Quantenfeldtheorie II SS 15 Prof. Jan Plefka ¨Ubungsblatt 4 Abgabe

Quantenfeldtheorie II
SS 15
Prof. Jan Plefka
Übungsblatt 4
Abgabe Mittwoch 03.06 nach der Vorlesung – Besprechung am Freitag 05.06
Aufgabe 4.1 – Landau Pol im Standardmodell (5 Punkte)
Was ist die Position des Landau Pols der QED, wenn Sie die Beiträge aller Fermionen
im Standardmodell, d.h. Elektronen, Muonen und Tauonen (mit Ladung Q = −1), sowie
neun up-artige Quarks (3 Farben mal 3 Familien) mit Ladungen Q = 2/3 sowie neun
down-artige Quarks mit Ladungen Q = −1/3, hinzunehmen?
Aufgabe 4.2 – Vakuumpolarisation in skalarer QED (10 Punkte)
Betrachten Sie die Theorie eines komplexen Skalarfeldes φ, welches an das elektromagnische Feld Aµ gekoppelt ist. Die Lagrangedichte ist
L = − 41 Fµν F µν + (Dµ φ)∗ (D µ φ) − m2 φ∗ φ
wobei Dµ = ∂µ + ieAµ die eichkovariante Ableitung ist.
a) Überprüfen Sie mit Hilfe des Pfadintegrals, dass der Propagator des komplexen Skalarfeldes sich nicht von dem des reellen Feldes
i
= 2
p
p − m2 + iε
unterscheidet. Vergewissern Sie sich ferners, dass die Feynmanregeln der Wechselwirkungen zwischen Photonen und skalaren Teilchen durch
ν
p′
µ = −ie(p + p′ )µ ,
p
= 2ie2 g µν
µ
gegeben sind.
b) Berechnen Sie unter Verwendung obiger Feynmanregeln den Beitrag des geladenen
Skalars zur Vakuumpolarisation des Photons mittels dimensionaler Regularisierung.
Beachten Sie, dass in der skalaren QED zwei Diagramme existieren. Um die erwartete
Form des Ergebnisses
Πµν (q) = (g µν q 2 − q µ q ν )Π(q 2 )
zu erhalten, ist es hilfreich, beide Diagramme erst zu addieren und die Terme auf
einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Anschließend sind die Feynmanparameter
einzuführen.
Zeigen Sie weiterhin, dass für −q 2 ≫ m2 der Beitrag des geladenen Boson zu Π(q 2 )
genau 1/4 des Beitrages des virtuellen Elektron-Positron-Paares ist.
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Aufgabe 4.3 – Pauli-Villars Regularisierung der Selbstenergie des Elektrons
(5 Punkte)
Führen Sie die in der Vorlesung skizzierte Berechnung der Elektronselbstenergie auf
Einschleifennivieau durch. Der relevante Graph lautet
p−k
iΣ2 (/p) =
p
p
k
= (−ie)
2
Z
d4 k µ i(k/ + m0 )
−i
γ 2
γµ
2
4
2
(2π)
k − m0 + iǫ (k − p) − µ2 + iǫ
wobei wir formal eine Photonmasse µ eingeführt haben, die am Ende auf Null gesetzt
wird.
a) Führen Sie Feynmanparameter ein und vereinfachen Sie das Integral mittels quadratischer Ergänzung, um
Z 1
Z
x/p − 2m20
d4 k
2
dx
iΣ2 (p/) = 2e
(2π)4 [k 2 − ∆ + iǫ]2
0
mit ∆ = (1 − x)(m20 − xp2 ) + xµ2 zu erhalten.
b) Wir wollen die Divergenzen dieses Integrals nun mithilfe zweier Regulatoren bestimmen. Zum einen in der bekannten dimensionalen Reduktion d = 4 − 2ǫ. Zum anderen
mittels der Pauli-Villars Methode. Hierbei führt man ein massives Pauli-Villars Photon ein, das die Masse Λ trägt und einen Propagator mit umgekehrten Vorzeichen
besitzt:
(p −
−i
−i
−i
−→
−
2
2
2
2
− µ + iǫ
(p − k) − µ + iǫ (p − k) − Λ2 + iǫ
k)2
Wir sehen, dass für große Impulse das Verhalten auf 1/k 4 gedämpft wird wohingegen
für endliche k und Λ → ∞ der Beitrag des PV-Photons verschwindet.
In der expliziten Berechnung von Σ2 in PV-Regularisierung zieht man von dem obigen
Ausdruck für iΣ2 (/p) einfach den selbigen Ausdruck mit µ → Λ ab.
c) Vergleichen Sie die so erhaltenen Divergenten Ausdrücke in DR und PV Regularisierung!
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