Blatt 5 - staff.uni
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Mathematische Rechenmethoden II Blatt 5 - Abgabe: Mi. 15.06.2016 14 Uhr SoSe 2016 F. Schmid Abgabe der Lösungen im roten Kasten Nr. 34 im Erdgeschoss des Physik-Gebäudes (Staudingerweg 7). Präsenzübungen (P), Hausaufgaben (H) 1. Aufgabe (P, Punkte: 1): Maxwell-Gleichungen R ~·E ~ verwendet. Auf Blatt 3 haben Sie die Maxwell-Gleichung 10 Q = ∂V dA ~ · E(~ ~ r) = Zeigen Sie mithilfe des Satz von Gauß, dass diese Darstellung äquivalent zu ∇ ist 0 eine Konstante und ρ(~r) die Ladungsdichte. 1 ρ(~r) 0 ist. Dabei 2. Aufgabe (P, Punkte: 1): Satz von Gauß, Volumenintegral Gegeben sei das Vektorfeld xy 2 z ~ (x, y, z) = x2 yz U −z sowie der Zylinder V . Die Mittelachse des Zylinders ist die z-Achse und der Radius ist ρ = Der Zylinder ist oben und unter eingeschlossen durch die Ebenen z = 0 und z = 4. p x2 + y 2 = 5. R ~ ·U ~ )dV . Berechnen Sie das Volumenintegral (∇ V 3. Aufgabe (H, Punkte: 2+2+1): Satz von Gauß, Oberflächenintegral ~ (x, y, z) sowie der Zylinder V aus Aufgabe 2. Gegeben seien das Vektorfeld U Berechnen Sie a) den Fluss durch die Mantelfläche F1 des Zylinders: H ~ (x, y, z) · dA ~ U F1 b) den Fluss durch den Deckel F2 (z = 4) des Zylinders: H ~ (x, y, z) · dA ~ U F2 c) den Fluss durch den Boden F3 (z = 0) des Zylinders: H ~ (x, y, z) · dA ~ U F3 Überprüfen Sie den Satz von Gauß anhand der Aufgaben 2 und 3. Hinweis: Manche von den hier zu berechnenden Integralen müssen in der Literatur nachgeschlagen werden. 1 4. Aufgabe (H, Punkte: 1+2+2): Elektrisches Feld eines unendlich langen, geladenen Drahtes Gegeben sei ein unendlich langer, geladener Draht, welcher entlang der z-Achse (x = y = 0) verläuft. Die Ladungsdichte pro Längeneinheit Q∗ sei gegeben durch Q∗ = ∆Q . ∆L Berechnen Sie das elektrische Feld, welches von diesem Leiter erzeugt wird. ~ = E~er . Dabei ist ~er der a) Begründen Sie, warum das Feld keine Winkelabhängigkeit besitzt, d.h. E radiale Einheitsvektor (vgl. Skizze). b) Nutzen Sie die Maxwell-Gleichung aus Aufgabe 1 um das elektrische Feld in integrierter Form aufzuschreiben (Satz von Gauß). Die zu verwendende Oberfläche entspricht dabei genau der Oberfläche in der Skizze. Machen Sie sich dafür klar, wie viel Ladung sich in einem solchen Zylinder mit Radius R und Länge L befindet. c) Führen Sie das Oberflächenintegral aus und bestimmen Sie das elektrische Feld. Nutzen Sie dafür die Relation aus Aufgabenteil a). Was fällt im Vergleich zum elektrischen Feld einer Punktladung auf? 2
