Folien zu Kapitel 05

Kapitel 5:
Algebraische Grundstrukturen
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Monoide
Gruppen
Untergruppen
Gruppen-Homomorphismen
Kongruenzrelationen und Faktorgruppen
Ringe und Körper
Ideale und Faktorringe
Verbände und Boole’sche Algebren
Teilmonoide —- Definition 5.3.1
Es sei (M, ∗, e) ein Monoid. Eine nichtleere Teilmenge
T von M heißt ein Teilmonoid von M , falls die beiden
folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
1. Die Abgeschlossenheit von T bzgl. ∗:
sind a, b ∈ T , so ist auch a ∗ b Element von T ;
2. es ist e ∈ T .
Untergruppen —- Definition 5.3.2
Es sei (G, ∗, e) eine Gruppe. Eine nichtleere Teilmenge
U von G heißt eine Untergruppe von G, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
1. Abgeschlossenheit von U bzgl. ∗:
sind a, b ∈ U , so ist auch a ∗ b ∈ U ;
2. es ist e ∈ U ;
3. Abgeschlossenheit von U bzgl. der Inversenbildung:
mit a ∈ U ist auch a, das zu a gehörende Inverse,
in U enthalten.
Homomorphismen —- Definition 5.4.1
Es seien (M1, ∗, e1) und (M2, ⋆, e2) zwei Monoide. Eine
Abbildung ψ : M1 → M2 heißt ein Monoid-Homomorphismus,
falls gilt:
1. ψ(a ∗ b) = ψ(a) ⋆ ψ(b) für alle a, b ∈ M1;
2. ψ(e1) = e2.
Sind (M1, ∗, e1) und (M2, ⋆, e2) beides Gruppen, so
nennt man ψ einen Gruppen-Homomorphismus.
2
spezielle Eigenschaften
Begriff
des Homomorphismus
injektiv
Monomorphismus
surjektiv
Epimorphismus
Isomorphismus
bijektiv
G1 = G2
Endomorphismus
G1 = G2 und bijektiv Automorphismus
Entsprechend nennt man zwei Gruppen G1 und G2 isomorph, falls ein Isomorphismus ψ : G1 → G2 existiert.
zu Homomorphismen assoziierte Untergruppen
Ist ψ : (G1, ∗, e1) → (G2, ⋆, e2) ein Gruppen-Homomorphismus, so gilt:
1. Kern(ψ) eine Untergruppe von G1 (Proposition 5.4.4)
2. das Bild von ψ eine Untergruppe von G2 (Proposition
5.4.5)
3. (Satz 5.4.7)
ist y ∈ Bild(ψ) und x irgendein Element aus G1 mit
ψ(x) = y, so gilt für das gesamte Urbild ψ −1(y) von
y unter ψ:
ψ −1(y) = x ∗ Kern(ψ) = Kern(ψ) ∗ x
4. insbesondere ist ψ genau dann injektiv, wenn Kern(ψ) =
{e1} ist (Korollar 5.4.8)
Ringe — Definition 5.6.1
Es sei R eine Menge mit zwei Verknüpfungen, einer Addition + und einer Multiplikation ·. Dann heißt (R, +, ·, 0, 1)
ein Ring, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
1. (R, +, 0) ist eine kommutative Gruppe,
2. (R, ·, 1) ist ein Monoid,
3. es gelten die Distributivgesetze:
• a(b + c) = ab + ac für alle a, b, c ∈ R und
• (a + b)c = ac + bc für alle a, b, c ∈ R.
2
Grundgesetze für Ringe — Proposition 5.6.2
1. a · 0 = 0 · a = 0 für alle a ∈ R;
2. a(−b) = (−a)b = −ab für alle a, b ∈ R;
3. (−a)(−b) = ab für alle a, b ∈ R;
4. (−1)a = −a = a(−1) für alle a ∈ R;
5. (−1)2 = 1;
6. 0 6= 1, sofern R wenigstens zwei Elemente enthält.
Ring
nicht
kommutativ
Integritätsbereich
Schiefkörper
1
:
2
:
3
:
4
:
kommutativ
kein
Integritätsbereich1
Integritätsbereich2
kein
Integritätsbereich3
Körper4
Einige Beispielklassen von Ringen:
Matrixringe bzw. Matrixalgebren
ganze Zahlen,
Polynomringe,
Potenzreihenringe
Restklassenring modulo n, wobei n keine Primzahl
rationale Zahlen,
reelle Zahlen,
komplexe Zahlen,
Restklassenring modulo p mit p Primzahl,
rationale Funktionen