1 Übungsaufgaben zum Prüfungsteil 1 Lineare Algebra/Analytische

Übungsaufgaben zum Prüfungsteil 1
Lineare Algebra /Analytische Geometrie
Aufgabe 1
Von der Ebene E ist folgende Parameterform gegeben:
⎛1⎞
⎛ −2 ⎞
⎛ 3⎞
E : x = ⎜ − 4 ⎟ + r ⋅ ⎜ 0 ⎟ + s ⋅ ⎜ 3 ⎟ ; r, s ∈ 0
⎜ −3 ⎟
⎜1⎟
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
a) Durch geeignete Wahl der Parameter r und s erhält man einen Punkt P der Ebene E, bei dem alle Koordinaten übereinstimmen.
Berechnen Sie die Parameter r und s entsprechend und geben Sie die Koordinaten
des Punktes P an.
b) Der Koordinatenursprung O(0 | 0 | 0) und die Punkte P(−1 | −1 | −1) und Q(0 | −3 | 0)
bilden die Eckpunkte eines Dreiecks.
Zeigen Sie, dass das Dreieck OPQ rechtwinklig ist, und geben Sie an, bei welchem
Eckpunkt der rechte Winkel liegt.
Aufgabe 2
⎛ x⎞
Gegeben sind die beiden Punkte P(1 | 4 | −1) und L(−2 | 6 | −1) sowie der Vektor v = ⎜⎜ −3 ⎟⎟
⎝ 6⎠
mit der unbekannten Komponente x ∈0.
a) Stellen Sie eine Parametergleichung für die Strecke s zwischen den Punkten P und
L auf.
b) Bestimmen Sie die fehlende Komponenten des Vektors v so, dass der Vektor senkrecht zur Strecke s ist, und berechnen Sie anschließend seine Länge.
[Zur Kontrolle: x = −2]
c) Stellen Sie eine Parametergleichung für eine Gerade g auf, die die Strecke s in der
Mitte senkrecht schneidet.
Aufgabe 3
Die Gerade g verläuft durch die beiden Punkte P(0 | 0 | 1) und Q(1 | 4 | −2). In der Ebene E liegen die x2-Koordinatenachse und der Punkt R(−2 | 2 | 5).
a) Stellen Sie für die Gerade g und für die Ebene E jeweils eine Gleichung in Parameterform auf.
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes S der Geraden g mit der
Ebene E.
[Zur Kontrolle: S(2 | 8 | −5)]
c) Bestimmen Sie denjenigen Punkt S' auf der Geraden g, der vom Geradenpunkt P
gleich weit entfernt ist wie der Durchstoßpunkt S.
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Aufgabe 4
Die Ebene E und die Gerade g werden durch die folgenden Parametergleichungen beschrieben:
⎛ 2⎞
⎛ 0⎞
⎛ 6⎞
⎛ 0⎞
⎛ 1⎞
E : x = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ + r ⋅ ⎜⎜ 0 ⎟⎟ + s ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ; r, s ∈0 und g : x = ⎜⎜1⎟⎟ + t ⋅ ⎜⎜ −1⎟⎟ ; t ∈0
⎝1⎠
⎝1⎠
⎝5⎠
⎝ 1⎠
⎝ −2 ⎠
a) Weisen Sie nach, dass die Gerade g echt parallel zur Ebene E verläuft.
b) Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Geraden h an, die parallel zu g verläuft
und in der Ebene E liegt.
c) Angenommen, eine Gerade j liegt in der Ebene E, ist aber nicht mit der
Geraden h identisch.
Nennen Sie alle möglichen Lagebeziehungen, die für diese Gerade j und die Gerade g infrage kommen, und begründen Sie Ihre Antworten kurz.
2
Hinweise und Tipps
Aufgabe 1
r a) Bestimmen Sie den Ortsvektor eines Punktes, bei dem alle Koordinaten übereinstimmen.
r
Setzen Sie diesen Ortsvektor mit der vorgegebenen Ebenengleichung gleich und
lösen Sie das daraus resultierende lineare Gleichungssystem.
r
Vergessen Sie nicht, die Parameter r und s sowie die Koordinaten des Punktes P
anzugeben.
r b) Bilden Sie die Seitenvektoren des Dreiecks jeweils als Differenz der Ortsvektoren
zweier Eckpunkte des Dreiecks.
r
Überlegen Sie, welche Eigenschaft das Skalarprodukt zweier Vektoren erfüllt,
wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
r
Berechnen Sie jeweils das Skalarprodukt zweier Seitenvektoren.
r
Entnehmen Sie dem Vektorpaar, das aufeinander senkrecht steht, den gemeinsamen Eckpunkt, bei dem der rechte Winkel liegt.
r
Alternativ: Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks.
r
Wenden Sie die Umkehrung des Satzes des Pythagoras an.
Aufgabe 2
r a) Stellen Sie die Zwei-Punkte-Form der Strecke zwischen den Punkten P und L auf.
r
Beachten Sie, dass bei einer Strecke der Definitionsbereich für den Parameter eingeschränkt ist.
r b) Überlegen Sie, welche Eigenschaft das Skalarprodukt zweier Vektoren erfüllt,
wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
r
Der Vektor v und der Richtungsvektor der Strecke s stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt den Wert null annimmt.
r
Bestimmen Sie aus dieser Bedingung die unbekannte Komponente x.
⎛ v1 ⎞
r
Für die Länge eines Vektors v = ⎜ v 2 ⎟ gilt: | v | = v12 + v 2 2 + v 3 2
⎜v ⎟
⎝ 3⎠
r c) Für den Mittelpunkt M der Strecke PL gilt: m = 12 ⋅ (p + )
r
Nutzen Sie aus, dass der Vektor v aus Teilaufgabe b senkrecht zur Strecke s liegt.
r
Stellen Sie eine Punkt-Richtungsform der Geradengleichung auf.
3
Aufgabe 3
r a) Stellen Sie die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung auf.
r
Die x2-Koordinatenachse kann als Gerade aufgefasst werden.
r
Entnehmen Sie der Geradengleichung für die x2-Koordinatenachse einen Anbindungspunkt und einen Spannvektor für die Ebene.
r
Mithilfe des Punktes R, der nicht auf der x2-Koordinatenachse liegt, kann der
zweite Spannvektor für die Ebene gebildet werden.
r
Stellen Sie mithilfe des Anbindungspunktes und der Spannvektoren eine Ebenengleichung auf.
r b) Beachten Sie, dass der Durchstoßpunkt S sowohl auf der Geraden g als auch in
der Ebene E liegt.
r
Setzen Sie die Geraden- und die Ebenengleichung gleich und lösen Sie das resultierende lineare Gleichungssystem.
r
Geben Sie mithilfe der Lösung die Koordinaten des Durchstoßpunktes an.
r c) Veranschaulichen Sie den vorgegebenen Sachverhalt in einer Skizze.
r
Überlegen Sie, welche Beziehung zwischen den Vektoren PS und SP besteht.
r
Nutzen Sie diese Beziehung, um den Ortsvektor von S' zu berechnen.
Aufgabe 4
r a) Zeigen Sie zunächst, dass die Gerade g parallel zur Ebene E verläuft.
r
Was muss in diesem Fall für den Richtungsvektor der Geraden und die Spannvektoren der Ebene gelten?
r
Weisen Sie nach, dass sich der Richtungsvektor der Geraden als Linearkombination der Spannvektoren der Ebene darstellen lässt.
r
Nun könnte noch der Fall vorliegen, dass die Gerade g in der Ebene E liegt.
r
Schließen Sie diese Möglichkeit aus, indem Sie eine Punktprobe durchführen.
r b) Überlegen Sie, welche Eigenschaft die Richtungsvektoren paralleler Geraden erfüllen.
r
Wählen Sie einen geeigneten Anbindungspunkt und stellen Sie die Punkt-Richtungsform der Geraden auf.
r c) Überlegen Sie zunächst, welche Lagebeziehungen die Geraden j und h in der
Ebene E zueinander haben können.
r
Entscheiden Sie anschließend, welche Folgerung sich daraus für die Lagebeziehungen der Geraden j und g ergibt.
4
Lösung
Aufgabe 1
a) Der Punkt P, bei dem alle Koordinaten übereinstimmen, besitzt mit einem weiteren Parameter t ∈0 den Ortsvektor
⎛t⎞
p = ⎜ t ⎟.
⎜t⎟
⎝ ⎠
Um nun die Parameter r, s und t zu bestimmen, wird der Ortsvektor des Punktes P
mit der Parameterform der Ebene E gleichgesetzt:
⎛ t ⎞ ⎛ 3⎞
⎛1⎞
⎛ −2 ⎞
⎜ t ⎟ = ⎜ −4 ⎟ + r ⋅ ⎜ 0 ⎟ + s ⋅ ⎜ 3⎟
⎜ t ⎟ ⎜ −3 ⎟
⎜1⎟
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen:
I t = 3 + r − 2s
II t = − 4 + 3s
III t = −3 + r + 4s
I
t = 3 + r − 2s
II
t = − 4 + 3s
III − I 0 = − 6 + 6s ⇔ 6 = 6s ⇔ s = 1
Einsetzen von s = 1 in II:
t = − 4 + 3 ⋅ 1 = −1
Einsetzen von s = 1 und t = −1 in I:
−1 = 3 + r − 2 ⋅ 1
r = −1 − 3 + 2
r = −2
Die gesuchten Parameter lauten r = −2 und s = 1 und der Punkt P besitzt die Koordinaten P(−1 | −1 | −1).
b) Im Dreieck OPQ bilden die Vektoren OP, OQ und PQ die Dreiecksseiten.
⎛ −1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −1⎞
OP = ⎜ −1⎟ − ⎜ 0 ⎟ = ⎜ −1⎟
⎜ −1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞
OQ = ⎜ −3 ⎟ − ⎜ 0 ⎟ = ⎜ −3 ⎟
⎜ 0⎟ ⎜0⎟ ⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 1⎞
PQ = ⎜ −3 ⎟ − ⎜ −1⎟ = ⎜ −2 ⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5
Das Dreieck ist dann rechtwinklig, wenn zwei dieser Seitenvektoren aufeinander
senkrecht stehen. Dies ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist.
⎛ −1⎞ ⎛ 0 ⎞
OP OQ = ⎜ −1⎟ ⎜ −3 ⎟ = ( −1) ⋅ 0 − 1 ⋅ ( −3) − 1 ⋅ 0 = 0 + 3 − 0 = 3 ≠ 0
⎜ −1 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −1⎞ ⎛ 1⎞
OP PQ = ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ = −1 ⋅ 1 − 1 ⋅ ( −2) − 1 ⋅ 1 = −1 + 2 − 1 = 0
⎜ −1⎟ ⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞
OQ PQ = ⎜ −3 ⎟ ⎜ −2 ⎟ = 0 ⋅ 1 − 3 ⋅ ( −2) + 0 ⋅ 1 = 0 + 6 + 0 = 6 ≠ 0
⎜ 0 ⎟ ⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Die Vektoren OP und PQ stehen senkrecht aufeinander. Der rechte Winkel wird
von diesen Vektoren eingeschlossen und liegt somit beim Eckpunkt P.
Alternativ:
Für die Seitenlängen des Dreiecks gilt:
⎛ −1⎞
OP =⏐OP⏐= ⎜ −1⎟ = ( −1) 2 + ( −1) 2 + ( −1) 2 = 3 [LE]
⎜ −1⎟
⎝ ⎠
⎛ 0⎞
OQ =⏐OQ⏐= ⎜ −3 ⎟ = 0 2 + ( −3) 2 + 0 2 = 9 = 3 [LE]
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎛ 1⎞
PQ =⏐PQ⏐= ⎜ −2 ⎟ = 12 + ( −2) 2 + 12 = 6 [LE]
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
Es gilt:
2
2
OP + PQ = 3 + 6 = 3 2 = OQ
2
Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras ist das Dreieck OPQ rechtwinklig mit den Katheten OP und PQ sowie der Hypotenuse OQ. Der rechte Winkel
liegt somit beim Eckpunkt P.
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Aufgabe 2
a) Um eine Parametergleichung für die Strecke zwischen den Punkten P und L zu
erhalten, wählt man als Anbindungspunkt einen der beiden Punkte und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor zwischen den Punkten. Damit nur die Strecke
zwischen P und L durch die Parameterform dargestellt wird, muss der Definitionsbereich des Parameters entsprechend eingeschränkt werden.
⎡⎛ −2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ −3 ⎞
s : x = p + r ⋅ PL = ⎜ 4 ⎟ + r ⋅ ⎢⎜ 6 ⎟ − ⎜ 4 ⎟⎥ = ⎜ 4 ⎟ + r ⋅ ⎜ 2 ⎟ ; 0 ≤ r ≤ 1
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎝ −1⎠
⎝ ⎠
⎣⎢⎝ −1⎠ ⎝ −1⎠ ⎦⎥ ⎝ −1⎠
Strecke
s, wenn das Skalarprodukt von dem
b) Der Vektor v ist dann senkrecht zur Vektor v und dem Richtungsvektor PL der Strecke s gleich null ist:
⎛ x ⎞ ⎛ −3 ⎞
⎜ −3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = 0
v PL = 0 ⇔
⎜ 6⎟ ⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔ x ⋅ ( −3) − 3 ⋅ 2 + 6 ⋅ 0 = 0
⇔
⇔
⇔
−3x − 6 = 0
⏐+ 6
−3x = 6 ⏐: ( −3)
x = −2
Für x = −2 steht der Vektor v senkrecht zur Strecke s. Der gesuchte Vektor lautet
−
2
⎛
⎞
damit v = ⎜⎜ −3 ⎟⎟ .
⎝ 6⎠
Für seine Länge gilt:
⎛ −2 ⎞
| v | = ⎜ −3 ⎟ = ( −2) 2 + ( −3) 2 + 6 2 = 4 + 9 + 36 = 49 = 7 [LE]
⎜ 6⎟
⎝ ⎠
c) Die Mitte bzw. der Mittelpunkt der Strecke s berechnet sich mit der Formel:
1 1 ⎡⎛ 1⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎤ 1 ⎛ −1⎞ ⎛ − 0,5 ⎞
m = ⋅ (p + ) = ⋅ ⎢⎜ 4 ⎟ + ⎜ 6 ⎟⎥ = ⋅ ⎜ 10 ⎟ = ⎜
5 ⎟ ⇒ M( − 0,5 | 5 | − 1)
2
2 ⎢⎜⎝ −1⎟⎠ ⎜⎝ −1⎟⎠ ⎥ 2 ⎜⎝ −2 ⎟⎠ ⎜⎝ −1⎟⎠
⎣
⎦
Mit dem Mittelpunkt M der Strecke s als Anbindungspunkt und dem zur Strecke s
⎛ −2 ⎞
senkrecht stehenden Vektor v = ⎜⎜ −3 ⎟⎟ als Richtungsvektor lautet die Parameterform
⎝ 6⎠
der Geradengleichung:
⎛ −2 ⎞
⎛ − 0,5 ⎞
g: x = m+ t⋅v =⎜
5 ⎟ + t ⋅ ⎜ −3 ⎟ ; t ∈ 0
⎜ −1⎟
⎜ 6⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
Anmerkung:
Die Gerade ist nicht eindeutig festgelegt, da es beliebig viele Richtungsvektoren
gibt, die senkrecht zur Strecke s sind.
7
Aufgabe 3
a) Mit dem Anbindungspunkt P und dem Richtungsvektor PQ lautet die Parameterform der Geraden g durch P und Q:
⎡⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎤ ⎛ 0 ⎞
⎛ 0 ⎞
⎛ 1⎞
g : x = p + r ⋅ PQ = ⎜ 0 ⎟ + r ⋅ ⎢⎜ 4 ⎟ − ⎜ 0 ⎟⎥ = ⎜ 0 ⎟ + r ⋅ ⎜ 4 ⎟ ; r ∈ 0
⎜1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ −3 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎣⎢⎝ −2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 1 ⎠
Da die x2-Koordinatenachse in der Ebene E liegt, kann der Koordinatenursprung
als Anbindungspunkt und der Richtungsvektor der x2-Koordinatenachse als erster
Ebene verwendet werden. Als zweiter Spannvektor kann der VerSpannvektor der
bindungsvektor OR gewählt werden. Die Ebenengleichung lautet damit:
⎛ 0 ⎞
⎛0⎞
⎛ 0⎞
⎛ −2 ⎞
⎛ 0⎞
E : x = ⎜ 0 ⎟ + s ⋅ ⎜ 1 ⎟ + t ⋅ OR = ⎜ 0 ⎟ + s ⋅ ⎜ 1 ⎟ + t ⋅ ⎜ 2 ⎟ ; s, t ∈ 0
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎜ 5⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
b) Für die Berechnung des Durchstoßpunktes S werden die Vektorgleichungen von
Gerade und Ebene gleichgesetzt und das daraus resultierende lineare Gleichungssystem wird gelöst.
⎛0⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛0⎞
⎛ −2 ⎞
⎜0⎟ + r ⋅⎜ 4⎟ = ⎜0⎟ + s ⋅⎜1⎟ + t ⋅⎜ 2⎟
⎜1⎟
⎜ −3 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝0⎠
⎝ 5⎠
I
r = −2t
II
4r = s + 2t
III 1 − 3r = 5t
I
r = −2t
II + I
5r = s
III + 3 ⋅ I 1 = − t ⇔ t = −1
Einsetzen von t = −1 in I:
r = −2 ⋅ ( −1) = 2
Einsetzen von r = 2 in II:
5 ⋅ 2 = s ⇔ s = 10
Die Koordinaten des Durchstoßpunktes S ergeben sich entweder durch Einsetzen
von r = 2 in die Geradengleichung oder durch Einsetzen von s = 10 und t = −1 in
die Ebenengleichung.
⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛ 0⎞
s = ⎜ 0 ⎟ + 2 ⋅ ⎜ 4 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 8 ⎟ = ⎜ 8 ⎟ ⇒ S(2 | 8 | − 5)
⎜1⎟
⎜ −3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ − 6 ⎟ ⎜ −5 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Alternativ:
⎛0⎞
⎛ −2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛ 0⎞
s = ⎜ 0 ⎟ + 10 ⋅ ⎜ 1 ⎟ − 1 ⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜10 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 8 ⎟ ⇒ S(2 | 8 | − 5)
⎜ 0⎟
⎜0⎟
⎜ 5 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ −5 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8
c) Vom Punkt P gelangt man zum
Durchstoßpunkt S
mit dem Verbindungsvektor PS. Die Entfernung
der beiden Punkte entspricht der Länge dieses Vektors. Um ausgehend von P zum Punkt S' zu gelangen, startet man
wieder im Punkt P und hängt den
Gegenvektor SP an. Da der Gegenvektor die gleiche Länge besitzt, ist die Entfernung zwischen S' und P gleich der Entfernung zwischen S und P.
⎛ 0 ⎞ ⎡⎛ 0 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎤ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞
s' = p + SP = ⎜ 0 ⎟ + ⎢⎜ 0 ⎟ − ⎜ 8 ⎟⎥ = ⎜ 0 ⎟ + ⎜ −8 ⎟ = ⎜ −8 ⎟ ⇒ S'( −2 | −8 | 7)
⎜ 1 ⎟ ⎢⎜ 1 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎥ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜ 7 ⎟
⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Aufgabe 4
a) Die Gerade g verläuft parallel zur Ebene E, wenn der Richtungsvektor der Geraden und die beiden Spannvektoren der Ebene linear abhängig sind. Dies ist der
Fall, wenn sich der Richtungsvektor als Linearkombination der Spannvektoren
darstellen lässt.
⎛ 6⎞
⎛ 2⎞
⎛ 0⎞
⎜ −1⎟ = k ⋅ ⎜ 0 ⎟ + ⋅ ⎜ 1 ⎟
⎜ −2 ⎟
⎜1⎟
⎜ 5⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
I
6 = 2k
⇔ k =3
II −1 = ⇔ = −1
III −2 = k + 5
Einsetzen von k = 3 und ; = −1 in III:
−2 = 3 + 5 ⋅ ( −1)
−2 = 3 − 5
−2 = −2 (wahre Aussage)
Die Gerade g verläuft parallel zur Ebene E.
Um nun noch auszuschließen, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, wird mithilfe einer Punktprobe gezeigt, dass der Anbindungspunkt der Geraden die Ebenengleichung nicht erfüllt.
⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞
⎛ 2⎞
⎛0⎞
⎜1⎟ = ⎜ 0 ⎟ + r ⋅ ⎜ 0 ⎟ + s ⋅ ⎜ 1 ⎟
⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟
⎜1⎟
⎜5⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
I
1 = 2r
⇔ r=
1
2
II 1 = s
⇔ s =1
III 1 = 1 + r + 5s ⇔ 0 = r + 5s
9
Einsetzen von r =
0 = 12 + 5 ⋅ 1
1
2
und s = 1 in III:
0 = 5 12 (falsche Aussage)
Der Anbindungspunkt der Geraden g liegt nicht in der Ebene E. Folglich verläuft
die Gerade g echt parallel zur Ebene E.
b) Als Anbindungspunkt der Geraden h eignet sich jeder beliebige Punkt der Ebene E. Der Einfachheit halber wird der Anbindungspunkt von E gewählt. Da die
Gerade h parallel zur Geraden g verlaufen soll, wird als Richtungsvektor der
Richtungsvektor der Geraden g übernommen. Die Parameterform lautet damit:
⎛ 6⎞
⎛ 0⎞
h : x = ⎜ 0 ⎟ + m ⋅ ⎜ −1 ⎟ ; m ∈ 0
⎜1⎟
⎜ −2 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
c) Da angenommen wird, dass die Gerade j in der Ebene E liegt, aber nicht identisch
mit der Geraden h ist, müssen nur die folgenden beiden Fälle untersucht werden:
• Die Gerade j liegt in der Ebene E
und verläuft echt parallel zur Geraden h.
In diesem Fall verläuft die Gerade j
auch echt parallel zur Geraden g.
• Die Gerade j liegt in der Ebene E
und besitzt einen Schnittpunkt mit
der Geraden h.
In diesem Fall verläuft die Gerade j
windschief zur Geraden g.
Als mögliche Lagebeziehungen kommen daher nur echt parallel oder windschief
infrage.
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