^P^22 :
(1.9)
dt
h
2
2
Hierbei ist der Operator P^ij durch P^ij = jiihj j deniert und W beschreibt die Zerfallsrate des angeregten Zustandes. Auf den Hamilton-Operator H^ des Systems
wollen wir im nachsten Kapitel naher eingehen.
1.4 Das auere Treiberfeld
Nach der Diskussion des inkoharenten Zerfalls durch auere Einusse, soll hier die
Wechselwirkung des Systems mit einem koharenten Lichtfeld untersucht werden.
Der Einu eines solchen Laserfeldes fuhrt in semiklassischer Betrachtung zu einem
zeitabhangigen Hamiltonoperator.
Wir wollen dies anhand eines getriebenen Zwei-Niveau-Systems verdeutlichen. Der
Kapitel 1. Theoretische Grundlagen
13
Hamiltonoperator lat sich aufspalten in:
H^ (t) = H^ 0 + H^ L (t) ;
(1.10)
den zeitunabhangigen Teil H^ 0, der die Energieniveaus deniert:
H^ 0 = E1P^11 + E2P^22
und in den zeitabhangigen Teil H^ L (t), der die optische Wechselwirkung mit dem
Lichtfeld beschreibt:
H^ L (t) = ;d~^ E~ = ;d~ P^12 + P^21 E~ :
Dabei bezeichnet d~^ den Operator des Dipolmoments und E~ den elektrischen Feldvektor:
E~ = E~ 0 cos !t = 12 E~ 0(ei!t + e;i!t) :
Nimmt man die reelle Rabi-Frequenz 21 als Abkurzung fur:
~~0
21 = ; dhE
;
so ergibt sich:
H^ L (t) = 21 h 21 P^12e;i!t + P^21ei!t + 21 h 21 P^12ei!t + P^21e;i!t :
|
{z
}
nicht energieerhaltend
Wir fuhren nun die sogenannte Rotating-Wave-Approximation (RWA) durch, die
besagt, da Terme, die nicht energieerhaltend sind, weggelassen werden konnen.
Die letzte Klammer soll somit vernachlassigt werden, so da fur den zeitabhangigen
Hamiltonoperator H^ L (t) nun geschrieben werden kann:
H^ L (t) = 21 h 21 P^12e;i!t + P^21ei!t :
1.5 Die Transformation auf zeitunabhangige
Hamiltonoperatoren
Durch eine zeitabhangige unitare Transforamtion ist es moglich, die explizite Zeitabhangigkeit des Hamiltonoperators zu beseitigen, was einem U bergang in ein rotierendes Koordinatensystem entpricht [7]. Im Falle des Zwei-Niveau-Systems geschieht
dies beispielsweise durch die Transformation:
U^ (t) = e;i!tP^11 = ^1 + P^11 e;i!t ; 1 ;
Kapitel 1. Theoretische Grundlagen
14
die den Hamiltonian H^ (t) aus Gl. 1.10 in
H^ 0 = U^ + (t)H^ (t)U^ (t) = E1P^11 + E2P^22 + 21 h 21 P^12 + P^21
uberfuhrt. Die Schrodinger-Gleichung erfahrt durch diese Transformation folgende
A nderung:
@ U^ (t)U^ +(t) j (t)i = H^ (t)U^ (t)U^ + (t) j (t)i
ih @t
ihU^ + (t) @ U^ (t)U^ +(t) j (t)i = U^ + (t)H^ (t)U^ (t)U^ +(t) j (t)i
@t
ihU^ + (t) @ U^ (t) j (t)i0 = U^ + (t)H^ (t)U^ (t) j (t)i0
@t !
@ [U^ (t)] + U^ (t) @ j (t)i0 = H^ 0 j (t)i0 :
ihU^ +(t) @t
@t
Fuhren wir nun den neuen Hamiltonoperator H^ 00, mit:
@ [U^ (t)] = H^ 0 + i!P^
H^ 00 = H^ 0 ; ihU^ + (t) @t
11
= (E1 + h !)P^11 + E2P^22 + 12 h 21 P^12 + P^21
= 12 (E1 + E2 + h !)^1 ; 21 (E2 ; E1 ; h !)(P^22 ; P^11) + 21 h 21 P^12 + P^21
ein, so lat sich wieder schreiben:
@ j (t)i0 = H^ 00 j (t)i0 ;
ih @t
mit j (t)i0 = U^ + (t) j (t)i und einem zeitunabhangigen Hamiltonoperator H^ 00.
In Abb. 1.1 ist die Losung der Master-Gleichung 1.9 fur ein Zwei-Niveau-System mit
einem aueren Treiberfeld abgebildet.
1.6 Die SU(n)-Algebra
Die SU(n)-Algebra benutzt als vollstandiges Operatoren-System zur Darstellung der
Zustande und Operatoren eines n-dimensionalen Hilbert-Raumes H die Generatoren der speziellen unitaren Gruppe SU(n) [13]. Diese Gruppe wird gebildet durch
alle unitaren Matrizen mit n Spalten und n Zeilen und der Determinanten eins. Die
(N 2 ; 1) Generatoren ^i sind hermitesch und konnen mit Hilfe der U bergangsoperatoren P^ij = jiihj j folgendermaen dargestellt werden [7]:
u^jk = P^jk + P^kj ;
Kapitel 1. Theoretische Grundlagen
15
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
a)
-1.0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
b)
-1.0
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
c)
-1.0
Zeit
Abb. 1.1 Auftragung der Inversion w1 = 22 ; 11 fur ein Zwei-Niveau-System:
a) nur gedampft mit W = 0:5,
b) nur getrieben mit 21 = 2,
c) getrieben und gedampft mit W = 0:5 und 21 = 2.
v^jk = i(P^jk ; P^kj ) ;
s
w^l = ; l(l +2 1) (P^11 + P^22 + : : : + P^ll ; lP^l+1;l+1 ;
Kapitel 1. Theoretische Grundlagen
16
mit 1 l N ; 1 und 1 j < k N . Sie bilden den Vektor f^j g in folgender
Weise:
f^j g = fu^12; u^13; : : :; v^12; v^13; : : :; w^1; w^2; : : :; w^N ;1g
und besitzen die Eigenschaften:
Trf^i g = 0 ;
Trf^i ^j g = 2ij :
Jeder hermitesche Operator A^ kann in dieser Basis entwickelt werden und hat die
Darstellung:
2 ;1
NX
Aj ^j ;
A^ = N1 A01^ + 12
j =1
mit A0 = TrfA^g und Aj = TrfA^^j g.
Speziell fur der Dichteoperator ^ gilt mit den Abkurzungen:
j = Trf^j ^g :
2 ;1
NX
1
1
^ = N 1^ + 2
j ^j :
j =1
Der Vektor = fj g ist ein (N 2 ; 1)-dimensionaler Vektor, der Koharenzvektor. Im
Falle n=2 ist es der bekannte 3-dimensionale Blochvektor. Interessanterweise stellen
sich unitare Transformationen des Dichteoperators als Rotation des Koharenzvektors
und Erwartungswerte hA^i als Skalarprodukt aus Koharenzvektor und dem Vektor
fAj g dar.
Wir wollen uns nun der Beschreibung von Mehrteilchensystemen zuwenden und
dabei insbesondere den Fall des Zwei-Teilchensystems betrachten. Die beiden einzelnen Systeme seien in den Hilbertraumen H1 und H2 mit den Dimensionen N1 und
N2 deniert. Als Basis fur das zusammengesetzte System nehmen wir das direkte
Produkt der Basiszustande der einzelnen Teilchen. Damit konnen wir den Dichteoperator schreiben als:
2
NX
1 ;1
1
1
^
^
i(1)(^i 1^)
^ = N N (1 1) + 2N
1 2
2 i=1
NX
22 ;1
1
+
(2)(1^ ^i)
2N1 i=1 i
NX
22 ;1
12 ;1 NX
1
Kij (1; 2)(^i ^j ) :
+4
i=1 j =1
(1.11)
Kapitel 1. Theoretische Grundlagen
17
Lokale Eigenschaften erhalt man im bisherigen Bild des Dichteoperators durch Ausspuren uber das jeweils andere System:
^(1) = Tr2 f^g
und entsprechend fur ^(2). In der SU(n)-Algebra sind lokale Eigenschaften weiterhin
im Koharenzvektor enthalten. Die beiden Koharenzvektoren (1) und (2) berechnen sich nach:
i (1) = Trf^^i 1^g und
i (2) = Trf^1^ ^ig :
Korrelationen zwischen den Teilchen sind dagegen im Korrelationstensor enthalten
mit:
Kij (1; 2) = Trf^^i ^j g :
Um nun nicht-lokale Eigenschaften erkennen zu konnen, ist es gunstig, den Tensor
des Entanglements zu betrachten. Er berechnet sich nach:
Mij (1; 2) = Kij (1; 2) ; i (1)j (2) :
Fur Produktzustande verschwindet M , sie konnen denitionsgema nicht verschrankt
sein. Nichtlokale Eigenschaften konnen auch dann weiterhin existieren, wenn keine
Wechselwirkung mehr zwischen den beiden Teilchen besteht.
Als Beispiel fur einen verschrankten Zustand von zwei Zwei-Niveau-Systemen (z.B.
die Spins eines Elektron-Positron-Paares) sei hier der EPR-Zustand genannt [16]
[17]. Die Wellenfuntion eines solchen Zustandes kann ausgedruckt werden durch:
j i = p12 (j"ij#i ; j#ij"i) :
Hierbei bezieht sich das erste Ket auf das eine und das zweite Ket auf das andere
Teilchen. Der EPR-Zustand ist maximal verschrankt und kann nicht als Produktzustand zweier Einteilchenzustande geschrieben werden. Beide Koharenzvektoren verschwinden
(1) = (2) = (0; 0; 0) ;
was ausdruckt, da es keine lokalen Eigenschaften gibt. Der Tensor des Entanglements dagegen bringt die Nichtlokalitat zum Ausdruck:
0
1
;
1 0 0
M (1; 2) = B
@ 0 ;1 0 CA :
0 0 ;1
Kapitel 2
Stochastische
Dierentialgleichungen
In der Quantenstochastik bedient man sich bei diusionsartigen Modellen stochastischer Dierentialgleichungen [18]. Wir wollen uns deshalb in diesem Kapitel diesem Formalismus zuwenden und auf wichtige Unterscheidungen eingehen. Zunachst
beschaftigen wir uns mit der stochastischen Variablen, wobei wir speziell den Wiener
Proze betrachten wollen, der von fundamentaler Wichtigkeit ist [19].
2.1 Der Wiener Proze
Der Wiener Proze [21][22] ist eine mathematische Idealisierung der Brownschen
Bewegung und liefert eine Markosche Zufallsgroe. Sie resultiert als Summe sehr
vieler, aber kleiner Verruckungen, die zufallig uktuieren. Die Denition des Wiener
Prozesses lautet:
B (t; t0) =
Zt
t0
b(t0) dt0 ;
wobei b(t0) eine kontinuierliche Bad-Variable ist mit [b(t); b+(t0)] = (t;t0) . Letztere
Gleichung stellt die Konsequenz der Marko-Naherung dar. Der Wiener Proze ist
nun durch folgende Eigenschaften charakterisiert:
hdB (t)i = 0 ;
(
s; s + ds) = ; :
hdB (t) dB (s)i = 0dt (tt;=t s+;dtdt) \=(ds
Mit h: : :i ist hier die statistische Mittelung uber ein Ensemble gemeint.
Obige Gleichungen stellen im Prinzip eine Gauverteilung dar, mit Mittelwert Null
Kapitel 2. Stochastische Dierentialgleichungen
19
und
p Varianz dt, so da die Amplitude der Verruckungen von der Groenordnung
dt sein mu. Die Verruckungen dB (t) und dB (s) in unzusammenhangenden Zeitintervallen sind statistisch unabhangig, daher verschwindet die Korrelationszeit von
dB (t) und dB (s) mit dt; ds ! 0 . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung fur eine deltafunktionsartige Anfangsverteilung P (B; 0) = (B ) kann fur t > 0 geschrieben werden als:
2
P (B; t) = p 1 expf; B2t g :
2t
Anschaulich beschreibt der Wiener Proze das stochastische Verhalten der Diusion eines Brownschen Teilchens, d.h. P (B; t) lost die zugehorige Fokker-PlanckGleichung:
@ P (B; t) = D @ 2P (B; t) :
@t
@B 2
Hierbei stellt D die phanomenologische Diusionskonstante dar, die beim Wiener
Proze den Wert 1/2 besitzen soll.
Fur eine groe Klasse von stochastischen Dierentialgleichungen kann die Dierentialgleichung aufgeteilt werden in einen deterministischen Anteil und in einen
uktuierenden Anteil [22]:
dx(t) = a(x(t); t)dt + (x(t); t)dB (t) :
Macht man nun die Idealisierung des weien Rauschens, so stellt dB (t) hierbei den
soeben besprochenen Wiener Proze dar. Da dB (t) wiederum von dt abhangt, mu
noch geklart werden, wie das Produkt im letzten Term aufzufassn ist. In der Theorie
stochastischer Dierentialgleichungen unterscheidet man prinzipiell zwei Typen von
Dierentialgleichungen: den It^o- und den Stratonovich-Typ.
2.2 Der It^o-Typ
Beim It^o-Typ ragt die Groe dB (t) in die Zukunft hinein:
(x(t); t) dB (t) = (x(t); t)[B (t + dt) ; B (t)] ;
(2.1)
wahrend a(x(t); t) und (x(t); t) nur von Groen x(s) aus der Vergangenheit s t
abhangen. Aus der Gleichung 2.1 folgt, da und dB statistisch unabhangig sind.
Der It^o-Typ fuhrt zur wichtigen Relation fur die Mittelwerte:
dhx(t)i = ha(x(t); t)idt + h(x(t); t) dB (t)i
= ha(x(t); t)idt + h(x(t); t)i hdB (t)i
= ha(x(t); t)idt :
(2.2)
Kapitel 2. Stochastische Dierentialgleichungen
20
Neben der statistischen Unabhangigkeit von und dB hat die It^o-Form den Vorteil,
da Ensemblemittelwerte einfach berechnet werden konnen.
2.3 Der Stratonovich-Typ
Beim Stratonovich-Typ ist der Term mit dB (t) bezuglich der Zeit vollkommen symmetrisch:
h
ih
i
(x(t); t) dB (t) = 21 (x(t + dt); t + dt) + (x(t); t) B (t + dt) ; B (t) :(2.3)
Hier sind die beiden Groen naturlich nicht mehr statistisch unabhangig, so da
diese Form fur Mittelwertbildungen weniger geeignet ist. Wir wollen zur Verdeutlichung das Produkt der Stratonovich-Form mit einem "\ ausdrucken.
Die Stratonovich-Form kann auf die It^o-Form transformiert werden. Dazu entwikkeln wir zunachst (x(t + dt); t + dt) in einer Taylor-Reihe, wobei wir Terme ab
einschlielich der Ordnung O(dt) vernachlassigen wollen:
); t + dt) dx
(x(t + dt); t + dt) (x(t); t + dt) + @(x(t@x
@ (x(t); t) + @ dtdx
dt
+
(x(t); t) + @
@t
@x
@t
@
= (x(t); t) + @x dx + O(dt) :
(2.4)
Wir konnen jetzt die Dierenz der beiden stochastischen Terme bilden:
dB ; dB = 21 @
@x dxdB
2
= 12 @
@x (x(t); t)dB
= 21 @
(2.5)
@x (x(t); t)dt ;
wobei wir die Varianzeigenschaft des Wiener-Prozesses ausgenutzt haben.
Damit sind wir in der Lage, die Stratonovich-Form in die It^o-Form umzuschreiben:
h
i
dx(t) = a(x; t) + 21 @
(
x;
t
)
dt + (x; t) dB (t) :
(2.6)
@x
Wir erhalten also einen zusatzlichen Term proportional zu dt, der einen Drift-Term
darstellt.
Kapitel 2. Stochastische Dierentialgleichungen
21
Neben dem Vorteil der Zeit-Umkehr-Invarianz, gelten bei Stratonovich allgemein fur
die Berechnung dierentieller Produkte:
d(ab) = a db + da b ;
also die gewohnlichen Dierentialkalkule. Im Gegensatz dazu erfolgt die Berechnung
bei It^o nach:
d(ab) = a db + da b + da db ;
es mu also eine Ordnung mehr berucksichtigt werden. Fur die Umrechnung zwischen It^o und Stratonovich gilt:
a db = a db + 21 da db :
Mochte man die Idealisierung des weien Rauschens benutzen, so mu zwischen der
It^o- und der Stratonovich-Form entschieden werden. Wegen der physikalisch intuitiveren Gleichungen und der Zeit-Umkehr-Invarianz wird oft die Stratonovich-Form
bevorzugt. Daruberhinaus mu beachtet werden, da der It^o-Fall bei nichtkommutierenden Operatoren problematisch sein kann.
Kapitel 3
Historische Anmerkungen zur
Quantenstochastik
Die Quantenstochastik und die Entwicklung von Modellen zur Berechnung von Einzeltrajektorien fand in der Quantenmechanik im Laufe der Zeit mit den unterschiedlichsten Ansatzen statt. Ziel, auch heutiger U berlegungen, ist ein besseres Verstandnis des quantenmechanischen Meprozesses und seiner konsistenten Interpretation.
Die Einzeltrajektorie enthalt eben gegenuber der Ensemblelosung zusatzliche Information. Doch auch fur die numerische Berechnung von Ensemblelosungen (z.B. in
Form der Dichtematrix) kann der Weg uber die Einzeltrajektorien von Vorteil sein.
Fur einen Zustandsraum der Dimension N benotigt ein Zustandsvektor (zur Beschreibung der Einzeltrajektorie) lediglich 2N ; 2 reelle Zahlen, eine Dichtematrix
dagegen erfordert N 2 ; 1. Auf diese Weise ist zum einen eine viel schnellere Berechnung moglich und zum anderen ist dafur viel weniger Speicherplatz notwendig.
Naturlich sind fur die Mittelwertbildung viele Einzeltrajektorien zu berechnen, doch
kann der Vorteil fur groe Zustandraume durchaus uberwiegen.
In diesem Kapitel wollen wir eine Auswahl von quantenstochastischen Modellen in
ihren Grundgedanken betrachten.
Prinzipiell gibt es zwei Ansatze, oene Systeme zu beschreiben: entweder mit den
Quanten-Langevin-Gleichungen oder mit Hilfe einer Master-Gleichung. Die QuantenLangevin-Gleichungen basieren auf den Heisenbergschen Bewegungsgleichungen, wobei ein uktuierender Term additiv hinzugefugt wird, wahrend die Master-Gleichung
im Schrodinger-Bild verwurzelt ist. Kriterium fur die Wahl ist vor allem die Schwierigkeit, die Gleichungen zu losen, so da die Mastergleichung aufgrund ihrer Linearitat den meist nichtlinearen Langevin-Gleichungen vorzuziehen ist. Lediglich bei
der Berechnung mehrzeitiger Erwartungswerte ist der Zugang uber das HeisenbergBild oft anschaulicher.
Kapitel 3. Historische Anmerkungen zur Quantenstochastik
23
3.1 Nelson
Wohl eine der ersten stochastischen Schrodinger-Gleichungen geht auf E. Nelson
zuruck (1966) [23]. Er startet von der Grundannahme, da jedes Teilchen der Masse
m eine Brownsche Bewegung mit dem Diusionskoezient h =2m vollfuhrt. Gleichzeitig mochte er aber weiterhin die Galilei Kovarianz erhalten, so da das Teilchen
im Widerspruch zum Fluktuations-Dissipations-Theorem keiner Reibung unterliegen soll.
Nelson entwickelt eine stochastische Quantisierungsmethode, mit der er die Schrodinger-Gleichung der Quantenmechanik fur Marko-Prozesse aus der klassischen
Mechanik ableiten kann. Er halt dabei weiterhin an der klassischen Vorstellung fest,
da das Teilchen eine Bewegung in der Raum-Zeit durchfuhrt (klassischer Bahnbegri).
Seine Interpretation des quantenmechanischen Meprozesses stutzt sich auf die
Brownsche Bewegung, durch die auch die Unscharfe bei einer Messung zustande
kommen soll. Da sich seiner Meinung nach jede Messung auf eine Ortsmessung
zuruckfuhren lat, sollte die Diusion bei jeder Art von Messung zu einer Unscharfe
fuhren.
Guerra und Ruggiero [24] gaben, aufbauend auf Nelsons Arbeiten, einen Zugang
uber das euklidische Marko-Feld zur Quantenfeldtheorie. Als Konsequenz interpretierten sie die 4-dimensionale Mannigfaltigkeit des Marko-Feldes als die physikalische Raum-Zeit (d.h. die vierte Koordinate stellt die reale und nicht die mit i
multiplizierte Zeit dar).
3.2 Ghirardi, Rimini und Weber
Bei dem Versuch, eine einheitliche Beschreibung der physikalischen Realitat von
mikroskopischen und makroskopischen Phanomenen abzuleiten, stot man auf das
Problem, da wegen der Linearitat der Quantentheorie Superpositionen von makroskopisch unterschiedlichen Zustanden moglich sind (sogenannte "cat-states\). Dies
lat die dynamische Beschreibung von Trajektorien fragwurdig erscheinen. Durch
das Reduktionspostulat erfolgt zwar der U bergang von einem reinen Superpositionszustand zu einem statistischen Gemisch von Zustanden; Ghirardi, Rimini und Weber
(GRW) sehen jedoch die Grundschwierigkeit des quantenmechanischen Meprozesses in diesem Widerstreit zwischen der Beschreibung mit Superpositionen und mit
statistischen Gemischen [25][26].
Im wesentlichen konnen zu dieser Problematik folgende Ansatze unterschieden werden:
Man akzeptiert zwei unterschiedliche dynamische Entwicklungen fur mikroskopische und makroskopische Objekte. Dies wurde jedoch ein scharfes Kriterium
Kapitel 3. Historische Anmerkungen zur Quantenstochastik
24
zur Unterscheidung zwischen den beiden Objektklassen erfordern.
Man beschrankt den Observablen-Satz fur ein makroskopisches System auf
einen Abelschen Satz. Fur physikalische Vorhersagen bedeutet dies die A quivalenz von reinen Zustanden und geeigneten Gemischen.
Man unterscheidet Linearkombinationen von statistischen Gemischen makroskopischer Objekte direkt durch Experimente, welche Eekte der quantenmechanischen Interferenz sichtbar werden lassen (oder nicht). Dieser Standpunkt
lat die Denition, was als makroskopisch angesehen werden mu, von der Geschicklichkeit des Experimentators abhangen.
Eine weitere Moglichkeit besteht darin, die Quantentheorie an sich zu modizieren.
GRW versuchen, auf diesem Wege eine einheitliche Ableitung fur das Verhalten aller
Objekte aus den Grundgleichungen der mikroskopischen Welt zu geben. In ihrem
Modell werden Linearkombinationen makroskopischer Zustande in naturlicher Weise
unterdruckt. Dazu postulieren sie, da alle mikroskopischen Systeme einem spontanen Lokalisierungsproze bestimmter Frequenz unterliegen. GRW fugen den dynamischen Gleichungen hierzu einen stochastischen Term hinzu, dessen Parameter so
gewahlt wird, da die Dynamik mikroskopischer Systeme "for all practical purposes\
mit der Standard-Quanten-Dynamik ubereinstimmt. In der Dynamik makroskopischer Objekte wird jedoch die Lokalisierung so stark, da Superpositionen sofort
in Gemische zerfallen, was konsistent mit der klassischen Mechanik geschehen soll.
In der zugrundeliegenden Gleichung entspricht der Lokalisierungsproze im Prinzip
einer Ortsmessung:
d ^(t) = ; i [H;
^
dt
h ^(t)] ; f^(t) ; T [^(t)]g :
dt ist die Wahrscheinlichkeit fur einen Lokalisierungsproze im Intervall dt. T [^]
stellt den Lokalisierungssuperoperator dar. Als mogliche Ursache der Fluktuationen
wird uber die Gravitation spekuliert.
3.3 Claverie und Diner
Der Zugang zur Quantenstochastik von P. Claverie und S. Diner fuhrt uber die Elektrodynamik [27]. Sie fuhren zunachst das elektromagnetische Vakuumfeld in die
klassische Elektrodynamik als stochastisches Hintergrundfeld ein und kommen so
auf eine stochastische Elektrodynamik (SED). Ausgehend von dieser Theorie konnten Resultate mit typischem Quantencharakter, wie das Spektrum des schwarzen
Strahlers und die Nullpunktsbewegung des harmonischen Oszillators, erzielt werden. Claverie und Diner sahen darin eine mogliche Verbindung zwischen SED und
der Quantentheorie. Bemerkenswert erscheint, da hier die Stochastik in die Quantentheorie uber die SED eingefuhrt wird, in der die stochastische Kraft kein weies
Kapitel 3. Historische Anmerkungen zur Quantenstochastik
25
Rauschen darstellt. Vielmehr fuhrt erst diese stochastische Kraft zur Quantisierung,
so da ihr fundamentaler Charakter zugesprochen werden mu. Moglicherweise ist
die SED eine neue Art von klassischer Naherung der Quantentheorie.
3.4 Pearle
In der Interpretation nach Pearle reprasentiert der Zustandsvektor den realen physikalischen Zustand des einzelnen Systems [28]. Wie bei GRW besteht nun das Problem, da Superpositionen von makroskopisch unterscheidbaren Zustandsvektoren
("Schrodinger Katze{Zustande\) keinen Sinn ergeben. Um dem vorzubeugen, wird
der Schrodinger-Gleichung ein nichtlinearer Term hinzugefugt, der den Zustandsvektor aus solch einer Superposition herausfuhrt. Wahrend dies bei GRW durch einen
stochastischen Term geschieht, hangt der angenommene Zustand bei Pearle von der
Phase des Zustandsvektors ab. Die Parameter des nichtlinearen Terms mussen in
der Weise gewahlt werden, da die ublichen Quanten-Vorhersagen fur mikroskopische Systeme weiterhin gultig sind, aber trotzdem Superpositionszustande makroskopisch unterscheidbarer Zustande hinreichend schnell zerstort werden. Da der
Phasenfaktor in der ublichen Quantenmechanik keine physikalische Bedeutung hat
und das Ergebnis des Meprozesses in Pearles Theorie in deterministischer Weise von
diesem Phasenfaktor abhangt, ist diese Theorie im Grunde eine "hidden-variable\Theorie (! Bohm und Bub [29]).
3.5 Gisin
Gisin gibt einige allgemeine Bedingungen an, die eine stochastische SchrodingerGleichung erfullen sollte, wenn Kompatibilitat mit der Relativitatstheorie erhalten
werden soll [30]. Diese "friedliche Koexistenz\ zwischen Quantenmechanik und Relativitatstheorie verbietet eine Signalubertragung mit U berlichtgeschwindigkeit, woraus eine notwendige Bedingung fur stochastische Schrodinger-Gleichungen gefolgert
werden kann, die die Konsistenz mit einer Master-Gleichung fordert. Des weiteren mu eine deterministische Entwicklung in der Quantenmechanik linear sein, so
da der Schrodinger-Gleichung nicht einfach nicht-lineare Terme hinzugefugt werden durfen. Erweitert man dagegen mit stochastischen nicht-linearen Termen, so
ist dies wieder erlaubt. (So wurde beispielsweise die nichtlineare Erweiterung von
S. Weinberg [31][32] eine beliebig schnelle Kommunikation ermoglichen [33].)
Kapitel 3. Historische Anmerkungen zur Quantenstochastik
26
3.6 Consistent-History-Approach (CHA)
Dieses Konzept geht im wesentlichen auf Griths, Omnes und Gell-Mann zuruck
[34][35][36][37][38]. Im Consitent-History-Approach (CHA) betrachtet man Abfolgen von "Ereignissen\ eines quantenmechanischen Systems, die zu denierten Zeitpunkten stattnden sollen. Jedes Ereignis entspricht einem bestimmten Zustand
und hangt zusammen mit einem Projektionsoperator En (welcher auf bestimmte Eigenraume einer assoziierten Observablen projiziert). Eine "Geschichte\ besteht aus
einer Sequenz solcher Ereignisse, D ! E1 ! E2 ! : : : ! En ! F zu den Zeiten
t0 < t1 < t2 : : : < tn < tf . Ziel dieses Vorgehens ist eine klassische Interpretation
von Wahrscheinlichkeiten in der Art, da gilt:
W (E1 ^ E2 ^ : : :En j D ^ F ) = w(D ^ wE(1D^^: :F:E) n ^ F ) ;
mit
w(D ^ E1 ^ : : : En ^ F ) = TrfU (tf ; tn)EnU (tn ; tn;1 : : :U (t2; t1)E1
U (t1; t0)DU (t0; t1)E1U (t1; t2) : : : U (tn;1; tn)En U (tn; tf )F g ;
d.h. W (E1 ^ E2 ^ : : : En j D ^ F ) wird interpretiert als klassische bedingte Wahrscheinlichkeit. Diese Art der Interpretation ist jedoch nur dann moglich, wenn gewisse Bedingungen erfullt sind. Dazu wird das Konzept "konsistenter Familien\
von Trajektorien eingefuhrt, die ganz bestimmte Konsistenzbedingungen erfullen
mussen. Gehort eine "Geschichte\ zu einer konsistenten Familie, so kann der oben
denierte Ausdruck widerspruchsfrei als bedingte Wahrscheinlichkeit interpretiert
werden. Letzten Endes hangt dies davon ab, ob zwischen den Quantenamplituden Interferenz auftritt. Die Konsistenzbedingung kann als Kriterium dafur aufgefat werden, wann Interferenzeekte bezuglich einer vorgegebenen Ereignisfolge
vernachlassigt werden konnen. Dabei mussen die zugehorigen Operatoren durchaus
nicht kommutieren, solange sie zu veschiedenen Zeitpunkten wirken.
Kapitel 4
Der quantenmechanische
Meproze
In atomaren Bereichen gibt es Erscheinungen, die mit der klassischen Mechanik und
der klassischen Elektrodynamik nicht erklart werden konnen. Dafur ist die Quantenmechanik erforderlich. Sie wird fur die Beschreibung von Teilchen mit sehr kleiner
Masse und fur Ablaufe in sehr kleinen Raumgebieten notwendig. Um gewisse Phanomene zu erklaren, mussen materiellen Teilchen neben den Teilcheneigenschaften auch
Welleneigenschaften zugesprochen werden. Die Charakterisierung eines Zustandes
erfolgt deswegen in der Quantenmechanik mit Hilfe einer Wellenfunktion. Die klassische Mechanik ist bei der Beschreibung quantenmechanischer Vorgange jedoch
weiterhin notwendig. Die physikalische Theorie der Quantenmechanik "enthalt die
klassische Mechnik als Grenzfall und bedarf gleichzeitig dieses Grenzfalls zu ihrer
eigenen Begrundung\ [39]. Dies liegt daran, da jedes quantenmechanische System in eine klassische Umgebung eingebettet ist und nur so charakterisiert werden
kann. Diesen Wechselwirkungsproze zwischen einem Quantenobjekt und einem
klassischen Objekt nennt man allgemein Messung. Ein Beobachter ist hierfur nicht
notwendig, da es der Aufnahme des Meergebnisses ins Bewutsein einer Person
nicht bedarf (im Gegensatz zur Auassung nach E. P. Wigner [40]).
Beim Meproze geht das klassische Gerat aus dem Anfangszustand in einen anderen makroskopischen Zustand uber. Aus dieser Zustandsanderung kann auf den
Zustand des Quantenobjekts geschlossen werden, der sich durch den Meproze
ebenfalls andert.
In der klassischen Mechanik kann die Storung der Meapparatur auf das System
zumindest im Prinzip beliebig klein gemacht werden. Die Eigenschaft eines Systems
wird durch die Messung gar nicht oder in deterministischer Weise verandert, so da
sie mit beliebiger Genauigkeit feststellbar ist. In der Quantenmechanik ist dies, wegen der grundlegenden Andersartigkeit, ein prinzipielles Problem. Im Gegensatz zur
Kapitel 4. Der quantenmechanische Meproze
28
klassischen Theorie, bei der die Eigenschaften von der Messung unabhangig sind, ist
hier charakteristisch, da sich ein System bezuglich seiner Wesensmerkmale solange
nicht festlegt, bis es dazu gezwungen wird, also erst zum Zeitpunkt der Messung.
Erst dann wird die Eigenschaft in nicht-deterministischer Weise manifestiert. In diesem Fall kann auch der Einu der Meapparatur nicht vernachlassigt werden, denn
je genauer die Messung ist, desto starker ist dabei die Einwirkung auf das System
und damit der Zwang sich bezuglich seiner Eigenschaften festzulegen. A. Einstein
hat diese Problematik in der oft gestellten Frage verbalisiert: "Ist die augenblickliche
Position des Mondes davon abhangig, ob man hinsieht oder nicht?\ [41]
Die Quantenmechanik unterscheidet sich auch insofern von der klassischen Mechanik, als von mehreren Eigenschaften nicht alle gleichzeitig existieren konnen. Eine
exakte gleichzeitige Messung von Ort und Impuls ist prinzipiell nicht moglich, was
zur Folge hat, da der Bahnbegri eines Teilchens aufgegeben werden mu. Dies
ist eine Grundlage der Quantenmechanik, die man Unbestimmtheitsprinzip nennt.
Dieses Prinzip kann formal durch eine Ungleichung ausgedruckt werden, die in der
klassischen Mechanik eine Gleichung ware:
A 6= (A \ B ) [ (A \ :B ) ;
falls der Kommutator [A; B ] 6= 0 ist. A; B bezeichnen hierbei die gemessenen Eigenschaften des Systems [42].
Vereinfacht ausgedruckt heit dies: Die Aussage, ein runder Korper ist entweder
rund und blau oder rund und nicht blau, ware in der Quantenmechanik nicht ohne
weiteres haltbar.
4.1 Das Projektionspostulat
Die Feststellung von Eigenschaften erfolgt im Formalismus der Quantenmechanik
durch Projektoren P^ (deniert durch P^ 2 = P^ ). Projektoren haben die Eigenwerte
0 (d.h. die Eigenschaft liegt nicht vor) und 1 (in diesem Falle liegt die Eigenschaft
vor). Betrachtet man die Eigenschaft P^ , die immer genauer ist als eine andere Q^ ,
so gilt: P^ Q^ = P^ [43].
Statistische Aussagen der Quantenmechanik folgen aus der Formel fur den Erwartungswert einer Megroe, der Observablen A^:
hA^i = Trf^A^g :
Der Dichteoperator ^ als positiv deniter hermitescher Operator legt also die jeweilige Statistik fest.
Fur den Vorgang der Idealmessung einer Eigenschaft Q^ sollen die folgenden drei
Axiome aufgestellt werden [43].
Kapitel 4. Der quantenmechanische Meproze
29
Fur die Erwartungswerte gilt vor der Messung:
hQ^ i1 = TrfQ^ ^1g ;
und entsprechend nach der Messung:
hQ^ i2 = TrfQ^ ^2g :
Axiom I:
h1^ ; Q^ i2 = 0 ;
d.h. jede unmittelbare Wiederholung einer Messung
liefert dasselbe Resultat wie die erste Messung. ^1 ; Q^
ist die Verneinung der Eigenschaft Q^ .
Axiom II:
hP^ i2 = hP^ i1 ;
fur P^ mit P^ Q^ = P^ , d.h. genauere Eigenschaften als
die gemessene haben vor und nach der Messung dieselbe Statistik. Die Messung von Q^ legt also die Eigenschaft von P^ nicht fest.
Aus diesen beiden Axiomen folgt nun fur die Dichtematrix: ^2 = Q^ ^1Q^ . Die Dichtematrizen sind hierbei
noch nicht normiert.
Axiom III: Zur restlosen Festlegung von ^ fordern wir, da vor
jeder Messung Trf^g = 1 gelten mu.
Bei der Kopplung des Objekts an eine Meapparatur, stellt die Nahtstelle zwischen
Quantenmechanik und klassischer Mechanik den sogenannten "Heisenberg-Schnitt\
dar. Dabei ist es gleichgultig, wohin man diesen Schnitt legt, solange auf jeden Fall
zum Schlu die Axiome I - III angewendet werden.
In der Quantenmechanik werden also grundsatzlich zwei Prozesse des zeitlichen Ablaufs unterschieden:
einerseits die Bewegungsgleichungen aufgrund des Hamiltonoperators ("U-Dynamik\),
andererseits der Meproze mit dem Reduktionspostulat ("R-Dynamik\).
Folgendes Beispiel soll die mathematische Struktur des Meprozesses verdeutlichen.
Die Meanordnung sei+ durch die Observable A^ charakerisiert, die ein hermitescher
Operator ist ( A^ = A^ ). A^ habe ein diskretes (nicht-entartetes) Spektrum, mit der
Eigenwertgleichung: A^ jami = am jami. Da die Eigenvektoren jami ein vollstandiges
a = jam iham j
Orthonormalsystem bilden, kann A^ nach den Projektionsoperatoren P^mm
Kapitel 4. Der quantenmechanische Meproze
30
entwickelt werden. Man nennt dies die Spektraldarstellung von A^:
X a
A^ = amP^mm
:
m
a legt eine Eigenschaft fest. Da all diese ProjektionsJeder Projektionsoperator P^mm
operatoren miteinander vertauschen, konnen die Eigenschaften zusammen gemessen
werden.
a betragt:
Die Wahrscheinlichkeit fur das Auftreten des Merkmals P^mm
a ^P^ a g = TrfP^ a ^g :
pm = TrfP^mm
mm
mm
a geht der Dichteoperator u
Mit der positiven Feststellung von P^mm
ber in den Zustand:
a ^P^ a = ja iha j :
^ ;! p1 P^mm
m m
mm
m
Dies stellt eine Projektion in einen Eigenzustand von A^ dar [44]. Unter der Voraussetzung, da das System schon vor der Messung im reinen Zustand war, lat sich
dies im Bild der Wellenfunktion formulieren als:
pm =j hamji j2 ;
a ji = ja i :
ji ;! p1p P^mm
m
m
Dies ist die mathematische Formulierung des Quantensprungs (Kollaps der Wellenfunktion) [45].
Oft liegt der Sachverhalt vor, da eine Messung ordnungsgema durchgefuhrt, der
Mewert aber nicht abgelesen wird. Die Information uber das Ergebnis der Messung
geht somit verloren, man kennt lediglich die Wahrscheinlichkeiten fur die einzelnen
Ausgange. Die Messung erzeugt damit folgenden Dichteoperator:
X a ^a
^ ;! P^mm
^Pmm :
m
Das System geht also von einem anfangs moglicherweise reinen Zustand in ein Gemisch uber, so da das System dann nicht mehr mit Hilfe einer Wellenfunktion
ausgedruckt werden kann. Solche irreversiblen Prozesse konnen nicht mit einer
Hamilton-Dynamik realisiert werden. Physikalisch bedeutend wird dieser Fall z.B. in
der Quantenoptik, wenn Photonen ohne Detektion ins Bad emittiert werden, worauf
spater (Kap. 5.3 und Kap. 5.4) noch genauer eingegangen werden soll.
Kapitel 4. Der quantenmechanische Meproze
31
4.2 Die Entropie
4.2.1 Die von-Neumann-Entropie
Der Mangel an Information uber einen quantenmechanischen Zustand kann, anlehnend an die statistische Mechanik, durch die Entropie ausgedruckt werden (von
Neumann Entropie). Ist nicht genau bekannt, in welchem Zustand sich ein System
bendet, liegt also ein gemischter Zustand vor, so ist die Entropie groer als Null.
Sie wird deniert durch [46][47]:
S (^) = ;k Trf^ ln ^g :
k ist hierbei eine willkurliche Proportionalitatskonstante (Boltzmann-Konstante in
der Thermodynamik).
Reine Zustande haben eine Entropie von S (^) = 0, wahrend fur gemischte Zustande
immer S (^) > 0 gilt. Aufgrund der Erhaltung reiner Zustande in isolierten HamiltonSystemen, gilt fur die zeitliche Dynamik in diesem Fall:
d S (^(t)) = 0 :
dt
Ohne Messung bleibt also das Unscharfema unverandert.
Es soll an dieser Stelle erwahnt werden, da die Unkenntnis in der hier gefuhrten
Diskussion nichts mit der fundamentalen "Unscharfe\ von Observablen (mittlere
quadratische Abweichung der Mewerte) zu tun hat.
4.2.2 Entropie und Meproze
A^ sei die Meobservable mit den moglichen Meresultaten jami und
den dazugehoriP
gen Wahrscheinlichkeiten pm = Trfjamihamj ^g ; (0 pm 1 ; m pm = 1). Man
kann nun der Gesamtheit dieser Wahrscheinlichkeiten ein Ma zuordnen, das die
Unbestimmtheit der Messung von A^ wiedergibt:
X
A^(p1; p2; p3; :::) = ;k pm ln pm
m
X
= ;k Trfj amiham j ^g ln Trfj amiham j ^g :
m
Im folgenden soll B^ eine vollstandige Messung sein und die Kommutatorrelation
^ ^] = 0 erfullen. Damit besitzen B^ und ^ ein gemeinsames Eigenvektorensystem
[B;
jbmi. Die Wahrscheinlichkeit fur das Eintreten des Mewertes bm ist somit pm =
hbmj ^ jbmi = rm , also ein Eigenwert des Dichteoperators. Die Unbestimmtheit uber
Kapitel 4. Der quantenmechanische Meproze
32
den Ausgang der Messung B^ ist nun:
X
X
B^ = ;k pm ln pm = ;k rm ln rm = S (^) ;
m
m
also identisch mit der Unbestimmtheit eines Zustandes, der von Neumann Entropie
S (^). Falls obige Kommutatorrelation nicht mehr erfullt ist, kann gezeigt werden
[7], da fur eine beliebige, nicht-entartete Observable A^ gilt:
A^ B^ = S (^) Kleinsche Ungleichung.
Fur einen reinen Zustand nimmt die Kleinsche Ungleichung die Form:
A^ B^ = 0
an. Die B^ -Messung liefert hier also keine Information, da deren Ausgang schon
zusammen mit dem Zustand festgelegt ist.
Interessant wird die Betrachtung der Entropie auch bei zusammengesetzten Systemen. Durch nicht-lokale Korrelationen zwischen einzelnen Quanten-Objekten kann
es ebenfalls zur Unbestimmtheit von lokalen Eigenschaften kommen. In diesem Fall
ist die Gesamtentropie nicht die Summe der Entropien der einzelnen Systeme. Nach
Araki und Lieb [49] gilt fur ein Zwei-Teilchen-System:
j S (1) ; S (2) j S S (1) + S (2) :
Dies ermoglicht, ausgehend von der Entropiebetrachtung, zu entscheiden, ob nichtlokale Korrelationen bestehen oder nicht [7]:
(
= 0 : fur Produktzustande (keine Korrelationen) :
Ic = S (1) + S (2) ; S >
0 : fur korrelierte Systeme
Speziell fur S=0 bedeutet dies: S(1) = S(2) , d.h. die beiden Teilsysteme haben
denselben Entropiewert, der von Null verschieden sein kann, wahrend die Gesamtentropie Null ist.
Andererseits kann daraus gefolgert werden, da ein System, das sich in einem Zustand mit Entropie Null bendet, keine nicht-lokalen Korrelationen zu irgendeinem
anderen Quantenobjekt aufweisen kann (naturlich konnen weiterhin klassische Korrelationen bestehen).
Es ist also denkbar, da ein Gesamtsystem mit S = 0 durch eine Wellenfunktion beschrieben werden kann, wahrend die Teilsysteme mit Dichteoperatoren beschrieben
werden mussen. Dies ist eine Folge des mikroskopischen Kontrollmangels in Form
von Miachtung von Korrelationen. Letztendlich druckt es das prinzipielle Problem
aus, da der Schnitt zwischen System und Umgebung, der auf jeden Fall gemacht
werden mu (! siehe Meproze) nicht eindeutig festliegt. Zwischen System und
Umgebung gibt es denitionsgema keine Korrelationen, so da sich diesbezuglich
die Entropie additiv verhalten mu.
Kapitel 4. Der quantenmechanische Meproze
33
Fur den in Kap. 1.6 eingefuhrten EPR-Zustand bedeutet diese Betrachtung, da die
lokalen Eigenschaften vollig unbestimmt sind, wahrend die nichtlokalen Eigenschaften festliegen.
Kapitel 5
Das kontinuierliche Memodell
Im letzten Kapitel wurde uberblicksmaig gezeigt, wie der quantenmechanische Meproze stochastische Elemente in die Entwicklung einzelner Quantensysteme einbringt. Sein Wahrscheinlichkeitscharakter lat deterministische Prozesse zu stochastischen werden, was als "Kontrollmangel\ auabar ist. Grundsatzlich mussen zwei
Arten von begrenzter Kontrolle voneinander unterschieden werden:
(i) Brownsche Bewegung: Die unkontrollierte thermische Bewegung der Umgebung
fuhrt zu uktuierenden Variablen. Diese Form der Stochastik ist rein klassisch.
(ii) Quantenstochastik: Hier ruhrt der Indeterminismus vom quantenmechanischen
Meproze her. Die stochastischen Regeln hangen von der Kopplung zur Umgebung
ab, da die Fluktuationen auf "Me\-Ereignisse zuruckgehen. Im Unterschied zur
Brownschen Bewegung ist es hier prinzipiell moglich, die gemessene Information im
nachhinein wiederzuerlangen. Diese Betrachtung fuhrt auf ein quantenstochastisches
Modell, das kontinuierliche Memodell, bei dem eine Emission ins Photonenbad
(="Me\-Ereignis) immer auch mit einem Detektionsereignis verbunden ist.
Aufgrund des Fluktuations{Dissipations{Theorems (Einstein-Relation), ist in beiden Fallen die Fluktuation immer auch mit Dissipation verbunden. Es ndet ein
Energieubergang vom System ins Bad statt, in unserem Fall der Quantenoptik handelt es sich meist um Photonenemissionen.
5.1 Das kontinuierliche Memodell am Beispiel
des Zwei-Niveau-Systems
Wir wollen ein Zwei-Niveau-System angekoppelt an ein Bad elektromagnetischer
Feldmoden betrachten, mit dem die Dissipation beschrieben werden soll. Formal
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
35
kann das Szenario folgendermaen dargestellt werden:
2
W
?
Detektor
1
Abb. 5.1 Niveauschema des Zwei-Niveau{Systems
Als Hilbertraum wahlen wir das Produkt der Teilraume bestehend aus dem SystemHilbertraum und den einzelnen Photonmoden-Hilbertraumen der emittierten Photonen (mit Wellenvektor ~k(i)):
H = HS H~k(1) H~k(2) H~k(3) : : : :
Basis fur diesen Hilbertraum sei die Produktbasis aus den Systemzustanden und
den Fockzustanden (den Numberstates) der einzelnen Moden:
j1i j n~k(1)i
j n~k(2)i
j n~k(3)i : : :; j2i j n~k(1)i
j n~k(2)i
j n~k(3)i : : : ;
n~k(i) bezeichnet dabei die Besetzungszahl der Mode ~k(i). Ein stochastisches Memodell sollte in der Lage sein, ausgehend von der Messung (hier: einzelne Photonendetektionen), eine Logik bereitzustellen, die die eindeutige Rekonstruktion des
Systemzustandes ermoglicht. Diese Eindeutigkeitsforderung legt einige restriktive
Bedingungen fur die System-Bad Wechselwirkung bzw. fur das Bad fest.
Dissipation bringt immer den Charakter des Informationsverlustes mit sich (!quantenmechanischer Meproze, Entropiezunahme), so da i.a. ein reiner Zustand in
ein Gemisch ubergeht. Dies mu im stochastischen Memodell vermieden werden,
da ja gerade eine Einzeltrajektorie betrachtet werden soll. Die Logik des stochastischen Memodells mu nun also in der Lage sein, diese verlorene Information wieder
zuruckzubringen. Dazu sind folgende Punkte notwendig:
das Bad habe die Temperatur T=0, d.h. das Bad sei keine Photonenquelle
der Detektor sei ideal und habe eine Quantenezienz von 100 %
Daraus folgt: Jedes emittierte Photon wird detektiert und jedes detektierte Photon
kommt eindeutig vom System.
Dies bedeutet also die vollstandige Kontrolle des Systems hinsichtlich der Photonenemissionen.
Als Anfangszustand des Systems sei der angeregte Zustand j2i gewahlt, so da
durch die Ankopplung an das Bad dieses aus dem Vakuumzustand in den 1-Photon-
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
36
Zustand ubergehen kann. Hohere Anregungen sind aufgrund der Energieerhaltung
nicht moglich. Wir konnen uns also auf den Unterraum mit Null und mit einem
Photon beschranken. Die spezielle Mode dieses Photons soll im folgenden nicht weiter interessieren.
Der allgemeine Zustand zu einem beliebigen Zeitpunkt ist in folgender Basis darstellbar:
j(t)i = C1;0(t) j1ij0i + C2;0(t) j2ij0i + C1;1(t) j1ij1i + C2;1(t) j2ij1i :
Dabei bezeichnet das erste Ket j i immer den Systemzustand und das zweite den
Zustand der Photonenmode. Da die Energie eines Photons eindeutig aus dem System kommen mu, kann das Niveau j2ij1i aus Energieerhaltungsgrunden zu keinem
Zeitpunkt besetzt sein, d.h. das System kann sich nicht im angeregten Zustand benden, wahrend das Bad ein Photon enthalt. Dies ermoglicht den Zustandsraum
weiter einzuschranken:
C2;1(t) 0
=) j(t)i = (C1;0(t) j1i + C2;0(t) j2i ) j0i + C1;1(t) j1ij1i :
5.1.1 Die H^ -Dynamik
ef f
Photonenemissionen auern sich darin, da die Zustande j2ij0i und j1ij1i nun uber
die System-Photon Wechselwirkung gekoppelt sind. Dies geschieht noch in koharenter reversibler Weise. Die Wigner-Weisskopf-Theorie liefert fur die Dynamik der
Amplituden [51]:
dC C :
2;0
dt 1;1
Mit dem U bergang auf eine fur die Relaxation charakteristischen Zeitskala t mit
c t W ;1 (die Korrelationszeit der Photonmoden c ist in derselben Groenordnung wie der Kehrwert der Photonenfrequenz, !;1 ), wird die Dynamik irreversibel. Diese Naherung ist unter dem Namen Wigner-Weisskopf-Approximation bekannt und fuhrt auf den exponentiellen Zerfall des angeregten Niveaus (Einzelheiten
siehe in [51]):
d C = ;W C ;
dt 2;0
2 2;0
mit W als Zerfallsrate. Dieses Ergebnis kann nun in den System-Hamilton-Operator
eingearbeitet werden, indem man ihn zum eektiven Hamilton-Operator erweitert:
(S ) = H^ (S ) ; ih W j2ih2j :
H^ eff
(5.1)
2
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
37
Der nicht-hermitesche Anteil beschreibt den inkoharenten Zerfall des angeregten Zustandes. Obwohl sich das Gesamtsystem in einem Zustand bendet, bei dem das
Photonensystem im Vakuumzustand bleibt, liegt ein Zerfall des angeregten SystemZustandes vor ("Zerfall ohne Detektion\). Ursache dieses Zerfalls ist, da mit jeder
Nullmessung die Wahrscheinlichkeit, noch im angeregten Zustand zu sein, kleiner
wird. Deutlich wird dies bei der Betrachtung eines koharenten Zustandes, bei dem
sich das gedampfte System mit 50 %iger Wahrscheinlichkeit im oberen und im unteren Niveau bendet.
j (0)i = p1 (j1i + j2i) :
2
Nach genugend langer Zeit kann man mit Sicherheit sagen, da sich dieses System
im Grundzustand benden mu. Entweder wird ein Photon emittiert, so da in
den Grundzustand projiziert wird (das System war oensichtlich anfangs im angeregten Zustand), oder es wird zu keinem Zeitpunkt ein Photon emittiert, und die
Wahrscheinlichkeit, im oberen Niveau zu sein, zerfallt durch die H^ eff -Dynamik (das
System war von Anfang an im Grundzustand).
5.1.2 Der Detektorklick
Die Detektion der emittierten Photonen kann im Sinne des quantenmechanischen
Meprozesses als (destruktive) Messung der Photonenzahl aufgefat werden. Bei einem "Klick\ war die Photonenzahl eins, bei keinem "Klick\ war sie Null. Es kommt
damit zur Anwendung der Projektionsoperatoren P^1 = ^1 j1ih1j bzw. P^0 = ^1 j0ih0j
je nach Messung von einem bzw. keinem Photon.
Da der Detektor nun nicht nur die Photonenzahl feststellt, sondern bei einer Photonendetektion gleichzeitig dieses Photon zerstort, kommt es neben der ublichen
Reduktion noch zur Anwendung einer sogenannten Reset-Matrix. Die Dichtematrix
fur System und Photonmode laute: ^(t) = j (t)ih (t)j. Im Falle der Nullmessung
(kein Klick) wird aus der Dichtematrix:
^ ^
^ ;! P0^^P0^ :
TrfP0^P0 g
Da man sich eigentlich nur fur das System interessiert, wird noch uber die Photonenmode gespurt:
^0^P^0 !
P
(
S
)
^ = TrPh
TrfP^0^P^0 g C0;1(t) j1i + C0;2(t) j2i C0;1(t) h1j + C0;2(t) h2j
=
:
(5.2)
Trf%g
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
38
Die Bezeichnung Trf%g soll abkurzend fur die Spur des Zahlers stehen. Im Falle
des Detektorklicks kommt es entsprechend zur Anwendung von P^1:
^ ^
^ ;! P1^^P1^ ;
TrfP1^P1 g
und das Ausspuren der Photonenmode liefert:
^1^P^1 !
P
(
S
)
^ = TrPh
TrfP^1^P^1 g
C1;1(t) j1i C1;1(t) h1j
=
Trf%g
= j1ih1j :
(5.3)
Das System wird also in den Grundzustand projiziert.
In Gl. 5.3 ging man von einer zerstorungsfreien Messung aus, wie es die strenge
Formulierung der von Neumann-Luders Projektion impliziert. Durch die Kopplung
zwischen System und Photon ist eine Reaktion einer Photonenabsorption auf das
System denkbar. Im unendlichen Raum, ohne Spiegel und Resonatoren macht es
fur das System jedoch keinen Unterschied mehr, ob das Photon absorbiert wurde
oder nicht, solange das Photon vom System genugend weit weg ist und nicht mehr
mit ihm wechselwirkt [52].
Nach der Absorption lautet nun also die Dichtematrix fur System und Photonenmode:
n
o
TrPh P^1 ^P^1 j0ih0j
= j0ij1ih1jh0j :
Trf%g
Dies bedeutet fur die Photonenmode ein Zurucksetzen auf das Subensemble mit
keinem Photon (! "Reset\). Somit erfullt das Bad fur eine nachfolgende Messung
wieder die oben beschriebene Forderung, da die Badtemperatur T = 0 betragen
mu.
Zusammenfassend bewirkt ein "Klick\ im Detektor folgende A nderung der Gesamtdichtematrix:
|^{z(t)}
=)
j|1ij1{zih1jh1}j
=)
j|0ij1{zih1jh0}j
Dichtematrix
zerstorungsfreie
Photonenabsorption
vor Detektion
Detektion
(Reset)
Die hier vorgenommene Aufspaltung in Feststellung der Photonenzahl und Photonenabsorption ist eine rein gedankliche Trennung und soll lediglich die Struktur des
Detektorklicks verdeutlichen.
Prinzipiell muten auch Laufzeiteekte der Photonen zwischen System und De-
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
39
tektor berucksichtigt werden. Obwohl von einem Photon erst bei dessen Detektion gesprochen werden kann, mu der Quantensprung im System schon zum Zeitpunkt t ; zc stattgefunden haben (z ist der Abstand zwischen System und Detektor). Diese Beziehung verletzt jedoch nicht die Kausalitat, da ahnlich wie beim
EPR-Paradoxon, nichtlokale Korrelationen zwischen dem Kollaps der Wellenfunktion und der Emission eines Photoelektrons im Detektor bestehen. Dadurch steht
die Photoelektronen-Emission in selbstkonsistenter Weise, ruckwarts in der Zeit, in
Verbindung mit dem Quantensprung im System. Fur die hier gefuhrte Formulierung
des kontinuierlichen Memodells ist es nicht notwendig, Laufzeiteekte quantitativ
zu berucksichtigen. (Raum-zeitliche Eekte werden in dieser Arbeit nicht betrachtet, siehe dazu [53].)
Der Heisenberg-Schnitt, der Quanten-Koharenzen zerstort, darf erst ab dem Photodetektor vollzogen werden, so da genaugenommen Photoemissionsprozesse nicht
unabhangig vom Detektor ein objektives Ereignis darstellen. Diese Betrachtung wird
v.a. in den Kapiteln 5.3, 5.4 und 5.5 wichtig, wo auf den Detektor eine U berlagerung
von zwei Signalen auftrit.
5.1.3 Schlufolgerungen
Das kontinuierliche Memodell ist so aufgebaut, da die einzelnen Messungen beliebig oft wiederholt werden konnen. Jede Messung ndet in einem Zeitintervall t
statt, das die Bedingung t W ;1 erfullen mu. Hintergrund dieser Forderung
ist, da in diesem Zeitintervall nie mehr als ein Photon emittiert werden darf, da
bei jeder Messung immer nur maximal ein Photon nachgewiesen werden kann. W ;1
kann als die mittlere Zeitdauer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Photonen interpretiert werden.
In jedem Meintervall erfahrt die System-Wellenfunktion folgende A nderung:
vor der Messung:
j (t)i = (C0;1j1i + C0;2 j2i)
nach einer Nullmessung: j (t)i = exp ; hi H^ eff (C0;1 j1i + C0;2 j2i)
nach einem "Klick\:
j (t)i = j1i
Wie man sieht, bedeutet die Nullmessung fur das System, da die Superposition erhalten bleibt und die Phasenbeziehung zwischen den beiden Niveaus nicht zerstort
wird. Aus der Information des "Klicks\ dagegen kann eindeutig geschlossen werden, da sich das System im Grundzustand benden mu, jegliche Phasenbeziehung
ist zerstort. Im Intervall der Nullmessung spielt die Hamilton-Dynamik die entscheidende Rolle, bei einer Photonenmessung dagegen mu in den Grundzustand
projiziert werden, das Projektionspostulat ist hier dominierend.
Der bereits in Gl. 5.1 bei einer Nullmessung anzuwendende eektive Hamilton-
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
40
Operator kann allgemein folgendermaen geschrieben werden:
X
H^ eff = H^ s ; i2h Wi L^ +i L^ i :
i
Hierbei sind die L^ i die Dampfungsoperatoren des Lindblad-Teils der Master-Gleichung. Dies kann folgendermaen verstanden werden: Das System "merkt\ auch im
Falle einer Nullmessung, da es an ein Bad angekoppelt ist und kann auch dann nicht
als isoliert betrachtet werden. Letztlich folgt der nicht-unitare Hamilton-Operator
H^ eff aus der Konsistenzbedingung mit der Master-Gleichung fur die EnsembleLosung.
Es sei an dieser Stelle betont, da die Anwendung des Operators L^ = P^12 keine Projektion im von Neumannschen Sinne darstellt (L^ ist kein Projektor). Es mu hier
beachtet werden, da ja auch keine direkte Messung am System selbst durchgefuhrt
wurde. Die eigentliche Messung und damit die Projektion nach von Neumann fand,
wie oben dargestellt im Photonensystem statt. Durch die Bedingungen des Bades
mit Temperatur Null und einem Detektor mit einer Ezienz von 100% kann aus
dieser Messung eindeutig auf das System geschlossen werden. Hier entspricht ein
Photonenklick immer dem U bergang von j2i nach j1i, weshalb es zur Anwendung
des U bergangsoperators P^12 kommt.
5.1.4 Der Simulations-Algorithmus
Mochte man das kontinuierliche Memodell am Rechner simulieren, so mu mit
Hilfe von Zufallszahlen entschieden werden, ob ein Detektorklick stattgefunden hat
oder nicht. Lediglich die Mittelwerte liegen durch die Statistik fest, so da unser
Hauptaugenmerk auf die Wahrscheinlichkeiten gerichtet ist. Fur eine Nullmessung
betragt sie:
p(0)(t) = Trf^(t)P^0g ;
mit P^0 = ^1 j0ih0j .
Fur die Berechnung der zeitlichen Weiterentwicklung dieser Wahrscheinlichkeit bedienen wir uns der Taylor-Entwicklug:
p(0)(t + t) ' p(0)(t) + ddt p(0)(t) t :
Anfangs sei die Photonenmode im Vakuumzustand, so da gilt: p(0)(t) = 1.
Ausgehend von der H^ eff -Dynamik ( C_ 1;0(t) 0, C_ 2;0 = ; W2 C2;0) kann ddt p(0)(t)
folgendermaen berechnet werden:
p(0)(t) = jC1;0(t)j2 + jC2;0(t)j2 ;
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
41
d p(0)(t) = d jC (t)j2 + jC (t)j2
2;0
dt
dt 1;0
= C1;0(t) C_ 1;0(t) + C_ 1;0(t) C1;0(t) + C2;0(t) C_ 2;0(t) + C_ 2;0(t) C2;0(t)
= ;W jC2;0(t)j2 :
Damit folgt fur p(0)(t + t), der Wahrscheinlichkeit, im Intervall von t bis t + t
kein Photon zu detektieren:
p(0)(t + t) ' 1 ; W jC2;0j2t :
Aufgrund der Bedingung:
p(0)(t + t) + p(1)(t + t) = 1
ergibt sich fur die Wahrscheinlichkeit p(1)(t + t), im Intervall von t bis t + t ein
Photon nachzuweisen:
p(1)(t + t) = W jC2;0(t)j2t :
Im einzelnen geht man nun folgendermaen vor:
Festlegung eines System-Anfangszustandes.
Diskretisierung der Zeit in kleine Zeitintervalle t, mit t W ;1.
"Wurfeln\ einer Zufallszahl r aus [0; 1).
Berechnung der Wahrscheinlichkeit p(1)(t + t) = W22(t)t.
Nun kommt es zur Entscheidung:
{ Gilt r > p(1)(t + t), so ndet im Zeitintervall t; t + t keine Photonendetektion statt ("Nullmessung\). Es kommt zur Anwendung der H^ eff Dynamik. Da auch die Nullmessung einen irreversiblen Zerfall mit sich
bringt, ist sie nicht spurerhaltend; es mu anschliessend normiert werden.
{ Ist r p(1)(t + t), so ndet im Zeitintervall t; t + t eine Photonendetektion statt ("Klick\). Es kommt zur Projektion in den Grundzustand
mit anschlieender Normierung.
5.2 Die Stochastische Master-Gleichung
Die stochastische Master-Gleichung zur Beschreibung einzelner Quantensysteme
stellt einen Zwischenschritt beim U bergang von der gewohnlichen Master-Gleichung
zur stochastischen Schrodinger-Gleichung dar.
Wir wollen hier wieder zur Veranschaulichung ein gedampftes Zwei-Niveau-System
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
42
betrachten, bei dem die Ensemble-Losung durch die gewohnliche Master-Gleichung
gegeben ist:
@ ^ = ; i [H;
^ ^] ; W fL^ +L^ ^ + ^L^ +L^ ; 2L^ ^L^ + g :
(5.4)
@t
h
2

Der letzte Term druckt, konsistent mit unserer bisherigen Interpretation die Anderung des Dichteoperators aufgrund einer spontanen Emission eines Photons aus
(Photonenklick). Die anderen beiden Terme beschreiben zusammen mit dem Hamiltonoperator die H^ eff -Dynamik im Formalismus des Dichteoperators.
In der Ableitung der Master-Gleichung erlaubt die Bad-Naherung (keine A nderung
des Bades durch die Ankopplung an das System) keine Aussage uber die einzelnen
Detektionsklicks. Dadurch steigt die Entropie; reine Zustande werden in Gemische uberfuhrt. Dieses Anwachsen der Entropie kann dadurch gebremst werden,
da wir die Information, die wir von einem Photodetektor mit Quantenezienz
erhalten, mitberucksichtigen. Beim "Aufschreiben\ der Information des Detektionsklicks kann der damit verbundene Entropiezuwachs verhindert werden, wenn
bestimmte Bedingungen erfullt sind. Das Ansprechen des Detektors wird durch den
Sprung-Superoperator J^^ = W L^ ^L^ + ausgedruckt. Auerdem legt der Output des
Detektors eine stochastische Variable dNc (t) fest, mit den Werten 0 (kein Klick) und
1 (Klick), je nach Ausgang der Messung im Intervall dt. Es gilt also:
dNc2 = dNc :
Der Index c ("conditioned\) bezieht sich auf einen Dichteoperator, der durch eine
ganz bestimmte Zeitsequenz von Meergebnissen bedingt ist. Fur den Mittelwert
von dNc(t) mu folgende Gleichung erfullt werden:
M (dNc (t)) = TrfJ^^c(t)gdt = W hL^ + L^ idt :
Die stochastische Master-Gleichung hat nun folgende Gestalt [54]:
!
^ ^c L^ +
L
dc (t) = dNc (t) ^ + ^ ; ^c (t)
hL Lic
n i
^ ^c(t)] ; W L^ + L^ ^c(t) + ^c(t)L^ + L^
+ ; h [H;
2
+
+(1 ; )W L^ ^cL^ o
+W hL^ + L^ ic^c (t) dt :
Die Ensemblemittelung dieser Gleichung ergibt wieder die obige Master-Gleichung,
wobei gilt: ^(t) = M ^c (t).
Die 1. Zeile berucksichtigt den Informationsgewinn durch den Photodetektor und
stellt beim Zwei-Niveau-System die Projektion in den Grundzustand dar. Die
2. Zeile beschreibt die nicht-unitare Dynamik (! Heff ). Die 3. Zeile reprasentiert den Einu der nicht detektierten Photonen (falls 6= 1). Die letzte Zeile ist
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
43
notwendig zur Spurerhaltung der Gleichung.
Mochte man nun die Entwicklung eines Quantenzustandes (Quantentrajektorie)
nachzeichnen, so ist es notwendig, maximales Wissen uber die A nderungen des Zustandes zu haben. Die Entropie mu zu jedem Zeitpunkt auf Null gehalten werden.
Dazu mu jedes emittierte Photon auch detektiert werden, was einen idealen Photodetektor mit = 1 erfordert. Da die sich nun ergebende stochastische MasterGleichung reine Zustande erhalt, kann das System alternativ auch mit Hilfe der
Wellenfunktion beschrieben werden:
0
1
h
^
L
jd c (t)i = dNc (t) @ q ^ + ^ ; 1A
hL Lic
i
i
W
W
+
+
^
^
^
^
^
+dt ; h (H ; 2 iL L) + 2 hL Lic
j c(t)i :
Diese stochastische Schrodinger-Gleichung stellt eine kompakte Gleichung des kontinuierlichen Memodells dar. Wie man hier direkt sehen kann, sind sowohl die
stochastische Schrodinger-Gleichung als auch die stochastische Master-Gleichung
(fur 6= 0) nichtlineare Dierentialgleichungen.
Soll nun andererseits die Entwicklung eines einzelnen Systems beschrieben werden
fur den Fall, da der Detektor eine Quantenezienz von = 0 besitzt, so ist die
stochastische Master-Gleichung identisch mit der gewohnlichen Master-Gleichung.
Der maximale Informationsverlust, der es mit sich bringt, wenn kein emittiertes
Photon detektiert wird, fuhrt dazu, da sich einzelne Systementwicklungen nicht
unterscheiden und deshalb mit der Ensemble-Losung identisch sind.
5.3 Die Homodyne- und Heterodyne-Detektion
5.3.1 Die Photo-Detektions-Verteilung
Die Dynamik eines einzelnen Quanten-Systems hangt davon ab, wie wir es beobachten. Dies ist eine Folge der Struktur des quantenmechanischen Meprozesses. Um
dies besser zu verstehen, soll die Art und Weise, in der optische Felder beobachtet
werden, genauer untersucht werden. Benutzen wir als Detektor einen Photomultiplier, so erscheinen individuelle Photoelektronenemissionen als Pulse. Diese Pulse
legen eine Statistik fest, die es genauer zu studieren gilt. Der Proze der photoelektrischen Emission hat fundamentalen Wahrscheinlichkeitscharakter. Zwei Dinge
tragen dazu bei: statistische Fluktuationen im detektierten Feld und die Quantennatur der Wechselwirkung zwischen Detektor und Feld, die uns lediglich erlaubt,
Wahrscheinlichkeiten fur photoelektrische Emissionen anzugeben.
Man nennt die Wahrscheinlichkeitsdichte p(n; t; T ) im Intervall (t; t + T ] n Photo-
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
44
elektronenpulse zu zahlen, die Photo-Detektions-Verteilung. Um die beiden Beitrage
von Feldstatistik und Emissions-Proze zu trennen, wollen wir uns zunachst auf ein
klassisches Feld konstanter Intensitat beschranken, bei dem es keine Eekte durch
Feldstatistiken gibt. Wir betrachten einen Lichtstrahl der Frequenz !, der auf die
Flache A mit mittlerer Intensitat I auftrit. Die Photonen werden von der Flache
A mit der Quanten-Ezienz detektiert. Die mittlere Zahl n von in der Zeit T
gezahlten Photonen betragt:
IT :
n = hA
!
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, im Intervall T genau n Photoelektronen zu
zahlen, teilt man das Intervall in innitesimale Wechselwirkungszeiten t auf, mit
N = Tt 1. Da wir Feldstatistiken zunachst nicht berucksichtigen und angenommen wird, da der Detektor keine Totzeit hat, sind alle Subintervalle aquivalent.
t soll so klein sein, da in dieser Zeit entweder ein oder kein Photon detektiert
wird. Die Wahrscheinlichkeit,
wahrend dem Intervall t ein Photon zu detektieren,
A
I
betragt dann: p = h! t. Daraus folgt fur p(n; t; T ) [55]:
!n
!N ;n
N
(
N
;
1)
:
:
:
(
N
;
n
;
1)
A
I
A
I
p(n; t; T ) =
h ! t 1 ; h ! t
n!
1 n ; 1 hA!IN tn
!N ;n
A
I
1 ; h ! t
:
= 1 ; N ::: 1 ; N
n!
Im Grenzfall N ! 1 ; t ! 0 mit N t = T = const: folgt mit
!
!N ;n
A
I
A
I
;! exp ; h ! T :
1 ; t
h !
AI n
!
h! T
A
I
p(n; t; T ) = n! exp ; h ! T :
Es ergibt sich also eine Poisson-Verteilung. Sie ist unabhangig vom Startzeitpunkt
t des Zahlintervalls, da das Intensitp
atsfeld konstant
p ist. Die Poisson-Verteilung der
Photoelektronen hat im Breich n ; n bis n + n ihr Maximum. Die relative Abweichung vom Mittelwert betragt p1n . Diese Statistik, die darauf beruht, da immer
nur "Pakete\ (hier: Photonen) detektiert werden konnen, nennt man auch Schrotrauschen. Gibt es nun zusatzlich Fluktuationen im Feld, so kann fur die Verteilung
p(n; t; T ) zweierlei passieren. Fur Licht mit "Bunching-Verhalten\ (z.B. thermisches
Licht) wird sie noch breiter, dies fuhrt zur Super-Poisson-Verteilung. Dagegen kann
die Verteilung fur Licht mit Anti-Bunching-Verhalten (z.B. bei Floureszenz-Licht)
noch schmaler werden, was zur Sub-Poisson-Verteilung fuhrt. Letzteres ist ein Effekt, der erst bei einer quantisierten Beschreibung des Strahlungsfeldes auftreten
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
45
kann. Stochastische klassische Felder dagegen konnen die Poisson-Verteilung fur
Licht konstanter Intensitat erwartungsgema nur verbreitern.
5.3.2 "Third-Party\-Szenarien
Bei der bisher behandelten Messung von Photoelektronen treten Fluktuationen in
der Intensitat auf. Im folgenden soll gezeigt werden, da es von der Art der Messung
abhangt, bei welchen Groen des Lichtfeldes die Fluktuationen auftreten. So kommt
es, wie in diesem Kapitel gezeigt werden soll, bei der Homodyne- bzw. HeterodyneDetektion zu Fluktuationen in der Lichtfeldamplitude. Die Art der Messung legt
also die jeweilige Statistik fest und fuhrt damit u.U. zu einer andersartigen Dynamik.
Bei der Homodyne- bzw. Heterodyne-Detektion wird das zu messende Feld mit einem starken lokalen Oszillatorfeld uberlagert. Aufgrund dieses starken lokalen Oszillatorfeldes mit man nun nicht einzelne Photoelektronen, sondern deniert als
Megroe einen analogen Photostrom, der seinerseits eine Statistik aufweist und
Fluktuationen unterworfen ist.
'$
&%
;;
;
;
System
Detektor
lokaler Oszillator
Abb. 5.2 Schema der Spektroskopie mit einem lokalen Oszillator
Das Systemfeld und der Ausgang des lokalen Oszillators treen zusammen auf den
Strahlteiler und schlielich auf den Detektor. Der lokale Oszillator wird als klassisches koharentes Feld behandelt mit Photonenu W j j2. Der Strahlteiler habe eine
Durchlassigkeit von . Daraus ergibt sich fur das auf den Photodetektor auftreende
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
46
Feld (wobei Vakuumuktuationen vernachlassigt werden) [57]:
^L~ = p L^ + iq1 ; :
Interessant ist fur uns der Grenzfall ! 1 (kein Verlust des Signalfeldes) und
j j !p1 (Beitrag des lokalen Oszillators soll trotzdem dominierend sein), so da
= i 1 ; endlich bleibt. Das detektierte Feld lat sich dann schreiben als :
L^~ = (L^ + ^1) :
Wie experimentell feststellbar ist, haben unter bestimmten Voraussetzungen das
direkt detektierte System und das durch die Heterodyne-Detektion untersuchte dieselbe Ensemble-Dynamik. Mathematisch auert sich diese Unabhangigkeit in einer
Invarianzeigenschaft der Master-Gleichung unter der Transformation [58]:
L^ ;! L^ + 1^ ;
H^ ;! H^ ; i2h L^ ; L^ + ;
mit 2 C .
Physikalisch lat sich die Konstante als die Implementierung einer "third party\
Messung interpretieren. Diese Art von Messung geht uber die gewohnliche SystemUmgebung Beschreibung hinaus, da nunmehr die Bedingungen:
TrfL^ ig = 0 ;
TrfL^ iL^ +j g = 2ij
nicht mehr erfullt werden. Doch auch der Hamilton-Operator erfahrt durch die
dritte Partei eine Veranderung. Dies soll folgendermaen plausibel gemacht werden:
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
47
' $
' $
& % ' $ & %
& %
H^ S
System
V^S ;U
V^3:P ;U
H^ U
H^ 3:P
"3. Partei\
Umgebung
Abb. 5.3 Schema zur "Third-Party-Messung\
Der Gesamthamiltonoperator setzt sich zusammen aus:
H^ = H^ s + H^ U + H^ 3:P + V^S;U + V^3:P ;U ;
mit: V^S;U P^ Q^ + c.c. ,
V^3:P ;U P^3:P Q^ + c.c. ,
P^
bewirkt U bergang im "System\,
P^3:P bewirkt U bergang in 3.Partei,
Q^
bewirkt U bergang im Bad.
Da Q^ in V^S;U und in V^3:P ;U gleich auftritt, kann Q^ ausgeklammert werden, was
zu einer Linearkombination von P^ und P^3:P fuhrt. Stellt die 3. Partei einen lokalen
Oszillator dar, wie es bei der Homodyne- und Heterodyne-Detektion der Fall ist, so
bendet sie sich in einem Zustand, der durch die Wechselwirkung mit der Umgebung quasi nicht verandert wird. Totzdem hat die 3. Partei einen Einu auf die
Entwicklung des "Systems\, da nicht entschieden werden kann, ob ein U bergang in
der Umgebung auf einen U bergang im "System\ oder in der 3. Partei zuruckgefuhrt
werden mu. Diese Nichtentscheidbarkeit fuhrt in der Quantenmechanik dazu, da
auch keine Entscheidung fallt. Die Natur "lat sich diesen Freiraum oen\. Fur das
System bedeutet dies, da ein Detektorklick
nicht mehr einem Sprung in den Grundzustand entspricht, wie es bei der direkten Messung der Fall war, sondern es ndet
ein Sprung statt, dessen Sprunghohe davon abhangt, in welchem Verhaltnis das "System\ und die 3. Partei an die Umgebung angekoppelt sind. Da sich die 3. Partei in
einem koharenten Zustand bendet, kann die Anwendung des U bergangsoperators
P^3:P als c-Zahl-Multiplikation ausgefuhrt werden. Der lokale Oszillator ist so stark,
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
48
da die Dampfung durch die Umgebung im Vergleich zum "System\ keine A nderung
bewirkt.
Trotz der Gleichheit der Ensemble-Losung bestehen fur die Dynamiken der Einzeltrajektorien markante Unterschiede. Um sie zu vergleichen, wollen wir das Quantensprungmodell fur die transformierten Operatoren anwenden [59][60][61]. Der neue
Dampfungsoperator ist gegeben durch:
L^~ = L^ + 1^ :
Eine Photonendetektion wird also begleitet von folgender Projektion:
+
J^^ = W L^~ ^L^~ :
Gleichzeitig mu auch der Hamiltonoperator transformiert werden, was zu
H~^ = H^ ; i2h W L^ ; L^ +
fuhrt.
Zwischen den Sprungen folgt die Entwicklung nach dem nicht-hermiteschen eektiven Hamiltonoperator:
+
H^ eff = H~^ ; i2h W L^~ L^~
(
) ih
i
h
+
^
^
^
= H ; 2 W L ; L ; 2 W (L^ + + )(L^ + )
= H^ ; i2h W L^ +L^ + 2L^ + jj2 :
Die Sprungwahrscheinlichkeit im Intervall t betragt nun:
+
pc = W hhL^~ L^~ it
i
= W hL^ + L^ i + hL^ i + hL^ + i + jj2 t
!
^ exp(;i) + L^ + exp(i)
L
2
+
^
^
= W jj + 2jjh
i + hL Li t
2
= W jj2 + 2jjhX^ i + hL^ + L^ i t ;
mit = jj exp(i).
Bei der Beschreibung dieses Problems ist es sinnvoll, den Operator der "Quadraturkomponente\ einzufuhren:
X^ = 12 L^ exp(;i) + L^ + exp(i) :
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
49
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
a)
-1.0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
b)
-1.0
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
c)
-1.0
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
d)
-1.0
Zeit
Abb. 5.4 Trajektorien des getriebenen und gedampften Zwei-Niveau-Systems berechnet
mit verschiedenen Werten fur . Die Treiberstarke betragt in allen Fallen = 3, die
Dampfungsrate W = 3. a) = 0, b) = 0:5, c) = 1, d) = 10.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
50
ist hierbei die Phasenverschiebung zwischen Signalfeld und lokalem Oszillatorfeld.
hX^ i kann als die Megroe der Homodyne-Detektion aufgefat werden.
Die Wellenfunktion entwickelt sich also wie folgt:
p
bei einem Kollaps: j (t + dt)i = W (L^ + ) j (t)i ;
ohne Kollaps:
j (t + dt)i = exp(;iH^ eff dt) j (t)i :
Anschlieend mu der so projizierte Zustand noch normiert werden. Daraus ergibt
sich qualitativ eine vollig neuartige Quantentrajektorie. In Abb. 5.4 ist das Ergebnis von Simulationsrechnungen fur verschiedene Werte von dargestellt. Wie man
deutlich sehen kann, erfolgt ein U bergang von Quantensprungen (direkte Detektion,
= 0), hin zu einem kontinuierlichen Verhalten der Wellenfunktion.
Aufgrund der ununterscheidbaren U berlagerung von lokalem Oszillator und "System\ legt sich das Szenario also nicht fest, ob das detektierte Photon nun vom
lokalen Oszillator oder von der Signalquelle ("System") herruhrt. D.h. bei jeder
Detektion erfolgt in beiden Teilsystemen ein Sprung, jedoch mit unterschiedlichen
Sprunghohen. Diese Sprunghohen hangen vom Verhaltnis der Intensitaten vom lokalen Oszillator und der Signalquelle ab.
Im praktischen Fall der Homodyne- bzw. Heterodyne-Detektion ist der Photonenu
des lokalen Oszillators um Groenordnungen hoher als der Signalu:
jj2 W h c(t)j L^ + L^ j c(t)i :
Dies bedeutet, da die A nderung von j c(t)i durch den Kollaps extrem klein wird.
Eine Photoelektronenemission gehort mit hoher Wahrscheinlichkeit zu einer Vernichtung eines Photons des lokalen Oszillators, wohingegen die Vernichtung eines
Signalphotons sehr unwahrscheinlich wird. In der Quantenmechanik existieren diese
beiden Wahrscheinlichkeiten nun aber als Superposition und nicht als klassisches
entweder/oder. Im Limes jj ! 1 bedeutet dies, da j c(t)i innitesimale Sprunge
zu einer unendlichen Rate erleidet. Fur diesen Grenzfall kann das kontinuierliche
Memodell in eine kompakte Form einer kontinuierlichen stochastischen Dierentialgleichung uberfuhrt werden. Die Ableitung dieser stochastischen Dierentialgleichung soll nun erfolgen.
5.3.3 Die stochastische Dierentialgleichung als Grenzfall
Fur jj 1 hat die Dynamik diusiven Charakter. Als Grenzubergang ist es nun
moglich, diese Dynamik auf eine stochastische Dierentialgleichung zuruckzufuhren,
was die Berechnung der Quantentrajektorie stark vereinfacht. Zur Aufstellung dieser Dierentialgleichung begeben wir uns auf eine Zeitskala t, auf der sehr viele
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
51
Photonendetektionen m jj2W t 1 stattnden, so da die Photonenzahlung
durch einen Photostrom ersetzt werden kann. Gleichzeitig soll aber die A nderung
des Systems innitesimal klein sein, W tX^ 1, so da eine Dierentialgleichung
fur den Systemzustand abgeleitet werden kann.
Die Zahl m der Photonendetektionen wahrend [t; t + t] unterliegt aufgrund der
Dominanz des lokalen Oszillators in guter Naherung einer Gau-Verteilung [55]:
r
+
+
m = W hL^~ L^~ it + W hL^~ L^~ i :
ist eine reelle Zufallsvariable, die ein Wiener Inkrement darstellt:
M () = 0 ;
M (2) = t :
Die Photodetektionen sollen nun zu den Zeitpunkten t1; : : : ; tm aus [0; t] stattnden. Der Systemzustand zum Zeitpunkt t hangt von der Zahl m und diesen
einzelnen Zeitpunkten ti ab. Im Sinne der Quantentrajektorie kann also folgendermaen geschrieben werden:
p
j (t)i = exp(;iH^ eff (t ; tm)) W L^~ exp(;iH^ eff (tm ; tm;1))
(5.5)
p ^~
p ^~
W L : : : : : : W L exp(;iH^ eff t1) j (0)i :
Der Zustand j (t)i ist hierbei noch unnormiert. Nun kommt der entscheidende
Schritt der Ableitung, nach dem j (t)i fur die interessierende Zeitskala naherungsweise unabhangig von den einzelnen Photodetektionszeiten t1; : : : ; tm ist (siehe
Anhang A). Es kann also geschrieben werden:
p m
j (t)i ' exp(;iH^ eff t) W L^~ j (0)i :
(5.6)
Die Photonendetektionszahl m kann folgendermaen genahert werden:
r +
m = W hL~ L~ it + W hL^~ L^~ i
(5.7)
1
^ i hL^ + L^ i ! 2
^ i hL^ + L^ i ! p
2
h
X
2
h
X
2
= Wt 1 +
jj + 2 + W jj 1 + jj + 2 ^ i ! p
2
h
X
2
Wt 1 + jj + W jj :
^+ ^
Dieser Ausdruck kann nun in 5.6 eingesetzt werden. Die Beschrankung auf Terme
fuhrender Ordnung im Grenzfall jj ! 1; arg() = ; (t) ! d(t); t !
dt und ()2 ! dt liefert (siehe Anhang B):
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
52
^ ; W L^ + L^ dt
j (t + dt)i = f1 + i1h Hdt
2
^
+2pW hX i exp(;i)L^ dt
+ W exp(;i)L^d(t)g j (t)i
(5.8)
= f1 + i1h H^ ; ih W2 L^ + L^ dt
^
+[2
pW hX idt
+ Wd(t)] exp(;i)L^g j (t)i :
(5.9)
Hierbei bedeutet = ; t die Phase zwischen dem lokalen Oszillator und dem
Signalfeld. ist die Phasendierenz zum Zeitpunkt Null und bezeichnet die
Dierenzfrequenz zwischen den beiden
hier ist X^ die zugehorige
^ + Quellen. Auch
1
^
^
Quadraturkomponente mit X = 2 L exp(i) + L exp(;i) . Dies stellt nun die
gesuchte stochastische Dierentialgleichung dar, die das diusive Verhalten wiedergibt. Sie ist vom It^o-Typ, d.h. d(t) und L^ sind voneinander statistisch unabhangig.
Die Eigenschaften der statistischen Variablen d(t) sind:
M (d(t)) = 0 ;
(
dt = ds
M (d(t) d(s)) = dt0 :: t(t;=t s;+ dt
) [ (s; s + ds) = ; :
p
Die physikalische Begrundung fur die stochastische Variable Wd(t), die die Fluktuationen der Systemwellenfunktionperzeugt, liegt im Schrotrauschen des lokalen Oszillators. Die Groe 2W hX^ idt + W d(t) ist proportional zum Detektionsstrom
(ohne den Hintergrundstrom jj2 des lokalen Oszillators). Sie geht als Megroe direkt in die stochastische Dierentialgleichung ein, so da folgende enge Verbindung
sichtbar wird: Der Detektionsstrom ist komplett bestimmt durch die Entwicklung
des Systems und umgekehrt.
In Gl. 5.9 ist auch wieder der nicht-hermitesche eektive Hamiltonoperator zu erkennen, wie er uns schon beim Quanten-Sprung-Modell begegnet ist.
Die Homodyne-Detektion
Wir wollen unser Augenmerk nun speziell auf den Fall der Homodyne-Detektion
richten. Homodyne-Detektion heit, da der lokale Oszillator resonant zum Quantensystem ist (Detuning-Frequenz = 0).
(Da wir uns hier im Wechselwirkungsbild benden, ist die Zeitabhangigkeit exp(;i!t)
mit h ! = E2 ; E1 schon heraustransformiert.)
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
53
Das Problem bei der Homodyne-Detektion ist, da die Phasendierenz zwischen lokalem Oszillator und Signalfeld bekannt sein mu, um die Quantentrajektorie nachzuzeichnen.
Die Heterodyne-Detektion
Wenden wir uns nun der Heterodyne-Detektion zu. Hier sind lokale OszillatorFrequenz und System-Frequenz verstimmt. Wir mochten hierbei den Fall sehr groen
Detunings gegenuber der Systemdynamik betrachten, d.h. W . Dies erlaubt
uber eine Zeitskala zu integrieren, fur die gilt: t 1 und W t 1 :
tZ+t
ds j (s + ds)i
t
8 tZ+t
tZ+t
<
1
W
+
^
^
^
= :1 + ds ih H ; ih 2 L L + ds W hL^ + iL^
tZ+t
t
tZ+t
t
9
=
d(s) W exp(;i)L^; j (t)i
(5.10)
p
ds W hL^ exp(;2i)ia^ +
t"
( t = 1 + i1h H^ ; ih W2 L^ + L^ t + W thL^ +i
tZ+t
+ W hL^ i ds exp(;2i( ; s))
t
{z
}
|
W !0
# )
p tZ+t
d(s) exp(;i( ; s)) L^ j (t)i :
+ W
|t
{z
}
+
=:
(t)
Die ersten beiden Integrale von Gl. 5.10 konnen aufgrund von W t 1 sofort
ausgefuhrt werden. Im Grenzfall W geht das dritte Integral gegen Null. Das
vierte Integral deniert eine neue stochastische Variable mit Mittelwert Null. Wir
fuhren nun folgenden Grenzubergang durch:
W ! 0; t ! dt ;
(t) ! d
(t) = (t)dt
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
54
und erhalten somit:
d j (t)i = 1 H^ ; ih W L^ +L^ dt
ih
2
p
+
^
^
^
+W hL iL + W
(t)L j (t)i :
Dies stellt gerade die stochastische Dierentialgleichung des Quantenzustandsdiusionsmodells (QSD) dar, das in Kapitel 6 beschrieben wird. Wir haben somit der
dort empirisch aufgestellten stochastischen Dierentialgleichung eine physikalische
Bedeutung gegeben, die eine eindeutige und mit dem bisherigen kontinuierlichen
Memodell und Projektionspostulat konsistente Interpretation zulat.
Gleichzeitig bedeutet dies aber auch eine Einschrankung fur das QSD-Modell. Es
beschreibt eben nur die Dynamik eines Systems, das eine Heterodyne-Detektion
erfahrt.
Dies erklart auch, warum beim QSD-Modell keine zeitliche Zuordnung einzelner
Photodetektionen moglich ist. Megroe ist hier nicht die Photonenzahl des Systems, sondern der Photostrom, der die Quadraturkomponente des Photonenfeldes
wiedergibt. Es macht also keinen Sinn, nach Photoemissionszeitpunkten sowie nach
Photonenkorrelationsfunktionen zu fragen.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
55
5.4 Invarianz der Master-Gleichung
5.4.1 Transformationen
A. Orthonormale Dampfungsoperatoren
Wir wollen hier die Master-Gleichung in der in 1.7 und 1.8 beschriebenen Form fur
die hermiteschen Operatoren ^i () genauer untersuchen:
@ ^(t) = ; i [H;
^ ^] + L^(1)
^(2)
^
+
L
incoh
incoh ^ ;
@t
h
mit
2 ;1
nX
(1)
^
Lincoh ^ = Dij ^i ()^^j () ;
i;j =1
2 ;1
1 nX
L^(2)
incoh ^ = ; 2
i;j =1
(5.11)
h
i
Dij ^j ()^i ()^ + ^^j ()^i () :
(5.12)
Der Index bezieht sich hier auf den Knoten eines Quantennetzwerkes, das zunachst
mit Hilfe der SU(n)-Algebra beschrieben werden soll. Die hermiteschen Operatoren
^i() haben die Eigenschaften:
Trf^i ()g = 0 ;
Trf^i ()^j ()g = 2ij :
Die Dampfungsmatrix fDij g soll nun folgender Transformation unterworfen werden:
Dij =
X
l;m
u :
uilD~ lm
jm
(5.13)
Die Transformationsmatrix fuilg ist hierbei unitar: uil = uli. Auf die Lindbladoperatoren L^(1)^ und L^(2)^ hat das die Auswirkung:
X X ^
X^
;
L^(1)^ = D~ lm
i()uil ^
j ()ujm
l;m
L^(2)^ = ; 12
| i {z
=F^l ()
}
|j
{z
=F^m + ()
}
X ~ h X ^
X ^ ()u
Dlm
j ()ujm
i
il ^
j
i
l;m
| {z } | {z }
=F^m + ()
=F^l ()
+ ^
X^
X ^ ()u i :
j ()ujm
i
il
j
i
| {z } | {z }
=F^m + ()
=F^l ()
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
56
Die unitare Transformation von fDij g ubertragt sich auf eine Transfomation der
Dampfungsoperatoren in F^i() und liefert also lediglich eine neue interne Darstellung. Die Losung der Master-Gleichung bleibt davon unberuhrt. Die ursprungliche
und die Master-Gleichung mit den transformierten Lindblad-Operatoren haben die
gleiche Losung. Die neuen Dampfungsoperatoren F^i() sind jetzt nicht-hermitesch,
besitzen ansonsten aber nach wie vor die beiden Eigenschaften der Orthonormalitat:
X
^
TrfF^i()g = uil Tr
| f{zi()g} = 0 ;
i
TrfF^i()F^j +()g =
X
l;m
=0
^ ^
uliumj Tr
| fl({z)j ()g} = 2 ij :
=2 lm
Der inkoharente Teil der Master-Gleichung kann nun geschrieben werden als:
(2) ^ = X D~ F^ ^F^ + ; 1 X D~ hF^ + F^ ^ + ^F^ + F^ i :
^
L^incoh ^ = L^(1)
^
+
L
j i
ij i j
incoh
incoh
2 i;j ij j i
i;j
Sieht man die Dampfungsoperatoren als "Basis\ an, so stellt die unitare Transformation von fDij g gewissermaen einen "Basis\-Wechsel dar. Fur die Losung der
Master-Gleichung spielt es keine Rolle, welche Dampfungsoperatoren benutzt werden; sie ist unter dieser Transformation invariant. Wir konnen nun diese InvarianzEigenschaft ausnutzen, um fur fDij g eine moglichst "einfache\ Form zu wahlen.
Diese ist bei fDij g als hermitescher Matrix sicher die Diagonalmatrix, die durch
obige unitare Transformation erreicht werden kann ("Hauptachsentransformation\).
Wir wahlen die Transforamtion also so, da gilt: D~ ij = D~ ii ij
Des weiteren sind nunmehr die Groen D~ ii , da D~ ij positiv denit ist, als Raten
interpretierbar. Man erhalt so eine einfacher zu interpretierende Form der MasterGleichung:
_^(t) = ;i[H;
^ ^] + X Wi F^i^F^i+ ; 1 F^i+ F^i^ ; 1 ^F^i+F^i :
2
2
i
Erst jetzt ist eine "Entfaltung\ der Ensemble-Dichtematrix in Einzel-Trajektorien
moglich. Wie in Kapitel 5.1 ausgefuhrt, ist es fur eine stochastische Simulation und
ihre Interpretation notwendig, da getrennte Projektionen auftreten. Die einzelnen
Terme im inkoharenten Teil der Master-Gleichung durfen deshalb nicht verschiedene
Dampfungsoperatoren enthalten. Die oben durchgefuhrte Transformation auf Diagonalform ermoglicht nun also eine eektive Trennung der Projektionen, die sich in
ihrer Wirkung additiv verhalten.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
57
B. Nicht-orthonormale Dampfungsoperatoren
Ein anderer Zugang zu der Invarianzeigenschaft der Master-Gleichung wurde von
N. Gisin gegeben [63]. Er fat die Dampfungsraten mit in die Dampfungsoperatoren
hinein, wobei er von einer diagonalen "Basis\ startet (keine nicht-sakularen Terme).
Dadurch sind die Eigenschaften der Normierung und Orthogonalitat nicht mehr
erfullt.
q
L^ i = WiF^i ;
TrfL^ ig 6= 0 ;
TrfL^ iL^ j +g 6= 2 ij :
Die fL^ ig bilden quasi ein "schiefwinkliges Koordinatensystem\. Dadurch hat man
jedoch den Vorteil, da die Matrix D als Einheitsmatrix darstellbar ist:
Dij = ij :
Eine unitare Transformation der Dampfungsoperatoren erzeugt nun wieder die Einheitsmatrix:
~ = U+ D U = U+ E U = U+ U = E :
D
Nichtsakulare Terme treten also nie auf. Die Dampfungsoperatoren transformieren
sich in ublicher Weise:
X
L^~ l = L^ iuil :
i
Bei diesem Zugang ist jede Basis bezuglich Dij diagonal. Bei Quantensystemen mit
mehr als einem dissipativen Kanal besitzt die Master-Geichung eine Invarianzeigenschaft unter einer unitaren Transformation dieser Kanale.
5.4.2 Beispiele
A. Das Quantum-Beat-Szenario
Die Anwendung einer in 5.4.1.A. besprochenen Transformation soll am Beispiel der
Quantum-Beat-Technik erlautert werden. Sie stellt eine fur die Spektroskopie wichtige Methode dar, um enge Niveau-Aufspaltungen aufzulosen, die unter der inhomogenen Linienbreite (z.B. Dopplerverbreiterung) liegen.
Das typische Quantum-Beat-Szenario kann formal folgendermaen dargestellt werden:
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
58
3
2
?
1
Abb. 5.5 Zerfall eines koharenten U berlagerungszustandes
Die Niveaus 2 und 3 sollen relativ eng beieinander liegen und anfangs in einem
koharenten Zustand prapariert werden (erreichbar durch einen kurzen Anregungspuls der Dauer t, so da die Bandbreite 1t groer als E = h ist). Erfolgt
nun ein dissipativer Zerfall aus diesem koharenten Zustand in den Grundzustand,
so stellt man fest, da dem exponentiellen Zerfall Schwebungen uberlagert sind. Die
Schwebungsperiode hangt mit der Energieaufspaltung E zwischen Niveau j2i und
j3i zusammen ( = h = E ). Ursache dieser Quantenschwebungen ist die Interferenz
der zeitabhangigen Wellenfunktionen der beiden angeregten Niveaus. Diese Interferenz mu also innerhalb eines Atoms stattnden. Trotzdem sind die Schwebungen
im Ensemble sichtbar, wenn die koharente U berlagerung der Wellenfunktionen bei
allen Subsystemen in der gleichen Phasenlage erfolgt.
Das Quantum-Beat-Experiment kann in Analogie zum Youngschen Doppelspaltversuch gesehen werden. In letzterem treten Interferenzen auf, wenn dem Photon zwei
ununterscheidbare Wege zur Verfugung stehen. Fur das Quantum-Beat-Experiment
heit das: das emittierte Photon kann uber zwei mogliche Kanale dissipieren. Diese
Ununterscheidbarkeit fuhrt zu Interferenzen bzw. zum Quantum-Beat-Signal, das
verschwindet, wenn zum Anfangszeitpunkt nur eines der beiden Niveaus angeregt
ist. Dann ware der dissipative Kanal eindeutig festgelegt.
Das Quantum-Beat-Experiment "funktioniert\, analog zum Doppeltspaltversuch
auch dann noch, wenn im Mittel immer nur ein Atom bzw. Photon anwesend
ist. Das Interferenzmuster erhalt man nun als Ergebnis einer Mittelung uber sehr
viele solcher Einzel-Experimente. Fur das einzelne Atom hat es die Bedeutung einer
Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeit, zu einem bestimmten Zeitpunkt nach
seiner Anregung ein Photon zu emittieren.
Die Berucksichtigung der Interferenzen zwischen den beiden Zerfallskanalen im Formalismus der Master-Gleichung erfolgt uber sogenannte nicht-sakulare Terme bezuglich der Niveaus 2 und 3. Diese werden durch Nicht-Diagonal-Terme der Matrix
fDij g dargestellt, welche das U berlappen der beiden Relaxationskanale beschreiben
[64].
Fur obiges Drei-Niveau-Szenario mit den Dampfungsoperatoren F^1 = P^12 und F^2 =
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
59
P^13 sieht die Matrix fDij g folgendermaen aus:
!
W
K
12
D =
K W13 :
Hierbei sind W12 und W13 reell und positiv. Die nicht-sakularen Terme K (bzw. K )
beschreiben die nicht-diagonale Kopplung zwischen den beiden Kanalen, was zur
Interferenz fuhrt. Die Master-Gleichung enthalt also Terme der Form: K F^1^F^2+ ,
K F^2+F^1^, K F^2^F^1+, usw., was eine "Entfaltung\ in Einzel-Trajektorien in der
in Kapitel 5.1 beschriebenen Art nicht erlaubt. Obige Transformation von D auf
Diagonalform lat solche gemischten Terme verschwinden, fuhrt neue Dampfungsoperatoren ein und ermoglicht jetzt die stochastische Simulation.
Diagonalisierung von D
Die Eigenwertgleichung TrfD ; 1^g = 0 liefert:
(W12 ; )(W13 ; ) ; jK j2 = 0 :
und schlielich:
s
1
1=2 = 2 (W12 + W13) [ 12 (W12 ; W13)]2 + jK j2 :
Im folgenden sollen die beiden Dampfungskanale aufgrund ihrer Ununterscheidbarkeit auch identische Dampfungsraten W12 = W13 = W haben.
! 1=2 = W jK j :
Die Berechnung der zugehorigen Eigenvektoren ~u1 ; ~u2 ergibt:
!
K
~u1 = jK j ;
!
~u2 = ;jKKj :
Fur die unitare Transformationsmatrix U folgt somit:
!
i ;ei !
1
1
K
;
K
e
U=p
=p
;
2jK j jK j jK j
2 1 1
~ und transformierte Dampmit K = r ei ; r; reell. Transformierte Matrix D
fungsoperatoren berechnen sich zu:
!
W
+
j
K
j
0
~
D=
0
W ; jK j ;
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
60
F^~ 1 = p 1 K F^1 + jK jF^2 = p1 eiF^1 + F^2 ;
2jK j
2
F^~ 2 = p 1 ;K F^1 + jK jF^2 = p1 ;eiF^1 + F^2 :
2jK j
2
Es gibt also nun zwei voneinander getrennte Dampfungskanale, charakterisiert durch
F^~ 1 und F^~ 2 mit den beiden Dampfungsraten W + r und W ; r. F^~ 1 und F^~ 2 setzen sich
als Linearkombination der beiden ursprunglichen Dampfungsoperatoren F^1 = P^12
und F^2 = P^13 zusammen.
Mochte man die Konstanten W12, W13, K fur ein konkretes Szenario berechnen,
so bietet sich als System beispielsweise das Wasserstoatom an, das sich in einem
konstantem elektrischen Feld bendet.
Die Zustande jn; l; mi = j2; 1; 0i und j2; 0; 0i spalten infolge des linearen StarkEekts auf und bilden die beiden eng benachbarten Niveaus. Der Grundzustand
ist durch den j1; 0; 0i-Zustand gegeben. Wie in [64] gezeigt, sind hier alle drei
Konstanten aufgrund von Symmetrieuberlegungen gleich gro.
W = W12 = W13 = K :
In der stochastischen Simulation liegt nun eektiv nur noch ein Dampfungskanal
vor:
W~ 1 = W + K = 2 W ;
W~ 2 = W ; K = 0 :
Die durch die Transformation ermoglichte stochastische Simulation ist in Abbildung
5.6 wiedergegeben. Man erhalt so die Simulation des Zerfalls von angeregten Einzelsystemen, der einer oszillierenden Zerfallswahrscheinlichkeit gehorcht. Man beachte hierbei, da die Raten konstant sind, aber die Projektionswahrscheinlichkeit
in Abhangigkeit vom momentanen Zustand schwankt. Diese Schwebungen werden
jedoch erst sichtbar, wenn uber viele Simulationen gemittelt wird.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
61
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
a)
-1.0
0
6
12
18
24
30
0
6
12
18
24
30
0
6
12
18
24
30
0
6
12
18
24
30
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
b)
-1.0
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
c)
-1.0
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
d)
-1.0
Zeit
Abb. 5.6 Simulation des Quantum Beat-Szenarios. Aufgetragen ist die Inversion der
Niveaus j2i und j3i uber dem Niveau j1i bei einer Dampfung von W = 0:1. a) zeigt eine
Einzeltrajektorie, wahrend in den folgenden Abbildungen uber b) 10, c) 100, und d) 1000
Einzellaufe gemittelt wurde.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
62
Nun soll das umgekehrte Szenario untersucht werden, d.h. der Zerfall ndet von
einem angeregten Niveau in zwei eng beieinanderliegende Niveaus statt:
3
2
1
?
Abb. 5.7 Zerfall in zwei eng beieinanderliegende Niveaus
Vom Verstandnis der Quantum-Beats her sollten hier keine Schwebungen auftreten,
da keine Ununterscheidbarkeit der beiden Relaxationskanale gegeben ist: Nach dem
Zerfall bendet sich das System in einer U berlagerung der beiden unteren Zustande.
Aus diesem Endzustand kann nun uber eine Messung entschieden werden, uber
welchen Dampfungskanal der Zerfall stattgefunden hat. Koharenzen, verantwortlich
fur die Schwebungen, konnen sich nicht ausbilden. In U bereinstimmung mit diesen
U berlegungen sind auch bei einer Mittelung uber viele Einzel-Simulationen keine
Quantum-Beats beobachtbar (Abb. 5.8).
Die stochastische Interpretation der Trajektorien ist also konsistent und ermoglicht
Einblicke in die Dynamik einzelner Systeme.
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
0
6
12
18
24
30
Zeit
Abb. 5.8 Zerfall eines angeregten Zustandes in zwei eng beieinanderliegende Niveaus mit
einer Dampfungsrate von W = 0:1. Aufgetragen ist die Inversion des Niveaus j3i uber
den Niveaus j1i und j2i, bei einer Mittelung uber 1000 Einzellaufe.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
63
B. Das Drei-Niveau-System
Als nichttriviales Minimalmodell fur eine Transformation aus Kap. 5.4.1.B. soll ein
Drei-Niveau-System als Kaskade betrachtet werden. Die beiden Dampfungskanale
werden durch die U bergangsoperatoren P^12 und P^23 beschrieben und unterscheiden
sich hinsichtlich ihrer Frequenz.
3
6
L^ 2
? 2
2
6
1
L^ 1
? ? ?
1
Abb. 5.9 Niveauschema der Drei-Niveau-Kaskade
Die Master-Gleichung fur dieses Szenario soll in folgender Form geschrieben werden:
^ ^] + X (L^ i^L^ +i ; 1 L^ +i L^ i^ ; 1 ^L^ +i L^ i) ;
^_ (t) = ;i[H;
2
2
i=1;2
p
mit L^ 1 = pW1 P^12 ;
L^ 2 = W2 P^23 :
Als Beispiel fur eine oben erwahnte Transformation seien hier folgende neue Dampfungsoperatoren L^~ 1 und L^~ 2 eingefuhrt:
L^~ 1 = p1 (L^ 1 + iL^ 2) ;
2
L^~ 2 = p1 (iL^ 1 + L^ 2) :
2
Wie man leicht zeigen kann, ist die Master-Gleichung unter dieser Transformation
invariant. Mochte man nun fur dieses Szenario Einzel-Trajektorien simulieren, so
kann dies zum einen mit L^ 1 und L^ 2 und zum anderen mit L^~ 1 und L^~ 2 geschehen.
Dies ergibt, wie die folgenden Abbildungen zeigen, qualitativ unterschiedliche Ein-
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
64
Inversion zwischen 2 und 1
1.0
a)
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
Inversion zwischen 3 und 1
1.0
b)
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
Inversion zwischen 3 und 2
1.0
c)
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
Zeit
Abb. 5.10 Einzelsimulation fur die Drei-Niveau-Kaskade ohne Transformation der
Ubergangsoperatoren. Aufgetragen sind die Inversionen zwischen den einzelnen Niveaus.
Die Parameterwerte betragen: 1 = 2, 2 = 1:5 ,W1 = W2 = 3. Die Projektionen fuhren
hier immer auf eines der zwei unteren Niveaus.
zeldynamiken.
Die Simulation mit L^ 1 und L^ 2 scheint nach den bisherigen Erfahrungen "plausibel\
zu sein, wahrend diejenige mit L^~ 1 und L^~ 2 das Problem aufweist, da in Zustande
gesprungen wird, die davon abhangen, in welchem Zustand das System vor dem
Sprung war. Sowohl Sprunghohe, als auch der projizierte Zustand sehen also bei
jedem Sprung anders aus, sie werden zeitabhangig. Die Frage ist nun, ob dies phy-
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
65
Inversion zwischen 2 und 1
1.0
a)
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
Inversion zwischen 3 und 1
1.0
b)
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
Inversion zwischen 3 und 2
1.0
c)
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
Zeit
Abb. 5.11 Einzelsimulation fur die Drei-Niveau-Kaskade mit Transformation der
Ubergangsoperatoren. Aufgetragen sind die Inversionen zwischen den einzelnen Niveaus.
Parameterwerte siehe Abb. 5.10.
sikalisch Sinn ergibt, oder ob unser quantenmechanisches Modell in dieser Form der
Anwendung uberstrapaziert ist.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
66
Interpretation nicht-orthonormaler Dampfungsoperatoren
In diesem Kapitel soll der Transformation P~^ i = Pj uij P^j + i, wie sie im Kapitel
5.4.2.B. durchgefuhrt wurde, eine physikalische Bedeutung im Sinne der Metheorie gegeben werden. Die Heterodyne-Detektion und das Quantum-Beat-Szenario
stellen Falle dar, in denen eine direkte Bedeutung unmittelbar klar ist. Die Erweiterung soll dabei fur die Transformation nach dem Zugang von N. Gisin erfolgen, da
nur fur sie in jedem Falle eine stochastische Simulation prinzipiell moglich ist. Das
bedeutet, die Matrix D ist die Einheitsmatrix und die Dampfungsoperatoren sind
nicht orthonormal. Es soll nun die Frage genauer untersucht werden, wie solch eine
Transformation interpretiert werden kann. Zunachst wollen wir dazu einen Teil des
Meprozesses quantentheoretisch simulieren [51]. Dies erfolgt in der Weise, da jeder
dissipative Kanal in ein Zwei-Niveau-System verlagert wird, das an den eigentlichen
U bergang durch die koharente Forsterwechselwirkung angekoppelt ist. Im Falle des
gedampften Zwei-Niveau-Systems kann dies formal folgendermaen dargestellt werden:
(1)
(2)
2
W
2
CF
?
Abb. 5.12
1
1
Ankopplung eines Detektorsystems an ein Zwei-Niveau-System.
Die Wechselwirkung ist gegeben durch:
V^CF = h CF fP^21 P^12 + P^12 P^21g :
Das angekoppelte Zwei-Niveau-System kann aufgefat werden als die zwei untersten Zustande der Photonenmode, in die das System Photonen emittiert. Erst diese
Photonenmode erfahrt durch die Detektion eine dissipative Wechselwirkung mit der
Umgebung. Diese Mode sei nun so stark gedampft, da nie mehr als ein Photon
in ihr enthalten sein kann. Dies rechtfertigt zum einen die Beschrankung auf die
Zustande mit den Besetzungszahlen 0 und 1, und zum anderen erlaubt es, nicht
naher auf die Modenbezeichnung einzugehen. Das emittierte Photon wird zwar in
einer anderen Mode sein als das vorhergehende, da dieses jedoch nicht mehr vorhanden ist, mussen die Moden nicht genauer speziziert werden.
Fur den Fall W CF bedeutet die Ankopplung
des Systems 1 eine eektive Damp(4
CF CF )
eff
fung des Systems 2 von: WS W [65]. Somit ist es moglich, die Dissipation
aus dem System herauszuziehen und wenigstens zum Teil durch eine quantenmechanische Wechselwirkung zu beschreiben. Die Projektion, als Bindeglied zur "klassi-
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
67
schen Welt\, ndet nun nicht im System selbst statt, wirkt sich jedoch wohl auch
auf dieses aus. Diese Betrachtungsweise kann auch auf
p die Drei-Niveau-Kaskade
p
erweitert werden. Die beiden Dampfungskanale L^ 1 = W1P^12 und L^ 2 = W2P^23
werden jeweils in ein angekoppeltes Zwei-Niveau-System "verschoben\:
(1)
(3)
(2)
6
CF2
2
2
W1
6
CF1
?
1
2
3
2
W2
?
1
1
? ?
1
Abb. 5.13 Selektive Ankopplung zweier Detektorsysteme an eine Drei-Niveau-Kaskade.
Die Wechselwirkungsoperatoren lauten:
V^CF1 = h CF1 fP^21 P^23 1 + P^12 P^32 1g ;
V^CF2 = h CF2 f1 P^21 P^12 + 1 P^12 P^21g :
Die eektiven Dampfungsraten des mittleren Systems sind gegeben durch:
F1 CF1 ;
W1eff = 4CW
1
F2 CF2 :
W2eff = 4CW
2
Bedingung fur diese U bereinstimmung ist: Wi CFi i = 1; 2. Eine Erweiterung
dieser metheoretischen Betrachtung besteht darin, da jedes Zwei-Niveau-System
an beide U bergange gekoppelt ist.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
(1)
68
(2)
(3)
6
2
W1
?
1
2
C~F1
C~F2
3
6
2
C~F4
1
? ?
C~F3
2
W2
?
1
1
Abb. 5.14 Drei-Niveau-Kaskade, bei dem die Detektorsysteme an beide U bergange ge-
koppelt sind
Die Wechselwirkungs-Anteile des Hamilton-Operators setzen sich folgendermaen
zusammen:
V^~ CF1 = h C~F1 fP^21 P^23 1 + P^12 P^32 1g
+hC~F2 fP^21 P^12 1 + P^12 P^21 1g ;
V^~ CF2 = h C~F3 f1 P^23 P^21 + 1 P^32 P^12g
+hC~F4 f1 P^21 P^12 + 1 P^12 P^21 1g :
Die Frage ist nun: Konnen die Parameter C~F1 ; : : :; C~F4 so gewahlt werden, da dieses
Szenario in Analogie zur Transformation der Dampfungsoperatoren gesehen werden
kann (Kap. 5.4.2.B.)?
Als unitare Matrix soll hier U mit
!
p 2 i
;
1
;
r
e
r
p 2 ;i
U=
r
1;r e
betrachtet werden. U ber die Transformationsgleichung
X
L^~ i = Uij L^ j i; j = 1; 2
j
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
69
konnen die transformierten Dampfungsoperatoren geschrieben werden als:
^L~ 1 = ;p1 ; r2ei qW1P^12 + rqW2P^23 ;
q
q
p
L^~ 2 = r W1P^12 + 1 ; r2e;i W2P^23 :
Die Struktur des obigen Szenarios legt es nahe, die Parameter C~F1 ; : : :; C~F4 in folgender Weise einzuschranken:
C~F1 = rCF2 ;
p
C~F2 = ; 1 ; r2ei CF1 ;
p
C~F3 = 1 ; r2 e;i CF2 ;
C~F4 = rCF1 :
Auerdem sollen die Dampfungsraten der beiden Zwei-Niveau-Systeme gleich sein:
W1 = W2 = W . Bei Erfullung der Bedingungen W C~Fi ; (i = 1; : : : ; 4); folgen fur
das mittlere System die eektiven Dampfungsraten:
~ ~
~ ~
W1eff = 4CFW1 CF1 + 4CFW3 CF3 = 4CFW1 CF1 ;
4C~F2 C~F2 4C~F4 C~F4 4CF2 CF2
eff
W2 = W + W = W :
In diesem Sinne ist also eine metheoretische Interpretation transformierter Dampfungsoperatoren moglich. Die eektiven Dampfungen sind unabhangig von der konkreten Transformationsmatrix. Dies spiegelt die Invarianz der Master-Gleichung
unter dieser Transformation
wieder. p
Der zuerst beschriebene Fall mit den selektiven
p
^
Dampfungsoperatoren W1P12 und W2P^23 ist als Spezialfall fur r = 1 enthalten.
5.4.3 Diskussion
Der entscheidende Unterschied zwischen der Transformation von orthonormalen (A.)
und nicht-orthonormalen (B.) Dampfungsoperatoren besteht in ihrer physikalischen
Interpretation. Die Transformation A. wird angewendet, wenn Interferenzen innerhalb des Systems auftreten und ermoglicht die Vermeidung nicht-sakularer Terme
(z.B. bei Quantum Beats). Die Transformation B. eignet sich dazu, verschiedene
Ankopplungen an die Umgebung durch U berlagerung von Dampfungskanalen zu
beschreiben.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
70
5.5 "Third-Party\-Simulationen
~^
Im letzten Kapitel wurde fur die Transformation der Dampfungsoperatoren P i =
P
u P^ ein metheoretisches Modell gegeben. Nun wollen wir dies auch fur die
j ij j
c-Zahl-Addition P^~ i = P^i + i ; i komplex, tun. Wie in Kapitel 5.3 gezeigt, ist
die Losung der Master-Gleichung auch unter dieser Transformation invariant, falls
der Hamilton-Operator in der beschriebenen Weise mittransformiert wird. Enthalt
der Dampfungsoperator eine additive c-Zahl, so bezeichnen wir dies, wie in Kapitel
5.3.2 ausgefuhrt, als "Third-Party\-Ankopplung. In diesem Kapitel wollen wir die
durch ein Quanten-Netzwerk simulieren. Wir wahlen
"Third-Party\-Ankopplung
auch
hier die teilweise quantentheoretische Beschreibung des Meprozesses, wie es
im vorherigen Kapitel schon erfolgte.
5.5.1 Das stark getriebene Zwei-Niveau-System
Zunachst wollen wir das gedampfte Zwei-Niveau-System betrachten. Der Dampfungskanal soll nun durch ein weiteres Zwei-Niveau-System dargestellt werden, das
zum einen an das eigentliche Zwei-Niveau-System angekoppelt ist und zum anderen
auch in Wechselwirkung mit einem dritten System steht. Dieses dritte System soll
den Einu der komplexen, additiven Konstanten im Dampfungsoperator wiedergeben. Die Art der Wechselwirkung zwischen den Systemen sei auch hier durchweg
die koharente Forster-Wechselwirkung:
V^CF1 = h CF1 fP^21 P^12 1^ + P^12 P^21 1^ g ;
V^CF2 = h CF2 f1^ P^12 P^21 + 1^ P^21 P^12g :
Folgende Abbildung soll das Szenario schematisch wiedergeben:
(1)
6
(2)
2
1
CF1
?
1
(3)
2
W
CF2
?
1
6
2
?
1
3
Abb. 5.15 Third-Party-Simulation mit einem stark getriebenen Zwei-Niveau-System
(
3 1 ).
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
71
Die zugrundeliegende Idee ist folgende: Das System (3) sei sehr stark getrieben,
so da das System (2) vorwiegend von ihm den Energieubertrag erfahrt. Das System (1) soll dazu nur in relativ geringem Mae beitragen. Sprunge in System (2)
wirken sich so in System (3) auf Sprunge aus, die "fast\ in den Grundzustand gehen, wahrend in System (1) nur sehr kleine Sprunge auftreten. Dies wurde das
diusionsartige Verhalten der Dynamik erklaren, wie sie sich bei der Simulation mit
Dampfungsoperatoren mit additiver c-Zahl ergeben (siehe Kap. 5.3). Da aufgrund
gegebener Strukur die Energie der detektierten Photonen zum groten Teil aus System (3) stammt, bendet sich dieses nach dem Sprung "beinahe\ im Grundzustand.
Direkt nach dem Sprung kann das System (3) keine Energie fur ein weiteres Photon
liefern. Auf dieser Zeitskala hat es eine bestimmte "Totzeit\. Fur die Dynamik
des Systems (1) ist diese Zeitskala jedoch irrelevant, so da auf deren Zeitskala der
Wiederanstieg durch das starke Treiberfeld in System (3) "instantan\ erfolgt.
Als Erweiterung ware es prinzipiell auch vorstellbar, da die additive c-Zahl zeitabhangig ist ((t)). Diese autonome Zeitabhangigkeit wurde der Systemdynamik
der Einzeltrajektorie eine weitere Zeitabhangigkeit aufpragen.
Beim genauen Betrachten der Diagramme 5.16 fallt auf, da im System (1) nicht nur
Sprunge nach unten, sondern auch nach oben auftreten, obwohl dieses System direkt
nur gedampft zu werden scheint. Zur Erklarung der Sprunge nach oben mu berucksichtigt werden, da im vorliegenden quantenmechanischen Drei-Teilchen-System
nichtlokale Eigenschaften (Entanglement) auftreten konnen. Im Formalismus der
SU(n)-Algebra kann die Auswirkung des Sprungs in System (2) auf das System (1)
folgendermaen geschrieben werden [7]:
03 (1) = 3(1) ; 2p1 M33(1; 2) ;
(5.14)
m
Mij0 (1; 2) = 0 :
i() bezeichnet den Koharenzvektor des Knotens .
Mij (; ) bezeichnet den Tensor des Entanglements zwischen Knoten und .
pm ist die Kollapswahrscheinlichkeit im Detektorsystem.
Das Entanglement zwischen System (1) und System (2) geht also direkt in den
projizierten Zustand des "Systems\ ein. Die Dynamik von M33(1; 2) wiederum hangt
ab von:
dem Ein-Teilchen-Hamilton-Modell und dem Ein-Teilchen-Zustandvektor des
Systems (1) bzw. (2),
der Zwei-Teilchen-Kopplung und dem Korrelationstensor zwischen dem System (1) und (2),
der Zwei-Teilchen-Kopplung zwischen System (2) und (3) und dem Drei-KnotenKorrelationstensor, der die Verschrankung zwischen allen drei Systemen enthalt.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
72
Inversion im System 1
1.0
a)
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
1.2
M33(1,2) in 10
-3
0.6
b)
0.0
-0.6
-1.2
Inversion im System 1
1.0
c)
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
226.0
226.6
227.2
226.6
227.2
227.8
228.4
229.0
227.8
228.4
229.0
1.2
M33(1,2) in 10
-3
0.6
d)
0.0
-0.6
-1.2
226.0
Zeit
Abb. 5.16 Niveauschema SU(2) SU(2) SU(2). Das linke System ist im angeregten
Zustand prapriert (
1 = 0), das mittlere System ist sehr stark gedampft (W =1000) und
das rechte System wird stark getrieben (
3=10). Die Parameter der Forsterwechselwirkung betragen CF1 =5 und CF2 =20. Um die verschiedenen Zeitskalen zu verdeutlichen, ist
in den Bildern c) und d) lediglich ein Ausschnitt von a) und b) gezeigt. Die Abbildungen lassen den Einu der nichtlokalen Korrelation M33 (1; 2) auf das Sprungverhalen in
System (1) und damit deren Stochastizitat erkennen.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
73
Fur uns wichtig ist vor allem der letzte Punkt, da nur dieser das dritte System
enthalt. Dieser Teil der Bewegungsgleichung lautet [7]:
!
d M (1; 2) = : : : + 1 X f (2); (2; 3) K (1; 2; 3) ;
(5.15)
3km
dt 33
4 l 3lk lm
;lm (2; 3) = h1 TrfH^ [^l(2) ^m (3)]g :
Der Term ;lm (2; 3) enthalt im wesentlichen die Forsterwechselwirkung zwischen System (2) und (3). Hier geht also CF2 als Parameter ein.
Fazit: U ber die Drei-Knoten-Korrelation K (1; 2; 3) ubertragt sich die Oszillation
des Systems (3) auf die Korrelation zwischen System (1) und (2). Daraus folgt, da
M33(1; 2) sehr schnell mit der Frequenz 2 3 oszilliert (
3 ist die Treiberstarke des
dritten Systems), wobei die Oszillationsamplitude von CF2 abhangt.
Je nach Vorzeichen von M33(1; 2) zum Zeitpunkt des Sprungs ndet der Sprung nach
oben\ oder nach "unten\ statt, wobei die Sprunghohe vom Betrag von M33(1; 2)
"abh
angt. Die auf der Zeitskala des Systems sehr hohe Oszillationsfrequenz von
M33(1; 2) erzeugt so das beobachtete stochastische Verhalten.
Vom informationstheoretischen Standpunkt aus kann das Szenario folgendermaen
interpretiert werden: Ein Detektorklick weist darauf hin, da zu diesem Zeitpunkt
ein Photon emittiert wurde. Aufgrund der starken Asymmetrie zwischen System (1)
und (3), kam es mit groer Wahrscheinlichkeit aus System (3) und mit nur geringer
Wahrscheinlichkeit aus System (1). Wie wir schon in Kapitel 5.4 gesehen haben,
fuhrt der Informationsgewinn aus obigem folgernd im System (1) zu einem "kleinen\
Sprung, wahrend das System (3) "beinahe\ in den Grundzustand projiziert wird.
Durch Ausbildung nichtlokaler Eigenschaften ist es sogar moglich, da das System
(1) durch den Sprung eine kleine Anregung erfahrt. Die Wahrscheinlichkeit, da es
im oberen Zustand ist, steigt, so da in kleinem Mae sogar ein Energietransfer von
System (3) uber das Detektorsystem zum System (1) stattndet.
5.5.2 Der harmonische Oszillator im koharenten
Anfangs-Zustand
Die Ankopplung eines stark getriebenen Zwei-Niveau-Systems im letzten Kapitel
erklart zwar gut das qualitative Verhalten einer Trajektorie, die mit einer c-ZahlAddition erzeugt wurde, bringt aber gleichzeitig das Problem mit sich, da damit
eine neue Zeitskala eingefuhrt wird. In diesem Abschnitt wollen wir versuchen,
dies zu vermeiden, indem wir statt eines Zwei-Niveau-Systems einen harmonischen
Oszillator im koharenten Anfangs-Zustand an das Detektorsystem ankoppeln. Bei
einer genugend hohen Anfangsanregung konnen wir so auf einen Treiber verzichten.
Zunachst wollen wir uns den Eigenschaften eines koharenten Zustandes zuwenden.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
74
Der koharente Zustand
Der koharente (oder auch Glauber-) Zustand ji ist ein spezieller Zustand des harmonischen Oszillators. Er ist deniert als der Eigenzustand zum Vernichtungsoperator a^ [5]:
a^ ji = ji ; komplex.
(5.16)
ji kann nach den Eigenfunktionen jni des Hamiltonoperators entwickelt werden:
ji =
1
X
n=0
hnji jni
D
mit
E
hnji = p1 a^+n 0 = p1 h0ja^ni = p h0ji :
n
n!
n!
n!
Die Konstante C = h0ji kann uber die Normierung von ji bestimmt werden.
Dabei nutzen wir die Orthonormalitatseigenschaft der jni aus:
1 n
1 (a^+ )n
X
X
p
j0i ;
ji = C
jni = C
n=0 n!
n=0 n!
1 jj2n
X
2
2 ejj2 ;
1 = hji = C
=
C
n=0 n!
! C = e;jj2=2 ;
so da schlielich geschrieben werden kann:
1 n
2=2 X
;j
j
p jni :
ji = e
n=0 n!
Der harmonische Oszillator kann zur Beschreibung einer elektromagnetischen Mode
verwendet werden. Im Glauber-Zustand ist die Zahl der Photonen jedoch im Gegensatz zum Fock-Zustand unbestimmt. Dies erlaubt dem Glauber-Zustand wiederum,
eine praziser denierte Phase als der Fock-Zustand zu haben, bei dem die Phase
vollig unbestimmt ist. Das Produkt aus den Unscharfen in Amplitude und Phase
nimmt beim Glauber-Zustand den minimal moglichen Wert an, den die Heisenbergsche Unscharferelation erlaubt. In diesem Sinne ist er der quantenmechanische Zustand, der einer klassischen Feldbeschreibung am nachsten kommt. Erwartungswerte
des Glauberzustandes zeigen analog zur klassischen Schwingung ebenfalls ein oszillatorisches Verhalten mit derselben Frequenz. Die Wahrscheinlichkeit, im GlauberZustand n Photonen zu nden betragt:
2n
w(n) = j hjnij2 = jnj! e;jj2
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
75
und genugt einer Poisson-Verteilung. Die mittlere Photonenzahl betragt damit:
n = hni = hj n^ ji = hj a^+a^ ji = hji = jj2 :
Fur groe hat die Wahrscheinlichkeitverteilung ein scharfes Maximum bei n0 =
jj2. Die Varianz, auabar als Schwankung der Teilchenzahl, betragt
(n)2 = n2 ; n2 = hj n^2 ji ; (hj n^ ji)2 = jj2 ;
so da die relative Schwankung im Grenzfall n ! 1 verschwindet (klassischer Limes):
n = p1 ;! 0 :
n
n n!1
Das Szenario
Die Ankopplung des harmonischen Oszillators an das Detektorsystem soll auch mittels der koharenten Forster-Wechselwirkung
V^CF1 = h CF1 fP^21 P^12 1^ + P^12 P^21 1^ g ;
V^CF2 = h CF2 f1^ P^12 a^+ + 1^ P^21 a^g
geschehen. Hierbei ist a^ bzw. ^a+ der Vernichtungs- bzw. Erzeugungsoperator des
harmonischen Oszillators. Das nun betrachtete Szenario kann formal folgendermaen dargestellt werden:
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
76
(3)
...
12
11
10
9
(1)
6
(2)
2
CF1
?
1
8
2
W
7
CF2
?
1
6
5
4
3
2
1
0
Abb. 5.17 Third-Party-Simulation mit einem Oszillator im koharenten Anfangs-Zustand
Bei einer numerischen Simulation kann naturlich nur eine endliche Anzahl von Niveaus des harmonischen Oszillators berucksichtigt werden. In unserer Rechnung hat
der "harmonische Oszillator\ 1000 Niveaus.
Abb. 5.18 zeigt, wie der harmonische Oszillator in System (1) zu einer Stochastizitat
mit diusivem Verhalten fuhrt. Das System (2) emittiert in dieser Simulation genau
176 Photonen. Dies entspricht auch in etwa der Dierenz der beiden Maximumstellen in Abb. 5.19 fur t = 0 und t = 16. In der Simulation von Abb. 5.20 a) hort die
Stochastik nach etwa 2.45 Zeiteinheiten auf. Bis zu dieser Zeit kam es zur Detektion
von 566 Sprungen, so da der harmonische Oszillator seine gesamte Anregungsenergie uber die Forster-Wechselwirkung abgegeben hat; er geht "aus\. Man sieht dies
auch in Abb. 5.20 c), in der die Besetzungsverteilung fur den Zustand nach der Simulation auf den Grundzustand j0i zusammenschrumpft. Die kleinere Amplitude
mit der die Rabi-Oszillationen im nachfolgenden Bereich ausgefuhrt werden, weisen
darauf hin, da die Lange des Blochvektors kurzer geworden ist und das System (1)
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
77
Inversion in System 1
1.0
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
0
2
4
6
8
Zeit
10
12
14
16
Abb. 5.18 Third-Party-Simulation mit einem harmonischen Oszillator im koharenten
Anfangs-Zustand mit = 25. Die Parameterwerte betragen: = 1, W = 20, CF1 = 1,
CF2 = 20.
nicht-lokal verschrankt ist. Ein ahnliches Verhalten liegt in Abb. 5.20 b) vor. Das
System (1) weist hier ein starkeres Ma an Stochastik auf, was auf einen groeren
Einu des harmonischen Oszillators hinweist. Dieser geht ebenfalls "aus\, jedoch
erst nach ungefahr 14.4 Zeiteinheiten.
Insgesmt lat sich mit diesem Szenario das qualtitative Verhalten erzeugen, das
bei einer c-Zahl-Addition zustande kommt. Wir erhalten somit eine physikalische
Erklarung fur die dabei beobachtete Dynamik und bekommen weitere Einblicke in
den Ablauf der Quantentrajektorien.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
78
0.4
Besetzung
0.3
t=16
0.2
0.1
0.0
350
450
550
650
750
550
650
750
550
650
Oszillator-Niveau
750
0.20
Besetzung
0.15
t=3
0.10
0.05
0.00
350
450
Besetzung
0.018
0.012
t=0
0.006
0.000
350
450
Abb. 5.19 Besetzung der Oszillator-Niveaus fur die Einzel-Simulation aus Abb. 5.18 im
Laufe der Zeit. Fur t = 0 liegt ein Glauber-Zustand mit einem Maximum bei Niveau 625
vor. Die Abbildung zeigt, wie sich der Oszillator-Zustand im Laufe der Zeit auf immer
weniger Niveaus zusammenschnurt, die Verteilung also immer schmaler und hoher wird.
Der Glauber-Zustand entwickelt sich zum Fock-Zustand. Auerdem verschiebt sich das
Maximum aufgrund des Energietransfers nach kleineren Niveaus. Die kleinen Bilder zeigen
die Situation fur drei herausgegriene Zeitpunkte.
Kapitel 5. Das kontinuierliche Memodell
79
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
a)
-1.0
0
2
4
6
8
10
Zeit
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
b)
-1.0
0
2
4
6
8
Zeit
10
12
14
16
0.016
Besetzung
t=16
t=0
0.012
0.008
0.004
c)
0.000
0
200
400
Oszillator-Niveau
Abb. 5.20 Die Parameterwerte fur die Abb.
600
800
a) betragen: = 1, W = 100, CF1 = 5,
CF2 = 10, die fur die Abb. b): = 1, W = 500, CF1 = 10, CF2 = 100. Der harmonische Oszillator bendet sich anfangs in beiden Fallen in einem Glauberzustand mit
= 25 und geht wahrend der Simulationszeit "aus\. Abb. c) zeigt die Besetzung der
Oszillator-Niveaus vor (t = 0) und nach (t = 16) der Simualtionszeit.
Kapitel 6
Das Quanten-ZustandsDiusionsmodell
Auch das Quanten-Zustands-Diusionsmodell (Quantum state diusion, QSD)
mochte die Dynamik einzelner Quantensysteme beschreiben, die mit ihrer Umgebung wechselwirken. Gisin und Percival, auf die das QSD zuruckgeht [66][67][68][69],
wollten dabei bewut auf den Quantensprung als dynamischen Proze verzichten.
Stattdessen legten sie eine stochastische Dierentialgleichung zugrunde, die kontinuierliches diusives Verhalten fur die Wellenfunktion hervorbringt. Das QSD basiert
auf der Idee der Brownschen Bewegung, in der die Fluktuationen auf mikroskopische Stoprozesse zuruckgefuhrt werden. Jedes oene System sei also Fluktuationen
unterworfen, die durch die mikroskopische Wechselwirkung mit dem Bad erklarbar
sein sollen. Eine wichtige Frage bleibt dabei die einheitliche Herleitung des uktuierenden Terms. Die dem QSD zugrundeliegende Formel lautet:
X ^+ ^ 1 ^ + ^ 1 ^+ ^ hLm i Lm ; 2 LmLm ; 2 hLm ihLm i ji dt
jdi = ; hi H^ ji dt +
m
X
+ L^ m ; hL^ mi ji dm ;
(6.1)
m
mit hL^ m i = hj L^ m ji.
Wir verwenden auch hier die Marko-Naherung und die Umgebungsoperatoren L^ m
sind dieselben, wie die in der Master-Gleichung. Infolgedessen ist die Beschreibung
genauso von der Schnittbildung zwischen System und Umgebung abhangig, wie wir
es von der Master-Gleichung her kennen. Die unabhangigen komplexen dierentiellen Zufallsvariablen dm sollen einen Wiener-Proze mit folgenden Mittelwerten
bilden:
M (dm ) = 0 ;
M (dm dn ) = 0 ;
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
81
M (dm dn ) = nmdt :
Wie wir in Kap. 5.3 gesehen haben, beschreibt eine solche Gleichung gerade die
Heterodyne-Detektion auf der Grundlage des kontinuierlichen Memodells. Die
Dierentialgleichung des QSD-Modells ist im Gegensatz zur der der HeterodyneDetektion normerhaltend und enthalt deshalb noch Terme, die proportional zum
Einheitsoperator 1^ sind.
Oft erscheint es als hilfreich, die stochastische Dierentialgleichung fur den Dichteoperator P^ zu betrachten. Da wir uns hier fur die Trajektorie eines einzelnen
Quantensystems interessieren, mu der Dichteoperator P^ zu jedem Zeitpunkt einen
reinen Zustand reprasentieren. Der Zusammenhang zu obiger Wellenfunktionsgleichung lautet also :
P^ = j ih j ;
h
i h
i
^ P^ ] + X 1 L^ j ; P^ L^ +j + L^ j P^ ; L^ +j
dP^ = ; hi [H;
dt
j 2
X ^ ^ ^
X
+
Lj ; hLj it P dj + dj P^ L^ j+ ; hL^ j+it :
j
j
Diese Gleichung erhalt reine Zustande. In dieser Form wird auch sehr schon deutlich,
da die Gleichung im Ensemble-Mittel in die Master-Gleichung ubergeht. Gemittelt wird dabei uber eine Verteilung von Einzeltrajektorien, so da sich fur den
Dichteoperator des Ensembles ^ = M (P^ ) ergibt.
X 1 ^
i
d
+
+
^
^
^
^
^
^
^
^
M ( dt P ) = ; h [H; M (P )] + 2 [Lj ; M (P )Lj ] + [Lj M (P ); Lj ] =
j
X
d ^ = ; i [H;
^ j ^L^ j+ ; 1 ^L^ j+ L^ j ; 1 L^ j+ L^ j ^ :
^ ^] +
L
dt
h
2
2
j
6.1 Das Drei{Niveau{System
Als Beispiel fur eine QSD-Simulation wollen wir ein getriebenes Drei-Niveau-System
betrachten [70]:
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
82
3
]JJ
J
W31
J
J
J 31
J
J
21 J
J
J ^ ^
1
2
Abb. 6.1 Niveauschema des Drei{Niveau{Systems
Die beiden Niveaus j2i und j3i sollen hinreichend verschiedene Energien haben und
der U bergang j3i ! j1i soll sehr viel starker als der U bergang j2i ! j1i getrieben
werden. Auerdem sei das Niveau j2i metastabil, so da wir die Dampfungsrate W21
Null setzen konnen. Bendet sich das System im metastabilen Zustand, so kann kein
Zerfall erfolgen, das Floureszenz-Licht wird unterdruckt. Im Zustand j3i dagegen
kommt es zur Aussendung von starkem Floureszenzlicht. Dieses Szenario wurde in
[71] zur Verdeutlichung des Zenon-Paradoxons verwendet. Unter Verwendung des
kontinuierlichen Memodells konnte gezeigt werden, da das System bei geeigneten
Parametern in den Grundzustand "eingefroren\ ist. Im zugehorigen Meprotokoll
konnen sogenannte Hell- und Dunkelphasen unterschieden werden, deren U bergang
als Quantensprung bezeichnet wird. In den Hellphasen ist das System im Zustand
j1i eingefroren. Abb. 6.2 zeigt das Ergebnis des kontinuierlichen Memodells mit
dem Meprotokoll, das dabei erstellt werden kann.
Wir wollen nun dieses Szenario mit dem QSD-Modell untersuchen und dabei dieselben Parameterwerte wie in Abb. 6.2 verwenden. Die Abb. 6.3 zeigt eine mogliche
Simulation. Qualitativ ergibt sich eine ahnliche Trajektorie, so da wir auch hier
Quantensprunge beobachten konnen. Diese erfolgen nun, im Unterschied zum kontinuierlichen Memodell, in endlicher Zeit, jedoch immer noch, im Vergleich zur
sonstigen Dynamik, auf einer sehr kurzen Zeitskala. Im Gegensatz zum kontinuierlichen Memodell erhalten wir aus dem QSD-Modell jedoch kein Meprotokoll.
6.2 Detektionsereignisse im QSD-Modell
Vom informationstheoretischen Standpunkt aus ist es nicht einsichtig, da die Diffusionsgleichung des QSD-Modells zu jedem Zeitpunkt den Zustand eines Einzelsystems beschreiben soll. Warum kommt es nicht zu einem Anwachsen der Entropie? Wie kann ein Informationsverlust durch die Badankopplung vermieden werden?
Diese Fragen scheinen im Konzept des QSD-Modells keine Rolle zu spielen. Erst
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
83
1.0
7
0.5
0.0
-0.5
-1.0
(a)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
×10
4
(b)
Zeit
Abb. 6.2 Getriebenes Drei-Niveau-System, berechnet nach dem kontinuierlichen Memodell. Die Parameterwerte betragen W31 = 1, 31 = 0:1 und 21 = 0:001. In a) ist
w1 = 22 ; 11 aufgetragen, in b) sieht man das zugehorige Meprotokoll ("Photonenklicks\) (Nach [71]).
wenn wir das QSD-Modell einschrankend auf die Heterodyne-Detektion beziehen,
ist eine eindeutige Interpretation der Information moglich, die aus dem System gewonnen wird. Die Diusion erscheint dann als Grenzproze. Das Diusionsmodell
ist so als Spezialfall des Quantensprungmodells auabar (Kap. 5.3).
6.2.1 Das Zwei-Niveau-System im QSD-Modell
Wir wollen hier das QSD-Modell auf das gedampfte Zwei-Niveau-System anwenden.
Anhand von Korrelationsfunktionen und der Praparation des Systems im koharen-
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
84
1.0
w1
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
Zeit
0.8
1.0
×10
4
Abb. 6.3 Getriebenes Drei-Niveau-System, berechnet nach dem QSD-Modell. Parame-
terwerte wie in Abb. 6.2.
ten Zustand soll untersucht werden, inwieweit das QSD-Modell Ergebnisse liefert,
die mit den bisherigen konsistent sind. Zunachst soll auf das Szenario und seine
Parameter eingegangen werden:
2
6
W
??
Abb. 6.4
1
Niveauschema des Zwei-Niveau-Systems.
Fur die folgenden Untersuchungen ist es notwendig, einzelnen Photoemissionsprozessen eindeutige Zeitpunkte zuzuordnen. Wir wollen zunachst den Fall ohne Treiber
betrachten, daspSystem im Zustand j2i praparieren und als Umgebungsoperator lediglich L^ 1 = W P^12 in der QSD-Gleichung verwenden. Wie Abb. 6.5 a) zeigt,
erfolgt ein diusiver Zerfall der Inversion auf derselben Zeitskala wie der Zerfall
der Ensemble-Losung aus der Master-Gleichung. Da Quantensprunge bzw. Photoemissionsprozesse auf sehr viel kurzeren Zeitskalen ablaufen, ist hier schon die erste
Unzulanglichkeit des QSD-Modells sichtbar. Quantensprunge werden in naturlicher
Weise nicht wiedergegeben. N. Gisin fuhrt deshalb einen sogenannten Meoperator
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
85
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
a)
-1.0
0
4
8
12
16
20
0
4
8
12
16
20
0
4
8
12
16
20
0
4
8
12
16
20
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
b)
-1.0
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
c)
-1.0
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
d)
-1.0
Zeit
Abb. 6.5 Zeitliche Entwicklung der Inversion 22 ; 11 fur ein gedampftes Zwei-NiveauSystem nach dem QSD-Modell mit verschiedenen Werten fur den Parameter des Meoperators. Das System wurde im angeregten Zustand prapariert und die Dampfungsrate
betragt in allen vier Simulationen W =0.2 . a) =0 , b) =0.5 , c) =1.5 , =3.0
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
86
p
L^ 2 = P^11 ein. Dieser erzeugt Sprunge auf sehr kurzer Zeitskala und soll so den
Ausweg des obigen Problems darstellen. Physikalische Legitimation soll der Meoperator dadurch erhalten, da ja auch eine Messung mit einer bestimmten Merate
(die den Parameter festlegt) durchgefuhrt wird.
Abb. 6.5 zeigt nun die Entwicklung der Evolution fur verschiedene Werte von .
Um nun wirklich zu entscheiden, wann ein Photon emittiert wurde, werden jetzt
noch sogenannte "thresholds\ eingefuhrt [70]. Mit diesen Schwellen soll die Emission eines Photons mit klaren Kriterien verbunden werden. Immer wenn nach dem
Unterschreiten der oberen Schwelle die untere Schwelle erreicht ist, soll dies als Photonenklick interpretiert werden. Fur das nachste Photon mu dann erst wieder die
obere Schwelle uberschritten werden. Auf diese Weise haben wir die Moglichkeit,
Photonen-Statistiken zu studieren.
In Abb. 6.6 ist das Ergebnis einer Simulation mit den zugehorigen Photonen gezeigt. Wie man sofort sieht, hangt die Anzahl der gezahlten Photonen stark davon
ab, wie der Parameter des Meoperators und die Schwellen gewahlt werden. In
heuristischer Vorgehensweise sind sie zunachst so gewahlt, da das entstehende Bild
moglichst plausibel erscheint. Naturlich ist es unbefriedigend, da diese Willkur
nicht in klarer Weise beseitigt werden kann.
6.2.2 Detektions-Korrelationsfunktionen
Wahrend es beim Korrelationstensor Kij in Kap. 1.6 um die Zustandsbeschreibung eines quantenmechanischen Systems ging, wollen wir unser Augenmerk in
diesem Kapitel auf die Korrelation zwischen Photo-Detektionsereignissen richten.
Dabei seien zwei Arten von Photonen-Statistiken unterschieden: die "Next-Photon\Statistik und die "Any-Photon\-Statistik. Bei der Next-Photon-Statistik geht es um
die Wahrscheinlichkeit, da genau nach der Zeit , nachdem ein Photon emittiert
wurde das nachste Photon kommt. Wir schreiben fur diese Wahrscheinlichkeitsdichte die Korrelationsfunktion:
g(1)( ) = 22( ) :
Fur sehr kleine Zeiten geht g(1)( ) gegen Null, da das System nach der Emission
eines Photons zunachst im Grundzustand ist und erst wieder in das obere Niveau
angeregt werden mu. Dies ist unter dem Namen "Antibunching\ bekannt. Fur
groe Zeiten nimmt die Emissionswahrscheinlichkeit exponentiell ab, da es unwahrscheinlich ist, da das nachste Photon erst so spat emittiert wird. Dazwischen
erreicht die Funktion ihr Maximum, das die mittlere Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Photonen angibt.
Abb. 6.7 zeigt das Ergebnis einer Simulation, sowie die theoretisch aus der Master-
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
87
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
0
4
8
0
4
8
12
16
20
12
16
20
12
16
20
12
16
20
Photon
1
a)
0
Zeit
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
-1.0
0
4
8
0
4
8
Photon
1
b)
0
Zeit
Abb. 6.6 Inversion eines getriebenen und gedampften Zwei-Niveau-Systems mit =3 und
W =1 und der Versuch mit Schwellen ein Meprotokoll zu erstellen. Der obere Schwellwert
betragt 0.6 , der untere -0.6 . Die Simulation a) wurde ohne Meoperator, die Simulation
b) mit einem Meoperator-Parameter von =1.5 gemacht.
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
88
Gleichung berechnete Losung (gestrichelt). Man erkennt eine qualitative U bereinstimmung.
Bei der Any-Photonen-Statistik fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, da zur Zeit
nach einer Photonenemission irgendein Photon emittiert wird. Wir wollen die Korrelationsfunktion fur diesen Fall mit g(2)( ) bezeichnen und sie fur ! 1 auf eins
normieren. Fur diese Zeiten treten keine Korrelationen zwischen Photonen mehr auf,
sie sind statistisch unabhangig. Ist die Photonenemissionwahrscheinlichkeit groer
als im unkorrelierten Fall (g(2) > 1), so spricht man von "Bunching\; die Photonen
zeigen die Tendenz, in Gruppen aufzutreten. Der entgegengesetzte Fall (g(2) < 1)
ist das bereits erwahnte "Antibunching\-Verhalten. Abb. 6.7 zeigt die Korrelationsfunktion g(2)( ) aus der Simulation und fur den theoretisch berechneten Fall. Auch
hier stimmt der grobe Verlauf qualitativ uberein.
6.2.3 Der koharente Anfangszustand
Wir wollen hier das QSD-Modell einem weiteren Test unterziehen. Dazu wird das
nicht-getriebene Zwei-Niveau-System in einem koharenten Anfangszustand prapariert. Dieser kann geschrieben werden als: j (0)i = p12 (j1i + j2i) Die Inversion ist
wegen der Gleichbesetzung der beiden Niveaus Null. Erfolgt nun ein dissipativer
Zerfall unter Photonenemission, so wird von 50% der Ensemblemitglieder ein Photon emittiert und von 50% keines emittiert. Nach genugend langer Zeit, bendet
sich das System auf jeden Fall im Grundzustand. Fur das Einzelsystem heit das
nun, da mit 50%-iger Wahrscheinlichkeit genau ein und mit 50%-iger Wahrscheinlichkeit kein Photon emittiert wird bis es im Grundzustand ist. Mehr als ein Photon
kann aus Energieerhaltungsgrunden von einem System nicht emittiert werden. Auf
diese Weise haben wir ein Kriterium in der Hand, mit dem wir die Parameter des
Meoperators und der Schwellen optimieren konnen. Es kommt hier vor allem auf
den Parameter des Meoperators an, da die Schwellen in diesem Szenario unkritisch eingehen. (Die untere Schwelle kann auf Null gesetzt werden, da sie auf jeden
Fall erreicht wird und es auf den Zeitpunkt der Photonenemission nicht ankommt.)
Wichtig ist die Frage, wieviele Photonen vom System emittiert werden.
Die Abb. 6.8 und 6.9 zeigen einige Beispiele fur verschiedene Parameterwerte .
Um das eindeutige Kriterium der 50%igen Wahrscheinlichkeit anzuwenden, wurde
die Statistik der Simulationsrechnungen fur verschiedene Parameterwerte ausgewertet.
Abb. 6.10 zeigt das Ergebnis. Mit dieser Grak sollte es nun moglich sein, den
Parameter so zu wahlen, da kein bzw. ein Photon jeweils mit 50%-iger Wahrscheinlichkeit auftritt. Fur ware also ein Wert im Bereich von 0:6 zu wahlen.
Problematisch ist hierbei jedoch, da dafur auch ein endliche Wahrscheinlichkeit fur
die Emission von zwei, drei und mehr Photonen auftritt. Dieses unphysikalische
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
89
0.8
(1)
g (τ)
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
8
10
Zeit τ
1.4
1.2
(2)
g (τ)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
Zeit τ
Abb. 6.7 Next- und Any-Photonenstatistik eines getriebenen Zwei-Niveau-Systems. Die
Parameterwerte betragen: =3 , W =1 , =1.5 und die Schwellwerte liegen bei -0.6 und
0.6. Die durchgezogenen Kurven ergeben sich aus einer QSD-Simulation, bei dem ein
Meprotokoll mit 8947 Photonen erstellt wurde, die gestrichelten Kurven wurden theoretisch mit Hilfe der Master-Gleichung berechnet. a) Korrelationsfunktion g (1)( ) der
Next-Photonen-Statistik, b) Korrelationsfunktion g (2)( ) der Any-Photonen-Statistik.
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
90
Verhalten der Emission von mehr als einem Photon widerspricht dem Energiesatz
und legt die Problematik des QSD-Modells oen. Wie in den Schaubildern zu erkennen ist, bendet sich ein System direkt nach einer Photonenemission nicht im
Grundzustand (auer wenn die untere Schwelle auf -1 gesetzt wird, was praktisch nie
zu einer Photonenemssion fuhren wurde). Dies widerspricht auch dem experimentell
nachprufbaren Anti-Bunching-Verhalten, da hier direkt nach einer Photonenemission eine endliche Wahrscheinlichkeit fur eine weitere Emission besteht. Fazit: Dieses
Modell ist nicht geeignet, einzelne Detektionsprozesse zu simulieren.
Anmerkend sei hier eine weitere Schwierigkeit bei der Feststellung von Photonenemissionen uber Schwellwerte erwahnt. Prinzipiell unterscheidet man inkoharente
Photonen, wie sie beim dissipativen Zerfall emittiert werden, und koharente Photonen, wie sie im Falle getriebener Systeme auftreten und fur die Rabi-Oszillationen
sorgen. Photonen-Statistiken, wie sie beispielsweise im vorherigen Kapitel untersucht wurden, beziehen sich ausschlielich auf inkoharente Photonen. Bei der "Detektion\ von Photonen uber Schwellen wird zwischen den beiden Arten von Photonen nicht unterschieden. Diese prinzipielle Schwierigkeit lat die Aussagekraft von
Detektionsereignissen bei getriebenen Systemen in einem fraglichen Licht erscheinen.
6.3 Bewertung des QSD-Modells
Wie wir schon gesehen haben, kann das QSD-Modell im Sinne der bisherigen Beschreibung lediglich im Falle der Heterodyne-Detektion angewendet werden. Diese
Einschrankung lehnt N. Gisin, auf den dieses Modell zuruckgeht, jedoch ab [72]. Er
sieht, im Gegenteil, das QSD-Modell als eine uber die gewohnliche Quantenmechanik hinaus erweiterte Theorie zur Beschreibung oener Systeme. Der Vorteil bestehe
in den neuen Bildern der Trajektorien, die es zur Verfugung stellt. Die Reduktion
des Systemzustandes erscheine nun dynamisch als Resultat des Diusionsprozesses.
Er kann somit auf das Reduktionspostulat ganzlich verzichten, stattdessen werden
nun die Fluktuationen als fundamentale Charaktereigenschaft oener Systeme angesehen. Die Quantenmessung mit dem Kollaps der Wellenfunktion sei lediglich
eine besondere Art von Umgebungswechselwirkung und ebefalls durch Fluktuationen realisierbar. Dabei ist jedoch zu beachten, da Gisin fur quantensprungahnliche
Strukturen einen zusatzlichen Operator benotigt, den wir Meoperator genannt haben. Wie wir aber im letzten Kapitel gesehen haben, ist damit die Situation schon
fur das Zwei-Niveau-System als Minimalmodell nicht richtig wiedergegeben. Unphysikalisches Verhalten und die Willkur des Parameters des Meoperators lassen
es fraglich erscheinen, ob dem QSD-Modell wirklich eine so universelle Bedeutung
zugemessen werden darf. Die Grundidee des QSD-Modells, analog zur Brownschen
Bewegung, Fluktuationen als Folge einer Badwechselwirkung zu sehen, ist sicher ein
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
91
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
a)
-1.0
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
Zeit
20
25
30
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
b)
-1.0
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
c)
-1.0
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
d)
-1.0
Abb. 6.8 Zeitliche Entwicklung der Inversion eines gedampften Zwei-Niveau-Systems,
das anfangs im koharenten Zustand j (0)i = p12 (j1i + j2i) prapariert wurde im QSDModell. Die Dampfungsrate betragt W =0.2 , der Parameter des Meoperators nimmt in
den einzelnen Abbildungen folgende Werte an: a) und b) =0, c) und d) =0.5.
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
92
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
e)
-1.0
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
Zeit
20
25
30
1.0
Inversion
0.6
0.2
-0.2
-0.6
f)
-1.0
Abb. 6.9 Siehe Bildunterschrift von Abb. 6.8, e) =1, f) =2.
interessanter Aspekt und ermoglicht die Betrachtung dieses Problems unter neuen
Gesichtspunkten. Trotz aller Begeisterung fur diesen Zugang durfen jedoch deren
Grenzen nicht ubersehen werden. Der Quantencharakter der Bad-Wechselwirkung
lat es beispielsweise nicht immer zu, den Einu des Bades innitesimal klein werden zu lassen. Das QSD-Modell ist deshalb nicht in der Lage, einzelne PhotonenDetektionsereignisse wiederzugeben. Die Einfuhrung eines Meoperators entbehrt
hierbei jeglicher physikalicher Grundlage, so da das Problem mit diesem "Schummel\-Operator nicht behoben werden kann.
Die stochastische Dierentialgleichung des QSD-Modells besticht zwar durch ihre
kompakte und relativ leicht zu handhabende Form, darf aber nicht so universell eingesetzt werden, wie es zunachst erscheint. Wie wir gesehen haben, ist mit ihr hervorragend die Situation einer Heterodyne-Detektion beschreibbar, bei der durch die
Existenz des lokalen Oszillators fur das System im Grenzfall innitesimale Sprunge
auftreten und so das diusive Verhalten erzeugt wird.
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
93
Wahrscheinlichkeit
1.00
0.75
mindestens
ein Photon
0.50
kein Photon
0.25
2 Photonen
3 Photonen
4 u. mehr Ph.
0.00
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
λ
Abb. 6.10 Statistik der Photonenverteilung aus den Einzelsimulationen eines koharenten
Anfangszustandes nach dem QSD-Modell. Aufgetragen ist die Wahrscheinlichkeit fur die
jeweils detektierte Photonenzahl uber dem Parameter des Meoperators . Die Dampfungsrate betragt W =0.2 , die Schwellwerte -0.6 und 0.6 .
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
94
6.4 Die Theorie der Primary State Diusion
Einerseits kann die QSD als Modell interpretiert werden. Hierbei ergeben sich die
in Kap. 6.2 erlauterten Schwierigkeiten. Andererseits ist es jedoch auch moglich, die
QSD als neue Theorie aufzufassen. Dieser Standpunkt betrachtet Fluktuationen als
fundamentale Charaktereigenschaft der System-Bad Kopplung. Eine Fortfuhrung
dieses Gedankens besteht in der Theorie der Primary State Diusion (PSD) [77].
Die PSD stellt eine Theorie dar, die in der Auassung der Fluktuationen als fundamentale Eigenschaft noch einen Schritt weitergeht. Wahrend beim QSD-Modell
neben der Diusion auch eine Hamilton-Dynamik die Entwicklung eines Systems
bestimmt, also zwei Arten von Evolution moglich sind, wird in der PSD jegliche
Dynamik durch Fluktuationen generiert.
Vier Prinzipien liegen ihr zugrunde:
Das System wird durch einen normierten Zustandsvektor j (t)i beschrieben.
Die Systemdynamik wird durch den (einen) linearen Diusionsoperator K^ bestimmt.
Die A nderung des Zustandes erfolgt durch eine nichtlineare Diusionsgleichung
mit komplexen Fluktuationen.
Die aus ^ = M (j ih j) resultierende Dichtematrix genugt der Mastergleichung
in Lindblad-Darstellung, jedoch ohne den Hamiltonoperator:
d ^ = K^ ^K^ + ; 1 K^ +K^ ^ ; 1 ^K^ + K^ :
dt
2
2
Die der PSD zugrundeliegende Idee kann folgendermaen formuliert werden:
p Auf
einer genugend kleinen Zeitskala t dominiert die Diusion (Ordnung: t) uber
der Drift (Ordnung: t).
Das heit, die Quantendiusion dominiert fur kleine Zeitskalen uber der SchrodingerEvolution. Wenn aber die Zustands-Diusion Grundlage der Quantenmechanik ist,
dann sollte die Schrodinger-Dynamik aus ihr ableitbar sein. Die PSD soll, obwohl
sie nur auf der Diusion aufbaut, trotzdem die gewohnliche Quantenmechanik und
auch die klassische Hamilton-Dyanmik enthalten. Diusion erscheint in dieser Theorie primar, was die Namensgebung erklart.
Die grundlegende Gleichung von PSD entstammt eigentlich aus dem QSD-Modell.
Die Diusionsgleichung wird insofern modiziert, als da der Hamilton-Term weggelassen und lediglich ein Diusionsoperator berucksichtigt wird. Die Gleichung wird
also relativ einfach und sieht folgendermaen aus:
^+ ^
1
^
jd i = k( ) K ; 2 K K + k( ) k( ) j i dt + K^ ; k( ) j i d ;
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
95
mit k( ) = h j K^ j i. Die komplexe stochastische Variable d genugt folgender
Statistik:
M (d) = 0 ;
M (d d) = 0 ;
M (d d) = dt :
Um U bereinstimmung mit dem Experiment und der Beobachtung zu haben, sollen nun fur die Festlegung des System-Operators K^ folgende Bedingungen erfullt
werden.
Die Diusionsgleichung soll die auere Form haben, da ein Term fur die
Schrodinger-Evolution verantwortlich ist, ein Term die restliche Drift enthalt
und ein dritter Term die stochastischen Fluktuationen
wiedergibt:
jd i = ;iH^ j i dt + R^( ) j i dt + K^ ; k( ) j i d :
Die Diusion soll nicht so "schnell\ sein, da die Schrodinger-Evolution zerreit
und experimentelle und beobachtbare Beweise verletzt werden.
Die Diusionsrate mu genugend gro sein, so da klassische dynamische Variable lokalisiert werden.
Aus der ersten Bedingung folgt fur den Operator K^ :
K^ = a1H^ + ai 1^ ;
a1 0 :
1
Setzt man dies in die zugrundeliegende PSD-Gleichung ein, so erhalt man:
jd i = ;iH^ dt ; K^ 2 dt + a1K^ d j i ;
mit:
H^ = H^ ; h j H^ j i ;
K^ = K^ ; h j K^ j i
= a1H^ + i ^1 ; h j a1H^ j i ; i h j i
a1
a1
^
= a1H :
Diese stochastische Dierential-Gleichung ist identisch mit der QSD-Gleichung, wenn
man als einzigen Wechselwirkungsoperator L^ = a1H^ wahlt. Man kann den Vorgang
somit als Energiemessung interpretieren, so da die PSD eine universelle intrinsische
Energiemessung darstellt. Lat man im Diusionsoperator K^ die Merate a1 gegen
Null gehen, so wird die Diusion immer mehr vernachlassigbar. U brig bleibt schlielich die Schrodinger-Gleichung mit einem Phasenfaktor ihH^ i, der keine physikalische
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
96
Bedeutung hat:
jd i = ;i H^ ; hH^ i j i dt :
Im folgenden soll nun auf die Zeitskala eingegangen werden, die fur diese Diusion
relevant ist. Gegeben sei ein einfaches Zwei-Niveau-System mit einem Energieabstand E . Wir betrachten ein Zeitintervall t, in dem sich der Systemzustand nur
innitesimal andert:
j j (t + t)i ; j (t)ij 1 :
Die Dynamik ist nun durch obige Gleichung gegeben:
^ t ;a12H^ 2 t + a1H^ d
jd i =
;
i
H
| {z }
| {z } j i :
Hamilton-"drift\
Fluktuationen
Im folgenden soll die Hamilton-"drift\ mit den Fluktuationen verglichen werden.
Dazu
p ist es wichtig zu beachten, da die Fluktuationen d von der Groenordnung
t sind. Auf einer bestimmten Zeitskala heben sich also die beiden Terme auf:
p
tE = t a1E ;
;! t = 0 = a12 :
Die so denierte Groe 0 ist die universelle Zeitkonstante fur PSD. Fur Zeitskalen mit t < 0 dominiert die Diusion uber der Hamiltondynamik. Hypothetisch wurde vorgeschlagen, da diese Zeitkonstante 0 durch die Planck-Zeit
= 5 10;44 s gegeben sei, die eine Bedeutung in der allgemeiTPlanck = LPlanck
c
nen Relativitatstheorie hat. Da solche Zeitbereiche experimentell uberhaupt nicht
zuganglich sind, kann uber die Relevanz solcher Aussagen keine Entscheidung getroen werden.
Mit PSD wird der Versuch unternommen, den Quantensprung dynamisch aufzulosen
und als Postulat aufzugeben. Da nach dem Fluktuations-Dissipations-Theorem mit
der fundamentalen Diusion auch fundamentale Dissipation verbunden ist, bleibt
die Frage oen, wie sie auf dieser Ebene interpretiert und begrundet werden kann.
PSD als neue Theorie, soll alle Bedingungen erfullen, die an eine gute Theorie gestellt werden. Dazu zahlen:
Der Zustand und die Evolution eines individuellen Systems sollen explizit und
unzweideutig reprasentiert sein.
Die Trennung zwischen Quanten- und klassischer Domane soll nicht willkurlich
sein. (Problematisch in der gewohnlichen Quantenmechanik, da die Lokalisierung klassischer Variablen mit der Schrodinger-Gleichung inkompatibel ist.)
Keine willkurliche Trennung zwischen System und Umgebung. (Nicht erfullt
beim QSD-Modell [72], da eine starke Abhangigkeit von der Wahl der Umgebungsoperatoren vorliegt.)
Kapitel 6. Das Quanten-Zustands-Diusionsmodell
97
Die klassische Mechanik stellt in diesem Sinne eine "gute\ Theorie dar. Die PSD
soll in Erweiterung des QSD-Modells auch die letzte Bedingung erfullen und somit
ebenfalls eine "gute\ Theorie darstellen.
Zusammenfassung
In dieser Arbeit ging es um die Dynamik stochastischer Einzeltrajektorien fur Quantensysteme, die in Wechselwirkung mit ihrer Umgebung stehen. Schon seit langerer
Zeit besteht auf diesem Gebiet Interesse, so da es zur Entwicklung verschiedenster
Modelle kam. In Kapitel 3 wurde ein historischer U berblick uber eine exemplarische
Auswahl von solchen quantenstochastischen Modellen dargelegt.
Eine fundamentale Rolle spielt hierbei der quantenmechanische Meproze, der in
Kapitel 4 eingefuhrt wurde. Seine Einarbeitung in die Systemdynamik entscheidet
mageblich uber die qualitative Quantentrajektorie. Im weiteren Verlauf beschrankten wir uns auf zwei spezielle Exemplare, dem kontinuierlichen Memodell (Kap. 5)
und dem Quantenzustandsdiusionsmodell (Kap. 6). Ersteres hat als Basis das
Reduktionspostulat. Darauf aufbauend konnte ein befriedigendes Konzept zur Generierung von Einzeltrajektorien aufgestellt werden. Wir sind somit in die Lage
versetzt, diese mit Hilfe eines Rechners zu erzeugen und damit auch sehr viel komlexere Szenarien, als wir sie in dieser Arbeit betrachtet haben, zu simulieren. Damit
haben wir ein "Werkzeug\ in der Hand, mit dem wir mikroskopische Prozesse "nachspielen\ konnen.
Dies erlaubt, neuen, fur das Verstandnis der Quantenmechanik wichtigen Fragestellungen nachzugehen. Dazu gehort sicherlich auch die quantenmechanische Eigenschaft des Entanglements, deren Einu beispielsweise in Kapitel 5.5, bei der Betrachtung einer "third-party\-Messung wichtig wurde. Auch die Superposition von
Dampfungskanalen zeigt neue interessante Einblicke in die Metheorie (Kap. 5.4)
und weist auf die Wichtigkeit der Quanteninformation hin. Es war auf diese Weise
moglich, das Quantum-Beat-Experiment fur ein einzelnes System zu simulieren
(Kap. 5.4.2) und zu zeigen, da der Interferenzeekt innerhalb eines Atoms stattnden mu.
Zentrales Kapitel ist jedoch Kapitel 5.3, in dem fur die Homodyne- und HeterodyneDetektion innerhalb des kontinuierlichen Memodells eine stochastische Dierentialgleichung abgeleitet werden konnte. U berraschenderweise ist die Dierentialgleichung fur die Heterodyne-Detektion identisch mit der des Quantenzustandsdiusionsmodells, so da dies fur dasselbe eine starke Einschrankung bedeutet. Auch
wenn das diusive Verhalten eine "mikroskopischere\ Ebene vortauscht, liegt ihm
Zusammenfassung
99
doch ein Grenzubergang zugrunde, der uber viele einzelne Photonendetektionen hinwegmittelt und eher als "phanomenologisch\ einzustufen ist. Das QSD-Modell ist
demnach wohl weit weniger allgemein, als es von Gisin interpretiert wurde. In seiner Darstellung kann es universell fur beliebige Wechselwirkungsoperatoren mit der
Umgebung eingesetzt werden [66]. Wie wir jedoch in Kapitel 6.2 gezeigt haben, ist
das QSD-Modell nicht einmal in der Lage, einzelne Photonendetektionsereignisse
befriedigend zu beschreiben. Wir kommen damit zu der Schlufolgerung, da es fur
derartige Betrachtungen ungeeignet ist.
Eine neuartige Interpretation, die Fluktuationen (statt der Projektion) als fundamentale Charaktereigenschft der Quantenmechanik ansieht, kann jedoch wiederum
dem QSD-Modell eine neue Grundlage schaen. Dies zeigten wir in Kapitel 6.4
mit der Primary state diusion, die noch einen Schritt weitergeht und selbst die
Hamilton-Dynamik auf diusive Prozesse zuruckfuhrt. Diese Art der "Weltanschauung\ kann auch ihre Vorteile haben, wobei man jedoch dabei viele, inzwischen vertraut gewordene Elemente der "konventionellen\ Quantenmechanik ablegen mute.
Hierbei treten auch wieder einige grundlegende Fragen auf, die mit dem Reduktionspostulat geklart sind. Was passiert z.B. bei einem EPR-Zustand mit dem
einen Teilchen, wenn man eine Messung am anderen Teilchen durchfuhrt? Nach
dem Diusionsmodell mute dieses ab Beginn der Messung einer diusionsartigen
Bewegung unterliegen, so da es also instantan die Messung "spurt\. Trotzdem liegt
das Ergebnis der Messung erst spater fest, so da eine Informationsubertragung mit
U berlichtgeschwindigkeit stattnden wurde.
Auf der Grundlage des kontinuierlichen Memodells kann man uber die verschiedenen moglichen Detektionsarten zusammenfassend folgendes sagen:
Jede Detektionsart hat eine gultige Interpretation und gibt Einsicht in die
Entwicklung eines einzelnen Quantensystems.
Einzelne Quantentrajektorien konnen stark unterschiedlicher Natur sein:
{ Die direkte Detektion oenbart den Quantencharakter der Dissipation.
{ Die Heterodyne-Detektion gibt ein diusives, fast schon klassisches Verhalten wieder.
Der Zustand eines Quantensystems ist immer bedingt durch unser Wissen
uber das System, das wir durch die Meapparatur erhalten, die sich eektiv
klassisch verhalt.
Trotz verschiedener Einzeltrajektorien kann im Ensemblemittel die gleiche Dynamik vorliegen (Losung der Master-Gleichung).
Das jeweils relevante Modell ist abhangig von der Methode, mit der Information aus
dem emittierten Licht gezogen wird. Wir konnten eine konsistente Interpretation
der verschiedenen Meszenarien erreichen, indem wir forderten, da der Operator,
Zusammenfassung
100
der im System den Sprung verursacht, immer das auf den Photodetektor einfallende
Feld representiert. Dahinter steht der Gedanke, da jede projektive A nderung des
Systemzustandes auf bekannten Ereignisssen beruhen mu.
Anhang
A Berechnung von j (t)i fur Kap. 5.3.3
Wir wollen zeigen, da der Zustand j (t)i in Gleichung 5.5 naherungsweise unabhangig von den einzelnen Detektionszeiten t+1; : : :; tm 2 [0; t] ist. Als erstes
fuhren wir dazu den Kleinheitsparameter = hL^hXL^ii ein. Nun bestimmen wir einmal
j (t)i, fur den Fall, da alle Projektionsoperatoren L^~ ganz vorne stehen und dann
fur den Fall, da sie alle ganz hinten stehen. Dabei berucksichtigen wir Terme bis
zur Ordnung 3=2:
(i)
j (t)i =
m
= e;iH^heff tW m=2 L^~ j (0)i
^
p
= ( W)m exp((;iH^ ; W L^ + L^ ; WL^ ; W jj2)t)(1 + L )m j (0)i
2
2
p m
W
W
+
= f( W) exp(; 2 jj2t) exp(;iH^ t)g exp(; 2 L^ L^ t)
^
exp(;WL^ t)(1 + L )m j (0)i
= f : : : g(1 ; W2 L^ + L^ t : : :)(1 ; WL^ t + 12 W 2jj2L^ 2t2
!2
^
^
L
1
L
1
3
2
3
3
; 6 W jj L^ t : : :)(1 + m + 2 m(m ; 1) ^ !3
1
L
+ 6 m(m ; 1)(m ; 2) : : :) j (0)i
n
^ !2
^ 2 m(m ; 1)
L
L
= f : : : g 1 + (m ; ) + ( 2 +
2 {z ; m) }
| {z } |
O(1=2)
O( )
Anhang A
102
+^
3 2 m m(m ; 1) m(m ; 1)(m ; 2) L^ !3
^
L
L
;jj;2 2 + (; 6 + 6 ;
+
)
2
6
}
{z
|
O(3=2)
+O(2)g j (0)i ;
mit = W t jj2.
(ii)
j (t)i =
m
= W m=2L^~ e;iH^heff t j (0)i
^
p
= ( W)m(1 + L )m exp((;iH^ ; W2 L^ + L^ ; WL^ ; W2 jj2)t) j (0)i
^
p
= f( W)m exp(;iH^ t)exp(; W2 jj2t)g(1 + L )m
exp(; W2 L^ + L^ t) exp(;WL^ t) j (0)i
^ 1
^ !2 1
^ !3
L
L
L
= f : : : g(1 + m + 2 m(m ; 1) + 6 m(m ; 1)(m ; 2) : : :)
(1 ; W2 L^ + L^ t : : :)(1 ; WL^ t + 21 W 2jj2L^ 2t2
; 16 W 3jj2L^ 3t3 : : :) j (0)i
n
^ 2 m(m ; 1)
^ !2
L
L
= f : : : g 1 + (m ; ) + ( 2 +
2 {z ; m) }
| {z } |
O(1=2)
O( )
+^
3 2 m m(m ; 1) m(m ; 1)(m ; 2) L^ !3
^
L
L
;jj;2 2 + (; 6 + 6 ;
+
) 2
6
{z
}
|
3
=
2
O( )
2
+O( )g j (0)i :
Damit ist gezeigt, da j (t)i bis zur Ordnung O(3=2) unabhangig davon ist, wann
die einzelnen Detektionen stattgefunden haben.
Anhang B
103
B Durchfuhrung des Grenzubergangs fur
Gleichung 5.9
Die Gleichung 5.7
^ i ! p
2
h
X
m 1 + jj + W jj
soll in Gleichung 5.6 eingesetzt werden. Dabei fuhren wir den Grenzubergang jj !
1, arg() ! , (t) ! d(t), t ! dt, und ()2 ! dt durch. In niedrigster
Ordnung in dt erhalten wir:
j (dt)i =
p
^ n1 + (m ; ) L^
W)m e; W2 jj2dt e;iHdt
+ ^o
^
; jj;2 L
L j (0)i
2
n
^
^
p
p m ; W2 jj2dt
^ ) 1 + 2hX i L + W jj d(t) L^
(1 ; iHdt
= ( W) e
jj +
o
^ ^
;jj;2 L2L j (0)i
n
p
^ + 2W hX^ ie;i L^ dt ; 1 W L^ + L^ dt +
= ( W)m e; W2 jj2)dt 1 ; iHdt
2
o
p ;i ^
We L d(t) j (0)i :
= (
Da dieser Zustand noch normiert werden mu, braucht auf den Vorfaktor nicht naher
eingegangen werden. Wir konnen ihn deshalb weglassen und erhalten
n
^ ; W L^ + L^ dt + 2W hX^ ie;i L^ dt
j (t + dt)i = 1 + 1i Hdt
p ;i ^ 2 o
+ We L d(t) j (t)i :
Diese Gleichung ist der Ausgangspunkt fur die weiteren Betrachtungen in Kap. 5.3.3
zur Homodyne- und Heterodyne-Detektion.
Literaturverzeichnis
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Danksagung
Last but not least mochte ich mich an dieser Stelle bei all denen bedanken, die diese
Arbeit ermoglicht haben.
Herrn Prof. Dr. G. Mahler danke ich fur sein groes Interesse am Fortgang dieser Arbeit und die vielen interessanten Diskussionen, die zu einer Vielzahl neuer
Erkenntnisse und Ideen gefuhrt haben.
Herrn Prof. Dr. Dr. h.c. W. Weidlich danke ich fur die U bernahme des Mitberichts.
Sein besonderes Interesse fur diese Arbeit lie Perspektiven fur ein gemeinsames
Projekt entstehen.
Herrn Prof. Dr. Dr. h.c. mult. H. Haken danke ich fur die freundliche Aufnahme an
sein Institut.
Herrn Prof. Dr. G. Alber aus Freiburg danke ich fur sein oenes Ohr und da er mir
immer bereitwillig weitergeholfen hat.
Allen Institutsmitgliedern danke ich fur die freundliche Atmosphare.
Rainer Wawer gilt mein ausdrucklicher Dank. Seine Geduld bei Fragen verschiedenster Art und seine Unterstutzung in LaTEX halfen mir in vielen Situationen entscheidend weiter. Auch fur das Korrekturlesen dieser Arbeit danke ich ihm ganz
herzlich.
Bei Dr. Matthias Keller mochte ich mich fur die groe Diskussionsbereitschaft bedanken, die zu manchem tieferen Verstandnis beigetragen hat.
Jurgen Schilp danke ich fur seine stete Bereitschaft bei der Beantwortung meiner
Computerfragen. Trotz eigener Projekte nahm er sich immer Zeit, sich ihnen unverzuglich zu widmen.
Danken mochte ich auch meinen langjahrigen Bekannten Till Munz und Ingo Sauter
fur die vielen "interdisziplinaren Disputationen\.
Meinem Vater danke ich fur die nanzielle Unterstutzung wahrend meines gesamten
Studiums.
Mein besonderer Dank gilt Birgit Eiler. Ihre aufmunternde Unterstutzung und
ihr Interesse an jeglichen Problemen, halfen mir immer wieder meinen Blick neu
auszurichten.