TeXPower Frequently Asked Questions list

Astronomie und Astrophysik I
WS 2004/2005a
Christoph Berger / Frank Raupach
RWTH-Aachen
Physikalisches Institut Ib
Email:[email protected]
Email:[email protected]
December 7, 2004
a
Institut Ib, RWTH-Aachen
Contents
1
Die Abstandsleiter
2
2
Die Rotverschiebung
9
3
Das kosmologische Prinzip
4
Das Hubble Gesetz in der allgemeinen Relativitätstheorie 1
5
Die Friedmann-Lemaitre Gleichungen
34
6
Der Energiesatz
39
7
Die klassische Näherung
41
8
Die kosmologische Konstante
44
9
Kosmologische Konstante und Beschleunigung
52
14
10 Die Dichte der Materie
56
11 Die Dichte der Strahlung
67
12 Die seltsame Rezeptur
71
13 Umformung der Friedmann-Gleichung
73
14 Fallstudien materiedominierter Universen
77
15 Andere Universen
82
16 Die strahlungsdominierte Epoche
88
17 Die thermische Geschichte des Universums I
17.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
98
18 Anhang
107
18.1 Erinnerung an einige thermodynamische Zusammenhänge1
18.2 Das chemische Potential µ . . . . . . . . . . . . . . . 112
19 Ableitung der Fermi- und Boseverteilung
122
19.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
19.2 Die große kanonische Gesamtheit . . . . . . . . . . . 126
20 Teilchendichte n, Energiedichte ρ und Druck p im frühen
Universum
146
21 Anhang
164
21.1 Thermodynamische Potentiale (TP) und die Großkanonische Gesamtheit (GS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
22 Die thermische Geschichte des Universums
22.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 Vor der Planck Zeit . . . . . . . . . . . . .
22.3 Planck Zeit Alter . . . . . . . . . . . . . .
22.4 Abspaltung der starken Kraft . . . . . . .
II
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
174
174
177
179
180
22.5 Die Epoche der Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . 181
22.6 Quark-Antiquark Epoche . . . . . . . . . . . . . . . . 182
22.7 Quark Confinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
23 Das frühe Universum für T ≤ 1.2 1012 K, E ≤ 100 M eV
191
24 Bemerkungen zur Entkopplung
218
24.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
25 Dunkle Materie Kandidaten: Überbleibsel vom frühen
Universum?
230
26 Synthese der leichten Atomkerne
243
27 Entkopplung von Materie und Strahlung
244
28 Das frühe Universum
245
29 Die CMB-Strahlung
246
30 Verwendete Literatur
247
17 Die thermische Geschichte des Universums I
17.1 Einleitung
– Die Höhe des Himmels, die Breite der Erde und die Tiefe des Meeres, wer hat sie gemessen? –
– Das Buch Jesus Sirach 1. Spruchsammlung –
Um die Eigenschaften unseres heutigen Universums zu
verstehen, ist es notwendig in die Vergangenheit
zurückzugehen. Daher untersuchen wir in diesem Kapitel
die Prozesse, die in der frühen Phase des Universums
abliefen. Dazu stellen wir die notwendigen Thermodynamik
Gleichungen zusammen, um diese Abläufe beschreiben und
verstehen zu können. Wir werden etwas sagen zu den
möglichen Überresten von Fermionen und Photonen in
unserem heutigen Universum. Danach diskutieren wir die
ursprüngliche Nukleonsythese und die Entkopplung von
Materie und Strahlung.
Eventuell betrachten wir danach das sehr frühe Universum
und inflationäre Modell.
In den Gl. (124) und (125) ist der Zusammenhang zwischen
der Zeit t und der Temperatur T des Universums abgeleitet,
für die strahlungsdominante Epoche (t ∝ T12 ). Hier fragen
wir uns zunächst zu welchen Zeiten t = teq Materie- und
Strahlungsenergien gleich groß sind (analog z = zeq , R = zeq )
und berechnen die zugehörige Temperatur Teq .
Dazu muß man zunächst ΩR bestimmen. Wir nehmen an,
dass die meiste Strahlungsenergie sich heutzutage in der
MikrowellenHintergrundstrahlung (CMB) befindet. Die
Energiedichte der CMB ist gegeben durch:
π 2 k4
4
ρR =
×
T
15 c3 h̄3
(128)
ρc = 1.88 × 10−26 h2 kg m−3
(129)
Teilen wir das durch
so haben wir ΩR mit T = 2.73 K (h2 = 0.5184).
ΩR h2 = 2.5 × 10−5
(130)
Damit findet wir
R0
ΩM
2
4
1 + zeq =
=
' 4.0 × 10 ΩM h
Req
ΩR
(131)
Da nun die Temperatur T der Strahlung ∝ R−1 ist, gilt:
Teq = T0 1 + zeq = 2.73 × 4.0 × 10
4
ΩM h
2
2
K = 9.4 ΩM h eV
(132)
und die Temperatur steigt mit
T ∝ (1 + z) .
(133)
Teq = 9.4 · 0.27 · 0.722 · eV = 1.31 eV ≡ 15285K Das alles passiert
zu einer Zeit:
10
2 −2
teq = 1.57 × 10 ΩM h
s ≈ 26874Jahre.
(134)
Dazu benutzen wir die Friedmann Gleichungen und
berücksichtigen nur Summanden der Strahlung und Materie
(ΩR , ΩM .) Man findet die Lösung

!
!1/2
√ 
2 2  R
R
Heq t =
−2
+1
+ 2
(135)
3
Req
Req
√
√
2
√
√
mit Heq = 2 H0 ΩR 1 + zeq = 2 H0 ΩM 1 + zeq
(Übung)
Setzen wir in Gl. 135 R = Req so ergibt
3/2
√
teq
√ 2 2 0.39
=
2 − 2 '
3/2
1/2
3 Heq
H0 ΩM (heute)
1 + zeq
(136)
Das ergibt Gl. 134. Die Gl. 135 kann auch dazu benutzt
werden, um R (t) für t teq und t teq zu finden:

 ∝ t1/2 Strahlung
R
=
 ∝ t2/3 M aterie
Req
(137)
Das ist schon in den vorherigen Vorlesungen auf eine etwas
andere Art und Weise hergeleitet worden.
Für z zeq wird T sehr groß und zu dieser Zeit sieht das
Universum vollständig anders aus als heutzutage. Wenn
z.B. T größer wird als die Bindungsenergie von Atomen
oder Atomkernen, dann können diese nicht als gebundene
Strukturen vorliegen. Ist T sogar größer als die Ruhemasse
von geladenen Teilchen (e, µ, ...), dann können diese
Teilchen in Photon-Photon Stößen erzeugt werden. Um
Muonen zu erzeugen benötigt man eine Temperatur von
∼ 1.21 1012 K ≡ 104 M eV.
Wir halten fest: Abhängig von Temperatur und damit von
der Zeit, ist das frühe Universum mit verschiedenen Arten
von meist hochrelativistischen Teilchen bevölkert. Um
Vorhersagen machen zu können, benötigen wir die
verschiedenen Verteilungsfunktionen, die wir uns jetzt
beschaffen werden, für diese Teilchen. Dazu sagen wir: Die
Teilchen wechselwirken miteinander über verschiedene
Potentiale (st.,schw.,el-mag. Wechselwirkung (WW);
zu sehr frühen Zeiten auch über das Gravitationspotential).
Sie tauschen in den WW Energie E und Impuls p
~ aus. Falls
nun die WWRate Γ ist als die Expansionsrate des
−1
, dann kann sich zu einer
Universums H −1 (t) = Ṙ/R
festen Temperatur ein Gleichgewicht einstellen, dass auch
erhalten bleibt.
Es ist wichtig festzustellen, daß alle auftretenden
Wechselwirkungen kurzreichweitig sind auch die
elektromagnetische!
Das liegt daran, dass in einem Plasma der Effekt von Debye
Abschirmung auftaucht und auch die an sich
langreichweitige el.-magn. WW kurzreichweitig ist
(grundlegende Eigenschaft vom Plasma!). Wenn das so ist,
dann sind die WW lediglich verantwortlich für den
eigentlichen Prozess der lokalen WW und daher geht die
WW nicht in die Form der globalen Verteilungsfunktion der
Teilchen ein!
Wir behandeln die Teilchen deswegen als ideales Bose- oder
Fermigas!
Für ein Teilchen der Sorte A ist diese Funktion gegeben
durch:
3
fA (~
p, t) d p
~=
gA
1
3
d
p
~
3
(2 π) exp (EA − µA ) /TA (t) ± 1
(138)
Dabei ist gA der Spinfaktor, µA (T ) das chemische Potential,
2
2 1/2
E (p) = p + m
und TA (t) die Temperatur zur Zeit t.
Das + Zeichen gehört zu Fermionen und das − Zeichen zu
Bosonen (gγ = 2, ge = gē = 2, gν = gν̄ = 1).
Zu beachten bleibt, dass das Universum zu ”jeder” Zeit
eine Schwarzkörperstrahlung von Photonen γ mit Tγ (t)
enthält. Dadurch gibt es immer auch eine WW der
Photonen mit Teilchen der Sorte A. Falls wieder gilt
Γ (Aγ) H, haben beide A und γ die gleiche Temperatur!
Da das der Normalzustand ist, sagen wir auch, dass die
Photonentemperatur auch die Temperatur des Universums
ist.
Es soll an dieser Stelle schon erklärt werden, was mit dem
Begriff Entkopplung einet Teilchensorte A gemeint ist. Falls
die totale WWRate ΓA (t) einer Teilchensorte kleiner wird
als die Expansionsrate H (t) und gleichzeitig die WWRate
anderer Teilchensorten immer noch als H (t) ist, dann
sind die anderen Teilchensorten noch immer im GG bei
einer gemeinsamen Temperatur T . Die Verteilungsfunktion
dieser Teilchensorten ist nach wie vor durch Gl. 138
gegeben, die der Sorte A allerdings folgt einer gänzlich
anderen Verteilungsfunktion. Teilchensorte A steht nicht
mehr im GG mit den anderne Teilchensorten. Man sagt A
ist vollständig entkoppelt vom Rest der Welt.
Es ist für die Teilchensorte A jedoch immer noch möglich
die Verteilungsfunktion anzugeben. (Später genauer.).
18 Anhang
18.1 Erinnerung an einige thermodynamische
Zusammenhänge
Der erste Hauptsatz
Satz von der Erhaltung der Energie: Ein System heisst
abgeschlossen, falls es mit anderen Systemen nicht in WW
steht. Es enthält dann eine zeitlich nicht veränderliche
Energie E. E kann sich nur dadurch ändern, dass dem
System von aussen Energie zugeführt wird. Dabei
unterscheidet man zwischen der zugeführten Wärmemenge
δQ und der am System von aussen geleisteten Arbeit δA.
Bei einer kleinen Wärmezufuhr δQ und einer kleinen am
System geleisteten Arbeit δA gilt also
dE = δQ + δA
(139)
Dabei hat man der Umgebung die Wärme δQ entzogen.
Dann nehmen wir δQ positiv. Gibt das System dagegen
Wärme ab, so wird δQ negativ gerechnet. Zusätzlich wurde
der Energievorrat der Umgebung um δA veringert!
Wird der Energievorrat der Umgebung erhöht, so wird δA
negativ genommen! Das passiert, wenn gegen äussere
Kräfte Arbeit geleistet wird δA = −P dV. (Druck P , Vol V )
Der zweite Hauptsatz
Ähnlich wie der 1. Hauptsatz auf Beobachtungen beruht,
folgt der 2. Hauptsatz aus der Beobachtung, dass es
unmöglich ist eine periodisch arbeitende Maschine zu bauen,
bei welchem nach einem Umlauf die einzigen Änderungen in
der umgebenden Welt darin bestehen, dass Arbeit geleistet
wird bei gleichzeitiger Abkühlung eines Wärmebades.
Reversible und irreversible Prozesse: RP, IRP
RP sind Prozesse, bei dem das System wieder in den
Ausgangspunkt zurückkehren kann, ohne das in seiner
Umgebung irgendwelche Änderungen eingetreten sind.
Prozesse im thermodynamischen GG können reversibel
ablaufen.
IRP sind Prozesse, bei dem das System nicht in den
Ausgangspunkt zurückkehren kann, ohne das in seiner
Umgebung Veränderungen eintreten.
Beispiele: Wärmeaustausch (System ist nicht im GG!),
Reibung, Diffusion,...
Jeder IRP läuft in einer Richtung spontan ab (z.B. der
Wärmefluss von ’warm’ nach ’kalt’). Will man die
Temperaturdiffernz wieder herstellen, so sind Prozesse am
äusseren Körper notwendig, um das zu erreichen
(’Kältemaschine’).
IRP sind nicht im GG!
Die neue Grösse
δQ
dS =
T
(140)
beschreibt den Wärmeaustausch in thermischen Prozessen
(T ist i.a. die absolute Temperatur des umgebenden
Wärmereservoirs und nicht die Temperatur des Systems!).
Die Grösse dS heisst Entropieänderung.
Mit einer differentiellen, reversiblen Wärmezufuhr δQ ist
also nach Gl. 140 eine Zunahme der Entropie dS verbunden.
Es gilt

dS
1 δQ  > IRP
≥
(141)
dt
T dt  = RP
Mit Hilfe von Gl. 140 lautet der erste Hauptsatz
dE = T · dS − P · dV
(142)
...und für IRP aus Gl. 141 gilt die Ungleichung
T dS ≥ dE + P · dV
(143)
Aus dem 2. Hauptsatz folgt:
Die Entropie eines abgeschlossenen Systems kann niemals
abnehmen.
Da aber letzlich alle Prozess irreversibel sind, kann die
Entropie eines abgeschlossenen Systems nur zunehmen.
Sie erreicht daher ein Maximum im thermodynamischen GG!
Für ein wärmeisoliertes (adiabatisches) System ist δQ = 0
und damit gilt
dS ≥ 0
(144)
Adiabatische Prozesse sind solche bei denen ein Körper
thermisch isoliert ist und die äusseren Bedingungen in
denen sich der Körper befindet sich nur langsam ändern.
In GG-Reaktionen ist dann dS = 0.
18.2 Das chemische Potential µ
Wenn die Teilchenzahlen N variabel sind hängen die
thermodynamischen Größen von der Teilchenzahl ab! Man
geht so vor, dass man den thermodynamischen Gleichungen
(Potentialen) Terme hinzufügt, die ∝ dN sind, z.B. zur
Energie (Erweiterung des 1. Hauptsatzes!)
dE = T dS − P dV + µ dN,
(145)
dabei
ist µ das chemische Potential, dass man mit
∂E
µ = ∂N
berechnen kann.
S,V
...oder für die freie Enthalpie Φ :
dΦ = −S dT + V dP + µ dN
Die Energie E und die freie Enthalpie Φ sind wie auch
andere thermodynamische Größen additiv.
(146)
Diese Eigenschaft bedeutet, dass sich bei Änderung der
Teilchenzahl um einen gewissen Faktor auch E und Φ sich
um diesen Faktor ändern, d.h. die additive
thermodynamische Größe ist eine homogene Fkt 1. Grades
bezüglich der additiven Variablen (hier N ). Also gilt:
Φ = N f (P, T )
Damit findet man: µ =
∂Φ
∂N
(147)
= f (P, T ), d.h.
Φ = N µ.
(148)
Also ganz anschaulich: Das chemische Potential µ (bei
gleichartigen Teilchen) eines Gases (Körpers) ist seine auf
ein Atom (Molekül) bezogenen freie Enthalpie!
Die Arbeit, die an einem Gas bei einer unendlich kleinen
isothermen reversiblen Änderung seines Zustandes geleistet
wird, kann man als Differential der Größe
dA = dE − dQ = dE − T dS = d(E − T S)
(149)
auffassen. F = E − T S nennen wir die freie Energie des
Gases. Die an einem Gas bei einer unendlich kleinen
isothermen reversiblen Änderung seines Zustandes geleistete
Arbeit dA ist also gleich der Änderung der freien Energie!
Was ist das Differential dF von F?
Wir wissen dE = T dS − P dV. Das substituieren wir in
dF = dE − T dS − S dT und finden:
dF = −S dT − P dV.
(150)
mit F = F (T, V ) . Mit Hilfe der letzten Gleichung ergeben
sich S und P zu:
∂F
∂F
,P = −
.
S=−
∂T V
∂V T
Mit E = F + T S finden wir die Energie E mit Hilfe von F :
∂F
∂ F
2
E =F −T
= −T
.
(151)
∂T V
∂T T V
F = F (T, V ), wir suchen noch ein thermodynamisches
Potential als Funktion von P und T. Das ist genau die zu
Beginn dieses Kapitels benutzte freie Enthalpie Φ.
Das Potential findet sich mit P dV = d (P V ) − V dP und
dF = −S dT − P dV
dF = −S dT − P dV = −S dT − d (P V ) + V dP
(152)
Das ergibt:
d (F − P V ) = −S dT + V dP
(153)
Nun wissen wir F = E − T S. Das ergibt mit der Def.
Φ=E−T S+P V
dΦ = −S dT + V dP.
(154)
Die freie Energie und die freie Enthalpie besitzen eine
extrem wichtige Eigenschaft.
Im Zustand des thermodynamischen GG sind die freie
Energie F und die freie Enthalpie Φ eines Gases (Körpers)
minimal (Übung)!
Erweitern wir Gl. 94 auf variable Teilchenzahl, so ergibt
sich:
dF = −S dT − P dV + µ dN.
(155)
Änderung in dN (Teilchenzahl) bedeutet Änderung in dF .
∂F
Da aber gilt ∂N
= 0, folgt sofort das wichtige Ergebnis µ = 0
im GG.
Nun sind aber z.B die CMB Photonen im thermischen GG,
folglich ist das chemische Potential µγ = 0, obwohl Nγ nicht
erhalten ist!
Beispiel: Freie Energie (Planetenatmosphäre)
Die Entropie S eines Gases wird maximal, falls das Gas
homogen verteilt ist. Dies trifft z.B. für das Gas unserer
Erdatmosphäre nicht zu, da bedingt durch die Krümmung
des Raumes die Luftmoleküle dichter an der Erdoberfläche
sind. Andererseits sind nicht alle Moleküle an der
Erdoberfläche, da die Entropie versucht maximal zu werden.
Man kann folglich sagen: die potientelle Energie Epot wird
nicht minimal und die Entropie nicht maximal!
Die thermodynamische Gróße, die minimal wird ist aber die
freie Energie F :
F = Epot − T S
(156)
Dabei bestimmt letztlich die Temperatur T die Art des
Minimums. Für z.B. sehr große Temperaturen T , kann Epot
vernachlässigt werden und F wird minimal dadurch, dass S
maximal wird. Überwiegt dagegen Epot , so wird F minimal
durch das Minimum der potentiellen Energie. Deshalb gibt
es Planeten ohne Atmosphäre und Planeten mit
Atmosphäre, wobei bei der Erde die Besonderheit vorliegt,
dass H2 als leichtestes Molekül von der Erde entweichen
kann.
Merkur dagegen als heissester Planet hat keinerlei
Atmospäre und die kalten Planeten wie Uranus haben ihre
gesamte Atmosphäre behalten, auch Wasserstoff!
Link zu den AstronomieVorlesungen