Strukturelles Strukturelles Denken

Mathematik Lerneinheit 1.1
Strukturelles
Denken
Teil 1:
Zahlen, Variablen, Mengen,
Potenzen, Rechnen mit Termen
Mathematische Grundlagen, Algebra –Training
ComputerComputer-AlgebraAlgebra-System (CAS)
Theorie, Übungen, Partnerinterviews,
dynamische Experimentiervorlagen,
Experimentiervorlagen,
Lernkontrollen
„Denken heisst Möglichkeiten erwägen“
Benno Frei ©2013/1
2013/14
/14
Inhaltsverzeichnis
DialogMathe
INHALTSVERZEICHNIS
1 Grundlagen ........................................................................................................................................ 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Grundbegriffe ............................................................................................................................ 1
Angewandte mathematische Problemlösungen ................................................................... 5
Zahlenmengen ........................................................................................................................... 9
Darstellung von Zahlen .......................................................................................................... 11
Mengen ..................................................................................................................................... 25
Anwendung Betragsgleichungen und Betragsungleichungen ......................................... 36
Variable, Terme ........................................................................................................................ 42
Zahlen und Verknüpfungen .................................................................................................. 51
Die Grundrechnungsarten ..................................................................................................... 54
2 Algebra -Training: Rechnen mit Termen ................................................................................... 61
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Klammern, Addition und Subtraktion bei Termen ............................................................ 61
Ausmultiplizieren von Klammern ........................................................................................ 67
Faktorisieren............................................................................................................................. 76
Rechnen mit Bruchtermen...................................................................................................... 91
Divisionsalgorithmus............................................................................................................ 121
Potenzieren ............................................................................................................................. 132
„Denken heisst Möglichkeiten erwägen“
© DialogMathe
Mathematik Lerneinheit 1.1
Skript Strukturelles Denken 2013/14
Teil 1: Zahlen, Variablen, Mengen, Potenzen, Rechnen mit Termen
Theorie, Übungen, Partnerinterviews, dynamische Experimentiervorlagen, Lernkontrollen
Von Benno Frei ©
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
I
Vorwort
DialogMathe
Vorwort
Das Denken in Strukturen und Funktionen ist Gegenstand der Mathematik.
Sie hilft uns unsere Welt durch Modelle, welche Ausschnitte der Wirklichkeit
beschreiben, zu verstehen. Angesichts der Probleme unserer weithin durch
Mathematik und Technik geprägten Welt ist eine mathematische Bildung
jedem, dem Laien und dem Experten, zu wünschen. Durch die drei
Grunderfahrungen – Mathematik als anwendbare Wissenschaft, Mathematik
als formale Wissenschaft und Mathematik als heuristisches Betätigungsfeld –
wird der Begriff von mathematischer Bildung sehr weit gesteckt.
Hauptziel des Unterrichts ist die Einsicht in Konzepte und das Verständnis
der grundlegenden Ideen.
Die Mathematik ist ein wichtiges Grundlagenfach für verschiedene andere
Bereiche, ganz speziell aber für Physik, Chemie, Informatik und Technik. Der
Mathematikunterricht der technischen BM bereitet dich auf Berufe vor, die
mit diesen Bereichen zu tun haben. In der technischen Berufsmaturität soll ein
Niveau erreicht werden, welches dem durchschnittlichen BM-Absolventen
den Übertritt an eine Fachhochschule für Technik gewährleistet.
Der Einsatz von neuen Technologien hilft uns, die Unterrichtsziele, leichter,
effizienter und dauerhafter zu erreichen. Die Technologie soll dir primär dazu
verhelfen Erkenntnisse zu gewinnen und ein konzeptionelles Verständnis
aufzubauen. Graphische, numerische und analytische Methoden und
Betrachtungsweisen sind gleichberechtigt und sollen durchgängig verwendet
werden. Insbesondere ist zur Vernetzung der drei Repräsentationsformen das
Computeralgebra-System (CAS) ein nützliches Werkzeug.
Stoffvermittlung und selbstständiges Lösen von Aufgaben sollen dich im
mathematischen Denken weiterbringen. Dabei sollen dir Transparenz und
Eleganz des mathematischen Denkens nicht verborgen bleiben. Du sollst auch
das heuristische Prinzip kennen lernen, indem auch anhand echter Problemsituationen die Kunst, Probleme zu lösen, gepflegt werden soll, in beharrlicher
und phantasievoller Auseinandersetzung mit den Schwierigkeiten eines
Problems. Alle Begriffe und Methoden sollen wo möglich im Kontext einer
Anwendung entwickelt werden. Nebst vielen physikalischen Anwendungen
II
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Vorwort
DialogMathe
gibt es auch Beispiele aus der Biologie, der Chemie und aus den Sozial- und
Wirtschaftswissenschaften. Das Verständnis für die Konstruktion und
Interpretation mathematischer Modelle soll gefördert werden und damit auch
das vernetzte und interdisziplinäre Denken.
Durch wiederholtes Zurückkommen auf die gleichen Themen werden die
Inhalte wiederholt und neu auf einer höheren Stufe erlernt und vertieft. Die
Funktionen werden stets ins Zentrum des mathematischen Geschehens
gesetzt.
Überblick Funktion als zentrales Element
Trigonometrie
Vektorgeometrie
Goniometrie
Ebene
Gerade
Exp. u. log. Funkt.
Trigonometrische
Beziehungen
Umkehrfunktionen
Sin- und Cossinussatz
Skalarprodukt
Trigo - Funkt.
Trigo am
Einheitskreis
Potenz - Funkt.
Trigo am rechtw.
Dreieck
Elementare
Vektoroperation
Darstellung von
Vektoren
Anwendung
in der:
Planimetrie
Quadr. Funkt.
Transzendente Gl.
Logarithmen
Exp. u. log. Gl.
Lineare, BetragsFunkt.
Wurzeln
Potenzen
Funktionsbegriff,
Eigenschaften von
Funktionen
Stereometrie
Wurzelgleichungen
Gleichungssysteme
Quadratische
Gleichungen
Brüche
Grundoperationen
Trigonometrische
Gleichungen
Funktionen als
zentrales Element
Arithmetik
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
Lineare Gleichungen
Gleichungen und
Ungleichungen
III
Vorwort
DialogMathe
Erweiterter Lernbegriff
Inhaltliches
Lernen
• Wissen
• Verstehen
• Anwenden
• Analyse
• Synthese
• Bewerten
Methodischstrategisches Lernen
• Heuristische
Strategien
erwerben
• Informationen
gewinnen
• Informationen
verarbeiten
• Planen
• Strukturieren
• Präsentieren
Sozial- kommunikatives
Lernen
• Zuhören
• Argumentieren
• Diskutieren
• Kooperieren
• Führen
• Integrieren
• Helfen
PersönlichkeitsLernen
• Selbstvertrauen
entwickeln
• Werthaltungen
aufbauen
• Engagement
entwickeln
• Interesse
entwickeln
Allgemeine mathematische Handlungskompetenzen
Ziel des Mathematikunterrichts ist das Erreichen der folgenden Kompetenzen:
Mathematisch argumentieren
Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind („Gibt es…?“, „Wie
verändert sich…?“, „Ist das immer so …?“) und Vermutungen begründet äussern,
mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Begründungen,
Beweise),
Lösungswege beschreiben und begründen.
Probleme mathematisch lösen
vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten,
geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen
auswählen und anwenden,
die Plausibilität der Ergebnisse überprüfen sowie das Finden von Lösungsideen
und die Lösungswege reflektieren.
Mathematisch modellieren
den Bereich oder die Situation, die modelliert werden soll, in mathematische
Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen,
in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten,
Ergebnisse in dem entsprechenden Bereich oder der entsprechenden Situation
interpretieren und prüfen.
IV
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Vorwort
DialogMathe
Mathematische Darstellungen verwenden
verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und
Situationen anwenden, interpretieren und unterscheiden,
Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen,
unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und
zwischen ihnen wechseln.
Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen
arbeiten,
symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und
umgekehrt,
Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen,
mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Software)
sinnvoll und verständig einsetzen.
Kommunizieren
Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse dokumentieren, verständlich
darstellen und präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter Medien,
die Fachsprache adressatengerecht verwenden,
Äusserungen von anderen und Texte zu mathematischen Inhalten verstehen und
überprüfen.
Werkzeugkompetenz (Einsatz von Technologien)
Mathematisches Tun wird heute in vielen Bereichen durch die permanente
Verfügbarkeit und Verwendung elektronischer Werkzeuge unterstützt oder
überhaupt erst ermöglicht. Dies gilt für nahezu alle Ebenen mathematischen
Arbeitens. Eine entsprechende „Werkzeugkompetenz“ ist daher integraler
Bestandteil mathematischer Kompetenzen. Eine zeitgemässe mathematische
Ausbildung wird diesem Umstand durch Anleitung zu sinnvollem und
zweckmässigem Einsatz ständig verfügbarer Technologien Rechnung tragen.
Gegenwärtigen Standards entspricht die durchgängige Verwendung von
CAS-Rechnern bzw. Software, verknüpft mit Tabellenkalkulation und
dynamischem Geometrieprogramm.
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
V
Vorwort
DialogMathe
TI-Nspire Technologie, Handheld und Software, Computer-Algebra-Systeme (CAS)
Jahrelange Erfahrungen aus der Schulpraxis prägen die
Entwicklung von Konzepten für das vorliegende CAS.
Dieses vereinigt Tools wie Graphik, interaktive Geometrie,
Tabellenkalkulation, Textverarbeitung und steht als PC
Software und Handheld zur Verfügung.
Die technische Entwicklung erlaubt es heute, komplexe CAS im Unterricht
einzusetzen. Das CAS ist ein nützliches Werkzeug in der Hand von
Lernenden, das dir – richtig eingesetzt – hilft Mathematik zu treiben. Das
Lernen von Mathematik soll auf ein neues Fundament gestellt werden: Weg
vom Beherrschen von Kalkülen, hin zum verständnisorientierten Umgang mit
Mathematik. Das CAS beinflusst durch dynamische Visualisierungen den
Aufbau adäquater Grundvorstellungen mathematischer Begriffe positiv. Mit
dem Einsatz eines CAS lässt sich das Erkennen von Problemen, das
Formulieren von Fragen, das Finden von Lösungsansätzen, das Verstehen von
Algorithmen, das Interpretieren von Ergebnissen und das Begründen ihrer
Richtigkeit beziehungsweise Brauchbarkeit leichter ins Zentrum des
Unterrichtens rücken. Darüber hinaus wird das CAS zu einem Instrument der
Aktivierung, das Denkprozesse initialisiert und so individuelle Zugänge zur
Mathematik eröffnet. So sollst du eigene Beobachtungen machen, selbständig
Fragen stellen und eigene Lösungswege suchen. Dazu brauchst du ein
VI
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Vorwort
DialogMathe
pädagogisches CAS, das Aktivitäten wie experimentieren und modellieren,
darstellen und interpretieren, vergleichen und variieren, visualisieren und
dokumentieren individuell unterstützt. Der zügige Wechsel zwischen
numerischen, symbolischen und grafischen Repräsentationsformen
ermöglicht dir eine eigene Ideenfindung. Du bekommst durch verstärktes
eigenes Tun bei der Erarbeitung von mathematischen Sachverhalten ein
tieferes Verständnis für die mathematischen Strukturen. Dabei ist aber das
Hand- und Kopfrechnen nicht vollständig zu vernachlässigen.
Mathematische Denk- und Darstellungsformen stehen in einem engen
Zusammenhang. Das Wechselspiel zwischen Denk – und Darstellungsformen
tritt immer dann auf, wenn es darum geht, Denkvorgänge zu kommunizieren.
Du bist gefordert, deine Ideen und Ergebnisse sprachlich verständlich
auszudrücken und umgekehrt auf die Gedanken der anderen einzugehen. Ein
derartiger Dialog begünstigt fachliches Lernen in mehrfacher Hinsicht.
Einerseits führt das aktive Kommunizieren zu einer weiteren Durchdringung
des Stoffes, andererseits kann der Nachbar als helfende Instanz wirken, wenn
es darum geht, Verständnisfehler zu klären, Grundlagenwissen zu aktivieren,
weitere Ideen zu entwickeln und auftretende Probleme zu bewältigen.
Durch den Einsatz eines CAS wird auch die Erweiterung der Aufgabenkultur
hin zu realitätsorientierten, vernetzenden, offenen und variablen
Problemstellungen möglich. Die Beziehung zwischen Mathematik und
Realität wird deutlich. Interessante Anwendungen und deren Modellierung
vermindert die fachspezifische Einengung und fördert das Denken in
vernetzten Systemen.
Ziel von Mathematikunterricht ist die Vermittlung von mathematikbezogenen
Kompetenzen. Das Ziel von Prüfungen sollte es sein, diese Kompetenzen zu
überprüfen. Da es wichtig ist, Grundaufgaben und wesentliche Konzepte aus
dem Kopf und von Hand zu beherrschen, haben sich Prüfungen in zwei
Teilen bewährt. Der erste Teil ist ohne Hilfsmittel, der zweite Teil mit
Hilfsmittel zu lösen.
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
VII
Vorwort
DialogMathe
Mathematik – Skript dialog mathe für die technische BM II
Lerneinheit 1: Algebra strukturelles Denken
Teil 1: Zahlen, Mengen, Potenzen, Rechnen mit
mit Termen
Teil 2: Gleichungen, Gleichungssysteme, Polynome
Lerneinheit
inheit 2: Geometrisches Denken
Arbeiten mit Unbekannten und Parametern, Lösungsstrategien,
Kopfrechnen, Einsatz CAS-Rechner
CAS
Lerneinheit
rneinheit 3: Leitidee Vektoren
Entwicklung und
und Anwendung des Vektormodells, Vektorgeometrie
Lerneinheit 4: Funktionales Denken
Einführung
rung Funktionen, lineare und quadratische Funktion,
Funktion
Funktionstransformationen, Umkehrfunktion, Anwendungen
Lerneinheit 5: Exponentialfunktion,
Exponentialfun
Training Logarithmen
Wachstum, Systemdenken, Modellbildung und Simulation
Lerneinheit
erneinheit 6: Trigonometrische Funktionen
Einheitskreis, periodische Funktionen, Umkehrfunktion,
Sinus- und Kosinussatz, Schwingungen
Übersicht: wichtige Bestandteile
tandteile der Lerneinheiten
Lerneinheit
1) Das Skript
ipt gibt dir kompakt die notwendigen Informationen und führt
dich hin zu einem eigenständigen mathematischen Tun.
Dynamische Arbeitsblätter
GeoGebra oder TI – Nspire CAS
2) Mit Hilfe der dynamischen Arbeitsblätter kannst du experimentell die
interessanten mathematischen Zusammenhänge erkunden, oder sogar
eigene Hypothesen auf ihre Richtigkeit überprüfen. Du musst nicht alle
Arbeitsblätter durcharbeiten, nimm dir Zeit um eigene Fragen zu
beantworten. Wenn du Begriffe
Begriffe oder Definitionen nicht verstehst,
versuche mit Hilfe eines vorhandenen Arbeitsblattes dir Klarheit zu verve
schaffen. Diskutiere auch mit deinen Mitschülerinnen und Mitschülern.
Hast du jeweils wichtige Erkenntnisse gewonnen, dann dokumentiere sie
in deinem
inem Lernjournal. Dies garantiert dir ein effizientes Lernen.
VIII
Lerneinheit 1.1
.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Vorwort
DialogMathe
Partnerinterview
3) Partnerinterviews. Nütze diese um mit deinen Mitschülern zu diskutieren.
Lass dir Sachverhalte erklären und vergleiche mit deinen Vorstellungen.
Treten Unsicherheiten auf, formuliere Fragen oder benutze ein dynamisches Arbeitsblatt um Verständnis zu gewinnen. Dokumentiere jeweils
den Lernprozess des Partnerinterviews in deinem Lernjournal.
Übungen
Repetitionstests
4) Übungsaufgaben. Nütze diese um dich mit dem Stoff auseinander zu
setzen. Überprüfe dein Verständnis immer wieder mit Hilfe der Übungsaufgaben. Falls dir der Einstieg in ein Problem nicht gelingt, diskutiere mit
deinen Mitschülern oder formuliere eine Frage und diskutiere diese mit
deinem Lehrer. Die Übungsaufgaben werden dir zeigen, wie weit dein
mathematisches Können (Wissen und Verständnis) entwickelt ist.
Sie werden dir auch zeigen, was du nochmals repetieren musst. Treten
Unklarheiten auf, behebe sie! Falls du bei einer Übungsaufgabe etwas
entdeckt hast, oder eine interessante Lösungsstrategie gefunden hast, halte
diese in deinem Lernjournal fest.
5) Hast du die Sache Verstanden? Die wichtigsten Definitionen im Kopf?
Dann überprüfe deinen Wissenstand mit Hilfe eines Repetitionstests. Die
Repetitionstests beinhalten wichtige Grundaufgaben, Definitionen und
Verständnisfragen. Die Bearbeitungszeit ist bewusst sehr knapp gehalten,
da diese Aufgaben von dir schnell und sicher gelöst werden müssen.
Treten Probleme auf, überspringe die Aufgabe und analysiere diese bei
der Nachbearbeitung des Tests.
So wirst du am meisten von den Repetitionstests profitieren!
Memos
6) Memos. Zusammenfassungen von wichtigen Rechenrezepten oder
Lösungsprinzipien für Standardprobleme. Den Inhalt der Memos solltest
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
IX
Vorwort
DialogMathe
du aktiv verwenden können, d.h. sie sollten mit Verständnis auswendig
gelernt werden. Versuche auch selbst Memos zu schreiben.
7) Wende das Konzept des dialogischen Mathematikunterrichts an, um
Mathematik zu betreiben, nur so wirst du sie verstehen.
Hast du das Verständnis erworben, kannst du die Mathematik dazu
benützen, um Probleme zu analysieren und zu lösen. Studiere das
Konzept des dialogischen Mathematikunterrichts auf der folgenden Seite.
Im Unterricht lernen wir, wie Probleme gelöst werden können. Dieser
eindimensionale Unterricht ist in obenstehender Figur auf der Horizontalen
als reguläre Schnellverbindung dargestellt. Die vertikale Dimension, der
Dialog, soll durch einen Austausch von Gedanken in einem Dreischritt Ich,
Du, Wir den Unterricht zweidimensional gestalten. So wird für dich erfahrbar,
wie all die Definitionen und Gesetze letztlich ein Resultat eines Dialoges sind,
also als ausgehandelte Wir-Positionen verbindliche Spielregeln markieren.
Der Computer dient dir als Werkzeug, um den Dialog zu unterstützen.
Dynamische Arbeitsblätter sollen dir helfen Mathematik zu treiben und
letztlich, beim Bearbeiten von Problemen, die Mathematik zu verstehen.
8) Das Lernjournal. Führe ein Lerntagebuch (Lese dazu auf Seite XII.). Dies
wird deinen Wirkungsgrad beim Lernen massiv erhöhen. Nur jene, die
Mathematik verstanden haben, können darüber schreiben!
X
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Vorwort
DialogMathe
Dialogischer Mathematikunterricht
Quelle: Peter Gallin, Urs Ruf, Dialogisches Lernen in Sprache und Mathematik
Das Konzept des dialogischen Mathematikunterrichts beinhaltet den
Dreischritt „Ich, Du, Wir“. Er zeigt einen Weg auf, wie das Lernen und
Arbeiten im Mathematikunterricht organisiert und strukturiert werden kann,
um individuelle Lernprozesse möglichst wirksam und nachhaltig anzuregen.
ICH – Phase
Du musst dich immer zuerst selber auf den Weg machen. Es geht hier nicht in
erster Linie um Richtig oder Falsch, sondern um deinen ganz persönlichen
Dialog mit dem Stoff. Nimm dir Zeit, lass dich nicht hetzen, verweile so lange
beim Auftrag, bis du spürst, wer du bist und was der Stoff von dir will.
DU – Phase
Um Fortschritte zu machen, brauchst du Gesprächspartner.
Gesprächspartner sind keine Besserwisser, sondern Menschen, die dir ihr Du
entgegensetzen und dir erzählen, wie sie die Sache sehen und anpacken. Beim
Austausch mit anderen erweiterst du deinen Horizont.
Du kannst deine Ideen mit den Ideen anderer vergleichen und merkst dabei,
was alles man auch anders machen könnte.
WIR – Phase
Erst wenn du ein Fachgebiet kreuz und quer erkundet hast, erst wenn du
deine persönlichen Lernwege mit den Wegen und Irrwegen anderer
verglichen hast, kannst du verstehen und würdigen, warum es Fachleute so
und nicht anders machen. Menschen, die sich lange und intensiv mit der
gleichen Sache befassen, entdecken nach und nach ein gemeinsames Wir. Das
ist in einer Schulklasse nicht anders als in der Wissenschaft.
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
XI
Vorwort
DialogMathe
Ein eigenes Lerntagebuch anlegen!
"Doch nicht im Matheunterricht, was bringt denn das?" - Lies erst mal weiter!
Die Idee
Lege ein "Tagebuch" über den Mathematikunterricht an, das folgende Aspekte
enthalten kann:
•
Persönliche Anmerkungen. Was du verstehst, was du noch nicht verstanden
hast. Was du bei einem Thema dazugelernt hast. Was dir zu einem Thema
erwähnenswert erscheint. Selbstbeobachtungen und Lernerfahrungen. Du
könntest beschreiben, wie es dir gelingt, jemandem ein Thema zu erklären.
•
Stelle zu den Unterrichtsthemen eigene Fragen und betätige dich als Forscher
im Finden von Antworten. Experimentiere und stelle Vermutungen auf!
Entdecken macht mehr Spass als Nachmachen!
•
Ideenbüchlein, schreibe alle Ideen auf, die du beim Lösen von
mathematischen Problemen gebrauchen kannst. Fasse diese zu
Lösungsprinzipien zusammen und analysiere Aufgabentypen, auf die du
diese Prinzipien anwenden kannst.
•
Sündenbüchlein, schreibe alle deine gemachten Fehler auf und versuche sie
zu analysieren. Warum habe ich den Fehler gemacht, gegen welche Regeln
habe ich verstossen, wie kann ich sicher sein, dass ich den Fehler nicht wieder
mache!
•
Das Tagebuch kann auch deine Gedanken zu Problemen, die du mit dem
Unterrichtsstil und dem Lernen allgemein hast, enthalten.
•
Alles, was zu einem aktuellen Thema von Bedeutung sein könnte. Sammle
(und kommentiere) Zeitungsausschnitte und andere Unterlagen zum
aktuellen Thema, zu früheren Themen, stelle herausfordernde Fragen, knüpfe
Verbindungen zwischen dem Unterrichtsthema und eigenen
Lebenserfahrungen.
Ein gutes Tagebuch
. . . beantwortet Fragen, wirft neue Fragen auf, so dass sichtbar wird, dass du
dich einige Zeit mit dem Thema beschäftigt hast.
. . . soll auch den Nachweis eigener Gedanken bringen. Versuche dich klar
auszudrücken, formuliere die Fragen, die du beantwortest.
XII
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Vorwort
DialogMathe
. . . gibt auch Zusammenfassungen von Gesprächen und Überlegungen im
Unterricht wieder. Ideen anderer Personen sollen als solche
gekennzeichnet sein.
. . . gibt eine periodische Arbeitsrückschau. Besonders schön wären
schriftliche Zusammenfassungen wesentlicher Aspekte einer Thematik
bzw. eigener Überlegungen in Form von Dossiers.
O.K. Und was geschieht damit?
• Du kannst die eigenen Tagebucheintragungen mit denen anderer vergleichen,
siehst dabei wie andere denken und welche Ideen sie haben. Vielleicht haben
andere die Dinge, die für dich besonders schwer waren, besonders gut und
verständlich erklärt.
•
Das Führen eines Tagebuchs bedeutet natürlich Mühe. Du hast mit diesem
Tagebuch natürlich direkt eine ganz auf dich persönlich zugeschnittenes - aber
selbst erstelltes Schulbuch - zwar nicht mit neuen Aufgaben (dafür gibt es das
normale Schulbuch) - aber dafür mit einigen Musterlösungen und weiteren Tipps.
•
Du kannst dem Mathelehrer dein Tagebuch zum Lesen geben.
Anleitung : Lerntagebuch
1. Warum soll ein Lerntagebuch geführt werden?
Das Lerntagebuch soll kein besseres Hausaufgabenheft
sein, sondern es soll dir helfen, den roten Faden im
Unterricht und bei deiner selbständigen Arbeit nicht zu
verlieren. Im Lerntagebuch sollst du notieren, welche neuen Inhalte du
erarbeitet oder in der Unterrichtsstunde gelernt hast. Ausserdem sollst du
dort erläutern, wie du deinen Lern - Arbeitsprozess strukturieren willst.
2. Anleitung zur äusseren Form
Dein Lerntagebuch sollte ein etwas dickeres Heft im DINA4- Format sein. Am
Ende jeder Unterrichtsstunde bzw. noch am gleichen Tag zu Hause vor der
Bearbeitung der Hausaufgaben solltest du eine Eintragung machen. Es ist
hilfreich, wenn du zwei Farben benutzt. So kannst du neue Inhalte in einer
Farbe gestalten und offene Fragen oder Probleme, die du noch hast, oder auch
die Planung von weiteren Arbeitsprozessen in einer anderen Farbe gestalten.
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
XIII
Vorwort
DialogMathe
3. Fragestellungen
Bei deinen Eintragungen solltest du versuchen, einige der folgenden
Fragestellungen zu berücksichtigen.
3.1. Inhalte
a) Was war das Thema der Stunde? Was konntest du da lernen? (Vergiss das
Datum nicht!)
b) Wusstest du schon etwas über das Thema?
c) Wurden neue Begriffe eingeführt (Definitionen)? In welchem
Zusammenhang stehen diese neuen Begriffe mit bereits bekannten
Begriffen? Versuche eine Mindmap zu erstellen.
d) Ist dir etwas nicht klar geworden? Wenn ja, dann formuliere eine Frage,
die du deinen Mitschülern oder deinem Lehrer stellen willst.
e) Gab es verschiedene Lösungswege? Hast du andere Ideen zur Lösung
gehabt?
3.2. Planung von Arbeitsprozessen
a) Versuche das Problem (die Aufgabe) mit eigenen Worten zu formulieren.
b) Überlege dir eine Lösungsstrategie.
c) In welchen Schritten willst du vorgehen?
d) Lässt sich die Aufgabe arbeitsteilig lösen?
e) Werden zusätzliche Hilfsmittel (Lexika, Fachbücher, Computer) benötigt?
f) Erstelle dir gegebenenfalls einen Arbeitsplan oder eine Mindmap.
3.3. Reflexion deiner Arbeit
a) Welche Schwierigkeiten sind bei der Lösung aufgetreten?
b) Warum bist du nicht weiter gekommen? Versuche eine Frage zu
formulieren, die du den Kursmitgliedern stellen könntest.
c) An welchen Stellen hast du etwas für dich Neues gelernt?
Hattest du Aha Erlebnisse?
d) Bist du mit deiner Arbeit zufrieden?
e) Hast du dein Arbeitsziel in dieser Stunde erreicht?
Wenn nicht, woran lag es?
f) Wie hast du dich in dieser Stunde im Unterricht oder in der
Gruppenarbeit beteiligt?
XIV
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Grundbegriffe
DialogMathe
1 Grundlagen
1.1 Grundbegriffe
1.1.1
Mathematische Objekte
In der Mathematik beschäftigen wir uns mit Objekten wie z.B. Zahlen,
Variablen, Mengen, Vektoren oder Funktionen.
Operationen (Verknüpfungen)
Diese Objekte werden durch Operationen wie z.B. Addition oder
Multiplikation miteinander verknüpft. Daraus ergeben sich Strukturen, die
uns den Umgang mit der abstrakten Mathematik vereinfachen. Erkennen wir
eine Struktur und versuchen sie zu verstehen, ergeben sich daraus
Rechengesetze, welche das Anwenden der Mathematik in der Praxis
vereinfachen.
Beziehungen zwischen Objekten
Zwischen den Objekten bestehen Beziehungen, z.B. können zwei Zahlen
gleich sein ( 36 = 2 ) oder eine Zahl ist grösser als die andere ( 7 > 4 ).
1.1.2
Aussagen (Gleichungen, Ungleichungen)
Unsere Umgangssprache eignet sich nicht, um mathematische Denkprozesse
korrekt beschreiben zu können. Zu oft ergeben sich bei einer
umgangssprachlichen Formulierung zwei – oder mehrdeutige
Interpretationsmöglichkeiten. Mathematische Kenntnisse werden in so
genannten Aussagen formuliert und mit Hilfe von aussagenlogischen
Symbolen kurz und verständlich dargestellt. In der Aussagenlogik werden
Verknüpfungen von Aussagen betrachtet. Zum Beispiel kann eine Aussage
rein mathematisch in Form einer Gleichung oder Ungleichung formuliert
werden. Aussagen können entweder wahr oder falsch sein.
Aussageform
Eine Gleichung, die eine Variable enthält nennen wir Aussageform. Die
Variable ist ein Platzhalter, für den eine Zahl aus einem vorgegebenen
Grundbereich eingesetzt werden darf. Setzen wir Zahlen für die Variablen in
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
1
Grundlagen
DialogMathe
einer Aussageform ein, so entsteht eine Aussage, die wahr oder falsch sein
kann.
Lösungen einer Gleichung
Die Zahlen die aus einer Aussageform eine wahre Aussage machen, nennen
wir Lösungen der Gleichung.
1.1.3
Definitionen
In der Mathematik gibt es auch Festlegungen, die weder wahr noch falsch
sind.
Eine Definition ist eine Begriffsbestimmung, die eindeutig und
widerspruchsfrei zu sein hat.
Dies sollten wir uns auch für aussermathematische Probleme merken: Bei
Diskussionen entstehen oft vor allem deshalb Auseinandersetzungen, weil
gleiche Begriffe von verschiedenen Personen manchmal unterschiedlich
definiert und damit unterschiedlich betrachtet werden.
Die mathematischen Definitionen stellen das unverzichtbare Rüstzeug einer
eindeutigen Wissenschaft. Um die Mathematik anwenden zu können, musst
du die Definitionen verstanden haben und solltest sie aktiv gebrauchen
können.
1.1.4
Sätze (Gesetze, Regeln)
Alle wahren Ausagen werden in der Mathematik Sätze genannt, die meist
eines Beweises für ihre Anerkennung bedürfen. Unbeweisbare, als wahr
angenommene Aussagen, nennt man Axiome. Mathematische Sätze
beinhalten oft eine Voraussetzung und eine Behauptung. Die Voraussetzung
wird dann durch „Wenn ….“ angekündigt, während die Behauptung im 2.
Teil des Satzes mit „…., so……“ eingeleitet wird.
„Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so gilt der Lehrsatz von Pythagoras.“
2
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Grundbegriffe
DialogMathe
1.1.5
Partnerinterview Grundbegriffe
Partnerinterview
Mathematische Objekte
Zeit: 15 Minuten
Mathematische Objekte: Zahlen, Variablen, Mengen, Vektoren , Funktionen.
Welche der fünf mathematischen Objekte kennst du? Gib jeweils Beispiele an.
Kannst du diese kurz umschreiben oder kennst du sogar die Definition?
Zahlen
Variablen
Mengen
Vektoren
Funktionen
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
3
Grundlagen
DialogMathe
Partnerinterview
Definitionen, Sätze (Gesetze, Regeln)
Zeit: 15 Minuten
Kennst du mathematische Definitionen oder Sätze?
Definitionen:
Sätze:
4
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Angewandte mathematische Problemlösungen
DialogMathe
1.2 Angewandte mathematische Problemlösungen
Wenn wir mathematische Probleme aus der Praxis lösen wollen, so führen wir
häufig Unbekannte ein. Um eine Unbekannte zu bestimmen, braucht es
jeweils eine Gleichung. Diese muss, mit Hilfe der Informationen aus dem
Problem heraus, aufgestellt werden. Dabei gilt folgendes Lösungsprinzip:
1.2.1
Lösungsprinzip
Für n Unbekannte brauchen wir n Gleichungen!
Hat unser Problem 1 Unbekannte, so müssen wir 1 Gleichung aufstellen.
Bei 2 Unbekannten brauchen wir , 2 Gleichungen. Usw.
Merke: So wenig wie möglich, so viel wie nötig! Beim Lösen von Problemen
sollten wir möglichst wenige Unbekannte einführen!
Verlangt die Lösung eines Problems mehr als eine Gleichung, so spricht man
von einem Gleichungssystem. Die Lösung eines mathematischen Problems
besteht häufig darin, ein Gleichungssystem aufzustellen. Das Auflösungen des
Gleichungssystems übernimmt der CAS-Rechner (CAS = Compter-AlgebraSystem). Unsere Aufgabe ist es dann, die vom Rechner gelieferten Lösungen
zu interpretieren!
1.2.2
Einfaches Beispiel aus der Geometrie
In einem gleichschenkligen Dreieck (a = b) ist
der Winkel γ an der Spitze 450 kleiner als der
Basiswinkel α . Berechne den Winkel γ .
Lösung 1. Variante:
Einführung einer Unbekannten: x = γ
β = α = x + 45 (gleichschenkliges Dreieck)
Bestimmungsgleichung für x (Innenwinkelsumme): x + 2 ⋅ ( x + 45 ) = 180
x + 2x + 90 = 180
→
3x + 90 = 180
→
3x = 90
→
x = 30
Der Winkel γ ist 300 .
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
5
Grundlagen
DialogMathe
Lösung 2. Variante:
Lösung des Problems mit drei Unbekannten: α, β, γ . Für die drei
Unbekannten brauchen wir 3 Gleichungen:
γ = α − 45
β=α
Die senkrechten Striche geben an, dass es sich um ein
α + β + γ = 180
Gleichungssystem handelt (3 Gleichungen für drei Unbekannte). Kannst du
aus diesem Gleichungssystem den Winkel γ ohne Rechner bestimmen?
Überlege dir eine Strategie!
1.2.3
Lösen von Gleichungen mit dem CAS-Rechner
Mit Hilfe eines Computer-Algebra-Systems lassen sich Gleichungen und
Gleichungssysteme mit dem solve()-Befehl lösen. Es gibt zahlreiche
Möglichkeiten mit dem Rechner Gleichungen zu lösen. Mach dich mit dem
solve-Befehl vertraut, so dass du deine eigenen Probleme jeweils mit dem
Rechner lösen kannst! Beachte: Das Arbeiten in Notes ist konfortabler.
6
„Hauptbildschirm“
In Notes wird bei nachträglichen
Wähle „new Document“ und dann
Änderungen die Rechnung aktualisiert.
„add Notes“ (oder „add Calculator“)
Im Calculator gibt es kein refresh.
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Angewandte mathematische Problemlösungen
DialogMathe
In Notes kann Text geschrieben
Für den solve()-Befehls wähle
werden und mit Hilfe der Maths Box
„menu 6 , 3 , 1“
Berechnungen durchgeführt werden.
(6)Calclations (3)Algebra (1)Solve
Lösung 1. Variante mit solve()
Nach „enter“ gibt der Rechner die
x + 2 ⋅ ( x + 45 ) = 180
Lösung rechts an: x = 30
Lösung 2. Variante :
γ = α − 45
Gleichungssystem β = α
α + β + γ = 180
Gleichungen definieren:
g1:= γ = α − 45 (Doppelpunkt Gleich)
Alternativ: Gleichungssystem mit Hilfe eines Templates (Schablone)
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
7
Grundlagen
1.2.4
DialogMathe
Dynamische Arbeitsblätter im Internet
Dynamische Arbeitsblätter
Im Internet gibt es unzählige Seiten mit mathematischem Inhalt. Besonders
wertvoll sind die Seiten mit interaktiven Inhalten. Die folgende Internetseite
ist umfangreich und enthält
e
interaktive Arbeitsblätter.
www.realmath.de/
Auf dieser Internetseite findest du zahlreiche
dynamische Arbeitsblätter zu den folgenden Kapiteln.
Beispiel : Zahl und Gegenzahl , Zahlenpfeilmodell auf der Zahlengeraden
Zahlengeraden
8
Lerneinheit 1.1
.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Zahlenmengen
DialogMathe
1.3 Zahlenmengen
Das Hantieren mit Zahlen wird üblicherweise so gut eingeübt, bis es
''automatisch'' geschieht. Andererseits ist sowohl für ein tieferes Verständnis
der Mathematik als auch für eine ausreichende Beherrschung des ''täglichen
Handwerkszeugs'' eine strukturelle Sichtweise auf Zahlen und
Zahlenoperationen hilfreich.
Definition
Der Begriff Zahl ist in der Mathematik keineswegs so eindeutig, wie man dies
erwarten könnte. Der Zahlenbegriff wird deshalb in der Fachsprache dadurch
spezifiziert und eindeutig gekennzeichnet, dass man ihn als Oberbegriff für
sich nacheinander umfassende Zahlenmengen ansieht.
Die Notwendigkeit der Konstruktion der einzelnen Zahlenmengen ergab sich
aus der Unzulänglichkeit der einzelnen Rechenoperationen in bestimmten
Zahlenmengen.
1.3.1 Natürliche Zahlen und ganze Zahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen umfasst die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, . . . . . . . .
Bezeichnung
N = { 0,1, 2, 3, 4, 5, …… }
N* = N { 0 } = { 1, 2, 3, 4, 5, …… }
Rechnen in
N
Addition: 3 + 4 = 7
Eine Addition von natürlichen Zahlen liefert als Resultat wieder eine
natürliche Zahl.
Subtraktion: 7 – 3 = 4
5–9=?
Damit die Subtraktion zweier natürlicher Zahlen uneingeschränkt ausgeführt
werden kann, genügt die Menge N nicht mehr. Die Menge N muss erweitert
werden → ganze Zahlen Z .
Die Menge der ganzen Zahlen umfasst die Zahlen. . . –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . .
Bezeichnung
Z = { …… − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …… }
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9
Grundlagen
DialogMathe
Rechnen in Z
Addition: –3 + 4 = 1
Subtraktion: 5 – 7 = –2
Multiplikation: 3 ⋅ 5 = 15
Division: 6 : 5 = ?
Damit auch die Division von ganzen Zahlen uneingeschränkt ausgeführt
werden kann, muss die Menge Z erweitert werden → rationale Zahlen Q .
1.3.2 Rationale Zahlen und reelle Zahlen
Die Menge der rationalen Zahlen umfasst alle Zahlen der Form
a
, wobei a
b
und b ganze Zahlen sind und b ≠ 0 ist.
Q=
Bezeichnung
{ ba
a,b ∈ Z, b ≠ 0
}
Rechnen in Q
7
Addition: 41 + 31 = 12
9
Multiplikation: 34 ⋅ 53 = 20
35
Division: 56 : 72 = 12
Radizieren:
2 =?
2 ist keine rationale Zahl, denn
2 kann nicht in der Form a a,b ∈ Z
b
dargestellt werden. Man nennt derartige Zahlen irrationale Zahlen. Ausser
den nichtaufgehenden Wurzeln gibt es noch andere irrationale Zahlen, z.B.
die Kreiszahl π = 3,14159265… und die eulersche Zahl e = 2,71828182…
Reelle Zahlen
Werden die rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen erweitert, so
erhalten wir die Menge der reellen Zahlen.
Bezeichnung R
Mit dieser Zahlenmenge (reelle Zahlen) werden wir arbeiten!
10
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Darstellung von Zahlen
DialogMathe
1.3.3 Komplexe Zahlen
Auch innerhalb der reellen Zahlen lassen sich noch nicht alle Probleme lösen.
So hat z.B. die Gleichung x 2 = − 4 innerhalb der Menge der reellen Zahlen
keine Lösung (es gibt keine negativen Quadratzahlen). Die Menge R der
reellen Zahlen wird erweitert zur Menge C der komplexen Zahlen, wo auch
dieses Problem gelöst werden kann. Wir definieren eine imaginäre Einheit:
Imaginäre Einheit
Unter der imaginären Einheit i verstehen wir eine Zahl, deren Quadrat –1 ist.
i 2 = −1
Und weiter:
Eine Zahl der Form z = a + bi mit a,b ∈ R heisst komplexe Zahl.
Bezeichnung C
Innerhalb der komplexen Zahlen C kann die Wurzel aus negativen Zahlen
gezogen werden: z.B.: −4 =
−1 ⋅ 4 =
i 2 ⋅ 22 = i ⋅ 2 = 2i
1.4 Darstellung von Zahlen
Zahlen sind abstrakte Objekte, die wir uns in Modellen veranschaulichen
können. Für eine Zahl gibt es verschiedene Darstellungsformen.
2 ⋅2 2
= 1 = 2.
Es gilt z.B. 2 = 42 , da wir 42 kürzen können: 42 =
2
Wo liegt der Fehler?
Behauptung: 3 = 2
Beweis: Annahme a + b = c
Es gilt a = 3a − 2a , b = 3b − 2b und c = 3c − 2c . Setzen wir diese Ausdrücke
in die Annahme ein, so erhalten wir:
3a − 2a + 3b − 2b = 3c − 2c
Durch die folgenden Umformungen erhalten wir die Behauptung!
3a − 2a + 3b − 2b = 3c − 2c
/ +2a / +2b / −3c
3a + 3b − 3c = 2a + 2b − 2c
3( a + b − c ) = 2( a + b − c )
/ : (a + b − c)
3=2
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
11
Grundlagen
DialogMathe
1.4.1 Zahlengeraden
Die Zahlen können als Punkte auf der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Dazu wählen wir auf einer Geraden einen Nullpunkt O und einen Einspunkt E, welche die Zahl 0 bzw. 1 darstellen. Eine beliebige Zahl, z.B. 3 wird
als Punkt mit dem Abstand 3 ⋅ OE dargestellt. Positive Zahlen liegen rechts,
negative links vom Nullpunkt O.
In diesem Sinne sagen wir, eine Zahl „liegt“ auf einer Zahlengeraden. Die
reellen Zahlen füllen die Zahlengerade lückenlos aus. Die Durchlaufrichtung
wird durch eine Pfeilspitze auf der Seite der positiven Zahlen gekennzeichnet.
Die Zahlengerade wird häufig waagrecht gezeichnet, sie kann aber auch (z.B.
als Achse eines Koordinatensystems) senkrecht oder in einer anderen Richtung verlaufen.
Zahlengerade
Die Darstellung als Gerade veranschaulicht die Eigenschaft, dass die Menge
der reellen Zahlen eine angeordnete Menge ist. Die Zahlengerade setzt sich in
beide Richtungen bis in das Unendliche fort. Der Pfeil an der rechten Seite der
Darstellung gibt an, dass die Zahlen in dieser Richtung grösser werden.
Die oben dargestellte Abbildung zeigt die Lage einiger besonderer reeller Zahlen (der Bruch ½, die Quadratwurzel von 2, die Eulersche Zahl e und die
Kreiszahl π ).
Beziehungen zwischen Zahlen
a = b : Zwei Zahlen a und b sind gleich, wenn sie durch den gleichen Punkt
auf der Zahlengeraden dargestellt werden. Beispiel: 12
=3
4
a > b : Die Zahl a ist grösser als b, wenn a rechts von b liegt.
a < b : Die Zahl a ist kleiner als b, wenn a links von b liegt.
12
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Darstellung von Zahlen
DialogMathe
Vorzeichen einer Zahl
Zahlen die links von 0 liegen schreiben wir mit einem negativen Vorzeichen.
− a heisst Gegenzahl von a . Geometrisch erhalten wir die Gegenzahl, indem
wir die Zahl am Nullpunkt 0 spiegeln. Es gilt: − ( − a ) = a .
Beispiel: −2 ist die Gegenzahl von 2 und 2 ist die Gegenzahl von −2 , denn
− ( −2 ) = 2
1.4.2 Betrag einer Zahl
„Abstand von 0“
Die beiden Zahlen +4 und – 4 haben den gleichen Abstand vom Nullpunkt
der Zahlengeraden. Der Abstand beträgt 4 Längeneinheiten (LE) und heisst
Betrag der beiden Zahlen. Wir kennzeichnen den Betrag der beiden Zahlen,
indem wir diese zwischen zwei senkrechte Striche setzen.
So schreiben wir:
−4 = +4 =4
Wir erhalten also den Betrag einer Zahl durch weglassen des Vorzeichens. Er
ist somit stets positiv oder gleich 0.
Betrag einer positiven Zahl
Wissen wir, dass eine Zahl a positiv ist, so ist a einfach wieder gleich a.
a =a
für a > 0 ; Beispiele: 3 = 3 ;
4 =4
;
100 = 100
Betrag einer negativen Zahl
Ist a dagegen negativ, so erhalten wir den Betrag von a, wenn wir vor die Zahl
a ein Minuszeichen (Vorzeichen, Gegenzahlbildung) setzen.
a = −a
für a < 0 ; Beispiele: − 3 = − ( −3 ) = 3 ;
−4 =4 ;
− 100 = 100
Somit lautet die allgemeine Definition, welche auf diese Fälle eingehen muss:
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
13
Grundlagen
DialogMathe
Definition Betrag
Unter dem Betrag a einer reellen Zahl verstehen wir:
a =
{
a , wenn a ≥ 0
− a , wenn a < 0
Beachte: Da die Zahl 0 weder positiv noch negativ ist, definieren wir 0 = 0
(Abstand der Zahl 0 vom Nullpunkt beträgt 0 LE). Der Spezialfall a = 0 wird in
der Definition bei den positiven Zahlen a ≥ 0 mitberücksichtigt.
Statt „Betrag“ ist auch „Absolutbetrag“ gebräuchlich. a wird „Betrag von
a“ oder „absolut a“ gesprochen. Rechnereingabe für Betrag: a = abs ( a )
Partnerinterview
Definition Betrag
Zeit: 10 Minuten
Diskutiere die Definition des Betrags und mache dir folgendes klar:
Die Definition des Betrags enthält eine Fallunterscheidung! Lerne mit dieser
umzugehen!
Wenn wir a berechnen wollen, so müssen wir uns zuerst die Frage stellen
ist a ≥ 0 (positiv oder Null) oder a < 0 (negativ). Wenn wir diese Frage nicht
beantworten können, so ist eine Fallunterscheidung notwendig, in der wir jeweils fordern, dass a ≥ 0 (Fall 1) oder a < 0 (Fall 2) sein muss. Je Fall müssen
wir dann den Betrag berechnen:
Anwendung des Betrags auf konkrete Zahlen
3 =3
In diesem Beispiel ist a = 3, also positiv und somit a = a
− 3 = − ( −3 ) = 3
In diesem Beispiel ist a = – 3, also negativ und somit a = −a
Beachte: −a ist positiv! (Gegenzahl einer negativen Zahl!!!)
Interpretiere die beiden Beispiele auch geometrisch auf der Zahlengeraden!
-6
14
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6 x
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Darstellung von Zahlen
DialogMathe
Diskutiere folgende Aussage: Der Betrag einer Zahl ist immer positiv!
Anwendung des Betrags auf Variablen
x =?
In diesem Beispiel kann x positiv oder negativ sein. Daher müssen wir für die
Berechnung eine Fallunterscheidung machen. Wir fordern:
Fall 1: x ≥ 0 , unter dieser Voraussetzung können wir den Betrag berechnen.
x =x
Fall 2: x < 0 , unter dieser Voraussetzung können wir den Betrag berechnen.
x = −x
Da x negativ ist, ist der Betrag die Gegenzahl von x.
Beachte, dass – x eine positive Zahl ist (Gegenzahl einer negativen Zahl.)
Anwendung des Betrages auf Terme (z.B. eine Differenz)
x−2 =?
In diesem Beispiel haben wir den Term x − 2 im Betrag. Auch hier müssen
wir für die Berechnung eine Fallunterscheidung machen. Wir fordern:
Fall 1: x − 2 ≥ 0 oder x ≥ 2 , unter dieser Voraussetzung können wir die
Betragsstriche weglassen und erhalten:
x−2 = x−2
Fall 2: x − 2 < 0 oder x < 2 , unter dieser Voraussetzung können wir die
Betragsstriche weglassen, wenn wir die Gegenzahl der Differenz nehmen:
x − 2 = − ( x − 2 ) = −x + 2 = 2 − x
Da x − 2 negativ ist, ist der Betrag die Gegenzahl: − ( x − 2 ) = 2 − x .
Beachte, dass 2 − x eine positive Zahl ist (Gegenzahl einer negativen Zahl.)
Berechne x + 4 (mache eine Fallunterscheidung!)
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15
Grundlagen
DialogMathe
Übungen: Betrag einer Zahl
Aufgabe 1
Setze in das Rechteck die entsprechende Beziehung > , = , < ein, so dass
eine wahre Aussage entsteht.
3
5
6
−6
−2
Aufgabe 2
− 4 ; −1
;
6
−1
;
−6
3
−5
−3 ; 3
2 ; 0
;
−2
−4
−4
; 4
;
−5
−6
2
; 2
−5
Berechne
a)
−2 + −5 =
e)
7−4
=
b)
−4 −3=
f)
3−9
=
c)
−4
g)
−5−4 =
h)
2 − ( −2 ) =
d)
Aufgabe 3
; −2
− −7 =
8 − −3 =
Vereinfache: 2a + a unter der Voraussetzung, dass
a) a positiv ist
b) a negativ ist.
16
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Darstellung von Zahlen
DialogMathe
Partnerinterview
Betrag einer Differenz
Zeit: 15 Minuten
Bearbeite die folgenden drei Aufträge und diskutiere deine Ergebnisse mit
deinem Lernpartner!
Auftrag 1:
a und b sind zwei beliebige reelle Zahlen. Berechne a − b (d.h. schreibe ohne
Betragsstriche!) Mache eine Fallunterscheidung! Mache Zahlenbeispiele!
Auftrag 2:
Untersuche folgende Behauptung: Für zwei beliebige reelle Zahlen a und b
gilt :
a − b = b − a . Welche Beziehung besteht zwischen der Differenz
a − b und der Differenz b − a ?
Auftrag 3:
Interpretiere den Betrag a − b der Differenz zweier Zahlen a und b auf der
Zahlengeraden!
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
17
Grundlagen
DialogMathe
Partnerinterview
Rechnen mit Beträgen
Zeit: 15 Minuten
Überprüfe und diskutiere die folgenden Aussagen. Mache Beispiele.
A1 Betrag eines Produkts: a ⋅ b = a ⋅ b
A2 Betrag einer Summe: a + b ≤ a + b
A3 Betrag einer Quadratzahl: a 2 = a 2
A4
a3 = a
A5
a ≥0
3
a≤ a
−a = a
18
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Darstellung von Zahlen
DialogMathe
1.4.3 Intervalle
Ein Intervall ist ein Abschnitt der Zahlengeraden. Intervalle stellen reelle ZahZa
lenmengen dar. a und b seien zwei reelle Zahlen, a < b (a linke Intervallgrenze,
b rechte Intervallgrenze). Dann verstehen wir unter einem Intervall:
Endliche Intervalle
Geschlossenes Intervall (inklusive Intervallgrenzen)
Intervallgrenze
[a ; b]
alle reellen Zahlen x mit a ≤ x ≤ b
Beispiel [ – 2 ; 4 ]
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6 x
2
3
4
5
6 x
Offenes Intervall (exklusive Intervallgrenzen)
Intervall
]a ; b[
alle reellen Zahlen x mit a < x < b
Beispiel ] – 5 ; – 1 [
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
Halboffene Intervalle
Linksoffenes Intervall (exklusive linke
lin , inklusive
sive rechte Intervallgrenze)
Intervall
]a ; b]
alle reellen Zahlen x mit a < x ≤ b
Beispiel ] 0 ; 6 ]
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6 x
Rechtsoffenes Intervall (inklusive linke
linke , exklusive rechte Intervallgrenze)
Intervall
[a ; b[
alle reellen Zahlen x mit a ≤ x < b
Beispiel [ – 3 ; – 2 [
-6
-5
-4
-3
Lerneinheit 1.1
.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6 x
19
Grundlagen
DialogMathe
Unendliche Intervalle
be dem mindestens eine Intervallgrenze
grenze unendlich ist, nennen
Ein Intervall bei
wir unendliches Intervall.
]a ; ∞[
alle reellen Zahlen x mit a < x < ∞, also: a < x
Beispiel: ] 2 ; ∞[
-6
-5
[a ; ∞[
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6 x
4
5
6 x
4
5
6 x
4
5
6 x
5
6 x
alle reellen Zahlen x mit a ≤ x < ∞, also: a ≤ x
Beispiel: [ – 3 ; ∞[
-6
-5
] – ∞ ; b[
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
alle reellen Zahlen x mit -∞ < x < b, also: x < b
Beispiel: ] – ∞ ; – 3 [
-6
-5
] – ∞ ; b]
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
alle reellen Zahlen x mit -∞
∞ < x ≤ b, also: x ≤ b
Beispiel: ] – ∞ ; 1 ]
-6
-5
] – ∞ ; ∞[
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
alle reellen Zahlen
Zahle x mit -∞
∞ < x < ∞, also: alle x
] – ∞ ; ∞[ = R
-6
20
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
Lerneinheit 1.1
.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Darstellung von Zahlen
DialogMathe
1.4.4 Zehnerpotenzen
Zehnerpotenzen werden verwendet, um grosse und kleine Zahlen übersichtlich darzustellen. In den beiden nachfolgenden Tabellen sind die wichtigsten
Zehnerpotenzen mit ihrem Namen und dem Symbol aufgeführt.
Zahl
Name
Symbol
1018 = 1' 000 ' 000 ' 000 ' 000 ' 000 ' 000
Trillion
Exa
E
1015 = 1' 000 ' 000 ' 000 ' 000 ' 000
Billiarde
Peta
P
1012 = 1' 000 ' 000 ' 000 ' 000
Billion
Tera
T
109 = 1' 000 ' 000 ' 000
Milliarde
Giga
G
10 6 = 1' 000 ' 000
Million
Mega
M
103 = 1' 000
Tausend
Kilo
k
10 2 = 100
Hundert
Hekto
h
101 = 10
Zehn
Deka
da
Zahl
Symbol
10 −1 = 0.1
Dezi
d
10 −2 = 0.01
Zenti
c
10 −3 = 0.001
Milli
m
10 −6 = 0.000 ' 001
Mikro
µ
10 −9 = 0.000 ' 000 ' 001
Nano
n
10 −12 = 0.000 ' 000 ' 000 ' 001
Piko
p
10 −15 = 0.000 ' 000 ' 000 ' 000 ' 001
Femto
f
10 −18 = 0.000 ' 000 ' 000 ' 000 ' 000 ' 001
Atto
a
Übungen: Grundlagen Zehnerpotenzen
a) Welche der Aussagen treffen zu? Die Streckenlänge 1m ist gleich:
10 −3 km
103 cm
10 6 mm
1012 pm
10 −9 nm
10 5 µm
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
21
Grundlagen
DialogMathe
b) Welche der Aussagen treffen zu?
1kg = 10 6 mg
10cm = 105 µm
10GHz = 1010 Hz
1km = 10 9 µm
c) Berechne und gib das Resultat in kN (N = Newton = Einheit der Kraft) an.
1,5 ⋅ 10 4N + 0,03 MN + 25 kN + 10
−4
GN =
kN
d) Bestimme x und y.
5 ⋅ 10−3µm + 15 nm + 10
x =
−6
mm =
y ⋅ 10
x
m
, y =
e) Berechne und gib das Resultat in µm an:
460nm + 3,4µm + 0,0063mm =
µm
f) Berechne und gib das Resultat in kJ (J = Joule = Einheit der Energie) an:
0,0004GJ + 0,1MJ + 130kJ =
kJ
g) Berechne und gib das Resultat in g an:
0,00005kg + 10 4 mg + 10 −5kg + 7 ⋅ 10 6 µg =
g
Lösungen
a) 10 −3 km ; 1012 pm
b) 1kg = 106 mg ; 10cm = 105 µm ; 10GHz = 1010 Hz ; 1km = 10 9 µm
c) 170 kN
d) x = −9 ,
y = 21
e) 10,16 µm
f) 630 kJ
g) 17,06 g
22
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Darstellung von Zahlen
DialogMathe
1.4.5 Zahlendarstellung im Rechner
Der Rechner stellt die Zahlen in der Fliesskommadarstellung
(international auch Floating Point oder in Deutschland auch Gleitkommadarstellung genannt) dar. Dies ist eine Bezeichnung für eine spezielle Schreibweise von Zahlen, welche die Darstellung und das Rechnen mit nicht ganzzahligen Werten erlaubt.
Fliesskommadarstellung einer Zahl Z
Z = m ⋅ be
• Die Mantisse m: Der üblicherweise nicht ganzzahlige Anteil (Dezimalzahl).
• Die Basis b: Zahl (b = 10), die zu potenzieren und anschliessend mit der
Mantisse zu multiplizieren ist.
• Der Exponent e: Gibt den Exponenten der Basis an (ganze Zahl).
Beispiele
1998 lässt sich darstellen als: 1,998 ⋅ 103 (Float4, 4 geltende Ziffern)
0,0521 lässt sich darstellen als: 5,21 ⋅ 10 −2 (Float3, 3 geltende Ziffern)
Vorteile dieser Darstellungsweise sind eine Erweiterung des durch einen
Computer darstellbaren und verarbeitbaren Zahlenraumes von ganzzahligen
Zahlen zu nicht ganzzahligen Zahlen (gebrochenen Zahlen) und die
Erweiterung des Zahlenraumes in seiner Grösse durch die Verwendung von
Potenzen. Zum Rechnen mit derartigen Zahlen gibt es spezielle Befehle für
Mikroprozessoren.
Exakte Werte und Näherungswerte
Einige Bruchzahlen, z.B. 31 und alle irrationalen Zahlen, z.B.
2 lassen sich
nur näherungsweise angeben, da die Dezimalen nie abbrechen.
1 ≈ 0,33
3
;
2 ≈ 1, 41
Der Rechner hat die Möglichkeiten exakte Werte (Exact – Modus) und
Näherungswerte (Approx – Modus) darzustellen.
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
23
Grundlagen
DialogMathe
Einstellungen des Taschenrechners
Display Digits (angezeigte Ziffern)
Float 4
Fix 4
Exponential Format (Exponentialformat)
Normal (Float 4)
Scientific (Wissenschaftlich)
Engineering (Technisch)
Exact, Approximate, Auto (Exakt, Näherung, Automatisch)
Ist der Rechner auf Exact oder Auto eingestellt, so kann das Resultat
approximativ dargestellt werden mit: ctrl (blau) enter.
Exact – Modus
24
Approx - Modus
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Mengen
DialogMathe
1.5 Mengen
Was wir in diesem Kapitel lernen
Definition der Menge, Verschiedene Darstellungsformen einer Menge
Teilmenge, Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Leere Menge
Differenzmenge (Restmenge, Komplementärmenge)
Mengenlehre als Sprache der Mathematik
Die Mengenlehre bietet eine gewissermassen normierte Sprechweise an, in der
mathematische Begriffe klar und präzise formuliert werden können. Sie ist
weltweit zur mathematischen Umgangssprache geworden. Die Situation ist
ganz ähnlich wie in anderen Fachgebieten. Jemand, der öfter mit Computern
zu tun hat, verwendet Taktfrequenz, Byte, RAM oder CPU und wird sie nicht
ständig mit gewöhnlichen Worten umschreiben. In diesem Sinne werden wir
einige einfache Vokabeln und Formulierungen aus der Mengenlehre kennen
lernen. Darüber hinaus ist die Mengenlehre eine grundlegende mathematische
Disziplin, die viele Gebiete der Mathematik und Logik entscheidend geprägt
hat. Eine der grundlegenden Fähigkeiten des menschlichen Geistes ist das
gedankliche Zusammenfassen von Dingen mit einer gemeinsamen
Eigenschaft zu einer Einheit, eben zu einer Menge dieser Dinge.
Die Mengenlehre eignet sich gewisse mathematische
Strukturen erkennbar werden zu lassen.
Was ist eine Menge?
Definition von Georg Cantor (1845 - 1918)
"Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte unserer
Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen."
Die Objekte nennen wir die Elemente der Menge. Wir können eine Menge
beschreiben oder ihre Elemente aufzählen.
Beispiele
•
Zahlenmengen (siehe Kap. 1.3)
•
Punktmengen wie Gerade, Kreis usw. (siehe Geometrie)
•
Ereignismengen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, z.B. Zahlenlotto,
die Menge aller Möglichkeiten aus den Zahlen 1 bis 45 sechs Zahlen zu
ziehen.
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
25
Grundlagen
DialogMathe
1.5.1 Spracherhebung in einer Tessiner Gemeinde
Von den 183 Einwohnern eines Tessinerdorfes
sprechen 172 italienisch, 40 deutsch und 21
französisch; 42 Einwohner sprechen genau zwei
dieser Sprachen, nämlich 27 italienisch und
deutsch, 14 italienisch und französisch, während
1 Einwohner deutsch und französisch spricht.
Schliesslich sprechen 4 Einwohner alle drei Sprachen.
Partnerinterview
Spracherhebung in einer Tessiner Gemeinde
Zeit: 10 Minuten
Auftrag: Anhand der oben beschriebenen Situation sollst du folgende Fragen beantworten:
a) Wie viele Einwohner sprechen nur italienisch?
b) Wie viele Einwohner sprechen nur deutsch?
c) Wie viele Einwohner sprechen nur französisch?
d) Wie viele Einwohner sprechen italienisch, aber nicht französisch?
e) Wie viele Einwohner sprechen deutsch, aber nicht französisch?
f) Wie viele Einwohner sprechen nicht französisch?
Vorgehen:
Diskutiere mit deinem Partner, wie du dieses Problem lösen kannst.
Wie könnt ihr die oben erhaltenen Informationen darstellen, damit die
gestellten Fragen möglichst einfach beantwortet werden können?
26
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Mengen
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1.5.2 Verschiedene Darstellungsformen einer Menge
Mengen können durch aufzählen ihrer Elemente beschrieben werden.
Aufzählende Form
Betrachten wir als Beispiel die Menge, die die Zahlen 2, 3, 4, 5, 6 und 7
zusammenfasst. Sie wird unter Verwendung geschwungener Klammern in
der Form { 2, 3, 4, 5, 6, 7 } geschrieben. Bei den Elementen einer Menge kommt
es auf die Reihenfolge nicht an. Daher ist { 4, 7, 2, 5, 6, 3 } genau dieselbe
Menge wie { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }. Geben wir ihr einen Namen, z.B. den Buchstaben
A, so schreiben wir A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }.
Die Tatsache, dass die Zahl 3 Element dieser Menge ist, wird in der
mathematischen Symbolsprache als 3 ∈ A ausgedrückt. (Gesprochen wird
dies als ''3 ist Element von A'', kurz ''3 Element A'', ''3 in A'' oder ''3 aus A'').
Die Zahl 9 ist nicht Element dieser Menge, was auch kurz als 9 ∉ A
geschrieben wird.
Mengen können durch eine oder mehrere verbale oder formale Bedingungen
beschrieben werden.
Beschreibende Form
Die Menge A kann, anstelle der Auflistung ihrer Elemente, auch wie folgt
beschrieben werden: A = { x
x ∈ N und 1 < x < 8 } . Diese Form wird uns
noch oft begegnen. Ihre Bestandteile sind wie folgt zu lesen:
A=
"A ist
{x
die Menge aller x
für die gilt:
x ∈ N und 1 < x < 8 }
x ist eine natürliche Zahl, die grösser als 1 und kleiner
als 8 ist."
Eine solche Möglichkeit, Mengen zu beschreiben, ist besonders dann hilfreich,
wenn eine Auflistung der Elemente der Menge umständlich oder überhaupt
unmöglich ist.
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27
Grundlagen
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Anschaulich lassen sich Mengen in Venn - Diagrammen, der graphischen
Darstellung von Mengen, angeben.
Venn - Diagramm
Anstatt die Elemente in geschweifte Klammern zu schreiben, können wir
sie auch in einen Kreis, ein
ein Rechteck oder ähnliches schreiben:
Das Beispiel zeigt das Venn - Diagramm der Menge M = {1, 2, 3}:
Mit Hilfe des Venn – Diagramms lassen sich Problemstellungen wie das
Beispiel „Spracherhebung in einer Tessiner Gemeinde“ übersichtlich und
einfach lösen.
Definition leere Menge
Eine "leere Menge" ist eine Menge, die keine Elemente enthält.
Die leere Menge wird als { } angeschrieben (und manchmal auch mit dem
Buchstaben ∅ bezeichnet, symbolisch für eine
ne durchgestrichene 0).
Achtung - nicht verwechseln:
verwechseln Die leere Menge { } enthält kein Element (also
''nichts''). Sie ist von der Zahl 0, und auch von der Menge, die die Zahl Null
enthält (also { 0 } ) zu unterscheiden. (Die Menge { 0 } enthält ja ein Element,
die leere Menge { } enthält gar keines).
{ } = ∅ ≠ { 0}
1.5.3 Mengenrelationen
Gleichheit von zwei Mengen A und B
Zwei Mengen A und B heissen gleich,
wenn
enn sie dieselben Elemente enthalten.
Wir schreiben A = B.
28
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Mengen
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Teilmenge T von A
Liegt jedes Element einer Menge T in A, dann
sagen wir T ist eine Teilmenge von A. Wir
schreiben: T ⊆ A (T ist in A enthalten)
Speziell:
A selbst ist eine Teilmenge von A. A ⊆ A
Die leere Menge ∅ = { } ist eine Teilmenge von A. { } ⊆ A
Beispiel
A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
; B = { 2, 4, 6 }
N* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... }
Die beiden
iden Beziehungen B ⊆ A und A ⊆ N* können in der Form B ⊆ A ⊆ N*
zusammengefasst werden.
Teilmengen: Darstellung im Venn - Diagramm
5
A
N
B
6
4
7
3
*
1
2
8
9 10 , . . . . .
Wenn eine Menge Teilmenge einer anderen ist und die beiden
beiden Mengen vonvo
einander verschieden sind, spricht man von einer echten Teilmenge.
Teilmenge So ist
zum Beispiel A eine echte Teilmenge von N*, da A ≠ N* ist. (Denn es gibt - zumindest - ein Element von N*, das nicht Element von A ist). Statt ⊆ wird
manchmal das Symbol ⊂ verwendet.
Aber Achtung:: Manchmal wird das Symbol ⊂ nur für echte Teilmengen verwendet - diesbezüglich besteht keine einheitliche Bezeichnungsweise.
Teilmenge allgemein
Echte Teilmenge
⊆
⊂
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29
Grundlagen
DialogMathe
Partnerinterview
Teilmengen
Zeit: 15 Minuten
Auftrag 1:
Diskutiere
iere den folgenden Sachverhalt.
Voraussetzung B ⊆ A ( B ist Teilmenge von A)
Dann gilt: x ∈ B
Auftrag 2:
x ∈ A (aus x Element
nt von B folgt x Element von A).
Was sagt dir das folgende
folg
Venn – Diagramm über die entsprechenden
Zahlenmengen N, Z, Q und R.
N
Auftrag 3:
Z
Q
R
Ermittle die Anzahl Teilmengen einer Menge M mit n Elementen.
Gehe systematisch vor!
30
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Mengen
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1.5.4
Mengenverknüpfungen
Schnittmenge von A und B
Die Menge aller Elemente, die in A und B
liegen, nennen wir die Schnittmenge von
A und B.
Wir schreiben: A ∩ B . Das heisst
A ∩B = { x
x ∈ A und x ∈ B }
Vereinigungsmenge von A und B
Die Menge aller Elemente, die in A oder B
liegen, nennen wir die Vereinigung von
A und B.
Wir schreiben: A ∪ B . Das heisst
A ∪B = { x
x ∈ A oder x ∈ B }
Differenzmenge
Manchmal sollen aus einer Menge Elemente, die darin enthalten sind, wieder
herausgenommen werden. Betrachten wir die Mengen A und B, wobei die
Beziehung B ⊆ A gelten soll. Alle Elemente von B sind auch Elemente von A.
Nehmen wir diese Elemente aus A heraus, so erhalten wir die Menge
A\B={ x
x ∈ A und x ∉ B }
Rechenregeln für die leere Menge:
Zwischen der leeren Menge und einer beliebigen Menge A gelten immer die
Beziehungen
{ } ⊆ A ; A ∩{ } = { } ;
A ∪{ } = A
;
A \{ } = A
Sie sind intuitiv einleuchtend und lassen sich auch auf formale Weise leicht
beweisen.
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31
Grundlagen
Beispiel
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Menge aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich 7
A ={ x
x ∈ ℕ und x ≤ 7 }
;
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
Menge aller geraden Zahlen zwischen 4 und 12
B={ x
x ist gerade und 4 ≤ x ≤ 12 }
; B = { 4, 6, 8, 10,12 }
∈
Element
3∈ A, 3∉B
{ }
Leere Menge
Menge, die keine Elemente enthält
z.B. { } = { x
⊂, ⊆
Teilmenge
x ∈ N und x < 0 }
Menge, die ganz in einer anderen enthalten ist
in obigem Beispiel: T = {1, 2, 3 } ⊂ A
A ∩B
Durchschnitt
alle Elemente, die in A und B enthalten sind
A ∩B = { x
x ∈ A und x ∈ B }
in obigem Beispiel: A ∩ B = { 4,6 }
A ∪B
Vereinigung
alle Elemente, die in A oder B enthalten sind
A ∪B = { x
x ∈ A oder x ∈ B } , in obigem
Beispiel: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,10, 12 }
A\B
Differenzmenge
alle Elemente von A, die nicht in B enthalten
sind, A \ B = { x
x ∈ A und x ∉ B }
in obigem Beispiel.: A \ B = {1, 2, 3, 5, 7 }
B \ A = { 8,10, 12 }
32
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Mengen
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1.5.5 Gesetze der Mengenverknüpfungen
Schraffiere die richtigen Flächen:
Kommutativgesetz
A ∩B =B∩ A
A ∪B =B∪ A
A
B
B
A
Assoziativgesetz
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A
B
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A
B
C
C
Distributivgesetz
A
B
A
C
C
A ∪ (B ∩ C)
( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
A
B
C
A ∩ (B ∪ C)
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B
A
B
C
( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
33
Grundlagen
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1.5.6 Aufgaben
Aufgabe 1:
Berechne
A∪A =
A∩A =
A
Aufgabe 2:
A=
Welche Schlussfolgerungen über A und B lassen sich ziehen, wenn gilt:
(Beachte: Häufig gibt es mehrere Möglichkeiten!)
A ∪B = B
A
B=A
A ∪B = { }
A ∩B = B
Aufgabe 3:
Berechne
{ 1 }∪{ 1 } =
{ 1 }∪{ 0 } =
{ } ∪{ 0 } =
Aufgabe 4:
Wahr oder falsch?
w
34
f
w
{ }={ 0 }
{ 1 }∪{ 1 } ={ 2 }
{ 4, 5, 9 } = { 5, 4, 9 }
{ 1 } ∩{ 1 } ={ 1 }
{ 4, 5, 9 } ⊆ { 5, 4, 9 }
{ 1, 5, 7 } { 1, 7 } = { 5 }
R⊆Q
{ }⊆{ 0 }
f
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Mengen
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Aufgabe 5:
Berechne
N∪Q =
N∩Q =
Q∪R =
Q∩R =
Z ∪{ } =
Z ∩{ } =
Aufgabe 6: Schreibe die folgenden Mengen in der Intervallschreibweise.
Aufgabe 7:
{ x −2≤ x <3 }
{ x 2< x<5}
{ x 0< x≤2}
{x
x<4}
{ x 1≤ x ≤ 3 }
{x
x≥2}
Berechne
[ 0 ; 2 ] ∪ [1; 3 [ =
[ 0 ; 2] ∪ ]2 ; 3[ =
[ 0 ; 2 ] ∩ [1; 3 [ =
[ 0 ; 2] ∩ ]2 ; 3[ =
[1; 5 ] ∪ ]1; 3[ =
[1; 5 ] ∩ ]1; 3[ =
Aufgabe 8:
Von drei Mengen A, B und C haben wir die folgende Kenntnis. Bestimme die
Mengen A, B und C.
A ∩ B = { } , A ∩ C = { 4, 5 } , B ∩ C = { 2 }
A ∪ B = { 2, 3, 4, 5 } , A ∪ C = { 1, 2, 4, 5 } , B ∪ C = { 1, 2, 3, 4, 5 }
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Grundlagen
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1.6 Anwendung Betragsgleichungen und Betragsungleichungen
In diesem Kapitel werden wir Aufgabenstellungen mit unterschiedlichen Methoden lösen. Da wir auch den CAS-Rechner einsetzen, können wir auch Methoden anwenden, die wir erst später in der Funktionslehre verwenden.
1.6.1
Einfaches Einführungsbeispiel
Problemstellungen
A) Bestimme alle x ∈ R (alle reellen Zahlen), die folgende Gleichung erfüllen.
x = 4 (Betragsgleichung)
B) Bestimme alle x ∈ R , die folgende Ungleichung erfüllen.
x ≤ 4 (Betragsungleichung)
Wir lösen die beiden Problemstellungen, indem wir die folgenden drei Methoden benutzen.
1) mit Hilfe der Zahlengeraden (geometrische Interpretationen)
2) algebraisch mit Hilfe einer Fallunterscheidung (Gleichungen/Ungleichung)
3) Graphisch mit Hilfe des Rechners (Funktionen graphisch)
Methode 1: Geometrische Interpretation auf der Zahlengeraden
Die Zahl x ist ein Punkt auf der Zahlengeraden. Die Betragsgleichung x = 4
bedeutet, dass wir Punkte suchen, die den Abstand 4 vom Ursprung 0 haben.
Lösung: x1 = 4 und x 2 = − 4 .
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
7
8 x
Die Betragsungleichung x ≤ 4 bedeutet, dass wir Punkte suchen, deren Abstand kleiner 4 vom Ursprung 0 ist.
Lösung: x ∈ [ −4 ; 4 ]
Zahlenintervall, alle Zahlen zwischen x1 = 4 und x 2 = − 4 .
36
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Anwendung Betragsgleichungen und Betragsungleichungen
DialogMathe
Methode 2: Lösen der Gleichung (Ungleichung) durch eine Fallunterscheidung
Wollen wir die Betragsgleichung x = 4 lösen, so müssen wir zunächst den
Betrag wegschaffen. Dazu ist eine Fallunterscheidung nötig.
Fall 1: x ≥ 0
→
x =x
Fall 2: x < 0
→
x = −x
→
→
( L1 = { 4 } )
x1 = 4
−x =4
→
x2 = − 4
( L2 = { −4 } )
Lösung der Betragsgleichung: L = L1 ∪ L2 = { −4 , 4 }
Analog die Betragsungleichung x ≤ 4
Fall 1: x ≥ 0
→
x =x
Fall 2: x < 0
→
x = −x
→
→
x≤4
→ L1 = [ 0 ; 4 ]
−x≤4
→
x ≥ −4
→ L2 = [ −4 ; 0 [
Lösung der Betragsungleichung: L = L1 ∪ L2 = [ −4 ; 0 [ ∪ [ 0 ; 4 ] = [ −4 ; 4 ]
Methode 3: Graphisch mit Hilfe des Rechners
Wir interpretieren die beiden Seiten der Betragsgleichung x = 4 als Zuordnungen (Funktionen):
f1(x) = x , jedem x wird der Betrag von x zugeordnet und
f2(x) = 4 , jedem x wird die Zahl 4 zugeordnet.
Mit Hilfe des Rechners können wir die Funktionsgraphen aufzeichnen lassen.
f1(x) = x = abs ( x )
Lösung Betragsgleichung: x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Graphen. Lösung Betragsungleichung: Alle x-Werte, wo der Graph von
f1(x) = x unterhalb von f2(x) = 4 verläuft. x ∈ [ −4 ; 4 ] . Mit Hilfe der Spitze
(0|0) des Graphen f1(x) = x kann die Grenze für die Fallunterscheidung ermittelt werden.
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37
Grundlagen
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Alternativ können wir die Betragsgleichung auf Nullform bringen:
x − 4 = 0 und den Graph der Funktion f3(x) = x − 4 aufzeichnen.
Lösung Betragsgleichung: Schnittpunkte des Graphen f3(x) = x − 4 mit der
x-Achse. Lösung Betragsungleichung: Alle x-Werte, wo der Graph von
f3(x) = x − 4 unterhalb der x-Achse verläuft.
1.6.2
Erweiterung des Einführungsbeispiels
Problemstellungen
A) Bestimme alle x ∈ R , die folgende Gleichung erfüllen:
B) Bestimme alle x ∈ R , die folgende Ungleichung erfüllen:
Neu: x
→
x−3 = 4
x−3 ≤ 4
x − 3 . Was bewirkt die Subtraktion?
Dies lässt sich am einfachsten graphisch abklären.
Der Graph wird 3 Einheiten nach rechts verschoben!
Die horizontale Verschiebung kann durch einen Schieberegler dynamisch gemacht werden. Dazu führen wir einen Parameter a ein: f1(x) = x − a .
38
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Anwendung Betragsgleichungen und Betragsungleichungen
DialogMathe
Mit dem Schieberegler
kann der Wert des Parameters a von – 10 bis 10
verändert werden. Der
Graph wird dabei dynamisch angepasst!
Für a = –4 ergibt sich f1(x) = x + 4 der Graph f1(x) = x wird 4 Einheiten
nach links verschoben.
Methode 1: Geometrische Interpretation auf der Zahlengeraden
Die Zahl x ist ein Punkt auf der Zahlengeraden. Die Betragsgleichung
x − 3 = 4 bedeutet, dass wir Punkte suchen, die den Abstand 4 vom Punkt 3
haben. Lösung: x1 = 7 und x 2 = − 1 .
-6
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
5
6
8 x
7
Die Betragsungleichung x − 3 ≤ 4 bedeutet, dass wir Punkte suchen, deren
Abstand kleiner 4 vom Punkt 3 ist. Lösung: x ∈ [ −1; 7 ] . Zahlenintervall, alle
Zahlen zwischen x1 = 7 und x 2 = − 1 .
Methode 2: Analytische Rechnung der Ungleichung
Um die Ungleichung nach x auflösen zu können müssen wir die Betragsstriche wegschaffen. Das können wir nur, wenn wir sicher sind, dass der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen immer positiv oder immer negativ ist,
d.h., wir müssen eine Fallunterscheidung machen.
Fall 1: x − 3 ≥ 0
Die folgende Rechnung gilt nicht mehr für alle x ∈ R sondern nur noch für jene
x, die sich in der so genannten Definitionsmenge D1 = { x l x ≥ 3 } befinden.
D1 ist eine Teilmenge von R und kann auch als Intervall geschrieben werden:
D1 = { x l x ≥ 3 } = [ 3 ; ∞ [
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39
Grundlagen
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Unter der Voraussetzung, dass x ∈ D1 ist die Differenz x − 3 immer positiv
oder gleich Null. Wir können in diesem Fall die Betragstriche weglassen und
nach x auflösen.
x−3 ≤ 4
/ +3
x≤7
Die Ungleichung x − 3 ≤ 4 hat die Lösungsmenge L = { x l x ≤ 7 } = ] −∞ ;7 ] .
Die Lösungsmenge für den Fall 1 der Betragsungleichung erhalten wir aus der
Durchschnittsmenge L1 = L ∩ D1 , denn x muss sowohl in D1 als auch in L liegen. L1 = { x l 3 ≤ x ≤ 7 } = [ 3 ; 7 ]
Fall 2: x − 3 < 0
Die folgende Rechnung gilt nur noch für jene x, die sich in der Definitionsmenge
D2 = { x l x < 3 } = ] − ∞ ; 3 [ befinden. Unter der Voraussetzung, dass x ∈ D2 ist
die Differenz x − 3 immer negativ. Wir können in diesem Fall die Betragstriche
weglassen, wenn wir die Gegenzahl nehmen.
−( x − 3 ) ≤ 4
−x + 3 ≤ 4
/ −3
− x ≤ 1 / ⋅ ( −1) Achtung Multiplikation mit negativer Zahl kehrt die Relation!
x ≥ −1
Lösungsmenge der Ungleichung: L = { x l x ≥ −1} = [ −1; ∞ [
Die Lösungsmenge für den Fall 2 der Betragsungleichung erhalten wir aus der
Durchschnittsmenge L 2 = L ∩ D2 , denn x muss sowohl in D1 als auch in L
liegen. L2 = { x l − 1 ≤ x < 3 } = [ − 1; 3 [
Fall 1 und Fall 2 x ∈ R = D1 ∪ D2
Die Lösungsmenge für die Betragsungleichung x − 3 ≤ 4 erhalten wir aus
der Vereinigungsmenge der beiden Fälle: L1,2 = L1 ∪ L 2 (die Lösung x liegt in
L1 oder in L 2 .
L1,2 = { x l − 1 ≤ x ≤ 7 } = [ − 1; 7 ]
Wenn wir parallel zur Rechnung die Mengen auf der Zahlengeraden visualisieren, steigt die Übersicht für die doch komplexe Analyse.
40
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Anwendung Betragsgleichungen und Betragsungleichungen
DialogMathe
Visualisierung auf der Zahlengeraden
Fall 1: x − 3 ≥ 0
→
x−3 ≤ 4
D1 = { x l x ≥ 3 } = [ 3 ; ∞ [
L = { x l x ≤ 7 } = ] −∞ ;7 ]
L1 = L ∩ D1 = { x l 3 ≤ x ≤ 7 } = [ 3 ; 7 ]
Fall 2: x − 3 < 0
→
− ( x − 3) ≤ 4
D2 = { x l x < 3 } = ] − ∞ ; 3 [
L = { x l x ≥ −1} = [ −1; ∞ [
L2 = L ∩ D2 = { x l − 1 ≤ x < 3 } = [ − 1; 3 [
Fall 1 und Fall 2 x ∈ R = D1 ∪ D2
L1,2 = L1 ∪ L2
L1,2 = { x l − 1 ≤ x ≤ 7 } = [ − 1; 7 ]
Übungen: Intervalle, Betrag, Gleichungen, Ungleichungen
Wende die verschiedenen Lösungsmethoden 1, 2, 3 an!
A) Bestimme alle x ∈ ℝ (alle reellen Zahlen), die folgende Gleichung erfüllen.
1)
x =5
2)
x−2 =3
3)
x +1 = 5
4)
x − 5 = −1
B) Bestimme alle x ∈ ℝ (alle reellen Zahlen), die folgende Ungleichung erfüllen.
1)
x ≤3
2)
x−2 ≤3
3)
x−3 ≥ 4
4)
x−2 <3
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41
Grundlagen
DialogMathe
1.7 Variable, Terme
Die Algebra untersucht Eigenschaften und Gesetzmässigkeiten bestimmter
Zahlenmengen. Die Ergebnisse der Algebra sind allgemein gehalten, d.h.,
Lösungen eines Problems oder Aussagen zu einem Problem werden unabhängig von konkreten Zahlen angegeben und sind unter Umständen auf
beliebig viele Elemente der untersuchten Zahlenmenge übertragbar.
Beispiel: Fläche eines Rechtecks
Breite y
Länge x
A = x ⋅ y . Diese Gleichung sagt uns, dass die Fläche eines Rechtecks als
Produkt mit den Faktoren Länge und Breite berechnet werden kann. a und b
sind Variablen (Platzhalter), für die beliebige Strecken (positive reelle Zahlen
eingesetzt werden dürfen, z.B. x = 5 , y = 3
→
A = 5 ⋅ 3 = 15
Um dieser Allgemeingültigkeit gerecht zu werden, arbeiten wir in der Algebra
nicht mit greifbaren Zahlen, sondern verwenden Buchstabensymbole, die
sozusagen einen Platz für eine bestimmte Zahl oder bestimmte Zahlen
freihalten.
Definition Variable
Eine Variable ist ein Zeichen (meist in Form eines Buchstabens gegeben), für
das ein Element aus einem vorgegebenen Grundbereich eingesetzt werden
darf. Gleichwertig hierzu sind Begriffe Unbekannte oder Platzhalter, weil für
die einzusetzende Zahl ja ein Platz freigehalten wird.
Definition Term
Zahlen und Variablen sowie Verbindungen daraus werden in der Mathematik
als Term bezeichnet. Ein Term nimmt bei einer Belegung aller in ihm
vorkommenden Variablen mit Zahlen einen konkreten Zahlenwert an.
Der Ausdruck für die Rechtecksfläche A ( x, y ) = x ⋅ y ist ein Term in den
Variablen x (Länge) und y (Breite). Es ist A ( 5,3 ) = 15 .
42
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Variable, Terme
DialogMathe
Mit Hilfe zulässiger Rechenoperationen gebildete Ausdrücke heissen Terme.
Ein Term kann aus Konstanten, Parametern und Variablen gebildet werden.
Variable sind immer variabel und meist mit Buchstaben vom Ende des
Alphabets bezeichnet.
Parameter sind für eine bestimmte Betrachtung konstant und ändern ihren
Wert nur von Fall zu Fall. Für Parameter werden Buchstaben vom Anfang des
Alphabets verwendet.
Beispiele Terme
T1 ( x ) = 2 ⋅ x + 1
Der Term T1 besteht aus zwei Konstanten (2 und 1), einer Variablen (x) und
zwei Operationen (* und +). Er besitzt keine Parameter.
T2 = 8 ⋅ 9
Der Term T2 besteht aus zwei Konstanten (8 und 9) und einer Operation
(*). Er besitzt keine Variable.
T3 ( x ) =
a
+ 5 ⋅ x + 14
2
Der Term T3 besteht aus drei Konstanten (2, 5 und 14), einer Variablen (x),
einem Parameter (a) und vier Operationen ( : , + , * und +)
T4 ( x ) =
a ⋅ x2 − b
Der Term T4 besteht aus einer Variablen (x), zwei Parametern (a, b) und vier
Operationen (
T5 ( x, y ) =
, * , ^2 und – ). Er besitzt keine Konstante.
3⋅x +2
y−a
Der Term T5 besteht aus
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43
Grundlagen
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1.7.1 Grundmenge, Definitionsmenge
Definition Grundmenge
Die Menge, aus der Einsetzungen für die Variablen vorgegeben werden, heisst
Grundmenge G.
Als Grundmenge wählen wir in der Regel die reellen Zahlen R.
Bei gewissen Problemstellungen können Terme auch spezielle Grundmengen
erhalten z.B. G = N, wie folgendes Beispiel zeigt:
Beispiel
Auf einer Geburtstagsparty befinden sich n Personen. Jede Person hat ein Glas
in der Hand und stösst mit allen anderen Personen an. Wie viel Mal ertönt das
Klirren von je zwei Gläsern? Bestimme den Term T(n).
Definition Definitionsmenge
Die Menge aller Elemente, für die ein Term definiert ist, heisst
Definitionsmenge D.
Merke
Bedingungen an die Variablen bilden die Definitionsmenge. Die Definitionsmenge ist eine Teilmenge der Grundmenge.
Bedingungen an die Parameter nennen wir Voraussetzungen. Dafür benennen
wir nicht extra eine Menge.
Beispiel
Sei G = R (Grundmenge = alle reellen Zahlen) und T ( x ) =
a
+
b
x .
Hier ist D = R 0+ (Definitionsmenge = alle positiven reellen Zahlen und Null)
Voraussetzung b ≠ 0 .
44
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Variable, Terme
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1.7.2 Einschränkungen der Grundmenge eines Terms
Nicht immer dürfen alle Zahlen aus der Grundmenge in einen Term
eingesetzt werden, da dieser für gewisse Zahlen nicht definiert ist.
Befinden sich in der Grundmenge Zahlen, für die ein Term nicht definiert ist,
so müssen wir die Grundmenge einschränken. So erhalten wir die
Definitionsmenge eines Terms. Wir betrachten zwei wichtige Terme bei denen
die Grundmenge eingeschränkt werden muss.
Bruchterme (Variable befindet sich im Nenner)
Beispiel:
T( x) =
8
x−5
+
x
x −1
(G=R)
Da die Division durch Null nicht definiert ist, müssen wir Zahlen, die den
Nenner Null machen, aus der Grundmenge ausschliessen!
1. Nenner: x = 0
2. Nenner. x − 1 = 0
→
x =1
T ( 0 ) und T ( 1) ist nicht definiert, wir müssen diese zwei Zahlen aus der
Grundmenge ausschliessen.
Daraus ergibt sich die Definitionsmenge: D = R
{ 0,1 }
Wurzelterme (Variable befindet sich unter einer Wurzel)
Beispiel:
T(x) =
2x + 3
(G=R)
Da die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert ist, müssen wir Zahlen,
die den Radikand negativ machen, aus der Grundmenge ausschliessen!
Zwei Vorgehensweisen:
1. Wir suchen die Zahlen, welche den Radikanden negativ machen und
schliessen diese aus der Grundmenge aus:
2x + 3 < 0
→
2x < −3
x<−
3
2
Daraus ergibt sich die Definitionsmenge: D = R
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{x
x < − 32
}
45
Grundlagen
DialogMathe
2. Wir bestimmen die Zahlen, für die der Radikand positiv oder Null ist und
bekommen direkt die Definitionsmenge.
2x + 3 ≥ 0
→
x≥−
3
2
Daraus ergibt sich die Definitionsmenge: D =
{x
x ≥ − 32
Vergleiche die erhaltene Definitionsmenge mit D = R
{x
}
x < − 32
}.
Auswerten der Terme mit Hilfe des Rechners
Wir wollen den Term
T(x) =
8 x−5
+
x x − 1 für einige spezielle x-Werte berechnen.
Dazu können wir t(x) mit dem Rechner definieren und dann den Term für
verschiedene x auswerten z.B. für x = −1 Wir erhalten:
t( −1) =
8
−1 − 5
−6
+
= −8 +
= −8 + 3 = −5
−1
−1 − 1
−2
.
Wenn wir viele Auswertungen vornehmen wollen, können wir für x eine Liste
eingeben t(x)|x = {Liste von Zahlen für x} oder die Tabellenkalkulation verwenden.
Applikation
46
Notes
Lists & Spreadsheed
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Variable, Terme
DialogMathe
Aufgaben zur Definitionsmenge eines Terms
Bestimme in der Grundmenge R die Definitionsmenge D der folgenden
Terme.
Term 1
T1 ( x ) =
3x − 2
7x − 2
Term 2
T2 ( x ) =
3⋅ x
x2 + 4
Term 3
T3 ( x ) =
4
x +1
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47
Grundlagen
Term 4
DialogMathe
T4 ( x ) =
3x 2 − 4x + 1
x 2 − 5x + 6
Der Nenner darf nicht Null werden: x 2 − 5x + 6 ≠ 0 , d.h. wir müssen alle
x-Werte, die den Nenner Null machen ausschliessen.
Wie finden wir die x-Werte für die x 2 − 5x + 6 = 0 ist?
1. Möglichkeit: solve() – Befehl
Die Lösungen der Gleichung x 2 − 5x + 6 = 0 liefert die x – Werte, welche den
Nenner Null machen.
2. Möglichkeit: factor() – Befehl
Wir können den Ausdruck x 2 − 5x + 6 faktorisiern: ( x − 3 ) ⋅ ( x − 2 ) .
Die Lösungen der Gleichung ( x − 3 ) ⋅ ( x − 2 ) = 0 können wir direkt ablesen,
denn ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktor im Produkt Null
ist, d.h. es folgt: x − 3 = 0
→
x = 3 und x − 2 = 0
→
x=2
3. Möglichkeit graphisch
Wir lassen uns vom Taschenrechner die Zuordnung y = f1(x) = x 2 − 5x + 6
für alle x graphisch darstellen. Es ergibt sich eine Linie (Parabel). Die
gesuchten Werte y = 0 finden wir auf der x-Achse.
Für die Definitionsmenge des Terms erhalten wir: D = R
48
{2 ; 3} .
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Variable, Terme
DialogMathe
Term 5
T5 ( x ) =
1 − 3x
x 2 − 25
Der Nenner darf nicht Null werden: x 2 − 25 ≠ 0 und der Ausdruck unter der
Wurzel (Radikand) muss positiv sein: x 2 − 25 ≥ 0 d.h. wir müssen alle
x-Werte finden, welche die Ungleichung x 2 − 25 > 0 erfüllen.
1. Möglichkeit: solve() – Befehl
Die Lösungen der Ungleichung x 2 − 25 > 0 liefert die x-Werte, für welche der
Term T5 ( x ) definiert ist.
2. Möglichkeit: factor() – Befehl
Wir können den Ausdruck x 2 − 25 faktorisiern: ( x + 5 ) ⋅ ( x − 5 ) .
Die Lösungen der Ungleichung ( x + 5 ) ⋅ ( x − 5 ) > 0 können wir nicht direkt
ablesen. Entweder liegen die gesuchten x-Werte zwischen – 5 und 5 oder
ausserhalb dieses Bereiches. Es braucht eine Zusatzüberlegung oder wir
können die graphische Darstellung verwenden.
3. Möglichkeit graphisch
Wir lassen uns vom Rechner
die Zuordnung
y = f1(x) = x 2 − 25 für alle x
graphisch darstellen. Es
ergibt sich eine Linie
(Parabel). Die gesuchten
Werte finden wir auf der
x-Achse, dort wo die Parabel
oberhalb der x-Achse
verläuft.
Für die Definitionsmenge des Terms erhalten wir: D = ] −∞ ; − 5 [
Alternativ können wir schreiben: D = R
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∪
]5 ; ∞[ .
[ −5 ; 5 ]
49
Grundlagen
DialogMathe
Term 6
T6 ( x ) =
Term 7
T7 ( x ) =
50
1 − x3
9 − 3x 2
21x − 9
3x − 1 ⋅
( x 2 + 5x − 14 )
⋅
− x 2 − 3x + 4 ⋅
1
x
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Zahlen und Verknüpfungen
DialogMathe
1.8 Zahlen und Verknüpfungen
Struktureigenschaften
Verschiedene Mengen können trotz ihres unterschiedlichen Äusseren
durchaus gemeinsame Züge aufweisen. Sie können sogar dieselben
Struktureigenschaften besitzen. Die Art der Struktur hängt vom Umfang der
Gemeinsamkeiten ab. Auch die bereits bekannten Zahlenmengen N, Z, Q, R
und C weisen algebraische Struktureigenschaften auf. Allerdings besitzen, wie
wir sehen werden, nur Q, R und C dieselbe Struktur, während für N und Z
jeweils unterschiedliche algebraische Strukturen nachweisbar sind.
1.8.1 Verknüpfungsgebilde
Definition Verknüpfungsgebilde
Eine Verknüpfung in einer Menge M ist eine Vorschrift, die je zwei
Elementen a und b der Menge M ein drittes Element c zuordnet.
Die Menge M heisst abgeschlossen bezüglich , wenn jedes c = a b wieder
zu M gehört.
Das Paar ( M ; ) nennen wir Verknüpfungsgebilde.
Beispiele
( N; + ) ist abgeschlossen, da die Summe von zwei natürlichen Zahlen wieder
eine natürliche Zahl ergibt.
( N; − ) ist nicht abgeschlossen, da z.B. 3 − 5 = −2 keine natürliche Zahl ist.
1.8.2 Gesetze für algebraische Struktur
Ein Verknüpfungsgebilde ( M ; ) beinhaltet eine einfache algebraische
Struktur wenn folgende fünf Gesetze für alle a,b,c ∈ M erfüllt sind:
G1: M ist abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung , d.h. , ( a b ) ∈ M
G2: Die Verknüpfung ist kommutativ: a b = b a
G3: Die Verknüpfung ist assoziativ: ( a b ) c = a ( b c )
G4: Es exsistiert ein neutrales Element n in M, so dass gilt: a n = a
G5: Zu jedem Element a aus M existiert ein Inverses i a in M mit der
Eigenschaft: a i a = n
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51
Grundlagen
DialogMathe
1.8.3 Partnerinterview Verknüpfungsgebilde
Partnerinterview Verknüpfungsgebilde
Zeit: 20 Minuten
Diskutiere die beiden Verknüpfungsgebilde ( R ; + ) und ( R ; ⋅ ) .
Zeige jeweils, dass die fünf Gesetze G1 bis G5 gelten.
Was bedeutet ( R ; + )
G1
G2
G3
G4
G5
Was bedeutet ( R ; ⋅ )
G1
G2
G3
G4
G5
52
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Zahlen und Verknüpfungen
DialogMathe
Ergebnis
Additon von reellen Zahlen ( R ; + )
G1: Die Summe von zwei reellen Zahlen ist wieder eine reelle Zahl.
G2: Für reelle Zahlen gilt das Kommutativgesetz bezüglich der Addition:
a+b =b+a
G3: Für reelle Zahlen gilt das Assoziativgesetz bezüglich der Addition:
(a + b) + c = a + (b + c )
G4: Die Zahl 0 ist das Neutralelement der Addition: a + 0 = a
G5: Für jede reelle Zahl a gilt: a + ( −a ) = 0
Es existiert also zu jeder reellen Zahl a eine inverse Zahl i a = −a .
−a wird Gegenzahl von a genannt. Das Minuszeichen nennen wir Vorzeichen.
G5 definiert die Umkehroperation der Addition: die Subtraktion
Subtrahieren heisst Gegenzahl addieren: a − b = a + ( −b )
Multiplikation von reellen Zahlen ( R ; ⋅ )
G1: Das Produkt von zwei reellen Zahlen ist wieder eine reelle Zahl.
G2: Für reelle Zahlen gilt das Kommutativgesetz bezüglich der Multiplikation:
a⋅b = b ⋅a
G3: Für reelle Zahlen gilt das Assoziativgesetz bezüglich der Multiplikation:
(a ⋅b) ⋅c = a ⋅(b ⋅c )
G4: Die Zahl 1 ist das Neutralelement der Multiplikation: a ⋅ 1 = a
G5: Für jede reelle Zahl a gilt: a ⋅ a1 = 1
Es existiert also zu jeder reellen Zahl a eine inverse Zahl i a = a1 .
1
a wird Kehrwert (Reziprokwert) von a genannt.
G5 definiert die Umkehroperation der Multiplikation: die Division
Dividieren heisst mit dem Kehrwert multiplizieren:
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a
1
= a⋅
b
b
53
Grundlagen
DialogMathe
1.9 Die Grundrechnungsarten
Stufe Rechenart
Umkehrung
I
Addieren
a+b =c
Subtrahieren
a = c −b ; b = c −a
II
Multiplizieren
a ⋅b = c
Dividieren
c
;
a=
b
Potenzieren
b = ax
Radizieren:
III
b=
c
a
a=
x
Logarithmieren:
b
x = log a ( b )
1.9.1 Rechenarten erster Stufe
Addition
Summand + Summand = Summe
a+b =b+a
Kommutativgesetz der Addition
(a + b) + c = a + (b + c )
Assoziativgesetz der Addition
a+0 =a
Neutralelement
a + ( −a ) = 0
Gegenzahl (Inverses Element)
Subtraktion
Minuend - Subtrahend = Differenz
Umkehrung der Addition
a+x =b
⇔
x =b−a
x = b − a = b + ( −a )
b−a ≠ a−b
54
Beispiel: 7 + x = 10
⇔
x = 10 − 7 = 3
Subtraktion = Addition der Gegenzahl!
Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion!
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Die Grundrechnungsarten
DialogMathe
1.9.2 Rechenarten zweiter Stufe
Multiplikation als Kurzschreibweise einer Addition
a
+
a
+ a +
a= 4
⋅a
Pr odukt
Summe
4 Summanden
→
Summand
Faktor
→
4 Summanden
Faktor 4 (Koeffizient)
Multiplikation
Faktor · Faktor = Produkt
wiederholte Addition, z.B. 4 + 4 + 4 = 3·4 = 12
a⋅b = b ⋅a
Kommutativgesetz der Multiplikation
(a ⋅b) ⋅c = a ⋅(b ⋅c )
Assoziativgesetz der Multiplikation
a ⋅1 = a
Neutralelement
a ⋅ a1 = 1
Kehrwert (Inverses Element)
a⋅0 = 0
MERKE: Produkt – Null – Satz!
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der
Faktoren 0 ist.
a ⋅ b = 0 → a = 0 oder b = 0
Division
Dividend : Divisor = Quotient
Umkehrung der Multiplikation
a⋅x =b
⇔
x = b : a = ba
Beispiel: 4 ⋅ x = 12
⇔
x = 12 : 4 = 12
=3
4
x = ba = b ⋅ a1
Multiplikation mit dem Kehrwert
b:a ≠ a:b
Kommutativgesetz gilt nicht für die Division!
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55
Grundlagen
DialogMathe
MERKE:
Division durch 0 ist nicht definiert!
Angenommen, es wäre a : 0 = x
⇔
0⋅x = a
das ist aber unmöglich, weil 0 ⋅ x = 0 für alle x
Distributivgesetz der Multiplikation bezüglich der Addition
Für alle a, b, c ∈ R gilt: a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
Interpretation
a ⋅( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
Linke Seite a ⋅ ( b + c ) :
Zuerst werden b und c addiert, dann das Resultat mit a multipliziert.
Rechte Seite a ⋅ b + a ⋅ c :
Zuerst werden b und c mit a multipliziert, dann die Resultate addiert.
Das Distributivgesetz sagt uns, dass wir unabhängig von der Reihenfolge der
Operationen das Gleiche erhalten!
1.9.3 Rechenarten dritter Stufe
Potenz als Kurzschreibweise einer Multiplikation
4
a
a
⋅a
⋅a = a
⋅
Potenz
Pr odukt
4 Faktoren
Faktor
→
4 Faktoren
Basis
→ Exponent 4
Potenzieren
BasisHochzahl (Exponent) = Potenz
wiederholte Multiplikation, z.B. 2·2·2 = 23 = 8
Beim Potenzieren sind zwei Umkehrungen möglich (Wurzelziehen bzw.
Logarithmieren), je nachdem, ob die Basis oder die Hochzahl (Exponent)
gesucht wird. Das sind allerdings keine Grundrechnungsarten mehr.
56
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Die Grundrechnungsarten
DialogMathe
1.9.4 Reihenfolge der Rechenoperationen
Rechenarten höherer Stufe werden immer zuerst ausgeführt ("Punktrechnung
vor Strichrechnung").
Rechenarten gleicher Stufe werden in der Reihenfolge ausgeführt, in der sie
notiert sind, z.B. 60 : 10 ⋅ 2 = 6 ⋅ 2 = 12
Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. z.B. 60 : ( 10 ⋅ 2 ) = 60 : 20 = 3
Prioritätsregel „Punkt vor Strich“
a + b⋅c
Interpretation des Terms: Hier muss zuerst b mit c multipliziert werden und
erst dann kann die Addition ausgeführt werden: a + ( b ⋅ c ) Klammern sind
nicht nötig, wegen der Prioritätsregel. Wollen wir, dass die Addition zuerst
ausgeführt wird, so kann dies mit Klammern angezeigt werden: ( a + b ) ⋅ c
Beispiel mit Zahlen: 3 + 2 ⋅ 5 = 3 + ( 2 ⋅ 5 ) = 3 + 10 = 13
Andere Reihenfolge: ( 3 + 2 ) ⋅ 5 = 5 ⋅ 5 = 25
Prioritätsregel „Potenzieren vor Multiplizieren“
a ⋅ bn
Interpretation des Terms: Hier muss zuerst b mit n potenziert werden und erst
dann kann die Multiplikation ausgeführt werden: a ⋅ ( bn ) Klammern sind
nicht nötig, wegen der Prioritätsregel. Wollen wir, dass die Multiplikation
zuerst ausgeführt wird, so kann dies mit Klammern angezeigt werden:
( a ⋅ b )n
Beispiel mit Zahlen: 5 ⋅ 23 = 5 ⋅ ( 23 ) = 5 ⋅ 8 = 40
Andere Reihenfolge: ( 5 ⋅ 2 )3 = 103 = 1000
Spezialfall: Vorzeichen einer Potenz
− 2 4 = −16
Interpretation des Terms: Die positive Basis 2 wird mit 4 potenziert, das
Resultat 16 (die Potenz) bekommt ein Vorzeichen, ist also negativ!
− 2 4 = ( −1) ⋅ 2 4 = ( −1) ⋅ 16 = −16 ( Vorzeichen als Faktor ( −1) )
Für negative Basen braucht es eine Klammer: ( − 2 ) 4 = 16
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57
Grundlagen
Bruchstriche
DialogMathe
a+b
= (a + b) : b
b
Merke: Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer!
Beispiele: 1)
7+8
= ( 7 + 8 ) : ( 2 + 3 ) = 15 : 5 = 3 nicht etwa
2+3
7+8
≠ 7 + 8 : 2 + 3 = 7 + 4 + 3 = 14
2+3
2)
10x − 8 1
= ⋅ ( 10x − 8 )
2
2
Über eine Summe darf nicht gekürzt werden:
Richtig:
a ⋅b + a ⋅c
a
dann kürzen!!!
a ⋅b + a⋅c
a
Falsch!!!!!!
Daher Zähler zuerst in ein Produkt verwandeln, erst
a ⋅ b + a ⋅ c a ⋅ (b + c )
=
a
a
Merke:
Kürzen heisst gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner streichen.
Vor dem Kürzen müssen Nenner und Zähler faktorisiert werden.
„Über Summen kürzen nur die Dummen!“
1.9.5 Elementare Rechenregeln
− ( −a ) = a
Die Gegenzahl von ( −a ) ist a.
−a = ( −1) ⋅ a
Das Vorzeichen kann durch den Faktor ( −1) ersetzt werden.
Multiplizieren mit ( −1) heisst Gegenzahlbildung.
−ab = − ( a ⋅ b ) = ( −a ) ⋅ b = a ⋅ ( −b )
Ein Minuszeichen vor einem Produkt, ändert bei genau einem der Faktoren
das Vorzeichen: −abc = − ( a ⋅ b ⋅ c ) = ( −a ) ⋅ b ⋅ c = a ⋅ ( −b ) ⋅ c = a ⋅ b ⋅ ( −c )
( −a ) ⋅ ( −b ) = ab Minus mal Minus gibt Plus!
−
a −a
a
=
=
b
b
−b
Ein Minuszeichen vor einem Quotienten, ändert entweder
das Vorzeichen des Zählers oder das Vorzeichen des Nenners.
−a a
=
−b b
58
Minus dividiert durch Minus gibt Plus!
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Die Grundrechnungsarten
DialogMathe
1.9.6 Partnerinterview Analyse von Termen
Partnerinterview Analysen von Termen
Zeit: 15 Minuten
Aufgabe: Analysiere die folgenden Terme
Beispiel:
ab + 4 : 2 − a2
Differenz
Minuend
Summe
1. Summand
Produkt
1. Faktor
Platzhalter (a)
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
Subtrahend
Potenz
2. Summand
Quotient
2. Faktor (b)
Platzhalter (b)
Dividend
Zahl (4)
Basis
Exponent
Platzhalter (a) Zahl (2)
Divisor
Zahl (2)
a : 14 − 7x 2
a + 4 [ y − 5 (x + 3)2 ]
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59
Grundlagen
DialogMathe
1.9.7 Übungen mit Zahlen
Analysiere und berechne die folgenden Terme.
Beachte die Prioritätsregeln: „Punkt vor Strich“
„Potenzieren vor Multiplizieren“
Richtig oder falsch? Begründe!
10 + 2 ⋅ 3 = 36
10 + 2 ⋅ 3 = 16
4 ⋅ 32 = 36
4 ⋅ 32 = 144
−42 = 16
−42 = −16
( 3 ⋅ a )2 = 9 ⋅ a2
( 3 + a )2 = 9 + a 2
1.
3 +5⋅2 =
2.
3 ⋅ 52 =
3.
−32 =
4.
( −3 ) 2 =
5.
( −3 ) ⋅ ( −5 ) =
6.
−( 3 ⋅ 5) =
7.
1
2
⋅(2⋅6) =
8.
1
2
⋅(2 + 6) =
9.
1
3
+
10.
1
3
⋅ 41 =
11.
( 3 + a )2 =
12.
( 3 ⋅ a )2 =
13.
1 a
3 ⋅  ⋅  =
3 3
14.
1 a
3 ⋅  +  =
3 3
15.
a
3 ⋅  
2
1
4
=
2
=
Mache eigene Beispiele!
60
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Klammern, Addition und Subtraktion bei Termen
DialogMathe
2 Algebra -Training: Rechnen mit Termen
In diesem Kapitel wollen wir die wichtigsten Grundlagen für das Rechnen mit
Termen repetieren.
Übersicht
Klammern, Addition und Subtraktion von Termen
Ausmultiplizieren von Klammern, Binomische Formeln
Memo 1: Faktorisieren, Umwandeln einer Summe in ein Produkt.
Memo 2: Addition von ungleichnamigen Brüchen
Memo 3: Divisionsalgorithmus
Memo 4: Potenzen, Potenzgesetze
Memo 5: Wurzeln und Potenzen
Memo 6: Potenzen von Summen, Pascalsches Dreieck
2.1 Klammern, Addition und Subtraktion bei Termen
Wollen wir Klammerausdrücke vereinfachen, so müssen die Klammern geöffnet werden. Im Folgenden wollen wir einige Regeln repetieren, die den Umgang mit Klammerausdrücken einfacher gestalten.
Platzhalter (Variable)
Eine Variable ist ein Zeichen, das stellvertretend für Zahlen steht, die in einem
bestimmten Ausmass frei wählbar sind.
Beispiele:
a ∈ N : Für a kann eine beliebige natürliche Zahl eingesetzt werden
x ∈ R : Für x kann eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden
Gleiche Variablen dürfen zusammengefasst werden!
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
61
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Mathematischer Ausdruck (Term)
Eine Zahl, eine Variable oder eine sinnvolle Zusammensetzung von Zahlen
und Variablen mit Operationszeichen und Klammern wird als Term bezeichnet. Beispiele für Terme sind: 5 ,
y,
a+b,
4x − 3 ⋅ (y + 2z)
Die folgenden Ausdrücke sind keine Terme:
a − : 3 (zwei Operationszeichen dürfen nicht nebeneinander stehen)
3b − ) 5 ⋅ (x + y) (Eine Klammer muss zuerst geöffnet werden, bevor sie
geschlossen wird)
3x − 7 = 20 (Gleichung, zwei Terme werden gleich gesetzt)
Wert eines Terms
Ein Term mit der Variablen x wird mit T(x) bezeichnet. Setzen wir für die
Variable eine Zahl ein, kann der Wert des Terms berechnet werden.
Beispiel:
T ( x ) = x 2 − 2x + 1
;
T ( 5 ) = 52 − 2 ⋅ 5 + 1 = 16
Vorzeichen, Operationszeichen
Zahlen mit Vorzeichen werden zweckmässig in Klammern eingeschlossen.
( − 3 ) , ( − 5x )
,
( + 3y )
Das + als Vorzeichen wird in der Regel weggelassen: ( + 3y ) = 3y
Wir unterscheiden Vorzeichen (VZ) und Operationszeichen (OZ):
2x +
3y −
(−
5x −
y)
OZ
OZ VZ
OZ
Ein Operationszeichen steht immer zwischen zwei Termen, d.h. es verknüpft
zwei Terme. (Ist 5 − −3 ein Term? Begründe!)
62
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Klammern, Addition und Subtraktion bei Termen
DialogMathe
2.1.1 Klammerregeln
Auflösen von Plusklammern
Klammern vor denen ein Pluszeichen steht, können weggelassen werden.
Vorzeichen und Operationszeichen bleiben.
6a + (5b − 2a) = 6a + 5b − 2a = 4a + 5b
4x + ( − 7x + 15y) = 4x − 7x + 15y = −3x + 15y
Auflösen von Minusklammern („heisse Klammer“!!!!)
Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht, werden aufgelöst, indem
wir innerhalb der Klammer alle Pluszeichen gegen Minuszeichen und alle
Minuszeichen durch Pluszeichen austauschen.
6a − (5b − 2a) = 6a − 5b + 2a = 8a − 5b
4x − ( − 7x + 15y) = 4x + 7x − 15y = 11x − 15y
Geschachtelte Klammerausdrücke
Geschachtelte Klammern werden von Innen nach Aussen aufgelöst.
Beispiel
Zum Vereinfachen eines geschachtelten Klammerausdruckes gibt es zwei verschiedene Vorgehensweisen:
1. Strategie: Zuerst alle Klammern auflösen, dann gleichartige Terme zusammenfassen (Beim Zusammenfassen berücksichtigte Terme abhacken)
2. Strategie: Nach auflösen der inneren Klammern, Terme zusammenfassen)
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
63
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Beispiel: 5x − { y − [ z − ( 4x − 5y ) + x ] − 2z } − ( 4y + 4z )
1. Strategie
5x − { y − [ z − ( 4x − 5y ) + x ] − 2z } − ( 4y + 4z )
= 5x − { y − [ z − 4x + 5y + x ] − 2z } − 4y − 4z
= 5x − { y − z + 4x − 5y − x − 2z } − 4y − 4z
= 5x − y + z − 4x + 5y + x + 2z − 4y − 4z = 2x − z
2. Strategie
5x − { y − [ z − ( 4x − 5y ) + x ] − 2z } − ( 4y + 4z )
= 5x − { y − [ z − 4x + 5y + x ] − 2z } − 4y − 4z
= 5x − { y − [ z − 3x + 5y ] − 2z } − 4y − 4z
= 5x − { y − z + 3x − 5y − 2z } − 4y − 4z
= 5x − { −3z + 3x − 4y } − 4y − 4z
= 5x + 3z − 3x + 4y − 4y − 4z = 2x − z
2.1.2 Übungen: Klammerausdrücke vereinfachen
Übung 1: Vereinfache folgende Terme so weit wie möglich.
64
a)
10a + ( 4a + 6a )
b)
5x + ( y − 2x )
c)
( 6x − 4y ) − ( 3x − 2y )
d)
4x + [ −2y − ( 3x − y ) ]
e)
u − { ( 2u − 5v ) − [ ( 5u − v ) − ( −3u + v ) ]}
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Klammern, Addition und Subtraktion bei Termen
DialogMathe
f)
3x − { y − [ z − ( 4x − 5y ) + x ] − 2z } − ( 4y + 3z )
g)
( − { [ − ( 22 − 7a ) + 13 − 2a ] − ( 14 + 5a ) + 17 } ) + 13a
h)
29x − {15z − [ 11x + 23y − ( 17x + 5y − 38z ) − ( 13z + 18y − 23x ) − 46x ]}
i)
−5a − [ − ( 3a − 5b ) − ( −3b ) ] − [ −6a + 7b − c + 4a ]
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65
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
k)
DialogMathe
( x − y ) + { z − [ 2x − 3y + ( 2z − 3x ) + p ] − y }
Lösungen: Übung 1
a) 20a
b) 3x + y
g) 6 + 13a
f) 0
c) 3x − 2y
d) x − y
e) 7u + 3v
h) 10z
i) c − 15b
j) 2x + y − z − p
Übung 2: Vorzeichen und Operationszeichen
Vereinfache den Ausdruck. Kennzeichne dann in deinem Lösungsweg alle
Vorzeichen mit grüner alle Operationszeichen mit roter Farbe.
−3x + { − [ − ( 4y + x ) + ( 3y − 5x ) ] + ( −10y ) } − ( −7x − 2y )
Lösungen: Übung 2
  
 
 

 
−
3x +
−
−
 4y +
x +
 3y −
5x   +
 −
10y   −
 −
7x −
2y 
  OZ  VZ OZ 
  OZ  VZ
VZ
OZ  VZ  VZ 
OZ  OZ 
OZ
 


= −
3x +
−
−
4y −
x+
3y −
5x  −
10y  +
7x +
2y
 OZ
 OZ OZ
VZ
OZ  VZ  VZ
OZ OZ
OZ


= −
3x +
 4y +
x−
3y +
5x −
10y  +
7x +
2y
 OZ OZ
VZ
OZ 
OZ OZ
OZ
OZ
= −
3x +
4y +
x−
3y +
5x −
10y +
7x +
2y = 10x −
7y
VZ
66
OZ
OZ
OZ
OZ
OZ
OZ
OZ
OZ
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Ausmultiplizieren von Klammern
DialogMathe
2.2 Ausmultiplizieren von Klammern
Unterscheide beim Ausmultiplizieren!
Summe (Distributivgesetz)
Produkt (Assoziativgesetz)
2 ⋅ (a + b) =
2 ⋅ (a ⋅ b) =
2.2.1 Produkt einer Zahl mit einer Summe
Distributivgesetz
a ⋅ ( b + c ) = ab + ac
Beide Summanden werden mit dem Faktor multipliziert.
Der Faktor kann auch hinter der Klammer stehen! (Kommutativgesetz)
( b + c ) ⋅ a = ba + ca = ab + ac
Interpretation des Distributivgesetzes
Auf der linken Seite steht ein Produkt auf der rechten Seite eine Summe.
Das Umwandeln einer Summe in ein Produkt ist eine wichtige Grundaufgabe.
Das Faktorisieren einer Summe werden wir im Kap. 2.3 behandeln.
Im Beispiel oben kann aus der Summe 6k + 4p der gemeinsame Faktor 2 ausgeklammert werden: 2 ⋅ ( 3k + 2p ) .
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67
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.2.2 Übungen Ausmultiplizieren
Löse die Klammern auf und fasse zusammen!
68
(
)
a)
3 a ⋅ 31 b ⋅ 2u
b)
2u ( −6v ) − 5u ( −3v ) − ( −2u ) ( −4v )
c)
2 [ ( x − 2y ) ⋅ ( a + 3b ) ]
d)
2x ( 4y − 3 ) − 3 [ 4 ( 5y − x ) − 5 ( 3x + 2y ) ] − 5xy
e)
2 ( 2a − b ) − { 2b ( 3a − 2b ) − a [ ( 4a − b ) − 2 ( 2a + b ) ] − 3ab }
Lösungen
a) 2abu b) −5uv
c) 2ax + 6bx − 4ay − 12by
d) 51x − 30y + 3xy
e) 4a − 2b − 6ab + 4b2
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Ausmultiplizieren von Klammern
DialogMathe
2.2.3 Produkt von Summen
( a + b ) ⋅ ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Begründung:
Substitution (Ersetzung): u = a + b
u ⋅ ( c + d ) = uc + ud
Wir ersetzen u wieder durch die Summe.
uc + ud = ( a + b ) ⋅ c + ( a + b ) ⋅ d = ac + bc + ad + bd
Interpretation Multiplikation von Summen
Wie gross ist der Flächeninhalt des gesamten Rechtecks?
Interpretation Multiplikation von Differenzen
Wie gross ist der Flächeninhalt des linken oberen Rechtecks?
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69
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.2.4 Spezialfälle Binome
Binomische Formeln
Spezielle Binome (Binom = zweigliedrige Summe)
1. Summe mal Summe
2. Differenz mal Differenz
3. Summe mal Differenz
Struktur
Lerne nicht die Formeln auswendig, sondern präge dir die Struktur ein!
Diese kann benutzt werden, um schnell und sicher auszumultiplizieren.
Beispiel: ( 5A + 3B )2 = ( 5A )2 + 2 ⋅ 5A ⋅ 3B + ( 3B )2 = 25A 2 + 30AB + 9B2
Beispiel: ( 5A − 3B )2 = ( 5A )2 − 2 ⋅ 5A ⋅ 3B + ( 3B )2 = 25A 2 − 30AB + 9B 2
Die Differenz kann als Summe geschrieben werden.
( 5A − 3B )2 = ( 5A + [ −3B ] )2 = ( 5A )2 + 2 ⋅ 5A ⋅ ( −3B ) + ( −3B )2 = 25A 2 − 30AB + 9B 2
Beispiel: ( 5A + 3B ) ⋅ ( 5A − 3B ) = ( 5A )2 − ( 3B )2 = 25A 2 − 9B2
70
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Ausmultiplizieren von Klammern
DialogMathe
Übung 1: Struktur der binomischen Formeln
Ergänze die leeren Stellen unter Benutzung der binomischen Strukturen!
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Aufgabe 9
Aufgabe 10
(
)
3x +
)
2
(
− 4
(
+
)
(
−
(
2
=
=
+
+ 49
− 48y +
2
= 4x 2 + 32x +
)
2
=
+
)
2
= 36x 4 + 24x 2 +
(
−
)
2
=
(
3a +
)⋅(
−5
(
+
)⋅(
−
)=
49a 4 − 9b2
(
+
)⋅(
− 3c
)=
4d2 −
(
+ 6
)⋅(
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− 180x + 100
− 130a + 132
−
)=
)=
−
− 100p2
71
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Aufgabe 11
(
2a + 3b
)
Aufgabe 12
(
5x − 2y
)
Aufgabe 13
(
3a + b
)⋅(
Aufgabe 14
16c 2 − 40c + 100 = (
Aufgabe 15
9x 2 + 6x + 4 = (
Aufgabe 16
4a2 − 9b2 = (
Aufgabe 17
x 2 − 2x + 1 = (
Aufgabe 18
+
=
−
+
3a − b
)=
−
)
+
)⋅(
+
)
−
−
)
+
+
+
+
+
+
2
2
−
)
2
+
)
2
=
+
)
2
=
mache ein eigenes Beispiel
(
72
+
mache ein eigenes Beispiel
(
Aufgabe 20
2
=
mache ein eigenes Beispiel
(
Aufgabe 19
2
+
)
2
=
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Ausmultiplizieren von Klammern
DialogMathe
Übung 2: Multipliziere aus unter Verwendung der binomischen Formeln
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
( u + v )2 =
( c − d )2 =
( x + y )( x − y ) =
( 2a + d )2 =
( a − 3d )2 =
( 2a + 5b )( 2a − 5b ) =
Aufgabe 7
( 3a − 2b )2 =
Aufgabe 8
( 5x + 3y )2 =
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73
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.2.5 Geometrische Interpretation der binomischen Formeln
Wie gross ist der Flächeninhalt eines Quadrates, wenn wir die ursprüngliche
Seitenlänge a um b verlängern?
Wie gross ist der Flächeninhalt eines Quadrates, wenn wir die ursprüngliche
Seitenlänge a um b verkürzen?
74
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Ausmultiplizieren von Klammern
DialogMathe
Wie gross ist der Flächeninhalt eines Quadrates, wenn wir die ursprüngliche
Seitenlänge a in der einen Richtung um b verlängern und in der anderen
Richtung um b verkürzen?
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75
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.3 Faktorisieren
Das Umwandeln einer Summe in ein Produkt ist eine wichtige Grundaufgabe
und wird immer wieder vorkommen.
Nenne einige Aufgaben, wo das Faktorisieren vorkommt. (Kürzen, kgV,…..)
2.3.1 Gemeinsame Faktoren ausklammern
Haben alle Summanden einen gemeinsamen Faktor, so kann dieser ausgeklammert werden. Durch das Ausklammern eines gemeinsamen Faktors wird
aus der Summe ein Produkt.
Beispiele
1) 3ax + 12ay + 6az = 3a ⋅ ( x + 4y + 2z )
2) ( a + b ) ⋅ ( x + y ) − ( a + b ) ⋅ u = ( a + b ) ⋅ ( x + y − u )
3)
( a + 1) ⋅ b − a − 1 = ( a + 1) ⋅ b − ( a + 1) = ( a + 1) ⋅ ( b − 1)
Übungen gemeinsame Faktoren ausklammern
Aufgabe 1
a ⋅ x2 ⋅ y − a ⋅ b ⋅ x3 =
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
76
x ⋅ ( c − d) − c + d =
( x + y )( x − y ) + x + y =
m ⋅ ( a − b ) + n( b − a ) =
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Faktorisieren
DialogMathe
2.3.2 Stufenweises Ausklammern
Haben nicht alle Summanden einen gemeinsamen Faktor, so können wir versuchen in Teilsummen gemeinsame Faktoren auszuklammern. Entsteht dadurch eine Summe mit gemeinsamen Faktoren, so können wir in einem zweiten Schritt die Summe faktorisieren.
Beispiele
4) ax + ay + bx + by = a ⋅ ( x + y ) + b ⋅ ( x + y ) = ( x + y ) ⋅ ( a + b )
5) xc − c − x + 1 = c ⋅ ( x − 1) − ( x − 1) = ( x − 1) ⋅ ( c − 1)
6)
a + b − ca − cb = ( a + b ) − c ⋅ ( a + b ) = ( a + b ) ⋅ ( 1 − c )
Übungen stufenweises Ausklammern
Aufgabe 5
ac − ad + bc − bd =
Aufgabe 6
ab − ac − b + c =
Aufgabe 7
2x3 − 3x 2 + 10x − 15 =
Aufgabe 8
10abc + 20bc − 2a − 4 =
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77
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.3.3 Spezielle Strukturen, Binome
Binom: Summe im Quadrat
( a + b )2 = a 2 + 2a ⋅ b + b 2
Beispiele
7) 9x 2 + 6xy + y 2 = ( 3x )2 + 2 ⋅ 3x ⋅ y + y 2 = ( 3x + y )2
Erster Summand 3x im Quadrat ( 3x )2 , zweiter Summand y im Quadrat y 2
Beachte das Doppelprodukt: 6xy = 2 ⋅ 3x ⋅ y
Umkehrung (schnelles ausmultiplizieren)
8) ( 4a + 5b )2 = ( 4a )2 + 2 ⋅ 4a ⋅ 5b + ( 5b )2 = 16a 2 + 40ab + 25b 2
Binom: Differenz im Quadrat
( a − b )2 = a2 − 2a ⋅ b + b 2
Beispiel
9)
x 2 − 4xy + 4y 2 = x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 2y + ( 2y ) = ( x − 2y )
2
2
Beachte das negative Doppelprodukt: 4xy = 2 ⋅ x ⋅ 2y
Binom: Differenz von zwei Quadratzahlen
( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a2 − b2
Beispiele
10)
9a2 − b2 = ( 3a ) − b 2 = ( 3a + b ) ⋅ ( 3a − b )
2
11) 16 − x 2 = ( 4 + x ) ⋅ ( 4 − x )
Übungen Binomstrukturen
Aufgabe 9
4a2 + 24ab + 36b2 =
Aufgabe 10
Aufgabe 11
Aufgabe 12
78
9a2 − 6ab + b2 =
9c 2 + 30cd + 25d2 =
− a2 + 10ab − 25b2 =
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Faktorisieren
DialogMathe
Aufgabe 13
Aufgabe 14
Aufgabe 15
Aufgabe 16
x − x3 =
8m2 − 98n2 =
h4 − 16 =
( a − 2 ) 2 − ( a + 1 )2 =
2.3.4 Spezielle Strukturen, Vieta
Vieta Struktur
Ausmultiplizieren: ( x + a ) ⋅ ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) ⋅ x + a ⋅ b
Faktorisieren:
x2 + B ⋅ x + A = ( x + a ) ⋅ ( x + b )
Wir suchen die beiden Summanden a und b so dass:
A = a ⋅ b und B = a + b
Beispiele
12) a2 + 6a + 8 = ( a + 2 ) ⋅ ( a + 4 )
8 = 2⋅4 ;
6 =2+4
13) a2 − 7a + 12 = ( a − 3 ) ⋅ ( a − 4 )
( −3 ) ⋅ ( −4 ) = 12 ; − 3 − 4 = −7
14) a2 − 2a − 15 = ( a + 3 ) ⋅ ( a − 5 )
3 ⋅ ( −5 ) = −15 ; 3 + ( −5 ) = −2
15) a2 + 3a − 28 = ( a − 4 ) ⋅ ( a + 7 )
( −4 ) ⋅ 7 = −28 ; ( −4 ) + 7 = 3
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79
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Übungen Vietastruktur
Aufgabe 1
x 2 + 8x + 15 =
Aufgabe 2
a2 − a − 12 =
Aufgabe 3
r 2 − 15r + 54 =
Aufgabe 4
b2 + 3b − 28 =
Aufgabe 5
h2 + 24h + 135 =
Aufgabe 6
v 2 − 12v + 36 =
Aufgabe 7
a2 − 4a − 77 =
Aufgabe 8
x 2 − 7x + 6 =
Aufgabe 9
x2 + x − 6 =
80
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Faktorisieren
DialogMathe
2.3.5 Divisionsalgorithmus
Divisionsverfahren: Wie dividieren wir zwei Zahlen?
: 5 = 548
2743
25
243
20
43
40
3 Rest
Kennen (oder vermuten) wir einen Faktor, so lässt sich dieser durch Division
abspalten. Wenn der Faktor im Ausdruck enthalten ist, so verläuft die Division ohne Rest, andernfalls gibt es einen Rest. Siehe Kap. 2.5
( x 3 − 1) : ( x − 1) = x 2 + x + 1
x3 − x 2
x2 − 1
x2 − x
x −1
x −1
0
Daraus folgt: x 3 − 1 = ( x − 1 ) ⋅ ( x 2 + x + 1 )
Einsatz des Rechners
Bruch kürzen: Gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner streichen!
Strategie: Zähler und Nenner faktoriseren.
2
x 3 − 1 ( x − 1) ⋅ ( x + x + 1) x 2 + x + 1
=
=
= x2 + x + 1
x −1
1
x −1
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81
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.3.6 Verschachtelte Strukturen
Beispiele
1) x 4 − x 2 = x 2 ⋅ ( x 2 − 1 ) = x 2 ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 1 )
oder
x 4 − x 2 = ( x 2 ) − x 2 = ( x 2 + x ) ⋅ ( x 2 − x ) = x ⋅ ( x + 1) ⋅ x ⋅ ( x − 1)
2
2) a2 − b2 + a + b = ( a + b ) ⋅ ( a − b ) + ( a + b ) = ( a + b ) ⋅ ( a − b + 1)
3) a2 − 2ab + b 2 − c 2 = ( a − b )2 − c 2 = ( a − b + c ) ⋅ ( a − b − c )
4) 1 − u2 + 2uv − v 2 = 1 − ( u2 − 2uv + v 2 ) = 1 − ( u − v )2
= (1+ u − v ) ⋅ (1− u + v )
5) x 2 − 2xy + y 2 − u2 − 2uv − v 2 = ( x − y )2 − ( u + v )2
= (x − y +u+ v)⋅(x − y −u− v)
6) a4 − b4 = ( a2 ) − ( b2 ) = ( a2 + b2 )( a2 − b2 )
2
2
= ( a2 + b2 ) ( a + b ) ( a − b )
Übungen verschachtelte Strukturen
Aufgabe 1
ax + a + x 2 − 1 =
Aufgabe 2
x 2 − 6x + 9 − y 2 =
Aufgabe 3
a2 − b2 − 2bc − c 2 =
Aufgabe 4
a2 + 2ae + e2 − b2 =
82
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Faktorisieren
DialogMathe
2.3.7 Nenner wurzelfrei machen
Strategie: Bruch so erweitern, dass Nenner wurzelfrei wird.
Beispiele
a
a⋅ 2 a⋅ 2
2
=
=
=
⋅a
2
2
2
2 ( 2)
Ausnützen der Binomstruktur!
a
=
a+ b
(
a⋅( a − b)
a + b)⋅( a − b)
=
a⋅( a − b)
a−b
2.3.8 Der Produkt Null – Satz
Ein Produkt a ⋅ b ist genau dann gleich null, wenn wenigstens einer der
Faktoren null ist.
a⋅b = 0
→
a=0
oder
b=0
Anwendungen
Für welche Werte x hat das Produkt
( x 4 − x 2 ) ⋅ ( 3x 2 + 6x − 24 )( 9x 2 + 12x + 4 ) den Wert Null?
( x 4 − x 2 ) ⋅ ( 3x 2 + 6x − 24 )( 9x 2 + 12x + 4 ) = 0
Faktoren Null setzen!
( x 4 − x 2 ) = 0 und ( 3x 2 + 6x − 24 ) = 0 und ( 9x 2 + 12x + 4 ) = 0
Faktoren weiter faktorisieren!
x 4 − x 2 = x 2 ⋅ ( x 2 − 1) = x 2 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) = 0
x 2 = 0 → x1 = 0
( x − 1) = 0 → x 2 = 1
( x + 1) = 0 → x 3 = −1
3x 2 + 6x − 24 = 3 ⋅ ( x 2 + 2x − 8 ) = 3 ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x + 4 ) = 0
( x − 2 ) = 0 → x4 = 2
( x + 4 ) = 0 → x 5 = −4
9x 2 + 12x + 4 = ( 3x + 2 ) = 0
2
3x + 2 = 0
→
x6 = −
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
2
3
83
Algebra -Training: Rechnen
en mit Termen
DialogMathe
2.3.9 Algebra – Memo 1: Faktorisieren
Fa
Algebra – Memo 1
Faktorisieren, Umwandeln einer Summe in ein Produkt
Check – Liste: Faktorisieren
Zerlegen einer Summe in Faktoren Summe
↔
Produkt
Musst du eine Summe in ein Produkt verwandeln, so sollst
du die folgenden Punkte
P
der Reihe nach überprüfen. A, B,
C, D, X und Y sind Platzhalter für beliebige Ausdrücke.
Ausdrücke
Umkehrung: Die Punkte 3 bis 6 können von rechts nach
links verwendet werden,
wer
um schnell und sicher auszumultiplizieren!
multiplizieren!
1. Gemeinsame Faktoren ausklammern
A ⋅ X + B ⋅ X + C ⋅ X + D ⋅ X = X ⋅ ( A + B + C + D)
2. Stufenweises Ausklammern
Kein
ein gemeinsamer Faktor in allen Summanden vorhanden.
vorhanden. Klammere geg
meinsame Faktoren in Teilsummen aus! Wenn so eine Summe mit gemeinsagemeins
men Faktoren entsteht, kannst du nach Punkt 1. in ein Produkt verwandeln.
WICHTIG: Die
ie Anzahl Summanden muss gerade sein (4, 6,8, usw.) oder eine
ungerade Quadratzahl (9,25, usw)
A ⋅ X + B ⋅ X + A ⋅ Y + B ⋅ Y = X ⋅ ( A + B) + Y ⋅ ( A + B) = ( A + B) ⋅( X + Y)
Spezielle Summen (spezielle Strukturen ausnützen)
3. Binomstruktur: A 2 + 2 ⋅ A ⋅ B + B 2 = ( A + B )2
Zwei Ausdrücke A und B im Quadrat
und das positive Doppelprodukt von A und B.
B
4. Binomstruktur: A 2 − 2 ⋅ A ⋅ B + B2 = ( A − B )2 Zwei Ausdrücke A und B im Quadrat
und das negative Doppelprodukt von A und B.
B
5. Binomstruktur A 2 − B 2 = ( A + B ) ⋅ ( A − B ) Differenz
nz von zwei Quadrat – Ausdrücken.
6. Vieta Struktur
X 2 + ( A + B ) ⋅ X + A ⋅ B = ( X + A ) ⋅ ( X + B ) Bei x 2 steht der Koeffi-
zient 1, bei x die Summe von A und B und ohne x das Produkt von A und B.
7. Faktor erraten und Division ausführen
Oftmals lassen sich Faktoren erraten z.B. beim Kürzen (vorhandene Faktoren
im Nenner oder Zähler)
84
Lerneinheit 1.1
.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Faktorisieren
DialogMathe
2.3.10 Übungen Faktorisieren
Verwandle die folgenden Ausdrücke in ein Produkt.
Aufgabe 1
xy 2 + 2xy + x =
Aufgabe 2
x(a − b) − a + b =
Aufgabe 3
a2 c − 2abc + b 2c =
Aufgabe 4
ax − a − 2 + 2x =
Aufgabe 5
a 2 + ac − b 2 − bc =
Aufgabe 6
ay 2 + 2ay + a =
Aufgabe 7
x 2 − 10x + 9 =
Aufgabe 8
3ab2 − 9ab + 6a =
Aufgabe 9
2x 2 y − 4xy 2 − 5xz + 10yz =
Aufgabe 10
a2 + 10a + 16
=
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
85
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
Aufgabe 11
Aufgabe 12
Aufgabe 13
Aufgabe 14
Aufgabe 15
Aufgabe 16
Aufgabe 17
Aufgabe 18
Aufgabe 19
Aufgabe 20
86
x(a − b) − y ( b − a )
DialogMathe
=
a 2b − 2ab + b =
xy − 2y + ax − 2a =
( x + a )2 − ( y + b )2 =
ay − ax − y 2 + x 2 =
a2 + 2ab + b2 − c 2 =
x 2 + x − 42 =
5a3 − 40a 2 + 75a =
a2 − b2 − 2bc − c 2 =
a2 − b 2 − a − b =
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Faktorisieren
DialogMathe
Lösungen Übungen: Verwandle die folgenden Ausdrücke in ein Produkt.
In den nachfolgenden Lösungen wird nach der Check-Liste vorgegangen und
es werden die Strukturen der Terme interpretiert.
Aufgabe 1
xy2 + 2xy + x = x ⋅ ( y2 + 2y + 1) = x ⋅ ( y + 1)
2
1. Gemeinsamer Faktor x ausklammern. Zurück bleibt
2. Binomstruktur: zwei Quadratzahlen y 2 und 1 sowie das Doppelprodukt
2 ⋅ y ⋅ 1 = 2y
Aufgabe 2
x(a − b) − a + b = x ( a − b ) − ( a − b ) = ( a − b ) ⋅ ( x − 1 )
1. Klammer setzen (Achtung „heisse Klammer“ Minuszeichen vor der
Klammer, ändert Operationszeichen + zu -.
2. Gemeinsamer Faktor ( a − b ) ausklammern, zurück bleibt ( x − 1)
Aufgabe 3
a2c − 2abc + b2c = c ⋅ ( a2 − 2ab + b2 ) = c ⋅ ( a − b )
2
1. Gemeinsamer Faktor c ausklammern. Zurück bleibt
2. Binomstruktur: zwei Quadratzahlen a 2 und b 2 sowie das negative
Doppelprodukt −2 ⋅ a ⋅ b = −2ab
Aufgabe 4
ax − a − 2 + 2x = a ( x − 1) − 2 ( 1 − x ) = a ( x − 1) − 2 ⋅ ( −1)( x − 1)
= a ( x − 1) + 2 ( x − 1) = ( x − 1) ⋅ ( a + 2 )
1. Stufenweises ausklammern: Faktor a bei den ersten beiden Summenden
[es entsteht der Faktor ( x − 1) ] und Faktor 2 bei den anderen beiden
Summanden [es entsteht der Faktor ( 1 − x ) ], ( 1 − x ) ist Gegenzahl des
Faktors ( x − 1) .
2. Beim Faktor ( 1 − x ) den Faktor ( −1) ausklammern ( −1) ⋅ ( x − 1) und den
3. Faktor ( −1) mit dem Operationszeichen Minus verrechnen: ergibt Plus!
4. Nun haben wir einen gemeinsamen Faktor ( x − 1) , den wir ausklammern
können. Zurück bleibt ( a + 2 )
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87
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
Aufgabe 5
DialogMathe
a2 + ac − b 2 − bc = a ⋅ ( a + c ) − b ⋅ ( b + c )
Stufenweises Ausklammern ergibt keine gemeinsamen Faktoren!
Term umordnen!
a2 − b2 + ac − bc = ( a + b ) ⋅ ( a − b ) + c ⋅ ( a − b ) = ( a − b ) ⋅ ( a + b + c )
1.
a 2 − b 2 ist ein Binom, die anderen beiden Summanden haben den
gemeinsamen Faktor c.
2. Zerlegen wir das Binom a 2 − b 2 = ( a + b ) ⋅ ( a − b ) , so erhalten wir
einen gemeinsamen Faktor ( a − b ) , den wir ausklammern können.
Zurück bleibt aus dem ersten Summanden ( a + b ) und aus dem zweiten
Summanden c, also der Faktor ( a + b + c )
Aufgabe 6
ay2 + 2ay + a
= a ⋅ ( y2 + 2y + 1) = a ⋅ ( y + 1)
2
1. Gemeinsamer Faktor a ausklammern. Zurück bleibt
2. Binomstruktur: zwei Quadratzahlen y 2 und 1 sowie das Doppelprodukt
2 ⋅ y ⋅ 1 = 2y
Aufgabe 7
x2 − 10x + 9 = ( x − 1) ⋅ ( x − 9 )
1. Keine Binomstruktur. Es sind zwar zwei Quadratzahlen x 2 und 9 vorhanden, diese ergeben aber das Doppelprodukt 2 ⋅ x ⋅ 3 = 6x
2. Vietastruktur: ( x + a ) ⋅ ( x + b ) , wobei a ⋅ b = 9 und a + b = −10 sein muss.
Rezept: 9 in Faktoren zerlegen: 1 ⋅ 9 und 1 + 9 = 10, wobei die beiden
Zahlen negativ sein müssen, also ( −1) und ( −9 )
Aufgabe 8
3ab2 − 9ab + 6a = 3a ⋅ ( b2 − 3b + 2 ) = 3a ⋅ ( b − 1) ⋅ ( b − 2 )
1. Gemeinsamer Faktor 3a ausklammern. Zurück bleibt
2. Vietastruktur ( x + a ) ⋅ ( x + b ) , wobei a ⋅ b = 2 und a + b = −3 sein muss.
a = −1 , b = − 2
Aufgabe 9
2x 2 y − 4xy 2 − 5xz + 10yz = 2xy ⋅ ( x − 2y ) − 5z ⋅ ( x − 2y )
= ( x − 2y ) ⋅ ( 2xy − 5z )
88
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Faktorisieren
DialogMathe
1. Stufenweises ausklammern: Faktor 2xy bei den ersten beiden Summenden
und Faktor 5z bei den anderen beiden Summanden
2. Nun haben wir einen gemeinsamen Faktor ( x − 2y ) , den wir ausklammern können. Zurück bleibt ( 2xy − 5z )
Aufgabe 10
a2 + 10a + 16 = ( a + 2 ) ⋅ ( a + 8 )
1. Keine Binomstruktur. Es sind zwar zwei Quadratzahlen a 2 und 16 vorhanden, diese ergeben aber das Doppelprodukt 2 ⋅ a ⋅ 4 = 8a
2. Vietastruktur: ( x + a ) ⋅ ( x + b ) , wobei a ⋅ b = 16 und a + b = 10 sein muss.
Rezept: 16 in Faktoren zerlegen: 2 ⋅ 8 und 2 + 8 = 16.
Aufgabe 11
x(a − b) − y ( b − a ) = x(a − b) − y ⋅ ( −1) ⋅ ( a − b )
= x ⋅ (a − b) + y ⋅ ( a − b ) = ( a − b ) ⋅ ( x + y )
1. Der Faktor ( b − a ) ist die Gegenzahl von ( a − b )
2. Beim Faktor ( b − a ) den Faktor ( −1) ausklammern ( −1) ⋅ ( a − b ) .
3. Den Faktor ( −1) mit dem Operationszeichen (–) verrechnen: ergibt (+)
4. Nun haben wir einen gemeinsamen Faktor ( a − b ) , den wir ausklammern
können. Zurück bleibt ( x + y )
Aufgabe 12
a2b − 2ab + b = b ⋅ ( a2 − 2a + 1) = b ⋅ ( a − 1)
2
1. Gemeinsamer Faktor b ausklammern. Zurück bleibt
2. Binomstruktur: zwei Quadratzahlen a 2 und 1 sowie das negative
Doppelprodukt −2 ⋅ a ⋅ 1 = −2a
Aufgabe 13
xy − 2y + ax − 2a = y ⋅ ( x − 2 ) + a ⋅ ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ⋅ ( y + a )
1. Stufenweises ausklammern: Faktor y bei den ersten beiden Summenden
und Faktor a bei den anderen beiden Summanden
2. Nun haben wir einen gemeinsamen Faktor ( x − 2 ) , den wir ausklammern
können. Zurück bleibt ( y + a )
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89
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
Aufgabe 14
DialogMathe
( x + a ) 2 − ( y + b )2 = ( [ x + a ] + [ y + b ] ) ⋅ ( [ x + a ] − [ y + b ] )
= (x + a + y + b)⋅(x + a − y −b)
1. Binomstruktur: Differenz von zwei Quadratzahlen: A = x + a , B = y + b
2.
Aufgabe 15
A 2 − B2 = ( A + B ) ⋅ ( A − B )
ay − ax − y 2 + x 2 = a ⋅ ( y − x ) − ( y 2 − x 2 ) = a ⋅ ( y − x ) − ( y + x ) ⋅ ( y − x )
= ( y − x ) ⋅ (a − [ y + x ]) = ( y − x ) ⋅ (a − y − x )
1. Stufenweises ausklammern: Faktor a bei den ersten beiden Summenden
und bei den anderen beiden Summanden eine Klammer setzen, es entsteht
eine Binomstruktur ( y 2 − x 2 ) = ( y + x ) ⋅ ( y − x )
2. Nun haben wir einen gemeinsamen Faktor ( y − x ) , den wir ausklammern
können. Zurück bleibt ( a − [ y + x ] )
Aufgabe 16
a2 + 2ab + b 2 − c 2 = ( a + b ) − c 2 = ( [ a + b ] + c ) ⋅ ( [ a + b ] − c )
2
= (a + b + c )⋅(a + b − c )
1. Verschachtelte Binomstrukturen: die ersten drei Summanden sind ein
Binom: a 2 + 2ab + b2 = ( a + b )2
2. Es entsteht eine neue Binomstruktur: Differenz von zwei Quadratzahlen.
A = a + b , B = c ; A 2 − B2 = ( A + B ) ⋅ ( A − B )
Aufgabe 17
x 2 + x − 42 = ( x + 7 ) ⋅ ( x − 6 )
Vietastruktur: ( x + a ) ⋅ ( x + b ) , wobei a ⋅ b = −42 und a + b = 1 sein muss.
a = 7 , b = −6
Aufgabe 18
5a3 − 40a2 + 75a = 5a ⋅ ( a2 − 8a + 15 ) = 5a ⋅ ( a − 3 ) ⋅ ( a − 5 )
1. Gemeinsamer Faktor 5a ausklammern. Zurück bleibt
2. Vietastruktur ( x + a ) ⋅ ( x + b ) , wobei a ⋅ b = 15 und a + b = −8 sein muss.
a = −3 , b = − 5
Aufgabe 19
90
a2 − b 2 − 2bc − c 2 = a2 − b 2 − c ⋅ ( 2b + c ) = ( a + b ) ⋅ ( a − b ) − c ⋅ ( 2b + c )
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Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
1. Die ersten beiden Summanden zusammennehmen: Binomstruktur. Bei
den anderen beiden Summanden den Faktor c ausklammern. Zurück
bleibt ( 2b + c )
2. Es entsteht eine Differenz. Wir haben keine gemeinsame Faktoren und
keine spezielle Struktur. Der Ausdruck kann so nicht faktorisiert werden.
Wir müssen den Ausdruck anders interpretieren!
a2 − b2 − 2bc − c 2 = a2 − ( b2 + 2bc + c 2 ) = a2 − ( b + c )
2
= ( a + [b + c ]) ⋅ ( a − [b + c ]) = ( a + b + c ) ⋅ ( a − b − c )
1. Verschachtelte Binomstrukturen: Die drei letzten Summanden durch eine
Klammer zu einem Binom zusammennehmen. Es entsteht ein weiteres
Binom.
2. Differenz von zwei Quadratzahlen: A = a , B = b + c ;
A 2 − B2 = ( A + B ) ⋅ ( A − B )
Aufgabe 20
a2 − b 2 − a − b =  a 2 − b2  − ( a + b ) = ( a + b ) ⋅ ( a − b ) − ( a + b )
= ( a + b ) ⋅ ( a − b − 1)
1. Die ersten beiden Summanden zusammennehmen: Binomstruktur
Differenz von zwei Quadratzahlen faktorisieren. Bei den anderen beiden
Summanden eine Klammer setzen.
2. Es entsteht ein gemeinsamer Faktor ( a + b ) , den wir ausklammern
können. Zurück bleibt ( [ a − b ] − 1)
2.4 Rechnen mit Bruchtermen
Terme der Form
Z
heissen Bruchterme, wobei Z und N selbst wieder Terme
N
sind. Das Rechnen mit Bruchtermen (Erweitern, Kürzen, Addieren und Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren) erfolgt nach denselben Regeln wie
das Rechnen mit Zahlenbrüchen.
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91
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Übersicht
Kürzen und Erweitern
Hat der Zähler und der Nenner einen gemeinsamen Faktor F, so kann dieser
gekürzt (weggestrichen) werden.
Z ⋅F Z ⋅ F Z
=
=
N⋅F N⋅ F N
Umgekehrt darf ein Bruch erweitert werden, d.h. im Zähler und Nenner mit
dem gleichen Faktor multipliziert werden.
Z Z ⋅F
=
N N⋅F
Addition von gleichnamigen Brüchen
Zähler addieren
Z1
Z2
Z + Z2
+
= 1
N
N
N
Addition von ungleichnamigen Brüchen
Strategie: Brüche gleichnamig machen
Z1
Z2
Z ⋅N
+
= 1 2
N1
N2
N1 ⋅ N2
+
Z2 ⋅ N1
Z ⋅ N + Z2 ⋅ N1
= 1 2
N1 ⋅ N2
N1 ⋅ N2
Multiplizieren von ungleichnamigen Brüchen
Multiplikation: Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren
Z1 Z2
Z ⋅Z
⋅
= 1 2
N1 N2
N1 ⋅ N2
Division: Strategie: Mit dem Kehrwert multiplizieren.
Z1 Z2
Z
N
Z ⋅N
:
= 1 ⋅ 2 = 1 2
N1 N2
N1 Z2
N1 ⋅ Z 2
2.4.1 Beispiele Kürzen eines Bruchterme
Merke
„Über Summen kürzen nur die Dummen!“
Hat der Zähler oder der Nenner die Form einer Summe (oder Differenz), so
muss diese vor einem eventuellen Kürzen faktorisiert werden. Nur gemeinsame Faktoren des Zählers und des Nenners dürfen gekürzt werden!
Beispiele: Kürze die folgenden Brüche
92
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Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
Beispiel 1
4u v
2 ⋅ 2 ⋅u ⋅v
v
=
=
2
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ u ⋅ u 2u
8u
Am besten zerlegen wir Nenner und Zähler in
Primfaktoren. So lassen sich gemeinsame Faktoren am besten erkennen.
Beispiel 2
mx − nx x ⋅ ( m − n ) m − n
Zähler ist eine Differenz, gemeinsamer Faktor
=
=
x
x2
x2
x ausklammern und mit x 2 (2 Faktoren x) kürzen.
( −1)
Beispiel 3
y ⋅ ( x − 3)
y ⋅( x − 3)
xy − 3y
( −1) ⋅ y
y
=
=
=
=−
2z
2z
6z − 2xz 2 ⋅ z ⋅ ( 3 − x ) 2 ⋅ z ⋅ ( 3 − x )
Zähler und Nenner faktorisieren. Haben wir gemeinsame Faktoren?
Gegenzahlen können gekürzt werden, zurück bleibt aber der Faktor ( −1) .
( −1)
y ⋅ (x − 3)
Zahl
x−3
Merke:
=
= −1 ,
da x − 3 = ( −1) ⋅ ( 3 − x )
Gegenzahl 3 − x
2 ⋅ z ⋅ (3 − x)
Partnerinterview Kürzen von Gegenzahlen
Zeit: 10 Minuten
Diskutiere mit deinem Lernpartner: Kürzen von Gegenzahlen
( −1) im Zähler ausklammern, dann gemeinsame Faktoren kürzen.
y ⋅ ( −1) ⋅ ( 3 − x ) ( −1) ⋅ y
y ⋅( x − 3)
y
=
=
=−
2⋅ z ⋅(3 − x)
2z
2z
2⋅ z ⋅ (3 − x)
Den Bruch mit ( −1) erweitern, im Nenner ( −1) hinein multiplizieren, kürzen
y ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( −1) ( −1) ⋅ y
y ⋅( x − 3)
y ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( −1)
y
=
=
=
=−
2 ⋅ z ⋅ ( 3 − x ) 2 ⋅ z ⋅ ( 3 − x ) ⋅ ( −1)
2z
2z
2⋅ z ⋅ ( x − 3)
b2 − 4b + 4
(b − 2)
b−2
=
=
2
(b + 2) ⋅ (b − 2) b + 2
b −4
2
Beispiel 4
Zähler und Nenner sind Binome,
faktorisieren und den gemeinsamen Faktor b − 2 kürzen.
Beispiel 5
2a + 1
kann nicht gekürzt werden, da Zähler und Nenner keine
2a
gemeinsamen Faktoren besitzen.
1
Achtung!
2a + 1 2a 1
1
2a + 1 2a + 1
, denn
!
=
+
= 1+
≠
2a
2a 2a
2a
2a
2a
1
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93
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.4.2 Übungen Kürzen von Brüchen
Aufgabe 1
x 2 − 6x + 9
=
9 − x2
Aufgabe 2
ax − bx − ay + by
=
( a − 2ab + b2 ) ⋅ ( y − x )
Aufgabe 3
a2 − a − 12
=
a2 − 7a + 12
Aufgabe 4
ax − a − 1 + x
=
ax − a − 2 + 2x
94
2
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Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
Aufgabe 5
x 2 + 2xy + y 2 − 1
=
x 2 − 2x + 1 − y 2
Aufgabe 6
x2 + x − 6
=
x3 + 2x 2 − 5x − 6
Aufgabe 7
a2 + ac − b2 − bc
=
a2 − b2 − 2bc − c 2
2.4.3 Beispiele Addition von Bruchtermen
Beispiele: Bringe auf einen Bruchstrich!
Beispiel 1
3 3y + 1 y
−
+
2x
2x
2x
Da die Bruchterme gleichnamig sind (gleichen Nenner haben), können sie
sofort auf einen gemeinsamen Bruchstrich gebracht werden. Dabei ist jedoch
zu beachten: Ein Bruchstrich wirkt wie eine Klammer, d.h. jeder der einzelnen
Bruchstriche fasst die Summanden des Zählers wie eine Klammer zusammen.
Es sind daher die Regeln des Auflösens von Klammern anzuwenden!
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95
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
3 − ( 3y + 1) + y 3 − 3y − 1 + y
3 3y + 1 y
−
+
=
=
2x
2x
2x
2x
2x
=
Beispiel 2
2 − 2y 2 ⋅ ( 1 − y ) 1 − y
=
=
2x
x
2⋅x
2m
n
−
15ab 9a
Die Bruchterme müssen gleichnamig gemacht werden. Dies kann durch
Erweitern der Bruchterme erledigt werden, wobei der gemeinsame Nenner
möglichst klein sein soll. Dazu suchen wir das kleinste gemeinsame Vielfache
(kgV) der Nenner.
Bemerkung: Das Produkt aller Nenner ergibt immer einen gemeinsamen
Nenner, jedoch ist dieses Produkt viel zu gross !!!!
Bestimmung des kgV‘s: Alle Nenner in Primfaktoren zerlegen.
Faktorisierung der Nenner
kgV der Nenner
Erweiterungsfaktoren
15ab = 3 ⋅ 5 ⋅ a ⋅ b
9a = 32 ⋅ a
32 ⋅ 5 ⋅ a ⋅ b = 45ab
3
5b
Für das kgV schreiben wir alle auftretenden Faktoren der beiden Nenner so
oft an, wie sie am häufigsten in einer Faktorisierung vorkommen. Da der
Faktor 3 in der Zerlegung von 9a zweimal vorkommt, wird er zweimal angeschrieben. Die beiden Bruchterme werden nun auf das kgV = 45ab erweitert,
die Erweiterungsfaktoren sind 3 und 5b:
3 ⋅ 2m
5b ⋅ n
−
3
⋅
15ab
5b
⋅ 9a
45ab
45ab
Dies lässt sich abgekürzt schreiben, indem wir einen Bruch mit dem kgV als
Nenner schreiben und die Zähler mit den entsprechenden Erweiterungsfaktoren multiplizieren.
2m
n
2m
n
3 ⋅ 2m − 5b ⋅ n 6m − 5bn
−
=
− 2
=
=
15ab 9a 3 ⋅ 5 ⋅ a ⋅ b 3 ⋅ a
45ab
32 ⋅ 5 ⋅ a ⋅ b
96
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Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
Beispiel 3
5
6b
1 − 2b
− 2
−
b − 1 b − 1 b + b2
Faktorisierung der Nenner
b − 1 = ( b − 1)
kgV der Nenner
b 2 − 1 = ( b + 1) ⋅ ( b − 1 )
N = b ⋅ ( b + 1) ⋅ ( b − 1)
b + b = b ⋅ (1+ b )
2
Erweiterungsfaktoren
b ⋅ ( b + 1)
b
( b − 1)
= b ⋅ ( b + 1)
=
5
6b
1 − 2b
−
−
b − 1 ( b + 1)( b − 1) b ( 1 + b )
=
5 ⋅ b ⋅ ( b + 1) − 6b ⋅ b − ( 1 − 2b ) ⋅ ( b − 1)
b ⋅ ( b + 1)( b − 1)
Nenner als Produkt stehen lassen!
(evt. kann am Schluss noch gekürzt werden!!)
Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen!
=
5b2 + 5b − 6b2 −  b − 1 − 2b2 + 2b 
N
=
5b2 + 5b − 6b2 − 3b + 1 + 2b2
N
( b + 1)
b +1
b2 + 2b + 1
=
=
=
N
b
⋅
( b − 1)
b ⋅ ( b + 1) ( b − 1 )
2
Zähler wenn möglich faktorisieren und dann Bruch kürzen!
Beispiel 4
v
− 2
v −1
gemeinsamer Nenner: v − 1
2=
v
2 v − 2 ⋅ ( v − 1) v − 2v + 2 2 − v
2
− =
=
=
mit v − 1 erweitern:
1
v −1 1
v −1
v −1
v −1
Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen (kürzen nicht mehr möglich!)
Beispiel 5
1
1
−
x−y y−x
Achtung! Keine Gegenzahlen im kgV [nicht N = ( x − y ) ( y − x ) ]
Besser: z.B. zweiter Bruch mit ( −1) erweitern:
1 ⋅ ( −1)
−1
=
( y − x ) ⋅ ( −1) x − y
1
1
1
1
1+ 1
2
−
=
+
=
=
x−y y−x x−y x−y x−y x−y
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97
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Beispiele: Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
Beispiel 1
kgV ( 8, 54,140 )
Primfaktorenzerlegung der drei Zahlen (Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur
durch 1 und sich selber teilbar ist.)
8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23
54 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2 ⋅ 33
140 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 22 ⋅ 5 ⋅ 7
kgV ( 8, 54,140 ) = 23 ⋅ 33 ⋅ 5 ⋅ 7 = 7560
Für das kgV wird jeweils die grösste Anzahl Primfaktoren genommen.
Beispiel 2
kgV ( 2x 2 − 32 , x 2 + 3x − 4 , 5x 2 − 10x + 5 )
2x 2 − 32 = 2 ⋅ ( x 2 − 16 ) = 2 ⋅ ( x + 4 ) ⋅ ( x − 4 )
x 2 + 3x − 4 = ( x + 4 ) ⋅ ( x − 1)
5x 2 − 10x + 5 = 5 ⋅ ( x 2 − 2x + 1) = 5 ⋅ ( x − 1)
2
kgV ( 2x 2 − 32 , x 2 + 3x − 4 , 5x 2 − 10x + 5 ) = 2 ⋅ 5 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 4 ) ⋅ ( x − 4 )
2
Übung
98
kgV ( a2 − b2 , a2 + 2ab + b 2 , a3 + a 2b − ab 2 − b3 )
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Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
Beispiel: Addition von ungleichnamigen Brüchen
2x ⋅ ( a + b ) − 1
ax + 3a + bx + 3b
ax + bx
+ 2
−
2
x + 2x − 3
x +x
x2 − 1
Strategie: Brüche gleichnamig machen.
Berechne:
Dazu brauchen wir den gemeinsamen Nenner.
Nenner faktorisieren (Primfaktoren, Faktoren nur durch 1 und sich selbst
teilbar) und kgV bestimmen.
Beachte: Bevor das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmt
wird, sollten die Brüche gekürzt werden, d.h. auch die Zähler müssen falls
nötig faktorisiert werden.
Lösung:
( x + 3) (a + b)
x ⋅(a + b)
2x ⋅ ( a + b ) − 1
+
−
( x + 1)( x − 1)
x ⋅ ( x + 1)
( x + 3 ) ( x − 1)
=
2x ⋅ ( a + b ) − 1
a+b
a+b
+
−
x −1
x +1
( x + 1) ( x − 1)
=
( a + b ) ⋅ ( x + 1) + ( a + b ) ⋅ ( x − 1) − ( 2x ( a + b ) − 1)
( x + 1) ( x − 1)
kgV = ( x + 1) ( x − 1)
Substitution: u = a + b
u ⋅ ( x + 1) + u ⋅ ( x − 1) − ( 2x ⋅ u − 1)
=
( x + 1)( x − 1)
ux + u + ux − u − 2ux + 1
1
=
=
( x + 1) ( x − 1 )
( x + 1)( x − 1)
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99
Algebra -Training:
Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.4.4 Algebra – Memo 2: Addition von ungleichnamigen Brüchen
Algebra – Memo 2
Addition von ungleichnamigen Brüchen
Check – Liste: Zusammenfassen von ungleichnamigen Brüchen
2ax
10x
2x 2 + 4x
−
−
5bx − 5ax
2ax + 4a + 2bx + 4b
a2 − b2
Beispiel:
Vorgehen:
1. Brüche vollständig auskürzen
Wichtig!!! : Bevor gekürzt werden kann müssen Nenner
und Zähler der Brüche in Produkte verwandelt werden.
Am besten zerlegt man die Summen und Differenzen in
Primfaktoren. „Über Summen kürzen nur die Dummen“
2. kgV der Nenner berechnen
erechnen
Wichtig!!! : Das kgV soll möglichst klein werden (weniger und einfachere
Rechenarbeit). Befinden sich in den Nennern Gegenzahlen als Faktoren, so
müssen entsprechende Faktoren durch erweitern des betreffenden Bruches
mit ( −1) gleich gemacht werden.
Merke:
Gegenzahl einer Summe x + y
− (x + y) = − x − y
:
Gegenzahl einer Differenz x − y :
− (x − y) = − x + y = y − x
Beispiel oben: (b − a) im zweiten Nenner und (a − b) im ersten Nenner z.B.
den zweiten Bruch mit ( −1) erweitern.
3. Zähler erweitern für Hauptnenner
Zähler der Brüche mit den Faktoren multiplizieren, die in den Nennern
Nen
verglichen mit dem Hauptnenner fehlen.
Achtung: Bruchstrich wirkt wie eine Klammer!
Hauptzähler ausmultiplizieren und gleichartige Terme zusammenfassen.
Hauptnenner immer
mmer als Produkt stehen lassen!!!
lassen
Vereinfachter Hauptzähler wenn möglich faktorisieren
faktorisieren und wenn möglich
gleiche Faktoren mit Nenner kürzen.
4. Resultat doppelt unterstreichen
100
Lerneinheit 1.1
.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
2.4.5 Das verflixte Minuszeichen bei den Brüchen
Beispiel
−
2x − x 2
2x
3x
−
−
2
2
2x − 2
x −x−2
1− x
Nenner und Zähler faktorisieren:
=−
−
x ⋅(2 − x)
2x
3x
−
−
( x − 2 ) ( x + 1 ) ( 1 + x ) ( 1 − x ) 2 ( x − 1)
Brüche kürzen:
x ⋅ ( x − 2)
x ⋅(2 − x)
x ⋅(2 − x)
x ⋅ ( −1) ⋅ ( 2 − x )
= ( −1) ⋅
=
=
( x − 2 ) ( x + 1 ) ( x − 2 ) ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 1)
( x − 2 )( x + 1)
Vorzeichen als Faktor ( −1) in den Zähler bringen und ( −1) in die Klammer
( 2 − x ) hinein multiplizieren, dann kürzen.
( −1)
Oder: −
x ⋅ (2 − x)
( x − 2 ) ( x + 1)
= ( −1 ) ⋅
x ⋅ ( −1)
x
=
x +1
x +1
Zahl ( x − 2 ) mit Gegenzahl ( 2 − x ) kürzen, zurück bleibt ( −1) , dann
( −1) mit dem Vorzeichen verrechnen.
=
x
2x
3x
−
−
x +1
( 1 + x ) ( 1 − x ) 2 ( x − 1)
−
2x
2x
2x
= ( −1 ) ⋅
=
( x + 1 ) ⋅ ( −1 ) ⋅ ( x − 1 ) ( x + 1 ) ⋅ ( x − 1 )
(1 + x ) (1 − x )
kgV bestimmen
( 1 + x ) = ( x + 1) Kommutativgesetz. Bei der Gegenzahl ( 1 − x ) den Faktor
( −1) ausklammern und mit dem Operationszeichen verrechnen.
=
x
2x
3x
+
−
x +1
( x + 1) ( x − 1 ) 2 ( x − 1)
;
kgV = 2 ( x + 1)( x − 1)
Zähler mit den Erweiterungsfaktoren multiplizieren und zum Hauptnenner
schreiben, dann Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen.
=
x ⋅ 2 ( x − 1 ) + 2x ⋅ 2 − 3x ⋅ ( x + 1 ) 2x 2 − 2x + 4x − 3x 2 − 3x
−x2 − x
=
=
2 ⋅ ( x + 1) ( x − 1)
2 ⋅ ( x + 1 )( x − 1 )
2 ⋅ ( x + 1) ( x − 1 )
Zähler faktorisieren ( − x ) ausklammern und Bruch kürzen
=
( − x ) ⋅ ( x + 1)
−x
x
x
=
=−
=
2 ⋅ ( x − 1) 2 ⋅ ( 1 − x )
2 ⋅ ( x + 1) ( x − 1) 2 ⋅ ( x − 1 )
Das Minuszeichen im Zähler kann vor den Bruchstrich genommen werden
oder im Nenner mit dem Faktor ( x − 1) verrechnet werden.
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101
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.4.6 Übungen: Addition von ungleichnamigen Brüchen
Berechne und vereinfache: Vorgehen nach Check – Liste Memo 2
Aufgabe 1
102
1
4
x−2
3x + 3
−
+ 2
−
2
x −1
4x + 4
x −x−2
3x + 6x + 3
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Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
Aufgabe 2
6x − 2
3x
9x
−
−
2
2
9x − 6x + 1
1 − 9x
9x + 3x
2
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
103
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
Aufgabe 3
104
DialogMathe
a2 − 4
4a + 8
3a2 + 12a + 12
3
−
−
+
2
2
4a
+
4
a
−1
a −a−2
3a + 3a − 6
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
Aufgabe 4
a2 − ab
a2 − 2ab + b2
−
2ab − a + b
a2 − b 2
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−
a+b
a + 2ab + b2
2
105
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
Aufgabe 5
106
DialogMathe
2a2 − 8
2a
5a − 18
+
− 2
2
6
−
2a
a − 4a + 4
a − 5a + 6
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Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
Aufgabe 6
x 2 − 4x + 3
x2 − x − 2
x 2 − 5x + 4
6x 2 + 3x − 3
+
+
−
x2 + x − 2
x 2 − 2x − 3
x 2 − 4x + 3
2x 2 + 3x − 2
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107
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Musterlösungen Addition von ungleichnamigen Brüchen
Lösung Aufgabe 1
1
4
x−2
3x + 3
−
+ 2
−
2
x −1
4x + 4
x −x−2
3x + 6x + 3
1. Schritt: Brüche auskürzen (Nenner faktorisieren)
x 2 − x − 2 = ( x + 1) ⋅ ( x − 2 )
3x 2 + 6x + 3 = 3 ⋅ ( x 2 + 2x + 1 ) = 3 ⋅ ( x + 1 )
2
3 ⋅ ( x + 1)
1
4
x−2
−
+
−
2
x −1
4 ( x + 1)
( x + 1) ⋅ ( x − 2 )
3 ( x + 1)
=
1
1
1
1
1
1
−
+
−
=
−
x −1
x + 1 x +
1 x +1 x − 1
x +1
0
2. Schritt: gleichnamig machen (kgV der Nenner: ( x + 1) ⋅ ( x − 1) )
=
x + 1 − ( x − 1)
1
1
2
−
=
= 2
x −1
x + 1 ( x + 1 ) ⋅ ( x − 1)
x −1
Lösung Aufgabe 2
6x − 2
3x
9x
−
−
2
2
9x − 6x + 1
1 − 9x
9x + 3x
2
Nenner faktorisieren:
9x 2 − 6x + 1 = ( 3x − 1)
2
1 − 9x 2 = ( 1 + 3x ) ⋅ ( 1 − 3x )
9x 2 + 3x = 3 ⋅ x ⋅ ( 3x + 1)
Brüche kürzen, Gegenzahlen erkennen ( 1 − 3x ) = − ( 3x − 1)
=
=
2 ⋅ ( 3x − 1)
( 3x − 1)
2
2 ⋅ ( 3x − 1)
( 3x − 1)
2
−
3x
3⋅3⋅x
−
1
+
3x
⋅
1
−
3x
3
⋅
x
⋅ ( 3x + 1)
(
) (
)
+
3x
3 ⋅3⋅ x
−
1 + 3x ) ⋅ ( 3x − 1)
(
3 ⋅ x ⋅ ( 3x + 1)
3x +1
=
2
3x
3
+
−
( 3x − 1)
( 3x + 1) ⋅ ( 3x − 1) ( 3x + 1)
kgV bestimmen (gemeinsamer Hauptnenner)
Erweitern zum Hauptnenner :
kgV = ( 3x + 1)( 3x − 1)
2 ⋅ ( 3x + 1) + 3x − 3 ( 3x − 1)
( 3x + 1) ( 3x − 1)
Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen
=
108
6x + 2 + 3x − 9x + 3
5
=
( 3x + 1)( 3x − 1)
( 3x + 1) ( 3x − 1)
5 
=
 9x 2 − 1 
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Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
Lösung Aufgabe 3
a2 − 4
4a + 8
3a2 + 12a + 12
3
−
−
+
2
2
4a + 4
a −1
a −a−2
3a + 3a − 6
2
(a + 2) (a − 2)
4 (a + 2)
3 (a + 2)
3
+
=
−
−
a
−1
a
−
2
3
a
+
2
a
−
1
a
+
1
4
a
+
1
(
)(
)
(
)
(
)(
)
=
a+2
a+2
a+2
3
−
−
+
a +1
a +1
a −1
a −1
= −
a+2
3
1− a
−a − 2 + 3
+
=
=
= −1
a −1
a −1
a −1
a −1
Lösung Aufgabe 4
a2 − ab
a2 − 2ab + b2
−
2ab − a + b
a2 − b 2
−
a+b
a + 2ab + b2
2
1. Schritt: Nenner faktorisieren
=
a(a − b)
(a − b)
2
−
2ab − a + b
a
( + b )( a − b )
−
a+b
( a + b )2
2. Schritt: Brüche kürzen
=
a
a−b
−
2ab − a + b
( a + b )( a − b )
−
1
a+b
3. Schritt: kgV der Nenner bestimmen / Erweitern zum Hauptnenner
=
a ( a + b ) − ( 2ab − a + b ) − ( a − b )
( a + b )( a − b )
4. Schritt: Zähler vereinfachen
=
a 2 + ab − 2ab + a − b − a + b
a 2 − ab
=
( a + b )(a − b )
( a + b )(a − b )
5. Schritt: Zähler faktorisieren und kürzen
=
a( a − b )
a
=
(a + b )(a − b ) a + b
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109
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Lösung Aufgabe 5
2a2 − 8
2a
5a − 18
+
− 2
2
6 − 2a
a − 4a + 4
a − 5a + 6
2( a + 2 ) ⋅ ( a − 2 )
( a − 2 )2
2( a + 2 ) ⋅
a
a−2
−
a−3
+
−
2a
5a − 18
−
(a − 2) ⋅ (a − 3)
2(3 − a)
5a − 18
(a − 2) ⋅ (a − 3)
2 ( a + 2 ) ⋅ ( a − 3 ) − a ( a − 2 ) − 5a + 18
(a − 2) ⋅(a − 3)
2a2 − 2a − 12 − a2 + 2a − 5a + 18
(a − 2) ⋅(a − 3)
(a − 2) ⋅ (a − 3)
a2 − 5a + 6
=1
=
(a − 2) ⋅(a − 3) (a − 2) ⋅ (a − 3)
Lösung Aufgabe 6
x 2 − 4x + 3
x2 − x − 2
x 2 − 5x + 4
6x 2 + 3x − 3
+
+
−
x2 + x − 2
x 2 − 2x − 3
x 2 − 4x + 3
2x 2 + 3x − 2
( x − 1) ( x − 3 )
( x + 1) ( x − 2 )
( x − 1) ( x − 4 ) 3 ( 2x − 1) ( x + 1)
=
+
+
−
( 2x − 1) ( x + 2 )
( x + 2 ) ( x − 1)
( x + 1) ( x − 3 )
( x − 1) ( x − 3 )
=
3 ( x + 1)
x−3
x−2
x−4
+
+
−
x+2
x−3
x−3
x+2
gleichnamige Brüche zusammenfassen!
x − 3 3 ( x + 1)
x−2
x−4
x − 3 − 3x − 3
x−2+x−4
−
+
+
=
+
x+2
x+2
x−3
x−3
x+2
x−3
2 ( x − 3 ) −2x − 6 2
−2x − 6
2x − 6 −2x − 6
=
+
=
+
=
+
x+2
x−3
x+2
x+2
1
x−3
−2x − 6 + 2 ( x + 2 )
−2
=
=
x+2
x+2
=
110
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
2.4.7 Beispiele Multiplikation von Bruchtermen
Beispiele: Multipliziere und vereinfache gegebenenfalls
Beispiel 1
2b2
( −a ) ⋅ 2 ⋅ b 2 ( −a ) ⋅ b
ab
ab
 a 
−
⋅
=
=
=−
=
 2b  a − 2
a−2
a−2 2−a
2 ⋅ b ⋅(a − 2)


Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren
Beispiel 2
 1 − 1⋅m⋅n
m n


Zwei Möglichkeiten:
1) Klammerausdruck gleichnamig machen und dann multiplizieren:
 1 − 1  ⋅m ⋅n =  n − m  ⋅ m ⋅n = (n − m) ⋅ m ⋅ n = n − m = n − m
m n


1
m⋅n


 m⋅n  1
2) Mit dem Faktor m ⋅ n in die Klammer hinein multiplizieren:
 1 − 1⋅m⋅n = m ⋅n − m⋅ n = n − m = n −m
m n
1 1
m
n


Beispiel 3
x ⋅ ( y2 − 4 ) ⋅ 5 ⋅ y 2
( y + 2) ⋅( y − 2) ⋅ y ( y − 2) ⋅ y
x ⋅ y 2 − 4x
5 ⋅ y2
=
⋅
=
=
5⋅y
2xy + 4x
2
5 ⋅ y ⋅ 2 ⋅ x ( y + 2)
2 ⋅ ( y + 2)
Beispiel 4
4x + 6y
3a + 3b
7ab
⋅
⋅
3x
2a
2ax + 2bx + 3ay + 3by
=
=
2 ⋅ ( 2x + 3y )
3⋅(a + b)
7ab
⋅
⋅
3x
2a
( a + b ) ⋅ ( 2x + 3y )
2 ⋅ ( 2x + 3y ) ⋅ 3 ⋅ ( a + b ) ⋅ 7 ⋅ a ⋅ b
3 ⋅ x ⋅ 2 ⋅ a ⋅ ( a + b ) ⋅ ( 2x + 3y )
=
7b
x
Unterscheide: Addition und Multiplikation!
Brüche
Addition
Multiplikation
gleichnamig
a
b
a+b
+
=
n
n
n
a b
a⋅b
ab
⋅
=
= 2
n n
n⋅n
n
ungleichnamig
a
b
a⋅d
b⋅c
+
=
+
c
d
c⋅d
d⋅c
ad + bc
=
cd
a b
a⋅b
ab
⋅
=
=
c d
c⋅d
cd
a+b
a
b
=
+
n
n
n
Aber:
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
z(a + b)
z
z
z
zb + za
≠
+
=
=
a+b
a
b
ab
ab
111
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Richtig oder falsch? Wenn falsch, dann korrigiere falls dies möglich ist.
112
a)
1+ x
x
= 1 +
2
2
b)
x + 2y
x
=
+y
2
2
c)
2+p
1
1
=
+
2p
p
2
d)
x − x2
= 1− x
x
e)
3a + 1
= a +1
3
f)
u−v
1
1
=
+
u⋅v
v
u
g)
1
1
1
=
+
x+y
x
y
h)
m +n +1
1
1
1
=
+
+
m⋅n
n
m m⋅n
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
2.4.8 Beispiele Division von Bruchtermen
Eine Division durch eine Zahl oder einen Term bedeutet eine Multiplikation
mit dem Kehrwert der Zahl oder des Terms.
Berechne:
Beispiel 1
Beispiel 2
3x :
m 3x n 3nx
=
⋅ =
n
1 m
m
 3x 2 x 
 y + 5  : ( 3x )


Zwei Möglichkeiten:
1) Klammerausdruck gleichnamig machen und dann multiplizieren:
x ( 15x + y ) 15x + y
 3x 2 x 
 15x 2 + xy 
1
=
+
:
3x
=
⋅
=
(
)
 y



15y
5
5y
5y ⋅ 3 x


 3x
2) Mit dem Faktor
1
in die Klammer hinein multiplizieren:
3x
 3x 2 x 
 3x 2 x  1
3x 2
x
x 1
+
= +
 y + 5  : ( 3x ) =  y + 5  ⋅ 3x =
y ⋅ 3 x 5 ⋅ 3 x y 15




Zeige die Gleichheit der beiden Ergebnisse!
Beispiel 3
1
1
−
x x +1
x
x +1
Doppelbruch: Strategie Bruch zerlegen in Teilaufgaben
1
1
−
x x +1 = A = A ⋅ 1
x
B
B
x +1
A=
1
1
x + 1− x
1
−
=
=
x x + 1 x ( x + 1) x ( x + 1)
B=
x
1 x +1
;
=
x +1 B
x
A⋅
1
1
x +1
x +1
1
=
⋅
= 2
= 2
B x ( x + 1) x
x ⋅ ( x + 1) x
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113
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
Beispiel 4
DialogMathe
a+b
4ab
+
b − a a2 − b2
a − (a + b) ⋅
a
−1
b
Vereinfache so weit wie möglich.
Analyse des Ausdrucks: Differenz (Punkt vor Strich)
Zuerst ( a + b ) mit dem Doppelbruch multiplizieren und dann von a
subtrahieren.
a+b
4ab
+
b − a a2 − b2
a − (a + b) ⋅
a
−1
b
( −1) ( a + b )
= a − (a + b) ⋅
(a + b) ⋅
=a−
=a−
a−b
+
4ab
(a + b)⋅(a − b)
a−b
b
( −1) ( a + b )2 + 4ab
(a + b) ⋅(a − b)
a−b
b
=a−
−a2 − 2ab − b2 + 4ab
(a − b)
a−b
b
−a2 + 2ab − b2
( −1) ( a − b )2 ⋅ b
(a − b)
=a+b
=a−
a−b
( a − b )2
b
2.4.9 Übungen Rechnen mit Bruchtermen
Folgende Ausdrücke sind so weit wie möglich zu vereinfachen:
Aufgabe 1
114
 1 − 1  :  1 + 1
 2
 
b 
b2   a
a
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
2
Aufgabe 2
 a − b  ⋅  ab 
 b


a 

a+b
Aufgabe 3
a−b
2a
a 3 + a 2b
+
− 2
b
a−b
a b − b3
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
115
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Aufgabe 4
b 
 a − a  ⋅ mn ⋅  b
−
 2

2 
a
m + n 
n 
m
m−n
Aufgabe 5
ab2 − a
1
⋅
− 1
2
b
−1
ab + 2ab + a
116
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Rechnen mit Bruchtermen
DialogMathe
Aufgabe 6
p2 − x 2
p2 − b2
px 
⋅
⋅  p +
p+b
p
− x 
px + x 2

Aufgabe 7
1 −
b
1 − b +
2b2
1+ b
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117
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
Aufgabe 8
3 ( a − 1)
2
3a
−
−
2
2
3a + 1
9a − 1
9a − 6a + 1
Aufgabe 9
a − a2 + a3 − a4
a + a2 − a3 − a4
118
DialogMathe
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
DialogMathe
Rechnen mit Bruchtermen
2
 a3 − a 2 − a + 1 
1   a2 − 1   1 − a 
⋅ 
⋅
⋅
Aufgabe 10 






 a − 1   1 − a2   1 + a   a2 − 2a + 1 
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
119
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
Aufgabe 11
DialogMathe
a+b
b+c
a+c
−
+
( b − c )( c − a )
(a − c )(a − b )
( a − b )(b − c )
Lösungen:
Aufgabe 1
Aufgabe 3
Aufgabe 5
Aufgabe 7
Aufgabe 9
Aufgabe 11
120
1 1 b−a
− =
a b
ab
b
a−b
−b
b+1
1− b
1 + b2
1 + a2
(1+ a )
2
Aufgabe 2
Aufgabe 4
Aufgabe 6
Aufgabe 8
Aufgabe 10
ab ( a − b )
a+b
2b
−
m
2
p (p − b)
x
1
−
( 3a − 1)2
1− a
a +1
0
=0
( a − b )( a − c ) ( b − c )
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Divisionsalgorithmus
DialogMathe
2.5 Divisionsalgorithmus
2.5.1 Algebra – Memo 3: Divisionsalgorithmus
Algebra – Memo 3
Divisionsalgorithmus
Divisionsverfahren für Polynome
( 2x 4 − 3x 3 − 11x 2 + 3 ) : ( 2x 2 + 3x − 4 ) =
Beispiel:
1. Wir ordnen Dividend und Divisor
( 2x 4 − 3x 3 − 11x 2 + 3 ) : ( 2x 2 + 3x − 4 ) =
nach der Grösse der Exponenten von x
2. Wir teilen den ersten Summanden
( 2x 4 − 3x3 − 11x 2 + 3 ) : ( 2x 2 + 3x − 4 ) = x 2
des Dividenden durch den ersten
Summanden des Divisors:
2x 4 : 2x 2 = x 2
3. Wir rechnen zurück, d.h. Wir mul-
( 2x 4 − 3x3 − 11x 2 + 3 ) : ( 2x 2 + 3x − 4 ) = x 2
tiplizieren den ganzen Divisor mit x 2
2x 4 + 3x 3 − 4 x 2
und subtrahieren das Produkt vom
0 − 6x3 − 7x 2 + 3
Dividenden.
( 2x4 − 3x3 − 11x2 + 3 ) : ( 2x2 + 3x − 4 ) = x2 − 3x
4. Auf den (vorläufigen) Rest
−6x 3 − 7x 2 + 3 wenden wir analog die
Schritte 1 bis 3 an: −6x 3 : 2x 2 = −3x
2x 4 + 3x 3 − 4 x 2
0 − 6x3 − 7x 2 + 3
− 6x 3 − 9x 2 + 12x
0 + 2x 2 − 12x + 3
5. Dieses Vorgehen wiederholen wir
( 2x 4 − 3x3 − 11x2 + 3 ) : ( 2x2 + 3x − 4 ) = x 2 − 3x + 1
solange, bis der grösste Exponent im
2x 4 + 3x3 − 4 x 2
(vorläufigen) Rest erstmals kleiner als
0 − 6x 3 − 7x 2 + 3
der grösste Exponent des Divisors ist.
− 6x 3 − 9x 2 + 12x
0 + 2x 2 − 12x + 3
−2x : 2x = 1
2
2
2x 2 + 3x − 4
Der Rest −15x + 7 kann nicht mehr
0 − 15x + 7
→
Rest
durch 2x 2 geteilt werden, d.h.
die Division geht nicht auf. Wir können nun folgendes Schreiben: Oder :
2x 4 − 3x 3 − 11x 2 + 3
−15x + 7
= x 2 − 3x + 1 +
2
2x + 3x − 4
2x 2 + 3x − 4
4
3
2
2
2
2x − 3x − 11x + 3 = ( x − 3x + 1 ) ⋅ ( 2x + 3x − 4 ) + ( −15x + 7 )
Dividend
Rest
= Resultat +
Divisor
Divisor
Dividend
→
Re sultat
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Divisor
Re st
121
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
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2.5.2 Rechnen mit Potenzen
Multiplizieren von Potenzen
Gleiche Basen: am ⋅ an = am + n Exponenten addieren!
Dividieren von Potenzen
Gleiche Basen: am : an = am − n Exponenten subtrahieren!
Spezialfälle: a1 = a ;
Mit
a0 = 1
a6
x
=
= 1 (Nenner und Zähler gleich) und
6
x
a
a6 : a6 = a6 − 6 = a0
⇒
a0 = 1
Übungen
1
a3 ⋅ a 6 =
13
2
b7 : b 4 =
14
3
2a5 + 5a5 =
15
4
2a2 ⋅ 3a3 =
16
5
x8 : x 8 =
17
6
b 4 ⋅ b0 ⋅ b 4 =
18
7
x ⋅x =
6
122
( 10 a10 ) : ( 5 a5 ) =
25
26
5b ⋅ b3 =
27
a2n : a2n − 2 =
28
a3x ⋅ a =
29
b5 : b 4 =
30
2a2 + 3a3 =
2x 2 y3 ⋅ 3x3 y 2 =
510 : 255 =
x3a : x 3a =
1
2
⋅ x2 ⋅ 4 ⋅ x4 =
64 2 : 83 =
x7 + x7 =
19
b3
=
b3
31
( a − b )3
=
( b − a )3
a4b ⋅ ab =
32
( 70 )
33
b2x + 3 ⋅ b −2x + 3 =
34
xa + b ⋅ x −a − b =
6
8
nn ⋅ nn =
20
9
326 : 325 =
21
10 x 6 : x =
22
11 a4 : a3 =
23
12 a5 ⋅ a7 =
24
x 3 ⋅ 5x 3 =
4a2 + 2a 4 − 4a2 =
x12 : x 4 =
x2 ⋅ x4 =
35
36
7
=
x0 ⋅ x3 ⋅ x 4 =
( 6a2 − 3 ) ⋅ 31 a3
=
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Divisionsalgorithmus
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2.5.3 Beispiele Divisionsalgorithmus
Beispiel 1
( x2 + 2x + 1) : ( x + 1)
= x +1
x2 + x
x +1
x +1
0
Beispiel 2
( x 4 − x3 + x2 − x − 10 ) : ( x − 2 )
= x 3 + x 2 + 3x + 5
x 4 − 2x 3
x3 + x 2 − x − 10
x3 − 2x 2
3x 2 − x − 10
3x 2 − 6x
5x − 10
5x − 10
0
Beispiel 3
( x 7 − 1 ) : ( x 3 − 1) =
x4 + x
x7 − x 4
x4 − 1
x4 − x
x − 1 Rest
Beispiel 4
6
5
4
3
2
 x − 3x + 4x − 6x + 2x − 4  :
x6
( x2 + 2 ) = x 4 − 3x3 + 2x2 − 2
+ 2x 4
− 3x 5 + 2x 4 − 6x 3 + 2x 2 − 4
− 3x 5
− 6x 3
2x 4
+ 2x 2 − 4
2x 4
+ 4x 2
− 2x 2 − 4
− 2x 2 − 4
0
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123
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
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2.5.4 Übungen Divisionsalgorithmus
Führe die Division aus
Übungen 1
( x2 − 9 ) : ( x + 3 ) =
Übungen 2
( x3 + 8 ) : ( x + 2 ) =
Übungen 3
( x 4 + x 2 + 1) : ( x 2 + x + 1) =
124
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Divisionsalgorithmus
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2.5.5 Aufgaben mit Parametern
Einführungsbeispiele
Beispiel 1: Bestimme a so, dass die Division aufgeht.
( x 4 − x3 + x 2 − x + a ) : ( x − 2 ) =
Beispiel 2:
Bestimme die Parameter a und b so, dass die Division aufgeht.
( 3x 6 + x 5 − 5x 4 + 4x 3 + ax 2 − bx + 10 ) : ( x 2 − 1)
Division ausführen und Rest Null setzen:
( 3x6 + x5 − 5x4 + 4x3 + ax2 − bx + 10 ) : ( x2 − 1) = 3x 4 + x3 − 2x2 + 5x + ( a − 2 )
− 3x 4
3x 6
x 5 − 2x 4 + 4x3 + ax 2 − bx + 10
− x3
x5
− 2x 4 + 5x 3 + ax 2 − bx + 10
− 2x 4
+ 2x 2
5x 3 + ( a − 2 ) x 2 − bx + 10
− 5x
5x 3
( a − 2 ) x 2 + ( −b + 5 ) x + 10
− (a − 2)
( a − 2 ) x2
( −b + 5 ) x + 10 + a − 2
Da wir durch x 2 dividieren können wir keinen weiteren Schritt mehr ausführen, denn im nächsten Divisionsschritt kommt die Variable x in den Nenner.
Die Division geht nicht auf, sie hat einen Rest. Diesen setzen wir Null und erhalten so Bestimmungsgleichungen für die Parameter a und b.
( −b + 5 ) x + 8 + a = 0
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125
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
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Diese Gleichung soll für alle x – Werte Null gemacht werden. Dies ist nur
möglich wenn der Koeffizient ( −b + 5 ) beim x und ( 8 + a ) Null sind.
→
Aufgabe 1:
−b+5 = 0
und
8+a=0
a = −8 ; b = 5
Bestimme a so, dass die Division aufgeht.
( 8x3 − 4x 2 + 2ax + 1) : ( 2x + 1) =
Aufgabe 2: Wie muss der Parameter a gewählt werden, damit die Division ohne Rest
aufgeht?
( x 6 − 3x5 + 4x 4 − 6x 3 + 2x 2 − a ) : ( x 2 + 2 ) =
126
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Aufgabe 3:
Wie müssen die Parameter a und b gewählt werden, damit die
Polynomdivision ohne Rest aufgeht?
( x 6 − 3x 5 + 4x 4 − 6x3 + 2x 2 + bx + a ) : ( x 2 + 2 ) =
Lösung Beispiel 1:
( x 4 − x3 + x 2 − x + a ) : ( x − 2 )
= x 3 + x 2 + 3x + 5
x 4 − 2x 3
x3 + x 2 − x + a
x3 − 2x 2
3x 2 − x + a
10 + a = 0
→
a = −10
3x 2 − 6x
5x + a
5x − 10
10 + a (Rest)
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127
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Lösung Aufgabe 1:
( 8x
1
Schritt
− 4x + 2ax + 1) : ( 2x + 1) = 4x − 4x + a + 2
3
2
2
8x 3 + 4x 2
− 8x 2 + 2ax + 1
1 − a − 2 = −1 − a = 0
− 8x 2 − 4x
→
( 2a + 4 ) x + 1
2 ⋅(a + 2)x +1
2 ⋅(a + 2)x + a + 2
a = −1
1− a − 2
Lösung Aufgabe 2:
( x6 − 3x5 + 4x 4 − 6x3 + 2x2 − a ) : ( x2 + 2 ) = x 4 − 3x3 + 2x2 − 2
+ 2x 4
x6
− 3x 5 + 2x 4 − 6x3 + 2x 2 − a
− 3x 5
− 6x3
2x 4
+ 2x 2 − a
2x 4
+ 4x 2
⇒ −a + 4 = 0
⇒
a=4
− 2x 2 − a
− 2x 2
−4
−a+4
Re st
Lösung Aufgabe 3:
( x6 − 3x5 + 4x 4 − 6x3 + 2x2 + bx + a ) : ( x2 + 2 ) = x 4 − 3x3 + 2x2 − 2
+ 2x 4
x6
− 3x 5 + 2x 4 − 6x 3 + 2x 2 + bx + a
− 3x 5
− 6x 3
2x 4
+ 2x 2 + bx + a
2x 4
+ 4x 2
− 2x 2 + bx + a
− 2x 2
−4
bx + a + 4
⇒
128
bx + a + 4 = 0
⇒
b=0
und
Re st
a+4=0
⇒
a = −4
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Divisionsalgorithmus
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2.5.6 Übungen: Kürze die Brüche
Aufgabe 1
a6 − b6
a3 + b3
Aufgabe 2
x 6 − 3x 5 + 4x 4 − 6x 3 + 2x 2 − 4
x2 + 2
Aufgabe 3
x2 + x − 6
x 3 + 2x 2 − 5x − 6
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129
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
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Lösungen Übungen Kürze die Brüche
Aufgabe 1
3
3
3
3
a6 − b6 ( a + b ) ⋅ ( a − b ) a3 − b3
=
=
= a3 − b3
3
3
1
a3 + b3
a +b
Zähler faktorisieren: Binomstruktur Differenz von zwei Quadratzahlen
a6 − b6 = ( a3 ) − ( b3 ) = ( a3 + b3 ) ⋅ ( a3 − b3 )
2
2
Oder alternativ: Divisionsalgorithmus
( a 6 − b 6 ) : ( a3 + b3 ) = a3 − b3
a 6 + a3 b 3
− a3 b 3 − b 6
−a3b3 − b6
0
Aufgabe 2
x 6 − 3x 5 + 4x 4 − 6x 3 + 2x 2 − 4
; Divisionsalgorithmus
x2 + 2
( x 6 − 3x5 + 4x 4 − 6x3 + 2x 2 − 4 ) : ( x 2 + 2 ) = x 4 − 3x3 + 2x2 − 2
+ 2x 4
x6
− 3x 5 + 2x 4 − 6x 3 + 2x 2 − 4
−3x 5
− 6x3
2x 4
+ 2x 2 − 4
2x 4
+ 4x 2
− 2x 2 − 4
−2x 2 − 4
0
Aufgabe 3
( x + 3) ⋅ ( x − 2)
x2 + x − 6
( x + 3) ⋅( x − 2)
1
=
=
=
3
2
3
2
x
+1
x
+
3
⋅
x
+
1
⋅
x
−
2
) (
) (
)
x + 2x − 5x − 6 x + 2x − 5x − 6 (
Zähler faktorisieren. Idee für Nenner: Falls wir kürzen können muss im Nenner einer der beiden Faktoren ( x + 3 ) , ( x − 2 ) oder beide vorhanden sein. Divisionsalgorithmus mit Faktor ( x + 3 ) versuchen, dann Resultat faktorisieren.
( x3 + 2x2 − 5x − 6 ) : ( x + 3 ) = x2 − x − 2 = ( x + 1) ⋅ ( x − 2 )
x3 + 3x 2
− x 2 − 5x − 6
− x 2 − 3x
− 2x − 6
−2x − 6
0
130
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Divisionsalgorithmus
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2.5.7 Tschebotarev Polynome
Der Mathematiker Tschebotarev hat
Polynomdivision
folgenden Sachverhalt untersucht.
xn − 1 enthält für alle n ∈ N den Linear-
faktor x − 1 . Was heisst das? Diese Aussage bedeutet, dass der Quotient
xn − 1
x −1
immer gekürzt werden kann oder dass
die Division ( x n − 1 ) : ( x − 1 ) immer
ohne Rest durchgeführt werden kann.
Führen wir die Division für verschiedene n aus, so ergibt sich im Resultat eine
Gesetzmässigkeit:
Beobachtung?
Es entstehen Polynome, deren Summanden alle den Koeffizient 1 besitzen!
Tschebotarev stellte sich die Frage, ob dies für alle n gilt.
Untersuche die Fragestellung mit dem Rechner.
Faktorisieren
Ausmultiplizieren
Beobachtung?
Beobachtung?
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131
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
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2.6 Potenzieren
2.6.1 Algebra – Memo 4: Potenzen, Potenzgesetze
Algebra – Memo 4
Potenzen, Potenzgesetze
Multiplizieren von Potenzen
Gleiche Basen: am ⋅ an = am + n
Gleiche Exponenten: an ⋅ bn = ( a ⋅ b ) n
Dividieren von Potenzen
Gleiche Basen:
am
= am − n
n
a
an  a 
= 
bn  b 
Gleiche Exponenten:
Potenzieren von Potenzen
( am )
Spezialfälle
a0 = 1
Negative Exponenten
a −n =
Beachte
a
b
 
n
= ( an ) = am ⋅ n
n
m
a1 = a
;
1
an
−2
b
=  
a
2a−2 = 2 ⋅
2
1
2
= 2
2
a
a
a −3 ⋅ b4 ⋅ c −5
b 4 ⋅ e7
=
d2 ⋅ e −7
a3 ⋅ c 5 ⋅ d2
Vorzeichen von Potenzen
positive Basis → Potenz positiv
negative Basis →
Exponent gerade → Potenz positiv
Exponent ungerade → Potenz negativ
Merke: Negative Basen müssen
immer mit Klammern geschrieben
werden!
( − a )4 = a 4
; ( − a ) −2 = a −2
( − a )3 = − a3 ; ( − a )−5 = − a −5
Unterscheide!
( − a )4 = ( − a ) ⋅ ( − a ) ⋅ ( − a ) ⋅ ( − a )
− a4 = − ( a ⋅ a ⋅ a ⋅ a )
Beispiele:
( − a4 )
5
( − a−2 )
132
= − a20
−3
= − a6
;
( ( −a ) )
;
(( −a) )
4 5
= a20
−2 −3
= a6
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Potenzieren
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Eine Summe (Differenz) als Basis
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Binom ; ( a + b )3 Pascalsches Dreieck siehe S150.
 1 + 1
a b


 a − 1
2



−1
−2
b+a
= 

 ab 
= 

a−2
2 
−1
−2
ab
a+b
=
2
2 
4
= 
 =
a
−
2


( a − 2 )2
Merke
Nie in eine Summe hinein potenzieren, gleichnamig machen, dann
Potenzgesetzte benützen! Es gibt keine Potenzgesetze für Strichoperationen
(Addition und Subtraktion).
( a + b )2 ≠ a 2 + b 2
Falsch!!!!!!! (Doppelprodukt fehlt!)
Beachte Potenzgesetz gilt für Multiplikation: ( a ⋅ b )2 = a 2 ⋅ b 2
Beispiel
Vereinfache so weit wie möglich.
2
−1
 1 + 2  ⋅  1 −  x − 1 



 
x   x

2
 
=
( x + 2 )2  1
⋅
−
2
x
 x
−2
=
2 
x − 2 
( x + 2 ) 2 x 2 ⋅ ( x − 2 )2
=
⋅
x2
( − x − 2 )2
−2
2
−1
 x+2  ⋅ 1− x−2 
 x   x  2  

 

 
=
−2
( x + 2 )2  x − 2 − 2x  − 2
⋅
x2
 x ⋅ ( x − 2 ) 
( x − 2 )2
=
Merke
Wenn die Basis einer Potenz aus einer Summe mit Brüchen besteht, immer
zuerst die Basis gleichnamig machen und vereinfachen. Nachher mit den
Potenzgesetzen weiterfahren.
Analysiere die Schritte:
2
2
 1+ 2  =  x + 2  = ( x + 2 )



x 
x2

 x 
 x − 1
2



−1
x−2
= 

 2 
2 
 1
 x − x − 2 
−2
−1
=
2
und
2
x−2
 x − 2 − 2x 
=
 x ⋅ ( x − 2 ) 
 ( −1) ⋅ ( x + 2 ) 
=
 x ⋅ ( x − 2 ) 
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
−2
=
−2
 −x − 2 
=
 x ⋅ ( x − 2 ) 
x2 ⋅ ( x − 2 )
2
( −1 ) 2 ⋅ ( x + 2 ) 2
=
−2
x2 ⋅ ( x − 2 )
2
( x + 2 )2
133
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
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2.6.2 Schnellübung Potenzen
Repetitionstest, Potenzen, Zeit: 15 Minuten
1
a3 ⋅ a3 =
26
2
a7 ⋅ a−4 =
3
4a 4 + 3a 4 =
27 5 ⋅  b ⋅ b3 ⋅ b−7  − 2 =


28 3n 2n − 2
a :a
=
4
4a 4 ⋅ 3a 4 =
29
( ( a−2 )
5
a6 : a 4 =
30
( −2a )3 =
6
( a3 )
31
( − a−3 )
7
( ab )4
32
b3
4
=
=
a2b3
( − a4 )
9
 ( − a )4 


5
=
5
=
)
3 −2
( −b )−3
8
51 1 : x −4 =
6a6 : 3a9 =
−2
=
52
510 ⋅ 25−5 =
53 x1− a : xa −1 =
54
( −2x )2 =
55
( ( −a ) )
4 5
=
56 x7 : x0 =
=
57 ( a − b )5
=
=
( b − a )4
33
( − a 2 ) + ( −a )2 =
58 am + n : am −n =
34
( −1 )10 ⋅ ( −1 )19 =
59
10  2a2 3
 3  =
 b 
11 an + an =
35 ( 2a )2
=
4a2
12 an ⋅ an =
( − a )0 =
60 4n +1
=
22n
61
( a0 )
62
a5 ⋅ 5a−5 =
13 an − an =
37  a −1 + a−1  − 2 =


38 3x 3x
a ⋅a ⋅a =
63
( − a4 )
14 an : an =
39 a5 : a − 4 =
64 a −2x + 3 : a −2x + 3 =
15 ( −a )3 ⋅ − a3 =
( )
40
( 3a3b4 )
16 ( −a )3 + ( − a 3 ) =
41
3a3 + 2a2 =
17
( a6 :
36
a3 ) =
2
18 2 ⋅ ( −a )3 + 3a3 =
19
( a3 )
n +1
=
20  − a2  5 =


2
21
( 2a2b3 ) =
22
( −2a2b−3 )
4
=
=
−7
5
=
=
65 ( a + b )0 =
66
ax + y ⋅ a− x − y =
67 ( ab )5 : a5b 3 =
(
)
43 3 a3b2 2 =
(
)
68
4x 0 ⋅ 2x ⋅ 3x 4 =
44 ( x − y )4 : ( y − x )2 =
69
( 2−1 + 3−1 ) =
( − a ) 2 ⋅ ( − a −2 ) =
( ax )
−y
=
70
−1
46 ( 6ab )2 : 3b =
71
47 ( −1) − 8 + ( −1 )− 7 =
72 − a−10 0 =
( )
23 4 a 4 ⋅ 3 a −3 =
48
24 ( − a )7 : a7 =
49
25  3
3 2
 a + a  =
50
134
2
2
42 36 4 : 66 =
45
=
( 2a2 ⋅ 3b3 )
( 5a5 y3 ) =
( − a −4 ) : ( − a ) −4 =
73
4a2 + 2a 4 − 4a2 =
75
0
74
a3 ⋅ a4 ⋅ b0 ⋅ a1 =
( −a0 ) =
n +1
( an −1 ) =
5
( − a −n )
−2
=
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Potenzieren
DialogMathe
Lösungen Repetitionstest Potenzen
1
a3 ⋅ a 3 = a 6
26
6a6 : 3a9 = 2a −3
2
a7 ⋅ a−4 = a3
27
5 ⋅  b ⋅ b3 ⋅ b−7 
3
4a 4 + 3a 4 = 7a 4
28
a3n : a2n − 2 = an + 2
53 x1− a : x a −1 = x −2a + 2
4
4a 4 ⋅ 3a 4 = 12a8
29
((a ) )
54
( −2x )2 = 4x 2
5
a6 : a 4 = a2
30
( −2a )3 = −8a3
55
( ( −a ) )
6
( a3 )
31
( − a−3 )
56 x7 : x 0 = x 7
7
( ab )4
32
b3
4
a 2b 3
= a12
= a ⋅b
2
8
( − a4 )
9
 ( − a )4 


5
= −a20
5
= a20
−2
−2 3
( −b )−3
−2
51 1 : x −4 = x 4
−2
= 5b6
= a12
= a6
58 am + n : am −n = a2n
34
( −1 )10 ⋅ ( −1 )19 = −1
59
12
an ⋅ an = a2n
37
 a −1 + a −1 
13 an − an = 0
38
a3x ⋅ a3x ⋅ a = a6x +1
14 an : an = 1
39 a5 : a − 4 = a9
15 ( −a )3 ⋅ − a 3 = a 6
( )
40
( 3a3b4 )
16 ( −a )3 + − a 3 = −2 a3
( )
41
3a3 + 2a2 = 3a3 + 2a2
18 2 ⋅ ( −a )3 + 3a3 = a3
19
( a3 )
n +1
= a3n + 3
20  − a2  5 = −a10


2
21
( 2a2b3 ) = 4a4b6
22
( −2a2b−3 )
4
= 16a8b −12
= a−b
( − a 2 ) + ( −a )2 = 0
( 2a2 ⋅ 3b3 )
= a6
= a20
33
36
2
4 5
( b − a )4
35 ( 2a )2
=1
4a2
( a6 : a3 )
510 ⋅ 25 −5 = 1
57 ( a − b )5
= −b6
10  2a2 3 8a6
 3  = 9
b
 b 
11 an + an = 2an
17
52
2
( − a )0 = 1
60 4n +1
=4
22n
2
= 36a 4b6
−2
=
a2
4
= 9a6b8
61
( a0 )
62
a5 ⋅ 5a−5 = 5
63
( − a4 )
−7
=1
5
= −a20
64 a −2x + 3 : a−2x + 3 = 1
65 ( a + b )0 = 1
66
ax + y ⋅ a− x − y = 1
42 36 4 : 66 = 36
67 ( ab )5 : ( a 5b 3 ) = b 2
43 3 a3b2 2 = 3a6b 4
(
)
68
44
69
( x − y ) 4 : ( y − x ) 2 = ( x − y )2
45
( ax )
−y
= a− xy
4x 0 ⋅ 2x ⋅ 3x 4 = 24x 5
( 2−1 + 3−1 )
−1
=
70 ( −a )2 ⋅ −a −2 = −1
(
)
46 ( 6ab )2 : 3b = 12a 2b
71
47 ( −1) − 8 + ( −1 )− 7 = 0
72 − a −10 0 = −1
( )
23 4 a 4 ⋅ 3 a−3 = 12a
48
24 ( − a )7 : a7 = −1
49
25  3
3 2
6
 a + a  = 4a
50
( 5a5 y3 ) = 1
( − a −4 ) : ( − a ) − 4 = − 1
73
4a2 + 2a 4 − 4a2 = 2a 4
75
0
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
6
5
74
a3 ⋅ a4 ⋅ b0 ⋅ a1 = a8
( −a0 ) = −1
n +1
( an−1 ) = an −1
5
2
( − a −n )
−2
= a2n
135
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.6.3 Partnerinterview Potenzgesetze
Partnerinterview Potenzgesetze
Zeit: 10 Minuten
Diskutiere die folgenden Kurzschreibweisen!
Summe: a
+ a + a
+ ⋯⋯ +
a= n
⋅ a (Koeffizient mal Summand)
Produkt
n Summanden
Produkt: a
⋅ a ⋅ a ⋅ ⋯⋯ ⋅ a = a
n
n Faktoren
(Faktor hoch Exponent)
Potenz
Schreibe die Potenzgesetze aus dem Kopf auf und diskutiere sie!
Multiplizieren von Potenzen
Gleiche Basen:
Gleiche Exponenten:
Dividieren von Potenzen
Gleiche Basen:
Gleiche Exponenten:
Potenzieren von Potenzen
Spezialfälle
Exponent 1
Exponent 0
Negative Exponenten
Vorzeichen von Potenzen mit negativer Basis
Gerader Exponent
Ungerader Exponent
Ideen aus der Schnellübung:
136
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Potenzieren
DialogMathe
2.6.4 Übungen Potenzgesetze
Berechne und vereinfache:
−2
−3
2
  x 3 
−1 3
5
−  4 ⋅  −   + ( −2 ) ⋅  − ( 4x −2 ) 


  2  
Aufgabe 1
 2 ⋅ ( −x )

Aufgabe 2
3−x
x 6 − x5 + 2x 3 − 1
2x 2 + 1
+
−
xn − 4
x n +1
xn − 2


Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
137
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Aufgabe 3
p2a − 4b p3a + 3b q5b − 4a
⋅
⋅
q3a − 6b q2a + 7b pa + 2b
Aufgabe 4
 ( − y − 3 )− 4 − ( − y − 4 ) − 3

 ( − y − 3 )− 5 − ( y − 5 )− 3

Aufgabe 5
 ab−1 − ba−1 
1 + a b − ( ab ) ⋅ 
( b − a )2 ⋅ ( b + a )2




−2
2
138
2 2
2
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Potenzieren
DialogMathe
−1
Aufgabe 6
Aufgabe 7
 3 ( a − 1) 


2
[ 3 ( a − b ) ]−2
 1+ b 

a 

2n
:

1

−1
 1 + a − 2b +


( 1 − b−1 )
1
−1
a
2





n +1
n
b 
⋅ 
⋅ ( a2 − b2 )

a+b
2n
a
a ⋅  − 1 
b

Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
139
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Lösungen Übungen Potenzgesetze
Aufgabe 1
2
3
  x 3 
5 
−2 −1 
 2 ⋅ ( −x ) 
−
4
⋅
−
+
−
2
⋅
−
4x
(
)


(
)






  2  
−3
x6
6
−3
 2 ⋅ ( − x ) −2 
=
2
⋅
−
x
=
(
)


8
−3
−2
  x 3 
4 ⋅ −  
  2  
2
6
x6 x6
x6
 x
= 4 2 ⋅  −  = 24 ⋅ 6 = 2 =
4
2
2
 2
−1 3
−3
x6
( −2 )5 ⋅  − ( 4x −2 )  = −25 ⋅  − ( 4x −2 )  = 25 ⋅ 4−3 x 6 = 25 ⋅ 2−6 x 6 = 2−1 x 6 =




6
6
6
x
x
x
x − 2x + 4x
3x
3
−
+
=
=
= ⋅ x6
8
4
2
8
8
8
6
Aufgabe 2
6
2
6
3−x
x 6 − x5 + 2x3 − 1
2x 2 + 1
+
−
xn − 4
x n +1
xn − 2
=
=
Aufgabe 3
6
x 5 ⋅ ( 3 − x ) + x 6 − x 5 + 2x 3 − 1 − x 3 ⋅ ( 2x 2 + 1)
x n +1
3x5 − x6 + x 6 − x5 + 2x3 − 1 − 2x5 − x3
x n +1
=
x3 − 1
x n +1
p2a − 4b p3a + 3b q5b − 4a
⋅
⋅
= p(2a − 4b) + (3a + 3b) − (a + 2b) ⋅ q(5b − 4a) − (3a − 6b) − (2a + 7b)
q3a − 6b q2a + 7b pa + 2b
= p2a − 4b + 3a + 3b − a − 2b ⋅ q5b − 4a − 3a + 6b − 2a − 7b = p4a − 3b ⋅ q4b − 9a
Aufgabe 4
 ( − y − 3 )− 4 − ( − y − 4 )− 3

 ( − y − 3 )− 5 − ( y − 5 ) − 3

( −y −3 )
−4
( −y −3 )
−5
=
=
1
−2
4
⋅ y ( −3 )⋅( −4 ) = y12
5
⋅ y ( −3 )⋅( −5 ) = − y15
( −1)
1
( −1)
 y12 − ( − y12 ) 


15
15
 − y − y 




−2
 y12 + y12 
=

15
 −2y

−2
;
;
( −y −4 )
−3
( y −5 )
−3
 2y12 
=
15 
 −2y 
−2
=
1
( −1)
3
⋅ y ( −4 )⋅( −3 ) = − y12
= y ( −5 )⋅( −3 ) = y15
 1 
= − 3 
 y 
−2
=  − y −3 
−2
= y6
2
Aufgabe 5
 ab−1 − ba−1 
1 + a b − ( ab ) ⋅ 
( b − a )2 ⋅ ( b + a )2
2 2
2
Beachte: Punkt vor Strich!
2
 ab−1 − ba −1 
1 + a b − ( ab ) ⋅
2
2
− a) ⋅(b + a)
( b
2 2
2
Beachte: ab−1 = a ⋅ b −1 = a ⋅
1 a
=
b b
A
2
2
 a2 − b2 
a − b
−1
−1
 ab 
 ab − ba 
 b a 
2


2 2
2 2
=
⋅
=
⋅
A = ( ab ) ⋅ 
a
b
a
b
2
2
2
2
2
(b − a) ⋅ (b + a)
(b − a) ⋅(b + a)
( b − a ) ⋅ ( b + a )2
2
140
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Potenzieren
DialogMathe
 a2 − b2 
(a + b) (a − b)
a 2b 2 ⋅
a 2b 2
a 2b 2
= a 2b 2 ⋅
=
( b − a )2 ⋅ ( b + a )2
( b − a )2 ⋅ ( b + a )2
2
2
2
=
( a + b )2 ( a − b ) 2
( b − a )2 ⋅ ( b + a ) 2
= 1
1 + a 2 b 2 − A = 1 + a 2b 2 − 1 = a 2 b 2
−1
Aufgabe 6
 3 ( a − 1) 


2
[ 3 ( a − b ) ]−2
:

1

−1
 1 + a − 2b +


( 1 − b−1 )
1
−1
a
2





−1
 3 ( a − 1) 
2
2


2 ⋅ 32 ( a − b )
6 ⋅(a − b)
2
=
=
3 ( a − 1)
( a − 1)
[ 3 ( a − b ) ]−2

1

−1
 1 + a − 2b +


2
(1− b )
−1 2
1
−1
a
 1− 1 
 b − 1



1 2 
1 2  b 
b

=
+
−
+
=
+
− +
1
1

1
1− a
a b
a b
−1


a
a
2
1 2 ( b − 1) ⋅ a a ⋅ b 2 ⋅ ( 1 − a ) + b 2 ⋅ ( 1 − a ) − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ ( 1 − a ) + a ⋅ ( b − 1 ) ⋅ a
− +
=
a b b2 ⋅ ( 1 − a )
a ⋅ b2 ⋅ ( 1 − a )
2
= 1+
2
(a − b)
ab2 − a2b2 + b2 − ab2 − 2ab + 2a2b + a2b2 − 2a2b + a2 b2 − 2ab + a2
=
= 2
2
2
a ⋅ b ⋅ (1− a )
a ⋅ b ⋅ ( 1 − a ) ab ( 1 − a )
2
=
6 ⋅ (a − b)
( a − 1)
Aufgabe 7
 1+ b 

a 

2n
a+b
 a 


2n
( −1)
2
⋅
ab2 ( 1 − a )
(a − b)
2
= − 6ab2
n +1
n
b 
⋅ 
⋅ ( a2 − b2 )

a+b
2n
a
a ⋅  − 1 
b

n +1
b 
n
n
⋅ 
⋅(a − b) ⋅(a + b)

a+b
2n
a−b
a ⋅ 

 b 
=
( a + b )2n ⋅ bn +1 ⋅ ( a − b )n ⋅ ( a + b )n ⋅ b2n
n +1
2n
a2n ⋅ ( a + b ) ⋅ a ⋅ ( a − b )
=
( a + b )3n ⋅ b3n +1 ⋅ ( a − b )n
( a + b )2n −1 ⋅ b3n +1
=
n +1
2n
n
a2n +1 ⋅ ( a + b ) ⋅ ( a − b )
a2n +1 ⋅ ( a − b )
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
141
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.6.5 Algebra – Memo 5: Wurzeln und Potenzen
Algebra – Memo 5
Wurzeln und Potenzen
Definition Wurzel
Die n – te Wurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl x, deren
n – te Potenz gleich a ist.
n
a = x , x ≥ 0 , Wurzelexponent n ∈ N , Radikand (Basis) a > 0
Wir können auch sagen
n
a ist die nicht – negative Lösung der Gleichung
xn = a .
Darstellung von Wurzeln als Potenzen
n
Allgemein:
n
1
a = an
n
a kann als Potenz dargestellt werden:
m
am = a n
Zusammenhang Radizieren und Potenzieren
Radizieren
Potenzieren
a⋅b =
n
Radizieren von Produkten:
Faktor unter die Wurzel bringen:
n
Radizieren von Quotienten:
n
Radizieren von Potenzen:
Kürzen und Erweitern:
n
a⋅
n
b =
a
=
b
n
a
n
b
am =
am =
a ⋅n b
n
x ⋅n
(
n
n
an ⋅ b
1
1
a ⋅ b n = ( an ⋅ b ) n
1
1
1
 a n = an
b
1
 
bn
)
1
( am ) n
m
a
1
1
(a ⋅b)n = an ⋅bn
1
=  a n 


m
ax⋅m
an =a
m
x⋅m
x⋅n
1
Radizieren von Wurzeln:
n m
a =
Vertauschen der Wurzelexponenten:
n ⋅m
 a m1  n = a m1⋅n




a
n m
a =
m n
a
1
1
 a m1  n =  a n1  m








142
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Potenzieren
DialogMathe
2.6.6 Schnellübung Potenzen mit rationalen Exponenten / Wurzeln
Repetitionstest, Potenzen, Wurzeln, Zeit: 15 Minuten
2
1
3
a3 ⋅ a 4 =
3
4
2
b 5 : b10 =
3
2a 2 + 5a 2 =
4
2a 2 ⋅ 3a 2 =
5
1
1
3
1
1
1
1
1
b2 ⋅ b 4 ⋅ b8 =
7
 a 41b 34 



 =
3
ab 2
8
x6 : x3 =
9
x5 ⋅ x
4
5
a5 ⋅ a 3 =
31
a⋅
17
5
a⋅3 a =
32
4
a2 ⋅ b ⋅
18
4
a5 : a4 =
33
3
x 3a =
a2n =
34
5
a3 ⋅ 10 a 4 =
35
3
x :
36
3
x ⋅
5
20
(3 u )
21
3
3
=
24
(
10  3 2
2
 2a  =
 a 


11 n 1x ⋅ n x1 =
25
p⋅
−1
5
u =
x =
26
(
)
y4
6
p
3
37
=
p
5
x 2 ⋅ 10 x
27 a 53 :
13  1 3
 2x 3  =


28
3
38
=
4
12  2 3
 a3  =


14  2 3
 a3 ⋅ a 4

⋅
x4 ⋅ 3 x2 =
23
3
4
22  2 3 2
2
  a 3   =

 

2
1
=
a
3
19
 x 32  2 =




6
1
16
)
2
a =
x2 =
5
x ⋅6 x =
 x3 ⋅ y 4 ⋅ z6
 3 −2
 z ⋅y
1
3
 =

a
=
a
3
x +3
39
2
40
(a )
2
3
3
2
x =
=
41 Schreibe als Wurzel:
=
1
a3 =
42 Schreibe als Wurzel:
a2 =
2
x5 =
12



3
a0 =
43 Schreibe als Wurzel:
x
=
15  1 3  1 12
 a12  ⋅  a 3  =

 

x ⋅
29
30
(2⋅
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
3
4x 3 =
x2 ⋅ 3 y
44
)
3
=
45
(
− 37
6
1
3n
=
x2
)
3
=
1
x n
⋅   =
3
143
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Lösungen Schnellübung Potenzen mit rationalen Exponenten / Wurzeln
1
2
3
4
5
2
a3
4
b5
3
⋅ a4
:
17
a12
=
3
b10
=
1
2a 2
+
1
2a 2
3
⋅ 3a 2



2
x3
1
5a 2
=
1
7a 2
= 6a
1
2
7
6
b2 ⋅ b 4 ⋅ b8 = b8
7
 a 41b 34 



 = b32
3
ab 2
8
x6 : x3 = x6
9
x5 ⋅ x
4
31
17
5
a ⋅ 3 a = a15
4
32
4
18
4
a5 :
33
3
x 3a = x a
34
5
a3 ⋅ 10 a4 = a
35
3
x :
36
3
x ⋅
9
a 4 = a 20
5
a2n = an
19
(3 u )
21
4
11
⋅
u = u6
1
x = x12
3
2
  2  32 
 a 3   = a2
 
 

23
3
= x5
2
24
(
10  3 2
2
 2a  = 4a
 a 


11
1
1
2
nx ⋅ nx = nx
25
p⋅
3
2
−1
5
1
26
12  2 3
2
 a3  = a


27
13  1 3
 2x 3  = 8x


28
14  2 3
 a3 ⋅ a 4

12



=
17
a4
(
37
x4 ⋅ 3 x2 = x2
)
3
y4
6
p
5
x +3
( )
2
a3
)
2
=x
= a17
29
30
3
(2⋅
3
1
2
=a
3
a
x2
5
43 Schreibe als Wurzel:
1
−3
x 7 = 7 x−3 =
7
x3
4x 3 = 2x 2 44
x2 ⋅ 3 y
= 8x 2 y
x
42 Schreibe als Wurzel:
a0 = 1
x ⋅
3
2
x =5
41 Schreibe als Wurzel:
a3 =
a2 = a
3
1
a
= a6
a
40
x2 ⋅ 10 x
− 1
15
x ⋅6 x = x
3
5
5
x2 = x
5
1
2
p
a = a ⋅ b4
 x3 ⋅ y 4 ⋅ z6 3
2
 3 −2  = xy z
z
⋅
y


39
= p4
1
a2 ⋅ b ⋅
= y2
4
a3 :
38
a⋅
x5 =
15  1 3  1 12
 a12  ⋅  a3 

 

144
a5 ⋅ a 3 = a 2
22
5
1
1
= a2
a
3
20
1
1
2
1
x3
 =

1
1
b2
1
16
)
3
45
(
6
1
3n
x2
)
3
=x
1
1
x n
⋅   = x n
3
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Potenzieren
DialogMathe
2.6.7 Verschachtelte Wurzeln
Strategie: Wurzeln in Potenzen umwandeln und Potenzgesetze anwenden!
m
n
Merke: a n =
am
Vorgehen von Innen nach Aussen berechnen!
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
4 3
a⋅
5a ⋅
4
a4 =
4 3
a2 ⋅
a =
a⋅
a⋅
a2 =
4
2
2
1
a3 = a12 = a 6
1
a⋅
a2 ⋅ a 2 =
a − 2⋅
5
a⋅
5
a2 =
a ⋅ a4 =
3
4
−3
2
a ⋅ a2 − 2 ⋅
= 5a ⋅
a⋅
a2 − 2 ⋅
= 5a ⋅
a ⋅ a 4 − 2 ⋅ a 8 + a ⋅ a8
= 5a ⋅
a 4 − 2 ⋅ a 8 + a 8 = 5a ⋅ a 8 − 2 ⋅ a 8 + a 8 = 5a 8 − 2 ⋅ a 8 + a 8 = 4a 8
15
3
15
7
Vereinfache:
15
a4 + a⋅
4
a⋅
a ⋅
7
a2
7
15
 1
a
 
4
a5 ⋅ a
a3
a⋅
3
a3 ⋅ a 4 + a ⋅
9
1
a3 ⋅ 4 a3 + a ⋅ 4 a5 ⋅
1
9
a 4 = a8
= 5a ⋅
3
Übung
a2 =
4 3
−4
7
a⋅
a⋅
a−2 ⋅ 3 a2 ⋅ 3
15
15
15
15
15
15
a
a5
(Lösung: a)
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
145
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
2.6.8 Übung: Potenzen und Wurzeln
8
Aufgabe 1
x
x
−
3
3
4
⋅
1
4
x
x
5
x8
⋅4
x3
−12
Aufgabe 2
2  41 
+a 
a3 

Aufgabe 3
9
Aufgabe 4
 5 x2 ⋅ x 35 
2



 ⋅ x3
4 x
−1
4 3
x ⋅x 3
y 6 ⋅ 4 y12 +
6
y10 ⋅ 3
4
y2
2
146
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 | ©BF
Potenzieren
DialogMathe
3
Aufgabe 5
a2 a 5 ⋅ a
7⋅
⋅
9
a
Aufgabe 6
 1
 a2 +

5
Aufgabe 7
x⋅3 x
)
−1  2


⋅ 4 x3 ⋅ x 8 ⋅ 12 x
a7 ⋅
10
a
8
5
1
6
Aufgabe 8
(
4
−1
2
a
a5
⋅
a5
a6
Lerneinheit 1.1 | Strukturelles Denken | 2013/14 |© BF
147
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
4
Aufgabe 9
( a − b )10 ⋅  2 ⋅ ( a + b )5  ⋅ ( a + b )−10
( −2 ) 3 ( a 2 − b 2 )
10
Lösungen Übungsaufgaben 1 bis 9
3
Lösung Aufgabe 1: x 4
3
Lösung Aufgabe 2: 3 = 3a −3
a
Lösung Aufgabe 3: 2y
Lösung Aufgabe 4: x 2
2
2
 5 x 2 ⋅ x 35 
 x 52 ⋅ x 53 
2
2
2
2
1




3
x2 ⋅ x 3
x2 ⋅ x3 ⋅ x3 x2 ⋅ x

 ⋅ x =
 ⋅ x3 =
=
=
= x2
1
1
3
3
1
4 x
−1
−1
−
x
x
4 3
x4 x4 ⋅ x4 ⋅ x 3
x ⋅x 3
x4 ⋅ x 3
7
Lösung Aufgabe 5:
9
4
Lösung Aufgabe 6: 4 = 4a −4
a
 1 +
 a2
(
4
a8
)
−1  2

−1
1
=  2 + ( a2 ) 
a

2
1
=  2 + a−2 
a

2
1
1
=  2 + 2 
a 
a
2
2
=  2 
a 
2
=
4
a4
1
Lösung Aufgabe 7: x 8
5
1
3
1
1
⋅ 4 x 3 ⋅ 8 x 5 ⋅ 12 x =
⋅ x 4 ⋅ x 8 ⋅ x12
1
x⋅3 x
x ⋅ x3
=x
−4
3
5
3
1
⋅ x 4 ⋅ x 8 ⋅ x12 = x
−32+18 +15+ 2
24
3
1
= x 24 = x 8
Lösung Aufgabe 8: 1
6
a7 ⋅
10
a
a
5
a5
⋅ 6 =
a
6
1
a7 ⋅ a 2
10
5
a2
⋅a
−1
6
=
15
a2
1
a4
5
⋅a
−1
=
a4
1
a4
⋅ a −1 = a ⋅ a −1 = a 0 = 1
Lösung Aufgabe 9: −2
148
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Potenzieren
DialogMathe
2.6.9 Algebra – Memo 6: Pascal‘sches Dreieck
Algebra – Memo 6
Potenzen von Summen, Pascal‘sches Dreieck
Bildungsgesetz des Pascal‘schen Dreiecks
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Koeffizienten der Binome
( a + b )2 = 1 ⋅ a2 + 2 ⋅ ab + 1 ⋅ b2
( a + b )3 = 1 ⋅ a3 + 3 ⋅ a2b + 3 ⋅ ab2 + 1 ⋅ b3
( a + b )4 = 1 ⋅ a 4 + 4 ⋅ a3b + 6 ⋅ a2b2 + 4 ⋅ ab3 + 1 ⋅ b4
( a + b )5 = 1 ⋅ a5 + 5 ⋅ a 4b + 10 ⋅ a3b2 + 10 ⋅ a2b3 + 5 ⋅ ab 4 + 1 ⋅ b5
Summe der Exponenten ist gleich 5, wobei der Exponent zur Basis a jeweils
um 1 abnimmt und der Exponent zur Basis b jeweils um 1 zunimmt.
Differenz ( a − b )5
( a + ( −b ) )5 = a5 + 5 ⋅ a4 ⋅ ( −b ) + 10 ⋅ a3 ⋅ ( −b )2 + 10 ⋅ a2 ⋅ ( −b )3 + 5 ⋅ a ⋅ ( −b )4 + ( −b )5
= a5 − 5 ⋅ a4b + 10 ⋅ a3b2 − 10 ⋅ a2b3 + 5 ⋅ ab4 − b5
Operationszeichen alterniert: +, −, +, −, ⋯⋯
Beachte: Potenzen zur Basis b mit ungeraden Exponenten sind negativ, mit
geraden Exponenten positiv.
Beispiel
( 2a − b )4 = ( 2a )4 − 4 ⋅ ( 2a )3 ⋅ b + 6 ⋅ ( 2a )2 ⋅ b2 − 4 ⋅ ( 2a ) ⋅ b3 + b4
= 16a4 − 32a3b + 24a2b2 − 8ab3 + b4
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149
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Übung
1) Berechne: ( 3a − 2b )3 =
2) Berechne: ( a − b )5 =
3) Berechne:
150
( a 4 − 2b )
3
=
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Potenzieren
DialogMathe
4) Berechne:
( 2a − b3 )
5) Kürze vollständig:
4
=
( a + b )4 − ( a − b )4
a2 + b 2
=
6) Berechne: ( a + b − c )3 − ( a + b )3 + 3 ( a + b )2 ⋅ c + c 3 =
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151
Algebra -Training: Rechnen mit Termen
DialogMathe
Lösungen
1) ( 3a − 2b )3 = ( 3a )3 − 3 ⋅ ( 3a )2 ⋅ 2b + 3 ⋅ 3a ⋅ ( 2b )2 − ( 2b )3
= 27a3 − 54a 2b + 36ab2 − 8b3
2) ( a − b )5 = a 5 − 5 ⋅ a 4b + 10 ⋅ a3b 2 − 10 ⋅ a 2b 3 + 5 ⋅ ab 4 − b5
3)
( a4 − 2b ) 3 = ( a4 )
3
− 3 ⋅ ( a4 ) ⋅ 2b + 3 ⋅ a4 ⋅ ( 2b ) − ( 2b )
2
2
3
= a12 − 6a8b + 12a 4b 2 − 8b3
4)
( 2a − b3 )
4
= ( 2a ) − 4 ⋅ ( 2a ) ⋅ b3 + 6 ⋅ ( 2a ) ⋅ ( b3 ) − 4 ⋅ 2a ⋅ ( b3 ) + ( b3 )
4
3
2
2
3
4
= 16a 4 − 32a3b3 + 24a2b6 − 8ab9 + b12
5)
( a + b )4 − ( a − b )4
a2 + b2
Lösungsstrategie: Zähler vereinfachen!
Variante 1: Pascalsches Dreieck
( a + b )4 = a 4 + 4a3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b 4
( a − b )4 = a 4 − 4a3b + 6a2b 2 − 4ab3 + b 4
( a + b )4 − ( a − b )4 = a 4 + 4a3b + 6a2b 2 + 4ab3 + b 4 −  a 4 − 4a3b + 6a 2b 2 − 4ab3 + b 4 
= a 4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 − a 4 + 4a3b − 6a2b2 + 4ab3 − b 4
= 8a3b + 8ab3 = 8ab ( a2 + b 2 )
Variante 2: Binomstruktur ausnutzen
( a + b )4 − ( a − b ) 4
2
2
2
2
2
2
2
2
=  ( a + b )  −  ( a − b )  =  ( a + b ) + ( a − b )  ⋅  ( a + b ) − ( a − b ) 
=  a 2 + 2ab + b2 + a 2 − 2ab + b 2  ⋅  a 2 + 2ab + b2 − ( a2 − 2ab + b2 ) 
=  2a 2 + 2b 2  ⋅ [ 4ab ] = 8ab ( a 2 + b 2 )
Bruch auskürzen
( a + b )4 − ( a − b ) 4
a2 + b 2
=
8ab ( a2 + b2 )
a2 + b2
=
8ab
6) ( a + b − c )3 − ( a + b )3 + 3 ( a + b )2 ⋅ c + c 3
Substitution: u = a + b
( u − c )3 − u3 + 3u2c + c 3 = u3 − 3u2c + 3uc 2 − c 3 − u3 + 3u2c + c 3 = 3uc 2
Rücksubstitution: 3uc 2 = 3c 2 ( a + b ) = 3ac 2 + 3bc 2
152
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