93 Impulssatz Wichtige Gesetzmäßigkeit zur Berechnung

93
Impulssatz
Wichtige Gesetzmäßigkeit zur Berechnung strömungstechnischer Fragestellungen. Immer
erforderlich ist es bei der Anwendung, einen sinnvollen Kontrollraum zu verwenden, an
dessen Grenzen die Strömungsgrößen bekannt sind bzw. ermittelt werden sollen. Hierbei
werden auch äußere Kräfte, die auf den Kontrollraum wirken, mit eingeschlossen.
Grundlage des Impulssatzes der Fluide ist der Impuls für einen massebehafteten Körper
( = Summe aus n - Massepunkten; siehe [3]).
Fester Körper der Masse m mit Geschwindigkeit c(s).
Definition:
Impuls (  Bewegungsgröße)
I  m*c
m

kg * s 


Impulskraft FI ist die zeitliche Impulsänderung, also
FI 
DI   kg * m


 I 
 N
dt
 s*s

DI 
I
I
* dm 
* dc
m
c
Totale Impulsänderung DI:
Mit
I  m*c
wird
I
 c;
m
Somit
DI  c * dm  m * dc
I
m
c
Nach dem Massenerhaltungsprinzip m = const. ist
dm = 0
Es wird
DI  m * dc
und somit




DI
dc
FI  I 
 m*  m* a
dt
dt
Gleichzeitig gilt das Newtonsche Gesetz bewegter Massen
94

n
F
i

 m*a .
1
Die Kräfte werden hierbei positiv in c-Richtung und negativ entgegen c-Richtung gezählt.
Damit erhält man für stationär bewegte Massen:


n


FI  I   Fi  m * a
1
Impulskraft am Körper ist gleich der resultierenden äußeren Kraft und gleich der
d’Alembertschen Trägheitskraft.
Fluidelement dm, das sich mit c(s) stationär durch den Kontrollraum bewegt.
Der Bewegungsvorgang des Massenelements dm entlang Stromlinie von 1 nach 2 in Abb.
wird durch die am Element wirkende resultierende Kraft dF (differentielle Kraft)
hervorgerufen. dF kann das Resultat verschiedener äußerer Kräfte (Druck, Gewicht,
Wandkraft,...) sein. Es gilt das Newtonsche Gesetz "Lex secunda" (äußere Kraft = Masse *
Beschleunigung), also am Element dm:


dF  dm * a

mit
a
Dc
.
dt
Wenn bei eindimensionaler Strömung c = c(s,t), dann wird die
Gesamtgeschwindigkeitsänderung nach dem „Totalen Differential“:
Dc 
c
c
* ds  * dt
s
t
= dc t  const + dc s const
partielle Differentiale
Somit:
Dc c ds c
 * 
dt s dt t

 c c ds 
dF  dm *  
* ;
 t s dt 
Im Fall „stationärer Strömung“ wird
c
 0 , da c  f ( t ) .
t
95
Abb.
Skizze zur Herleitung des Impulssatzes in der Fluiddynamik

 c ds   dm  c
dF  dm *  *   
 * * ds
 s dt   dt  s

=m


 dc t  const

 * dc
dF  m
Mit

  *V
m


 * dc
dF   * V
dF:
Resultierende differentielle äußere Kraft am Masseelement dm.
1. Auswertungsmöglichkeit:
Die gesamte, längs eines Strömungsbereichs 1  2 auf das strömende Fluid ausgeübte
resultierende, äußere Kraft (aus verschiedenen äußeren Kräften bestehend) ergibt sich aus der
Integration über dem Strömungsbereich
96
2 
2
 * dc
F   dF   * V


1
1

 * c  c 
F  *V
2
1


F   Fi  Summe aller äußeren Kräfte
Komponentendarstellung:
n
x-Richtung:
 * c  c    F
*V
2x
1x
ix
1
Hinweis:
Die Vorzeichen von c 2 x , c1x und Fix richten sich nach den gewählten
Koordinatenrichtungen.
 * c  c    F
*V
2y
1y
iy
n
y-Richtung:
1
Hinweis:
Die Vorzeichen von c 2 y , c 1y und Fiy richten sich nach den gewählten
Koordinatenrichtungen.
2. Auswertungsmöglichkeit: Unbestimmte Integration
 



I   * V
 * dc 
d
F

d
F

I




 *c  C
FI   * V
Für
c = 0 ist I = 0 und damit FI  0 .
C=0



 *c  m
 *c
FI  I   * V

Somit
Die Impulskräfte FI sind am Kontrollvolumen wie äußere Kräfte einzutragen, und zwar
immer wie folgt.
97
Eintritt (Stelle 1): FI 1 in
c1-Richtung
Austritt (Stelle 2): FI 2 entgegen
Am Kontrollvolumen dann bilden:
n
x-Richtung
F
i,x
0
1
n
y-Richtung
F
i, y
1
0
c2-Richtung
auf die Kontrollflächen