dt masse

Experimentalphysik I
Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik I
Teil 1: Mechanik
1.
2.
3.
Physikalische Größen und Einheiten
Kinematik von Massepunkten
Dynamik von Massepunkten
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.
4.
5.
Wechselwirkungen und Kräfte
Newtonsche Axiome
Äquivalenzprinzip
Messung und Zerlegung von Kräften
Impulserhaltung
Raketenantrieb
Lösen von Bewegungsgleichungen
Drehimpuls und Drehmoment
Drehimpulserhaltung
Gravitation
Energie und Arbeit
...
37
Experimentalphysik I
3. Dynamik von Massepunkten
Während die Kinematik eine quantitative
Beschreibung von Bewegungen über die
Zusammenhänge von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung ermöglicht,
beruht die Analyse von Bewegungen und
Bewegungsänderungen in der Dynamik
auf den Ursachen dieser Änderungen,
d.h. den wirksamen Kräften.
In der Physik werden Wechselwirkungen
von Körpern und Systemen durch Kräfte
beschrieben. Man unterscheidet die vier
fundamentalen Kräfte bzw. Wechselwirkungen:
-
Gravitationswechselwirkung
bzw.
-kraft (Schwerkraft). Grundlage für
Mechanik und Planetenbewegung.
- Elektromagnetische Wechselwirkung,
Coulomb-Kraft. Grundlage für Elektrostatik und -dynamik.
- Starke Wechselwirkung, kurzreichweitige Kernkraft (~10−15 m). Verantwortlich für Kernbindung.
- Schwache Wechselwirkung, extrem
kurzreichweitige
Kernkraft, bewirkt
z.B. den Beta-Zerfall von Kernen
Für die Dynamik ist die Gravitationskraft
entscheidend. Die Beschreibung von
Bewegungen baut auf den drei
Newtonschen Axiomen oder Gesetzen
auf.
38
Experimentalphysik I
3.2 Newtonsche Axiome
1. Axiom: Galileisches Trägheitsprinzip
"Ein Körper verharrt in seinem Bewegungszustand, so lange keine äußere
Kraft auf ihn wirkt."
F =0
v = const. bzw.
dv
=0
dt
Eine alternative Formulierung dieses
Axioms benutzt den Impuls p eines
Körpers der Masse m:
p = mv , Einheit kg m s −1
F =0
p = const.
Dies ist die so genannte Impulserhaltung und berücksichtigt auch den
Fall von nicht konstanter Massen m(t).
2. Axiom: Aktionsprinzip oder auch
"Grundgleichung der Mechanik"
"Jede Änderung des Bewegungszustandes erfordert die Einwirkung einer
äußeren Kraft."
In Richtung der Kraft F wirkt eine Beschleunigung a . Das Verhältnis aus Kraft
und Beschleunigung ist die Masse m.
d ( mv ) d p
F = ma =
=
dt
dt
Die Formulierung mit Hilfe des Impulses
berücksichtigt wieder zeitlich veränderliche Massen.
Die Einheit der Kraft ist Newton:
1N =
kg m
s2
39
Experimentalphysik I
Beispiele: Zeitlich veränderliche Massen
3. Axiom: Reaktionsprinzip
(i) Kernreaktionen, z.B. H1 + n
D2
D2: Deuterium, schwerer Wasserstoff
"Zwei Körper üben aufeinander gleich
große, entgegengesetzt wirkende Kräfte
aus."
Massenbilanz: mH + mn = mD + ∆m
Die fehlende Masse ∆m entspricht nach
Einstein der Energiedifferenz ∆Ε = ∆m c2.
Diese Energie wird als γ −Quant emittiert.
„actio = reactio“
F1
F2
F2 = − F1
(ii) Relativistische Geschwindigkeit, Zunahme der Masse mit Geschwindigkeit:
m (v ) =
m0
1− v2 / c2
m0: Ruhemasse für v = 0
c: (Vakuum-) Lichtgeschwindigkeit
Beispiel: Freier Fall
m
F = mg
F ' = −mg = − F
Erde
40
Experimentalphysik I
Masse m wird von der Erde mit der
Kraft F = mg angezogen. Umgekehrt
wird die Erde von der Masse m mit der
'
Kraft F = − mg angezogen.
Beispiel: Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft bei der Kreisbewegung
r (t )
Kraft und Gegenkraft greifen im
Allgemeinen
an
unterschiedlichen
Körpern an.
ϕ (t )
Aus der Zentripetalbeschleunigung
a = −ω 2 r folgt mit F = ma die Zentripetalkraft Fp, die der Kraft auf ein Seil
entspricht. Die Zentripetalkraft ist
umgekehrt gleich der nach außen
wirkenden Zentrifugalkraft Ff:
Zentripetalkraft:
F p = − mω 2 r
Zentrifugalkraft:
F f = + mω 2 r
41
Experimentalphysik I
Kräftegleichgewicht, Statik
Ein System, in dem keine Bewegungen
auftreten, nennt man statisch.
Die Erfahrung lehrt, dass eine Kraft
einen Körper beschleunigt. An einem
statischen System muss daher die
Summe der Kräfte verschwinden:
F1
Masse in
Ruhe
F2
Im statischen Gleichgewicht gilt für die
Vektorsumme aller Kräfte:
F1 + F2 + F3 +
n
i =1
+ Fn = 0
Fi = 0
Eine zweite Bedingung lautet, dass
auch keine Drehmomente auf das
System wirken, dass also auch für die
Vektorsumme aller Drehmomente gilt:
M1 + M 2 + M 3 +
n
Fi
i =1
+ Mn = 0
Mi = 0
Drehmomente werden in Abschnitt 3.8
eingeführt.
42
Experimentalphysik I
3.3 Äquivalenzprinzip
3.4 Messung & Zerlegung von Kräften
Im 2. Axiom ist die Masse m ein Maß
für die Trägheit gegenüber einer Beschleunigung durch von außen angreifende Kräfte, d.h. eine "träge Masse".
Die Gewichtskraft im Schwerefeld der
Erde ist
Lineare Federkraft: Hookesches Gesetz
FG = mg
mit der ortsabhängigen Erdbeschleunigung g (r ) . Die Größe der Gewichtskraft ist proportional zur Masse, die hier
als "schwere Masse" bezeichnet wird.
Nach dem Äquivalenzprinzip (und allen
bisherigen Präzisionsmessungen sind
schwere Masse ms und träge Masse mt
gleich:
ms = mt
x
Rücktreibende Kraft
ist proportional zur
Auslenkung:
Fr = − D x
D: Federkonstante
Einheit N/m
Alternative Messmethoden:
- Messung als Druck (Kraft pro Fläche)
- Stoßprozesse: Ablenkung von Körpern
in Kraftfeldern liefert Rückschlüsse auf
Form des Kraftfeldes. Beispiel Rutherford-Streuung an Atomkernen.
43
Experimentalphysik I
Kräfte an elastischen Körpern
Lineare Abhängigkeit:
Dehnung eines Drahtes
FD
FD
Die Dehnungskonstante ist
FD
Die Ausdehnung ∆x wird für verschiedene Gewichtskräfte G gemessen
FD
= D = const.
∆x
Hookesches Gesetz:
FD = D ∆x
44
Experimentalphysik I
Zerlegung von Kräften
Beispiel: Seilkräfte
Kräfte sind Vektoren und werden nach
dem Superpositionsprinzip ungestört
überlagert:
y
F1
Fges
F1
F2
F2
Fges = F1 + F2
Die Gesamtkraft, welche auf einen Körper wirkt, ist die Summe aller einzelnen
Kräfte, d.h.
Fges = F1 + F2 +
+ FN =
x
F3
N
i =1
Fi
F1 =
− F1 cos α
− F1 sin α
F3 =
F2 =
F2 cos β
− F2 sin β
0
− F3
45
Experimentalphysik I
F1 + F2 + F3 = 0
F1 + F2 = − F3
F2
α
F3
Durch Quadrieren erhält man
2
(
F3 = F1 + F2
)
2
Fs
FG
γ
F1
Gespanntes Seil mit Gewicht
= F12 + F22 + 2 F1 ⋅ F2
F32 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos γ
Es folgt
F32 − F12 − F22
cos γ =
2 F1 F2
FH
FG
Die Kraft, die das Seil spannt, ist FS.
Damit wird
FG = 2 Fs sin α
Fs =
FG
2 sin α
Für sehr kleine α kann Fs sehr groß
werden, das Seil reißt.
46
Experimentalphysik I
Flaschenzug mit N Rollen
Beispiel: Flaschenzug
Annahmen:
1. reibungslose Rolle: F1 = F2
2. Ideales Seil:
kein Biegemoment
1
F = Fs
2
lose Rolle
feste
Rolle
1
F = Fs
2
Zugkraft am Seil
F =
Fs
2N
47
Experimentalphysik I
3.5 Impulserhaltung
Beispiel: Schiefe Ebene
Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems ist eine Erhaltungsgröße:
FH
α
FN
p ges =
FG
α
FN = FG cos α
FH = FG sin α
Die Normalkraft FN drückt den Wagen
auf die Fahrbahn, die Hangabtriebskraft FH bewirkt die Bewegung
N
i =1
pi = const.
Wichtig ist die Abgeschlossenheit des
Systems.
Beispiele:
bremsender PKW: Fahrzeug und
Fahrbahn (Erde),
Billard: Kugel und Bande
Rakete: Rumpf und Abgase
Bei mehrdimensionalen bzw. vektoriellen Impulsen gilt die Impulserhaltung
aufgrund des Superpositionsprinzips für
jede Raumkomponente getrennt.
48
Experimentalphysik I
3.6 Raketenantrieb
Eine Rakete habe die Geschwindigkeit v
und die Masse m. Das Gas trete mit der
Geschwindigkeit v' aus der Rakete aus.
Das betrachtete Gesamtsystem besteht
hier aus der Rakete und den ausströmenden Gasen. In der Zeit ∆t verbrennt
die Treibstoffmasse ∆m, die Geschwindigkeit erhöht sich gleichzeitig um ∆v.
Die Impulsbilanz lautet:
Vakuum
p (t ) = mv
p(t + ∆t ) = (m − ∆m)(v + ∆v) + ∆mv '
Gas
v
v'
m
ve = v'−v < 0
Die Ausströmgeschwindigkeit des Gases
relativ zur Rakete ist
ve′ = v'−v
∆p = p (t + ∆t ) − p (t )
= m∆v + ∆mve − ∆m∆v
Die Impulsänderung ist dann
∆p
∆v ∆m
∆m ∆v
ve −
=m
+
∆t
∆t ∆t
∆t
dp
dv dm
∆p
ve
= lim
=m +
∆
→
0
t
dt
dt dt
∆t
da der dritte Summand gegen Null geht.
49
Experimentalphysik I
Die Impulsänderung nach dem 2. Axiom
ist gleich der äußeren Kraft F; sie setzt
sich zusammen aus dem Produkt aus
Masse m und Beschleunigung aR = dv/dt
der Rakete, und der Schubkraft Rve
F=
dp
= maR − Rve mit ve < 0
dt
und der Brennstoffrate R = −dm/dt > 0.
Integration der Gleichung von t = 0 bis
zur Brennzeit t = T , bei der der Brennstoffvorrat mB = m0 − m verbraucht ist,
wobei m0 die Startmasse ist, liefert
m0
m
− gt
v(T ) = ve ln
− gt = ve ln
m
m0
Beispiel: Saturn-Mondrakete
Für die erste
Raketenstufe gilt
Beim Start ist die äußere Kraft die Schwerkraft der Rakete, im All ist sie gleich null.
Start auf der Erdoberfläche:
m0 = 2.9 ×106 kg
m = 0.6 ×106 kg
ve = 2500 m/s
T = 153 s
dv dm
ve = −mg
F =m +
dt dt
dm
⇔ dv = −
ve − g dt
m
Dies ist die so genannte Raketengleichung.
v(T ) = 4000
m
m
− gT ≈ 2500
s
s
50
Experimentalphysik I
Beispiel: Raketenrucksack
3.7 Lösen von Bewegungsgleichungen
Bedingung für Aufsteigen ist aR > 0:
Beispiel: Freier Fall in Erdnähe
dv R
=
ve − g > 0
dt m0
Zahlenwerte:
m0 = 150 kg
ve = 300 m/s
R = 5 kg/s
Es wird die Reibung vernachlässigt und
angenommen, dass g = const.
m
z
Gewichtskraft
Fg = m g
g = 9.81
m
s2
Es handelt sich um ein eindimensionales
Problem, d.h. nur Komponenten entlang
der z-Achse sind ungleich Null. Das 2.
Newtonsche Axiom (Beträge) liefert:
Eine Flugzeit von z.B. T = 20 s erfordert
daher rund 100 kg Treibstoff.
F = ma = m g
d 2 z dv
=
=g
2
dt
dt
51
Experimentalphysik I
Zweimalige Integration der Gleichung
ergibt den der Fallweg z(t)
z (t ) =
1 2
g t + v0t + z0
2
Beispiel: Atwoodsche Fallmaschine
Beide Massen M und m werden durch
die Gewichtskraft der Masse m gleichmäßig beschleunigt.
Mit den Anfangswerten z0 und v0 als
Ort und Geschwindigkeit zur Zeit t = 0.
Für den Fall z0 = 0 und v0 = 0 erhält
man für die Fallkurve eine Parabel.
M
z [ m]
a
m
F
Fallkurve
x
Die Bewegungsgleichung lautet:
t
[s ]
F = (M + m ) a = (M + m ) x = m g
52
Experimentalphysik I
Integration liefert mit den Startwerten
x0 = 0 , v0 = 0
m
a=x=
g
M +m
m
gt
x=
M +m
1 mg 2
x(t ) =
t
2 M +m
Der Vergleich mit dem freien Fall zeigt
eine um den Faktor m⁄(M+m) geringere
Beschleunigung a.
Die Fallzeit t ist entsprechend erhöht:
t=
Beispiel: Federpendel
2 x(M + m )
2x
=
mg
a
D
FD
m
Fg
Masse
m
mit
Gewichtskraft Fg
hängt an einer Feder mit Federkonstante D. In der
Ruhelage (Kräftegleichgewicht, d.h.
Fg = FD) sei x = 0.
Wird die Masse um die Strecke x aus
der Ruhelage ausgelenkt, so wirkt die
rückstellende Federkraft
F (t ) = − D x(t )
53
Experimentalphysik I
Mit dem 2. Newtonschen Axiom,
d 2x
F = ma = m 2 = mx
dt
wird die Bewegung x(t) der Masse m
durch eine Differentialgleichung (DGL)
2. Ordnung beschrieben:
F (t ) = − D x(t ) = mx(t )
D
⇔ x(t ) = − x(t )
m
Eine allgemeine Lösung ist
x(t ) = A sin(ωt ) + B cos(ωt )
Dies ist die allgemeine Schreibweise
einer harmonischen Schwingung.
Die Randbedingung sei x (t = 0) = x0, d.h.
die Masse m wird zur Zeit t = 0 mit der
Anfangsauslenkung x0 losgelassen:
Einsetzen von x (t) in die DGL liefert die
Schwingung
x(t ) = x0 cos(ωt )
mit der Schwingungskreisfrequenz
ω=
D
m
Die Schwingungsfrequenz f (Anzahl der
Schwingungen pro Sekunde) und die
Periodendauer T (Zeit für eine
vollständige Schwingung) ist dann
f =
1
ω
=
2π 2π
D
1
, T=
m
f
54
Experimentalphysik I
Beispiel: (Mathematisches) Fadenpendel
l
ϕ
m
Fs
s
Fr
Fg
Masse m am Faden
der Länge l wird um
den Winkel ϕ bzw.
den Kreisbogenabschnitt s ausgelenkt.
Es ist
− s = −lϕ
Die Gewichtskraft Fg der Masse m wird
zerlegt in Seilkraft Fs und rücktreibende
Kraft Fr in Richtung der Bewegung mit
Fr = −mg sin ϕ
Das Minuszeichen berücksichtigt, dass
die rücktreibende Kraft der Auslenkung
entgegenwirkt.
Für kleine Auslenkungen ϕ << 1 gilt
sin ϕ = ϕ −
ϕ3
3!
+
ϕ5
5!
− ... ≈ ϕ
Die Bewegungsgleichung lautet dann
Fr = −mg ϕ = −mg
s
= ms
l
Mit der Randbedingung s (t = 0) = s0 lautet eine Lösung dieser harmonischen
Schwingungsgleichung wieder
s (t ) = s0 cos(ωt )
mit der Schwingungskreisfrequenz
ω=
g
l
55
Experimentalphysik I
Beispiel: Hemmpendel
Die Kugel des Fadenpendels schwingt
auf beiden Seiten auf
die gleiche Höhe h,
unabhängig von der
Position des Hemmstabs. In dieser Höhe
ist
die
kinetische
Energie vollständig in
potentielle
Energie
umgewandelt worden.
Hemmstab
h
56
Experimentalphysik I
3.8 Drehmoment und Drehimpuls
Drehmoment
Beispiel: Balkenwaage
Gleichgewicht
Waage:
m1
an
der
l
gleicharmigen
l
m2
Für m1 = m2 sind die Gewichtskräfte
gleich, also
F1 = F2
m2
Bei ungleichen Hebelarmen gilt:
F2
F1
m1
m1 l1 = m2 l2
F1 l1 = F2 l 2
Wenn die Kraft F und der Hebelarm l
senkrecht aufeinander stehen, so ist
das Produkt aus beiden das Drehmoment
M = Fl
57
Experimentalphysik I
Allgemein gilt für das Drehmoment:
r
M = r F sin α
α
r sin α
F
und damit
Experiment zum
Vektorprodukt des
Drehmoments mit Hilfe einer drehbaren
Scheibe:
M =r×F
r
Fall 1:
×
M
Fall 2:
r
Das Drehmoment als Vektorprodukt
M = r × F aus Hebelarmvektor und
Kraftvektor steht senkrecht zu den
beiden Größen und gibt die Drehachse
an, um die sich ein Körper drehen
könnte (falls M ungleich Null ist).
F⊥r
F
F
M = M
max
F || r
M =0
m1
m2
58
Experimentalphysik I
Experiment: Momentenscheibe
Drehimpuls
Der lineare Impuls war definiert durch:
Scheibe
p = mv
Der Drehimpuls eines Massepunktes
ist definiert als:
L = r × p = r × mv
Die Größe des Drehimpulses hängt
von der Wahl des Ursprungs ab.
Drehachse
L bezogen auf den Kreismittelpunkt O:
L || ω
Gewichte
59
Experimentalphysik I
L'bezogen auf den Punkt O'
:
L'
||ω
Der Drehimpuls war definiert als
L=r×p
Daraus folgt durch zeitliches Ableiten
dL
=r× p+r× p
dt
Wegen
p = mv = mr
r || p
r×p=0
ergibt sich:
Mit
r ≠ r 'gilt auch
L′ = mr ′ × v ≠ L = mr × v
dL
=r×p
dt
60
Experimentalphysik I
Mit dem 2. Newtonschen Axiom folgt
F=p
Das Drehmoment wurde definiert als:
M = r×F
3.9 Drehimpulserhaltung
Betrachtet wird ein abgeschlossenes
System aus zwei Teilchen der Massen
m1 und m2 an den Orten r1 und r2:
m1
r = r2 − r1
m2
Also gilt
dL
= r ×F = M
dt
Ein Drehmoment M bewirkt demnach
eine Änderung des Drehimpulses L .
Dies ist eine ähnliche Gleichung wie das
2. Newtonsche Axiom und wird daher
auch als Grundgleichung der Drehbewegung bezeichnet:
dL
=M
dt
⇔
dp
=F
dt
r1
r2
Nach dem 3. Newtonschen Axiom wirken entgegengesetzte, gleiche große
(Gravitations-) Kräfte auf die Massen.
Das gesamte Drehmoment lautet:
M = r1 × F12 + r2 × F21 = r × F12 = 0
weil F21 || r für Zentralkräfte ist.
61
Experimentalphysik I
In einem abgeschlossenen System, auf
das keine externen Momente einwirken,
gilt also die Drehimpulserhaltung:
M=
dL
=0
dt
L = const.
Dann gilt:
M = r × F (r ) = r × [ f (r ) r ] = 0
In Zentralkraftfeldern bleibt der Drehimpuls also erhalten.
Der Gesamtdrehimpuls des Systems ist
eine Erhaltungsgröße. Da der Drehimpuls ein Vektor ist, gilt diese Aussage
für jede einzelne Komponente.
Beispiel: Massepunkt im Zentralkraftfeld
In einem Zentralkraftfeld zeigt die Kraft
entlang der Verbindungslinie der miteinander wechselwirkenden Körper und
ist eine Funktion des Abstandes:
F (r ) = f (r ) r
62