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Die Leistung und Reichweite eines (Elektro-)Fahrzeugs in Abhängigkeit
von seiner Geschwindigkeit und Masse
Dipl.-Phys. Cihangir Kisioglu
Paderborn, 2013
[email protected]
1. Einleitung
Die hier angestellten Betrachtungen sind natürlich nicht nur auf Elektrofahrzeuge beschränkt,
sondern können, weil sie energetischer Art sind, im Grunde auf alle Fahrzeuge übertragen
werden.
Führt man einem Fahrzeug einmalig eine gewisse Energie zu, z.B. in Form eines Kraftstoßes,
dann würde es sich nach dem Energieerhaltungssatz immer weiter bewegen. Nun treten
unvermeidbare Reibungsvorgänge (Luftreibung, Rollreibung, Reibung in den Achsen usw.)
auf, so dass ein Teil dieser anfänglichen Energie durch Reibung in Wärme umgewandelt wird
und somit für die gezielte Fortbewegung verloren geht. Um diese Energieverluste durch
Reibung auszugleichen, muss man einem Körper ständig Energie zuführen, also eine Leistung
aufbringen, damit er sich mit einer konstanten Geschwindigkeit weiter bewegen kann,
ansonsten kommt der Körper nach einer endlichen Strecke zum Stillstand, wie man das vom
Fahrradfahren schon kennt, wenn man aufhört zu trampeln.
Bei kleinen Geschwindigkeiten ist der Rollwiderstand und bei höherer Geschwindigkeit der
Luftwiderstand die hauptsächliche Ursache dieser Reibung. Reibungsverluste innerhalb des
Systems Fahrzeug – zwischen der Antriebsquelle und den Rädern- sollen hier nicht betrachtet
werden. Ebenso wird in den folgenden Betrachtungen aus Gründen der Vereinfachung die
Beschleunigungsenergie E = 12 mv22 − 12 mv12 , die erforderlich ist, um einen Körper der Masse m
von der Geschwindigkeit v1 auf v2 zu beschleunigen, nicht weiter betrachtet, sondern nur die
Energie zur Aufrechterhaltung der Bewegung mit der geradlinigen und konstanten
Geschwindigkeit v .
Den Rollwiderstand kann man minimieren, indem man den Radius der Räder vergrößert und
den Reifendruck erhöht [1]. Den Luftwiderstand kann man minimieren, indem man dem
Fahrzeug eine windschnittige Form gibt (kleiner cW-Wert) und die Stirnfläche des Fahrzeugs
klein hält und nicht zu schnell fährt.
In dieser Arbeit sollen die folgenden vier Fragen analysiert und quantitativ beantwortet
werden, die insbesondere beim Bau eines Elektrofahrzeugs von Bedeutung sind:
1. Wie viel Leistung P wird benötigt, um ein Fahrzeug mit der Geschwindigkeit v
fortzubewegen?
2. Welche Energie E wird für das Zurücklegen einer bestimmten Strecke s bei der
konstanten Geschwindigkeit v benötigt?
3. Wie groß ist die Reichweite des Fahrzeugs bei vorgegebener Akkukapazität in
Abhängigkeit von der Geschwindigkeit?
4. Wie groß ist die Reichweite des Fahrzeugs bei der konstanten Geschwindigkeit v in
Abhängigkeit von der Akkukapazität?
1
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Bezeichnungen
s, ∆s:
sGrenz:
t, ∆t :
A:
v:
m:
mnetto :
mAkku :
FR:
FL:
F:
Weg, Strecke in m
Grenzreichweite (obere Schranke für die Reichweite) in m
Zeitdauer in s
Stirnfläche des Fahrzeugs in m2
konstante Geschwindigkeit in m/s
Fahrzeugmasse (gesamt) in kg
Fahrzeugmasse ohne Akku in kg
Akkumasse in kg
Rollreibung in N
Luftreibung in N
Gesamtkraft aus der Summe von Rollreibung und Luftreibung in N
E, ∆E: Energie bzw. Energiedifferenz in J (=Ws)
EAkku: Akku-Kapazität (die im Akku gespeicherte Energie) in J (= Ws)
k:
Akku-Energiedichte (Akkuenergie pro Akkumasse) in kWh/kg
P:
Leistung in W = J/s
Pelek: die erforderliche elektrische Leistung in W = J/s
Pmech: die an den Rädern erforderliche mechanische Leistung in W = J/s
g:
Erdbeschleunigung ( g = 9,81 m/s2)
ρL:
Dichte der Luft (1,2041 kg/m3 bei 20 °C)
A:
Stirnfläche des Fahrzeugs in m2 (hier: 2m2)
µ:
Rollreibungskoeffizient (0,015 für Autoreifen auf Asphalt)
cW:
Luftwiderstandsbeiwert oder cW-Wert (hier: 0,35)
η:
Wirkungsgrad des Elektromotors
Die hier zugrunde gelegten Werte für m, A, µ, cW und η sind für zeitgemäße Fahrzeuge etwa
zutreffend. Dass die Dichte der Luft temperaturabhängig und der Rollreibungskoeffizient vom
Reifentyp, vom Straßenbelag und von der Geschwindigkeit abhängig ist, wird vernachlässigt.
2. Die benötigte mechanische Leistung in Abhängigkeit von der
Geschwindigkeit
Damit ein Fahrzeug der Masse m, der Querschnittsfläche A usw. mit der Geschwindigkeit v
fahren kann, muss ihm die Leistung P zugeführt werden, um die Verluste durch Rollreibung
und Luftwiderstand auszugleichen.
Nach Definition ist Energie gleich Kraft mal Weg, wobei in differentieller Form gilt:
→
→
dE = F ⋅ ds
(1)
E2
s2 →
E1
s1
→
Die Integration dieser Gleichung (1) führt auf ∫ dE = ∫ F ⋅ ds . Dann erhalten wir für den Fall,
→
→
dass F parallel zu s und F unabhängig von s ist: E2 − E1 = F ⋅ ( s2 − s1 ) bzw. ∆E = F ⋅ ∆s
∆E
∆s
Die Division durch die Zeit ergibt die Leistung: P =
=F⋅
= F ⋅v.
∆t
∆t
2
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Für den Zusammenhang zwischen Leistung, Kraft und Geschwindigkeit gilt also:
P = F ⋅v
(2)
1
Mit der Rollreibungskraft FR = µ ⋅ m ⋅ g und der Luftreibung FL = ⋅ cW ⋅ A ⋅ ρ L ⋅ v 2 erhält
2
man für die mechanisch aufzubringende Leistung
Pmech = ( FR ⋅ + FL ) ⋅ v .
(3.1)
1
Pmech = µ ⋅ m ⋅ g ⋅ v + ⋅ cw ⋅ A ⋅ ρ L ⋅ v 3
(3.2)
=>
2
Mit Pmech ist die Leistung gemeint, die an den Rädern ankommen muss und nicht die
(elektrische) Leistung des Antriebs, die aufgrund von Reibungsverlusten, z.B. im Getriebe,
größer als Pmech sein muss.
Beispielrechnung: Bewegt sich ein Fahrzeug mit der Masse m = 1000 kg und den oben
angegebenen Daten und mit der Geschwindigkeit v1 = 50km / h ≈ 13,89m / s bzw.
v2 = 100km / h ≈ 27,78m / s , dann wird nach Gl. (3.2) die Leistung P1 (13,89m / s ) ≈ 3173 W
bzw. P2 (27,78m / s ) ≈ 13123 W benötigt.
Verdoppelt man die Geschwindigkeit von 50 km/h auf 100 km/h, so erhöht sich die benötigte
Leistung auf mehr als das Vierfache und verdoppelt man die Geschwindigkeit von 100 km/h
auf 200 km/h, so steigt die benötigte Leistung sogar auf mehr als das Sechsfache.
In Abb.1 ist die benötigte Leistung zur Aufrechterhaltung der Geschwindigkeit v mithilfe von
Gl. (3.2) für die unten aufgeführten Fahrzeugmassen in Abhängigkeit von der
Geschwindigkeit dargestellt. Man sieht, dass mit zunehmender Geschwindigkeit die Leistung
stark ansteigt und für kleinere Massen etwas weniger Leistung erforderlich ist.
Abb. 1: Die mechanische Leistung (in W) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit (in km/h)
für verschiedene Fahrzeugmassen
3
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Fazit: Die für die Fortbewegung benötigte Motorleistung ist bei hohen Geschwindigkeiten
proportional zur dritten Potenz der Geschwindigkeit (siehe Gl. (3.2)). Möchte man also mit
einem Fahrzeug schneller fahren, so benötigt man einen leistungsstarken Motor, dessen
Leistung im Grunde benötigt wird, um die Luft zur Seite zu schieben. Diese Fahrzeuge
werden dadurch auch unverhältnismäßig teuer, bedingt durch stärkeren Motor, stärkere
Bremsen, geringe Masse aufgrund teurer Materialien und einer mit Aufwand konstruierten
aerodynamischen Karosserie.
Möchte man die Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Leistung Pmech berechnen, so
muss man die Gl. (3.2) nach v auflösen, was relativ aufwendig ist, weil dann eine kubische
Gleichung für v vorliegt.
Die allgemeine kubische Gleichung
x3 + a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0
(4.1)
hat die folgende reelle Lösung, die auch Cardanische Formel genannt wird [2]:
x = 3 (−
a 3 ab c
a 3 ab c 2 1
a3
+
− ) + (−
+
− ) + [ ⋅ (− + b)]3
27 6 2
27 6 2
3
3
(4.2)
a 3 ab c
a 3 ab c 2 1
a3
+ 3 (−
+
− ) − (−
+
− ) + [ ⋅ (− + b)]3
27 6 2
27 6 2
3
3
Stellt man die Gleichung (3.2) um, so entsteht eine kubische Gleichung für v :
v3 +
2 Pmech
2⋅µ ⋅m⋅ g
⋅v −
=0
cW Aρ L
cW Aρ L
(5.1)
Der Vergleich von (4.1) mit (5.1) liefert für die Koeffizienten:
a = 0,
b=
2⋅µ ⋅m⋅ g
cW Aρ L
und
c=−
2 Pmech
cW Aρ L
(5.2)
Setzt man (5.2) in (4.2) ein, erhält man als reelle Lösung von (5.1):
v=3
Pmech
P
P
P
2⋅µ ⋅m⋅ g 3
2⋅µ ⋅m⋅ g 3
+ ( mech ) 2 + (
) + 3 mech − ( mech ) 2 + (
) (5.3)
cW Aρ L
cW Aρ L
3 ⋅ cW Aρ L
cW Aρ L
cW Aρ L
3 ⋅ cW Aρ L
Die Gleichung (5.3) ermöglicht die Berechnung der Maximalgeschwindigkeit des Fahrzeugs,
wenn die Leistung Pmech vorgegeben ist und man die übrigen Größen µ , m , cW und A als
Parameter auffasst.
4
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3. Die benötigte Energie E zum Zurücklegen der Strecke s
Für den Zusammenhang zwischen Energie, Kraft und Weg gilt in infinitesimaler Form:
dE = F ⋅ ds
F = FR + FL
dE = ( FR + FL ) ⋅ ds .
1
dE = ( µ ⋅ m ⋅ g + ⋅ cW ⋅ A ⋅ ρ L ⋅ v 2 ) ⋅ ds
2
E2
s2
1
2
dE
=
(
µ
⋅
m
⋅
g
+
⋅
c
⋅
A
⋅
ρ
⋅
v
)
⋅
W
L
∫
∫s ds
2
E1
1
Wegen
=>
=>
folgt
∆E = E2 − E1 = ( µ ⋅ m ⋅ g +
<=>
=>
(6)
1
⋅ cW ⋅ A ⋅ ρ L ⋅ v 2 ) ⋅ ∆s
2
∆E
1
= µ ⋅ m ⋅ g + ⋅ cW ⋅ A ⋅ ρ L ⋅ v 2
2
∆s
Energie pro Strecke:
(7)
(8)
Die pro Strecke benötigte Energie setzt sich nach Gl. (8) aus zwei Summanden zusammen,
wobei der eine Summand nur linear von der Masse und der andere Summand quadratisch von
der Geschwindigkeit abhängt.
Beispielrechnung:
v = 50km/h = 13,89m/s,
ρ L =1,20 kg/m3,
m = 1000 kg, µ = 0,015,
cW = 0,35,
∆W
J
A = 2m2
=>
≈ 228,2 benötigt.
m
∆s
Für eine Fahrstrecke von 1km ist somit (bei konstantem v = 50km/h = 13,89m/s) die Energie
von 228 kJ erforderlich.
Um eine Vorstellung von diesem Wert zu bekommen, sei bemerkt, dass man z.B. für 4
Minuten Staubsaugen bei einer Leistung von 1000 W eine Energie von 240 kJ benötigt.
4. Die Reichweite in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
Die mechanische Leistung Pmech nach Gl. (3.2) wird benötigt, um die Verluste durch
Rollreibungs- und Luftwiderstand auszugleichen.
Nur ein Teil der elektrischen Leistung, die aus den Akkus stammt, kann als mechanische
Leistung genutzt werden (Wirkungsgrad des Elektromotors, sonstige Reibungsverluste).
Elektromotoren können einen Wirkungsgrad von η ≥ 90% aufweisen und sind somit viel
günstiger als Verbrennungsmotoren, bei denen der Wirkungsgrad etwa 35% beträgt.
Es gilt
Mit
Pelek =
E Akku
t
Pmech
Pelek
mit
0 ≤η ≤1
folgt s = v ⋅
E Akku
Pelek
und mit Gl. (9)
η=
η ⋅ Pelek = Pmech <=>
s
t
und
v=
⇒
s =η ⋅v ⋅
E Akku
Pmech
(9)
(10)
5
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Setzen wir (3.2) in (10) ein und kürzen mit v , erhalten wir für die Reichweite:
s (v ) =
η ⋅ E Akku
1
2
µ ⋅ m ⋅ g + ⋅ cW ⋅ A ⋅ ρ L ⋅ v 2
.
(11)
Beispielrechnung: Für die Daten m = 1000kg, cW = 0,35,
ρL = 1,2 kg/m3,
2
A=2m ,
µ = 0,015,
EAkku = 10kWh, η = 0,9 und v1 = 50km / h ≈ 13,89m / s bzw.
v2 = 100km / h ≈ 27,78m / s können wir mithilfe von Gl. (11) folgende Reichweiten berechnen:
bzw.
s1 (50km / h) = 141992,2m ≈ 142km
s2 (100km / h) = 68749,5m ≈ 68,7 km .
Wenn man die Geschwindigkeit von 50 km/h auf 100 km/h erhöht, so sinkt die Reichweite
68,7 km − 142km
schon um beträchtliche
≈ −51,6% auf 48,4%.
142km
Für die in Abb.2 dargestellten Graphen (Reichweite in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit)
werden folgende Daten zugrunde gelegt: EAkku = 10 kWh = 36.106 Ws; cW = 0,35;
ρL = 1,2 kg/m3; A=2m2; µ = 0,015 und η = 0,9.
Abb.2: Die Reichweite s (in km) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v (in km/h) für
verschiedene Fahrzeugmassen bei EAkku = 10 kWh
Die Reichweite sinkt mit zunehmender Geschwindigkeit, weil die Energie dazu benutzt wird,
die Luftreibung zu überwinden. Man sieht auch, dass bei höheren Geschwindigkeiten der
Einfluss der Fahrzeugmasse auf die Reichweite abnimmt (die Graphen in Abb.2 laufen mit
zunehmendem v zusammen). Dies liegt daran, dass bei höheren Geschwindigkeiten der von
der Masse unabhängige Luftwiderstand für die Reibung verantwortlich ist (siehe Gl. (11)).
Fazit: Wer es eilig hat und schnell fährt, kommt nicht besonders weit. Man sollte auch
unnötige Gegenstände (Ballast) nicht im Fahrzeug mitführen, was sich bei relativ kleinen
Geschwindigkeiten ungünstig auf die Reichweite auswirkt.
6
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5. Die Reichweite in Abhängigkeit von der Akkukapazität
Die Reichweite s ist auf den ersten Blick bei konstanter Geschwindigkeit proportional zur
Akkukapazität EAkku (Gl. (11)), aber mit größerer Akkukapazität nimmt auch die
Gesamtmasse des Fahrzeugs zu, wenn man davon ausgeht, dass die Akkukapazität
proportional zur Akkumasse ist. Es stellt sich die Frage, welche Akkukapazität noch sinnvoll
ist, um die Reichweite zu maximieren. Gibt es möglicherweise ein Maximum der Reichweite
bei einer bestimmten Akkukapazität oder kann die Reichweite s mit zunehmender
Akkukapazität EAkku beliebig erhöht werden?
m = mnetto + m Akku
Es gilt:
und
E Akku = k ⋅ mAkku
(12)
E Akku
die Akku-Energiedichte, die ein Maß für die Akku-Effizienz ist. Setzen wir Gl.
mAkku
(12) in (11) ein, so können wir die Reichweite in Abhängigkeit von der Akkumasse
ausdrücken:
Sei k =
s (mAkku ) =
η ⋅ k ⋅ mAkku
(13)
1
2
µ ⋅ (mnetto + mAkku ) ⋅ g + ⋅ cW ⋅ A ⋅ ρ L ⋅ v 2
Zur Untersuchung von s (mAkku ) auf Extrema müssen wir s nach mAkku mithilfe der
Quotientenregel differenzieren.
⇒
s´(m Akku ) =
η ⋅ k ⋅ ( µ ⋅ g ⋅ mnetto + FL + µ ⋅ g ⋅ m Akku ) − η ⋅ k ⋅ m Akku ⋅ ( µ ⋅ g )
( µ ⋅ g ⋅ mnetto + FL + µ ⋅ g ⋅ m Akku ) 2
Notwendige Bedingung für Extrema ist:
(14)
s´(m Akku ) = 0
Es reicht, wenn der Zähler von (14) verschwindet, also folgt
η ⋅ k ⋅ ( µ ⋅ g ⋅ mnetto + FL + µ ⋅ g ⋅ mAkku ) − η ⋅ k ⋅ mAkku ⋅ µ ⋅ g = 0
<=>
µ ⋅ g ⋅ mnetto + FL = 0 .
Die letzte Gleichung ist unabhängig von mAkku ⇒ s(mAkku) hat kein relatives Maximum!
Globalverhalten von s (mAkku ) :
sGrenz :=
lim s(m
m Akku →∞
Akku
)=
lim
m Akku →∞
η ⋅ k ⋅ m Akku
1
2
µ ⋅ (mnetto + m Akku ) ⋅ g + ⋅ cW ⋅ A ⋅ ρ L ⋅ v 2
Kürzt man den Bruch mit mAkku und führt dann den Grenzwertprozess durch, dann erhält man:
sGrenz =
lim s(m
m Akku →∞
Akku
)=
η ⋅k
µ⋅g
(15)
7
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Das interessante Ergebnis (15) lehrt uns, dass es eine obere Schranke für die Reichweite –
nennen wir sie Grenzreichweite – gibt, auch wenn man die Akkumasse und somit die
mitgeführte Akku-Energie beliebig erhöhen würde. Diese obere Schranke der Reichweite ist
nicht abhängig von mAkku , sondern ist proportional zum Produkt aus dem Wirkungsgrad η
des Elektromotors und der Akku-Energiedichte k und umgekehrt proportional zum Produkt
aus dem Rollreibungskoeffizienten µ und der Erdbeschleunigung g. Es macht also keinen
Sinn, die Akkumasse beliebig zu erhöhen, stattdessen sollte man einen Elektromotor mit
größtmöglichem Wirkungsgrad einsetzen, die Effizienz der Akkus erhöhen, den
Rollreibungskoeffizienten verringern und eine Akkumasse so wählen, dass man sich im
oberen linearen Bereich des Graphen von s (mAkku ) nach Gl. (13) befindet.
Die Reichweite s (mAkku ) ist zwar streng monoton wachsend, aber nach oben beschränkt! Für
„kleine“ Werte von mAkku ist der Anstieg von s (mAkku ) fast linear (siehe Abb.3), dann
verflacht die Kurve und mit zunehmendem mAkku steigt s (mAkku ) nicht mehr so stark an und
nähert sich asymptotisch der Grenzreichweite aus (15) an. In der Praxis kann man natürlich
mAkku nicht beliebig erhöhen; realistisch lässt sich wohl maximal m Akku ≈ mnetto wählen.
Beispielrechnung:
EAkku = 30 kWh und mAkku = 300 kg
⇒ k = EAkku/mAkku = 0,1 kWh/kg = 3,6.105 Ws/kg
Permanentgeschwindigkeit:
Querschnittsfläche:
Luftwiderstandsbeiwert:
Dichte der Luft:
Rollreibungskoeffizient:
Wirkungsgrad des E-Motors:
Nettomasse des Fahrzeugs:
=>
Reichweite:
v = 50km / h ≈ 13,89m / s
A = 2 m2
cW = 0,35
ρL = 1,2 kg/m3
µ = 0,015
η = 0,9
mnetto = 750 kg
s = 412,6 km bei v = 50km / h , sGrenz = 2201,8 km und
s = 203,0 km bei v = 100km / h .
Unter diesen Bedingungen ( v = 50km / h ) erreicht man also eine Reichweite, die etwa
ein Fünftel der Grenzreichweite beträgt und für v = 100km / h beträgt der Anteil der
Reichweite an der Grenzreichweite nur noch knapp ein Zehntel.
8
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Abb.3: Darstellung der Reichweite (in km) in Abhängigkeit von der Akkumasse (in kg) für die
Leermassen: mnetto = 500kg, 750kg und 1000kg bei v=13,89m/s=50km/h
Fazit: An den Graphen in Abb.3 sieht man, dass für kleine Akkumassen die Reichweite fast
proportional mit der Akkumasse wächst, aber dann mit zunehmender Akkumasse stärker
abflacht. Und wegen einer nicht erreichbaren Höchst-Reichweite (Grenzreichweite) sGrenze
nach Gl. (15) werden sich die Graphen der Reichweiten sogar von unten dieser oberen
Schranke anschmiegen. Es macht also nur Sinn soviel Akkukapazität mitzuführen, sodass
man noch im „linearen Bereich“ des Graphen von s(mAkku) bleibt, denn mit zunehmender
Akkumasse nimmt einerseits die Trägheit des Fahrzeugs zu und andererseits ist die
Reichweite nach oben beschränkt. Ein anderer Aspekt sind die Kosten, die mit zunehmender
Akkumasse auch steigen und praktisch gesehen kann ein Fahrzeugrahmen natürlich nur eine
begrenzte Akkumasse tragen.
Von Interesse ist evtl. noch der Anteil der Reichweite s (m Akku ) von der HöchstGrenzreichweite sGrenz . Der Quotient aus den Gl. (13) und (15) ergibt
s (m Akku )
µ ⋅ g ⋅ m Akku
=
≤1
1
sGrenz
2
µ ⋅ (mnetto + m Akku ) ⋅ g + ⋅ cW ⋅ A ⋅ ρ L ⋅ v
2
(16)
Dieser Quotient ist nach Gl. (16) in Abb.4 in Abhängigkeit von m Akku dargestellt.
9
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Abb.4: Der Quotient aus der Reichweite und der Grenzreichweite in Abhängigkeit von der
Akkumasse bei mnetto = 750kg und v=50km/h
Fazit: Auch hier sieht man, dass es sinnvoll ist, mAkku so zu wählen, um im linearen Bereich
des Graphen aus Abb. 4 zu bleiben, was etwa für m Akku ≈ mnetto noch erfüllt ist.
6. Literatur
[1]
W. Demtröder, Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme, Springer Verlag, Berlin
Heidelberg 1994
[2]
W. Greiner, Theoretische Physik, Band 2: Mechanik II, Verlag Harri Deutsch,
Thun 1982
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