01 Geschichte der Quantenmechanik

Die Geschichte der
Quantenmechanik
Kurt Bräuer
Institut für Theoretische Physik
25.04.2006
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1
'Urväter'
25.04.2006
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2
Strahlung schwarzer Körper: Max Plank 1900
Plank'sches Strahlungsgesetz:
(u: Strahlungsdichte, ν: Frequenz, T: Temperatur)
• Die Strahlungsdichte u eines schwarzen Strahlers hängt nur von der Temperatur des Strahlers
und von der Frequenz der emittierten Strahlung ab.
• Obere Kurve: Das klassische Gesetz von Rayleigh & Jean gilt nur für hohe Temperaturen
und niedere Strahlungsdichten. Es führt bei höheren Frequenzen zur Ultraviolettkatastrophe .
• Mittlere und untere Kurve: Strahlungsdichte nach dem Plank'schen Strahlungsgesetz für zwei
verschiedene Temperaturen.
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3
Photoelektrischer Effekt: Albert Einstein 1905
Photonenenergie:
Eγ = hν = =ω = mγ c 2
Photonenmasse:
hν
c2
Photonenimpuls:
mγ =
hν h
pγ = mc =
= = =k
c λ
Ein einlaufendes 'Lichtquant' γ löst ein Elektron e aus dem Festkörper. Entgegen den
klassischen Vorstellungen hängt die kinetische Energie des Elektrons nicht mit der
Lichtintensität zusammen sondern von der Lichtfrequenz ν.
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Spezifische Wärme fester Körper:
Albert Einstein 1905
Zustandssumme:
1
1 − e − hν / kT
n
Innere Energie der Einstein-Oszillatoren
Z ( hν / kT ) = ∑ e− nhν / kT =
U (T ) = 3Nhν
1
ehν / kT
3NkT ;
 →
hν << kT

− hν / kT
3
;
ν
Nh
e
− 1  →
hν >> kT
Spezifische Wärme:
dU
C=
dT
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Struktur der Atome:
Ernest Rutherford 1911, Niels Bohr 1913
Bohr's Phasenraumbedingung:
Wirkung S = v∫ pdq = nh
Phasenraumvolumen des Oszillators:
p2
+ 2π 2 mvq 2 = E = nhν
2m
Frequenzbedingung für Linienspektren:
ν=
1
( Ea − Eb )
h
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Compton-Effekt: Arthur Holly Compton 1923
Energiebilanz:
1
Eγ = hν 0 = hν c + me v e2
2
Impulsbilanz:
hν 0 hν c

cos θ + me v e cos ϑ
p
=
=
 x
c
c

 p = 0 = − hν c sin θ + m v sin ϑ
e e
 y
c
Verschiebung der Compton-Linie:
2hν cν 0
2θ
sin
ν c −ν 0 = −
2
me c 2
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Materiewellen:
Louis Victor Prinz von De Broglie 1924
Energie-Frequenz-Beziehung:
E
E
ν = , bzw. ω =
h
=
Wellenlänge-Impuls-Beziehung:
G pG
h
λ = , bzw. k =
p
=
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Matrizenmechanik:
Werner Heisenberg 1925
Ort u. Impuls-Variablen Operatoren:
 0
1

 1 0
= 
x=
0
2
2mω 

0
 0
" "

Vertauschungsrelation:
0
2
0
3
"
"

0 "

3 " ,

0 "
" " 
0
 0 − 1
0

− 2
0
 1
m=ω 
p=i
0
2
0
2 

0
3
 0
" "
"

"

0 "

− 3 "

0 "
" " 
0
[ x, p ] = xp − px = i=
Hamilton-Funktion -Operator:
p2 1
H=
+ mω 2 x 2
2m 2
Eigenwertproblem:
Hψ n = Enψ n
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⇒ En = =ω ( n + 12 )
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Schrödinger-Gleichung: Erwin Schrödinger 1926
Schrödinger-Gleichung:
 −=2 ∂ 2 1
−= ∂
2 2
+
ψ ( x, t ) = 
m
ω
x ψ ( x, t )
2
∂
2
2
i ∂t
m
x


Separationsansatz:
ψ ( x, t ) = ψ n ( x ) e−iE t / = ⇒ En = =ω ( n + 12 )
n
mit b =
=
: ψ 0 ( x) =
mω
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1
πb
e− x
2
/ 2b2
E0 = 12 =ω ;
,
1
ψ1 ( x) =
x 2 2
2 e − x / 2b ,
b
πb
E1 = 32 =ω;
ψ 2 ( x) =
1 
x 2 1  − x 2 / 2b2
,
 2 2−
e
2
πb  b
E2 = 52 =ω;
ψ 3 ( x) =
x  − x 2 / 2b2
1  x3
, E3 = 72 =ω;
2 3 − 1 + 2  e
b
πb 3  b
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#
#
1
(
)
10
Materiewellen – erste Schritte zum Verständnis
der QM: Bohr, Kramers, Later 1924
• Widerspruch zwischen Wellenbild und Teilchenbild sollte
aufgeklärt werden
• -> Wahrscheinlichkeitswelle (Lichtwellen oder
Teilchenwellen sind nicht real),
• Wellenintensität ~ Wahrscheinlichkeit
• Aber auch klassische Wahrscheinlichkeitswellen zeigen
keine Interferenzphänomene
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Kopenhagener Deutung der QM: 1927
•
•
•
Ausführliche Diskussion zwischen Bohr, Schrödinger und Kopenhagener
Arbeitsgruppe
Ergebnis ist nicht leicht zu akzeptieren!
Sprache
– Jedes physikalische Experiment muss in den Begriffen der klassischen Physik
beschrieben werden
•
Unbestimmtheitsrelation
– Anwendung klassischer Begriffe
ist begrenzt durch Unbestimmtheits– Relation (z.B. Ort und Impuls eines
Wirkungsquantums nicht beliebig
genau)
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• Wahrscheinlichkeitsfeld
– Wahrscheinlichkeitsfeld beschreibt Wahrscheinlichkeit für bestimmte
Messergebnisse und für Ungenauigkeit
– Zu den klassischen Messfehlern kommt noch die prinzipielle
Unbestimmtheit
• Zeitliche Entwicklung
– QM erlaubt Berechnung der zeitlichen Entwicklung der
Wahrscheinlichkeitsfunktion
– Keine Beschreibung des Ablaufes von Ereignissen sondern von
Möglichkeiten
– Messung: Möglichkeiten zu Tatsachen,
– unscharfe Tatsachen Grundlage für erneute Entwicklung von
Möglichkeiten
• Interpretation quantenmechanischer Prozesse drei Schritte:
– 1) experimentelle Ausgangssituation in Wahrscheinlichkeitsfeld übersetzen
– 2) zeitliche Entwicklung des Feldes wird berechnet
– 3) neue Messung am System, Ausgang mit Wahrscheinlichkeitsfeld
bestimmt
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Beobachtung eines Wasserstoff-Hüllenatoms
•
•
•
Beobachtung des Elektrons z.B. mit Mikroskop
Impulsübertrag zwischen jedem 'Lichtquant' und dem Elektron ist jedoch
so groß, daß das Elektron aus dem Atom herausgeschlagen wird.
Die Elektronenbahn im Atom kann grundsätzlich nicht beobachtet werden
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Wellen-Teilchen-Dualismus und
Komplementarität
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Anekdote vom Kosaken und dem Rabbi
• Es war einmal ein Kosak, der einen Rabbi fast jeden Tag zur
selben Zeit über den Stadtplatz gehen sah. Eines Tages fragte er
neugierig, 'Wohin gehst du, Rabbi?'
• Der Rabbi antwortete: 'Das weiß ich nicht so recht'.
• 'Du kommst hier jeden Tag um diese Zeit vorbei. Du musst doch
wissen, wohin du gehst:'
• Als der Rabbi hartnäckig dabei blieb, dass er es nicht wisse, war
der Kosak zunächst irritiert, wurde dann argwöhnisch und
schleppte den Rabbi schließlich ins Gefängnis. Als er die Zelle
absperrte, sah der Rabbi ihn an und sagte freundlich: 'Siehst du,
das konnte ich vorhin absolut nicht wissen'.
• Bevor der Kosak ihn aufgehalten hatte, wusste der Rabbi, wohin
er ging, aber danach nicht mehr. Diese Unterbrechung könnte als
Messprozess betrachtet werden. Er brachte neue Möglichkeiten
mit sich und legte eine davon fest.
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