¨Uber ausgewählte inverse Probleme der Geophysik, Geodäsie und

Über ausgewählte inverse Probleme der Geophysik,
Geodäsie und medizinischen Bildgebung und neuere
numerische Ansätze zu ihrer Regularisierung
Volker Michel, Department Mathematik, Universität Siegen
Inverse Probleme, wie sie typischerweise in den Geowissenschaften und der medizinischen Bildgebung auftreten, haben verschiedene Gemeinsamkeiten: Der
Definitionsbereich der gesuchten Funktion ist oft eine Kugel oder Sphäre, und
die Probleme sind meist schlecht gestellt und mit großen numerischen Herausforderungen verbunden. Beispiele solcher Probleme sind, in den Geowissenschaften, die Analyse von Satellitendaten zur Erdbeobachtung, die Identifikation und
Quantifikation von klimabedingten Wassermassentransporten (Gletscherschmelze, Regenzeiten, . . . ) und die Erkundung des Erdinneren auf der Grundlage von
Gravitationsfeld- und Erdbebendaten. Eng verwandt mit Problemen dieser Art
ist beispielsweise die Inversion von Daten des elektrischen Potentials und des
Magnetfelds am Kopf zur Lokalisierung von neuronalen Strömen.
In dem Vortrag wird u.a. auch kurz auf die Modellierung und die sich aus der
mathematischen Theorie ergebenden Schwierigkeiten zur Lösung obiger Probleme eingegangen. Wir widmen uns ferner insbesondere der Frage, wie man numerisch solche Probleme lösen kann. Hierbei wird ein vom Vortragenden und seiner
Arbeitsgruppe entwickelter Beste-Basis-Algorithmus (Regularized (Orthogonal)
Functional Matching Pursuit) vorgestellt, der Ansatzfunktionen verschiedenen
Typs miteinander kombinieren kann, um mit möglichst wenig Basisfunktionen
eine möglichst genaue Rekonstruktion der unbekannten Lösung zu erzielen. Das
Verfahren basiert auf Vorarbeiten von Mallat und Zhang sowie von Vincent und
Bengio zur Interpolation von Daten. Neu ist hierbei, neben der Klassen der verwendeten Ansatzfunktionen auf Sphäre und Kugel, dass auch inverse Probleme
mit dem Algorithmus gelöst werden können und dass eine Regularisierung in
das Verfahren eingebaut werden kann. Letzteres ist insbesondere relevant, da bei
den genannten Anwendungsproblemen Rauschen extreme Auswirkungen auf die
Lösung haben kann.
Neben theoretischen Resultaten (u.a. Konvergenzsätze) werden verschiedene numerische Ergebnisse für simulierte und reale Beispiele gezeigt.
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