Mathematisches Institut 16.11.2006 Numerik 1 – 4. ¨Ubungsblatt

Mathematisches Institut
16.11.2006
Prof. Dr. Kristian Witsch
Numerik 1 – 4. Übungsblatt
Aufgabe 9:
Man zeige: Die Koeffizienten b1 , . . . , bs einer s-stufigen Gaußformel mit Gewichtsfunktion w und Stützstellen c1 , . . . , cs und orthogonalen Polynomen φ0 , . . . , φs kann man auch aus dem linearen Gleichungssystem





µ0
φ0 (c1 ) . . .
φ0 (cs )
b1



  ..   0 
..
..
=





.  = µ 0 e1
.
.
.
 .. 
φs−1 (c1 ) . . . φs−1 (cs )
bs
0
Rb
mit µ0 = a w(x)φ0 (x)dx und dem ersten Einheitsvektor e 1 bestimmen.
Aufgabe 10:
Bestimmen Sie die Radau–Quadraturformel mit zwei Knoten.
Aufgabe 11:
Eine Folge {Sn } erfülle
Sn+1 − S = ρn (Sn − S)
mit ρn → ρ,
ρ 6= 1.
Zeigen Sie, dass die durch die Aitken’sche ∆ 2 -Regel erhaltene Folge {Sn0 } schneller als die ursprüngliche
Folge gegen S konvergiert, d. h.
Sn0 − S
→0
für n → ∞.
Sn − S
Die Folge {Sn0 } kann gegen S konvergieren ohne dass {S n } konvergiert.
Abgabe Mittwoch 22.11.2006 11.10 Uhr ( Übungsbriefkästen).
Übungen im WWW unter:
http://www.am.uni-duesseldorf.de/∼henn/html/lehre/numerik1-ws06.html
Programmieraufgabe 3 :
Rb
(a) Implementieren Sie den adaptiven Algorithmus zur Approximation von a f (x)dx. Schreiben
Sie dazu eine Funktion I=integral(f,a,b,tol). tol sei dabei die vorgegebene Fehlertoleranz.
Verwenden Sie die 3-stufige Gauß-Quadraturformel und den adaptiven Fehlerschätzer aus der
Vorlesung (nicht die Fehlerschätzer aus dem Skript von Prof. Hochbruck verwenden).
(b) Testen Sie Ihr Programm an der Funktion f (x) = 2 + sin(3 cos(0.002(x − 40) 2 )), [a, b] = [10, 110].
Abgabe der PÜ bis spätestens 28.11.2006.