Übungsblatt 4 - Universität des Saarlandes

Universität des Saarlandes
FR 6.1 Mathematik
Prof. Dr. R. Schulze-Pillot
M.Sc. C. Steinhart
4. Übungsblatt zu
Einführung in Algebra und Zahlentheorie
Auf diesem Übungsblatt können bis zu 20 Punkte erworben werden. Wie immer zählen aber bereits
16 Punkte als 100%.
Aufgabe 1. (4P)
a) Berechnen Sie mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den kgV und ggT der Zahlen 2226 und
798 (im Ring Z der ganzen Zahlen). Finden Sie weiterhin Zahlen n, m ∈ Z mit
ggT(2226, 798) = n · 2226 + m · 798.
b) Wir betrachten die folgenden linearen diophantischen1 Gleichungen:
(i) 1105x1 + 884x2 + 338x3 = 123
(ii) 1105x1 + 884x2 + 338x3 = 234
Geben Sie jeweils an, ob es ganzzahlige Lösungen x1 , x2 , x3 ∈ Z zu der Gleichung gibt. Wenn
ja, geben Sie eine Lösung an, ansonsten begründen Sie Ihre Antwort.
1
: Benannt nach dem Mathematiker Diophantos von Alexandria (verm. ca. 210-290 n. Chr.).
Aufgabe 2. (4P)
Wir bezeichnen für n ∈ N mit Fibn die n-te Fibonacci-Zahl2 . Hierbei sind die Fibonacci-Zahlen
wie folgt rekursiv definiert:
Fib1 = 1 , Fib2 = 1 , für n > 2 : Fibn = Fibn−1 + Fibn−2
a) Zeigen Sie, dass für n ∈ N die Fibonacci-Zahlen Fibn und Fibn+1 teilerfremd sind, also 1 ein
ggT von Fibn und Fibn+1 ist. Folgern Sie daraus, dass auch Fibn und Fibn+2 teilerfremd
sind.
b) Wir wollen nun die Fibonacci-Zahlen in expliziter Form angeben. Seien τ :=
√
τ 0 := 1−2 5 . Zeigen Sie, dass für n ∈ N gilt:
√
1+ 5
2
und
1
Fibn = √ (τ n − (τ 0 )n ).
5
c) Zeigen Sie für n ∈ N, n > 4: Ist Fibn eine Primzahl, so ist bereits n eine Primzahl.
Primzahlen der Form Fibn nennt man Fibonacci-Primzahlen.
Hinweis und Bemerkung: Sie können hierfür Aufgabe 1 von letztem Übungsblatt benutzen.
Es ist noch ein offenes Problem, ob es unendlich viele Fibonacci-Primzahlen gibt.
2
: Benannt nach dem Mathematiker Leonardo Bonacci (ca. 1175 – 1250 n. Chr.).
Die Abgabe erfolgt immer in Gruppen bis zu drei Personen in den Abgabekästen im UG des
Gebäudes 5. Die Namen und Matrikelnummern sämtlicher Gruppenmitglieder müssen auf dem
Blatt stehen. Abgabe bis spätestens Donnerstag, den 24. 11. 2016 vor der Vorlesung.
Aufgabe 3. (4P)
Wir betrachten nun den Ring R := R[X] der reellen Polynome und die Polynome
f (X) := X 6 − X 5 + X 4 − X 3 und g(X) := X 5 + X 4 + X 3 + X 2
a) Finden Sie Elemente t, v ∈ R[X] mit
< t >Ideal =< f, g >Ideal
< v >Ideal =< f >Ideal ∩ < g >Ideal
und finden Sie Polynome h1 , h2 ∈ R[X] mit
t = h1 f + h2 g.
b) Geben Sie das Polynom h ∈ R[X] von kleinstem Grad an, das als Nullstellen alle reellen
Nullstellen von f und g besitzt, d.h. für das gilt:
∀ x ∈ R : f (x) = 0 oder g(x) = 0 ⇒ h(x) = 0
Aufgabe 4. (4P)
a) Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Sei 0 6= f ∈ R[X] und β eine Nullstelle von f .
Zeigen Sie: Es gibt e ∈ N und g ∈ R[X] mit
f = (X − β)e g,
g(β) 6= 0.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass Division mit (konstantem) Rest durch das spezielle Polynom
(X − β) nicht nur im Polynomring über einem Körper K sondern auch im hier zu behandelnden
allgemeineren Fall möglich ist.
b) Sei jetzt R Integritätsbereich. Seien β1 , . . . , βr verschiedene Nullstellen von f (r ∈ N).
Zeigen Sie: Es gibt e1 , . . . , er ∈ N mit
f=
r
Y
(X − βi )ei g,
g(βi ) 6= 0 für 1 ≤ i ≤ r.
i=1
Wo geht hier die Bedingung R ist Integritätsbereich“ ein?
”
c) Zeigen Sie, dass die Zerlegung in b) eindeutig ist.
Aufgabe 5. (4P)
Sei R ein faktorieller Ring und R[X] der Polynomring über R.
a) Zeigen Sie, dass sich jedes Element in R[X] \ {0} als endliches Produkt von irreduziblen
Elementen und Einheiten schreiben lässt.
b) Zeigen Sie, dass es in R[X] unendlich viele irreduzible Elemente gibt. Folgern Sie daraus,
dass wenn R zusätzlich endlich ist für jedes k ∈ N ein irreduzibles Element p ∈ R[X] mit
Grad größer k existiert.
Hinweis: Eine Möglichkeit wäre Euklids Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen leicht abzuändern, sodass er irreduzible Elemente in R[X] betrifft.
c) Wir bezeichnen mit F3 (:= Z/3Z) den Körper mit 3 Elementen. Geben Sie alle irreduziblen
Elemente von Grad ≤ 3 in F3 [X] an.
Die Abgabe erfolgt immer in Gruppen bis zu drei Personen in den Abgabekästen im UG des
Gebäudes 5. Die Namen und Matrikelnummern sämtlicher Gruppenmitglieder müssen auf dem
Blatt stehen. Abgabe bis spätestens Donnerstag, den 24. 11. 2016 vor der Vorlesung.