F r M

9. Dynamik der Drehbewegung
© Peter Riegler, FH Wolfenbüttel
Motivation:
Kinematik von Translation und Rotation sind völlig analog:
Translation
”
Position r
Rotation
Winkel ”
ϕ
”
”=
r
Winkelgesch. ê Drehvektor ”
ω=”
ϕ
Geschwindigkeit v
–
–
”
”
”
”
ω=”
ϕ
Beschleunigung a = v = r Winkelsbeschl. ê Drehbeschl. α = ”
÷”
Dynamik der Translationsbewegung wird durch (resultierende) Kraft F und Trägheit m bestimmt. Was sind die
analogen Größen der Rotationsbewegung?
9.1 Drehmoment
Erfahrung: Um mit gegebener Kraft einen Körper möglichst effektiv in Drehung zu versetzen, muss man
æmöglichst weit außen angreifen
æ und möglichst tangential zu beabsichtigten Drehung.
F
r
M
Φ
Eine Kraft F, die im Abstand r von einer Drehachse auf einen Körper angreift, verursacht ein Drehmoment ("Drehkraft")
÷÷÷”
÷”
M = ”r ä F .
drehdyn-2.nb
2
Sein Betrag ist M = r F sinF, seine Richtung ergibt sich auch der Drei-Finger-Regel der rechten Hand. F ist der
÷”
Winkel zwischen ”r und F (in dieser Reihenfolge!)
÷”
÷”
Beachte ”r ä F = - F ä ”r
Die SI-Einheit des Drehmoments ist [M]=1Nm (kein eigener Name).
Beispiel: Drehmomente an einem Balken
l1
F1
α
l2
F2
resultierendes Moment?
Mres = F2 l2 − Cos@αD F1 l1
Analog zum 1. Newtonschen Gesetz gilt:
Ein drehbar gelagerter Körper befindet sich im Gleichgewicht (d.h. ruht oder bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit), wenn das resultierende angreifende Moment 0 ist.
drehdyn-2.nb
3
Beispiel: Drehbewegung eines Massenpunktes
y
ω
r
F
m
ϕ
x
Drehmoment
M = r F;
Beschleunigung des Massenpunktes
F = m a;
Zusammenhang Beschleunigung - Winkelbeschleunigung
a =rα;
flZusammenhang Drehmoment - Winkelbeschleunigung:
M
m r2 α
Erkenntnis: Drehmoment ∂ Winkelbeschleunigung
(vgl. Translationsbewegung: Kraft ∂ Beschleunigung)
Proportionalitätskoeffizient (m r2 ) heißt Trägheitsmoment des Massenpunktes.
drehdyn-2.nb
4
9.2 Dynamische Grundgleichung
Drehender Körper besteht aus infinitesimalen Massenpunkten dm=rdV (Dichte r=dm/dV). Jeder Massenpunkt erfährt
gleiche Winkelbeschleunigung a.
Drehmoment, das auf einen Massenpunkt im Abstand r von der Drehachse wirkt:
dM = dm r2 α;
y
dm=ρ dV
dϕ
r
x
R
z
Gesamtmoment ist Summe aller Teilmomente dM:
M = J‡ r2 dmN α
Die Integration erstreckt sich über die Gesamtmasse. J = Ÿ r2 dm heißt Trägheitsmoment des Körpers um seine
Drehachse. Offensichtlich hängt der Wert von J von der Lage der Drehachse ab.
drehdyn-2.nb
5
Dynamisches Grundgesetz bei Drehbewegungen
÷÷÷”
÷÷÷”
Für die Summe aller an einem Körper angreifenden Drehmomente M = ⁄ M i gilt
°
÷÷÷”
M = J ÷w”
°
Dabei ist ÷a” = ÷w” der Vektor der Winkelbeschleunigung und J das Massenträgheitsmoment des Körpers. Momente
sind also die Ursache von Winkelgeschwindigkeitsänderungen.
Wegen der Analogie zwischen Translation und Rotation Ha õa, F õ M ) ist das Massenträgheitsmoment die zur
Masse analoge Größe Hmõ J ). Wie die Masse eines Körpers seine Trägheit gegenüber Beschleunigung misst,
qunantifiziert das Massenträgheitsmoment die Trägheit eines Körpers gegenüber Drehbeschleunigung.
9.3 Trägheitmomente
Das Trägheitsmoment eines Körpers mit Masse m ,Volumen V und Dichte r = d m ê d V ist
J = Ÿ r2 d m = Ÿ r r2 d V
dabei ist r der Abstand von der Drehachse des Körpers. Das Trägheitsmoment eines Körpers misst seine Trägheit
gegen Drehbewegung.
Beispiel: Massenträgheitsmoment eines Würfels
z
z
y
y
x
x
a)
b)
a) Drehung um Achse durch Körperschwerpunkt um z-Achse mit Kantenlänge a
drehdyn-2.nb
6
Clear@aD
Ja = ρ ‡
aê2
aê2
‡
−aê2
−aê2
aê2
‡
−aê2
Hx2 + y2 + z2 L x y z
a5 ρ
4
m = ρ a3
a3 ρ
Ja
m
a2
4
a2
Ja = m
4
b) Drehung um Achse durch Würfelkante
Jb = ρ ‡
a
0
a5 ρ
Jb
m
a2
Jb = a2 m
a
‡
0
a
‡
0
Hx2 + y2 + z2 L x y z
drehdyn-2.nb
7
9.4 Schwerpunkt
Wie muss man einen Körper der Masse M unterstützen, der der Schwerkraft unterliegt, damit er sich nicht bewegt?
÷”
öAuf jede inifinitesimale Teilmasse dm wirkt Kraft dF =dm ÷g”
æ Keine Translation: Resultierende Kraft muss 0 sein.
÷”
Auf den Körper wirkt die Gewichtskraft F G = Ÿ dm ”
g=M”
g
÷”
flHaltekraft = -F G
æ Keine Rotation: Resultierende Drehmoment muss 0 sein.
÷÷÷”
1
”
”
Auf den Körper wirkt das Drehmoment M = Ÿr d F = (Ÿ ”r dm)äg
dm ⋅ g
r
S
rS
− FG
Haltekraft greife im Punkt S an
÷÷÷”
” + ”r äH-m ÷g”L
fl Resultierendes Moment M ges = (Ÿ ”r dm)äg
s
fl Resultierendes Moment ist dann und nur dann gleich 0, wenn
Ÿ ”r dm-r”s H-mL=0
”
Ÿ r dm
”
rs = m
Dieser Punkt heißt Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt des Körpers
Der Schwerpunkt eines Körpers ”rs hat die Position
”
”
Ÿ r dm
Ÿ r ρdV
”
rs = = .
m
m
drehdyn-2.nb
8
Der Schwerpunkt eines Systemes von N Massenpunkten mi an den Positionen ”ri liegt bei
” m
⁄r
”
i i .
rs = ⁄m
i
Beispiel: Schwerpunkt eines Würfels mit inhomogener Massenverteilung
Beispiel: Schwerpunkt eines Systems von Massenpunkten
Zwei Massenpunkte in der Ebene
÷÷÷÷÷” = 80, 0<;
m1 = 1; r
1
÷÷÷÷÷” = 83, 6<;
m2 = 2000; r
2
m1 ÷÷÷÷
r÷1” + m2 ÷÷÷÷
r÷2”
÷÷r÷” = êê N
s
m1 + m2
82.997, 5.99401<
9.5 Analogie von Translations- und Rotationsbewegung
Translation
”
Position r
Rotation
Winkel ”
ϕ
”
”
Geschwindigkeit v = r
Drehvektor ”
ω=”
ϕ
”
–
–
”
”
”
”
Beschleunigung a = v = r Drehbeschleunigung α = ”
ω=ϕ
”
”
Kraft F
Drehmoment M
Masse m
Trägheitsmoment J
”
”
Dyn. Grundgesetz F = m ”
a
Dyn. Grundgesetz M = J ”
α
drehdyn-2.nb
Lernziele
æ Grundlegende Gesetze der Drehbewegung kennen und erklären können.
æ Massenträgheitsmoment und Schwerpunkt definieren und für einfache Körper berechnen können.
æ Bewegungsgleichung der Drehbewegungen von Körpern aufstellen können und für einfache Fälle selbst lösen
können.
Literatur
obligatorisch
Tipler: 8.1, 8.2, 8.7 oder Feynman: 18-1, 18-2, 19-1, 19-2, 19-3
weiterführend
Tipler: 8, 9; Feyman: 18, 19, 20
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