Versuchsanleitung Michelson-Interferometer

Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil III
Michelson-Interferometer
Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0H
Version 6 (4/2016 HL, MD)
2
Michelson-Interferometer
Ziel des Versuchs
In diesem Versuch soll mit Hilfe des Michelson-Interferometers ein Verständnis der Interferometrie und ihrer Anwendungen, aber auch für die sich ergebenden Probleme vermittelt werden. Insbesondere wird das justieren eines optischen Strahlenganges geübt.
1.
Fragen
1. Erklären Sie die Begriffe Welle und Interferenz.
2. Was versteht man unter dem Begriffen räumliche und zeitliche Kohärenz und Kohärenzlänge?
3. In welchen Größenordnungen liegen die Kohärenzlängen verschiedenerer Lichtquellen
(z.B. Weißlicht, Licht von Gasentladungslampen, Laserlicht)?
4. Skizzieren und erläutern Sie die grundlegende Funktionsweise eines MichelsonInterferometers.
5. Normalerweise liegt zwischen zwei benachbarten Maxima der Interferenz zweier elektromagnetischen Welle eine Phasendifferenz von einer Wellenlänge vor. Wieso muss in diesem Experiment ein Spiegel jedoch nur um die halbe Wellenlänge verschoben werden, um
zum nächsten Maximum zu gelangen?
6. Was bezweckte Michelson mit dem Aufbau seines Interferometers und wie führte er die
Messungen durch?
7. Wie kann man mit Hilfe eines Michelson-Interferometers die Wellenlänge der Lichtquelle,
bzw. den Brechungsindex eines Medium bestimmen?
8. Warum sind die Interferenzstreifen, die durch eine weiße Lichtquelle erzeugt werden,
nicht einfach nur weiß?
9. Kennen Sie noch andere Typen von Interferometern?
10. Erhält man immer noch Interferenzen, wenn nur noch ein Lichtquant durch das Interferometer geschickt wird?
2.
Einführende Literatur
• D. Meschede, Gerthsen Physik
24. Auflage (Springer-Verlag, Heidelberg 2010)
Kap. 14.5
•
W. Demtröder, Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik
6. Auflage (Springer-Verlag, Heidelberg 2013)
Kap. 10.3
Titelbild:
14. September 2015: Nachweis von Gravitationswellen in den beiden LIGO-Interferometern
Hanford und Livingston (oben). Die Wellen wurden durch das Verschmelzen zweier Schwarzer Löcher verursacht. Die unteren Bilder zeigen die simulierten Signale, die durch das Verschmelzen zweier Schwarzer Löcher erzeugt werden.
(LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration, Observation of Gravitational Waves
from a Binary Black Hole Merger, Phys. Rev. Lett. 116 (2016) 061102
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.116.061102)
Michelson-Interferometer
3
3.
Grundlagen
3.1
Michelson-Interferometer
Grundprinzip eines Interferometers ist, elektromagnetische Wellen mit sich selbst kohärent
interferieren zu lassen. Dies bedeutet, dass die im Interferometer erzeugten Teilstrahlen in
einer zeitlich und räumlich festen Phasenbeziehung zueinander stehen müssen, da ansonsten
keine feste Interferenzbedingung zwischen den einzelnen Teilstrahlen entstehen kann und
somit kein festes Interferenzbild erzeugt wird.
Interferometrie ist eine Methode zur Messung von Längenänderungen, Brechungsindizes bzw.
Lichtgeschwindigkeiten. Interferometrische Messungen beruhen auf folgendem Prinzip: Der
von der Lichtquelle kommende Strahl wird durch einen Strahlteiler in zwei Teilstrahlen aufgespalten. Bei einem dieser Teilstrahlen wird nun die optische Weglänge, d.h. das Produkt aus
Brechzahl und geometrischem Weg, geändert. Er erfährt dabei eine Phasenverschiebung gegenüber dem ungestörten Strahl, mit dem er schließlich wieder überlagert wird. Aus dieser
Phasenverschiebung erfolgt eine Änderung des Interferenzbildes, aus der sich dann eine der
beiden Größen, Brechzahl oder geometrischer Weg, ermitteln lässt, wenn die andere bekannt
ist. Wird z.B. die Brechzahl konstant gehalten, so sind Differenzen des geometrischen Weges
bestimmbar, z.B. die Ausdehnung von Materialien, die Krümmung von Oberflächen, die Dicke von Schichten usw. Messungen dieser Art werden vornehmlich mit dem MichelsonInterferometer vorgenommen.
In einem Michelson-Interferometer wird das dadurch erreicht, dass in der y-z-Ebene der Strahl
einer einzelnen Lichtquelle A (Laser) mittels eines Strahlteilers ST aufgespalten, auf unterschiedliche Bahnen geschickt und durch zwei Spiegel M1, M2 wieder zurückgeführt wird
(Abb. 1). Aus dem so auf dem Schirm in der x-z-Ebene entstehenden Interferenzmuster kann
Information über die Phasen und Intensitäten der einzelnen Teilstrahlen gewonnen werden,
insbesondere enthält die Phasenbeziehung Informationen über die geometrischen und optischen Weglängen, die einen oder beide Teilstrahlen beeinflusst haben.
M1
y
s1
z
s2
A
ST
M2
Schirm
Abb. 1: Aufbau eines Michelson-Interferometers: Ein Laserstrahl A wird durch
einen Strahlteiler (ST) in zwei Teilstrahlen (S1 und S2) aufgeteilt und über zwei
Spiegel (M1 und M2) wieder zusammengeführt. Auf dem Schirm entsteht ein Interferenzmuster.
Damit die räumliche Kohärenzbedingung erfüllt ist, darf die Wegdifferenz der beiden Teilstrahlen die Kohärenzlänge des verwendeten Lichts nicht überschreiten. Da die Kohärenzlänge von Laserlicht sehr groß ist (Meter bis Kilometer), wird dies im Experiment zu keinerlei
4
Michelson-Interferometer
Problemen führen. Da Laser monochromatisches Licht emittieren, ist die Bedingung der zeitlichen Kohärenz ebenfalls erfüllt.
Der Laserstrahl (A) in z-Richtung trifft in einem Winkel von 45° auf den Strahlteiler (ST).
Der Strahlteiler besteht aus zwei Prismen, die an ihrer Basis (z.B. mit Kanadabalsam) zusammengekittet worden sind. Die Dicke der Klebeschicht ist so eingestellt, dass die Hälfte der
einfallenden Intensität am der Grenzschicht reflektiert wird und die Hälfte der Intensität durch
verhinderte Totalreflexion transmittiert wird. Aufgrund des Einfallswinkels von 45° zur Kontaktfläche der beiden Prismen ergibt sich so ein Winkel von 90° zwischen den beiden Teilstrahlen. Diese werden dann von den beiden Spiegeln (M1 und M2) reflektiert. Die nun wieder
auf den Strahlteiler treffenden Teilstrahlen werden reflektiert bzw. transmittiert, wobei der
Teilstrahl, der beim ersten Eintreffen auf den Strahlteiler reflektiert wurde nun transmittiert
wird und umgekehrt. Dies hat zur Folge, dass die beiden Teilstrahlen wieder „ineinanderlaufen“ und miteinander interferieren können und auf dem Schirm (x-z-Ebene) ein Interferenzmuster erzeugen (s. Titelbild). Ob sich im Zentrum des Interferenzbildes ein Maximum oder
ein Minimum ausbildet hängt offensichtlich von der Phasenbeziehung und somit der optischen Wegdifferenz der beiden Teilstrahlen S1 und S2 ab.
Wir berechnen die durch das Interferometer transmittierte Intensität IT in der Schirmebene als
Funktion der Wegdifferenz Δs = s1 – s2. Die einfallende Welle lässt sich beschreiben mit


=
Ee Ae cos(ωt − kz )
(1)
Der Strahlteiler hat das Reflexionsvermögen
R und das Transmissionsvermögen T. Der erste

Teilstrahl in der Schirmebene mit Ae = Ae ist dann

(2)
=
E1
RT Ae cos(ωt + ϕ1 )
und die Phase φ1 ist durch den optischen Weg (ST – M1 – ST – Schirm) bestimmt. Für die
zweite Teilwelle gilt

(3)
=
E2
RT Ae cos(ωt + ϕ 2 )
Die Amplituden beider Teilwellen sind gleich, unabhängig von R und T. Die gesamte Intensität durch die Schirmebene ist
=
IT cε 0 ( E1 + E2 ) 2
(4)
= cε 0 RTAe2 [ cos(ωt + ϕ1 ) + cos(ωt + ϕ 2 ) ]
2
Das menschliche Auge oder auch jeder Detektor mittelt die beobachtete Intensität über die
kurzen Lichtperioden T = 2π/ω, mit dem Mittelwert cos 2 (ωt ) = 1 2 ergibt sich
IT = RTI 0 (1 + cos ∆ϕ ) mit I 0 = cε 0 E02, ∆ϕ = ϕ1 − ϕ 2 =
2π
λ
∆s
(5)
Für einen 50:50-Strahlteiler (R = T = 0.5) und I 0 = 12 I 0 ist
IT=
1
I 0 (1 + cos ∆ϕ )
2
(6)
Als Funktion der Phasendifferenz ändert sich IT zwischen I0 für Δφ = 2mπ und null für Δφ =
(2m+1)π. Für IT = 0 wird das gesamte Licht in die Quelle zurück reflektiert. Das MichelsonInterferometer ist also auch ein sehr genaues Gerät zur Messung von Wellenlängen. Wird der
Spiegel M2 mit einer Auflösung im Bereich von µm in z-Richtung verschoben, kann man die
auf dem Schirm erscheinenden Maxima zählen und damit die Wellenlänge bestimmen. Wenn
Michelson-Interferometer
5
bei einer Verschiebung um Δz N Interferenzmaxima auftreten, ergibt sich die Wellenlänge
durch
=
λ
∆s 2∆z
=
N
N
(7)
Der Faktor 2 ergibt sich dadurch, dass der Teilstrahl den geänderten Weg Δz doppelt durchläuft. Die Wegdifferenz darf nicht größer als die Kohärenzlänge sein, da sonst der Kontrast
zwischen Interferenzmaxima und –minima gegen null geht.
α
y
x
B
Abb. 2: Entstehung von Interferenzringen bei divergenten einfallenden Lichtwellen [1].
In Realität emittieren Lichtquellen kein exakt paralleles sondern ein leicht divergentes Lichtbündel mit Teilstrahlen, die unterschiedliche Winkel α zur z-Achse haben (Abb. 2). Dadurch
ist der Wegunterschied Δs = Δs0 f(α) ≈ Δs0/cosα und es bilden sich Interferenzringe auf dem
Schirm. Für die Maxima gilt
∆s = 2∆z = mλ
(8)
1

∆s = 2∆z =  m +  λ
2

(9)
Und für die Minima
3.2
Druckabhängigkeit des Brechungsindex von Gasen
Wie oben beschrieben ist die Wegdifferenz der von den beiden Teilstrahlen zurückgelegten
Wege Δs = 2Δz. Jedoch ist der optische Weg abhängig vom Brechungsindex des optischen
Medium, in dem die Wellen sich ausbreiten. In einem Medium ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) cm einer elektromagnetischen Welle immer kleiner als die
Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum und ist abhängig vom Brechungsindex n des Mediums:
c = ncm
(10)
Der Wert von n und damit auch die Geschwindigkeit cm hängen nicht nur vom Medium ab,
sondern auch von der Wellenlänge λ (Dispersion). Die optische Weglänge ist in der Wellen-
6
Michelson-Interferometer
optik die Streckenlänge, für die Licht im Vakuum die gleiche Zeit benötigt, wie für einen gegebenen Weg mit möglicherweise abweichender Phasengeschwindigkeit. Ändert sich also
entlang der Ausbreitungsrichtung einer Welle die Phasengeschwindigkeit bzw. der Brechungsindex, ist die optische Weglänge verschieden von der geometrischen Weglänge. Dies
wird in der Interferometrie dazu benutzt, um Brechungsindizes von Materialien zu bestimmen.
Die Phasengeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle in einem Medium wird durch
Streuprozesse an Atom- oder Molekülelektronen bestimmt, d.h. durch die Wechselwirkung
des elektrischen Felds der Welle und den Elektronen im Medium und ist damit abhängig von
der Anzahldichte der Atome oder Moleküle. Der Brechungsindex eines Gases hängt daher
vom Druck des Gases ab. Hier wollen wir die Druckabhängigkeit des Brechungsindex von
Luft und den Brechungsindex von CO2 bestimmen. Solange der Gasdruck nicht zu groß wird,
d.h. der Brechungsindex nicht zu stark vom Brechungsindex 1 des Vakuums abweicht, nimmt
der Brechungsindex linear mit der Anzahldichte der Moleküle im Gas zu. Dies gilt hinreichend gut für niedere Drücke und für sichtbares Licht. Mit der Anzahl Moleküle νMol im Volumen V ist also
n −1 ∝
ν Mol
V
(11)
Mit der idealen Gasgleichung
pV = ν Mol RT
(12)
erhalten wir
ν Mol
p
=
V
T
(13)
p
a
oder n = 1 + p
T
T
(14)
n −1 ∝
Mit der Proportionalkonstante a ergibt sich
n −1 = a
Für eine konstante Temperatur ist a/T die Steigung in einem n-p-Diagramm.
Mathematisch entspricht Gl. (14) der Entwicklung einer Taylorreihe um p = 0 unter Vernachlässigung quadratischer und höherer Terme:
n( p ) =
n( p =
0) +
∆n
∆n
p=
1+
p
∆p
∆p
(15)
∆n
ist ein diskreter Differenzenquotient
∆p
∆n n( p + ∆p ) − n( p )
=
∆p
∆p
(16)
Es muss folglich der Wert dieses Differenzenquotienten bestimmt werden, um die druckabhängige Änderung des Brechungsindex zu erhalten.
Eine Änderung des Drucks um Δp lässt sich durch eine Änderung des optischen Wegs ausdrücken. Vor der Druckänderung ist der optische Weg w1 = n(p)s, nach der Druckänderung w2
= n(p + Δp)s, wobei s den geometrischen Weg bezeichnet. Erzeugt man nur in einem der bei-
Michelson-Interferometer
7
den Teilstrahlen des Interferometers eine Druckänderung, ist der Unterschied der beiden optischen Weglängen
∆=
w n( p + ∆p ) s − n( p ) s
(17)
Da der Strahl vor und nach der Reflexion am Spiegel den geänderten optischen Weg durchläuft, gilt Δw = 2Δz. Im Experiment wird die Druckänderung durch das Abpumpen einer
Glasküvette realisiert, die in den Weg einer der beiden Teilstrahlen eingesetzt wird. Die
Küvette hat eine Innenlänge l, die im Interferometer zweimal durchlaufen wird. Mit Gl. (7)
und (17) ergibt sich
∆n  N   λ 
=
 
∆p  ∆p   2l 
(18)
Dieser Aufbau kann auch dazu benutzt werden, den Brechungsindex (unter Normaldruck)
eines anderen Gases wie CO2 zu bestimmen. Verdrängt man langsam die Luft aus der Küvette
und ersetzt sie durch CO2, ändert sich der Brechungsindex kontinuierlich von nLuft zu nCO2 und
damit der optische Weg rLuft = nLuftl zu rCO2 = nCO2l, was durch das Wandern der Interferenzringe beobachtet werden kann. Eine Änderung des Interferenzmusters von einem Maximum
zum nächsten (N = 1), bedeutet, dass sich der optische Weg um Δr = 2Δz = λ geändert hat.
Damit ergibt sich die Änderung des Brechungsindex bei zweimaligem Durchlauf der Küvette
zu
∆n=
∆r ∆mλ
=
2l
2l
(19)
Bei bekanntem Brechungsindex von Luft ergibt sich
nCO
=
nLuft + ∆n
2
(20)
Der Brechungsindex eines Gases hängt nicht nur vom Druck und der Temperatur, sondern auf
Grund der Dispersion auch von der Wellenlänge ab. Insbesondere für Luft spielt auch die genaue Zusammensetzung (z.B. der Gehalt an CO2) und die Luftfeuchte ein Rolle. In der Literatur wurden sehr genaue Näherungsgleichungen für all diese Effekt entwickelt [2]. Die genaue
Kenntnis des Brechungsindex von Luft ist z.B. wichtig für die Berücksichtigung der Brechung in der Atmosphäre bei astronomischen Beobachtungen. Auf Basis der Gleichungen in
[2] hat das amerikanische „National Institute of Standards and Technology“ (NIST) einen
„Refractive Index of Air Calculator“ im Web bereit gestellt [3]. Tabellierte Werte finden sich
in [4].
3.3
Das Michelson-Morley-Experiment
Ein solches Interferometer wurde von A. Michelson entwickelt und 1887 zusammen mit E.
Morley dazu benutzt, experimentell zu klären, ob es einen ruhenden „Weltäther“ geben kann
[5].
Der Äther ist eine hypothetische Substanz, die seit Newton und Huygens als Medium für die
Ausbreitung von Licht postuliert wurde. Später wurde das Konzept aus der Optik auch auf
Elektrodynamik und Gravitation übertragen, vor allem um auf Fernwirkung basierende Annahmen zu vermeiden. Die Äther-Hypothese führte zu unüberwindlichen konzeptionellen
Schwierigkeiten sowie Widersprüchen zu experimentellen Resultaten. So konnten die Maxwellschen Gleichungen niemals vollständig in Übereinstimmung mit den mechanischen
Äthermodellen gebracht werden. Der Äther musste einerseits als materieller Festkörper definiert werden, andererseits sollte sein Widerstand gegenüber der Bewegung der Himmelskör-
8
Michelson-Interferometer
per unmerklich gering sein. Sowohl ruhender also auch von der Erde mitgeführter Äther wurden durch Experimente und Beobachtungen widerlegt. Die Äthermitführung widersprach der
Aberration des Lichtes, die erforderte, dass Licht kein Teilchen, sondern eine in einem ruhenden Äther übertragene Welle ist. Wenn es aber einen ruhenden Äther gäbe, sollte der Wert
von c von der Richtung der Erdbewegung bei dem Umlauf um die Sonne abhängen.
Das Experiment sollte die Bewegung der Erde relativ zu diesem Äther bestimmen, indem eine
eventuell vorhandene Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit c von der Richtung gemessen
werden sollte. Orientiert man das Michelson-Interferometer so, dass ein Arm parallel und der
zweite senkrecht zur Erdgeschwindigkeit v (etwa 30 km/s) steht, so sollte für die Laufzeiten
des Lichtes vom Strahlteiler zum Spiegel M1 und zurück in dem parallelen Arm der Länge L
unterschiedliche Laufzeiten gelten, da das Licht auf dem Hinweg gegen den Äther mit einer
Geschwindigkeit c – v relativ zur Erde läuft und auf dem Rückweg mit dem Äther läuft, also
mit c + v. Für die Laufzeit gilt dann
L
L
2cL
+
= 2 2
c−v c+v c −v
1
2 2L
= γ=
mit γ
c
v2
1− 2
c
t|| =
(21)
Für den zur Erdbewegung senkrechten Arm gilt die Laufzeit
t⊥
=
2L
2L
= γ
c
c2 − v2
(22)
Damit ist der Zeitunterschied zwischen den beiden Teilwellen
∆t = t − t⊥ =
2L 2
(γ − γ )
c
(23)
Abb. 3: Aufbau des Interferometers im Michelson-Morley-Experiment von 1887
[5].
Michelson und Morley bauten ein Interferometer, bei dem durch Vielfachreflexionen eine
effektive Armlänge von L = 11 m erreicht wurde (Abb. 3). Das gesamte Interferometer war
auf eine Steinplatte montiert. Diese Platte lag auf einem Holzkörper, der in einer mit Queck-
Michelson-Interferometer
9
silber gefüllten Rinne schwamm so dass sie leicht gedreht werden konnte. Als Lichtquelle
wurde ein Argand-Brenner, eine Öllampe, benutzt.
Falls der ruhende Äther existiert, sollte mit diesem Aufbau durch den ruhenden Äther eine
Verschiebung um 0.4 Interferenzringe auftreten, wenn das Interferometer um 90° gedreht
wird. Trotz vieler Messungen wurde keine Verschiebung beobachtet, die größer als 0.05 Ringe war, der Auflösung des Interferometers. Daraus schloss Michelson, dass die Lichtgeschwindigkeit für alle Richtungen gleich und unabhängig von der Geschwindigkeit der Lichtquelle oder der des Detektors ist. Dies bedeutet auch, dass es keinen Äther geben kann. Dieses
Experiment ist eine der experimentellen Grundlagen der Relativitätstheorie und brachte 1907
Michelson den Nobelpreis ein [6].
3.4
Gravitationswellen
Mit einem Michelson-Interferometer können kleine Längenänderungen sehr präzise gemessen
werden. Eine der aktuellen Anwendungen dieses Interferometertyps ist der Nachweis möglicher Gravitationswellen, winzigen Verzerrungen der Raumzeit, die sich gemäß Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum bewegen. Werden
Massen beschleunigt, so erzeugen sie Gravitationswellen [7]. Diese breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und dehnen und stauchen abwechselnd den Raum, den sie durchqueren:
Die Abstände zwischen den im Raum enthaltenen Objekten ändern sich. Diese Distanzänderungen sind extrem klein. Selbst bei der Beschleunigung großer Massen wie bei einer Sternexplosion in einer Nachbargalaxie zur Milchstraße, verändert die entstehende Gravitationswelle den Abstand zwischen Erde und Sonne (etwa 1.5×108 km) für Sekundenbruchteile nur
um den Durchmesser eines Wasserstoffatoms.
Abb. 4: Das VIRGO-Interferometer zum Nachweis von Gravitationswellen in
Cascina/Italien [9].
Solche Gravitationswellen sollen mit den Experimenten LIGO [ 8] und VIRGO [9] nachgewiesen werden. Kernstück von VIRGO ist ein Michelson-Interferometer mit je drei Kilometer
langen Armen (Abb. 4). In diesem Interferometer wird Laserlicht viele Male hin- und hergeworfen, so dass ein Interferometer mit einer effektiven Armlänge von 120 km entsteht. Damit
sind Längenänderungen von 10-18 m nachweisbar. VIRGO ist Teil des Europäischen Gravitationswellen-Observatoriums (EGO) in Cascina in Italien.
Noch viel größer soll das Experiment LISA (Laser Interferometer Space Antenna) werden, ein
auf Satelliten basierendes Interferometer mit fünf Millionen Kilometern Armlänge [10]. Al-
10
Michelson-Interferometer
lerdings ist die NASA aus dem LISA-Projekt ausgestiegen und europäische Wissenschaftler
können mit der ESA das Projekt, wenn überhaupt, nur in deutlich kleinerem Maßstab realisieren.
Nachtrag 11. Februar 2016
“On September 14, 2015 at 09:50:45 UTC the two detectors of the Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory (LIGO) simultaneously observed a transient gravitational-wave
signal. The signal sweeps upwards in frequency from 35 to 250 Hz with a peak gravitationalwave strain of 1.0×10-21. It matches the waveform predicted by general relativity for the inspiral and merger of a pair of black holes and the ringdown of the resulting single black hole.
The signal was observed with a matched-filter signal-to-noise ratio of 24 and a false alarm
rate estimated to be less than 1 event per 203 000 years, equivalent to a significance greater
than 5.1 σ. The source lies at a luminosity distance of 410+−160
180 Mpc corresponding to a red+0.03
shift z = 0.09−0.04 . In the source frame, the initial black hole masses are 36+−54 M⊙ and 29+−44
M⊙, and the final black hole mass is 62+−44 M⊙, with 3.0+−55 M⊙c2 radiated in gravitational
waves. All uncertainties define 90% credible intervals. These observations demonstrate the
existence of binary stellar-mass black hole systems. This is the first direct detection of gravitational waves and the first observation of a binary black hole merger.” [11]
4.
Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung
4.1
Versuchsaufbau
Abb. 5: Aufbau des Michelson-Interferometers zur Messung von Wellenlängen.
Der Aufbau des Interferometers ist in Abb. 5 dargestellt. Das Licht des Lasers wird durch den
Spiegel M1 in einem Winkel von 90° abgelenkt, tritt durch die Linse L und auf den zweiten
Spiegel M2. Von dort aus trifft es auf den Strahlteiler ST, der es zu Teilen von je 50% der
Michelson-Interferometer
11
ursprünglichen Intensität auf Spiegel M3 transmittiert bzw. auf Spiegel M4 reflektiert. Damit
die beiden entstehenden Teilstrahlen orthogonal zueinander stehen, muss der Strahlteiler in
einem Winkel von 45° zum Lot des einfallenden Laserstrahls stehen. Die beiden Spiegel sind
so aufgestellt, dass sie die ankommenden Teilstrahlen auf direktem Wege wieder zurück zum
Strahlteiler schicken, wo nun der zuvor reflektierte Teilstrahl S2 transmittiert, bzw. der zuvor
transmittierte Teilstrahl S1 reflektierte wird. Beide Teilstrahlen interferieren nun miteinander
und erzeugen auf dem Schirm S das Interferenzbild. Statt dem Schirm kann auch eine Photodiode PD zur Messung der Lichtintensität eingesetzt werden. Mit Hilfe einer CCD-Kamera
können die Interferenzmuster auf dem Schirm für die spätere Auswertung aufgezeichnet werden.
Alle optischen Komponenten sind auf Magnetsockel auf der Grundplatte montiert. Das eigentliche Michelson-Interferometer ist auf einer zusätzlichen Platte P aufgebaut. Der Spiegel
M3 ist an einem Feinsteinstelltrieb befestigt, und lässt sich auf einer Achse senkrecht zum
Hebelarm bewegen. Das Rad der Mikrometerschraube ist in 50 Einheiten unterteilt, pro Einheit bewegt sich der Spiegel um 0.5 µm, insgesamt lässt sich der Spiegel um maximal 500 µm
bewegen. Alle Spiegel können durch zwei Einstellschrauben um die horizontale bzw. vertikale Achse gedreht werden.
Als Lichtquellen stehen 2 Laser zur Verfügung. Der He-Ne-Laser emittiert rotes Licht mit der
Wellenlänge von 632.8 nm, der grüne Laser mit der Wellenlänge 532 nm ist ein diodengepumpter, frequenzverdoppelter Yttrium-Vanadat (Nd:YVO4) Festkörperlaser. Beide Laser
haben eine Maximalleistung von 1 mW.
4.2 Versuchsdurchführung
Abb. 6: Aufbau des Michelson-Interferometers der Fa. PHYWE mit CCD-Kamera.
Bei diesem Versuch arbeiten Sie mit Lasern (Leistung < 1 mW), die bei unsachgemäßem
Umgang zu Augenschäden führen können. Die folgenden Regeln dienen Ihrer eigenen Sicherheit während der Arbeit
• Schauen Sie niemals direkt in den Laserstrahl.
12
Michelson-Interferometer
• Ihre Augen sollten sich niemals auf der Höhe des optischen Tisches befinden. Schauen Sie
immer von oben auf das Experiment.
• Wegen der möglichen unkontrollierten Reflexion des Laserlichtes dürfen Sie an den Händen keine Ringe, keine Armreife und keine Armbanduhr tragen. Lange Halsketten sollten
Sie ebenfalls ablegen.
• Der Laserstrahl darf beim Experimentieren niemals über den eigenen Tisch hinaus leuchten.
Alle der folgenden Messungen sind aufgrund der hohen Messgenauigkeit des Interferometers
sehr empfindlich gegen Erschütterungen und Luftzirkluationen. Vermeiden Sie es deshalb,
während einer Messung neben dem Tisch herzulaufen, bzw. an den Tisch oder die Apparatur
zu stoßen.
Justierung des Interferometers
Verschieben Sie alle optische Komponenten immer nur am zugehörigen Magnetsockel oder
der Haltestange. Vermeiden Sie es, die Spiegel und den Strahlteiler direkt zu berühren. Machen Sie sich mit der Wirkungsweise der Komponenten zur Feinjustierung der einzelnen optischen Elemente vertraut. Alle Justierschrauben können nur in einem gewissen Bereich verstellt werden. Falls Sie bei einer Justierung an den Anschlag kommen, stellen Sie alle Justierschrauben auf Mittellage und beginnen Sie mit der Justierung von vorn.
Abb. 7: Optimal justiertes Michelson-Interferometer mit Interferenzbild des HeNe-Lasers.
Abb. 6 zeigt einen möglichen Aufbau der einzelnen Komponenten. Sie sollten alle optischen
Komponenten so aufstellen, dass der Laserstrahl diese etwa in der Mitte trifft. Zum Aufbau
und zur Justierung des Interferometers empfiehlt sich folgende Reihenfolge:
• Justieren Sie den He-Ne-Laser so, dass der Laserstrahl möglichst parallel zur Grundplatte
verläuft.
Michelson-Interferometer
13
• Justieren Sie die Spiegel M1 und M2 so dass der Laserstrahl parallel zur Grundplatte verläuft. Benutzen Sie die Rasterlinien auf der Grundplatte als Hilfe zur Justierung. Versuchen Sie, die Spiegeloberfläche und nicht den Magnetfuß auf die Kreuzungspunkte der
Rasterlinien auszurichten. Mit der Kante eines Stück Papiers können Sie Lage des Laserstahls kontrollieren.
• Stellen Sie ohne Strahlteiler den Spiegel M3 so ein, dass der Laserstrahl in sich selbst zurückreflektiert wird und setzen Sie jetzt den Strahlteiler ein.
• Justieren Sie den Spiegel M4 so, dass die Reflexe auf dem Schirm zur Deckung gebracht
werden.
• Bringen Sie nun hinter dem Spiegel M1 eine konvexe Linse mit 20 cm Brennweite zur
Strahlaufweitung in den Strahlengang. Kontrollieren Sie, das der aufgeweitete Strahl den
Strahlteiler an derselben Stelle wie ohne Linse trifft.
• Auf dem Schirm sollte jetzt ein Interferenzmuster zu sehen sein, im Idealfall bereits ein
kreis- oder ellipsenförmiges Ringsystem. Optimieren Sie das Interferenzbild (Abb. 7) mit
den Stellschrauben des Spiegels M4.
• Bauen Sie die CCD-Kamera ein und versuchen Sie, das Interferenzbild auf dem Schirm
aufzunehmen.
Aufgabe 1: Eichung der Mikrometerschraube
Die Messunsicherheit bei der Wellenlängenbestimmung ergibt sich aus der Bestimmung von
Δz und N (Gl. (7)). Die Unsicherheit der Bestimmung von N kann durch fehlerfreies Zählen
der Ringe zum Verschwinden gebracht werden. Mit dem Feinsteinstelltrieb (Mikrometerschraube) wird Δz gemessen. Die Messunsicherheit hängt also wesentlich von der Güte der
Mikrometerschraube ab. Das Rad der Mikrometerschraube ist in 50 Einheiten unterteilt. Nach
Herstellerangabe entspricht die Spiegelbewegung 0.5 μm pro Einheit, eine volle Umdrehung
also 25 µm. Maximal lassen sich etwa 20 Umdrehungen ausführen. Wie alle miteinander in
Reibkontakt stehenden mechanischer Elemente hat auch die Mikrometerschraube einen
„Schlupf“, Schlupf ist hier der Abstand, den es zu überwinden gilt, um Kräfte zwischen
Schraube und Gegengewinde überhaupt übertragen zu können. Bei der Umkehrung der Bewegungsrichtung zeigt die Mikrometerschraube bereits eine kleine Verschiebung an, bevor
der mit der Schraube gekoppelte Spiegel seine Position wirklich verändert. Um diesen Effekt
zu minimieren, sollte eine Messreihe immer ohne Umkehr der Bewegungsrichtung durchgeführt werden.
Abb. 8: Änderung des Interferenzmusters durch stückweises Variieren der Wegdifferenz Δz der beiden Teilstrahlen. Im rechten Bild beträgt die Änderung von Δz
gerade die halbe Wellenlänge des verwendeten Laserlichts.
Benutzen Sie den He-Ne-Laser (Wellenlänge in Luft 632.816 nm) um die Mikrometerschraube zu eichen. Stellen Sie dazu die Mikrometerschraube auf die Nullposition und drehen sie
14
Michelson-Interferometer
diese ein Stück, so dass neue Maxima entstehen (Abb. 8). Drehen Sie die Schraube nun um
eine komplette Umdrehung und zählen die Anzahl der auftretenden Maxima. Aus dieser erhalten Sie die Wegstrecke, um die Sie den Spiegel bewegt haben (laut Hersteller 25 µm). Stellen Sie nun die Schraube wieder auf die Nullposition und drehen nun soweit, bis Sie 50, 60,
70 ,80 und 90 neue Maxima gezählt haben. Zeichnen Sie die theoretische Weglängenänderung gegen die von der Mikrometerschraube angezeigte. Passen Sie die Funktion mit einer
Ursprungsgeraden an, um eine Korrekturfunktion zu erhalten, welche Sie zur Auswertung
ihrer Daten nutzen können.
Aufgabe 2: Bestimmung der Wellenlänge eines grünen Lasers
Über die Bedingung für Maxima des Interferenzbild (Gl. (8)) sollen Sie die Wellenlänge des
grünen Lasers bestimmen. Bauen Sie diesen in die dafür vorgesehenen Halterungen ein und
stellen Sie die Höhe so ein, dass ein Interferenzmuster auf dem Schirm erscheint. Verschieben
Sie den Spiegel M3 mit der Mikrometerschraube und zählen Sie die Anzahl der neu im Zentrum je nach Verschiebrichtung entstehenden oder verschwindenden Ringe als Funktion der
Positionsänderung Δz des Spiegels. Beobachten Sie das Auftreten von 50-100 Maxima in
Schritten von 10 Maxima. Führen Sie die Messung mindestens dreimal durch. Berechnen sie
jeweils unter Benutzung der in Aufgabe 1 bestimmten Korrekturfunktion die resultierende
Wellenlänge λ und den zugehörigen Fehler.
Aufgabe 3: Druckabhängigkeit des Brechungsindex von Luft
Bauen Sie die Halterung für die Glasküvette in den Strahlengang zwischen Strahlteiler und
Spiegel M4 ein. Bauen Sie nun die Glasküvette, die mit der Hand-Vakuumpumpe verbunden
ist, in die Halterung ein und schrauben diese fest (vorsichtig, nicht zu viel Spannung auf die
Küvette geben, diese kann sonst zerbrechen). Schließen Sie das eine Schlauchende eines der
dünnen Schläuche an die Glasküvette und das andere Ende an ein T-Stück, welches es Ihnen
ermöglicht durch zwei weitere Schläuche die Pumpe und einen Drucksensor anzuschließen,
mit dessen Hilfe Sie den Druck mit CASSY direkt ablesen können (Abb. 9). Pumpen Sie nun
die Luft vollständig aus der Küvette und testen Sie, ob das System hinreichend dicht ist.
Abb. 9: Hand-Vakuumpumpe und Druckmesssystem mit CASYY.
Michelson-Interferometer
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Lassen Sie nun wieder Luft in das System, bis der Normaldruck erreicht ist, notieren Sie den
Umgebungsdruck. Pumpen Sie nun bis, Sie ein neues Maximum erzeugt haben und notieren
Sie sich den aktuellen Druck. Versuchen Sie, den Druck möglichst gleichzeitig mit dem Erscheinen des Maximums abzulesen, um den sofort einsetzenden Druckanstieg durch Undichtigkeiten nicht mitzumessen. Pumpen Sie weiter, bis Sie ca. 6 bis 7 neue Maxima erzeugt haben, protokolieren Sie den jeweiligen Druck. Sie können nun aus der Druckdifferenz Δp, N
und der Wellenlänge des Lasers n(p) bestimmen (Gl. (18)und (15)). Die Innenlänge der
Küvette beträgt ca. 1.2 cm. Führen Sie eine Fehlerrechnung durch und interpolieren Sie den
Brechungsindex von Luft bei Normaldruck. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem tatsächlichen Wert, siehe [3]. Welche Änderung des optischen Wegs wird durch den Einbau der
Küvette in den Strahlengang nicht berücksichtigt und wie könnte man dies kompensieren?
Falls Sie den grünen Laser benutzen: Seine Wellenlänge ist 532 nm.
Aufgabe 4: Bestimmung des Brechungsindex von CO2
Bauen Sie die Glasküvette mit der Pumpe aus und ersetzen Sie diese durch eine Küvette an
deren eines Ende Sie über einen dünnen Schlauch eine CO2-Gasflasche anschließen. An den
anderen Anschluss der Glasküvette schließen Sie einen Schlauch an, dessen offenes Ende
nach oben gerichtet ins Leere zeigen soll (Abb. 10). Dieser dient dazu, dass das einströmende
CO2 nicht wieder aus der Glasküvette herausströmt und durch Luft ersetzt wird.
Abb. 10: Aufbau des Michelson-Interferometers mit Glasküvette und Anschluss an
eine CO2-Flasche.
Stellen Sie ein Intensitätsmaximum ein und öffnen Sie das Ventil der CO2-Flasche vorsichtig
und lassen Sie das Gas in die Küvette strömen. Zählen Sie dabei die Zahl der durchlaufenden
Maxima. Wenn sich das Interferenzbild nicht mehr ändert, ist die Küvette vollständig mit
CO2 gefüllt, schließen Sie die Gasflasche. Je nach der eingestellten Durchflussgeschwindigkeit, kann die Geschwindigkeit der durchlaufenden Maxima so groß sein, dass ein fehlerfreies
Zählen nicht möglich ist. Nehmen Sie dann mit der CCD-Kamera ein Video auf, welches das
Entstehen der neuen Maxima aufzeichnet. Dies können Sie später in Zeitlupe abspielen, um
die Anzahl sich neu ausbildenden Maxima zu bestimmen. Wiederholen Sie die Messung 2 – 3
Mal. Blasen Sie vor jeder neuen Messung das CO2 (z.b. mit Hilfe der Druckpumpe) aus der
Küvette.
16
Michelson-Interferometer
Die Messung startet zwar mit einem Interferenzmaximum im Zentrum, aber wahrscheinlich
ist kein Maximum im Zentrum nachdem die Küvette vollständig mit CO2 gefüllt ist. Schätzen
Sie deshalb den Bruchteil des Maximums, das am Ender Messung erreicht wurde, z.B. N =
4.5. Bilden Sie nun den Mittelwert und berechnen Sie die Änderung des Brechungsindex (Gl.
(19)) und den Brechungsindex von CO2.
Der Literaturwert für den Brechungsindex von CO2 bei Normaldruck (1013.25 hPa) und bei
20 °C ist für eine Wellenlänge von 633 nm nCO2 = 1.0004134 [12].
4.3 Geräteliste
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PHYWE Michelson-Interferometer, hochauflösend mit optischer Grundplatte
He-Ne-Laser 1 mW
Grüner Dioden-Laser
CCD-Kamera Moticam 2000
Sensor-CASSY mit Drucksensor
2 Glasküvetten
Hand-Vakuumpumpe
CO2-Druckgasdose mit Regulierventil
Handzähler
PC
Literatur
[1]
W. Demtröder, Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik
5. Auflage (Springer-Verlag, Heidelberg 2010) S. 315
[2]
P.E. Ciddor, Refractive index of air: new equations for the visible and near infrared,
Appl. Opt. 35 (1996) 1566
[3]
http://emtoolbox.nist.gov/Wavelength/Ciddor.asp
[4]
D.R. Lide, ed., CRC Handbook of Chemistry and Physics, 90th Edition (CD-ROM Version 2010) (CRC Press/Taylor and Francis, Boca Raton, FL) p. 10-252
[5]
A.A. Michelson and E.W. Morley, On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether, American Journal of Science 34 (1887) 333
[6]
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1907/
[7]
A. Einstein, Über Gravitationswellen, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 1. Halbband
(1918) 154
[8]
https://www.ligo.caltech.edu/
[9]
https://www.virgo-gw.eu/
[10] http://sci.esa.int/lisa
[11] LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration, Observation of Gravitational
Waves from a Binary Black Hole Merger, Phys. Rev. Lett. 116 (2016) 061102
[12] J. Zhang, Z.H. Lu, and L.J. Wang, Precision refractive index measurements of air, N2,
O2, Ar, and CO2 with a frequency comb, Appl. Opt. 47 (2008) 3143