gesamtenergie bewegt
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Thermodynamik Kapitel 9 Nicolas Thomas Nicolas Thomas Wärmestrahlung Wir wissen, dass heisse Objekte Energie abstrahlen. Jedes Objekt mit einer Temperatur > 0 K strahlt Energie ab. Die Intensität und Frequenzverteilung (oder Wellenlänge) dieser Emission ist temperaturabhängig. Aus Erfahrung wissen wir außerdem, dass Objekte Energie (Photonen) absorbieren können (denken Sie daran, was passiert, wenn Sie ein Stück schwarzes Papier in die Sommersonne legen). Das Gleichgewicht zwischen absorbierter und emittierter Energie durch Photonen (Strahlungs-)Prozesse ist ein weiteres wichtiges Konzept in der Physik. Nicolas Thomas Absorption und Reflektion Wir definieren Absorption als A(ν,T) = Aν (T), wobei ν die Frequenz ist. Wir benutzen die Frequenz, weil sie unabhängig vom Medium ist, durch die das Photon sich bewegt. Im freien Raum und für viele Anwendungen kann dies mithilfe einfacher Relationen in Wellenlänge umgerechnet werden c hc E ' ' hν λ c d 2 d Wir definieren Reflektion Rν (T) auf dieselbe Art. Nicolas Thomas 1 Rν(T) = 1 -Aν(T) Aν(T) Der absorbierte Teil ist Eins minus dem reflektierten Anteil. Aν(T) ist dimensionslos und stellt die Fähigkeit dar, Energie zu absorbieren. Nicolas Thomas Strahlungsdichte dΩ Abgestrahlte Energie n dσ dUν ' Eν(T)cosφ dν dΩ dσ dt Frequenzintervall Eν ist die Strahlungsintensität [W m -2 sr-1 Hz-1] (Auch als Spektrale Strahlungsdichte bezeichnet oder spektrale spezifische Ausstrahlung). Dies definiert den Energiefluß durch ein Oberflächenelement pro Raumwinkeleinheit, zwischen ν und ν + dν, pro Zeiteinheit. dσ cos n ist die Projektion des Oberflächenelements auf die senkrecht zum Lichtstrahl stehende Ebene. Nicolas Thomas Der Raumwinkel -Steradian Der Winkel, den vom Zentrum einer Kugel aus gesehen ein gegebenes Flächenstück der Kugel umfasst. Der numerische Wert des Raumwinkels ist gleich der Grösse des Flächenstücks im Verhältnis zum Quadrat des Radius der Kugel. Max steradian = 4 π Nicolas Thomas Schwarzkörperstrahlung Der Begriff „Schwarzer Körper“ wurde 1860 von Gustav Kirchhoff geprägt. Wenn Aν(T) = 1, haben wir einen sogenannten Schwarzkörper. Ein Schwarzkörper absorbiert alles Licht, bei allen Wellenlängen und aus allen Richtungen. Er ist ein idealer, perfekter Absorber. Solche Oberflächen existieren in der Wirklichkeit natürlich nicht (Lampenruss kommt dem nahe) und Objekte, die bei einer Wellenlänge schwarz erscheinen, können bei einer anderen Wellenlänge hochgradig reflektiv sein. Eine Näherung an einen Schwarzkörper kann mithilfe eines Gehäuses erreicht werden. Nicolas Thomas Schwarzkörper in der Praxis System in einem geschlossenen, isolierten Kasten mit stark absorbierenden Oberflächen. Eindringende Strahlung wird teilweise absorbiert und teilweise reflektiert. Das Loch ist so klein, dass nur eine vernachläsigbar kleine Menge an Strahlung hinaus gelangen kann. Nicolas Thomas Die Wände werden bei gleichmässiger Temperatur gehalten. Die Strahlungsenergie die durch das Flächenelement dσ strömt ist gegeben durch dUν ' Kν(T)cosφ dν dΩ dσ dt Wir sind im Gleichgewicht. Kν Eν Kν (1-Aν) Absorptionskoeffizient Kν(T) ' Eν(T) % Kν(T) (1 & Aν(T)) Nicolas Thomas Kirchhoff’sches Gesetz Kν(T) ' Eν(T) Aν(T) Aν(T)Kν(T) ' Eν(T) Gute Absorber sind gute Emitter Nicolas Thomas Video Time Nicolas Thomas Die Strahlungsfeld-Energiedichte Die von einem Oberflächenelement emittierte Energie bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit und daher füllt sie ein Volumen, das gegeben wird durch dV ' cosφ c dσ dt c dt n dσ dUν ' Kν(T)cosφ dν dΩ dσ dt Nicolas Thomas Die Strahlungsfeld-Energiedichte Die von einem Oberflächenelement emittierte Energie bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit und daher füllt sie ein Volumen, das gegeben wird durch dV ' cosφ c dσ dt c dt n Die Strahlungsfeld-Energiedichte innerhalb des Hohlraumes kann man dσ schreiben als Energie pro Volumeneinheit, so dass dUν Kν duν(T) ' ' dΩ dUν ' Kν(T)cosφ dν dΩ dσ dt dν dV c Die Strahlung kommt aus allen Richtungen mit derselben Intensität und kann über alle Raumwinkel integriert werden 1 uν(T) ' Kν dΩ m c Nicolas Thomas uν(T) ' 1 Kν dΩ cm Hier ist Kν unabhängig vom Winkel, so dass wir zu folgendem Endergebnis kommen 4π Kν(T) uν(T) ' c Nicolas Thomas -1 [J m Hz ] Dies ist als die Energiedichte eines isotropen Strahlungsfeldes bekannt und stellte einen wichtigen Ausgangspunkt für die Quantenmechanik dar. Wir werden uns jetzt zwei Ansätze ansehen: den klassischen Ansatz und den quantenmechanischen Ansatz, um die Energiedichte zu berechnen. -3 Klassischer Ansatz nx Der klassische Ansatz beginnt damit, dass man Licht als Reihe von Wellen betrachtet und die Anzahl an stehenden Wellen, die in einem Volumen mit perfekt reflektierenden Wänden existieren kann, berechnet. In einer Dimension, von einer Seite des Kastens und zurück = 2a =2 2a 2aν nx ' ' λ c nx = 1 a nx = 0,1,2,3,4,... x Nicolas Thomas Für jede Ausrichtung müssen wir die Richtungskosinus der Wellenrichtung definieren und die ganze Zahl entsprechend setzen. n ' cosα ex % cosβ ey % cosγ ez y ex, ey, ez sind Einheitsvektoren α z x Nicolas Thomas n@n ' cos2α % cos2β % cos2γ ' 1 Da jede Welle, egal welcher Richtung, eine stehende Welle sein muss, muss n xyz in jeder Richtung eine ganze Zahl sein. nx ' 2aν cosα c 2aν cosβ ny ' c 2aν cosγ nz ' c Wir quadrieren und addieren und erhalten n x2 % n y2 2 2 4a ν %nz2' c2 Diese Gleichung sieht aus wie die Gleichung für eine Kugel 2 2 2 x % y %z ' r 2 Prinzipiell gilt, wenn wir die n’s als Kartesische Koordinaten ansehen, dann beschreiben die Orte aller Punkte im nRaum, die einem Frequenzbetrag entsprechen, die Oberfläche einer Kugel. Nicolas Thomas “n-space” y α z x n in alle Richtungen muss eine positive ganze Zahl sein, so dass nur 1/8 der Kugel mit physikalisch realistischen Lösungen gefüllt ist. Die Anzahl kompletter Wellen mit Frequenz ν ist dann 2νa 3 4π( ) 3 1 4π a c Z(ν) ' ' ν3 3 8 3 c3 Sie können differenzieren, um die Anzahl der Wellen innerhalb dν zu bekommen. 3 4πa dZ(ν) ' ν2 dν c3 Nicolas Thomas 3 4πa dZ(ν) ' ν2 dν c3 Wir können jetzt diese Gleichung nehmen und in die Gesamtenergie umwandeln, indem wir mit der zur Frequenz korrespondierenden Energie multiplizieren. εν dν ' 2 dZ(ν) Eν Die 2 erscheint, weil Licht zwei Polarisierungen hat und daher für jede Welle zwei unabhängige Freiheitsgrade existieren, die die Energie 1 E ' 2 kT ' kT aufteilen. ν 2 Nicolas Thomas Jetzt teilen wir durch das Volumen des Kastens um die Energiedichte zu bekommen. 3 4πa dZ(ν) ' ν2 dν c3 3 4πa εν ' 2 ν2 kT c3 εν dν ' 2 dZ(ν) Eν εν 3 8πa ' ν2 kT V c3 a3 εν Volumen des Kastens 8π uν(T) ' ' kT ν2 V c3 Dies ist das sogenannte Rayleigh-Jeans Gesetz. Nicolas Thomas Dies ist das sogenannte Rayleigh-Jeans Gesetz. uν(T) ' εν V ' 8π kT ν2 c3 -3 [J m Hz ] Wir sollten über alle Frequenzen integrieren, um die Gesamtenergiedichte für alle Frequenzen in unserem Hohlraum zu bekommen. Aber wenn wir das tun... 4 u tot ' m 0 4 u(ν,T) dν ' 8π kT ν2 dν 6 4 c 3 m0 Oops! Nicolas Thomas -1 Quantenmechanischer Ansatz Lassen Sie uns annehmen, dass die Energie von Photonen gequantelt ist. Lassen Sie uns weiter annehmen, dass die Quantelung durch einen Oszillator repräsentiert werden kann. Der Oszillator besitzt nur positiv, ganzzahlige Vielfache von hν (h = Plancksche Konstante = 6,63 10-34 J s). P(E) ' α e &E/kT Die Anzahl Oszillatoren in jedem Zustand. N1 ' N0 e &hν/kT N1 ' N0 x Nicolas Thomas N2 ' N0 e &2hν/kT N2 ' N0 x 2 N3 ' N0 e &3hν/kT N3 ' N0 x 3 N2 ' N0 x 2 N1 ' N0 x E0 ' 0 E1 ' N0 hν x E2 ' N0 2 hν x 2 N3 ' N0 x 3 E3 ' N0 3 hν x 3 Etot ' N0 hν (0 % 1x % 2x 2 % 3x 3 .........) Ntot ' N0 (1 % x % x 2 % x 3 .........) E(ν) ' Nicolas Thomas Etot Ntot 0 % 1x % 2x 2 % 3x 3 ......... ' hν 1 % 1x % x 2 % x 3 ......... E(ν) ' Etot Ntot ' hν 0 % 1x % 2x 2 % 3x 3 ......... 1 % 1x % x 2 % x 3 ......... E(ν) ' hν e hν/kT & 1 Rayleigh-Jeans uν(T) ' εν ' 8π kT ν2 V c3 Dieser Faktor schneidet die Verteilung bei zunehmender Frequenz ab und verhindert, dass die Energiedichte unendlich wird. Das führt zu folgendem Ergebnis 3 8πhν 1 uν(T) ' c 3 e hν/kT & 1 Planck’sches Strahlungsgesetz Nicolas Thomas 3 8πhν 1 uν(T) ' c 3 e hν/kT & 1 uν(T) ' 4π Kν(T) c Aus der Beziehung zwischen Energiedichte und spektraler Intensität erhalten wir ... 3 2hν 1 Kν(T) ' Bν(T) ' c 2 e hν/kT & 1 [W m-2 sr-1 Hz-1] Oder ... 2 2hc 1 Bλ(T) ' λ5 e hc/λkT & 1 Nicolas Thomas [W m-2 sr-1 m-1] Nicolas Thomas 3000 K 2500 K 2000 K 1500 K 1000 K Nicolas Thomas Die Sonne als Schwarzkoerper Nicolas Thomas Planck’sche Funktion (und das Wien’sche Verschiebungsgesetz) 3000 K 2500 K 2000 K 1500 K 1000 K Nicolas Thomas Normalisierte Planck’sche Funktion 3000 K 2500 K 2000 K Nicolas Thomas Intensitätsmaximum Um das Maximum der Funktion zu finden, müssen wir differenzieren und schauen, wo dBν dν ' 0 Wenn wir das tun und in Wellenlänge umrechnen, erhalten wir λmaxT ' 0.29 cmK Wien’sches Verschiebungsgesetz Nicolas Thomas Der Strahlungsstrom und die Leuchtkraft Wenn wir eine Messung an einem nicht auflösbaren Objekt vornehmen, drücken wir die von unserem Detektor pro Zeiteinheit empfangene Energie aus. Zu diesem Zweck benutzen wir den Strahlungsstrom (Bestrahlungsstärke). Dies ist ein Fluss mit der Dimension [W m -2] oder der spektrale Strahlungsstrom mit der Dimension [W m-2 nm-1] oder [W m -2 Hz-1]. Beispiel: Hier haben wir den Sonnenfluss von der Sonne in der Erdumlaufbahn. Nicolas Thomas Sonnenfluss bei 1 astronomischen Einheit (AE) Die Energie, die bei der Frequenz in der Zeit auf das Flächenelement aus dem Raumwinkel dΩ unter dem Winkel, n, zur Flächennormale aus dem Raum empfangen wird, ist 1 dUν ' Kν(T)cosφ dΩ dFν(T) ' dσ dν dt Wenn das Stahlungsfeld isotrop ist, dann ist die Gesamtenergie, die die Oberfläche überquert Fν ' Kν cosφ dΩ m S Nicolas Thomas Lassen Sie uns nun annehmen, wir haben einen Schwarzkörper im Gleichgewicht mit dem Strahlungsfeld Fν ' Bν cosφ dΩ m S Nicolas Thomas Bν Bν Bν Lassen Sie uns nun annehmen, wir haben einen Schwarzkörper im Gleichgewicht mit dem Strahlungsfeld Bν Bν Fν ' Bν cosφ dΩ m Bν S π/2 2π Fν ' Bν m m cosφ sinφ dφ dΦ φ'0Φ'0 2π Fν ' Bν m Φ'0 Nicolas Thomas π/2 dΦ 1 d(sin2φ) m2 φ'0 dΩ ' sinφ dφ dΦ Unter Verwendung der Standarttabellen erhalten wir Fν(T) ' πBν(T) Nicolas Thomas Integrieren Sie über die Frequenz, um die Gesamtenergie, die das Oberflächenelement überquert, zu erhalten 4 4 F(T) ' F(ν,T) dν ' π B(ν,T) dν m m 0 0 4 2hν3 1 F(T) ' π dν m c 2 e hν/kT & 1 0 Nicolas Thomas Integrieren Sie über die Frequenz, um die Gesamtenergie, die das Oberflächenelement überquert, zu erhalten 4 4 F(T) ' F(ν,T) dν ' π B(ν,T) dν m m 0 0 4 2hν3 1 F(T) ' π dν m c 2 e hν/kT & 1 0 4 4 2π k 4 x3 dx F(T) ' T c 2 h 3 m0 e x & 1 Nicolas Thomas x ' dx ' hν kT h dν kT Ergebnis: 2π5 k 4 4 F(T) ' T 15 c 2 h 3 [W m-2] Definition: 5 4 2π k σ ' 15 c 2 h 3 Stefan-Boltzmann-Konstante Nicolas Thomas σ = 5.67 10 -8 Wm F(T) ' σT Nicolas Thomas 4 -2 K -4 [W m-2] Leuchtkraft Diese Kalkulationen werden vorwiegend zur Berechnung der Schwarzkörperstrahlung von Sternen eingesetzt. Sterne sind natürlich sphärisch. Die Oberfläche wird durch 4πr2 beschrieben. Wir kombinieren das mit der Schwarzkörperemission pro Flächeneinheit und erhalten die Leuchtkraft. L ' 4πr 2F ' 4πr 2 σT 4 Der Fluss in einer bestimmten Entfernung om Objekt wird dann bestimmt, indem man die Leuchtkraft [Einheit = W] mit der isotropen Emission benutzt, so dass sich für die Sonne folgendes ergibt FÀ ' Nicolas Thomas LÀ 4πd 2 FÀ = 1383 W m -2 bei 1 AE LÀ = 3.8 1026 W Der Strahlungsstrom und die Leuchtkarft Wenn wir eine Messung an einem nicht auflösbaren Objekt vornehmen, drücken wir die von unserem Detektor pro Zeiteinheit empfangene Energie aus. Zu diesem Zweck benutzen wir den Strahlungsstrom (Bestrahlungsstärke). Dies ist ein Fluss mit der Diemension [W m -2] oder der spektrale Strahlungsstrom mit der Dimension [W m-2 nm-1] oder [W m -2 Hz-1]. Die Sonne lässt sich annähernd als Schwarzkörper mit einer Temperatur von 5770 K ansehen. Nicolas Thomas Sonnenfluss bei 1 astronomischen Einheit (AE) Bestrahlungsstärke Der ankommende Fluss F oder Fu [W m -2 nm-1] Oft ist es am besten, den Sonnenfluss an der Erdumlaufbahn (1 AE von der Sonne entfernt) zu nehmen und wie folgt zu definieren... F 2 Rh wobei Rh der Abstand von der Sonne in [AE] ist. S = Sonnenfluss über alle Wellenlängen integriert, d.h. S Fd Nicolas Thomas [W m -2]= 1383 W m -2 bei 1 AE. Beispiel ...... Nicolas Thomas Beispiel: Titan Saturnmond 10 AE zur Sonne Durchmesser = 4500 km Sonne Gleichgewichtstemperatur von Titan ist? FÀ ' Nicolas Thomas LÀ 4πd 2 Nicolas Thomas
