Die ∼∼ 10 23 Elektronen im Festkörper stellen ein

Kapitel 5
Vielteilchentheorie des Festkörpers mit
Feldoperatoren (2. Quantisierung)
5.1
Motivation
Die N ∼ 1023 Elektronen im Festkörper stellen ein wechselwirkendes Vielteilchensystem dar. Der Hamiltonoperator für die Festkörperelektronen i = 1 . . . N mit den Koordinaten ~ri habe die Form
H = T + Hk + Hc + Hext =
N
N
N
N
X
X
X
~p2i
1X
1
vk (~ri ) +
+
vext (~ri , t).
+
2m i=1
2 i,i0 |~ri − ~rii0 | i=1
i=1
(5.1)
Hier steht T für die kinetische Energie der Elektronen, Hk für die Wechselwirkung mit den Atomkernen,
Hc für das Coulombpotenzial zwischen den Elektronen und Hext für eine Wechselwirkung mit externen
Quellen. Die Atome werden in guter Näherung als ideal auf den Gitterplätzen lokalisiert angenommen
(keine Phononen), sodass vk (~r) ein gitterperiodisches Einteilchenpotenzial ist. Im einfachsten Fall wird eine
effektive Theorie behandelt, in der angenommen wird, dass auch Hc durch ein Einteilchenpotenzial genährt
werden kann (s. Dichtefunktionalformalismus). Dann kann der Beitrag Hk + Hc durch ein ein periodisches
effektives Einteilchenpotenzial v(~r) approximiert werden,
 X
N
N  2
N
X
X

 ~pi
h(~ri , ~pi ) +
vext (~ri , t) ≡ H0 + Vext .
(5.2)
H=
+ v(~ri ) + vext (~ri , t) ≡

2m
i
i=1
i=1
Die Coulombwechselwirkung führt zu einer Abschirmung der Kernpotenziale, sodass insbesondere in Metallen v(~r) viel schwächer variiert als vk (~r). Wie im nächsten Kapitel dargelegt, dient in vielen Anwendungen H0 als ungestörtes Problem und der Einfluss der Störung Vext , z. B. eine einfallende elektromagnetische
Strahlung, wird in Störungstheorie erster Ordnung betrachtet. Dies fürhrt auf die Theorie der linearen Antwort. Der ungestörte Hamiltonoperator H0 lässt sich als Summe von Einteilchenhamiltons der Form
h(~r, ~p) =
~p2
+ v(~r)
2m
(5.3)
darstellen. Jedes Teilchen bewegt sich also formal unabhängig von den anderen Elektronen. Die EinteilchenEnergieeigenzustände
h
i
h − n,~k,σ φn,~k,σ (~r) = 0
(5.4)
sind dann Blochzustände, die durch das Tripel ν = (n, ~k, σ) gekennzeichnet sind. Hier ist n der Bandindex,
~k der Blochvektor und σ = ±1/2 die z-Komponente des Spins. Durch periodische Randbedingungen lässt
1
2KAPITEL 5. VIELTEILCHENTHEORIE DES FESTKÖRPERS MIT FELDOPERATOREN (2. QUANTISIERUNG)
sich eine Abzählung ν ∈ N der Einteilchenzustände
φν (~r) ≡ φnν ,~kν ,σν (~r) = h~r | φν i
(5.5)
herbeiführen. Die Einteilchenbasiszustände bilden ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS)
hφν | φν0 i = δν,ν0 .
5.2
(5.6)
Fock-Raum der Vielteilchenzustände
Zur Konstruktion der möglichen Vielteilchenzustände geben wir ein allgemeines VONS von Einteilchenzuständen | φν i (hier nicht notwendigerweise Energieeigenzustände) vor.
5.2.1
Vereinfachtes Pauli-Prinzip
In einem Vielteilchenzustand kann jeder Einteilchenzustand entweder einfach besetzt werden oder unbesetzt
sein,
(
0
⇒ nν =
1.
Wir suchen eine vollständige Basis |ri für den Raum der erlaubten Vielteilchenzustände |ψi (Fock-Raum),
in der wir schreiben
X
|ψi =
ar |ri.
(5.7)
r
Vorläufige Idee: Ein N-Teilchenbasiselement |ri ist charakterisiert durch einen Satz von N besetzten Einteilchenniveaus ν1 . . . νN die anderen Zustände seien unbesetzt, sadass
|ri = |ν1 . . . νN i.
(5.8)
Es gelte hier die Sortierung die ν1 < ν2 · · · < νN . Wir können alle |ri konstruieren, indem wir alle möglichen
Mengen {ν1 . . . νN } mit allen möglichen Teilzahlen betrachten. Die Koeffizienten ar in der Entwicklung
P
|ψi = r ar |ri definieren daher die Besetzungszahldarstellung bezüglich der Einteilchenzustände |φν i.
5.2.2
Vollständiges Pauli-Prinzip
Die Gesamtwellenfunktion eines N-Teilchen Fermionensystems ist von N Koordinatenvektoren ~ri , d. h. von
~ = (~r1 ,~r2 . . .~rN ) abhängig. Bei Vertauschung zweier beliebiger Koordinatenvektoren ~ri und ~r j wechselt das
R
Vorzeichen der Wellenfunktion.
⇒ Die Wellenfunktion des Basiselements |ri = |ν1 . . . νN }i entspricht einer Slaterdeterminante aus den
besetzten Einteilchenzuständen
φν j (~r) ≡ Φ j (~r)
und
ν j ≡ E j
mit
j = 1 . . . N.
(5.9)
Dann

 Φ1 (~r1 ) · · · ΦN (~r1 )

1
..
..
~
hR|ri
= ψr (~r1 · · ·~rN ) = √ det 
.
.


N!
Φ1 (~rN ) · · · ΦN (~rN )
1 X
sgn(P)Φ1 (~r p1 )Φ2 (~r p2 )........ΦN (~r pN )
= √
N! P





(5.10)
5.2. FOCK-RAUM DER VIELTEILCHENZUSTÄNDE
3
Im letzten Schritt wird über die Gruppe aller Permutationen
P=
1
p1
2
p2
···
···
N
pN
!
(5.11)
summiert. Hier ist wie üblich das Signum der Permutation sgn(P) gegeben durch minus eins hoch die
Anzahl der Fehlstände in P. Anmerkungen:
~ bedeutet den Übergang in die Ortsdarstellung des Vielteilchenzustands
• Die Operation hR|
• Die Vertauschung zweier Koordinatenindizes bedeutet die Vertauschung zweier Zeilen in der Determinante. In Übereinstimmung mit dem Pauli-Prinzip ändert sich daher in diesem Falle das Vorzeichen der Vielteilchenwellenfunktion. Das vereinfachte Pauli-Prinzip folgt aus der Feststellung, dass
die Determinante verschwindet, wenn zwei Spalten gleich sind.
• Da alle Koordinaten ~ri gleichwertig sind, sind die Teilchen ununterscheidbar und der Koordinatenindex i bezieht sich nicht auf ein gegebenes Teilchen.
• Alle N-Teilchen Slaterdeterminanten bilden eine Gesamtheit. Die Gesamtheit aller dieser Gesamtheiten für N = 1 . . . ∞ bildet eine vollständige orthonormierte Basis des Fock-Raums der möglichen
Vielteilchenzustände.
• Die Einteilchenzustände |φν i werden als Slaterdeterminante einer Matrix vom Rang 1 aufgefasst und
gehören also zu den erlaubten Vielteilchenzuständen.
• Wir führen die Schreibweise |φν ii ein. Diese bedeutet, dass dem Einteilchenzustand |φν i beim Über~ ν ii = φν (~ri ). Die Slatergang in die Ortsdarstellung dem Koordinatenvektor ~ri zugeordnet wird: hR|φ
determinante in (5.10) lässt sich dann ohne Koordinatendarstellung schreiben als
1 X
sgn(P)|Φ1 i p1 |Φ2 i p2 ........|ΦN i pN .
(5.12)
|ri = √
N! P
5.2.3
Eigenzustände des effektiven Hamiltonoperators
Wir konstruieren die Eigenzustände des effektiven Hamiltonoperators in (5.2). Hierzu werden die Einteilchenenergiezustände in (5.4)
[h − ν ] φν (~r) = 0
(5.13)
in die Slaterdeterminante (5.10) eingesetzt. Dann ist
1 X
h(~ri )ψr (~r1 · · ·~rN ) = h(~ri ) √
sgn(P)Φ1 (~r p1 )Φ2 (~r p2 )........φN (~r pN )
N! P
1 X
= √
sgn(P)E j(i,P) Φ1 (~r p1 )Φ2 (~r p2 )........ΦN (~r pN ).
N! P
Hier ist j(i, P) die Zahl, die in der gegebenen Permutation P über i steht:
!
1 · · · j(i, P) · · · N
P=
.
p1 · · ·
i
· · · pN
(5.14)
(5.15)
Es folgt
Hψr (~r1 · · ·~rN ) =
X
h(i)ψr (~r1 · · ·~rN ) =
i
=


X

1 X
sgn(P) 
E j(i,P)  φ1 (~r p1 )φ2 (~r p2 )........φN (~r pN )
√
N! P
i
Er ψr (~r1 · · ·~rN ),
(5.16)
4KAPITEL 5. VIELTEILCHENTHEORIE DES FESTKÖRPERS MIT FELDOPERATOREN (2. QUANTISIERUNG)
mit
Er =
X
E j(i,P) =
N
X
i
5.3
5.3.1
Ej
(5.17)
j
Zweite Quantisierung für Fermionensysteme
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Basiszustände
Zur Berechnung von thermischen Erwartungswerten eines Operators werden die quantenmechanischen Erwartungswerte des Operators in den Basiszuständen |ri des Fockraums benötigt. Zu ihrer bequemeren Berechnung werden Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren eingeführt. Für den Basisvektoren des Fockraums schreiben wir
|ri = |ν1 . . . νN i = |n1 , n2 , . . . ∞i
(5.18)
mit nν=ν j = 1 und nν,ν j = 0. Definiere die Erzeugungsoperatoren c†ν und die Vernichtungsoperatoren cν der
Basiszustände durch ihre Wirkung auf einen Basisvektor des Fock-Raums
cν |n1 . . . , nν , . . . i = (−1)S ν nν |n1 . . . , nν − 1, . . . i
(5.19)
c†ν |n1 . . . , nν , . . . i = (−1)S ν (1 − nν )|n1 . . . , nν + 1, . . . i,
(5.20)
und
mit
Sν =
ν−1
X
n j.
(5.21)
j=1
Es gilt
c†ν cν |n1 . . . , nν , . . . i =
(−1)S ν nν c†ν |nν . . . , nν − 1, . . . i
=
(−1)S ν nν (−1)S ν [1 − (nν − 1)]|n1 . . . , nν , . . . i
=
nν |n1 . . . , nν , . . . i.
(5.22)
Für n ∈ {1, 2} gilt nämlich n(2 − n) = n. Wir erhalten also den Operator für die Besetzungszahl nν
n̂ν = c†ν cν
(5.23)
Es gilt dann
{cν0 , c†ν } = δν,ν0 ,
(5.24)
wobei der Antikommutator zweier Operatoren A und B ist definiert durch {A, B} = AB + BA: ür ν = ν folgt
direkt {cν , cν0 } = 2cν cν = 0 und {c†ν , c†ν0 } = 2c†ν c†ν = 0. In der Vorlesung wurde bereits hergeleitet, dass
0
c†ν cν |n1 . . . , nν , . . . i = nν |n1 . . . , nν , . . . i
(5.25)
Wir finden ähnlich
cν c†ν |n1 . . . , nν , . . . i =
(−1)2S i (nν + 1)(1 − nν )|n1 . . . , nν , . . . i
=
(1 − nν )|n1 . . . , nν , . . . i
=
(1 − c†ν cν )|n1 . . . , nν , . . . i.
(5.26)
Es folgt
cν c†ν = 1 − c†ν cν ⇒ c†ν cν + cν c†ν ≡ {c†ν , cν } = 1.
(5.27)
5.3. ZWEITE QUANTISIERUNG FÜR FERMIONENSYSTEME
5
Für ν , ν0 resultiert bei ν < ν0
cν cν0 |n1 . . . , nν , . . . , nν0 , . . . i = (−1)S ν (−1)S ν0 nν nν0 |n1 . . . , nν − 1, . . . , nν0 − 1, . . . i.
(5.28)
In der umgekehrten Reihenfolge
cν0 cν |n1 . . . , nν , . . . , nν0 , . . . i = (−1)S ν (−1)S ν0 −1 nν nν0 |n1 . . . , nν − 1, . . . , nν0 − 1, . . . i.
(5.29)
daraus folgt {cν , c†ν0 } = 0. Analog ergeben sich die anderen Antikommutatorrelationen für ν , ν0 .
5.3.2
Darstellung der Basiszusustände des Fock-Raums durch Erzeugungsoperatoren
Aufgrund Gl. (5.20) können wir den Basiszustand |ri schreiben als
r
r
r
|ri = |nr1 nr2 . . . nrν . . . i = (c†1 )n1 (c†2 )n2 . . . (c†ν )n1 . . . |0i = c†ν1 c†ν2 . . . c†νN |0i,
(5.30)
wobei wie in Gl. (5.10) ν1 < ν2 · · · < νN , die besetzten Einteilchenzustände indizieren. Weiterhin ist 0i =
|0, 0 . . . i der Vakuumzustand, in dem alle Einteilchenzustände unbesetzt sind.
In Gl. (10.33) ist die Reihenfolge der Erzeugungsoperatoren wichtig. Wir betrachten in Gl. (10.33) die
Vertauschung des i-ten Erzeugungsoperators mit dem j-ten, wobei j − i = n > 0, d.h wir vergleichen
|ri = c†ν1 . . . c†νi . . . c†ν j . . . c†νN |0i
(5.31)
|r0 i = c†ν1 . . . c†ν j . . . c†νi . . . c†νN |0i.
(5.32)
mit
Im Theorielabor wird mittels der Antikommutatorrelationen bewiesen, dass
|r0 i = −|ri,
(5.33)
woraus folgt dass die Erzeugungsoperatorprodukte dieselben Vertauschungseigenschaften haben wie die
Koordinatenindizes in den Slaterdeterminanten. Im Produkt von Erzeugungsoperatoren in Gl. (10.33) und
(??) ist die Position des Erzeugungsoperators daher mit dem Koordinatenindex der Slaterdeterminante in
Gl. (5.10) zu identifizieren: Der am weitesten links stehende Erzeugungsoperator mit dem Koordinatenindex ~r1 , der dann Folgende mit dem Koordinatenindex ~r2 usw. Im Folgenden wollen wir zeigen, dass nicht
nur die Vertauschungseigenschaften der Erzeugungsoperatorprodukte mit denen der Slaterdeterminanten
übereinstimmen sondern auch Operatorerwartungswerte und das somit die Erzeugungsoperatoren eine einfachere und übersichtlichere Alternative zu den Slaterdeterminanten darstellen.
5.3.3
Darstellung von Operatoren
Wir betrachten zunächst Einteilchenoperatoren, d. h. quantenmechanische Operatoren wie Impuls, Drehimpuls und Ort, die nur auf ein Teilchen mit der Koordinate ~r wirken. Der entsprechende Einteilchenoperator
im N-Teilchensystem ist dann
N
X
A=
a(~ri , ~pi )
(5.34)
i=1
und hat die Bedeutung der Gesamtgröße, zum Beispiel des Gesamtimpulses. Wir können wie in der elementaren Quantenmechanik den Einteilchenoperator a in die Einteilchenbasis | φν i entwickeln,
X
a=
aνν0 | φν ihφν0 |,
(5.35)
νν0
6KAPITEL 5. VIELTEILCHENTHEORIE DES FESTKÖRPERS MIT FELDOPERATOREN (2. QUANTISIERUNG)
mit
aνν0 =
Z
d~rφ∗ν (~r)a(~r)φν0 (~r) = hφν0 | a | φν i.
(5.36)
Denn wird Gl. (5.34)
 =
N X
X
i hνα |a|νβ ii =
Z
|φν ii i hφν0 |.
(5.37)
νν0
i
Hierbei ist
0
i hν|a|ν ii
d~ri ψ∗ν (~ri )a(~ri )ψν0 (~ri ) = aνν0 i hν|a(~ri )|ν0 ii
Es ist nun
Z
= i hνα |a|νβ ii =
|νii i hν0 |.
d~ri ψ∗ν (~ri )a(~ri )ψν0 (~ri ) = aνν0
(5.38)
(5.39)
vom Koordinatenindex i unabhängig und damit wird Gl. (5.37)
A=
X
aνν0
N
X
νν0
φν ii i hφν0 |.
(5.40)
i
Im Theorielabor demosntrieren wir die Identität
N
X
|φν0 ii i hφν | = c†ν0 cν .
(5.41)
i
Damit ergibt sich
A=
X
aνν0 c†ν cν0 .
(5.42)
cν φν (~r)
vernichtet Teilchen am Ort ~r
(5.43)
c†ν φ∗ν (~r)
erzeugt Teilchen am Ort ~r
(5.44)
ν,ν0
5.3.4
Fermionische Feldoperatoren
Definiere die fermionischen Feldoperatoren
ψ̂(~r) =
X
ν
ψ̂+ (~r) =
X
ν
(5.45)
Dann lassen sich die Einteilchenoperatoren
A=
N
X
a(~ri )
(5.46)
i
darstellungsfrei schreiben als
A=
Z
d3 r ψ+ (~r) a(~r); ψ(~r) =
X
aνν0 c+ν cν0 ,
(5.47)
νν0
mit
aνν0 =
Z
d3 r φν (~r) a(~r) φν (~r).
(5.48)
5.3. ZWEITE QUANTISIERUNG FÜR FERMIONENSYSTEME
7
Der letzte Ausdruck in Gl. (5.47) ist identisch mit Gl. (5.42). Wir finden (TL)
ψ̂+ (~r)ψ̂(~r) = n̂(~r),
(5.49)
wobei n̂(~r) der Operator für die Teilchendichte ist. Weiterhin resultieren aus Gl. (5.24) die elemantaren
Antikommutatorbeziehungen (TL)
{ψ̂(~r), ψ̂(~r0 )} = {ψ̂† (~r), ψ̂† (~r0 )} = 0
sowie {ψ̂† (~r), ψ̂(~r0 )} = δ(~r − ~r0 )
(5.50)
Die Gleichung (5.47) lässt sich auch auf Zweiteilchenoperatoren verallgemeinerm, die an Stelle von Gl.
(5.46) in der ersten Quantisierung die Form
B̂ =
N
1 X
b̂(~ri ,~r j )
2 i, j=1
aufweisen. Die Darstellung in zweiter Quantisierung ist
Z
Z
B̂ =
d3 r d3 r0 ψ̂† (~r)ψ̂† (~r0 )b̂(~r,~r0 )ψ̂(~r0 )ψ̂(~r).
Der Beweis verläuft ähnlich wie in Gl. (5.34) -(5.42), wird aber hier nicht angegeben.
(5.51)
(5.52)
8KAPITEL 5. VIELTEILCHENTHEORIE DES FESTKÖRPERS MIT FELDOPERATOREN (2. QUANTISIERUNG)
5.4
5.4.1
Statistischer Operator
Allgemeines System
Wir betrachten nun einen allgemeinen statistischen Operator
X
ρ(t) =
pk | ψk (t)ihψk (t) |
(5.53)
k
P
mit k pk = 1. Hier sind die | ψk (t)i zum Zeitpunkt t = 0 herausgegriffene Zustände, die zusammen
mit ihrem Ensemblegewicht pk das Vielteilchensystem repräsentieren. Wie später noch genauer untersucht
werden wird, ist die Dynamik der | ψk (t)i durch die Schrödingergleichung gegeben. Im Unterschied zu den
| ri in Gl. (??) bilden die Zustände | ψk (t)i in Gl. (5.64) nicht notwendigerweise ein VONS, sie müssen
weder vollständig noch orthogonal sein. Liegt ein einziger | ψk (t)i mit pk = 1 vor, handelt es sich beim
Ensamble um einen reinen Zustand, ansonsten um ein Gemisch.
Mittels ρ kann der Ensembleerwartungswert hAi einer Observablen A leicht angegeben werden. Hierzu
gehen wir aus von
X
X
hAi ≡
pk hψk | A | ψk i =
pk hψk | A | νihν | ψk i,
(5.54)
k
k,ν
wobei wir ein VONS von Einteilchenzusänden | νi eingesetzt haben. Durch Vorziehen von hν | ψk (t)i folgt
X
X
··· =
hν | ψk ipk hψk | A | νi =
hν | ρA | νi.
(5.55)
ν
k,ν
Wir erhalten die wichtige Formel
hAi = Tr(ρA).
5.4.2
(5.56)
Nichtwechselwirkendes System im thermischen Gleichgewicht
Wir betrachten einen effektiven Hamilton der Funktion Gl. (5.2) ohne externe Störung.
 N

X

Hψr (~r1 · · ·~rN ) =  h(~ri ) ψr (~r1 · · ·~rN ),
(5.57)
i
mit
h(~r) =
~2
∆~r + V(~r).
2m
(5.58)
In den Slaterdeterminanten für ψr (~r1 · · ·~rN ) in Gl. (5.10) wählen wir nun die | φν i als Eigenfunktionen von
h(~r), d. h. wir setzen
[h(~r) − ν ]φν (~r).
(5.59)
Im Theorielabor zeigen wir, dass dann
[H − Er ]ψr (~r1 · · ·~rN ) = 0
(5.60)
X
(5.61)
mit den Energieeigenwerten
Er =
ν
nrν ν .
5.4. STATISTISCHER OPERATOR
9
Die so erhaltenen Basiszusände |ri sind also Eigenfunktionen des Energie- und des Teilchenoperators. Im
Rahmen der Quantenstatistik ist die Besetzungswahrscheinlichkeit dieser Zustände in der großkanonischen
Gesamtheit gegeben durch
"
#
1
Er − µNr
p0,r =
exp −
,
(5.62)
ZGK
kB T
mit
ZGK =
X
exp(−β[Er − µNr ]),
r
β=
1
.
kB T
(5.63)
Im stationären Fall wird sich ein thermisches Gleichgewicht einstellen. Der statistische Operator in Gl.
(5.64) wird dann zu
X
ρ0 =
p0,r | rihr |,
(5.64)
r
wobei die Zustände | ri in Gl. (5.60) definiert sind und die p0,r in Gl,. (5.63). Die Enesembleerwartungswerte
der Observablen A sind dann
hAi = Tr(ρ0 A).
(5.65)
Wir schreiben mit Gl. (??)
Tr(ρ0 A) =
X
aνν0 ρνν0
(5.66)
νν0
mit der Dichtematrix
ρνν0 = hc†ν cν0 i.
(5.67)
Wählen wir die c†ν als Erzeugungsoperatoren der Einteilchenenergieeigenszustände | φν i folgt (s. Aufgaben)
hc†ν cν0 i = Tr(ρ0 c†ν cν0 ) = δν,ν0
1
1 + exp β(ν − µ)
(5.68)
und damit nach Gl. (5.66)
hAi = Tr(ρ0 A) =
X
ν
1
aν
1 + exp β(ν − µ)
(5.69)
mit den Zustandserwartungswerten
aν = hφν | A | φν i.
(5.70)
Kapitel 10
Aufgaben zu ’5. Vielteilchentheorie des
Festkörpers mit Feldoperatoren’
10.1
Slaterdeterminante
Konstruieren Sie aus dem allgemeinen Ausdruck
1 X
ψr (~r1 · · ·~rN ) = ψ{nrν } (~r1 · · ·~rN = √
(−1) p φν1 (~r p1 )φν2 (~r p2 )........φνN (~r pN )
N! P
(10.1)
die Wellenfunktion für den Fall nr2 = 1 und nr5 = 1 und 2 , nrν , 5.
~ | ~ri
ψr (~r1 ,~r2 ) = ψ{nrν } (~r1 ,~r2 ) = hR
!
1
φν1 (~r1 ) φν2 (~r1 )
= √ det
φν1 (~r2 ) φν2 (~r1 )
2
1 = √ φν1 (~r1 )φν2 (~r2 ) − φν1 (~r2 )φν2 (~r1 )
2
1 X
(−1) p φν1 (~r p1 )φν2 (~r p2 )
= √
2 P
!
!
1
2
1
2
mit P1 =
und P2 =
folgt:
p1 = 1 p2 = 2
p2 = 2 p1 = 1
|
{z
}
|
{z
}
p=0
p=1
1 ψr (~r1 ,~r2 ) = √ φν1 (~r1 )φν2 (~r2 ) − φν1 (~r2 )φν2 (~r1 )
2
10.2
Eigenzustände des effektiven Hamiltons
Gegeben sei der wechselwirkungsfreie Vielteilchenhamiltonoperator
H(~r1 · · ·~rN ) =
N
X
i
1
h(~ri )
(10.2)
2KAPITEL 10. AUFGABEN ZU ’5. VIELTEILCHENTHEORIE DES FESTKÖRPERS MIT FELDOPERATOREN’
als Summe der Einteilchenhamiltons
h(~r) = ∆~r + V(~r).
(10.3)
[H − Er ]ψr (~r1 · · ·~rN ) = 0
(10.4)
X
(10.5)
Zeigen Sie, dass
mit den Energieeigenwerten
Er =
nrν ν .
ν
Voraussetzung hierfür ist, dass in der Slaterdeterminante
1 X
ψr (~r1 · · ·~rN ) = √
(−1) p φν1 (~r p1 )φν2 (~r p2 )........φνN (~r pN )
N! P
(10.6)
die Einteilchenzustände φν (~r) als Lösungen des Eigenwertproblems
[h(~r) − ν ]φν (~r)
(10.7)
gewählt werden.
Es gilt
h(~ri )ψr (~r1 · · ·~rN )
=
=
1 X
(−1) p φ1 (~r p1 )ψ2 (~r p2 )........ψN (pN )
h(~ri ) √
N! P
X
(−1) p ν(i,P) φ1 (~r p1 )φ2 (~r p2 )........φN (~r pN ).
(10.8)
P
Hier ist ν(i, P) die Zahl, die in der gegebenen Permutation P über i steht:
···
···
1
p1
P=
ν(i, P) · · ·
i
···
N
pN
!
.
(10.9)
Es folgt
X
h(i)ψr (1 · · · N)
=
N
X
X
(−1) p ( ν(i,P) )φ1 (~r p1 )φ2 (~r p2 )........φN (~r pN )
=
Er ψr (1 · · · N)
P
i
i
(10.10)
mit
Er =
N
X
ν(i,P) =
i
10.3
N
X
i
i =
X
nrν ν
(10.11)
ν
Fermiverteilung
Zeigen Sie, dass der thermodynamische Erwartungswert für den Operator n̂ν der besetzung des ν-ten Einteilchenzustands in TD-Gleichgewicht gegeben ist durch
hhnν ii =
1
.
1 + exp β(ν − µ)
(10.12)
10.4. VERTAUSCHUNGSRELATIONEN DER ERZEUGUNGS- UND VERNICHTUNGSOPERATOREN DER BASISZUST
Wir schreiben zunächst für die großkanonische Zustandssumme


X
 X
 X Y
r
ZGK =
exp −β (ν − µ)nν  =
exp [−β(ν − µ)nrν ]
ν
r
r
ν
 nr =0

nrν =1

ν




Y
z}|{
z
}|
{




.
=
1
+
exp
[(−β(
−
µ)]


ν








(10.13)
ν
Wir berechnen nun den thermodynamischen Erwartungswertes des Besetzungszahloperators hhn̂ν ii = mittlere Besetzungszahl des Einteilchen-Zustandes nach Gl. (??). Dann ist Ô = n̂ν der Teilchenzahloperator zur
Besetzung des Einteilchenzustandes |νi und
Mit
hr|n̂ν |ri = nrν .
(10.14)
P
exp −β ν (ν − µ)nrν
Pr =
ZGK
(10.15)
berechen wir
hhnν ii
=
=
=
1 X
ZGK


 X

r 

exp −β (ν0 − µ)nν0  nrν
ν0
r
1 Y
1 + exp −β(ν0 − µ) · exp −β(ν − µ)
ZGK
ν0 ,ν
exp −β(ν − µ)
= f (ν − µ).
1 + exp −β(ν − µ)
(10.16)
Mit der Fermifunktion:
f (E) =
10.4
1
exp (βE) + 1
(10.17)
Vertauschungsrelationen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Basiszustände
Verifizieren Sie die Antikommutatorrelationen
{cν , cν } = {c†ν , c†ν } = 0,
(10.18)
{cν , c†ν0 } = δν,ν0 .
(10.19)
sowie
Für ν = ν0 folgt direkt {cν , cν0 } = 2cν cν = 0 und {c†ν , c†ν0 } = 2c†ν c†ν = 0. In der Vorlesung wurde bereits
hergeleitet, dass
c†ν cν |n1 . . . , nν , . . . i = nν |n1 . . . , nν , . . . i
(10.20)
Wir finden ähnlich
cν c†ν |n1 . . . , nν , . . . i =
(−1)2S i (nν + 1)(1 − nν )|n1 . . . , nν , . . . i
=
(1 − nν )|n1 . . . , nν , . . . i
=
(1 − c†ν cν )|n1 . . . , nν , . . . i.
(10.21)
4KAPITEL 10. AUFGABEN ZU ’5. VIELTEILCHENTHEORIE DES FESTKÖRPERS MIT FELDOPERATOREN’
Es folgt
cν c†ν = 1 − c†ν cν ⇒ c†ν cν + cν c†ν ≡ {c†ν , cν } = 1.
(10.22)
Für ν , ν0 resultiert bei ν < ν0
cν cν0 |n1 . . . , nν , . . . , nν0 , . . . i = (−1)S ν (−1)S ν0 nν nν0 |n1 . . . , nν − 1, . . . , nν0 − 1, . . . i.
(10.23)
In der umgekehrten Reihenfolge
cν0 cν |n1 . . . , nν , . . . , nν0 , . . . i = (−1)S ν (−1)S ν0 −1 nν nν0 |n1 . . . , nν − 1, . . . , nν0 − 1, . . . i.
(10.24)
daraus folgt {cν , c†ν0 } = 0. Analog ergeben sich die anderen Antikommutatorrelationen für ν , ν0 .
10.5
Antsymmetrie der Basiszustände des Fockraumes
Zeigen Sie die Vertauschungseigenschaften von Erzeugungsoperatorprodukten, d. h., wenn
|ri = c†ν1 . . . c†νi
mit j − i = n > 0 und
c†νi+1 . . . c†ν j−1 c†ν j . . . c†νN |0i
| {z }
n − 1 Operatoren
(10.25)
|r0 i = c†ν1 . . . c†ν j c†νi+1 . . . c†ν j−1 c†νi . . . c†νN |0i,
| {z }
(10.26)
|r0 i = −|ri
(10.27)
dann
Es gilt mit ν j − νi = n
|r0 i = c†ν1 . . . c†ν j c†νi+1 . . . c†ν j−1 c†νi . . . c†νN |0i
| {z }
10.6
=
(−1)n−1 c†ν1 . . . c†ν j c†νi c†νi+1 . . . c†ν j−1 . . . c†νN |0i
| {z }
=
(−1)(−1)n−1 c†ν1 . . . c†νi c†ν j c†νi+1 . . . c†ν j−1 . . . c†νN |0i
| {z }
=
(−1)(−1)n−1 (−1)n−1 c†ν1 . . . c†νi c†νi+1 . . . c†ν j−1 c†ν j . . . c†νN |0i = −|ri.
| {z }
(10.28)
Erwartungswerte eines Einteilchenoperators bezüglich der Basiszustände des Fock-Raums
Berechnen Sie die Erwartungswerte eines Einteilchenoperators  bezüglich der Basiszustände | ri des FockRaums.
Wir betrachten hier N-Teilchenzustände,
1 X
(−1) p φν1 (~r p1 )φν2 (~r p2 )........φνN (~r pN ),
ψr (~r1 · · ·~rN ) = √
N! P
(10.29)
sodass
Â(~r1 · · ·~rN ) =
N
X
i=1
â(~ri ).
(10.30)
10.7. WICHTIGE IDENTITÄT
5
Es ist dann
Z
1 X
p+p0
hr | Â |i =
(−1)
d3 r1 . . . d3 rN
N! PP0

 N

X
∗
∗
φν1 (~r p01 ) . . . φνN (~r p0N )  â(~ri ) φν1 (~r p1 ) . . . φ∗νN (~r pN )
i=1
=
N Z
X
1 X
p+p0
δ p1 ,p01 . . . δ pN ,p0N ×
d3 ri φ∗ν(pi ) (~ri )a(~ri )φν(pi ) (~ri )
(−1)
N! PP0
i=1 |
{z
}
hφνi |â|φνi i≡āi
=
N
X
āi .
i=1
(10.31)
10.7
Wichtige Identität
Leiten Sie die Identität
N
X
|φν ii i hφν0 |c†ν0 cν
(10.32)
i
her.
Wir betrachten zunc̈hst nur ein j in Gl. (5.41) und untersuchen
|φν0 i j j hφν |ri.
(10.33)
Für das Basiselement des Fockraums verwenden wir die koordinatenfreie Form in Gl. (5.12)
1 X
|ri = √
sgn(P)|φν1 i p1 |φν2 i p2 ........|φνN i pN ,
N! P
(10.34)
mit der Permutation (5.11)
P=
1
p1
2
p2
···
···
N
pN
!
.
(10.35)
Es wird also für i = 1 . . . N dem Koordinatenvektor ~r pi das Einteilchenorbital |φνi i mit ν1 < ν2 . . . νN
zugeordnet. In Gl. (10.33) wirkt der Operator j hφν | nur auf den Koordinatenvektor ~r j , d.h. nur auf den
Anteil von |ri, der diesem Koordinatenvektor ~r j zugeordnet wird.
r schreiben
|ri
=
1
√
N!
(10.36)

X
 X

sgn[P(1,
j)]|φ
i
|φ
i
.
.
.
|φ
i
+
sgn[P(2, j)]|φν1 i p1 |φν2 i j . . . |φνN i pN
ν
j
ν
p
ν
p
1
2
2
N
N

P(1, j)
P(2, j)
+··· +
X
P(N, j)


sgn[P(N, j)]|φν1 i p1 |φν2 i p2 . . . |φνN i j 
wobei P(1, j) alle Permutationen sind, bei denen dem Koordinatenvektor ~r j der Index i = 1 zugeordnet ist
!
1 2 ··· N
P(1, j) =
,
(10.37)
j p2 · · · pN
6KAPITEL 10. AUFGABEN ZU ’5. VIELTEILCHENTHEORIE DES FESTKÖRPERS MIT FELDOPERATOREN’
P(2, j) die Permutationen sind, bei denen dem Koordinatenvektor ~r j der Index i = 2 zugeordnet wird,
!
1 2 ··· N
P(2, j) =
,
(10.38)
p1 j · · · pN
usw. bis P(N, j) die Permutationen sind, bei denen dem Koordinatenvektor ~r j der Index i = N zugeordnet
wird,
!
1 2 ··· N
P(N, j) =
,
(10.39)
p1 p2 · · · j
Es ist dann
|φν0 i j j hφν |ri
(10.40)

X
X
1 
sgn[P(1, j)] j hφν |φν1 i j |φν2 i p2 . . . |φνN i pN +
= |φν0 i j nrν √ 
sgn[P(2, j)]|φν1 i p1 j hφν |φν2 i j . . . |φνN i pN
N! P(1, j)
P(2, j)

X

sgn[P(N, j)]|φν1 i p1 |φν2 i p2 . . . j hφν |φνN i j  .
+··· +
P(N, j)
Es gilt
j hφν |φνi i j
= δν,νi ,
(10.41)
und somit
|φν0 i j j hφν |ri
(10.42)

X
X

1 
sgn[P(1, j)]δν,ν1 |φν1 i j |φν2 i p2 . . . |φνN i pN +
sgn[P(2, j)]δν,ν2 |φν1 i p1 |φν2 i j . . . |φνN i pN
= |φν0 i j nrν √ 
|{z}
|{z}
N! P(1, j)
P(2, j)

X

sgn[P(N, j)]δν,νN |φν1 i p1 |φν2 i p2 . . . |φνN i j .
+··· +
|{z}
P(N, j)
Die unterklammerten Faktoren müssen gleich eins gesetzt werden. Sie wurden nur mitgeschrieben, um die
Struktur zu verdeutlichen. Wir setzen nun willkürlich ν = νI und erhalten
1 X
sgn[P(I, j)]|φν1 i p1 . . . |φνI i j . . . |φνN i pN .
(10.43)
|φν0 i j j hφν |ri = |φν0 i j nrν √
|{z}
N! P(I, j)
Es folgt die Summation über j bei festem I
X
1 XX
|φν0 i j j hφν |ri = nrν √
sgn[P(I, j)]|φν1 i p1 . . . |φνI =ν0 i j . . . |φνN i pN .
N! j P(I, j)
j
Hier haben wir bei i = I den Index νI = ν ausgetauscht durch νI = ν0 . Es gilt weiterhin
XX X
=
,
j P(I, j)
X
j
(10.44)
(10.45)
P
1 XX
|φν0 i j j hφν |ri = nrν (1 − nrν0 ) √
sgn[P]|φν1 i p1 . . . |φνI =ν0 i j . . . |φνN i pN .
N! j P
(10.46)
Dieses hat die Form einer Slater-Determinante, weswegen der Faktor 1 − nrν0 auftritt. Der Zustand |ν0 hat
jedoch im Allgemeinen die falsche Position. Wir erhalten wegen der Vertauschungen
...
=
(−1)S ν −S ν0 nrν (1 − nrν0 )| . . . nν + 1 . . . nν0 − 1 . . . i
=
c†ν cν0 |ri.
(10.47)
10.8. DER DICHTEOPERATOR
10.8
7
Der Dichteoperator
Beweisen Sie
n(~r) = ψ̂† (~r)ψ̂(~r).
(10.48)
Klassisch ist der Dichteoperator gegeben durch
n(~r) =
N
X
δ(~r − ~ri ).
(10.49)
i
In erster Quantisierung wird ~r zum Operator und damit n(~r) → n̂(~r). Für den Dichteoperator n̂(~r0 ) folgt
 = n̂(~r0 ) =
N
X
δ(~r0 − ~ri ) =
i=1
N
X
a(~ri ).
Ersetze ~ri → ~r und erhalte a(~r) = δ(~r0 − ~r). Dann ergibt sich
Z
0
n(~r ) =
d3 rψ̂† (~r)δ(~r0 − ~r)ψ̂(~r) = ψ̂† (~r0 )ψ̂(~r0 ).
10.9
(10.50)
i=1
(10.51)
Antikommutator der Feldoperatoren
Beweisen Sie
{ψ̂† (~r0 ), ψ(~r)} = δ(~r − ~r0 ).
{ψ̂† (~r0 ), ψ(~r)} =
X
ν0 ν
=
X
φ∗ν (~r)φν (~r0 )
φ∗ν0 (~r)φν (~r0 ) {c†ν0 , cν }
| {z }
δν 0 ν
= δ(~r − ~r ).
ν
Der letzte Schritt folgt aus der Vollständigkeit der φν .
(10.52)
0
(10.53)