- Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
und Fachschule
- staatlich anerkannt -
Schuljahr 2016/2017
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
und Fachschule
- staatlich anerkannt -
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II
Schuljahr 2016/2017
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II
Aufgabe 1:
Aufgabe 3:
Ein Lebensmittelhändler führt in seinem Sortiment auch abgepackte Wurstwaren, die
Ein Skiort wirbt mit seiner Schneesicherheit und mit seinem großen Skigebiet. Langjäh-
wöchentlich geliefert werden und die nach Ablauf der Haltbarkeitsfristen nicht mehr ver-
rige Wetteraufzeichnungen belegen jedoch, dass es in diesem Skigebiet – während der
kauft werden können. Er muss immer 5-er Packungen abnehmen.
Hauptsaison – durchschnittlich an 20 % der Tage zu Schneestürmen kommt. An diesen
Durch Beobachtung stellt er fest, dass er von 60 eingekauften Packungen in 10% der
Tagen werden die Pisten gesperrt und niemand kann Ski fahren. Anna bucht während
Fälle 45, in 15% der Fälle 50 und in 20% der Fälle 55 Packungen verkauft hat. In den
der Hauptsaison an diesem Skiort ein Hotel für eine Woche (7 Tage).
übrigen Fällen verkaufte er die gesamte Wurst.
a) Bestimmen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass Sie in dieser Woche keinen
„Sturmtag“ erlebt?
Der Händler kauft die Packungen für 1,40 € ein und verkauft sie für 2,20 € pro Packung.
a) Fertigen Sie eine Verteilungstabelle der Zufallsvariable X an (X= Gewinn pro
Woche bei 60 eingekauften Packungen) und bestimmen Sie mit Hilfe des Erwar-
b) Bestimmen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau zwei „Sturmtage“ erlebt?
c) Bestimmen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass Sie nur an den ersten beiden
tungswertes, mit welchem Gewinn er bei 60 eingekauften Packungen langfristig
Tagen und den letzten drei Tagen Ski fahren kann? Erläutern Sie Ihre Vorgehens-
rechnen kann.
weise. (Achtung: die Aufgabenstellung ist nicht identisch mit b).)
d) Bestimmen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mehr als zwei „Sturmtage“,
b) Überprüfen Sie rechnerisch, ob er seinen Gewinn vergrößern kann, wenn er nur
50 Packungen bestellt.
c) Wie groß ist sein Gewinn, wenn er nur 45 Packungen bestellt?
aber höchstens 5 „Sturmtage“ erlebt?
e) Bestimmen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass Sie nur „Sturmtage“ erlebt?
f)
Der Besitzer eines Hotels in diesem Skiort bietet in der Hauptsaison folgendes Angebot: Sieben Tage Halbpension kosten pro Person 1000 €. Falls während dieser
sieben Tage an mindestens zwei Tagen die Pisten gesperrt sind, erhält der Gast ei-
Aufgabe 2:
ne Rückerstattung von 200 €.
Ein Glücksrad hat die Zahlen 1, 2 und 3 in unterschiedlich großen Sektoren. Daher tritt
Bestimmen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass der Hotelier einem Gast die Rück-
die Zahl 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % auf und die Zahl 2 in 30 % der Fälle.
erstattung zahlen muss.
g) Da das Angebot nicht die erhoffte Nachfrage hatte überlegt der Hotelier, ob er die
a) Wie oft muss man das Glücksrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% wenigstens einmal die Zahl 1 zu bekommen?
b) Das Glücksrad wird zu folgendem Glücksspiel verwendet: Der Spieler zahlt zunächst 1 € Einsatz. Dann wird das Glücksrad dreimal gedreht. Sind die drei ermittelten Zahlen verschieden, bekommt der Spieler seinen Einsatz zurück.
Kommt dreimal die „1“, erhält der Spieler 100 €. Sonst erhält er nichts. Ist dieses
Spiel fair?
(Hinweis: Überlegen Sie zunächst, wie viele Möglichkeiten es gibt drei verschiedenen
Zahlen zu drehen.)
Rückerstattung auf 400 € anheben soll. Überprüfen Sie mit Hilfe des Erwartungswertes, welche durchschnittlichen Einnahmen sich daraus ergeben.
h) Der Hotelier plant, an den „Sturmtagen“ ein Wellnessangebot einzurichten. Er überlegt für dieses Angebot pauschal 100 € pro Woche (7 Tage) zu verlangen. Falls der
Gast das Angebot an keinem Tag nutzt (d.h. an allen Tagen Ski fährt) bekommt er
dieses Geld erstattet. Überprüfen Sie mit Hilfe des Erwartungswertes, welche
durchschnittlichen Einnahmen sich nun ergeben.
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
und Fachschule
- staatlich anerkannt -
Schuljahr 2016/2017
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
und Fachschule
- staatlich anerkannt -
der Bewerber sind Männer, von denen 55 % das Abitur gemacht haben. Insgesamt besitzen 53% der Bewerber das Abitur. 20 % aller Bewerbungen stammen von Frauen mit
Abitur.
a) Erstellen Sie eine Vierfeldertafel und ein vollständiges Baumdiagramm zu dieser
Situation.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig herausgegriffene Bewerbung von einem Mann ohne Abitur ist?
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig herausgegriffene Bewerbung von einer Frau ohne Abitur ist?
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
genau 10 von einer Frau mit Abitur sind.
e) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
mindestens 5 von einer Frau mit Abitur sind.
f)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
höchstens 10 von einer Frau mit Abitur sind.
g) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
weniger als 5 von einer Frau mit Abitur sind.
h) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
mindestens 10, aber weniger als 20 von einer Frau mit Abitur sind.
i)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
mehr als 5, aber höchstens 10 von einer Frau mit Abitur sind.
j)
Der erste Teil der Eignungsprüfung ist ein Multiple-Choice-Test, der aus 10 Fragen besteht. Wie viele Antwortmöglichkeiten muss jede Frage mindestens haben,
damit die Wahrscheinlichkeit, dass jemand durch reines Raten alle Fragen richtig
beantwortet höchstens 0,1 % sein soll?
k) Ein gut vorbereiteter Bewerber beantwortet erfahrungsgemäß 75 % der Fragen
richtig. Wie groß darf die Zahl n der gestellten Fragen höchstens sein, damit ein
gut vorbereiteter Bewerber mit eine Wahrscheinlichkeit von mehr als 50 % alle n
Fragen richtig beantwortet?
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II
Aufgabe 4:
Eine gut florierende Firma möchte expandieren und neue Mitarbeiter einstellen. 60 %
Schuljahr 2016/2017
Tabelle für Aufgabe 3:
Schuljahr 2016/2017
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
und Fachschule
- staatlich anerkannt -
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
und Fachschule
- staatlich anerkannt -
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II
Schuljahr 2016/2017
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II
c) Wie groß ist sein Gewinn, wenn er nur 45 Packungen bestellt.
Lösungen
Aufgabe 1:
Ein Lebensmittelhändler führt in seinem Sortiment auch abgepackte Wurstwaren, die
In diesem Fall wird er stets alle Packungen verkaufen. Somit beträgt sein Gewinn:
wöchentlich geliefert werden und die nach Ablauf der Haltbarkeitsfristen nicht mehr ver-
E ( X ) = (2,20 − 1,40 ) ⋅ 45 = (0,80 ) ⋅ 45
= 36 .
kauft werden können. Er muss immer 5-er Packungen abnehmen.
Durch Beobachtung stellt er fest, dass er von 60 eingekauften Packungen in 10% der
Fälle 45, in 15% der Fälle 50 und in 20% der Fälle 55 Packungen verkauft hat. In den
übrigen Fällen verkaufte er die gesamte Wurst.
Der Händler kauft die Packungen für 1,40 € ein und verkauft sie für 2,20 € pro Packung.
Aufgabe 2:
Ein Glücksrad hat die Zahlen 1, 2 und 3 in unterschiedlich großen Sektoren. Daher tritt
die Zahl 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % auf und die Zahl 2 in 30 % der Fälle.
a) Fertigen Sie eine Verteilungstabelle der Zufallsvariable X an (X= Gewinn pro
Woche bei 60 eingekauften Packungen) und bestimmen Sie mit Hilfe des Erwartungswertes, mit welchem Gewinn er bei 60 eingekauften Packungen langfristig
rechnen kann.
45
50
55
60
45 ⋅ 2,20 − 60 ⋅ 1,40
50 ⋅ 2 ,20 − 60 ⋅ 1,40
55 ⋅ 2 ,20 − 60 ⋅ 1,40
60 ⋅ 2 ,20 − 60 ⋅ 1,40
Verkaufte Packungen
Einnahmen x i
Wahrscheinlichkeit
P ( X = xi )
= 15
= 26
0,1
= 37
0,15
= 48
0,2
E (X ) = (15 ) ⋅ 0,1 + (26 ) ⋅ 0,15 + (37) ⋅ 0,2 + (48 ) ⋅ 0,55 =
0,55
39,20
a) Wie oft muss man das Glücksrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% wenigstens einmal die Zahl 1 zu bekommen?
n

P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0 ) = 1 −    ⋅ 0,2 0 ⋅ (1 − 0,2)n − 0  ≥ 0,95
0
 

⇒
1 − 0,8 n ≥ 0,95
+ 0,8 n
Antwort:
⇔
1 ≥ 0,95 + 0,8 n
− 0,95
Man muss min-
n
⇔
0,05 ≥ 0,8
⇔
ln( 0,05 ) ≥ n ⋅ ln( 0,8 )
⇔
ln( 0 ,05 )
ln( 0 ,8 )
⇔
− 2,996
−0 ,223
⇔
13,43 < n
≤ n
ln
: ln( 0,59 ) und ln( 0,59 ) < 0
destens 14 mal
drehen, um die
Bedingung zu
erfüllen.
≤ n
b) Überprüfen Sie rechnerisch, ob er seinen Gewinn vergrößern kann, wenn er nur
50 Packungen bestellt.
45
50
45 ⋅ 2 ,20 − 50 ⋅ 1,40
50 ⋅ 2 ,20 − 50 ⋅ 1,40
Verkaufte Packungen
Einnahmen x i
Wahrscheinlichkeit
P (X = xi )
= 29
= 40
0,1
E (X ) = (29) ⋅ 0,1 + (40) ⋅ 0,9
b) Das Glücksrad wird zu folgendem Glücksspiel verwendet: Der Spieler zahlt zunächst 1 € Einsatz. Dann wird das Glücksrad dreimal gedreht. Sind die drei ermittelten Zahlen verschieden, bekommt der Spieler seinen Einsatz zurück.
Kommt dreimal die „1“, erhält der Spieler 100 €. Sonst erhält er nichts. Ist dieses
0,9
Spiel fair?
(Hinweis: Überlegen Sie zunächst, wie viele Möglichkeiten es gibt drei verschiedenen
Zahlen zu drehen.)
= 41,51
Schuljahr 2016/2017
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
und Fachschule
- staatlich anerkannt -
Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II
Einnahmen/Verlust
−1
0
0,812
(0,2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,5 ) ⋅ 6 = 0 ,18
xi
Wahrscheinlichkeit
P ( X = xi )
E (X ) = (− 1) ⋅ 0,812 + (0) ⋅ 0,18 + (100 ) ⋅ 0,008
=
100
(0,2)3
Schuljahr 2016/2017
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
und Fachschule
- staatlich anerkannt -
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II
d) Berechnen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mehr als zwei „Sturmtage“,
aber höchstens 5 „Sturmtage“ erlebt?
= 0,008
P (2 < X ≤ 5 ) = P (X ≤ 5 ) − P (X ≤ 2) = 0,9996 − 0,8520 = 0,1476
e) Berechnen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass Sie nur „Sturmtage“ erlebt?
− 0,012
7
P (X = 7 ) =   ⋅ 0,27 ⋅ (1 − 0,2)7 − 7 = 0,27
7
Letztlich ist das Spiel nicht fair, da der Erwartungswert nicht 0 ist. Der für den Betreiber zu
= 0,000013
erwartende Gewinn ist mit 1,2 Cent pro teilnehmenden Spieler jedoch recht gering.
Aufgabe 3:
f)
Ein Skiort wirbt mit seiner Schneesicherheit und mit seinem großen Skigebiet. Langjährige Wetteraufzeichnungen belegen jedoch, dass es in diesem Skigebiet – während der
Hauptsaison (diese umfasst 100 Tage) –
durchschnittlich an 20 % der Tage zu
Der Besitzer eines Hotels in diesem Skiort bietet in der Hauptsaison folgendes Angebot: Sieben Tage Halbpension kosten pro Person 1000 €. Falls während dieser
sieben Tage an mindestens zwei Tagen die Pisten gesperrt sind, erhält der Gast eine Rückerstattung von 200 €.
Schneestürmen kommt. An diesen Tagen werden die Pisten gesperrt und niemand
Berechnen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass der Hotelier einem Gast die Rück-
kann Ski fahren.
erstattung zahlen muss.
Anna bucht während der Hauptsaison dieses Angebot für eine Woche (7 Tage).
P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − 0,5767 = 0,4233
a) Bestimmen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass Sie in dieser Woche keinen
„Sturmtag“ erlebt?
g) Da das Angebot nicht die erhoffte Nachfrage hatte überlegt der Hotelier, ob er die
 7
P (X = 0) =   ⋅ 0,20 ⋅ (1 − 0,2)7 − 0 = 0,87 ≈ 0,2097
0
Rückerstattung auf 400 € anheben soll. Überprüfen Sie mit Hilfe des Erwartungswertes, welche durchschnittlichen Einnahmen sich daraus ergeben.
b) Berechnen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau zwei „Sturmtage“ erlebt?
„Sturmtage“
7
P (X = 2) =   ⋅ 0,2 2 ⋅ (1 − 0,2)7 − 2 = 2 ⋅ 0,04 ⋅ 0,33
 2
≈ 0,0264
Einnahmen/Verlust
xi
Wahrscheinlichkeit
c) Berechnen Sie die die Wahrscheinlichkeit, dass Sie nur an den ersten beiden
P ( X = xi )
0 oder 1
2 oder mehr
1000
600
0,5767
0,4233
Tagen und den letzten drei Tagen Ski fahren kann? Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise. (Achtung: die Aufgabenstellung ist nicht identisch mit b).)
Hier muss nur ein einziger Pfad eines potentiellen Baumdiagrammes betrachtet werden. Daher müssen die Einzelwahrscheinlichkeiten für die beiden Varianten „Sturmtag“ und „Skitag“ hier lediglich (in der passenden
Reihenfolge) miteinander multipliziert werden.
P (c ) = 0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 = 0,013
E (X ) = (1000) ⋅ 0,5767 + (600) ⋅ 0,4233
=
830,68
Schuljahr 2016/2017
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
und Fachschule
- staatlich anerkannt -
Schuljahr 2016/2017
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
und Fachschule
- staatlich anerkannt -
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II
h) Der Hotelier plant, an den „Sturmtagen“ ein Wellnessangebot einzurichten. Er über-
A+
legt für dieses Angebot pauschal 100 € pro Woche (7 Tage) zu verlangen. Falls der
A--
Gast das Angebot an keinem Tag nutzt (d.h. an allen Tagen Ski fährt) bekommt er
M
F
0,33
0,2
0,53
0,27
0,2
0,47
0,6
0,4
1
dieses Geld erstattet. Überprüfen Sie mit Hilfe des Erwartungswertes, welche
durchschnittlichen Einnahmen sich nun ergeben.
„Sturmtage“
Einnahmen/Verlust
xi
Wahrscheinlichkeit
P ( X = xi )
0
1
2 oder mehr
1000
1100
600
0,2097
0,367
0,4233
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig herausgegriffene Bewerbung von einem Mann ohne Abitur ist?
P (M ∩ A + ) = 0,33
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig herausgegriffene Bewer-
E (X ) = (1000) ⋅ 0,2097 + (1100) ⋅ 0,367 + (600) ⋅ 0,4233
bung von einer Frau ohne Abitur ist?
=
867,38
P (F ∩ A − ) = 0,2
d)
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
genau 10 von einer Frau mit Abitur sind.
Eine gut florierende Firma möchte expandieren und neue Mitarbeiter einstellen. 60 %
der Bewerber sind Männer, von denen 55 % das Abitur gemacht haben. Insgesamt be-
 50 
P (X = 10) =   ⋅ 0,210 ⋅ (1 − 0,2)50 −10
 10 
sitzen 53% der Bewerber das Abitur. 20 % aller Bewerbungen stammen von Frauen mit
≈
0,14
Abitur.
a) Erstellen Sie eine Vierfeldertafel und ein vollständiges Baumdiagramm zu dieser
Situation.
e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
mindestens 5 von einer Frau mit Abitur sind.
P (X ≥ 5 ) = 1 − P (X ≤ 4 ) = 1 − 0,185 = 0,815 siehe Tabelle
f)
F
M
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
höchstens 10 von einer Frau mit Abitur sind.
P (X ≤ 10) = 0,5836 siehe Tabelle
A+
A-
A+
A-
g)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
weniger als 5 von einer Frau mit Abitur sind.
P ( X < 5 ) = P ( X ≤ 4 ) = 0,0185 siehe Tabelle
Schuljahr 2016/2017
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe
und Fachschule
- staatlich anerkannt -
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Übungen zur Klausur Nr. 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung II
h) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
mindestens 10, aber weniger als 20 von einer Frau mit Abitur sind.
P (10 ≤ X < 20) = P (X ≤ 19) − P (X ≤ 9 ) = 0,9991 − 0,4437 = 0,5554
i)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei den nächsten 50 Bewerbungen
mehr als 5, aber höchstens 10 von einer Frau mit Abitur sind.
P (5 < X ≤ 10) = P ( X ≤ 10 ) − P ( X ≤ 5 ) = 0,5836 − 0,0480 = 0,5356
j)
Der erste Teil der Eignungsprüfung ist ein Multiple-Choice-Test, der aus 10 Fragen besteht. Wie viele Antwortmöglichkeiten muss jede Frage mindestens haben,
damit die Wahrscheinlichkeit, dass man durch reine Raten alle Fragen richtig beantwortet kleiner ist als 0,1 %?
10 
10
10 −10
P ( X = 10 ) =   ⋅ (n1 ) ⋅ (1 − (n1 ))
≤ 0,1
10 
⇒
1 ⋅ ( n1 ) ⋅ 1 ≤ 0,001
10
⇔
(n1 )10 ≤ 0,001
(n1 ) ≤ 0,5
⇔
2≤ 2
⇔
10
Antwort: xxxx
⋅ n : 0,5
k) Ein gut vorbereiteter Bewerber beantwortet erfahrungsgemäß 75 % der Fragen
richtig. Wie groß darf die Zahl n der gestellten Fragen höchstens sein, damit ein
gut vorbereiteter Bewerber mit eine Wahrscheinlichkeit von mehr als 50 % alle n
Fragen richtig beantwortet?
n
n −n
P ( X = n ) =   ⋅ 0,75 n ⋅ (1 − 0,75 )
≥ 0,5
n
 
⇒ 1 ⋅ 0,75 n ⋅ 1 ≥ 0,5
⇔
n ⋅ ln(0,75) ≥ ln(0,5)
⇔
n ≥
⇔
ln(0,5)
ln(0,75)
− 0,69
n ≥
≈ 2,38
− 0,29
ln
: ln(0,75)
Antwort: xxxxxx