Schaltungstechnik 2 Zusatzblatt

1 Schaltungstechnik - Allgemeines
1.4 Knotenspannungsanalyse
R
Stromgesetz KCL
Spannungsgesetz KVL
Kirchoff’s Current Law
Kirchoff’s Voltage Law
Knotenregel
X
ik (t) = 0
Knoten
in Umlaufrichtung positiv
Maxwell: rot E = 0
b − (n − 1) Gleichungen
Beschr.
Resitivität
Kapazitivtät
Induktivtät
Memristivität
u=R·i
q =C·u
Φ=L·i
Φ=M ·q
.
0
.
2.3.1 Dynamischer Pfad
Kapazität
Parallelschaltung
allgemein
u = u1 + u2
i = i1 = i2
q = q1 = q2
Φ = Φ1 + Φ2
u= u1 = u2
i = i1 + i2
q = q1 + q2
Φ = Φ1 = Φ2
resistiv
R = R1 + R2
kapazitiv
C = C 1+C2
1
2
L = L1 + L2
R = R 1+R2
1
2
C = C1 + C2
induktiv
Impedanz
Z = Z1 + Z2
Admittanz
Y = Y 1+Y2
1
2
Y ·Y
R ·R
Z =
Z1 ·Z2
Z1 +Z2
Y = Y1 + Y2
Kleinsignal
∆i = i − IAP
∆u = u − UAP
∂gi (u) ∂uj ∆i ≈ G · ∆u
G ist die Jakobimatrix
e
e
∆u ≈ R · ∆u
e
Großsignal: i ≈ IAP + G(UAP ) · (u − UAP )
Hybridbeschreibung
Inverse Hybridbeschr.
u1 = a1 (u2 , −i2 )
i1 = a2 (u2 , −i2 )
x∞ : x = 0 = Ax∞ + B v
e
e
UAP
i1 = h01 (u1 , i2 )
u2 = h02 (u1 , i2 )
x(t0 ) − x∞
∆t = t1 − t0 = τ ln
x(t0 ): Startwert,
Homepage: emareg.de - Fehler bitte sofort melden.
i
!
t1
x(t1 ) − x∞
x(t1 ): Zielwert,
.
u
–Usat
2
1. Fall A ist invertierbar (λ1/2 6= 0)
e
1. Transformation auf homogenes System:
.
.
(gültig, da x0 = x)
x0 = x − x∞
x∞ = −A−1 B v
(oder aus Schaltbild berechnen)
e
e
x00 = x0 − x∞
Anfangswerte auch transformieren!
Zustandsvariable z.B. (uC , iL )
Ausgangsvariable z.B. (u3 , i4 )
Erregungsvektor z.B. (U0 , I0 )
Systemmatrix
Einkopplungsmatrix
Auskopplungsmatrix
Durchgangsmatrix
x(t) ∈ Rn
y(t) ∈ Rk
v ∈ Rr
A ∈ Rn×n
e
B ∈ Rn×r
e
C ∈ Rk×n
e
D ∈ Rk×r
f
i
u
x(t)
τ
+
x∞
τ
τ > 0 : System stabil
τ < 0 : System instabil
Lösung:
GL
RL i
iC
GL
itr
u
2. Löse homogenes System x0 = Ax0
e
3. Gesamtlösung durch Rücktransformation: x = x0 + x∞
⇒ Verschiebung des Ursprungs um x∞
2. Fall A ist singulär (∃λ = 0)
e
itr
uC
i
R0
R1
RL
–Usat
2
u
I
II
–Usat –R
R0
I
II
u
Usat
III
i
R0
Usat
R
1
−Usat <
u
RL +R1
RL
u < Usat
positive Sättigung ud > 0 ⇔ uout = Usat
u = R0 i + Usat
0
Falls v01
=0
0
Falls v01
6= 0
ξ1 = const.


iwas
ξ∞ =  v0 
− λ2
0
ξ1 = v1
· t = ξ0,1
x0
0.37
x
t0 t0+
x(t) = x∞ + (x0 − x∞ ) exp
t − t0
−
τ
t
mit Eigenwert λ und Eigenvektor q
Vereinfachung für 2 × 2 Matrizen:
s
spA
spA 2
λ1/2 =
− det A
e ±
e
2
2
e
SpA = a11 + a22 ,
e
Zeitkonstante τ =
1
−λ
von Emanuel Regnath ([email protected])
Kein GGP!
3. Gesamtlösung durch Rücktransformation: x = Q · ξ
e
2.10 Nichtlineare dynamische Schaltungen 2. Grades
.
1. DGL aufstellen: x = f (x)
.
Aq = λq ⇒ (A − λ1)q = 0
e
e
det(A
− λ1) = e0
e
e
−1
Q
·
e
!
2. GGPs bestimmen: x = f (x) = 0
2.6 Eigenwerte(EW) λ bestimmen
x
.
1. Transformation auf Normalform: x = xA + B v
"
e# e
.
0
0
⇒ ξ = Λξ + v 0 mit Λ =
0
λ
e
e
2. Berechne Xi Lösungen:
v0
v0
ξ2 = − λ2 + ξ0,2 + − λ2 exp(λt)
negative Sättigung ud < 0 ⇔ uout = −Usat
u = R0 i − Usat
linearer Bereich ud = 0
u = − R0 RL · i
III
i
Zustandsgleichung:
.
.
Usat
2.5 NIK allgemein (Polung beachten)
2.3 Schaltungen ersten Grades
x(t) = −
i
uC
R1
RL
e
e
y(t) = C x(t) + D v(t)
e
f
Bv
e
Flip-Flop (Bistabile Schaltung):
R0
Allgemeine Ausgangsgleichung:
−1
2.9 autonome(inhomogene) Systeme mit v = const.
u
x∞ : (gedachter) GGP
iC
i
x∞ = −A
e
Oder aus Schaltbild berechnen:
Ersetze C → LL und L → KS, berechne x = x∞
Relaxationsoszillator (NIK Polung beachten!):
R0
⇒
t0
t
C
Inverse Kettenbeschr.
u2 = a01 (u1 , −i1 )
i2 = a02 (u1 , −i1 )
.
i < 0 ⇒ i fällt
.
i > 0 ⇒ i steigt
.
i = 0 ⇒ GGP
2.2 Dynamisches System
i=1
i1 = g1 (u1 , u2 )
i2 = g2 (u1 , u2 )
Kettenbeschreibung
2.8 Gleichgewichtspunkte(GGP) x∞ bestimmen
.
u < 0 ⇒ u fällt
.
u > 0 ⇒ u steigt
.
u = 0 ⇒ GGP
RL
Allgemeine Zustandsgleichung:
#
u>0⇒
u<0⇒
u=0⇒
i>0⇒
i<0⇒
i=0⇒
C
.
x(t) = Ax(t) + B v(t)
1
0
Falls a12 = a21 = 0 : q1 =
iL stetig, uL springt
.
1 · u(t)
i(t) = − L
2.1 Relaxationspunkte (Ruhepunkte)
mit k Ausgängen, n Zustandsgrößen und r Erregungen.
Die Zustandsgrößen x müssen einen stetigen Verlauf haben!
#
induktiv
RL
Ladungs/Flussgesteuert: Kandidaten nur bei u = 0/i = 0!
Sonst auch bei Knicken oder Wendestellen möglich.
a22 − λ1/2
−a21
#
0
q2 =
1
q1/2 =
uC stetig, iC springt
.
1 · i(t)
u(t) = − C
R1
sind die energetisch tiefsten Punkte der Kennlinie.
Prüfe ob von einen
´
Punkt(Kandidat) zu allen anderen Punkten u dq = WC > 0
#
kapazitiv
HF = s2
Leitwertbeschr.
u1 = r1 (i1 , i2 )
u2 = r2 (i1 , i2 )
u1 = h1 (i1 , u2 )
i2 = h2 (i1 , u2 )
.
uL = L · iL
n
P
∂E(x) .
Konservatives System:
xi = 0
∂x
1.3 Zweitore
Widerstandsbeschr.
−a12
q1/2 =
a11 − λ1/2
L ·L
L = L 1+L2
1
2
1.2 Linearisierung
Großsignal
i = IAP + ∆i
u = UAP + ∆u
ΩF = SH = H
=s
Ω
Induktivität
.
iC = C · uC
a21 6= 0 :
a12 6= 0 :
Einheiten
Elementare Differentialgleichungen
1.1.2 Eintorverschaltungen
Serienschaltung
U0 +RI0
RC
u(t)
Vereinfachung für 2 × 2 Matrizen, falls λ1 6= λ2 :
(i, )
2.4 Multivibrator mit RL = R0 = R1
[u] = V
[Φ] = V s = W b
C ·C
(u,q)
Zeitdauer auf linearen Pfaden:
... enthalten mindestens ein reaktives Bauelement und werden durch
differentielle Zustandsgleichungen beschrieben. Reaktive Bauelemente
können Energie speichern. Dadurch hängt ihr Verhalten vom vorherigen
Zustand ab.
[i] = A
[q] = As = C
u(t) = Φ(t)
´
Φ = Φ(t0 ) + tt u(τ )dτ
0
3. Aufstellen der Leitwertsmatrix Y k : Nur Leitwerte G eintragen!
e
1
C → jωC L → jωL
.
2 Dynamische Schaltungen
1.1.1 Allgemeine Zusammenhänge u, i, q, Φ
i(t) = q(t)
´
q(t) = q(t0 ) + tt i(τ )dτ
u(t) = − RC +
5. Leitwertsmatrix soweit es geht reduzieren:
Nullator: Spalten in Y k und iq so wie Zeilen in uk addieren.
Norator: Zeilen in Y e
k und iq so wie Spalten in uk addieren.
e
Falls mit Masse verbunden:
Spalte bzw. Zeile streichen!
linear
fR (u, i)
fC (u, q)
fL (i, Φ)
fM (q, Φ)
uC(t) ( ,q)
C
2. Nicht spannungsgesteuerte Elemente (dual)wandeln:
Spannungsquelle → Stromquelle
4. Bestimmung des Stromquellenvektors iq :
in Knoten reinfließender Strom positiv , rausfließenden negieren.
1.1 Bauelemente
Art
u(t)
U0
(A − λ1)q = 0 ⇒ Q = ker(A − λ1)
e
e
e
e
e
Merke: Eigenvektoren sind beliebig skalierbar!
(u,i)
1. Nicht lineare Elemente linearisieren
M asche
rausfließende positiv
Maxwell: div j = 0
(n − 1) Gleichungen
i(t) iC(t)
I0
Vorgehen:
Maschenregel
X
um (t) = 0
2.7 Eigenvektoren(EV) q bestimmen
uC (t) = A · sin(ωt)
Beispiele:
Yk
·
uk
=
iq
e
Spannungsvektor
Knotenleitwertsmatrix
Stromquellenvektor
1.0.1 Kirchoffsche Gesetze
Wähle
λ1 < λ2 det A = a11 a22 − a12 a21
e
C :
L:
.
uC = 0
.
iL = 0
⇒ iC = 0
⇒ uL = 0
⇒ LL
⇒ KS
3. Linearisiere in x∞ :
f (x) ≈ f (x∞ ) + J (x∞ ) · (x − x∞ )
e
4. Berechne EW und EV von J (x∞ ) für jeden GGP
e
5. Satz von Hartman:
Falls von J (x∞ ) der Realteil aller Eigenwerte ungleich null ist
(Re(λ) 6=e 0), dann verhält sich ein konservatives System in der
Umgebung von x∞ qualitativ genauso wie ein lineares System mit
J (x∞ ) als Systemmatrix.
e
Stand: 21. Februar 2012 um 12:03 Uhr
1
2.11 Normalform
Zeitsignal: x(t) = <[X · exp(jωt)] = A · cos(ωt + ϕ)
Um DGL’s 2ten Grades zu entkoppeln und auf zwei DGL’s ersten Grades
zurückzuführen. Transformiertes System = Diagonalisiertes System =
Xi-System in Xi-Koordinaten.
.
0
Λ
·
ξ(t)
+
v (t)
e
.
Q−1 B v(t)
Q−1 x(t)
Q−1 AQ Q−1 x(t)
e
e
ee e
e
e
Q: Matrix der Eigenvektoren Λ: Diagonalmatrix der Eigenwerte.
e
e
Rücktransformation
Transformation:
−1
ξ(t) = Q
x(t)
x(t) = Qξ(t)
e
e
Λ = Q−1 AQ
A = QΛQ−1
e0
e
e −1 e e
eee
B v(t)
v =Q
B v = Qv 0
e
e
e
e
=
ξ(t)
X = A · exp(jϕ) = A · cos(ϕ) + A · j sin(ϕ)
Zeiger:
x
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π
3π
2
2π
sin
0
3
2
1
2
0
−1
0
1
1
√
2
1
√
2
1
cos
0
−1
0
1
tan
0
1
2
√
3
2
√
3
3
∞
0
−∞
0
Impedanz
Resistanz
Z
R
1
Memristor
M
1
j
= −j
1
M
dann

b
arctan a



π


+ 2
^H(jω) = ϕ(ω) = − π
2


arctan b + π


a

b −π
arctan a
b
b
arctan − a = − arctan a
i
h
−a12
−a12
q 0 = a −a
Q0 = q 0
a11 −a22
11
22
1
2
−1
e
2
2
#
h
i
x0,1
x(t) = 1 + (A − λ1) · t · exp(λt) ·
x0,2
e
e
e
e
⇒ q ,,schneller”
2
Eigenwerte
x=0
Name
x=0
Name
λ1
0
0
λ2
Portrait
#
0
λ
λ<0
stabil
instabil
Sattelpunkt
stabil
Knoten 2
instabil
=
!
Eigenvektor
0
0
0
λ2
#
λ1 = 0, λ2 < 0
stabil
λ>0
"
λ
0
instabil
Homepage: emareg.de - Fehler bitte sofort melden.
Q=1/2
0:1!0 !0 10!0
#
1
λ
3.4 Ortskurven
·G
Berechne Markante Punkte von Y (jω) oder Z(jω) = U
= H(jω)
I
<Z(j0)
=Z(j0)
<Z(j∞)
=Z(j∞)
<Z(jω0 )
=Z(jω0 )
>
=
=
<
<
0
0, b
0, b
0, b
0, b
Differenzielle Energie: dE = p(t) dt = u(t) · i(t) dt
>
<
≥
<
0
0
0
0
1
Wirkleistung: Pw = T
instabil
λ<0
stabil
T́
p(t) dt
0
h
0
Q = <q
1
e
λ1 = λ2 = α + βj ∈ C
=q
i
1
h
= qr
q
i
j
h
i
= x0,1 · eαt · cos(βt)q − sin(βt) · q +
r
ji
h
+ x0,2 · eαt · sin(βt)q + cos(βt) · q
x(t)
Eigenwerte
j
x=0
Name
Portrait
qj
"
α
β
−β
α
#
α < 0, β 6= 0
stabil
Strudel
qr
q1
qj
α > 0, β 6= 0
instabil
Strudel
α = 0, β 6= 0
stabil
Wirbel
qr
q1
Knoten 3
R
Komplexe Leistung: P = 1
U I ∗ = Pw + jPB
2
Portrait
Knoten 1
2
Uef
f
2
Für lineare resistive Schaltungen: Pw = R · Ief
f =
qj
0
β
q1
−β
0
#
Zeitverlauf immer von q
j
nach q
r
bzw. von q
r
nach −q
qr
j
q2
Knoten 2
q1
λ>0
instabil
Knoten 3
q1
q2
Kamm
Kamm
0:1!0 !0 10!0
r
q1
"
0
0
#
0
0
"
0
0
#
1
0
λ=0
stabil
Ruheebene
q1
q2
λ1 = 0, λ2 > 0
a
a
a
a
a
Matrix Λ
q2
"
!#
Hauptvektor
q2
q2
0 < λ1 < λ2
für
für
für
für
für
"
q1
–¼=2
–¼
3.5 Leistung und Energie
q2
q1
q2
λ2 < λ1 < 0
"
Knoten 1
#
λ1 < 0 < λ2
#
q2
"
λ
0
Q→
'=0
∗
"
q2
"
(−1)n+m det Y nm (jω)
e
det Y k (jω)
Wichtige Regeln:
1
20 log10 a
= −20 log10 (a)
log10 (1) = 0
√ a = 10 log10 a
20 log10
Q
Faktorisieren:
Hi (jω)
P H(jω) =
P damit gilt:
v(ω) =
vi (ω)
ϕ(ω) =
ϕi (ω)
x(t) = x0,1 · exp(λ1 t) · q + x0,2 · exp(λ2 t) · q
1
2
Eigenwerte
·G=
e
R
jωL
1
Matrix Λ
Matrix Λ
UKm
In
λ1 = λ2 ∈ R
mit Anfangswerten x0,1 und x0,2
λ1 < λ2 U
1
Mehrere Erregungen mit unterschiedlicher Kreisfrequenz:
Getrennte
Zeigerrechnung
für
einzelne
Frequenzen,
zurücktransformieren und addieren.
.
Gegeben: Homogene Differnetialgleichungen der Form x = Ax
¼
¼=2
Polstellen ×, Nullstellen ◦
Polstellen = Eigenfrequenzen = Eigenwerte.
Polstellen haben negativen Realteil ⇒ Schaltung Stabil.
= |H(jω)| · exp jϕ(ω)
H(jω) = Uout =
in
Rechenregeln: A = a + jb = Âm exp(jϕ)
p
Radius Âm = a2 + b2
4 Lösen von homogenen DGLs
λ1 6= λ2 ∈ R
H(jω) =
Uout
Uin
:
3.3 Pol-Nullstellen-Diagramm (PN-Diagramm)
3.2 Übertragungsfunktion H(jω) = a + jb
jωC
jωC
d = jω)
Eigenschaften: eindeutig, linear, differenierbar ( dt
d i ⇒ U
Beispiel: uL = L · dt
l
L = L · jωI L
z2 (a−jb)
a2 +b2
Relax.
L→0
p
ω
2
p2 +p 0 +ω0
Q
Bei Knotenspannungsanalyse:
G=
jωL
z
40
20
0dB
–20
–40
Y
Spule
2
Komplexe Zahlen: a+jb
=
autonome Schaltung 2. Grades mit nur einem instabile GGP.
Van der Pol(L||C)
Stückweise
fast harmon.
J (x∞ ) =
λ1/2 =
J (x∞ ) =
"
#
"
#
e 1
e
1
1
−C
0
−C
R ± jω
RC
± 2L
0
1
1
R
0
±L
L
L
Suszeptanz
Vorraussetzung: lineares, eingeschwungenes System mit sinusförmiger
Erregung: x(t) = A · cos(ωt + ϕ) = A · sin(ωt + ϕ + π
)
2
A
H(p) = k ·
Reaktanz
Konduktanz
Kondensator
X
3
Y (jω) = G(jω) + jB(jω) : Admittanz I = Y · U
Admittanz
3 Komplexe Wechselstromrechnung
e
= cos(ωt) + j sin(ωt)
ω = 2πf
A = Xm = |X|
√
1
Z(jω) = R(jω) + jX(jω): Impedanz U = Z · I
Widerstand
jωt
√
3.1 Oszillatoren
λ=0
instabil
Ruhegerade
q2
"
0
0
q2
q1
Lösung für inhomogene DGL(v 6= 0) mit singulärer Matrix A (nicht entkoppelbar):
e
q2
"
#
0
0
λ1 = 0, λ2 < 0
instabil
Kamm
0
λ2
q1
#
1
0
λ=0
instabil
Knoten
q1
q1
von Emanuel Regnath ([email protected])
Stand: 21. Februar 2012 um 12:03 Uhr
2