Skript Gleichstromtechnik, Sommersemester 2017
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Grundlagen Elektrotechnik - Gleichstromtechnik Herausgeber: Manfred Strohrmann Änderungsindex Version Datum Verfasser Änderungen 6 01.03.2017 M. Strohrmann 5 01.03.2016 M. Ihle Korrektur von Rechtschreib- und Rechenfehlern 4 14.09.2009 M. Litzenbuger, M. Strohrmann Korrektur von Rechtschreib- und Rechenfehlern 3 21.12.2007 M. Strohrmann Überarbeitung und Erweiterung der Musterlösungen zu den Übungsaufgaben 2 01.03.2004 R. Koblitz Überarbeitung 1 02.10.2002 R. Koblitz Erstausgabe Überarbeitung für H.ErT.Z-Online Inhalt 1 Einführung....................................................................................... 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 Ladung, elektrisches Feld und elektrischer Strom....................... 7 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3 Knotenregel ............................................................................................................................... 73 Maschenregel ............................................................................................................................ 77 Potenziale von Schaltungspunkten ........................................................................................... 80 Beispiel zur Schaltungsberechnung mit Maschen- und Knotenregel ........................................ 81 Zusammenfassung .................................................................................................................... 82 Literaturverzeichnis ................................................................................................................... 83 Zusammenschaltung von Widerständen und idealen Quellen .. 85 6.1 6.2 6.3 7 Begriff des Zweipols .................................................................................................................. 39 Bezugspfeile für Ströme und Spannungen ................................................................................ 39 Verhalten von Zweipolen ........................................................................................................... 45 Ideale Quellen als Zweipole ...................................................................................................... 47 Verbraucher als passive Zweipole ............................................................................................ 51 Literaturverzeichnis ................................................................................................................... 72 Maschen- und Knotenregel .......................................................... 73 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 6 Elektrische Arbeit, Potential und Spannung .............................................................................. 27 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad ........................................................................................... 33 Zusammenfassung .................................................................................................................... 37 Literaturverzeichnis ................................................................................................................... 38 Zweipole ........................................................................................ 39 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 5 Grundbegriffe und Phänomene der Elektrizität ........................................................................... 7 Leiter, Halbleiter und Isolatoren................................................................................................. 12 Ladung und Stromstärke ........................................................................................................... 16 Ladungstransport in homogenen elektrischen Leitern .............................................................. 19 Zusammenfassung .................................................................................................................... 25 Literaturverzeichnis ................................................................................................................... 26 Spannung und elektrische Arbeit ................................................ 27 3.1 3.2 3.3 3.4 4 Geschichte der Gleichstromtechnik ............................................................................................. 1 Aufbau des Buchs und ergänzende Lehrmaterialien .................................................................. 3 Danksagung................................................................................................................................. 5 Literaturverzeichnis und Quellenangaben ................................................................................... 6 Zusammenschaltung von Widerständen ................................................................................... 85 Zusammenschaltung von idealen Quellen ................................................................................ 98 Literaturverzeichnis ................................................................................................................. 101 Strom- und Spannungsteilung ................................................... 103 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Stromteilerregel ....................................................................................................................... 103 Spannungsteilerregel ............................................................................................................... 105 Messen elektrischer Größen ................................................................................................... 112 Vereinfachung von Schaltungen durch Ausnutzen von elektrischen Symmetrien .................. 114 Literaturverzeichnis ................................................................................................................. 117 8 Lineare Quellen ........................................................................... 119 8.1 8.2 8.3 8.4 9 Lineare Quellen und ihre Ersatzschaltungen .......................................................................... 119 Bestimmung der Kenngrößen linearer Quellen ...................................................................... 130 Zusammenfassung ................................................................................................................. 132 Literaturverzeichnis ................................................................................................................. 133 Superpositionsprinzip ................................................................ 135 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 10 10.1 10.2 10.3 10.4 11 Lineare Zweipole..................................................................................................................... 135 Analyse eines linearen Netzwerks .......................................................................................... 137 Superpositionsprinzip.............................................................................................................. 139 Bedeutung des Superpositionsprinzips .................................................................................. 142 Literaturverzeichnis ................................................................................................................. 146 Verbindung von Zweipolen ...................................................... 147 Analytische Bestimmung der Ströme und Spannungen bei linearem Verbraucher ............... 147 Grafische Bestimmung der Ströme und Spannungen ............................................................ 148 Leistungsanpassung ............................................................................................................... 151 Literaturverzeichnis ................................................................................................................. 156 Vierpole ...................................................................................... 157 11.1 Beschreibung des Klemmenverhaltens von linearen Vierpolen ............................................. 157 11.2 Beschreibung des Klemmenverhaltens über gesteuerte Quellen .......................................... 162 11.3 Literaturverzeichnis ................................................................................................................. 166 12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 Operationsverstärker ................................................................ 167 Grundlagen zur Beschreibung von Operationsverstärkern .................................................... 168 Operationsverstärker als Komparatoren ................................................................................. 171 Verstärkerschaltungen mit Operationsverstärkern ................................................................. 172 Vorgehen bei der Analyse von Operationsverstärkerschaltungen ......................................... 183 Schmitt-Trigger-Schaltungen .................................................................................................. 190 Reale Operationsverstärker .................................................................................................... 196 Literaturverzeichnis ................................................................................................................. 199 1 Einführung 1.1 Geschichte der Gleichstromtechnik In elektrischen Stromkreisen wird Energie in Form von getrennter Ladung zur Verfügung gestellt, die über Leitungen zum Verbraucher transportiert wird. Die Stromkreise bestehen damit im Wesentlichen aus Energieerzeugern, Verbindungsleitungen und Verbrauchern. Hinsichtlich des Stromverlaufs wird zwischen Gleich- und Wechselstromkreisen unterschieden. Als Gleichstrom wird ein elektrischer Strom bezeichnet, dessen Stärke und Richtung sich als Funktion der Zeit nicht ändert. Historisch betrachtet gilt die voltasche Säule als erster technisch brauchbarer Erzeuger für elektrische Energie. Ausgangspunkt für ihre Entwicklung war die Veröffentlichung einer Beobachtung des Mediziners Galvani. Er stellte beim Sezieren von Froschschenkeln, die an einem Eisengitter fixiert waren, Muskelkontraktionen fest. Durch diese Veröffentlichung wurde Volta angeregt, sich mit diesem Phänomen zu beschäftigen. Er erkannte, dass zwischen zwei verschiedenen Metallen, die von einer leitenden Flüssigkeit umgeben sind, eine elektrische Spannung entsteht. Er gab diesem Phänomen den Namen Galvanismus, der bis heute verwendet wird. Aufgrund seiner Theorie entwickelte er die voltasche Säule, die aus mehreren Lagen übereinandergeschichteter Elemente aufgebaut ist. Jedes Element besteht aus einer Kupfer- und einer Zinkplatte. Zwischen den Metallen, die ein unterschiedliches elektrochemisches Potential besitzen, befindet sich ein in Säure oder Salzlösung getränkter Stoff als flüssiger Leiter. Die voltasche Säule gilt als erste Spannungsquelle, die größere Ströme liefern konnte. Sie ist die Vorläuferin der heutigen Batterie. Ein Beispiel ist in Bild 1.1 dargestellt. Bild 1.1: Voltasche Säule [Chie16] Die Anwendung des galvanischen Effektes wurde durch zahlreiche Forscher weiter entwickelt. So konstruierte Johann Wilhelm Ritter 1802 den ersten Akkumulator, einen wieder aufladbaren Speicher elektrischer Energie, der aus Kupferplatten und einer in Kochsalzlösung getränkten Pappe bestand. 1892 stellte der Amerikaner Edward Weston ein Quecksilber-Cadmium-Element vor, das lange als Normalelement für die Einheit ein Volt verwendet wurde. Thomas Alva Edison stellte einen alkalischen Nickel-Eisen-Akkumulator her, der in Bild 1.2 dargestellt ist. Bis heute ist die Entwicklung von Batterien und Akkumulatoren nicht abgeschlossen. Vor allem für die Elektromobilität wird an leistungsstarken Energiespeichern mit kleinem Gewicht geforscht. Bild 1.2: Alkalischer Nickel-Eisen-Akkumulator von Alva Edison [User16] Volta ebnete mit seiner Erfindung den Weg in die Elektrotechnik und startete eine bis heute andauernde Entwicklung. 1820 gelang Hans Christian Oestad der Nachweis des Zusammenhangs zwischen Elektrizität und Magnetismus. Michael Faraday entdeckte daraufhin 1831 die elektromagnetische Induktion, die durch Werner von Siemens 1866 in der Entwicklung der Dynamomaschine technisch genutzt wurde. Über das Grundprinzip der Dynamomaschine wurde es ermöglicht, einer breiten Masse der Bevölkerung elektrische Energie zur Verfügung zu stellen. Nikola Tesla und Galileo Ferraris haben 1882 Mehrphasensysteme genutzt, die Voraussetzung für den ersten Zweiphasenmotor mit Drehfeld waren. 1882 nahm Thomas Alva Edison das erste Elektrizitätswerk der Welt in Betrieb. Im gleichen Jahr wurde die erste Gleichstromübertragung durch Oskar von Miller und Marcel von Deprez ermöglicht. Zur verlustarmen Energieübertragung auf großen Strecken, die durch die Entwicklung leistungsfähiger Wechselstromgeneratoren und Transformatoren ermöglicht wurde, wird jedoch seit Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts Wechselstrom genutzt [VOLK94]. Die aktuelle Diskussion zum Netzausbau zeigt, dass der Energietransport auch mit sehr großen Wechselspannungen über große Distanzen nicht wirtschaftlich ist. Stattdessen wird die am Generator entstehende Wechselspannung zu einer Gleichspannung gleichgerichtet. Die Energie wird dann mit Hilfe von Hochspannungs-Gleichtrom-Übertragung transportiert. Um hohe Spannungen zu erreichen, werden dabei moderne Halbleiterbauelemente eingesetzt. Aber auch die Nutzung von Gleichstrom in Endgeräten gewinnt ständig an Bedeutung. Die zunehmende Digitalisierung und Automatisierung wird, neben dem Fortschritt in der Informatik und des Internets, vor allem durch die Weiterentwicklung elektronischer Schaltungen vorangetrieben, die über Halbleiter-Bauelemente realisiert werden. Diese werden vorwiegend mit Gleichspannung betrieben, die über eine Gleichrichtung der Wechselspannung erzeugt oder über Akkumulatoren zur Verfügung gestellt wird. Eine zunehmende Miniaturisierung von Bauteilen erlaubt die Realisierung komplexer Schaltungen auf kleinstem Raum, deren Entwurf, Berechnung und Dimensionierung immer aufwendiger werden. Grundlage dafür ist der sichere Umgang mit elektrischen Größen und ein weitreichendes Verständnis der Elektrizitätslehre [JAEG10]. 1.2 Aufbau des Buchs und ergänzende Lehrmaterialien Das vorliegende Buch ist ein Teil einer Buchreihe zu den Grundlagen der Elektrotechnik, die an der Hochschule Karlsruhe im Rahmen des Projektes H.ErT.Z erstellt wurde. Dieser Teil konzentriert sich auf die Gleichstromtechnik. Die Buchreihe richtet sich an Studierende aller technischen Fächer, insbesondere an Elektrotechnik-Studierende der Hochschulen für angewandte Wissenschaften. Sie basiert auf Erfahrungen aus der Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik an der Hochschule Karlsruhe Technik und Wirtschaft. 1.2.1 Aufbau des Buchs Zu Beginn wird auf Basis beobachtbarer Phänomene der Begriff der Ladung eingeführt. Es werden Kräfte auf Ladungen beschrieben, die zur Definition des elektrischen Feldes führen. Damit verbunden sind die elektrische Arbeit, elektrische Leistung sowie die elektrische Spannung und Strom. Aufbauend auf diesen Grundlagen werden aktive und passive Zweipole vorgestellt. Dazu wird zunächst ein Zählpfeilsystem festgelegt und die Charakteristiken von Zweipolen werden über StromSpannungskennlinien beschrieben. Das Zusammenschalten von Zweipolen führt zu Berechnungsmethoden von Netzwerken mithilfe von Maschen- und Knotenregeln. Sonderfälle für das Zusammenschalten von Zweipolen sind Parallel- und Reihenschaltung sowie Stern- und Dreieck-Schaltungen. Diese Kenntnisse werden auf die Berechnung von Spannungs- und Stromteilern angewendet. Zwei weitere Konzepte zur Schaltungsanalyse und -berechnung sind lineare Quellen und die damit verbundene Quellenwandlung. Zur Berechnung von Spannungen und Strömen in linearen Schaltungen werden der Satz der Ersatzquelle und das Superpositionsprinzip vorgestellt und angewendet. Nach Einführung der Grundlagen zur Beschreibung von Vierpolen mit gesteuerten Quellen werden Schaltungen mit idealen Operationsverstärkern analysiert. Die Knotenspannungsanalyse und die erweiterte Knotenspannungsanalyse geben einen Einblick in die rechnergestützte Berechnung von Stromkreisen. Die Darstellungen in diesem Buch werden mit Beispielen illustriert. Beispiele beginnen mit einem grauen Balken und enden mit einem kleinen Quadrat. Beispiel: Erläuterung des Beispiels In Formeln sind physikalische Größen kursiv gedruckt, während Einheiten und Zahlenwerte ein normales Format besitzen. I Q 6 C 3 A t 2s (1.1) Vektorielle Größen sind unterstrichen. F =Q E (1.2) Sind Größen, die eigentlich Vektoren sind, nicht unterstrichen, handelt es ich um skalare Größen. F =QE (1.3) Literaturhinweise sind mit eckigen Klammern [Chie16] gekennzeichnet und am Ende jedes Kapitels beschrieben. 1.2.2 Projekt H.ErT.Z Das Fach Elektrotechnik wird an der Hochschule Karlsruhe in unterschiedlichen Studiengängen und Fakultäten unterrichtet. Es ist Grundlagenfach für viele Studiengänge der Ingenieurtechnik. An der Hochschule Karlsruhe wurde das Projekt H.ErT.Z durchgeführt. Der Name ist eine Abkürzung für Hochschuloffenes ElektroTechnik Zentrum. In dem Projekt H.ErT.Z wurden unterschiedliche Konzepte entwickelt, mit denen die Praxisrelevanz des Fachs Elektrotechnik verdeutlicht und das Verständnis der Studierenden für das Fach Elektrotechnik gesteigert werden soll. Es wurde vom Land Baden-Württemberg und der Hochschule Karlsruhe gefördert. H.ErT.Z Online Für die Internetplattform H.ErT.Z Online wurden im Rahmen des Projekts elektrotechnische Grundlagen didaktisch aufbereitet. Die daraus entstandenen interaktiven Lehrmaterialien können in Vorlesungen eingesetzt und im Selbststudium als virtuelles Nachschlagewerk genutzt werden. Die Studierenden haben die Möglichkeit, das zugrunde liegende Buch als PDF-Dokument herunterzuladen oder es online mit mehreren Zusatzfunktionen durchzuarbeiten. Zu den präsentierten Inhalten werden themenbezogen Links zu Praxisbeispielen sowie Applikationen, Simulationen und virtuellen Versuchen bereitgestellt. Wesentlicher Erfolgsfaktor für das Verständnis und den praktischen Umgang mit den Methoden der Gleichstromtechnik ist das selbstständige Bearbeiten von Übungsaufgaben. Aus diesem Grund werden auf der Plattform H.ErT.Z Online Übungsaufgaben mit umfangreichen Musterlösungen angeboten, die eine Semester begleitende Vertiefung ermöglichen. H.ErT.Z Simulationen und Applikationen Viele Schaltungsbeispiele werden in der Online-Plattform mithilfe des Simulationsprogramms Plecs [PLEC16] simuliert. Bei der Simulation können Parameter verändert und die Auswirkung auf Ströme und Spannungen der Schaltung direkt beobachtet werden. Für komplexe elektrotechnische Sachverhalte und Zusammenhänge werden außerdem Applikationen zur Verfügung gestellt, die einen spielerischen Zugang zu diesen Themenbereichen ermöglichen. Hier können Parameter verändert und die Folgen dieser Modifikationen auf die Ausgangssignale beobachtet werden. Durch diese interaktiven Elemente wird ein intuitives Verständnis für Zusammenhänge und Abhängigkeiten elektrischer Schaltungen gefördert. Elektrotechnik in 100 Sekunden In kurzen Videobeiträgen der Reihe „Elektrotechnik in 100 Sekunden“ werden Grundbegriffe der Elektrotechnik erklärt und an Beispielen demonstriert. Die Videos können in Vorlesungen eingesetzt werden oder dem Selbststudium zu Hause dienen. Sie haben eine kurze Laufzeit und beschränken sich auf das Wesentliche. Virtuelle Versuche Auf der Online-Plattform stehen außerdem Videos zur Verfügung, die Versuchsanordnungen zu elektrotechnischen Grundlagen zeigen. Diese virtuellen Versuche sind mit Aufgabenstellungen und Erläuterungen verknüpft. Um Studierenden eine eigenständige Auswertung zu ermöglichen, werden passende Datensätze und Auswertungshinweise zur Verfügung gestellt. Die virtuellen Versuche festigen nicht nur Grundlagenwissen in Elektrotechnik, sondern sie fördern auch das wissenschaftliche Denken und Arbeiten. Sie können im Selbststudium oder in Tutorien genutzt und bearbeitet sowie im Rahmen von innovativen Lehrmethoden (z. B. Inverted Classroom) eingesetzt werden. 1.3 Danksagung Das Buch beruht auf einem Entwurf von Prof. Dr. Rudolf Koblitz, der über die Jahre von verschiedenen Kollegen weiterentwickelt und erweitert wurde. In das Buch sind aber auch viele Hinweise der Studierenden der Hochschule Karlsruhe eingeflossen. An dieser Ausgabe für das Projekt H.ErT.Z haben Prof. Dr. Thomas Ahndorf, Prof. Dr. Marc Ihle, Cosima Klischat, Jochen Lang, Prof. Dr. Manfred Litzenburger, Prof. Dr. Rainer Merz, Raffael Naida und Prof. Dr. Ulrich Schönauer wesentlich mitgewirkt. Für die Umsetzung des Konzeptes als Online-Plattform bedanke ich mich bei Claudia Gieb, für das Erstellen der Zeichnungen und Schaltpläne bei Norbert Gatz. Bilder sagen bekanntlich mehr als viele Worte. Deshalb sind in dem vorliegenden Buch viele Zeichnungen und Fotos abgebildet. Die meisten Bilder wurden an der Hochschule Karlsruhe selbst erstellt. Einige Bilder für dieses Buch kommen aus frei zugänglichen Quellen, die eine lizenzfreie Veröffentlichung ermöglichen. Ich möchte mich bei allen herzlich bedanken, deren Bilder wir in diesem Buch verwenden dürfen. Prof. Dr. Manfred Strohrmann Karlsruhe, 01.03.2017 1.4 1.4.1 Literaturverzeichnis und Quellenangaben Quellenangaben [Chie16] Luigi Chiesa: Voltasche Säule (Pila di Volta - Foto Scattata a Explorazione, Treviglio), Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5081899, Zugriff 23.12.2016 [User16] Userz22: Thomas Edison's nickel–iron batteries, Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=29533891, Zugriff 23.12.2016 [PLEC16] PLECS: Die Simulationsplattform für leistungselektronische Systeme, Plexim GmbH, Technoparkstrasse 1, 8005 Zürich, https://www.plexim.com/de/plecs, , Zugriff 23.12.2016 1.4.2 Literaturstellen zur Geschichte der Elektrotechnik [VOLK94] P. Volkmann: Technikpioniere, Namensgeber von Einheiten physikalischer Größen. VDE Verlag, Berlin Offenbach 1994 [JAEG10] K. Jäger, F.Heilbronner: Lexikon der Elektrotechniker. VDE Verlag, Berlin Offenbach, 2010 1.4.3 Interessante WEB-Links zum Thema [SERV16] Servus TV: Die Geschichte der Elektrizität, https://www.youtube.com/watch?v=mWWImxAaels, Zugriff 23.12.2016 [ZDFN16] ZDF Neo: Der Stromkrieg Thomas Edison und George Westinghouse, https://www.youtube.com/watch?v=XpNCaHpSZbY, Zugriff 23.12.2016 2 Ladung, elektrisches Feld und elektrischer Strom Als Einführung in die Gleichstromtechnik werden Grundbegriffe der Elektrizität vorgestellt. Sie bilden die Basis zur Beschreibung von Mechanismen zum Ladungstransport. Die Bewegung von Ladungsträgern führt zur Definition des elektrischen Stroms, der wesentliche Voraussetzung für die Schaltungsanalyse ist. 2.1 2.1.1 Grundbegriffe und Phänomene der Elektrizität Reibungselektrizität Bereits um 550 v. Chr. hat Thales von Milet die Reibungselektrizität nachgewiesen [Wiki16]. Bernstein, der an Wolle gerieben wird, zieht Fasern, kleine Federchen und ähnliche Stoffe an. Bernstein hieß bei den Griechen und wird als ilektro gesprochen. Der Versuch zur Reibungselektrizität ist damit der Ursprung des Wortes Elektrizität. Nach dem Reiben zweier unterschiedlicher Körper wirkt zwischen ihnen eine anziehende Kraft, die der Wirkung elektrischer Ladungen zugeschrieben wird. Dabei wird von zwei verschiedenen elektrischen Ladungstypen ausgegangen. Sie werden als positive und negative Ladungen bezeichnet. Durch Reibung werden einem Material Elektronen entzogen, die das andere Material aufnimmt. Grund für diesen Effekt ist, dass unterschiedliche Materialien Elektronen unterschiedlich stark an sich binden. Die Stärke der Bindung von Elektronen im Material wird Elektronegativität genannt. Der Stoff mit der kleineren Elektronegativität gibt beim Reiben Elektronen ab und ist wegen eines Elektronenmangels positiv geladen. Der mit der höheren Elektronegativität nimmt Elektronen auf und ist damit negativ geladen. Es entstehen zwei geladene Körper, deren Ladungen betragsmäßig gleich groß sind, aber unterschiedliches Vorzeichen aufweisen. Im Online-Portal H.ErT.Z Online verdeutlicht der virtuelle Versuch Reibungselektrizität die Ladungstrennung und gibt weitere Informationen zur Reibungselektrizität. Für einen erfolgreichen Versuch müssen Materialien verwendet werden, die Elektronen unterschiedlich stark binden. Je größer der Unterschied der Elektronegativität der beteiligten Stoffe ist, desto größer ist die Ladungstrennung. Werden zum Beispiel Wolle und Bernstein aneinander gerieben, gehen Elektronen von der Wolle zum Bernstein über, da Bernstein eine höhere Elektronegativität aufweist. Bild 2.1 ordnet unterschiedliche Stoffe hinsichtlich ihrer Elektronegativität. In der Grafik steigt die Elektronegativität von Katzenfell zu Speckstein an. Glas Katzenfell + Diamant Flanell Hasenfell Blei Wolle Baumwolle Seide Amalgam Bernstein Papier Fell Hartgummi Speckstein - Schwefel Metall Richtung steigender Elektronegativität Bild 2.1: Ordnung unterschiedlicher Stoffe hinsichtlich ihrer Elektronegativität Die Versuche von Thales zeigen, dass Elektrizität nicht direkt wahrgenommen werden kann, sie ist nicht direkt sichtbar. Elektrizität wird durch ihre Wirkung beschrieben. 2.1.2 Kräfte auf Ladungen im elektrischen Feld Zum weiteren Verständnis des Begriffes der Ladung wird ein Versuch zur Beobachtung von Kräften auf geladene Körper vorgestellt. Zwei gleiche Kunststoffkugeln mit leitender Oberfläche hängen an Fäden. Eine Kugel wird mit dem Pluspol, die andere mit dem Minuspol einer Hochspannungsquelle verbunden. Die beiden Kugeln ziehen sich gegenseitig an, sie üben eine Kraftwirkung aufeinander aus. Werden beide Kugeln gleichzeitig nur mit dem Pluspol oder nur mit dem Minuspol in Kontakt gebracht, stoßen sich die Kugeln bei gegenseitiger Annäherung voneinander ab. Im Online-Portal H.ErT.Z Online verdeutlicht der virtuelle Versuch Kraftwirkung auf Ladungen die Kraftwirkung auf geladene Körper. Auch dieses Experiment zeigt die Kraftwirkung auf elektrische Ladungen. Kräfte, die auf die Ladungen wirken, werden coulombsche Kräfte genannt (Charles A. Coulomb, 1736 - 1806). In Bild 2.2 sind die coulombsche Kräfte und ihre Richtungen skizziert. Ladungen ungleichen Vorzeichens ziehen sich an, Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen sich ab. Unterschiedlich geladene Körper ziehen sich an + - Zwei positiv geladene Körper stoßen sich ab + + Zwei negativ geladene Körper stoßen sich ab - Kraftwirkung F Bild 2.2: Coulombsche Kräfte F auf elektrische Ladungen Berühren sich zwei Kugeln, die eine entgegengesetzte Ladung gleichen Betrags besitzen, gleichen sich die Ladungen aus. Sie sind nach dem Kontakt elektrisch neutral. Bei der Berührung findet ein Ladungsausgleich statt, die Kugeln werden entladen und die Kraftwirkung verschwindet. Coulombsche Kräfte treten auch im Vakuum auf, bedürfen also keines besonderen Mediums. Jede Ladung verändert in ihrer Umgebung den Zustand des Raumes derart, dass auf andere Ladungen Kraftwirkungen ausgeübt werden. Dieser besondere Zustand des Raumes wird als elektrisches Feld bezeichnet. Das elektrische Feld E wird über die Kraft F definiert, die auf eine Ladung Q wirkt. Es gilt der vektorielle Zusammenhang F =Q E (2.1) Hierbei sind die beiden Größen F und E gerichtete Größen (Vektoren). Die Proportionalitätskonstante Q wird als elektrische Ladung bezeichnet. Für die elektrische Ladung wird das Formelzeichen Q verwendet, ihre Einheit ist das Coulomb (C). Q C A s (2.2) Das Coulomb ist eine abgeleitete Größe des SI-Einheitensystems. Sie wurde nach dem Physiker Charles A. Coulomb benannt, der die Beziehung zwischen Kraft und Ladung erkannte. Ladung lässt sich messen und liegt nur als ganzzahliges Vielfaches einer Elementarladung e vor. Q n e (2.3) Unter der Elementarladung wird die kleinstmögliche, nicht mehr weiter teilbare, Ladung verstanden. Sie hat einen Wert von e 1,6 1019 C (2.4) Die Elementarladung wird von Elektronen und Protonen getragen. Elektronen tragen negative, Protonen positive Ladung. Nach Bild 2.2 stoßen sich Ladungen gleichen Vorzeichens ab, Ladungen ungleichen Vorzeichens ziehen sich an. Ist die Ladung positiv, wirkt nach Gleichung (2.1) die Kraft in gleicher Richtung wie das elektrische Feld. Bei negativer Ladung sind Kraft und Feldstärke entgegengesetzt zueinander. Dieser Zusammenhang ist in Bild 2.3 verdeutlicht. Q Elektrisches Feld E Q Kraftwirkung F Bild 2.3: Kraft F auf positive und negative Ladungen Q im elektrischen Feld E Es wird sich zeigen, dass das elektrische Feld die Ursache für die Bewegung der positiven beziehungsweise negativen Ladungsträger in einem elektrischen Leiter ist. 2.1.3 Ladung und Atommodell Zum weiteren Verständnis elektrischer Vorgänge sind Grundkenntnisse zum Atommodell erforderlich. Material besteht aus Atomen, die früher als unteilbar galten. Sie bestehen aus den Ladungsträgern Protonen und Elektronen. Beide tragen die Elementarladung e. Das Elektron besitzt eine negative, das Proton eine positive Elementarladung. Im Atom ist die Anzahl der Protonen und Elektronen gleich groß, sodass ein solches Atom nach außen hin elektrisch neutral wirkt. Durch Energiezufuhr kann ein Atom zu einem Ion werden. Bei der Ionisierung werden entweder Elektronen aus der Atomhülle entfernt oder angelagert. Bei fehlenden Elektronen spricht man von einem positiven, bei Elektronenüberschuss von einem negativen Ion. Ein weiteres Teilchen des Atoms ist das elektrisch neutrale Neutron. Protonen und Neutronen bilden den Atomkern, der den überwiegenden Anteil der Masse eines Atoms enthält. Ein Proton oder ein Neutron besitzt etwa das 2000-fache der Masse eines Elektrons. Tabelle 2.1: Eigenschaften der Elementarteilchen Elementarteilchen Durchmesser d / m Ruhemasse m / kg Proton 1,710 -15 1,67310 -27 Neutron 1,510 -15 1,67510 -27 Elektron < 10 0,91110 -30 -19 Elementarladung / C + 1,610 -19 0 -1,610 -19 Zum Verständnis elektrischer Vorgänge wird das bohrsche Atommodell (Niels Bohr, 1885 - 1962) verwendet. Nach diesem Modell umkreisen Elektronen den Atomkern auf geschlossenen Bahnen. Die Kreisbewegung der Elektronen bewirkt eine Zentripetalkraft, welche die Elektronen vom Kern abstößt. Die coulombsche Kraft wirkt dagegen anziehend. Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung der Elektronen sind die Beträge dieser Kräfte gleich groß. Wenn sich ein Elektron für eine Kreisbahn zu langsam um einen Atomkern bewegt, wird es vom Atomkern angezogen und gelangt auf eine niedrigere Bahn herab. Dabei gewinnt es an Geschwindigkeit, sodass die Zentripetalkraft ansteigt. Es stellt sich ein anderes Gleichgewicht aus coulombscher Kraft und Zentripetalkraft ein. Nach der klassischen Physik müsste es demnach unendlich viele Gleichgewichtszustände mit Kreis- und Ellipsenbahnen geben. Bohr, Planck und andere Naturwissenschaftler haben jedoch herausgefunden, dass nur Bahnen mit definierten Energieniveaus vorkommen (Quantenphysik). Daher stellen sich aussschließlich bestimmte Bahnen ein. Diese werden Schalen genannt. Für jede Schale gibt es eine durch die Quantenphysik vorgegebene maximale Anzahl von Elektronen, die sich in der Schale aufhalten können. Ist diese Anzahl erreicht, wird von einer voll besetzten Schale gesprochen. Die Anzahl der Elektronen einer voll besetzten Schale ist unterschiedlich groß. Werden die Schalen von innen nach außen mit n nummeriert, kann man die maximale Anzahl der Elektronen auf dieser Bahn n mit 2n 2 angeben. Bild 2.4 verdeutlicht das Modell für das Element Kupfer. Die Elektronen der äußersten Schale werden als Valenzelektronen bezeichnet. Bei Metallen können diese mit anderen Atomen wechselwirken und sind im dadurch gebildeten Kristallgitter frei beweglich. Sie bestimmen die Leitfähigkeit des Materials. Tabelle 2.2 zeigt einen Ausschnitt des Periodensystems der Elemente. Dabei sind für jedes Element Name und Symbol, die Ordnungszahl, das Atomgewicht, die Elektronenkonfiguration sowie die Elektronegativität dargestellt. Bild 2.4: Illustration des Bohrschen Atommodells für das Element Kupfer ( Atomkern, Elektronen, freies Elektron, Valenzelektronen) Zum Beispiel hat das Element Kupfer nach dem Periodensystem der Elemente eine Ordnungszahl von 29 und damit 29 Elektronen. Sie sind auf 4 Schalen verteilt. Die inneren Schalen sind mit 2, 8 und 18 Elektronen vollständig besetzt. Das letzte Elektron auf der äußersten Schale ist ein Valenzelektron. Es trägt zum Ladungstransport bei. Das Atomgewicht von 63,546 besagt, dass ein Mol Kupfer ein Gewicht von 63,546 g besitzt. Ein Mol entspricht einer Anzahl von 6,0221023 Atomen des jeweiligen Stoffes. Tabelle 2.2: Ausschnitt des Periodensystems der Elemente 1 H 2 Wasserstoff 1,00079 1 2,1 3 4,0026 2 Ordnungszahl Li 4 Beryllium 6,941 2/1 9,0122 2/2 1,0 1,0 1 Be Lithium Name Symbol 5 Elektronenkonfiguration B 6 Bor Kupfer 63.546 2/8/18/1 Atomgewicht 1,5 Cu Kohlenstoff 12,011 2/4 10,811 2/3 2,0 Elektronegativität 1,9 C7 13 Natrium Alumnium Silicium Magnesium 22,990 24,305 2/8/1 2/8/2 0,9 1,2 26,982 2/8/3 K 20 Ca 21 Sc 22 Kalium Calcium Ti 23 Cr 25 Mn 26 Sr 39 Y 40 Rubidium Strontium Yttrium Vanadium Chrom Mangan Fe 27 Co 28 Zirconium Niob 55 Cs 56 Ba 57-71 72 Cäsium Hafnium 132,91 137,33 2/8/18/18/ 2/8/18/18/ 8/1 8/2 0,7 0,9 87 3,0 Al 14 Si 15 Phosphor Nickel Kupfer Zink Fluor Neon 18,988 2/7 20,180 2/8 3,5 P 16 F 10 Ne 4,0 S 17 Cl 18 Schwefel Chlor 28,086 30,974 32,065 35,453 2/8/4 2/8/5 2/8/6 2/8/7 1,5 1,8 2,1 2,5 H 34 Se 35 Ar Argon 39,948 2/8/8 3,0 Br 36 Kr Gallium Hf 73 Ta 74 Ruthenium 101,07 2/8/18/15/ 1 2,2 Rhodium Rhenium Osmium In 50 Sn 51 Cadmium Indium Zinn Sb 52 Te 53 Antimon Tellur I 54 Iod Ir 78 Iridium Pt 79 Au 80 Hg 81 Platin Gold Quecksilber 186,21 190,23 192,22 195,08 196,97 200,59 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 13/2 14/2 15/2 17/1 18/1 18/2 1,9 2,2 2,2 2,2 2,4 1,9 Tl 82 Pb 83 Thalium Blei Bi 84 Po 85 Bismut At 86 Polonium Astat (223) 226,03 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 18/8/1 18/8/2 0,7 0,9 H2 H3 H4 Dubnium Seaborgium (262) (263) 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 32/11/2 32/12/2 H5 H 6 Bohrium Meitnerium (262) (265) (266) 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 32/13/2 32/14/2 32/15/2 H 7 Hassium H8 H9 Darmstadtium (269) 2/8/18/32/ 32/17/1 H 10 Röntgenium (272) 2/8/18/32/ 32/18/1 H 11 Copernicium (277) 2/8/18/32/ 32/18/2 H 12 Rn Radon 204,38 207,2 208,98 209,98 (210) (222) 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 18/3 18/4 18/5 18/6 18/7 18/8 1,8 1,8 1,9 2,0 2,2 _ Rutherfordium (261) 2/8/18/32/ 32/10/2 Xe Xenon 102,91 106,42 107,87 112,41 114,82 118,71 121,76 127,60 126,90 131,29 2/8/18/16/ 2/8/18/18 2/8/18/18/ 2/8/18/18/ 2/8/18/18/ 2/8/18/18/ 2/8/18/18/ 2/8/18/18/ 2/8/18/18/ 2/8/18/18/ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2,2 2,2 1,9 1,7 1,7 1,8 1,0 2,1 2,5 W 75 Re 76 Os 77 Tantal Wolfram 180,95 178,49 2/8/18/32/ 183,84 2/8/18/32/ 11/2 2/8/18/32/ 10/2 12/2 1,3 1,5 1,7 Palladium Silber Fr 88 Ra 89-103 104 Rf 105 Db 106 Sg 107 Bh 108 Hs 109 Mt 110 Ds 111Rg 112 Cn 113Uut 114 Fl 115Uup 116 Lv 117Uus Francium Radium 1 Cobalt Sauerstoff 15,999 2/6 14,007 2/5 Ni 29 Cu 30 Zn 31 Ga 32 Ge 33 Zr 40 Nb 42 Mo 43 Tc 44 Ru 45 Rh 46 Pd 47 Ag 48 Cd 49 Molybdän Technetium 85,468 87,62 88,906 91,224 92,906 95,96 98,91 2/8/18/8/1 2/8/18/8/2 2/8/18/9/2 2/8/18/10/ 2/8/18/12/ 2/8/18/13/ 2/8/18/13/ 2 1 1 2 0,8 1,0 1,3 1,4 1,6 1,8 1,9 Barium Eisen Stickstoff O9 GermaArsen Selen Brom Krypton nium 39,098 40,078 44,956 47,867 50,942 51,996 54,938 55,845 58,933 58,693 63,546 65,38 69,723 72,64 74,922 78,96 79,904 83,798 2/8/8/1 2/8/8/2 2/8/9/2 2/8/10/2 2/8/11/2/ 2/8/13/1 2/8/13/2 2/8/14/2 2/8/15/2 2/8/16/2 2/8/18/1 2/8/18/2 2/8/18/3 2/8/18/4 2/8/18/5 2/8/18/6 2/8/18/7 2/8/18/8 0,8 1,0 1,3 1,5 1,6 1,6 1,5 1,8 1,8 1,8 1,9 1,6 1,6 1,8 2,0 2,4 2,8 37 Rb 38 Scandium Titan V 24 N8 2,5 11 Na 12 Mg 19 He Helium Ununtrium Flerovium Ununpentium (287) (289) (288) 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 2/8/18/32/ 32/18/3 32/18/4 32/18/5 H 13 H 14 H 15 Livermorium (289) 2/8/18/32/ 32/18/6 H 15 Ununseptium (293) 2/8/18/32/ 32/18/7 H 15 118Uuo Ununoctium (294) 2/8/18/32/ 32/18/8 H 15 H 2.2 Leiter, Halbleiter und Isolatoren Unterschiedliche Stoffe können elektrischen Strom unterschiedlich gut leiten. Je nach Fähigkeit zur Stromleitung werden sie in die Gruppen der Leiter, Halbleiter oder Nichtleiter beziehungsweise Isolatoren unterteilt. Dabei erfolgt die Einteilung über die Anzahl N von freien Ladungsträgern pro Volumeneinheit V, die auch als Ladungsträgerdichte n bezeichnet wird. n N V (2.5) Tabelle 2.3 gibt die Grenzen für die Einteilung von Stoffen in Leiter, Halbleiter und Isolatoren an. Tabelle 2.3: Einteilung von Stoffen in Leiter, Halbleiter und Isolatoren Material Freie Ladungsträger N / cm Leiter > 10 Halbleiter Nichtleiter und Isolatoren 2.2.1 10 10 18 … 10 < 10 3 18 10 Leiter Stoffe, die sich für den Transport elektrischer Ströme gut eignen, sind Leiter. In ihnen ist eine große Dichte von Valenzelektronen vorhanden. Metallische Leiter Eine erste Gruppe von Leitern sind die Metalle. Die Mehrzahl aller Elemente sind Metalle, viele liegen aber in der Natur nicht in Reinform vor. Verwendung finden sie häufig als Stahllegierungen. Zu den reinen Metallen, die in der Elektrotechnik als Leiter verwendet werden, gehören Silber (Ag) als der beste Leiter, Kupfer (Cu), Gold (Au) und Aluminium (Al). Reine Metalle bilden im festen Zustand Kristalle, in denen sich die Valenzelektronen frei zwischen den Atomen bewegen. Dadurch sind die Kristallatome eigentlich positiv geladen, sie sind also Metallionen. In einem abgeschlossenen Volumen ist das Metall aber elektrisch neutral, da die Valenzelektronen für den Ladungsausgleich sorgen. Da sich die Anordnung der Metallionen in regelmäßigen Abständen wiederholt, wird von einem Kristallgitter gesprochen. Die positiven Metallionen im Kristallgitter werden Atomrümpfe genannt. Sie schwingen um ihre durch die Kristallstruktur vorgegebene Ruhelage, wobei die Schwingungsamplitude mit zunehmender Temperatur steigt. Zwischen den Atomrümpfen befinden sich die Valenzelektronen der Metallatome. Sie können sich frei bewegen, zur Bewegung dieser Valenzelektronen ist keine zusätzliche Energie erforderlich. Bild 2.5 verdeutlicht den Aufbau eines Kristallgitters. Bild 2.5: Darstellung von Metallgitter und freien Elektronen im Gitterverbund ( Atomkern, freie Valenzelektronen) Die Bewegung der freien Elektronen im Metallgitter ist zunächst eine ungeordnete, statistisch verlaufende Bewegung, die sich nach außen nicht bemerkbar macht. Ein elektrischer Strom fließt erst, wenn sich die ungeordnete Bewegung der Valenzelektronen durch Anlegen eines elektrischen Feldes einer gemeinsamen Vorzugsrichtung überlagert. Beispiel: Kupfer als metallischer Leiter Um die Vorstellung von der Ladungsträgerdichte nN zu bekommen, wird als Beispiel für Kupfer bestimmt. Wie jeder Werkstoff besitzt Kupfer 6.0221023 Atome pro Mol. Nach dem Periodensystem weist Kupfer ein Gewicht von 63.54 g/Mol auf. Die Dichte ρ von Kupfer beträgt 8.93 g/cm3. Nach dem Periodensystem der Elemente stellt jedes Atom Kupfer ein Valenzelektron als freies Elektron zur Verfügung. Damit ergibt sich nN 6,022 1023 6,022 10 23 Atome 1 1 Mol g 1 8,93 Mol Atom 63,54 g cm3 1 1 Mol g 1 8,93 8,4 1022 3 Mol 63,54 g cm cm3 (2.6) Gemäß Tabelle 2.3 liegt die Dichte der Ladungsträger in Kupfer damit deutlich über der Grenze zum Halbleiter. Kupfer ist also ein Leiter. Wässrige Salzlösungen Verdünnte Säuren und Basen, sowie wässrige Salzlösungen bilden eine zweite Gruppe von Leitern. In diesen Flüssigkeiten sind positive und negative Ionen die bewegten Ladungsträger. Durch die Bewegung der Ionen entsteht bei einem Stromfluss ein merklicher Massetransport. Außerdem ist mit dem Stromfluss eine chemische Veränderung an den Elektroden verbunden (Elektrolyse). In Bild 2.6 wird ein Versuchsaufbau zum Stromfluss in einer wässrigen Kupfersulfatlösung beschrieben. Spannungsquelle Strom I Kathode Anode SO 4 Cu Bild 2.6: Ladungstransport in wässrigen Salzlösungen In der Lösung befinden sich SO4-- und Cu++ Ionen. Durch Anlegen einer Spannung wirken auf die geladenen Ionen elektrostatische Kräfte. In dem Beispiel bewegen sich die positiv geladenen Kupferionen zur negativen Elektrode. Dort nehmen sie zwei Elektronen auf, und es bildet sich Kupfer, das sich an der Elektrode ablagert. Cu 2 e Cu (2.7) Die negativ geladenen Sulfationen bewegen sich zur positiven Elektrode. Dort geben sie zwei Elektronen ab und reagieren mit dem Kupfer der Elektrode. Es bildet sich Kupfersulfat. SO4 2 e Cu CuSO4 Cu SO4 (2.8) Das Kupfersulfat teilt sich in der Lösung selbstständig. Dieser Prozess wird in der Chemie als Dissoziation bezeichnet. Damit kann der Vorgang erneut stattfinden. Während des Prozesses wird die negativ geladene Elektrode (Kathode) immer schwerer, weil sich Kupfer anlagert. Die positiv geladene Elektrode wird immer leichter, weil Kupfer zu Kupfersulfat gewandelt wird. Beim Stromfluss in wässrigen Salzlösungen findet also ein Stofftransport statt. 2.2.2 Nichtleiter und Isolatoren Nichtleiter werden auch als Isolatoren bezeichnet. Als idealer Isolator kann lediglich Vakuum angesehen werden. Zum Beispiel werden Vakuum-Leistungsschalter in der Hochspannungstechnik eingesetzt. Der Einsatz von Vakuum als Isolator ist jedoch aufwendig und teuer. Deshalb werden in technischen Anwendungen Stoffe eingesetzt, bei denen nur sehr wenige frei bewegliche Elektronen pro Volumeneinheit vorhanden sind. Diese Stoffe werden trotz ihrer Restleitfähigkeit als Isolatoren bezeichnet. Es gibt gasförmige, flüssige und feste Isolatoren. Gasförmige Isolatoren Bei Edelgasen ist das Valenzband aufgefüllt. Sie besitzen daher keine Valenzelektronen und tragen damit nicht zu einem Stromfluss bei. Deshalb ist zum Beispiel Helium ein gut isolierendes Edelgas. Bei Gasen mit Valenzelektronen verbinden sich benachbarte Atome über ihre Valenzelektronen. Zum Beispiel bilden zwei Sauerstoffatome zusammen ein Sauerstoffmolekül. Durch die Bindung entsteht ähnlich wie bei Edelgasen eine komplett besetzte, äußere Elektronenschale. Bei Gasen sind daher keine freien Elektronen verfügbar, sie sind Nichtleiter. Durch Energiezufuhr können Gase jedoch ionisiert werden. Dabei lösen sich Atomverbindungen des Moleküls, sodass die dabei entstehenden einzelnen Atome oder kleinere Moleküle sich als elektrisch geladene Ionen unabhängig voneinander bewegen. In diesem Zustand sind sie dann Leiter. Zum Beispiel findet diese Ladungstrennung bei Quecksilberdampf in Leuchtstoffröhren oder bei Blitzeinschlägen in Gewittern statt. Flüssige Isolatoren Auch viele Flüssigkeiten wie zum Beispiel reines Wasser oder reine Öle sind Nichtleiter. Da sie außerdem eine gute thermische Leitfähigkeit besitzen, werden sie bevorzugt zur Isolation und Kühlung elektrischer Geräte eingesetzt. Ein technisches Anwendungsgebiet sind Hochspannungstransformatoren. Feste Isolatoren Feste Nichtleiter sind aus technischen Anwendungen bekannt. Sie bestehen aus Verbindungen, die keine freien oder nur sehr wenige Valenzelektronen aufweisen. Zum Beispiel werden Glas, Keramik, Kunststoffe, Silikone und Papier als Isolatoren eingesetzt. 2.2.3 Halbleiter Halbleiter besitzen bei Zimmertemperatur nur wenige freie Elektronen pro Volumeneinheit, sind also bei Raumtemperatur praktisch Nichtleiter. Durch geringe Energiezufuhr oder durch gezielte Verunreinigung des Halbleitermaterials können zusätzliche Ladungsträger entstehen, sodass das Verhalten von Leitern erreicht werden kann. Die folgende Tabelle gibt eine grobe Übersicht über übliche Halbleitermaterialien. Tabelle 2.4: Übersicht üblicher Halbleitermaterialien und ihre Anwendung Art Chemische Elemente Verbindungen Halbleitermaterial Anwendung Silizium (Si) Dioden, Transistoren, integrierte Schaltungen Germanium (Ge) Dioden, Transistoren Kohlenstoff (C) Widerstände Galliumarsenid (GaAs) Leuchtdioden Indiumantimonid (InSb) Hallgeneratoren Zinkoxid (Zn0) Spannungsabhängige Widerstände, Varistoren 2.3 Ladung und Stromstärke Befindet sich ein Ladungsträger in einem elektrischen Feld, wirkt auf ihn eine coulombsche Kraft. Diese Kraft führt zu einer geordneten Bewegung der Ladungsträger. Es entsteht ein elektrischer Strom. 2.3.1 Technische Stromrichtung und Bewegungsrichtung von Ladungsträgern Ein elektrischer Strom kann durch ausschließlich positive, ausschließlich negative oder durch eine Kombination beider Ladungsträger entstehen. In der Elektrotechnik werden als Leiter bevorzugt Metalle verwendet. In Metallen tragen nur Elektronen und damit negative Ladungsträger zum Stromfluss bei. Die positiven Ladungsträger, die Atomrümpfe, sind unbeweglich im Kristallgitter verankert. Technische Stromrichtung - - - - Elektrisches Feld E Bild 2.7: Technische Stromrichtung und Bewegungsrichtung von Ladungsträgern in Metallen In leitenden Flüssigkeiten tragen positive und negative Ionen zum Stromfluss bei. Technische Stromrichtung + + - + - Elektrisches Feld E Bild 2.8: Technische Stromrichtung und Bewegungsrichtung von Ladungsträgern in leitenden Flüssigkeiten Die Bewegungsrichtung der freien Ladungsträger ist unterschiedlich, die technische Stromrichtung jedoch gleich. Unabhängig von dem zugrunde liegenden Leitungsmechanismus ist die positive technische Stromrichtung so definiert, dass sie in Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger zeigt. 2.3.2 Zusammenhang zwischen Strömstärke und elektrischer Ladung Die elektrische Stromstärke I gibt an, wie groß dieser Strom durch eine Fläche A ist. Sie ist definiert als die Ladungsmenge, die innerhalb eines vorgegebenen Zeitintervalls durch einen Kontrollquerschnitt fließen. Der Kontrollquerschnitt muss dabei nicht notwendigerweise dem Querschnitt des Materials entsprechen. In der Gleichstromtechnik wird jedoch davon ausgegangen, dass Querschnittsfläche der Leitung als Kontrollquerschnitt gewählt wird. Zur Ermittlung der transportierten Ladungsmenge Q werden die Ladungsträger gezählt, die pro Zeitintervall t durch den Kontrollquerschnitt der Fläche A treten. Sie ist stets ein positives oder negatives Vielfaches der Elementarladung e. Die Größe des Stromes I wird durch die Ladungsmenge Q bestimmt, die in einem Zeitintervall t durch den Kontrollquerschnitt strömt. Damit ergibt sich die wichtige Beziehung I Q t (2.9) Hieraus folgt für die Ladung Q die schon erwähnte Einheit Coulomb C. Ein Coulomb ist diejenige Ladung, die bei einem zeitlich konstanten Strom der Stromstärke 1 A in der Zeit 1 s durch einen Leiter fließt. Aufgrund der Bedeutung der elektrischen Ladung hat sich für die SI-Einheit As die Bezeichnung Coulomb durchgesetzt. Sie soll an den Entdecker der Kräfte erinnern, die durch die Ladungen hervorgerufen werden. Q I t A s C (2.10) Für den Fall, dass beide Ladungsträgertypen zum elektrischen Strom beitragen, strömen beide Ladungsträgertypen in entgegengesetzter Richtung durch den Leiter. Für die Berechnung der transportierten Ladungsmenge ΔQ müssen in diesem Fall die Beträge beider Ladungsmengen ΔQP und ΔQN addiert werden. Q QP QN (2.11) Da jede Ladung ein ganzzahliges Vielfaches N der Elementarladung ist, kann ΔQ dargestellt werden als Q NP e NN e NP NN e (2.12) Da ΔQ als abzählbare Menge richtungslos ist und die Zeit Δt ebenfalls ein Skalar ist, muss der Strom I in dieser Darstellungsform ebenfalls eine richtungslose Größe sein. Allgemein ist der Strom definiert über die Zahl der Ladungen pro Zeit, die durch eine ebene Fläche strömen. Der Normalenvektor der Fläche gibt in dem Fall die Richtung des Stroms vor. Damit ist der Strom ebenfalls eine vektorielle Größe. In der Gleichstromtechnik wird jedoch als Kontrollquerschnitt die Querschnittsfläche des Leiters verwendet. Damit zeigt der Normalenvektor immer in Richtung des Leiters, und der Strom fließt immer in Richtung der Leitung. Ein Strom mit zeitlich gleichmäßigem Ladungstransport Q/t = I wird als Gleichstrom bezeichnet. Ein Gleichstromkreis aus mehreren Leitern mit unterschiedlichen Querschnitten, der keine Verzweigungen besitzt, weist in jedem Leiterabschnitt dieselbe Stromstärke I auf. Es tritt also in jedem Leiterquerschnitt pro Zeitintervall t immer die gleiche Ladungsmenge Q auf. Damit muss ein Strom, der auf einer Seite in einen Leiter hineinfließt, auf der anderen Seite wieder herausfließen. I Q Q1 Q2 t t t (2.13) Zum besseren Verständnis lässt sich an dieser Stelle eine Analogie zum Wasserkreis aufstellen, die im Anhang beschrieben ist. 2.3.3 Differenzieller Zusammenhang zwischen Stromstärke und elektrischer Ladung Für Gleichung (2.9) lässt sich, wie bei vielen anderen Vorgängen in der Physik, der Grenzübergang t 0 durchführen, sodass aus Gleichung (2.9) die differenzielle Form resultiert I dQ dt (2.14) Zur Berechnung der in einer endlichen Zeit t transportierten Ladung Q müssen beide Seiten integriert werden. Es ergibt sich t2 Q I t dt (2.15) t1 wobei die Zeitpunkte t1 und t2 das Zeitintervall t bestimmen, für das die geflossene Ladung ermittelt werden soll. Für einen konstanten Gleichstrom I(t) = I vereinfacht sich dieses Integral zu Q I t 2 t1 I t (2.16) Dieser Zusammenhang ist in Bild 2.9 dargestellt. Konstanter Gleichstrom Strom I2(t) Strom I1(t) Veränderlicher Strom Ladung Q1 t Ladung Q1 t 1 Zeit t 2 t t 1 2 Zeit t Bild 2.9: Zusammenhang zwischen Ladung Q, Zeit t und Strom I(t) Das Integral summiert bei beiden Stromverläufen die Ladungen pro Zeitintervall t auf. Geometrisch gesehen entspricht die Ladung Q der Fläche unter dem Stromverlauf im Zeitabschnitt von t1 bis t2. Im Fall eines konstanten Stroms I(t) = I vereinfacht sich die Flächenberechnung auf die eines Rechtecks. 2.4 Ladungstransport in homogenen elektrischen Leitern Im Folgenden werden elektrische Leiter mit einem homogenen Leitermaterial betrachtet. Es wird die Strömung der Ladungsträger in einem solchen homogenen Leiter beschrieben. 2.4.1 Bewegungsgeschwindigkeit von Ladungen in Leitern Bild 2.10 zeigt einen Leiterausschnitt mit dem Kontrollquerschnitt A. In dem Leiter bewegen sich positive und negative Ladungsträger. + + - - Geschwindigkeit v P Geschwindigkeit v N + Querschnittsfläche A - Bild 2.10: Bewegung von Ladungsträgern in Leitern In einem definierten Volumen V des Leitermaterials befinden sich NP frei bewegliche positive und NN frei bewegliche negative Ladungsträger. Die Größen nP NP V (2.17) nN NN V (2.18) und geben damit die Ladungsträgerdichte der negativen und positiven Ladungsträger in dem Material an. In der Zeit t bewegen sich alle positiven Ladungsträger entlang der Wegstrecke LP und überstreichen damit den Volumenabschnitt VP = A LP (2.19) Analog gilt für alle negativen Ladungsträger VN = A LN (2.20) Hierbei fließen die positiven Ladungsträger in Richtung des Stromes, die negativen Ladungsträger entgegen der Stromrichtung durch den Querschnitt A. Insgesamt fließt durch den Querschnitt damit die Ladungsmenge Q QP QN Die Ladungen QP und QN lassen sich gemäß Gleichung (2.12) beschreiben, und es ergibt sich (2.21) Q e NP e NN e nP A LP e nN A LN e A nP LP nN LN (2.22) Zur Darstellung des Stromes in einen Stromanteil aus positiven und einen Stromanteil aus negativen Ladungsträgern wird der Strom als Differenzenquotient beschrieben. I L L Q e A nP LP nN LN e A nP P nN N t t t t (2.23) Der Ausdruck L/t kann als Geschwindigkeit v interpretiert werden. I e A nP v P nN v N (2.24) Dabei ist vP die Driftgeschwindigkeit der positiven Ladungsträger und vN die der negativen Ladungsträger. Bei Halbleitern und Elektrolyten treten beide Arten von Ladungsträgern auf, sodass im allgemeinen nP > 0 und nN > 0 anzunehmen ist. Für den Fall eines metallischen Leiters, bei dem keine beweglichen positiven Ladungsträger vorhanden sind, gilt diese Gleichung ebenfalls. In diesem Fall ist allerdings nP = 0 und der zweite Ausdruck in der Klammer wird null. Besitzt jeder Ladungsträger ein Vielfaches der Elementarladung, wie das zum Beispiel bei Kupferionen Cu++ der Fall ist, ist der entsprechende Term in (2.24) mit diesem Vielfachen zu multiplizieren. Beispiel: Driftgeschwindigkeit von Elektronen in Kupfer In Abschnitt 2.2.1 wird berechnet, dass bei Kupfer die Ladungsträgerdichte nN = 81022 / cm3 Leitungselektronen mit jeweils der Ladung - e vorhanden sind. Bei einem Strom von 16 A und einem Drahtquerschnitt von 1,5 mm2 ergibt sich für die Leitungselektronen eine Geschwindigkeit von vN I 16 A cm3 mm 0,83 -19 22 2 e nN A 1,6 10 A s 8 10 1,5 mm s (2.25) Die Geschwindigkeit der Ladungsträger ist eher gering. Sie darf aber nicht mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit des elektrischen Stromes verwechselt werden. Direkt nach dem Einschalten ist der Strom praktisch sofort im gesamten Stromkreis wirksam. Zum Vergleich wird bei Wassermodell im Anhang eine inkompressible Flüssigkeit in einem Rohr betrachtet. Bei einem vollständig gefüllten Rohr fließt die Flüssigkeit auch direkt aus dem geöffneten Ventil. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist damit unabhängig von der Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit. 2.4.2 Stromdichte in homogenen Leitern Die Stromdichte J ist definiert als das Verhältnis der Stromstärke I zur Querschnittsfläche A, durch die der Strom hindurchtritt. Sie kennzeichnet damit die Belastung eines Leiters durch den Strom I. J I A (2.26) Die Einheit der Stromdichte ist in SI-Einheiten J I A A m2 (2.27) wobei in der technischen Praxis die Einheit A J mm2 (2.28) gebräuchlicher ist. Nach Gleichung (2.24) ergibt sich J I e A nP v P nN v N e nP v P nN v N A A (2.29) Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit v der Ladungsträger in einem homogenen stabförmigen Leiter bei negativen Ladungsträgern vN 1 I 1 J e nN A e nN (2.30) und bei positiven Ladungsträgern vP 1 I 1 J e np A e n p (2.31) Die Geschwindigkeit hängt also bei einem bestimmten Material mit der Ladungsträgerdichte nP beziehungsweise nN lediglich vom Quotienten I/A beziehngsweise der Stromdichte J ab. Bei einem stabförmigen, homogenen Leiter strömen die Ladungsträger mit einer konstanten Geschwindigkeit durch den Leiter. Gleichungen (2.30) und (2.31) zeigen, dass die Stromdichte direkt proportional zur Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger ist. Diese Geschwindigkeit darf nicht beliebig hoch werden. Durch die Bewegung der freien Ladungsträger werden nämlich die Atomrümpfe im Leiter zu thermischen Schwingungen angeregt. Bei zu hoher Stromdichte wird der Leiter zu heiß, und er selbst oder die umgebende Isolation kann zerstört werden. Bild 2.11: Glühendes Leitungsstück mit hoher Stromdichte Die zulässige Stromstärke für ein bestimmtes Leitermaterial ist keine Absolutgröße, sondern hängt von zahlreichen Faktoren ab. Zum Beispiel sind die Umgebungstemperatur, Querschnitt und Bauart des Leiters sowie die Verlegungsbedingungen Größen, die die zulässige Stromstärke beeinflussen. Um eine übermäßige Erwärmung von Leitern zu vermeiden und somit Schäden an Installationen vorzubeugen, werden die maximal zulässigen Stromdichten in entsprechenden Normen spezifiziert. Die Grundlagen für viele dieser Normen stellt der Verband der Elektrotechnik, Elektronik und Informationstechnik (VDE) zusammen. Viele nationale Normen (DIN) und internationale Normen (IEC) basieren auf diesen Empfehlungen. So sind beispielsweise in der VDE 0298-4 die maximal zulässigen Stromstärken eines Kupferleiters für verschiedene Verlegungsszenarien bei einer Umgebungstemperatur von 30 °C und Betrieb in Dauerlast festgelegt. Einige Anhaltspunkte sind in Tabelle 2.5 zusammengefasst [Kief12]. Tabelle 2.5: Maximal zulässige Ströme für Kupfer bei unterschiedlichen Verlegearten und einer Umgebungstemperatur von 30 °C Maximal zulässiger Strom IMAX / A Querschnitt A / mm² Verlegung in wärmegedämmter Wand Verlegung im Elektroinstallationsrohr 2 Adern 3 Adern 2 Adern 3 Adern 1,5 15,5 13,0 16,5 15,0 2,5 18,5 17,5 23 20 4 25 23 30 27 6 32 29 38 34 10 43 39 52 46 16 57 52 69 62 25 75 68 90 80 Beispiel: Stromdichte bei Hausinstallationen Das Zahlenbeispiel geht von einem Strom von 16 A aus, das ist der maximale Dauerstrom, der in modernen Haushaltsinstallationen für Kupferleitungen mit einem Leitungsquerschnitt von 2,5 mm2 fließen darf. Es ergibt sich eine Stromdichte von J 16 A A 6, 4 2 2,5 mm mm2 (2,32) Der Wert von 16 A liegt selbst unter den ungünstigsten Bedingungen aus Tabelle 2.5 unter dem zulässigen Grenzwert von 17,5 A für einen Leiterquerschnitt von 2,5 mm2. Abschließend soll noch darauf hingewiesen werden, dass die in diesem Kapitel vorgestellten Modelle nur für den Sonderfall eines homogenen stabförmigen Leiters gelten. Bei anderen Ausführungsformen kann es notwendig sein, jedem Ort im Leiter eine unterschiedliche Driftgeschwindigkeit zuzuordnen. Damit ist die Stromdichte von Ort zu Ort verschieden und nicht an allen Stellen des Leiters konstant. 2.4.3 Strommessung Bei Strommessungen muss der zu messende Strom durch das Messgerät fließen. Deshalb wird ein Strommessgerät, das auch Amperemeter genannt wird, in den Stromkreis geschaltet. Dazu muss die Leitung aufgetrennt werden und die beiden Anschlüsse des Messgeräts an die durch die Auftrennung entstandenen Leitungsenden angeschlossen werden. Bei Gleichstrommessungen muss auf die Polarität geachtet werden. Dazu zeigt Bild 2.12 den entsprechenden Richtungssinn. Zeigt das Messgerät einen positiven Wert an, fließt der Strom in die Richtung des Zählpfeils und von dem (+) zu dem (-) Pol des Amperemeters. I Erzeuger A Verbraucher Bild 2.12: Richtungssinn des Stromes und der Strommessung Das Messgerät soll den Stromfluss nicht beeinflussen. In Kapitel 7.3 wird sich zeigen, dass dazu der sogenannte Innenwiderstand möglichst klein sein muss. Beispiel: Strommessung bei einem Rauchmelder Rauchmelder haben die Aufgabe, vor einer Rauchentwicklung zu warnen. Die meisten Rauchmelder arbeiten mit einem optischen Prinzip, bei dem eine Diode einen Infrarotstrahl abgibt. Der Lichtstrahl durchläuft eine Kammer. Befindet sich in der Kammer kein Rauch, läuft der Lichtstrahl ungehindert durch die Kammer. Dringt Rauch in die Kammer ein, wird der Lichtstrahl gebrochen. Das gebrochene Licht wird von einem Sensor erfasst und der Rauchmelder gibt ein Alarmsignal ab. Viele Rauchmelder werden mit einer 9 V Blockbatterie versorgt, die in diesem Beispiel eine Ladung von 1200 mAh besitzt [Vart16]. Bei dem in Bild 2.13 dargestellten Feuermelder wird der Stromverbrauch mit maximal IS = 25 mA angegeben [Abus16]. Mit der ausgewählten Batterie würde sich damit nach Datenblatt eine Betriebsdauer von mindestens TS C 1200 mAh 48 h IS 25 mA (2.33) ergeben. Da der Betrieb eines Rauchmelders mit einer Batterie über einen wesentlich längeren Zeitraum gewährleistet sein sollte, wird eine Strommessung durchgeführt. Dazu wird die Versorgungsleitung aufgetrennt und ein Strommessgerät in die Versorgungsleitung geschaltet. Bild 2.13 zeigt den verwendeten Versuchsaufbau. Bild 2.13: Strommessung bei einem Rauchmelder Der gemessene Stromwert schwankt stark. Über lange Zeiten ergibt sich ein Strom von 3,5 A, in periodischen Abständen steigt er stark an. Eine Messung mit einem Oszilloskop zeigt, dass der Ruhestrom zwischen diesen Abständen 3,5 µA beträgt, während der Strom in den aktiven Zeitintervallen kurzzeitig auf bis zu 12 mA ansteigt. Im Mittel ergibt sich ein gemessener Strom von ungefähr IM =15 µA. Nach dieser Messung liegt die Laufzeit der Batterie damit bei TM C 1200 mAh 1 d 1Jahr 9,132 Jahre IM 15 A 24 h 365 d (2.34) Die Abschätzung bestätigt damit weitgehend das Versprechen des Herstellers, nach der die Laufzeit 10 Jahren betragen soll. 2.5 Zusammenfassung Tabelle 2.6 fasst die wesentlichen Zusammenhänge zu Ladung, elektrischem Feld und elektrischem Strom tabellarisch zusammen. Tabelle 2.6: Zusammenfassung der wesentlichen Zusammenhänge zu Ladung, elektrischem Feld und elektrischem Strom Coulombsche Kraft F =Q E Ladung als Vielfaches der Elementarladung Q n e Elementarladung e 1,6 1019 C Ladungsträgerdichte als Quotient der Anzahl von Ladungsträgern pro Volumen n I Strom N V dQ Q dt t t2 Transportierte Ladungsmenge Q I t dt I t 2 t1 I t t1 Strom und Driftgeschwindigkeit Stromdichte durch Querschnitt eines homogenen Leiters I e A nP v P nN v N J I A 2.6 2.6.1 Literaturverzeichnis Literaturstellen zu den behandelten Grundlagen Elektrotechnik [Fueh11] A. Führer, K. Heidemann, W. Nerretter: Grundgebiete der Elektrotechnik: Band 1, 9. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2011 [Lind14] H. Lindner: Elektro-Aufgaben: Band 1, 30. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2014 [Wiki16] Wikipedia: Reibungselektrizität, https://de.wikipedia.org/wiki/Reibungselektrizit%C3%A4t, Stand 09. August 2016, Zugriff 30.08.2016 [Wiki16] Wikipedia: Bohrsches Atommodell, https://de.wikipedia.org/wiki/Bohrsches_Atommodell Stand 09. Juli 2016, Zugriff 30.08.2016 [Kief12] G.Kiefer, H.Schmolke: DIN VDE 0100 richtig angewandt: VDE Schriftenreihe Band 106, 5. überarbeitete und aktualisierte Auflage, VDE Verlag, Berlin Offenbach, 2012 2.6.2 Weiterführende Literatur zu den Beispielen [Vart16] Varta Batterie Lithium 9 V http://www.varta-consumer.de/de-de/products/batteries/overview/lithium/9v Stand 2015, Zugriff 28.12.2016 [Abus16] ABUS Rauchmelder RM10 https://www.abus.com/ger/Sicherheit-Zuhause/Brandschutz/Rauchmelder/RM10 Stand 2016, Zugriff 28.12.2016 2.6.3 Interessante WEB-Links zum Thema [Leif16] Leifiphysik Elektrizitätslehre, http://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre Erklärung elektrischer Effekte mit Animationen, Versuchen und Aufgaben auf gut verständlichem Niveau, Zugriff 30.08.2016 [Simp16] TheSimplePhysics Elektrizität / E-Lehre, https://www.youtube.com/playlist?list=PLtChQtYYwX2OOFfJvpN_a3uLuoXG-_vD8 TheSimplePhysics, Online-Nachhilfe mit Lernvideos, Zugriff 30.08.2016 [Lbsb16] Landesbildungsserver Baden-Württemberg, http://www.schulebw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_1/ Sammlung von Unterrichtsmaterialien für Schulen, Zugriff 30.08.2016 3 Spannung und elektrische Arbeit Damit in einem elektrischen Stromkreis ein Strom fließen kann, muss eine elektrische Energiequelle vorhanden sein. Energiequellen sind zum Beispiel Kraftwerke, die ihre Energie in die Spannungsnetze einspeisen und so dem Nutzer zur Verfügung stellen. Weitere Energiequellen sind Batterien, Akkus oder Solarzellen. Ohne eine solche Energiequelle kann keine Ladungsbewegung auftreten und damit kein elektrischer Strom fließen. Es ist daher notwendig, den Begriff der elektrischen Energie beziehungsweise der elektrischen Arbeit genauer zu untersuchen und formelmäßig zu erfassen. 3.1 3.1.1 Elektrische Arbeit, Potential und Spannung Definition der Spannung Durch die Bewegung von elektrischen Ladungen in einem elektrischen Feld wird Arbeit verrichtet. Für die Berechnung der Arbeit wird die Ladung im elektrischen Feld betrachtet. Aus Kapitel 2.1.2 ist bekannt, dass auf eine Ladung im elektrischen Feld eine Kraft ausgeübt wird. F Q E (3.1) Je nachdem ob die Ladung Q positiv oder negativ ist, besitzt die Kraft F die gleiche Richtung wie die elektrische Feldstärke E, oder sie ist ihr entgegengesetzt. Q Ort s1 Elektrisches Feld E Kraftwirkung F Q Ort s 2 Bild 3.1: Bewegung eines positiv geladenen Körpers im elektrischen Feld Wird eine Ladung Q, auf die eine Kraft F ausgeübt wird, längs eines Weges s bewegt, wird Arbeit verrichtet. Wie in der klassischen Mechanik kann diese Arbeit über das Produkt aus Kraft und Weg berechnet werden. s2 W F s ds (3.2) s1 wobei s1 den Anfangs- und s2 Endpunkt des Weges darstellen. Die vektorielle Schreibweise stellt sicher, dass unter dem Integral stets das Skalarprodukt angewendet wird. Das bedeutet, dass nur die Kraftkomponente in Richtung des Weges zur geleisteten Arbeit beiträgt. Erfolgt die Bewegung der Ladung parallel zur Richtung der Kraft, ist der Zwischenwinkel = 0 und Gleichung (3.2) vereinfacht sich zu W s2 s2 s2 s1 s1 s1 F s ds F s cos ds F s ds (3.3) Mit Gleichung (3.1) folgt daraus s2 s2 s1 s1 W Q E s ds Q E s ds (3.4) Die geleistete Arbeit beziehungsweise die zugeführte Energie W ist proportional zur Ladung Q. Wenn der Quotient aus Arbeit W und Ladung Q gebildet wird, so wird der Ausdruck unabhängig von der Ladung. Es ergibt sich die Definitionsgleichung der elektrischen Spannung s 2 W U21 E s ds Q s1 (3.5) Besonders einfach wird die Berechnung des Integrals, wenn über die gesamte Bewegungsstrecke von einem konstanten Feld ausgegangen werden kann. In diesem Fall ergibt sich eine einfache Beziehung für die Spannung. s U21 s 2 W 2 E s ds E ds E s2 s1 Q s1 s1 (3.6) In der Elektrotechnik wird immer wieder der Begriff des Potenzials verwendet. Dabei wird ein Bezugspunkt mit dem Vektor s0 definiert. Die Spannung, die sich auf diesen willkürlich definierten Bezugspunkt bezieht, wird als Potential bezeichnet. s W s E s ds Q s0 (3.7) Wird Ladung in einem konstanten Feld parallel zu den Feldlinien bewegt, ergibt sich für das Potenzial s s W E ds E s s0 Q s0 (3.8) Die Spannung U21 zwischen zwei Punkten s1 und s2 kann demnach über die Potenzialdifferenz angegeben werden. U21 E s2 s1 E s2 s0 s1 s0 2 1 (3.9) Der absolute Wert des Potenzials eines Punktes ist nicht entscheidend für die geleistete Arbeit W, sondern die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten beziehungsweise die Spannung U21. Die Einheit der Spannung berechnet sich zu U W 1 N m 1 kg m2 A s3 Q A s 1 V (3.10) Da die Spannung eine in der Elektrotechnik häufig vorkommende Größe ist, besitzt sie eine abgeleitete SI-Einheit, das Volt. Die Spannung 1 Volt liegt zwischen zwei Punkten, wenn eine Ladung 1 C zwischen diesen beiden Punkten die Energieänderung 1 J = 1 Nm erfährt. Vergleich von elektrischem Feld und Gravitationsfeld Zur Verdeutlichung des Begriffes der Spannung werden in Tabelle 3.1 Äquivalenzen vom elektrischen Feld zum Gravitationsfeld dargestellt. Dabei entspricht der elektrischen Ladung Q die Masse m und dem elektrischen Feld E das Gravitationsfeld g. Tabelle 3.1: Äquivalenz zwischen elektrischem Feld und Gravitationsfeld Art Ladung im elektrischen Feld Masse im Gravitationsfeld Ursache für die Kraft Ladung Q Masse m Art des Feldes Elektrisches Feld Gravitationsfeld Elektrisches Feld E Gravitationsfeld g +Q m Kraftwirkung F Kraftwirkung F Grafische Darstellung s2 W F s ds s1 Bewegungsrichtung und Kraft weisen in die gleiche Richtung s2 W F s ds Allgemeine Berechnung der Arbeit s1 Kraft ist konstant entlang des Weges s2 W F ds F s2 s1 s1 Spezielle Berechnung der Arbeit W Q E s2 s1 W m g s2 s1 Im Online-Portal H.ErT.Z Online verdeutlicht die Applikation Spannung und Potenzial den Zusammenhang zwischen Spannung und Potenzial. Vergleich mit einem Wassermodell Durch Vergleich des Stromkreises mit einem geeigneten Wassermodell kann die Bedeutung der Spannung verdeutlicht werden. Diese Analogie ist im Anhang dargestellt. 3.1.2 Elektrisches Feld und Bewegungsrichtung der Ladungsträger In einem Verbraucher stimmt die Bewegungsrichtung einer Ladung mit der Richtung der auf sie wirkenden coulombschen Kraft überein. Die Feldstärke E ist vom Pluspol zum Minuspol gerichtet. Verbraucher Erzeuger s + F E s - + F s E - F F s Bild 3.2: Richtung der elektrischen Feldstärke E und Bewegungsrichtung s positiver und negativer Ladungsträger in Verbrauchern und Erzeugern Auch im Erzeuger wie zum Beispiel einer Batterie stehen die Ladungsträger unter dem Einfluss der coulombschen Kraft. Die elektrische Feldstärke und damit die Kraft ist dort ebenfalls vom Plus- zum Minuspol gerichtet. Im Erzeuger sind jedoch zusätzliche ladungstrennende Kräfte wirksam, die jede Ladung in Gegenrichtung zur coulombschen Kraft bewegen. In einem stabförmigen homogenen elektrischen Leiter ist bei einem konstanten Strom die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger überall gleich. In einem solchen Leiter ist daher auch die Kraft auf die Ladungsträger nach Betrag und Richtung gleich. Damit muss auch die elektrische Feldstärke E gleich sein. Mit Gleichung (3.9) kann für einen stabförmigen, homogenen Leiter der Länge L21 der Zusammenhang zwischen Feldstärke E und Spannung U angeben werden. E s2 s1 E L21 U21 (3.11) Voraussetzung für diese einfache Beziehung ist ein homogenes elektrisches Feld, dessen Vektor E an jeder Stelle zwischen den Punkten 1 und 2 gleichen Betrag und gleiche Richtung aufweist, was nur im einfachen Fall bei einem ausgedehnten homogenen Leiter der Fall ist. In diesem Fall berechnet sich die elektrische Feldstärke zu E U 21 2 1 L21 L21 (3.12) 3.1.3 Spannungsmessung Die Spannung U21 entspricht der Potenzialdifferenz zwischen den Punkten 1 und 2 U21 2 1 (3.13) Bei der Festlegung der Spannung ist die Reihenfolge der Indizes nicht beliebig, da sie über das Vorzeichen der Spannung entscheidet. Es gilt U12 1 2 U21 (3.14) Die Spannung entlang einem Weg von Punkt 1 nach Punkt 2 wird positiv gerechnet, wenn das Potential am Punkt 1 größer als an Punkt 2 ist. Diese Festlegung wird als Richtungssinn der Spannung bezeichnet. Er wird durch die Klemmenbezeichnung (+) und (-) dargestellt 1 Erzeuger V Verbraucher 2 Bild 3.3: Richtungssinn der Spannung und Spannungsmessung Spannung wird mit einem Spannungsmesser zwischen den Klemmen des Erzeugers beziehungsweise Verbrauchers gemessen. Das Messgerät wird nach der Einheit der gemessenen Größe auch als Voltmeter bezeichnet. Es ist in Bild 3.3 als Kreis mit dem Buchstaben V dargestellt. Für einen richtigen Anschluss sind die Klemmen eines Spannungsmessers mit den Symbolen (+) und (-) gekennzeichnet. Ist das Potential an der positiven Klemme des Messgerätes größer als das Potential an der negativen Klemme, zeigt es einen positiven, andernfalls einen negativen Messwert an. Das Messgerät soll die Schaltung nicht beeinflussen. In Kapitel 7.3 wird sich zeigen, dass dazu der Innenwiderstand möglichst groß sein muss. Beispiel: Spannungsmessung Autobatterie Um den Ladezustand (State Of Charge SOC) einer Autobatterie zu bewerten, kann die Ruhespannung gemessen werden. Die Messung sollte frühestens fünf Stunden nach der letzten Ladung oder Entladung erfolgen. Bild 3.5 zeigt den in diesem Beispiel verwendeten Versuchsaufbau. Bild 3.4: Zusammenhang zwischen Ruhespannung und Ladezustand einer Autobatterie Eine Autobatterie besitzt im vollgeladenen Zustand eine Spannung von 12,65 V. Die Spannung sollte nicht unter 12,53 V absinken, in diesem Zustand besitzt die Batterie ungefähr 85 % der Nennladung. Bei einer Spannung von 12,24 V ist die Batterie halb geladen, bei 11,89 V praktisch vollständig entladen. Sollte sie noch weiter entladen werden, kann sie auch bei nachfolgender Vollladung nur noch einen Teil ihrer ursprünglichen Kapazität erreichen [GELL11]. Ladezustand SOC / % 100 80 60 40 20 0 11,8 12 12,2 12,4 Ruhespannnung U / V 12,6 12,8 Bild 3.5: Zusammenhang zwischen Ruhespannung und Ladezustand einer Autobatterie Der kurz nach Anlassen des Motors gemessene Spanungswert von 12,002 V suggeriert, dass die Batterie nur zu 18 % geladen ist. Eine Nachmessung fünf Stunden nach Motorstart ergibt eine Spannung von 12,583 V, was einem Ladezustand von 95 % entspricht. 3.2 3.2.1 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad Leistung In technischen Anwendungen ist es häufig von Bedeutung, in welcher Zeitspanne t eine bestimmte Arbeit W verrichtet wird. Bestimmend hierfür ist die physikalische Größe Leistung. Sie erhält das Formelzeichen P (power). Ihre Einheit ist das Watt. P W t (3.15) 1 Watt ist diejenige Leistung, bei der während der Zeit 1 s die Energie 1 J umgesetzt wird. J P 1 s 1 W (3.16) Wenn die Leistung P im Zeitintervall t nicht konstant ist, ergibt sich aus Gleichung (3.15) der arithmetische Mittelwert der Leistung in der Zeitspanne t. t W t P t dt 0 t P (3.17) Bei nicht konstanter Leistung gilt für die Leistung die differenzielle Beschreibung P t dW dt (3.18) und die im Zeitraum t1 … t2 verrichtete Arbeit wird über eine Integralgleichung bestimmt. t2 W P t dt (3.19) t1 Für eine konstante Leistung P kann die in der Zeit Δt verrichtete Arbeit berechnet werden als W P t (3.20) Fließt durch einen Erzeuger oder einen Verbraucher ein Gleichstrom I und liegt an dem Verbraucher die Spannung U an, so wird zwischen den Klemmen die Energie W U Q U I t P t (3.21) umgesetzt. Damit ergibt sich für die elektrische Leistung P der Zusammenhang P U I (3.22) Damit kann die Einheit Volt auch über Strom und Leistung definiert werden. 1 Volt ist die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten eines linearen Leiters, in dem bei einem Gleichstrom von 1 A zwischen den beiden Punkten eine Leistung von 1 Watt umgesetzt wird. Weiterhin ergeben sich aus den bisherigen Herleitungen die Äquivalenzen 1W 1 J 1V 1 A s (3.23) Im Nennbetrieb geben Erzeuger die sogenannte Nennleistung PN ab, und Verbraucher nehmen die Nennleistung PN auf. Dabei liegt die Nennspannung UN an den Anschlussklemmen an, und es fließt der Nennstrom IN. PN, UN und IN sind Daten, die bei elektrischen Geräten immer angegeben sein sollten. Beispiel: Leistung und Energie bei einem Fernseher im Stand-by Aktuelle Fernseher mit LED-Beleuchtung nehmen im sogenannten Stand-by eine Leistung von PAKT = 0.1 Watt auf [Stro16]. In einem Jahr ergibt sich damit ein Verbrauch im Stand-by von WAKT PAKT t 0,1 W 365 d 24 h Min. s 60 60 3.1536 MJ d h Min. (3.24) Wegen der hohen Zahlenwerte rechnen Energieversorger den Verbrauch in kWh ab. WAKT PAKT t 0,1 W 365 d 24 h = 0,876 kWh d (3.25) Im Jahr 2008 war der mittlere Verbrauch eines Fernsehers im Stand-by nach Angaben des VDE mit PALT = 6 W ungefähr 60-mal so groß. Das entsprach einem jährlichen Verbrauch von WALT PALT t 6 W 365 d 24 h 52,560 kWh d (3.26) 3.2.2 Wirkungsgrad Bei technischen Geräten ist die nutzbare abgegebene Leistung PAB, um die Verlustleistung PV kleiner als die zugeführte Leistung PZU. Ein Beispiel dafür ist die nutzbare mechanische Leistung auf der Welle eines Elektromotors. Die Verlustleistung ist dabei die Leistung, die nicht gemäß dem eigentlichen Bestimmungsziel verwendet wird. Im Beispiel entsteht bei dem Betrieb eines Motors Wärme, die als Verlustleistung bezeichnet und nicht in mechanische Leistung umgesetzt wird. PZU PAB PV (3.27) Eine häufig benutzte Darstellung ist die Beschreibung der Verluste über den Wirkungsgrad eines Gerätes. PAB PZU (3.28) Um den Wirkungsgrad eines Gerätes zu bestimmen, wird ein Stromkreis aus Erzeuger, Zuleitung und Verbraucher analysiert. PZU PEZU Erzeuger E PEV PEAB PLZU Leitung L PLAB PVZU PLV Verbraucher V PVAB PAB PVV Bild 3.6: Leistungsbilanz im Stromkreis Alle Anlagenteile sind verlustbehaftet. Für Erzeuger, Zuleitung und Verbraucher können einzelne Wirkungsgrade definiert werden E PEAB PEZU (3.29) L PLAB PLZU (3.30) V PVAB PVZU (3.31) Der Gesamtwirkungsgrad G ergibt sich aus dem Verhältnis von zugeführter Leistung zur abgegebenen Leistung. Für die Leistungen gilt die Beziehung PEAB = PLZU und PLAB = PVZU. Deshalb kann der Ausdruck erweitert werden zu G PVAB PVAB PLAB PEAB V L E PEZU PVZU PLZU PEZU (3.32) Der Gesamtwirkungsgrad einer Anlage berechnet sich aus dem Produkt der Teilwirkungsgrade sämtlicher hintereinandergeschalteter Anlagenteile. Beispiel: Wirkungsgrad einer Solaranlage An dem Beispiel einer Solaranlage mit Batteriespeicher wird die Bedeutung der Rechnung mit Wirkungsgraden verdeutlicht (Bild 3.7). Bild 3.7: Solaranlage mit Speicher und Wechselrichter [SMA016] Das entsprechende Blockdiagramm mit Wirkungsgraden zeigt Bild 3.8. PSZU Solarzelle S 21 % PSV PSAB PLZU Laderegler L 98 % PLAB PBZU Batterie B 65 % PLV PBAB PWZU PBV Wechsel richter W 96 % PWAB PWV Bild 3.8: Leistungsbilanz des Systems als Blockschaltbild Das einfallende Sonnenlicht erreicht an schönen Sommertagen eine Leistung von 700 W/m2. Bei einer Installation von acht Modulen mit einer Fläche von jeweils 1.6 m2 ergibt sich eine Einstrahlleistung von PSZU 700 W 8 1,6 m2 8,960 kW 2 m (3.33) Die elektrische Leistung, die den Solarzellen entnommen wird, ergibt sich bei einem Wirkungsgrad der Solarzelle von S = 21 % zu PSAB S PSZU 0,21 8,960 kW 1,8816 kW (3.34) Um die Batterie geeignet zu betreiben, wird ein Laderegler eingesetzt. Er besitzt einen Wirkungsgrad von L = 98 %. Damit wird in die Batterie eine Leistung von PLAB L PLZU 0,98 1,8816 kW 1,8440 kW (3.35) eingespeist. Beim Aufladen und Entladen von Bleibatterien wird ein Teil der elektrischen Leistung durch den inneren Widerstand der Zellen in Wärme umgewandelt. In dem Beispiel wird zunächst davon ausgegangen, dass die elektrische Leistung nicht direkt genutzt, sondern komplett in der Batterie zwischengespeichert wird. Bei einem Wirkungsgrad für die Speicherung von B = 65 % ergibt sich eine Leistungsabgabe von PBAB B PBZU 0,65 1,8440 kW 1,1986 kW (3.36) Die Gleichspannung der Batterie wird mit einem Wechselrichter in eine Wechselspannung überführt. Er hat einen Wirkungsgrad von W = 96 %, sodass dem Verbraucher eine elektrische Leistung von PWAB W PWZU 0,96 1,1986 kW 1,1506 kW (3.37) zur Verfügung steht. Das entspricht einem Gesamtwirkungsgrad von G1 S L B W 0,21 0,98 0,65 0,96 0,1284 1,1506 kW 12,84% 8,960 kW (3.38) Würde die elektrische Leistung direkt verbraucht und nicht in der Batterie zwischengespeichert, ergäbe sich eine deutlich bessere Bilanz, da der Wirkungsgrad der Batterie nach der Solarzelle den kleinsten Wert aufweist. G2 S L W 0,21 0,98 0,96 0,1976 19,76 % (3.39) 3.3 Zusammenfassung Tabelle 3.2 fasst die wesentlichen Zusammenhänge zu Spannung und elektrischer Arbeit tabellarisch zusammen. Tabelle 3.2: Zusammenfassung der wesentlichen Zusammenhänge zu Spannung und elektrischer Arbeit s Spannung Leistung U21 s 2 W 2 E s ds E ds E s2 s1 Q s1 s1 P dW W dt t t2 Arbeit W P t dt P t t1 Wirkungsgrad Einzelwirkungsgrade multiplizieren sich zum Gesamtwirkungsgrad PAB PZU G V L E 3.4 3.4.1 Literaturverzeichnis Literaturstellen zu den behandelten Grundlagen Elektrotechnik [Fueh11] A. Führer, K. Heidemann, W. Nerretter: Grundgebiete der Elektrotechnik: Band 1, 9. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2011 [Lind14] H. Lindner: Elektro-Aufgaben: Band 1, 30. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2014 3.4.2 Weiterführende Literatur zu den Beispielen [GELL11] Gellerich Wolfgang: Akkumulatoren - Grundlagen und Praxis, Shaker Media, Aachen, 2011 [Stro16] Der große Vergleich des Stromverbrauchs von TV Geräten, http://www.stromverbrauchinfo.de/stromverbrauch-tv-geraete.php Zugriff 08.09.2016 [SMA016] SUNNY BOY 3600 / 5000 SMART ENERGY, SMA Solar Technology AG, http://www.sma.de/produkte/solar-wechselrichter/sunny-boy-3600-5000-smartenergy.html Zugriff 08.09.2016 3.4.3 Interessante WEB-Links zum Thema [Leif16] Leifiphysik Elektrizitätslehre, http://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre Erklärung elektrischer Effekte mit Animationen, Versuchen und Aufgaben auf gut verständlichem Niveau, Zugriff 30.08.2016 [Simp16] TheSimplePhysics Elektrizität / E-Lehre, https://www.youtube.com/playlist?list=PLtChQtYYwX2OOFfJvpN_a3uLuoXG-_vD8 TheSimplePhysics, Online-Nachhilfe mit Lernvideos, Zugriff 30.08.2016 [Lbsb16] Landesbildungsserver Baden-Württemberg, http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_1/ Sammlung von Unterrichtsmaterialien für Schulen, Zugriff 30.08.2016 4 Zweipole 4.1 Begriff des Zweipols In den Kapiteln 2 und 3 wird beschrieben, dass ein Stromkreis aus einem Erzeuger, Zuleitungen und einem Verbraucher besteht. Sind Erzeuger und Verbraucher über nur zwei Anschlüsse zugänglich, wird von einem Zweipol gesprochen. Der Zweipol ist eine Idealvorstellung. Dabei wird davon ausgegangen, dass ein Strom, der an einer Klemme in den Zweipol hineinfließt, ohne zeitliche Verzögerung wieder an der anderen Klemme herausfließt. Die Einführung dieses Modells erlaubt eine vergleichsweise einfache mathematische Beschreibung von komplexen Stromkreisläufen und erleichtert ihre Berechnung. In der Gleichstromtechnik werden aktive und passive Zweipole unterschieden. Gibt ein Zweipol elektrische Energie ab, wird er als aktiv wirkender Zweipol bezeichnet. Die elektrische Energie entsteht bei der Umwandlung von mechanischer Energie in einem Generator, chemischer Energie in einer Batterie oder von Lichtenergie in Solarzellen. Nimmt ein Zweipol elektrische Energie auf und wandelt diese in eine andere Energieform um, wird er passiv wirkender Zweipol genannt. Beispiele hierfür sind die Abgabe von Wärme durch eine elektrische Heizung oder von mechanischer Energie durch einen Elektromotor. Einige elektrotechnische Bauteile können sowohl aktiver als auch passiver Zweipol sein. Ein Akkumulator ist zum Beispiel beim Entladen ein aktiver und beim Laden ein passiver Zweipol. Dasselbe gilt für die Bauelemente Spule und Kondensator, die sowohl Energie aufnehmen, als auch abgeben können. 4.2 Bezugspfeile für Ströme und Spannungen Die beiden Kenngrößen für Zweipole Spannung U und Strom I sind skalare Größen. Obwohl sie Skalare sind, muss die Stromrichtung beziehungsweise die Polarität der Spannung bei der mathematischen Formulierung berücksichtigt werden. Zu diesem Zweck werden Zählpfeile eingeführt. 4.2.1 Bezugspfeile für Ströme Am Beispiel eines Plattenkondensators, der aus zwei dicht gegenüberstehenden Metallplatten besteht und als Ladungsspeicher dient, wird diese Problematik verdeutlicht. Ein Plattenkondensator wird geladen beziehungsweise entladen, indem von einer Platte Ladungsträger abgezogen und der anderen Platte zugefügt werden. Dabei fließt ein Strom I. Der Aufbau ist in Bild 4.1 dargestellt. Aufladevorgang Entladevorgang I I Q Q0 I t Q Q0 I t Bild 4.1: Zusammenhang zwischen Stromrichtung und Ladung bei einem Plattenkondensator Die beiden Platten tragen zeitlich veränderliche, positive beziehungsweise negative Ladungen vom gleichen Betrag. Beim Aufladevorgang kann die Ladung durch die Gleichung Q Q0 I t (4.1) beschrieben werden. Die Ladung wird also ausgehend von einer Anfangsladung Q0 erhöht, indem in den Ladungsspeicher Strom hineinfließt. Beim Entladevorgang fließt der Strom heraus, so wird die Ladung gegenüber der Anfangsladung Q0 verringert. Es gilt Q Q0 I t (4.2) Um zu vermeiden, dass zur Beschreibung von Schaltungen zwei unterschiedliche Gleichungen angegeben müssen, wird Gleichung (4.1) verwendet und hinsichtlich des Vorzeichens eine Vereinbarung getroffen werden. Fließt der Strom in den Ladungsspeicher, wird I in die Gleichung mit positivem Vorzeichen eingesetzt. Fließt der Strom aus dem Ladungsspeicher, wird I in die Gleichung mit negativem Vorzeichen eingesetzt. Diese Vereinbarung wird durch einen Bezugspfeil für den Strom I dargestellt. Bild 4.2 zeigt unterschiedliche Bezugspfeile für das Beispiel des Ladungsspeichers. I I Bild 4.2: Bezugspfeile für einen Strom I Gemäß DIN 5489 wird der Bezugspfeil eines Stromes in den Leitungszweig gezeichnet. Aus Übersichtsgründen wird im Buch der Bezugspfeil an einigen Stellen dicht neben den Leitungszweig gezeichnet. Der Bezugspfeil gibt den positiven Sinn des Stromes wieder und wird als Bezugssinn bezeichnet. Wirkt der Strom in Bezugspfeilrichtung, erhält er ein positives Vorzeichen. Fließt der Strom entgegen der Bezugspfeilrichtung, erhält er ein negatives Vorzeichen. Technische Stromrichtung I1 1A I2 1A Bild 4.3: Zusammenhang zwischen den Bezugspfeilen und dem Richtungssinn am Beispiel eines Stromes mit der Stromstärke 1 A Der Bezugspfeil kann mit der technischen Richtung des Stromes, also der Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger, übereinstimmen oder ihm entgegen gerichtet sein. Entsprechend besitzt er ein positives oder negatives Vorzeichen. 4.2.2 Bezugspfeile für Spannungen Der Bezugssinn einer Spannung zwischen zwei Punkten kann durch die Bezeichnung dieser Punkte angegeben werden. Das Formelzeichen für die Spannung muss dann einen Doppelindex erhalten, wobei die Reihenfolge der Indizes den Bezugssinn angibt. U12 1 2 (4.3) U21 2 1 (4.4) Bei Verwendung eines Bezugspfeils kann der Doppelindex entfallen. Als Beispiel wird die Spannungsangabe einer 9-V-Blockbatterie diskutiert. In Bild 4.4 sind dazu zwei unterschiedliche Zählpfeile dargestellt. 1 1 2 U U U U12 1 2 9 V 2 U U21 2 1 9 V Bild 4.4: Zusammenhang zwischen Bezugspfeil, Vorzeichen der Spannung und Klemmenbezeichnungen am Beispiel einer 9-V-Blockbatterie Auf der linken Seite ist der Spannungspfeil von Punkt 1 nach Punkt 2 eingezeichnet. Da das Potential an Punkt 1 höher ist als an Punkt 2 gilt U U12 1 2 9 V 0 V 9 V (4.5) Auf der rechten Seite ist der Spannungspfeil von Punkt 2 nach Punkt 1 eingezeichnet. Damit gilt unter ansonsten gleichen Bedingungen U U21 2 1 0 V 9 V 9 V (4.6) Verbraucher- und Erzeugerpfeilsysteme Bei Pfeilsystemen handelt es sich um Festlegungen, die sich auf die Richtung von Strom und Spannung beziehen. Es gibt Erzeuger- und Verbraucher-Pfeilsysteme, die in den folgenden Abschnitten behandelt werden. Die Unterscheidung von Erzeuger- und Verbraucher-Pfeilsystemen ist wesentlich für die Interpretation der umgesetzten Leistung. Bei konsequenter Anwendung führt jedoch ein beliebiges Pfeilsystem zu richtigen Ergebnissen. Erzeuger-Pfeilsystem Bei dem Erzeuger-Pfeilsystem haben Bezugspfeile für Spannungen und Ströme eine entgegengesetzte Orientierung. Bild 4.5 zeigt einen Zweipol mit Erzeuger-Pfeilsystem. Der Strompfeil ist zur Verdeutlichung noch einmal neben dem Zweipol dargestellt. U I I Bild 4.5: Bezugspfeile für Spannung und Strom im Erzeuger-Pfeilsystem Für den Erzeuger stimmen die Bezugspfeile für die Spannungen mit dem wahren Spannungsabfall und die Bezugspfeile der Ströme mit der wahren Stromrichtung überein. Deshalb sind beim Erzeuger die Zahlenwerte für U und I positiv. Die von dem Erzeuger abgegebene Leistung ist ebenfalls positiv. PAB,EP U I 0 (4.7) Auch für Verbraucher kann das Erzeuger-Pfeilsystem angewendet werden. In dem Fall stimmt aber entweder der Bezugspfeil für die Spannung nicht mit dem wahren Spannungsabfall überein oder der Bezugspfeil des Stroms nicht mit der wahren Stromrichtung. Deshalb ist beim Erzeuger einer der Zahlenwerte für U oder I negativ, der andere ist positiv. In diesem Bezugssystem ist damit die von dem Verbraucher aufgenommene Leistung negativ. PAUF ,EP U I 0 (4.8) Verbraucher-Pfeilsystem Bei dem Verbraucher-Pfeilsystem haben Bezugspfeile für Spannungen und Ströme dieselbe Orientierung. Bild 4.6 zeigt einen Zweipol mit Verbraucher-Pfeilsystem. Der Strompfeil ist zur Verdeutlichung wieder neben dem Zweipol dargestellt. U I I Bild 4.6: Bezugspfeile für Spannung und Strom im Verbraucher-Pfeilsystem Für den Verbraucher stimmen die Bezugspfeile für die Spannungen mit dem wahren Spannungsabfall und die Bezugspfeile der Ströme mit der wahren Stromrichtung überein. Deshalb sind am Verbraucher die Zahlenwerte für U und I positiv. Die von dem Verbraucher aufgenommene Leistung ist ebenfalls positiv. PAUF ,VP U I 0 (4.9) Auch für Erzeuger kann das Verbraucher-Pfeilsystem angewendet werden. In dem Fall stimmt aber entweder der Bezugspfeil für die Spannung nicht mit dem wahren Spannungsabfall überein oder der Bezugspfeil des Stroms nicht mit der wahren Stromrichtung. Deshalb ist beim Erzeuger einer der Zahlenwerte für U oder I negativ, der andere positiv. In diesem Bezugssystem ist damit die von dem Erzeuger abgegebene Leistung negativ. PAB,VP U I 0 (4.10) Beschreibung von Schaltungen mit gemischten Pfeilsystemen Zur intuitiven Beschreibung von übersichtlichen Schaltungen ist es zweckmäßig, ein gemischtes Zählpfeilsystem zu verwenden. Für Erzeuger wird das Erzeugerpfeilsystem und für Verbraucher das Verbraucher-Pfeilsystem verwendet. Bild 4.7 zeigt eine Schaltung mit gemischtem Pfeilsystem. I1 Erzeuger I2 U1 U2 Verbraucher Bild 4.7: Schaltung mit gemischtem Pfeilsystem Die wahre Stromrichtung und der wahre Spannungsabfall stimmen bei Erzeuger und Verbraucher mit den entsprechenden Pfeilrichtungen überein. Spannungen und Ströme haben damit positives Vorzeichen. Die Leistung bei Erzeuger und Verbraucher ist deshalb in beiden Fällen positiv. Aufgrund der entsprechend gewählten Pfeilsysteme ist trotz einheitlichem Vorzeichen klar, dass der Erzeuger Leistung abgibt, während der Verbraucher Leistung aufnimmt. Einheitliche Beschreibung von Schaltungen mit Verbraucher-Pfeilsystemen Bei der systematischen Beschreibung komplexer Schaltungen ist dagegen zielführend, ein einheitliches Zählpfeilsystem zu verwenden. In Bild 4.8 wird für Erzeuger und Verbraucher einheitlich das Verbraucher-Pfeilsystem verwendet. I1 Erzeuger I2 U1 U2 Verbraucher Bild 4.8: Schaltung mit einheitlichem Verbraucher-Pfeilsystem Beim Erzeuger ist der Strompfeil entgegengesetzt zur wahren Stromrichtung. Der Strom weist damit ein negatives Vorzeichen auf. Die Leistung beim Erzeuger ist damit negativ. Bei dem Verbraucher hat sich nichts geändert. Die wahre Stromrichtung und der wahre Spannungsabfall stimmen mit den entsprechenden Pfeilrichtungen überein. Spannungen und Ströme haben damit positives Vorzeichen. Die Leistung beim Verbraucher ist positiv. Wird für alle Zweipole einheitlich ein Verbraucher-Pfeilsystem verwendet, kann an dem Vorzeichen der Leistung abgelesen werden, ob es sich um einen Erzeuger oder einen Verbraucher handelt. Zusammenfassung Prinzipiell können Bezugspfeile frei gewählt werden. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist es jedoch bei komplexen Schaltungen zweckmäßig, in einer elektrischen Schaltung nur ein Pfeilsystem anzuwenden. Ein einheitliches Zählpfeilsystem erlaubt zu jeder Zeit eine Energiebilanz, auch in umfangreichen Netzwerken. In dem Fall wird für alle Zweipole das Verbraucher-Pfeilsystem empfohlen. Tabelle 4.1 stellt den Zusammenhang zwischen Bezugspfeilen und Vorzeichen der Leistung P zusammen. Tabelle 4.1: Zuordnung von Bezugspfeilen und Vorzeichen der Leistung Zweipol Erzeuger-Pfeilsystem Schaltbild I Verbraucher-Pfeilsystem U U I Erzeuger P U I 0 P U I 0 Verbraucher P U I 0 P U I 0 4.3 Verhalten von Zweipolen Zweipole werden durch den Zusammenhang von dem durch den Zweipol durchfließenden Strom I und der am Zweipol abfallenden Spannung U beschrieben. Mathematische Beschreibung über Zweipolgleichungen Eine Möglichkeit, den Zusammenhang zwischen Spannung und Strom auszudrücken, sind mathematische Gleichungen. Diese Gleichungen werden als Zweipolgleichungen bezeichnet. Sie geben den Strom als Funktion der Spannung I f U (4.11) oder die Spannung als Funktion des Stroms U f I (4.12) an. Die Gleichungen ergeben sich aus physikalischen Gesetzen oder Spezifikationen von Bauelementen. Grafische Beschreibung über Kennlinien Der Zusammenhang zwischen durchfließenden Strom I und der abfallenden Spannung U kann auch experimentell ermittelt und als Strom-Spannungskennlinie (I-U-Kennlinie) dargestellt werden. Bei der Strom-Spannungskennlinie wird auf der Abszisse (x-Achse) die Spannung und auf der Ordinate (yAchse) der zugehörige Strom aufgetragen. Bild 4.9 zeigt als Beispiel den Versuchsaufbau zur Ermittlung einer Strom-Spannungskennlinie einer Glühlampe. Dabei ist eine Glühlampe an ein Netzteil angeschlossen. Zur Strommessung wird in die Leitung ein Amperemeter geschaltet, parallel zum Zweipol wird ein Voltmeter angeschlossen. I A Netzteil V U Bild 4.9: Schaltungsanordnung zur Ermittlung der I-U-Kennlinie einer Glühlampe Zur Aufnahme der Kennlinie wird ein Netzteil mit einstellbarer Spannung verwendet. Mit unterschiedlichen Spannungseinstellungen ergeben sich die in Tabelle 4.2 zusammengestellten Ströme. Die Punkte werden in ein Diagramm eingetragen und geeignet verbunden. Es ergibt sich die in Bild 4.10 Strom-Spannungskennlinie. Tabelle 4.2: Messwerte für die Bestimmung der Strom-Spannungskennlinie einer Glühlampe U/V - 5,0 - 4,5 - 4,0 - 3,5 - 3,0 - 2,5 - 2,0 - 1,5 - 1,0 - 0,5 0,0 I/A - 0,423 - 0,403 - 0,379 - 0,356 - 0,329 - 0,301 - 0,268 - 0,232 - 0,189 - 0,134 0,000 U/V 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 I/A 0,000 0,135 0,190 0,232 0,269 0,299 0,328 0,355 0,380 0,402 0,424 0,5 Strom I / A 0,25 0 -0,25 -0,5 -5 -2,5 0 Spannung U / V 2,5 5 Bild 4.10: I-U-Kennlinie einer Glühlampe bei Verwendung des Verbraucher-Pfeilsystems Alternativ zur Strom-Spannungskennlinie ist eine Darstellung als Spannungs-Stromkennlinie (U-I-Kennlinie) möglich. In dem Fall werden mit dem Netzgerät unterschiedliche Ströme eingestellt, und es ergeben sich am Zweipol unterschiedliche Spannungen. Aktive und passive Zweipole Strom I / A Wird wie in Bild 4.9 das Verbraucher-Pfeilsystem mit gleichgerichteten Bezugspfeilen für Strom und Spannung verwendet, können Zweipole anhand der unterschiedlichen Quadranten der StromSpannungskennlinie in aktive und passive Zweipole eingeteilt werden. 2. Quadrant 1. Quadrant Aktiver Zweipol Passiver Zweipol 0 3. Quadrant 4. Quadrant Passiver Zweipol Aktiver Zweipol 0 Spannung U / V Bild 4.11: Einteilung von Zweipolen in aktive und passive Zweipole anhand ihrer Strom-Spannungskennlinie Im ersten und dritten Quadranten haben Spannung und Strom gleiches Vorzeichen. Die Leistung ist positiv und der Zweipol nimmt Leistung auf. Er ist ein passiver Zweipol. Liegt die Kennlinie im zweiten oder vierten Quadranten, ist der Wert für Strom oder Spannung negativ. Damit ist die Leistung negativ, der Zweipol ist ein aktiver Zweipol. 4.4 Ideale Quellen als Zweipole In elektrischen Schaltungen muss es Quellen geben, die Energie liefern. Eine bekannte Quelle ist eine Batterie. Aber auch beliebige andere Energiequellen wie zum Beispiel Lichtmaschinen, Dynamos, Solarzellen und Akkus werden in der Elektrotechnik eingesetzt. Sie können als Zweipol beschrieben werden. 4.4.1 Leerlauf und Kurzschluss von Quellen Beim Betrieb von Quellen können zwei Grenzfälle auftreten, die in Bild 4.12 dargestellt sind. I 0A I IK U U Leerlauf IK Kurzschluss Bild 4.12: Quelle bei Leerlauf und Kurzschluss bei Verbraucher-Pfeilsystem Leerlauf Dem Zweipol wird kein Strom entnommen. Die Batterie liegt zum Beispiel unbenutzt in der Schublade. Es gilt I = 0 A. Bei diesem Betriebszustand, der Leerlauf genannt wird, liegt die Leerlaufspannung UQ an den Klemmen des Zweipols an. Die sogenannte Klemmenspannung U entspricht demnach der Leerlaufspannung. Da der Strom I = 0 A beträgt, wird dem Zweipol keine Leistung entnommen. Kurzschluss Der Zweipol wird an den Klemmen ideal leitend überbrückt, wodurch ein Kurzschluss entsteht und die Spannung an den Klemmen zu U = 0 V wird. Es fließt ein Kurzschlussstrom IK. Da das ErzeugerPfeilsystem verwendet wird, sind die Bezugspfeile von I und IK wie in Bild 4.12 gleichsinnig gerichtet. Es gilt also I = IK. Durch die inneren Verluste kann der Erzeuger im Kurzschluss unzulässig erwärmt werden. Wird eine Batterie kurzgeschlossen, entsteht ein sehr hoher Kurzschlussstrom, der bei einem NiCdAkku der Größe AA (Mignon) bis zu 20 A betragen kann. Die Batterie erhitzt sich sehr schnell und kann völlig zerstört werden. Eine Solarzelle hingegen kann ohne Weiteres kurzgeschlossen werden. Die Auswirkung des Kurzschlusses von Quellen ist abhängig von ihrem Innenwiderstand, der in Kapitel 8 behandelt wird. Der Kurzschlussfall ist zum Verständnis von aktiven Zweipolen beziehungsweise Quellen jedoch unabhängig von der technischen Realisierbarkeit wichtig. Bei Leerlauf gibt der Zweipol keine Leistung ab, da der Quellenstrom I = 0 A beträgt. P U I U 0 A 0 W (4.13) Bei Kurzschluss gibt der Zweipol ebenfalls keine Leistung ab, da an einem idealen Kurzschluss die Klemmenspannung U = 0 V ist. P U I 0 V I 0 W (4.14) Zwischen diesen beiden Grenzfällen kann der Zweipol Leistung an einen angeschlossenen Verbraucher abgeben. Ein Zweipol wird als Quelle bezeichnet, wenn er eine Leerlaufspannung und einen Kurzschlussstrom aufweist. 4.4.2 Ideale Quellen Bei der Belastung von Quellen treten in der Regel innere Verluste in Form von Wärme auf, die von dem durch sie fließenden Strom abhängig sind. Die Klemmenspannung weicht deshalb bei Belastung der Quelle von der Leerlaufspannung UQ ab. Dieses Verhalten ist zum Beispiel von der Autobatterie bekannt. Wenn der Anlasser betätigt wird, wird der Batterie ein hoher Strom von bis zu 80 A entnommen. Ist in diesem Moment die Innenbeleuchtung eingeschaltet, wird sie wegen des Spannungseinbruchs merklich dunkler. Ideale Quellen existieren damit in der Realität nicht. Für eine Beschreibung von Schaltungen werden trotzdem ideale Quellen eingesetzt und innere Verluste über ein separates Netzwerk modelliert. Deshalb werden unabhängig von der technischen Realisierbarkeit ideale Spannungs- und Stromquellen definiert. Ideale Spannungsquelle Bei idealen Spannungsquellen ist die Klemmenspannung U stets genauso groß wie die Quellenspannung UQ und damit vom Strom I unabhängig. Der Strom I ist mit dieser Voraussetzung von der äußeren Beschaltung abhängig. UQ Strom I aktiv 0 I passiv 0 Spannung U U Q Bild 4.13: Schaltsymbol und I-U-Kennlinie der idealen Spannungsquelle Eine ideale Spannungsquelle kann nicht im Kurzschluss betrieben werden, denn es gibt keinen Punkt der I-U-Kennlinie, in dem U = 0 V ist. Wenn die ideale Spannungsquelle aktiv betrieben werden und damit Leistung abgeben soll, muss beim Erzeuger-Pfeilsystem der Strom I positiv sein. Ist der Strom negativ, dann fließt Strom in die Spannungsquelle hinein und die Spannungsquelle wird passiv betrieben. Die ideale Spannungsquelle kann damit ein aktiver oder passiver Zweipol sein. Das Verhalten hängt von der äußeren Beschaltung ab. Eine ideale Spannungsquelle lässt sich mit elektronischen Schaltungen näherungsweise verwirklichen. Eine solche Quelle wird als Konstantspannungsquelle bezeichnet. Allerdings kann der Strom technisch bedingt nur innerhalb gewisser Grenzen variiert werden, ohne die Spannung zu verändern. Beispiel: Spannungsmessung Autobatterie Eine Quelle mit sehr geringen inneren Verlusten kann näherungsweise als ideale Spannungsquelle angesehen werden, wenn sich die Klemmenspannung bei den auftretenden Belastungsströmen nur unwesentlich ändert. In einem Versuch wird eine Autobatterie mit unterschiedlichen Widerständen beschaltet. Für jeden Widerstand werden Spannung und Strom gemessen. Tabelle 4.3 stellt das Versuchsergebnis zusammen. Tabelle 4.3: Versuchsergebnis Strom-Spannungskennlinie einer Autobatterie R/ 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 I/A 1,049 0,840 0,700 0,573 0,467 0,382 0,323 0,268 0,225 0,186 U/V 12,599 12,605 12,609 12,613 12,616 12,619 12,620 12,622 12,623 12,624 Die Klemmenspannung U der Batterie ändert sich in dem variierten Strombereich um U = 0,015 V, die mittlere Spannung beträgt 12,615 V. Das entspricht einer relativen Abweichung von U 0,015 V 0,12 % UQ 12,615 V (4.15) Autobatterien können demnach in einem Strombereich bis 1 A in guter Näherung als ideale Spannungsquellen aufgefasst werden. Ideale Stromquelle Eine zweite ideale Quelle ist die ideale Stromquelle. Sie liefert unabhängig von der Klemmenspannung einen konstanten Quellenstrom IQ an einen angeschlossenen Verbraucher. Die Klemmenspannung ist dabei von der äußeren Beschaltung abhängig. I Q U Strom I passiv aktiv 0 IQ 0 Spannung U Bild 4.14: Schaltsymbol und I-U-Kennlinie der idealen Stromquelle Eine ideale Stromquelle kann nicht im Leerlauf betrieben werden, weil in keinem Punkt ihrer I-UKennlinie I = 0 A ist. Die ideale Stromquelle gibt Leistung ab, wenn die Spannung U positiv ist. Ist die Spannung negativ, haben Spannung und Strom dieselbe Richtung und die Stromquelle wird passiv betrieben. Die ideale Stromquelle kann damit ein aktiver oder passiver Zweipol sein. Das Verhalten hängt wie bei der idealen Spannungsquelle von der äußeren Beschaltung ab. Eine ideale Stromquelle kann nur durch elektronische Schaltungen näherungsweise verwirklicht werden. Eine solche Stromquelle wird als Konstantstromquelle bezeichnet. Auch für eine solche Konstantstromquelle sind schaltungsabhängig bestimmte Werte der Klemmenspannung nicht zu über- oder zu unterschreiten. Leistung und Zählpfeile Bei den Schaltzeichen für ideale Spannungs- und Stromquellen gehört der Pfeil für die Spannung UQ beziehungsweise für den Strom IQ zum Schaltsymbol. Die Richtung der Pfeile wird so gewählt, dass im Fall der idealen Spannungsquelle die Leerlaufspannung mit UQ übereinstimmt und bei der idealen Stromquelle der Quellenstrom IQ gleich dem Kurzschlussstrom IK ist. Bei der Darstellung der idealen Quellen in Bild 4.13 und Bild 4.14 wird das Erzeuger-Pfeilsystem gewählt. In dem Fall arbeitet eine Quelle, die Leistung abgibt, im 1. oder 3. Quadranten der I-U-Kennlinie (P > 0). Arbeitet die Quelle im 2. oder 4. Quadranten (P < 0), ist sie ein passiv wirkender Zweipol, der Leistung aufnimmt. 4.4.3 Zusammenfassung Tabelle 4.4 fasst die wesentlichen Zusammenhänge zu idealer Spannungs- und Stromquelle tabellarisch zusammen. Tabelle 4.4: Zusammenfassung der wesentlichen Zusammenhänge zu idealer Spannungs- und Stromquelle Ideale Spannungsquelle, Spannungsabfall ist immer UQ, Strom ergibt sich über äußere Beschaltung Ideale Stromquelle, Strom ist immer IQ, Spannungsabfall ergibt sich über äußere Beschaltung UQ I U IQ 4.5 Verbraucher als passive Zweipole Verbraucher wirken unabhängig von der äußeren Beschaltung immer als passive Zweipole. Verbraucher mit einer konstanten, linearen Charakteristik sind besondere passive Zweipole. Sie werden als ohmsche Widerstände bezeichnet. 4.5.1 Strom-Spannungskennlinie passiver Zweipole Das Betriebsverhalten passiver Zweipole kann als Strom-Spannungskennlinie (I-U-Kennlinie) beschrieben werden. In Kapitel 4.3 wird die Glühlampe mit ihrer Strom-Spannungskennlinie als Zweipol beschrieben. Wird wie in Bild 4.9 das Verbraucher-Pfeilsystem mit gleichgerichteten Bezugspfeilen für Strom und Spannung verwendet, verläuft die Kennlinie eines passiven Zweipols stets im 1. und 3. Quadranten. Dort ist das Produkt aus Strom und Spannung immer positiv, sodass der Zweipol passiv arbeitet und Leistung aufnimmt. Punktsymmetrische Strom-Spannungskennlinien Die Kennlinie der Strom-Spannungskennlinie verläuft bei passiven Zweipolen durch den Ursprung, da für eine Spannung U = 0 V kein Strom fließen kann. Bei der Glühlampe sind die Kennlinienteile im 1. und 3. Quadranten punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Bei einer solchen punktsymmetrischen Kennlinie genügt es deshalb, nur einen Quadranten zu zeichnen. Strom I / A 0,5 0,25 0 0 2,5 Spannung U / V 5 Bild 4.15: Darstellung der I-U-Kennlinie einer Glühlampe im 1. Quadranten Eine punktsymmetrische Kennlinie ergibt sich immer dann, wenn die Klemmen des Zweipols vertauscht werden können, ohne dass sich an seiner elektrischen Eigenschaft etwas ändert. Bei einer Glühlampe ist es zum Beispiel gleichgültig, in welcher Richtung der Strom durch den Glühfaden fließt. Unsymmetrische Strom-Spannungskennlinien Es gibt auch passive Zweipole, deren I-U-Kennlinie nicht punktsymmetrisch ist. Ein Beispiel für einen solchen Zweipol ist eine Diode. Im ersten Quadranten, dem sogenannten Durchlassbereich, fließt bei relativ niedriger Spannung U bereits ein hoher Strom I. Hier ist der Widerstand sehr niedrig. Zum Beispiel ergibt sich für die Diode 1N4007 ein Widerstand von 0,9 bei 0,9 V und 1,0 A [Vish16]. Im dritten Quadranten fließt nur ein sehr kleiner Strom, der im Diagramm mit diesem Maßstab nicht abzubilden ist. Der Widerstand ist sehr groß. Bei einer Spannung von U = - 500 V ergibt sich ein Strom I = - 5 µA und damit ein Widerstand von R = 100 M. Da die Diode den Strom praktisch sperrt, wird der Bereich als Sperrbereich bezeichnet. Dieses Verhalten von Dioden wird genutzt, um bei Spannungen mit wechselnder Polarität einen Strom nur in einer Richtung fließen zu lassen. 1 0,8 A V U Strom I / A I 0,6 0,4 0,2 0 -1 -0,5 0 Spannung U / V 0,5 1 Bild 4.16: Schaltungsanordnung zur Ermittlung der I-U-Kennlinie einer Diode und I-U-Kennlinie einer Diode bei Verwendung des Verbraucher-Pfeilsystems Elektrischer Widerstand und elektrischer Leitwert Bei einem passiven Zweipol, an dem das Verbraucher-Pfeilsystem angewendet wird, wird der Quotient aus Spannung und Strom als Widerstand R definiert. R U I R U 1 V 1 I 1 A (4.16) (4.17) Ein passiver Zweipol besitzt den Widerstand 1 , wenn zwischen seinen Klemmen bei einem Strom von I = 1 A die Spannung U = 1 V abfällt. Der Widerstand ist bei Verwendung des VerbraucherPfeilsystems immer positiv. Der Kehrwert des Widerstandes wird als Leitwert G bezeichnet. G I 1 U R G I 1 A 1 Siemens 1 S U 1 V (4.18) (4.19) Dabei ist zu beachten, dass bei einem passiven Zweipol mit nichtlinearer I-U-Kennlinie wie zum Beispiel einer Glühlampe der Widerstand R in verschiedenen Punkten der Kennlinie unterschiedliche Werte aufweist. Ein solcher Zweipol wird als nichtlinearer passiver Zweipol bezeichnet. Die Kombination von einer Spannung und dem dazugehörigen Strom wird Arbeitspunkt genannt. Der Widerstand wird bei nichtlinearen Zweipolen immer für einen Arbeitspunkt angegeben. Der Widerstand in einem Arbeitspunkt kann als Steigung der Verbindung vom Koordinatenursprung mit dem Arbeitspunkt verstanden werden. Bild 4.17 verdeutlicht, dass sich für die unterschiedlichen Betriebspunkte einer Glühlampe auf der Strom-Spannungskennlinie unterschiedliche Widerstände ergeben. 0,5 Strom I / A 0,42 0,38 Kennlinie Betriebspunkte 0,33 0,27 0,19 0 0 1 2 3 Spannung U / V 4 5 Bild 4.17: Darstellung der I-U-Kennlinie mit unterschiedlichen Arbeitspunkten, für die unterschiedlichen Arbeitspunkte ergeben sich unterschiedliche Widerstände Ist die I-U-Kennlinie eines passiven Zweipols eine Gerade durch den Ursprung, wird der Zweipol als linearer passiver Zweipol bezeichnet. Sein Widerstand hat in jedem Punkt der Kennlinie denselben Wert. Solche Widerstände werden als ohmsche Widerstände bezeichnet. Dieser Sonderfall wird im Abschnitt 4.5 behandelt. Leistungsumsetzung passiver Zweipole Die Leistung, die von einem passiven Zweipol in einem bestimmten Punkt der I-U-Kennlinie umgesetzt wird, lässt sich mit der Definitionsgleichung für den Widerstand R in Gleichung (4.16) beziehungsweise für den Leitwert G in Gleichung (4.18) ausdrücken als P U I I2 R I2 G (4.20) oder P U I U2 G U2 R Die elektrische Leistung hängt ebenfalls von dem gewählten Arbeitspunkt ab. (4.21) 4.5.2 Passive Bauelemente mit linearer Kennlinie Zur Herleitung des Ohmschen Gesetzes wird der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom betrachtet. Im Abschnitt 2.4.1 wird gezeigt, dass der Strom direkt proportional zur Geschwindigkeit der Ladungsträger ist. I A e nP v P nN v N (4.22) Im Abschnitt 2.1.2 wird gezeigt, dass die elektrische Feldstärke die Ursache für die Kraft auf Ladungsträger ist. F =QE (4.23) Diese Kraft ist als Ursache der Bewegung der Ladungsträger anzusehen. Durch die Kraft werden die Ladungsträger beschleunigt und erreichen in sehr kurzer Zeit die konstante Driftgeschwindigkeit v. Der Quotient aus Geschwindigkeit v und elektrischem Feld E wird als Beweglichkeit b der Ladungsträger definiert b v E (4.24) Mit der Beweglichkeit lässt sich die Driftgeschwindigkeit v auf die Feldstärke E zurückführen. Für die positiven und negativen Ladungsträger gilt v P bP E (4.25) v N bN E (4.26) Damit kann Gleichung (4.22) umgeformt werden zu I e nP bP nN bN A E (4.27) In einem stabförmigen homogenen Leiter kann die Feldstärke durch die Spannung zwischen zwei Punkten auf dem Leiter angegeben werden, und es ergibt sich I e nP bP nN bN A U L (4.28) Dabei ist L die Strecke, über der die Spannung U abfällt. Der Widerstand R ergibt sich damit zu R U 1 L I e nP bP nN bN A (4.29) Diese Gleichung besteht aus zwei Faktoren. Der erste Quotient L/A ist geometrieabhängig, der zweite Faktor ist materialabhängig. Dieser zweite Anteil wird als spezifischer Widerstand bezeichnet. 1 e nP bP nN bN (4.30) Mit der Bezeichnung für den spezifischen Widerstand ergibt sich für den ohmschen Widerstand R R L A (4.31) Die Einheit des spezifischen Widerstandes ist R A 1 m L (4.32) Für technische Anwendungen wird der spezifische Widerstand auf die Fläche in Millimeter und die Länge in Metern bezogen, sodass sich als technische Einheit 1 mm2 m (4.33) ergibt. In manchen Anwendungen ist es zielführend, statt des spezifischen Widerstands ρ die Leitfähigkeit anzugeben. Sie ist der Kehrwert des spezifischen Widerstandes und ergibt sich aus 1 e nP bP nN bN (4.34) Ohmsches Gesetz Die Leitfähigkeit beziehungsweise der spezifische Widerstand ist im Allgemeinen nicht konstant, sondern insbesondere von der Temperatur abhängig. Bei Halbleitern nehmen zum Beispiel die Ladungsträgerdichten nP und nN mit steigender Temperatur zu, was die Leitfähigkeit erhöht. Bei Metallen sind nur freie Elektronen als Ladungsträger vorhanden (nP = 0), deren Dichte nN temperaturunabhängig und daher konstant ist. Bei zunehmender Temperatur setzten jedoch die stärkeren Gitterschwingungen der Atomrümpfe die Beweglichkeit bN der Elektronen herab und der Widerstand steigt. Wird bei Metallen die Temperatur konstant gehalten, so erweist sich aufgrund der dabei konstanten Beweglichkeit der Elektronen auch der spezifische Widerstand ρ als konstant. Damit berechnet sich bei gegebener Geometrie A und L der konstante Widerstand R zu R L A (4.35) Dieser Zusammenhang wird als Ohmsches Gesetz bezeichnet (Georg Simon Ohm, 1787-1854). Es sagt aus, dass der spezifische Widerstand von der angelegten Spannung und von dem Strom unabhängig und damit der Widerstand R unabhängig von Spannung und Strom konstant ist. R U I (4.36) Das ohmsche Gesetz gilt jedoch nur bei konstanten äußeren Bedingungen, insbesondere bei konstanter Temperatur. Eine Glühlampe kann kein ohmscher Widerstand sein, da bei ihr die Erwärmung des Metalldrahtes erwünscht ist, sie glüht und emittiert Licht. Weitere Einflussgrößen sind zum Beispiel: Magnetfelder Die Abhängigkeit ist beim Halbleitermaterial Indiumantimonid (InSb) besonders stark. Dieses Material wird für magnetfeldabhängige Widerstände, sogenannte Feldplatten, verwendet. Druck Bei Halbleitern wird durch zunehmenden Druck eine Zunahme der Leitfähigkeit hervorgerufen. Der Effekt wird als piezoresistiver Effekt bezeichnet. Anwendung findet dieser Effekt zum Beispiel bei Drucksensoren. Als ohmscher Widerstand wird ein idealer Zweipol bezeichnet, bei dem das ohmsche Gesetz unabhängig von äußeren Einflüssen stets erfüllt ist. Gleichung (4.31) ist somit die Zweipolgleichung für den ohmschen Widerstand. Ein ohmscher Widerstand ist ein linearer passiver Zweipol, seine I-U-Kennlinie ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung. 2,5 2 1,5 I U R Strom I / mA 1 A V R = 2 k R = 5 k 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -5 -2,5 0 Spannung U / V 2,5 5 Bild 4.18: Schaltungsanordnung zur Ermittlung der I-U-Kennlinie eines ohmschen Widerstandes und I-U-Kennlinie eines ohmschen Widerstandes bei Verwendung des Verbraucher-Pfeilsystems Der Nachweis des ohmschen Gesetzes an einem Leiter oder einem käuflichen Widerstand ist nicht einfach, weil sich der Leiter bei Stromdurchgang erwärmt. Wegen der Erwärmung ergibt sich bei höheren Spannungen eine nichtlineare Kennlinie. Nur wenn der Leiter gekühlt wird, sodass sich seine Temperatur bei unterschiedlichen Spannungen nicht ändert, ist die Kennlinie linear. Typischerweise werden derartige Messungen deshalb in einem Ölbad durchgeführt, das elektrisch isoliert und für eine gute Wärmeableitung sorgt. Beispiel: Strom-Spannungskennlinie an einem ohmschen Widerstand Zur Verdeutlichung des Zusammenhangs von Strom, Spannung, Leistung und Widerstand wird die Strom-Spannungskennlinie an einem Widerstand gemäß Bild 4.18 aufgenommen. Tabelle 4.5 stellt das Versuchsergebnis dar. Tabelle 4.5: Versuchsergebnis zur Strom-Spannungskennlinie an einem 100 Widerstand der Leistungsklasse 0,25 Watt U/V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I / mA 10 20 30 40 51 61 72 82 93 105 P/W 0,010 0,040 0,090 0,160 0,255 0,366 0,504 0,656 0,837 1,050 R/ 100,00 100,00 100,00 100,00 98,04 98,36 97,22 97,56 96,77 95,24 U/V 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 I / mA 116 128 140 152 164 176 189 204 - - P/W 1,276 1,536 1,820 2,128 2,460 2,816 3,213 3,672 - - R/ 94,83 93,75 92,86 92,11 91,46 90,91 89,95 88,24 - - Die Strom-Spannungskennlinie ist in Bild 4.19 dargestellt. 240 Strom I / mA 200 Messung Lineare Kennlinie 160 120 80 40 0 0 4 8 12 Spannung U / V 16 20 Bild 4.19: Strom-Spannungskennlinie an einem 100 Widerstand Der Strom steigt erwartungsgemäß mit steigender Spannung an. Allerdings ist ein progressiver Stromanstieg zu erkennen. Zur Interpretation des Ergebnisses sind in Bild 4.20 die Verlustleistung P und der Widerstand R als Funktion der Spannung dargestellt. Widerstand als Funktion der Leistung 105 3 100 Widerstand R / Leistung P / W Verlustleistung 4 2 1 0 0 4 8 12 Spannung U / V 16 20 95 90 85 0 1 2 Leistung P / W 3 4 Bild 4.20: Verlustleistung und Widerstand als Funktion der Spannung Mit steigender Versorgungsspannung steigt der Strom und damit die Verlustleistung an. In Bild 4.20 ist der quadratische Zusammenhang zwischen Spannung und Leistung gut zu erkennen. P U I U2 R (4.37) Der Widerstandswert ist spezifiziert für eine Verlustleistung von 0.25 W. Bis zu dieser Verlustleistung bleibt der Widerstandswert weitgehend konstant. Oberhalb dieser Grenze erhitzt sich der Widerstand und der Widerstandswert sinkt mit der Temperatur. Dadurch steigen der durchfließende Strom und die umgesette Leistung weiter an. Der Widerstand wird zerstört. Bild 4.21 zeigt einen neuen und einen durch Überhitzung zerstörten Widerstand. Der Lack, der den Widerstand abgedeckt und isoliert hat, ist verkohlt. Die rote Verfärbung in der Mitte ist beim Glühen des Widerstandes entstanden. Bild 4.21: Neuer und durch Überhitzung zerstörter Widerstand Widerstand und Potentiometer Als Widerstand wird im allgemeinen Sprachgebrauch nicht nur die Eigenschaft R eines Leiters bezeichnet, sondern auch das Bauelement Widerstand. Die damit verbundene idealisierte Vorstellung eines konstanten Widerstandes ist nur erfüllt, solange der Strom unterhalb des Nennstroms, also dem höchstens betriebsmäßig zulässigen Strom, liegt. In dem Fall bleibt die Verlustleistung unterhalb der Nennleistung, also der höchsten zulässigen Leistung, bei der der Widerstand betrieben werden darf. Im Allgemeinen ist der Widerstandswert etwas temperaturabhängig. Auf die Beschreibung der Temperaturabhängigkeit wird in Abschnitt 4.5.4 eingegangen. Es gibt verschiedene Sonderformen von Widerständen. Teilweise ändern sich die Widerstandswerte bei Änderung der Umgebungstemperatur, des Magnetfeldes oder anderen physikalischen Größen. Sie werden als variable Widerstände bezeichnet. Tabelle 4.6 zeigt eine Übersicht über unterschiedliche Widerstände und ihre Schaltzeichen Tabelle 4.6: Übersicht über unterschiedliche Widerstände und ihre Schaltzeichen Allgemeiner Widerstand Variabler Widerstand Potentiometer Fest einstellbarer Widerstand R R() P R Zum Abgleich von Schaltungen werden häufig Potentiometer eingesetzt. Bei diesen Bauelementen wird auf einem Widerstandsmaterial ein Schleifkontakt angebracht, sodass dieser Schleifer einen beliebigen Punkt auf dem Widerstand elektrisch abgreifen kann. In diesem Buch wird ein Potentiometer oft mit einer Stellung x verwendet. Diese Darstellung ist äquivalent zur Darstellung mit zwei Widerständen Px und P·(1 - x). x P Px P 1 x Bild 4.22: Darstellung eines Potentiometers mit Stellung x und äquivalentes Ersatzschaltbild aus zwei Widerständen In der angelsächsischen Literatur sind Zackenlinien als Widerstandssymbol zu finden. Die Symbole für einstellbare Widerstände, Potentiometer und Trimmer sind entsprechend mit dieser Zackenlinie gezeichnet. Bild 4.23: Symbol eines Widerstandes in der englischsprachigen Literatur 4.5.3 Bauformen von ohmschen Widerständen Unterschiedliche Anwendungen und Packungsdichten von Schaltkreisen erfordern unterschiedliche Bauformen für Widerstände und Potentiometer. Neben den geometrischen Maßen und der Art der Kontaktierung ist die Nennleistung von wesentlicher Bedeutung. Sie wird im Datenblatt angegeben und ist neben der Bauform von der Kühlung und damit auch von der Umgebungstemperatur abhängig. Für unterschiedliche Anwendungen von Widerständen stehen unterschiedliche Bauformen zur Verfügung. Eine Übersicht ist in Tabelle 4.7 zusammengestellt [Stin15]. Tabelle 4.7: Bauformen von Widerständen Bezeichnung Darstellung Anwendung Through Hole Technology (THT) Manuelle Bestückung Surface Mounted Device (SMD) Automatische Bestückung mit hoher Packungsdichte Leistungswiderstand Sonderanwendungen mit hohem Leistungsbedarf Elektrische Widerstände in Through Hole Technology (THT) Unter Widerständen in Through Hole Technology werden bedrahtete Widerstände verstanden. Die Kontaktierung erfolgt dabei über Zuleitungsdrähte, die entweder direkt verbunden oder durch Löcher in Leiterplatten gesteckt und verlötet werden. Daraus ergibt sich der Name der Bauform (Durchsteckmontage). Bild 4.24: Montage eines THT Widerstandes auf einer Leiterplatte, Querschnitt durch das eingelötete Bauelement und Foto einer bestückten Platine Widerstände in Through Hole Technologie werden in Serienanwendungen mittlerweile kaum noch eingesetzt. Im Laborbetrieb ermöglichen die Zuleitungen aber einen schnellen manuellen Aufbau von Musterteilen. Die Widerstände werden nicht mit beliebigen Werten hergestellt, sondern nur in Werten nach genormten Zahlenreihen. Sie orientieren sich an einer logarithmischen Teilung einer Zehnerpotenz in 12 beziehungsweise 24 Intervalle. Tabelle 4.8 stellt die Nennwertreihe nach DIN 41426 dar. Tabelle 4.8: Nennwertreihe für elektrische Widerstände nach DIN 41426 Reihe Widerstandswert E12 E24 1,0 1,0 E12 E24 1,2 1,1 1,2 3,3 3,3 1,5 1,3 1,5 3,9 3,6 3,9 1,8 1,6 1,8 4,7 4,3 4,7 2,2 2,0 2,2 5,6 5,1 5,6 2,7 2,4 2,7 6,8 6,2 6,8 3,0 8,2 7,5 8,2 9,1 Nach dieser Nennwertreihe existiert zum Beispiel kein Widerstand von R = 1780 . Der Widerstandswert, der diesem Wert am nächsten liegt, ist der Widerstand mit einem Wert R = 1800 . Nach DIN 41429 werden Widerstände mit einem System von umlaufenden Farbringen versehen, um ihren Widerstandswert zu kennzeichnen. Tabelle 4.9 zeigt den Zusammenhang zwischen Farb-Code und Zahlenwert. Dabei liegt der erste Ring näher an dem einen Ende des Widerstandes als der letzte Ring am anderen Ende. Teilweise ist auch der letzte Ring etwas abgesetzt, hat aber denselben Abstand zum Rand wie der erste. Beispiel: Widerstandscodierung Als Beispiel für die Farbkennzeichnung wird ein 270 k Widerstand mit einer Toleranz von 1 % vorgestellt. Er besitzt die Farbringkombination rot - violett - gelb - braun. Bild 4.25: Beispiel für die Farbkennzeichnung eines 270 k Widerstandes mit einer Toleranz von 1 % Die beiden ersten Ringe stellen codiert den Zahlenwert 27 dar. Er wird wegen des gelben dritten Rings mit dem Faktor 104 multipliziert. Der braune Ring an Position 4 gibt die Toleranz von 1 % an. Damit lautet der vollständige Widerstandswert R 27 104 1% 270 k 1% (4.38) Tabelle 4.9: Farb-Code zu Kennzeichnung von Widerständen nach DIN 41429 1. Ring 2. Ring 3. Ring 4. Ring Farbe 1. Ziffer 2. Ziffer Faktor Toleranz in % schwarz 0 0 1 braun 1 1 10 1 rot 2 2 100 2 orange 3 3 1000 gelb 4 4 10 4 grün 5 5 10 5 blau 6 6 10 6 violett 7 7 10 7 grau 8 8 10 8 weiß 9 9 10 9 gold - - 0,1 5 silber - - 0,01 10 keine - - - 20 0,5 Für Widerstände mit 1 % Toleranz kann auch die E48 - und E96 - Reihe Verwendung finden. Bei diesen Werten werden mindestens 3 Ziffern zur Wertekennzeichnung benötigt. Diese Widerstände haben dann einen Farbring mehr. Ein Widerstand mit dem Wert R = 2,00 k hätte dann 4 Ringe zur Wertekennzeichnung in der Reihenfolge rot - schwarz - schwarz - braun - braun. Elektrische Widerstände in Surface Mounted Device (SMD) Technik Widerstände in Surface Mounted Device Bauform haben keine Drahtanschlüsse, sondern sie werden mit lötfähigen Anschlusskappen geliefert. Zur Montage werden die Bauelemente mit einem Kleber oder Lötpaste auf der Oberfläche einer Leiterplatte fixiert und anschließend verlötet. Wegen der fehlenden Drahtzuleitungen und der Art der Kontaktierung ergibt sich eine kompaktere Bauform. Allerdings ist die manuelle Montage aufwendiger als bei THT Bauelementen. SMD-Widerstände gibt es in unterschiedlichen Bauformen. Sie unterscheiden sich in Spannungsfestigkeit und Verlustleistung, was sich in der Baugröße ausdrückt. SMD Technik ermöglicht die Miniaturisierung von Schaltungen. Kleinste Bauformen haben eine Länge kleiner ein Millimeter. Bild 4.26: Montage eines SMD Widerstandes auf einer Leiterplatte, Querschnitt durch das aufgelötete Bauelement und Foto einer bestückten Platine Die Widerstandswerte von SMD-Widerständen werden mit einem 3- oder 4-stelligen Ziffern- und Buchstabenblock oder dem sogenannten EIA-96 Code bezeichnet [DINXXX]. Bei einem dreistelligen Code geben die beiden ersten Ziffern die Dezimalstellen an, und die dritte Ziffer bezeichnet die Zehnerpotenz des Widerstandswertes. Liegt der Wert unter 10 bezeichnet der Buchstabe R den Dezimalpunkt. Bei Widerstandswerten unter 1 erfolgt die Angabe der Position der Tausendstel-Stelle durch ein M. Tabelle 4.10: Beispiele zur Kennzeichnung von SMD-Widerständen mit dreistelligem Code Code 102 1R2 6M8 R/ 1010 = 1 k 1,2 6,8 m 2 Bei einer Toleranz von 5 % und weniger wird ein vierstelliger Code verwendet. Dabei geben die ersten drei Ziffern die Dezimalstellen an, und die vierte Ziffer bezeichnet die Zehnerpotenz des Widerstandswertes. Liegt der Wert unter 10 bezeichnet der Buchstabe R wieder den Dezimalpunkt. Bei Widerstandswerten unter 1 erfolgt die Angabe der Position der Tausendstel-Stelle wieder durch ein M. Tabelle 4.11: Beispiele zur Kennzeichnung von SMD-Widerständen mit vierstelligem Code Code 4704 15R0 12M0 R/ 47010 = 4,7 M 15,0 12 m 4 Für SMD-Widerstände mit einer Toleranz von 1 % und weniger wird der sogenannte EIA-96 Code verwendet. Dabei werden zwei Ziffern als Code für einen Zahlenwert verwendet. Die Zuordnung ist in Tabelle 4.14 zusammengefasst. Ein zusätzlicher Buchstabe gibt eine Zehnerpotenz als Multiplikator an. Er ist in Tabelle 4.12 aufgeführt. Tabelle 4.12: Multiplikationsfaktor für EIA-96 Code Code Z Faktor 10 -3 Y oder R 10 -2 X oder S 10 -1 A B oder H 1 10 C 1 10 D 2 10 E 3 F 10 4 10 5 Das Vorgehen zur Bestimmung des Widerstandes wird an dem ersten Beispiel in Tabelle 4.13 verdeutlicht. Der Code 68 steht für den Zahlenwert 499. Der Buchstabe X gibt die Zehnerpotenz 10-1 an. Damit handelt es sich um einen Widerstand von R = 49910-1 = 49,9 . Tabelle 4.13: Bespiele zur Kennzeichnung von SMD-Widerständen mit EIA-96 Code Code 68X 01C 34D R/ 49910 = 49,9 10010 = 10 k 22110 = 221 k -1 2 3 Tabelle 4.14: Kennzeichnung von SMD-Widerständen mit EIA-96 Code Code Wert Code Wert Code Wert Code Wert 01 100 25 178 49 316 73 562 02 102 26 182 50 324 74 576 03 105 27 187 51 332 75 590 04 107 28 191 52 340 76 604 05 110 29 196 53 348 77 619 06 113 30 200 54 357 78 634 07 115 31 205 55 365 79 649 08 118 32 210 56 374 80 665 09 121 33 215 57 383 81 681 10 124 34 221 58 392 82 698 11 127 35 226 59 402 83 715 12 130 36 232 60 412 84 732 13 133 37 237 61 422 85 750 14 137 38 243 62 432 86 768 15 140 39 249 63 442 87 787 16 143 40 255 64 453 88 806 17 147 41 261 65 464 89 825 18 150 42 267 66 475 90 845 19 154 43 274 67 487 91 866 20 158 44 280 68 499 92 887 21 162 45 287 69 511 93 909 22 165 46 294 70 523 94 931 23 169 47 301 71 536 95 953 24 174 48 309 72 549 96 976 Einstellbare Widerstände und Potentiometer Auch für einstellbare Widerstände und Potentiometer existieren unterschiedliche Bauformen [Stin15]. Sie unterscheiden sich unter anderem hinsichtlich Montagetechnik Wie bei festen Widerständen werden Potentiometer in THT und SMD-Technik eingesetzt. Einstellbarkeit Normale Potentiometer weisen einen Schleifer auf, der auf einer Leiterbahn positioniert wird (1 Gang Potentiometer). Für einen präziseren Abgleich werden sogenannte 10 GangPotenziometer eingesetzt, die einen erheblich feineren Abgleich erlauben. Tabelle 4.15 zeigt eine Auswahl von Potenziometern in THT und SMD-Technik. Tabelle 4.15: Auswahl unterschiedlicher Potenziometer in THT und SMD-Technik Montagetechnik THT THT SMD SMD Einstellbarkeit 1 Gang 10 Gang 1 Gang 10 Gang Abbildung 4.5.4 Temperaturabhängigkeit Bei der Behandlung des ohmschen Gesetzes wird darauf hingewiesen, dass sich der Widerstand eines Leiters im Allgemeinen bei Erwärmung ändert. Je nach Art der Widerstandsänderung können drei Gruppen von Leitern unterschieden werden. Kaltleiter Der Widerstand von Kaltleitern steigt mit zunehmender Temperatur an, sie leiten im kalten Zustand besonders gut. Alle Metalle sind praktisch Kaltleiter, denn bei Erwärmung bilden die stärkeren thermischen Schwingungen der Atomrümpfe eine größere Bewegungshemmung für die Elektronen. Besondere Kaltleiter-Bauelemente werden auch als PTC-Widerstände (Positive Temperature Coefficient) bezeichnet. Bei PTC-Widerständen aus Titanat-Keramik (BaTiO3) steigt der Widerstand in einem definierten Temperaturbereich besonders stark an. Der Widerstandswert von Kaltleitern wird typischerweise mit der Gleichung R T R0 e BPTC T T0 (4.39) beschrieben, wobei R0 der Widerstandswert bei der Referenztemperatur T0 in K und BPTC eine Materialkonstante ist. Bild 4.27 zeigt unterschiedliche Ausführungsformen für PTC-Widerstände und einen typischen Verlauf des Widerstandes als Funktion der Temperatur. 5 Kennlinie Bezugspunkt Widerstand R / k 4 3 2 1 0 0 10 20 30 Temperatur / °C 40 50 Bild 4.27: Ausführungsformen für PTC-Widerstände und typischer Verlauf des Widerstandes als Funktion der Temperatur PTC-Widerstände werden zur Messung der Temperatur eingesetzt. Außerdem eignen sie sich zur Strombegrenzung: Steigt der Strom unzulässig hoch an, wird der Kaltleiter heiß. Dadurch steigt sein Widerstand und der Gesamtstrom sinkt. Beispiel: Strombegrenzung durch Kaltleiter Um die Idee der Strombegrenzung über Kaltleiter zu verdeutlichen, wird ein Kaltleiter mit unterschiedlich hohen Spannungen von 7 V, 8 V und 9 V betrieben. Der dabei fließende Strom I wird als Funktion der Zeit t aufgezeichnet. Es ergeben sich die in Bild 4.28 gezeigten Stromverläufe. 60 7V 8V 9V Strom I / mA 55 50 45 40 0 20 40 60 Zeit t / s 80 100 120 Bild 4.28: Versuchsergebnis für eine Strombegrenzung durch Kaltleiter, Spannungsversorgung mit 7 V, 8 V und 9 V Direkt nach Einschalten hat der Kaltleiter Raumtemperatur. Erwartungsgemäß unterscheiden sich nach Einschalten die Ströme wegen der unterschiedlichen Versorgungsspannungen. I U R (4.40) Die Spannung wirkt sich aber auch auf die Verlustleistung P aus, die im Widerstand umgesetzt wird. Mit steigender Versorgungsspannung steigt die Verlustleistung. P U2 R (4.41) Wegen der unterschiedlich hohen Verlustleistung steigt die Temperatur bei einer hohen Versorgungsspannung stärker an als bei einer niedrigen Versorgungsspannung. Damit verbunden ist aber auch ein stärkerer Widerstandsanstieg, der sich auf den Strom auswirkt. Trotz unterschiedlich hoher Versorgungsspannung stellt sich deshalb in allen drei Fällen ein Strom im Bereich I = 42 mA ein. Der Kaltleiter führt zur Strombegrenzung. Heißleiter Der Widerstand von Heißleitern wird mit steigender Temperatur kleiner, sie leiten im heißen Zustand besonders gut. Dies ist bei Halbleitern, aber auch bei Kohle der Fall. Besondere Heißleiter-Bauelemente werden als NTC-Widerstände (Negative Temperature Coefficient) bezeichnet. Als Werkstoffe werden unter anderem Keramiken aus Mn-, Cr- oder Ni-Oxiden verwendet. Der Widerstandswert von Heißleitern wird typischerweise mit der Gleichung R T R0 e 1 1 BNTC T T0 (4.42) beschrieben, wobei T die absolute Temperatur in K, R0 der Widerstandswert bei der Referenztemperatur T0 und BNTC eine Materialkonstante ist. Bild 4.29 zeigt unterschiedliche Ausführungsformen für NTC-Widerstände und einen typischen Verlauf des Widerstandes als Funktion der Temperatur. 5 Kennlinie Bezugspunkt Widerstand R / k 4 3 2 1 0 0 10 20 30 Temperatur / °C 40 50 Bild 4.29: Ausführungsformen für NTC-Widerstände und typischer Verlauf des Widerstandes als Funktion der Temperatur Heißleiter oder Kaltleiter werden wegen ihrer hohen Empfindlichkeit oft als Temperatursensoren in elektronischen Thermometern und Steuergeräten eingesetzt. Temperaturkonstante Leiter Bei einigen Metalllegierungen (Konstantan, Manganin) bleibt der Widerstand über einen weiten Temperaturbereich praktisch konstant. Hierfür sind spezielle mechanische Vorbehandlungen des Ausgangsmaterials notwendig. Widerstände aus diesen Materialien können vorteilhaft in der Messtechnik verwendet werden. Lineare Modellierung der Temperaturabhängigkeit Der funktionelle Zusammenhang zwischen Temperatur und Widerstand ist bei allen Materialien, auch bei Metallen nichtlinear. In Bild 4.27 und Bild 4.29 ist dies an der Krümmung der Kennlinie zu erkennen. Um zu einer einfachen mathematischen Formulierung der Temperaturabhängigkeit zu kommen, wird der komplizierte funktionelle Zusammenhang durch eine Näherungsgerade beschrieben, da sich diese mathematisch einfacher umrechnen lässt. In der Praxis ist die Krümmung schwach ausgeprägt, sodass der durch diese Näherung verursachte Fehler vergleichsweise gering ist. 5 Widerstand R / k 4 Kennlinie Kaltleiter Abgleichpunkte Lineare Näherung 3 2 1 0 0 10 20 30 Temperatur / °C 40 50 Bild 4.30: Linearisierung der Temperaturabhängigkeit des Widerstandes R im Betriebspunkt ϑ0 = 20 °C Zum Aufstellen der Geradengleichung wird an einer Bezugstemperatur 0, typischerweise 20 °C, der Bezugswiderstand R0 ermittelt. Außerdem wird die Steigung der Geraden durch die Messung des Widerstandes R1 an einem zweiten Temperaturpunkt 1 bestimmt. Die Steigung m der Gerade wird über den Differenzenquotienten m R1 R0 1 0 (4.43) bestimmt. Damit berechnet sich der Widerstand an einer beliebigen Temperatur aus der Geradengleichung R R0 m 0 (4.44) Durch Ausklammern des Widerstandswertes R0 ergibt sich m R R0 1 0 R0 1 0 R0 (4.45) Der Koeffizient wird als Temperaturkoeffizient bezeichnet. Er ist die auf R0 bezogene Steigung m der Geraden. m R0 (4.46) Da die Steigung der Geraden von den beiden Punkten (1, R1) und (0, R0) abhängig ist, ist auch der Temperaturkoeffizient von der Wahl dieser Punkte abhängig. Eine Angabe des Temperaturkoeffizienten ohne Bezugstemperatur ist deshalb unvollständig. Der Temperaturkoeffizient hat die Einheit 1 K (4.47) Die folgende Tabelle zeigt einige Werte für den spezifischen Widerstand und den Temperaturkoeffizient für verschiedene Materialien und eine Bezugstemperatur von 0 = 20 °C. Tabelle 4.16: Spezifischer Widerstand und Temperaturkoeffizient von Metallen für 0 = 20 °C Spezifischer Widerstand Temperaturkoeffizient bei 20 °C / mm /m / 1/K Silber 0,016 3,810 Kupfer 0,01786 3,9210 Gold 0,023 4,010 Aluminium 0,02857 3,7710 Wolfram 0,055 4,110 -3 Eisen (rein) 0,10 6,010 -3 Zinn 0,11 4,210 -3 Blei 0,21 4,210 -3 Manganin 0,43 2010 Konstantan 0,49 4010 Quecksilber 0,96 0,9210 Chromnickel 1,12 6410 Materialbezeichnung 2 -3 -3 -3 -3 -6 -6 -3 -6 Beispiel: Berechnung des Temperaturkoeffizienten Für das Beispiel aus Bild 4.30 soll der Temperaturkoeffizient berechnet werden. Bei der Bezugstemperatur 0 = 20 °C besitzt der Widerstand den Wert R0 = 1 k. Bei der Temperatur 1 = 30 °C beträgt der Widerstand R1 = 1,6487 k. Die Steigung m der Gerade ergibt sich damit zu m R1 R0 648,7 64,87 1 0 10 K K (4.48) Damit ergibt sich der Widerstand an einer beliebigen Temperatur aus der Geradengleichung R 1 k 64,87 1 20 C 1 k 1 0,06487 20 C K K (4.49) Der Temperaturkoeffizient beträgt damit 0,06487 1 K (4.50) 4.5.5 Zusammenfassung Tabelle 4.17 fasst die wesentlichen Zusammenhänge zu passiven Zweipolen zusammen. Tabelle 4.17: Zusammenfassung der wesentlichen Zusammenhänge zu passiven Zweipolen R Elektrischer Widerstand G Elektrischer Leitwert In passiven Zweipolen umgesetzte Leistung Ohmsches Gesetz U I I 1 U R P U I I2 R R U 1 L L I e nP bP nN bN A A Kaltleiter R T R0 e Heißleiter R T R0 e Lineare Modellierung der Temperaturanhängigkeit U2 R BPTC T T0 1 1 BNTC T T0 R R0 1 0 4.6 4.6.1 Literaturverzeichnis Literaturstellen zu den behandelten Grundlagen Elektrotechnik [Fueh11] A. Führer, K. Heidemann, W. Nerretter: Grundgebiete der Elektrotechnik: Band 1, 9. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2011 [Lind14] H. Lindner: Elektro-Aufgaben: Band 1, 30. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2014 4.6.2 Weiterführende Literatur zu den Beispielen [Vish16] Datenblatt Diode 1N4007 http://www.vishay.com/docs/88503/1n4001.pdf Zugriff 08.09.2016 [Stin14] L. Stiny: Passive elektronische Bauelemente, 2. Auflage, Springer ViewegVerlag, Wiesbaden, 2014 4.6.3 Interessante WEB-Links zum Thema [Leif16] Leifiphysik Elektrizitätslehre, http://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre Erklärung elektrischer Effekte mit Animationen, Versuchen und Aufgaben auf gut verständlichem Niveau, Zugriff 30.08.2016 [Simp16] TheSimplePhysics Elektrizität / E-Lehre, https://www.youtube.com/playlist?list=PLtChQtYYwX2OOFfJvpN_a3uLuoXG-_vD8 TheSimplePhysics, Online-Nachhilfe mit Lernvideos, Zugriff 30.08.2016 [Lbsb16] Landesbildungsserver Baden-Württemberg, http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_1/ Sammlung von Unterrichtsmaterialien für Schulen, Zugriff 30.08.2016 5 Maschen- und Knotenregel In technischen Aufgabenstellungen werden Zweipole zu beliebigen Netzwerken zusammengeschaltet. Bild 5.1 zeigt ein Beispiel mit zwei Spannungsquellen und sechs Widerständen. U2 R1 U1 R4 R3 R2 R6 R5 Bild 5.1: Zusammenschaltung mehrerer Zweipole zu einem Netzwerk Grundlage für die Beschreibung der Beziehungen zwischen Strom und Spannung sind die Kirchhoffschen Regeln. Sie wurden 1845 als Knotenpunktsatz und Maschensatz von Gustav Robert Kirchhoff hergeleitet. Die Kirchhoffschen Sätze werden auch Knoten- und Maschenregel genannt und im Folgenden behandelt. Grundlage dazu sind die Begriffe Knoten, Zweige und Maschen. 5.1 Knotenregel In Netzwerken existieren Punkte, an die mehrere Bauelemente angeschlossen sind. Sie werden als Knoten bezeichnet. Alle Anschlüsse, die leitend mit einem Knoten verbunden sind, gehören zu diesem Knoten und liegen auf demselben Potential. Ströme durch Zweipole verzweigen sich ausschließlich an Knoten. In jedem der angeschlossenen Zweige fließt ein Strom In. Zum Zwecke einer einheitlichen Formulierung des Gesetzes werden zunächst alle Ströme I1 ... IN, die aus dem Knoten heraus gerichtet sind, positiv gezählt. Die Anordnung und die entsprechenden Zählpfeile sind in Bild 5.2 skizziert. I4 I3 I2 I5 I1 Bild 5.2: Knoten eines Netzes, Ströme aus dem Knoten heraus werden positiv gezählt Ein Netzwerkknoten muss im Schaltbild nicht notwendigerweise durch einen einzigen Sammelpunkt gekennzeichnet sein. Eine Anordnung, wie sie als Beispiel in Bild 5.3 gezeigt wird, ist ebenfalls als ein einzelner Netzwerkknoten aufzufassen. Einzelne Verzweigungspunkte können zu einem Knoten zusammengefasst werden, wenn zwischen ihnen keine Zweipole, sondern nur widerstandsfreie Verbindungslinien liegen. I3 I1 I4 I5 I2 Bild 5.3: Räumlich verteilter Knoten eines Netzes, Ströme aus dem Knoten heraus werden positiv gezählt Die Knoten, die sich für das in Bild 5.1 gezeigte Netzwerk nach dieser Definition ergeben, sind in Bild 5.4 dargestellt. U2 Knoten A R1 U1 R4 R3 R2 Knoten B Knoten D Knoten C R6 R5 Knoten E Bild 5.4: Knoten für das in Bild 5.1 gezeigte Netzwerk Knoten D wird in der Literatur nicht zwangsläufig als Knoten gezählt, da sich der Strom bei weniger als drei angeschlossenen Bauelementen nicht verzweigen kann. Da Programme wie Spice diesen Punkt jedoch als Knoten betrachten, wird er auch in diesem Buch als Knoten aufgeführt. 5.1.1 Herleitung der Knotenregel Zur Herleitung der Knotenregel wird ein Koten als Volumen betrachtet und die Kontinuitätsgleichung angewendet. Sie ist eine Differentialgleichung, die die zeitliche Änderung der Ladungsdichte mit der räumlichen Veränderung der Stromdichte verknüpft. Die in einem Volumen V enthaltene Ladung Q ändert sich nach der Kontinuitätsgleichung nicht, wenn das Integral der Stromdichte J aus der Oberfläche A des Volumens null ist. dQ J d A dt A (5.1) Damit ändert sich die Ladung im Volumen des Knotens nicht, wenn keine unausgeglichenen Ströme durch die Hüllfläche des Knotenvolumens fließen. dQ 0 dt (5.2) Bei dem Integral muss das Innenprodukt von zwei Vektoren ausgewertet werden. Dazu wird das Produkt der beiden Beträge mit dem Kosinus des Zwischenwinkels multipliziert. Bei bekanntem Winkel zwischen dem Vektor der Stromdichte und der Hüllfläche lässt sich dieses Produkt berechnen. J d A cos J dA (5.3) Das Produkt von Stromdichte J und Fläche A entspricht einem Strom. Bei Netzwerken fließen Ströme über einzelne Leitungen. Vereinbarungsgemäß sind die Ströme wie der Normalenvektor des Flächenelementes nach außen gerichtet, sodass der Kosinus des Zwischenwinkels cos() = 1 ist. Daraus ergibt sich die Knotenregel, die besagt, dass die Summe aller in den Knoten hineinfließenden Ströme gleich null ist. N J d A I1 I2 ... IN In 0 (5.4) n 1 A Häufig sind in einem Netzwerk bereits die Strompfeile eingetragen, bevor eine Knotengleichung aufgestellt wird. Zweipole liegen zwischen zwei Knoten. Damit fließt der Zweipolstrom in einen Knoten hinein, aus dem anderen Knoten fließt er heraus. Daraus ergeben sich Knoten, bei denen die Ströme teilweise aus dem Knoten heraus und teilweise in den Knoten hinein positiv gezählt werden. In Bild 5.5 ist ein räumlich verteilter Knoten angegeben, in den Ströme teilweise hinein und teilweise herausfließen. I3 I1 I2 I4 I5 Bild 5.5: Räumlich verteilter Knoten mit beliebigen Strömen unterschiedlicher Zählrichtungen Fließt der Strom in den Knoten hinein, fließt er entgegengesetzt zum Normalenvektor des Flächenelementes. Der Kosinus des Zwischenwinkels ist cos() = - 1, sodass die in den Knoten hinein fließenden Ströme negativ und die aus dem Knoten heraus fließenden Ströme positiv gezählt werden. I1 I2 I3 I4 I5 0 (5.5) Anhand des Beispiels in Bild 5.5 wird eine Variante der Knotenregel deutlich. Werden alle in den Knoten fließenden Ströme auf eine Seite und alle aus dem Knoten herausfließenden Ströme auf die andere Seite der Gleichung gebracht, ergibt sich I1 I3 I5 I2 I4 (5.6) Die Summe der in einen Knoten hineinfließenden Ströme ist genauso groß wie die Summe der aus dem Knoten herausfließenden Ströme. Im Online-Portal H.ErT.Z Online verdeutlicht die Simulation Knotenregel den Stromfluss an Knoten. 5.1.2 Erweiterte Knotenregel Grundlage für die Knotenregel ist die Kontinuitätsgleichung. Sie gilt jedoch nicht nur für Knoten, sondern für beliebige geschlossene Volumina. Damit lässt sich auch für einen größeren Schaltungsteil, der von einer geschlossenen Hüllfläche umgeben ist und keine Ladungen sammelt, eine Knotengleichung aufstellen. I1 I2 R1 I3 U R2 I4 Bild 5.6: Beispiel für die verallgemeinerte Knotengleichung Auch in diesem Fall ist die Knotengleichung erfüllt, und es gilt: I1 I3 I2 I4 (5.7) 5.2 Maschenregel Verbindungen zweier Knoten mit einem Zweipol werden als Zweige bezeichnet. Zwei Knoten dürfen auch über mehrere Zweipole miteinander verbunden sein. Ein geschlossener Weg in einem Netzwerk über mehrere Zweige wird als Masche bezeichnet. Dabei sind Anfangs- und Endknoten identisch. Ansonsten darf jeder Knoten und jeder Zweig nur einmal im geschlossenen Weg durchlaufen werden. Bild 5.7 zeigt als Beispiel eine Masche für das in Bild 5.1 gezeigte Netzwerk. U2 R1 R2 R5 U1 R4 R3 Masche R6 Bild 5.7: Beispiel für eine Masche für das in Bild 5.1 gezeigte Netzwerk Um Spannungen vorzeichenrichtig bewerten zu können, wird der Masche ein Umlaufsinn gegeben. Um eine einheitliche Zählrichtung zu erhalten, wird der Uhrzeigersinn gewählt. 5.2.1 Herleitung der Maschenregel Nach dem Induktionsgesetz berechnet sich die elektrische Zirkulation über die Randkurve einer Fläche A aus der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche. B E ds t s dA (5.8) A In der Gleichstromtechnik ist die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses und damit die induzierte Spannung null. Damit vereinfacht sich das Induktionsgesetz zu E ds 0 (5.9) s In Netzwerken wird mit diskreten Bauelementen gearbeitet. Damit kann das Umlaufintegral zu einer Summe umgeformt werden, bei der jeder Summand einem Bauelement entspricht. M E ds Em Lm cos 0 s (5.10) m 1 Dem Produkt von elektrischen Feld E und Lange L entspricht beim homogenen Leiter eine Spannung. Stimmen die Richtung des elektrischen Feldes E und der Umlaufsinn ds überein, ist der Kosinus des Zwischenwinkels cos() = 1, und es gilt: M E m 1 m M M m 1 m 1 Lm cos Em Lm Um 0 (5.11) Die Summe aller Spannungsabfälle Um an den Zweigen einer Masche ist null. Bild 5.8 zeigt eine solche Masche in einem Netzwerk. Die Zweige bestehen in diesem Beispiel aus idealen, widerstandslosen Zuleitungen und Widerständen mit einem Spannungsabfall Um. U3 U2 U4 U1 U5 U7 U6 Bild 5.8: Maschenumlauf in einem verzweigten Netzwerk, Spannungspfeile im Umlaufsinn der Masche gerichtet Der Masche wird ein Umlaufsinn im Uhrzeigersinn zugeordnet. Alle Spannungen an den Zweigen im Umlaufsinn der Masche werden damit positiv gezählt. Die Summe aller Spannungen dieser Masche null. 7 U1 U2 ... U7 Um 0 (5.12) m 1 Häufig sind in einem Netzwerk aber bereits die Spannungspfeile eingetragen, bevor eine Maschenumlaufrichtung festgelegt wird. Auch für diesen Fall gilt grundsätzlich die Maschenregel. Allerdings muss die Zählrichtung der Spannungspfeile berücksichtigt werden. Alle im Umlaufsinn liegenden Spannungen werden positiv gezählt, die entgegengesetzt zum Umlaufsinn liegenden Spannungen werden wegen cos() = - 1 negativ gezählt. Bild 5.9 zeigt ein solches Beispiel. U3 U2 U4 U1 U5 U7 U6 Bild 5.9: Maschenumlauf in einem verzweigten Netzwerk, Spannungspfeile willkürlich orientiert Für dieses Beispiel ergibt sich die Maschenregel zu U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 0 (5.13) Im Online-Portal H.ErT.Z Online verdeutlicht die Simulation Maschenregel den Spannungsabfall in Netzwerken. 5.2.2 Erweiterte Maschenregel In Bild 5.7 waren die Zweige alle durch Zweipole realisiert. Der Spannungsabfall Um ist aber nicht zwangsläufig an ein physikalisch vorhandenes Zweigelement gebunden. Verallgemeinert kann formuliert werden, dass auch solche Zweige in einen Maschenumlauf einbezogen werden können, die nicht an physikalische Elemente gebunden sind. Diese Zweige werden als fiktive Zweige, die Maschenregel in diesem Fall als erweiterte Maschenregel bezeichnet. In Bild 5.10 ist ein Netzwerk mit fiktivem Zweig dargestellt. U3 U2 U4 UA U1 U7 U5 U6 Bild 5.10: Maschenumlauf in einem verzweigten Netzwerk, Spannungspfeile willkürlich orientiert, fiktiven Zweig mit dem Spannungsabfall UA In diesem Fall ergibt sich die Maschenregel für die eingezeichnete Masche zu U1 U2 U3 UA U7 0 (5.14) Eine Masche ist daher ein beliebiger, in sich geschlossener Weg in einer Schaltungsanordnung über beliebig viele Knoten, der nicht zwangsläufig über Leiter oder Verbindungselemente geführt zu sein braucht. 5.3 Potenziale von Schaltungspunkten Liegt an einem Zweipol eine elektrische Spannung an, entsteht ein elektrisches Feld und dadurch eine Kraftwirkung auf Ladungen, die zu deren Bewegung führt. Dabei wird Energie zugeführt oder freigesetzt. Die elektrische Energie ergibt sich nach Abschnitt 3.1.1 zu W12 W1 W2 Q U12 (5.15) Die elektrische Spannung ist die Differenz der an den Knoten herrschenden Potenziale: U12 1 2 (5.16) Das Potential kennzeichnet die potenzielle Energie einer positive Ladungen im Punkt 1 bzw. 2 gegenüber einem beliebig gewählten Bezugspunkt. Dabei ist nicht die absolute Höhe des Potenzials wichtig, sondern der Potenzialunterschied an den einzelnen Schaltungselementen. Deshalb ist es bei der Netzwerkberechnung möglich, einem willkürlichen Schaltungsknoten das Potential = 0 V mit dem Energieniveau null zuzuordnen. Dieser Knoten hat dann definitionsgemäß die Spannung U = 0 V. Er wird als Bezugsknoten oder als Masse bezeichnet und wie in Bild 5.10 mit dem Massesymbol gekennzeichnet. U3 U2 U4 UA U1 U7 U5 U6 Bild 5.11: Maschenumlauf in einem verzweigten Netzwerk mit Masse Durch die Festlegung eines beliebigen Knoten als Masseknoten können in einer Schaltung Spannungen zwischen den Netzwerkknoten und diesem Masseknoten auftreten, die sowohl positiv als auch negativ sein können. Spannungen von einem beliebigen Knoten zu diesem Bezugsknoten werden üblicherweise vom Knoten zum Bezugsknoten gerichtet. 5.4 Beispiel zur Schaltungsberechnung mit Maschen- und Knotenregel Das Rechnen mit Maschen- und Knotenregeln wird an einem Beispiel verdeutlicht. Für die in Bild 5.12 gezeigte Schaltung soll die Spannung am Widerstand R3 berechnet werden. Für die Berechnung werden alle Spannungen und Ströme mit Zählpfeilen versehen. R1 I1 UR1 U1 UR 3 I2 I3 R2 UR 2 R3 U2 Bild 5.12: Beispiel zur Schaltungsberechnung mit Maschen- und Knotenregeln Für den mittleren Knoten gilt der Knotensatz I1 I2 I3 0 (5.17) Für die Zweige 1 - 3 wird die Zweipolbeziehung angewendet, in diesem Fall das Ohmsche Gesetz. UR1 R1 I1 (5.18) UR 2 R2 I2 (5.19) UR 3 R3 I3 (5.20) Einsetzen dieser Zweipolbeziehungen in die Knotengleichung ergibt: UR1 UR 2 UR 3 0 R1 R2 R3 (5.21) Durch Anwenden des Maschensatzes für die linke und rechte Masche können U1 und U2 eliminiert werden UR1 U1 UR 3 0 (5.22) UR 2 U2 UR 3 0 (5.23) Auflösen nach UR1 beziehungsweise UR2 und Einsetzen in Gleichung (5.21) ergibt UR 3 U1 UR 3 U 2 UR 3 0 R1 R2 R3 Diese Gleichung lässt sich auf den Hauptnenner bringen (5.24) UR 3 U1 R2 R3 UR 3 U2 R1 R3 UR 3 R1 R2 R1 R2 R3 0 (5.25) und nach UR3 auflösen. UR 3 R2 R3 R1 R3 U1 U2 R1 R2 R1 R3 R2 R3 R1 R2 R1 R3 R2 R3 (5.26) Die Spannung am Widerstand R3 ist erwartungsgemäß von den beiden Spanungsquellen U1 und U2 abhängig. 5.5 Zusammenfassung Tabelle 5.1 fasst die wesentlichen Zusammenhänge zu Maschen und Knotenregel zusammen. Tabelle 5.1: Zusammenfassung der wesentlichen Zusammenhänge zu Maschen- und Knotenregel N Knotenregel, aller Strompfeile gehen aus dem Knoten heraus I1 I2 ... IN In 0 Maschenregel, alle Spannungspfeile zeigen in Richtung des Maschenumlaufs U1 U2 ... UM U m 0 Bezugsknoten Ein beliebiger Punkt einer Schaltung kann als Bezugsknoten definiert werden. n 1 M m 1 5.6 5.6.1 Literaturverzeichnis Literaturstellen zu den behandelten Grundlagen Elektrotechnik [Fueh11] A. Führer, K. Heidemann, W. Nerretter: Grundgebiete der Elektrotechnik: Band 1, 9. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2011 [Lind14] H. Lindner: Elektro-Aufgaben: Band 1, 30. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2014 5.6.2 Weiterführende Literatur zu den Beispielen [] 5.6.3 Interessante WEB-Links zum Thema [Leif16] Leifiphysik Elektrizitätslehre, http://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre Erklärung elektrischer Effekte mit Animationen, Versuchen und Aufgaben auf gut verständlichem Niveau, Zugriff 30.08.2016 [Simp16] TheSimplePhysics Elektrizität / E-Lehre, https://www.youtube.com/playlist?list=PLtChQtYYwX2OOFfJvpN_a3uLuoXG-_vD8 TheSimplePhysics, Online-Nachhilfe mit Lernvideos, Zugriff 30.08.2016 [Lbsb16] Landesbildungsserver Baden-Württemberg, http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_1/ Sammlung von Unterrichtsmaterialien für Schulen, Zugriff 30.08.2016 6 Zusammenschaltung von Widerständen und idealen Quellen Um die Übersichtlichkeit von Schaltkreisen zu verbessern und um deren Berechnung zu erleichtern, werden diese möglichst vereinfacht. Dabei ist es oft zielführend, verschiedene Widerstände und verschiedene Quellen zusammenzufassen. In diesem Kapitel werden die Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen sowie die Stern-Dreieck-Wandlung hergeleitet und deren Anwendung anhand von Beispielen veranschaulicht. Außerdem wird die Reihen- und Parallelschaltung idealer Quellen diskutiert. 6.1 6.1.1 Zusammenschaltung von Widerständen Reihenschaltung von Widerständen Werden zwei Widerstände an jeweils einem Anschluss miteinander verbunden, entsteht eine Reihenschaltung von Widerständen. Zur Schaltungsvereinfachung kann eine Reihenschaltung von Widerständen durch einen Ersatzwiderstand RG so ersetzt werden, dass an den äußeren Klemmen A - B der gleiche Widerstand gemessen wird. In Bild 6.1 ind eine Reihenschaltung und ihr Ersatzwiderstand dargestellt. I R1 A U1 I R2 A U2 U AB RG U AB B RM UM B Bild 6.1: Spannung und Ströme bei der Reihenschaltung von Widerständen Da die Verbindungspunkte der einzelnen Widerstände zu anderen Schaltungsteilen keine Verbindungen haben, fließt nach der Knotenregel durch alle Widerstände der Reihenschaltung der gleiche Strom I. I I1 I2 ... IM (6.1) Nach dem Maschensatz gilt für die Spannung UAB U AB U1 U2 ... UM (6.2) Wobei hier verallgemeinert angenommen wurde, dass M Widerstände in Reihe geschaltet sind. Nach dem ohmschen Gesetz können die Spannungen durch Widerstände und den Strom I ausgedrückt werden. U AB R1 I R2 I ... RM I (6.3) Die Reihenschaltung von M Widerständen soll durch einen Ersatzwiderstand RG so ersetzt werden, dass bei gleicher Spannung UAB der gleiche Strom I fließt. UAB RG I (6.4) Gleichsetzen der Gleichung (6.3) und (6.4) ergibt RG I R1 I R2 I ... RM I (6.5) Der Strom l lässt sich kürzen, sodass sich der Gesamtwiderstand ergibt zu RG R1 R2 ... RM (6.6) Bei Reihenschaltungen von Widerständen addieren sich die Einzelwiderstände zum Gesamtwiderstand. Mit Summenzeichen geschrieben lautet die Gleichung M RG Rm (6.7) m 1 Der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung ist damit immer größer als jeder Einzelwiderstand. Im Online-Portal H.ErT.Z Online wird im Rahmen 100 Sekunden Elektrotechnik die Reihenschaltung von Zweipolen erklärt. Für den Sonderfall von M in Reihe geschalteten Widerständen R ergibt sich M RG R M R (6.8) m 1 6.1.2 Parallelschaltung von Widerständen Werden zwei Widerstände an beiden Anschlüssen miteinander verbunden, entsteht eine Parallelschaltung. Zur Herleitung der Gleichungen für die Parallelschaltung von Widerständen wird dasselbe Vorgehen wie bei der Reihenschaltung verwendet. Eine Parallelschaltung von Widerständen wird durch einen Ersatzwiderstand RG so ersetzt, dass an den äußeren Klemmen A - B der gleiche Widerstand gemessen wird. In Bild 7.2 sind eine Parallelschaltung von Widerständen und ihr Ersatzwiderstand dargestellt. IG I1 R1 I2 R2 IN RN IG A U AB RG B Bild 6.2: Parallelschaltung von Widerständen A U AB B Für eine Parallelschaltung gilt generell, dass an allen Schaltelementen die gleiche Spannung anliegt. U AB U1 U2 ... UN (6.9) An den Verbindungsknoten teilt sich der Gesamtstrom IG in Teilströme auf. Durch die N Widerstände der Parallelschaltung fließen somit die Ströme I1, I2, ... IN. Bei Parallelschaltungen berechnet sich der Gesamtstrom IG nach dem Knotensatz als Summe der Einzelströme IG I1 I2 ... IN (6.10) Die Einzelströme können nach dem ohmschen Gesetz durch die Klemmenspannung UAB und die Einzelwiderstände dargestellt werden. IG I1 I2 ... IN U AB U AB U ... AB R1 R2 RN (6.11) Für den Gesamtstrom IG gilt nach dem ohmschen Gesetz IG U AB RG (6.12) Durch Gleichsetzen von (6.11) und (6.12) ergibt sich U AB U AB U AB U ... AB RG R1 R2 RN (6.13) Die Spannung UAB lässt sich kürzen, sodass sich für die Parallelschaltung von Widerständen ergibt 1 1 1 1 ... RG R1 R2 RN (6.14) Mit Summenzeichen geschrieben lautet die Gleichung N 1 1 RG n 1 Rn (6.15) Den Kehrwert eines Widerstandes wird als Leitwert G bezeichnet. Deshalb gilt für alle Parallelschaltungen von Widerständen, dass sich die Einzelleitwerte zum Gesamtleitwert addieren. Die Gleichung kann über Leitwerte dargestellt werden als N GG Gn (6.16) n 1 Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung ist damit immer kleiner als jeder Einzelwiderstand. Im Online-Portal H.ErT.Z Online wird im Rahmen 100 Sekunden Elektrotechnik die Parallelschaltung von Zweipolen erklärt. A R1 A RG R2 B B Bild 6.3: Parallelschaltung von zwei Widerständen Bei Parallelschaltung von nur zwei Widerständen lässt sich der Ersatzwiderstand einfach ausrechnen RG 1 1 1 R1 R2 R R 1 1 2 R1 || R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2 (6.17) In der Praxis wird R1||R2 gerne als Kurzschreibweise dieser Formel verwendet. Bei Parallelschaltung von mehreren Widerständen kann die Beziehung aus Gleichung (6.17) mehrmals angewendet werden. Ein Beispiel zeigt Bild 6.4. A R1 R3 R2 R4 A RG B B RY RX Bild 6.4: Parallelschaltung von vier Widerständen In diesem Beispiel kann zunächst die Parallelschaltung von R1 parallel R2 als RX sowie R3 parallel R4 als RY berechnet werden. Anschließend wird die Parallelschaltung der jeweiligen Ersatzwiderstände erneut berechnet, um RG zu bestimmen. R X R1 || R2 R1 R2 R1 R2 (6.18) RY R3 || R4 R3 R4 R3 R4 (6.19) RG R X || RY R X RY R X RY (6.20) Für den Sonderfall von N parallel geschalteten Widerständen R ergibt sich RG 1 1 1 1 ... R R R 1 1 N R R N (6.21) 6.1.3 Stern-Dreieck-Wandlung und Dreick-Stern-Wandlung Es gibt Schaltungen in denen drei Widerstände in Form eines Sternes oder eines Dreiecks verschaltet sind (Bild 7.5). Oft ist es zur Schaltungsvereinfachung günstig, die sternförmig verschalteten Widerstände in ein äquivalentes Dreieck umzuwandeln oder umgekehrt. Dies ist mithilfe einer sogenannten Stern-Dreieck-Wandlung beziehungsweise einer Dreieck-Stern-Wandlung möglich. A A RA RAC RAB RC RB RBC C B C B Sternschaltung Dreieckschaltung Bild 6.5: Stern- und Dreieckschaltung von Widerständen Bei einer Stern-Dreieck-Wandlung gelten folgende Umrechnungsformeln: RAB RA RC RB RC RA RB R R RA RB A B RC RC (6.22) RAC RA RC RA RB RB RC R R RA RC A C RB RB (6.23) RBC RA RC RA RB RB RC R R RB RC B C RA RA (6.24) Der Widerstand einer Dreiecksseite ist die Summe der Widerstände, die an diesen beiden Anschlüssen anliegen plus deren Produkt dividiert durch den Widerstand, der zum gegenüberliegenden Anschluss führt. Bei einer Dreieck-Stern-Wandlung gelten folgende Umrechnungsformeln RA RAB RAC RAB RAC RBC (6.25) RB RAB RBC RAB RAC RBC (6.26) RC RAC RBC RAB RAC RBC (6.27) Der Widerstand eines Sternzweiges ist das Produkt der an diesen Anschluss anliegenden Widerstände dividiert durch die Summe aller Widerstände. Die Herleitung der Formeln ergibt sich aus der Randbedingung, dass sich die Stern- und Dreieckschaltung an ihren Klemmen absolut äquivalent verhalten sollen. Es müssen drei Bauelemente dimensioniert werden. Damit sind drei voneinander unabhängige Gleichungen erforderlich. Um möglichst einfache Gleichungen zu erhalten, werden jeweils drei Sonderfälle verwendet. Herleitung der Stern-Dreieck-Wandlung Für die Herleitung der Stern-Dreieck-Wandlung werden in einem ersten Schritt Stern und Dreieck an den Klemmen B und C kurzgeschlossen. A A RA RAC RAB RC RB BC BC Bild 6.6: Schaltbild zur Herleitung der Stern-Dreieck-Wandlung Der Leitwert zwischen A und den beiden kurzgeschlossenen Klemmen B - C muss bei beiden Schaltungen identisch sein. 1 1 1 GAB GAC RB RC RAB RAC RA RB RC (6.28) Auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht ergibt sich RB RC 1 1 GAB GAC RA RB RA RC RB RC RAB R AC (6.29) Die gleiche Bedingung muss für den Widerstand zwischen Klemme B und den beiden kurzgeschlossenen Klemmen A und C gelten RA RC 1 1 GAB GBC RA RB RA RC RB RC RAB RBC (6.30) Ebenso zwischen Klemme C und den beiden kurzgeschlossenen Klemmen A und B RA RB 1 1 GAC GBC RA RB RA RC RB RC RAC RBC (6.31) Diese Gleichungen lassen sich nach GAB, GAC beziehungsweise GBC auflösen, in dem die Summe (6.29) + (6.30) - (6.31) ausgewertet wird. Es ergibt sich 2 RC 1 2 2 GAB RA RB RA RC RB RC R AB (6.32) Die Gleichung kann nach RAB aufgelöst werden RAB RA RB RA RC RB RC R R RA RB A B RC RC (6.33) Auf demselben Weg können die Ausdrücke für die Widerstände RAC und RBC hergeleitet werden. Herleitung der Dreieck-Stern-Wandlung Für die Dreieck-Stern-Wandlung wird ein anderer Ansatz gewählt. Es werden die Widerstände zwischen zwei Klemmen von Stern und Dreieck ermittelt, wobei die gegenüberliegende Klemme offen gelassen wird. Die jeweiligen Widerstände müssen wieder bei beiden Schaltungen identisch sein. A A RA RB RAC RAB RC RBC C B B C Bild 6.7: Schaltbild zur Herleitung der Stern-Dreieck-Wandlung Zwischen den Klemmen A und B ergibt sich folgender Widerstand, der für die Dreieck und die Sternschaltung identisch angenommen wird RAB RAC RBC RAB RAC RBC RA RB (6.34) Derselbe Ansatz für den Widerstand zwischen Klemmen A und C bei offener Klemme B RAC RAB RBC RAB RAC RBC RA RC (6.35) Ebenso für den Widerstand zwischen Klemmen B und C bei offener Klemme A RBC RAB RAC RAB RAC RBC RB RC (6.36) Auch hier können wieder zwei Gleichungen addiert und davon die dritte Gleichung subtrahiert werden. Für die Summe (6.34) + (6.35) - (6.36) ergibt sich für den Widerstand RA RA RAB RAC RAB RAC RBC (6.37) Die Gleichungen für die anderen Widerstände können durch ähnliche Summen hergeleitet werden. RB RAB RBC RAB RAC RBC (6.38) RC RAC RBC RAB RAC RBC (6.39) Beispiel: Gesamtwiderstand einer Brückenschaltung Ein typisches Anwendungsbeispiel für die Stern-Dreieck-Wandlung ist die Brückenschaltung, die in Bild 6.8 links dargestellt ist. Es soll der Gesamtwiderstand der Schaltung bestimmt werden. A X R1 RA X R3 RC R4 RB Y A R6 RAC R2 C C R7 RAB R8 RBC R5 Y B Brückenschaltung R2 R5 B Anwendung Stern-Dreieck-Wandlung Bild 6.8: Brückenschaltung und Stern-Dreieck-Wandlung Bei der Brückenschaltung existiert keine Reihen- oder Parallelschaltung von Widerständen. Deshalb ist eine Zusammenfassung von Widerständen nicht möglich. Nach Anwendung der Stern-DreieckWandlung liegen die Widerstände R2 und R6 sowie R5 und R8 parallel. Der Gesamtwiderstand kann mit den Rechenregeln für Reihen- und Parallelschaltung berechnet werden zu RG R7 || R2 || R6 R5 || R8 (6.40) Dabei ergeben sich die Widerstände R6 … R8 mit den Gleichungen (6.22) … (6.24) zu R6 R3 R1 R1 R3 R4 (6.41) R7 R4 R1 R1 R4 R3 (6.42) R8 R3 R4 R3 R4 R1 (6.43) Alternativ kann eine Dreieck-Stern-Wandlung durchgeführt werden, wie sie in Bild 6.9 dargestellt ist. A X R1 RAB B A X R9 RA R2 RAC R3 RBC R4 C R10 RB R11 RC B C R4 R5 R5 Y Y Brückenschaltung Anwendung Dreieck-Stern-Wandlung Bild 6.9: Brückenschaltung und Dreieck-Stern-Wandlung Die Widerständen R4 und R10 sowie R5 und R11 sind nach der Dreieck-Stern-Wandlung in Reihe. In dem Fall errechnet sich der Gesamtwiderstand mit den Rechenregeln für Reihen- und Parallelschaltung zu RG R9 R4 R10 || R5 R11 (6.44) Dabei ergeben sich die Widerstände R9 … R11 mit den Gleichungen (6.37) … (6.39) zu R9 R1 R2 R1 R2 R3 (6.45) R10 R1 R3 R1 R2 R3 (6.46) R11 R2 R3 R1 R2 R3 (6.47) 6.1.4 Beispiel zur Zusammenschaltung von Widerständen Das Vorgehen bei der Zusammenschaltung von Widerständen wird am Beispiel von Bild 7.8 gezeigt. A R1 R2 R4 R3 R6 R5 R7 R8 B Bild 6.10: Beispiel zur Zusammenschaltung von Widerständen Im ersten Schritt wird untersucht, welche Widerstände in Reihe oder parallel geschaltet sind. In Bild 6.11 sind die Reihen- und Parallelschaltungen rot markiert. A R1 R2 R4 B R3 R6 R5 R7 R8 Bild 6.11: Markierung von Reihen- und Parallelschaltung im Schaltbild Die entsprechenden Widerstände werden mit den Rechenregeln für Reihen- und Parallelschaltungen zusammengeführt. Es ergibt sich die Schaltung in Bild 6.12 mit den Widerständen R9 R3 R7 R10 R4 || R5 (6.48) R4 R5 R4 R5 (6.49) A R1 R2 R9 R10 R6 R8 B Bild 6.12: Zusammenführung von Reihen- und Parallelschaltung im Schaltbild und Markierung der Dreieckschaltung Die resultierende Dreieckschaltung kann mit den Rechenregeln für Reihen- und Parallelschaltungen nicht weiter vereinfacht werden. Deshalb wird die Dreieck-Stern-Wandlung eingesetzt. Es ergibt sich die in Bild 6.13 dargestellte Schaltung. A R1 R2 R9 R11 B R12 R13 Bild 6.13: Schaltung nach Dreieck-Stern-Wandlung Die Widerstände R11 … R13 errechnen sich dabei zu R11 R6 R10 R6 R8 R10 (6.50) R12 R8 R10 R6 R8 R10 (6.51) R13 R6 R8 R6 R8 R10 (6.52) Anschließend werden die Reihenschaltungen von R2 und R11 sowie R9 und R13 zusammengeführt. R1 A R14 R15 R12 B Bild 6.14: Schaltung nach Zusammenfassung von Reihenschaltungen Dabei führen die in Reihe geschalteten Widerstände zu R14 R2 R11 (6.53) R15 R9 R13 (6.54) Nach Zusammenfassen der parallel geschalteten Widerstände R14 und R15 ergibt sich die in Bild 6.15 dargestellte Reihenschaltung mit dem Widerstand R16 R14 || R15 R14 R15 R14 R15 (6.55) A R1 R16 B R12 Bild 6.15: Schaltung nach Zusammenfassung von Parallelschaltungen Die Reihenschaltung besitzt einen Gesamtwiderstand von RG R1 R16 R12 (6.56) Das Beispiel zeigt, dass zur Berechnung des Gesamtwiderstandes eines Widerstandsnetzwerks eine wiederholte Anwendung der Rechenregeln von Reihenschaltungen Parallelschaltungen Stern-Dreieck-Wandlung Dreieck-Stern-Wandlung notwenig sein kann. 6.1.5 Zusammenfassung zur Zusammenschaltung von Widerständen Tabelle 6.1 fasst die wesentlichen Zusammenhänge zur Zusammenschaltung von Widerständen zusammen. Tabelle 6.1: Zusammenfassung der wesentlichen Zusammenhänge zur Zusammenschaltung von Widerständen M RG R1 R2 ... RM Rm Reihenschaltung von M Widerständen m 1 N 1 1 1 1 1 ... RG R1 R2 RN n 1 Rn Parallelschaltung von N Widerständen R1 || R2 Parallelschaltung von 2 Widerständen A R1 R2 R1 R2 A RA RB RAC RAB RC RBC C B Sternschaltung Stern-Dreieck-Wandlung Dreieck-Stern-Wandlung C B Dreieckschaltung RAB RA RC RB RC RA RB RC RAC RA RC RA RB RB RC RB RBC RA RC RA RB RB RC RA RA RAB RAC RAB RAC RBC RB RAB RBC RAB RAC RBC RC RAC RBC RAB RAC RBC 6.2 6.2.1 Zusammenschaltung von idealen Quellen Parallelschaltung idealer Stromquellen Bei der Parallelschaltung von zwei idealen Stromquellen werden beide Anschlüsse der Quellen miteinander verbunden. Es ergibt sich das in Bild 6.16 gezeigte Schaltbild. IG I1 I2 A A U AB U AB B IG B Bild 6.16: Parallelschaltung idealer Stromquellen Mit Hilfe der Knotenregel für den oberen Knoten ergibt sich für die Ströme IG I1 I2 (6.57) Die Parallelschaltung von zwei Stromquellen kann demnach als eine einzelne Stromquelle dargestellt werden, deren Quellstrom so groß ist wie die Summe der beiden einzelnen Quellströme. 6.2.2 Reihenschaltung idealer Stromquellen Werden zwei ideale Stromquellen an jeweils einem Anschluss miteinander verbunden, entsteht die in Bild 6.17 dargestellte Reihenschaltung. I1 I2 Bild 6.17: Reihenschaltung idealer Stromquellen Durch beiden Quellen fließt derselbe Strom I. I I1 I2 (6.58) Eine Quelle gibt den Strom I1 vor, die andere Quelle den Strom I2. Unterscheiden sich die Ströme I1 und I2, I1 I2 (6.59) kann Gleichung (6.58) nicht erfüllt werden. Eine Reihenschaltung idealer Stromquellen ist deshalb nicht realisierbar. 6.2.3 Pallelschaltung idealer Spanungsquellen Werden zwei Spannungsquellen an beiden Anschlüssen miteinander verbunden, entsteht die in Bild 6.18 gezeigte Parallelschaltung. U1 U2 U Bild 6.18: Parallelschaltung idealer Spannungsquellen Nach dem Maschenregeln muss für die Spannungen die Bedingung U U1 U2 (6.60) gelten. Unterscheiden sich die Spannungn U1 und U2, U1 U2 (6.61) kann die Maschenregel nicht erfüllt werden. Eine Parallelschaltung idealer Spannugsquellen ist deshalb nicht realisierbar. 6.2.4 Reihenschaltung idealer Spannungsquellen Werden zwei Spannungsquellen an jeweils einem Anschluss miteinander verbunden, entsteht die in Bild 6.19 dargestellte Reihenschaltung. A A U1 U AB U AB I U2 I B B Bild 6.19: Reihenschaltung idealer Spannungsquellen Mit Hilfe der Maschenregel ergibt sich für die Spannungen UG U1 U2 (6.62) Die Reihnschaltung von zwei Spannungsquellen kann demnach als eine Spannungsquelle dargestellt werden, deren Spannung UG so groß ist wie die Summe der beiden einzelnen Spannungen U1 und U2. 6.2.5 Zusammenfassung zur Zusammenschaltung von idealen Quellen Tabelle 6.2 fasst die wesentlichen Zusammenhänge zur Zusammenschaltung von idealen Quellen zusammen. Tabelle 6.2: Zusammenfassung der wesentlichen Zusammenhänge zur Zusammenschaltung von idealen Quellen Parallelschaltung idealer Stromquellen IG I1 I2 Reihenschaltung idealer Stromquellen nicht realisierbar Parallelschaltung idealer Spannungsquellen nicht realisierbar Reihenschaltung idealer Spannungsquellen U AB U1 U2 6.3 6.3.1 Literaturverzeichnis Literaturstellen zu den behandelten Grundlagen Elektrotechnik [Fueh11] A. Führer, K. Heidemann, W. Nerretter: Grundgebiete der Elektrotechnik: Band 1, 9. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2011 [Lind14] H. Lindner: Elektro-Aufgaben: Band 1, 30. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2014 6.3.2 Weiterführende Literatur zu den Beispielen [] 6.3.3 Interessante WEB-Links zum Thema [Leif16] Leifiphysik Elektrizitätslehre, http://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre Erklärung elektrischer Effekte mit Animationen, Versuchen und Aufgaben auf gut verständlichem Niveau, Zugriff 30.08.2016 [Simp16] TheSimplePhysics Elektrizität / E-Lehre, https://www.youtube.com/playlist?list=PLtChQtYYwX2OOFfJvpN_a3uLuoXG-_vD8 TheSimplePhysics, Online-Nachhilfe mit Lernvideos, Zugriff 30.08.2016 [Lbsb16] Landesbildungsserver Baden-Württemberg, http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_1/ Sammlung von Unterrichtsmaterialien für Schulen, Zugriff 30.08.2016 7 Strom- und Spannungsteilung Auf der Basis der Kirchhoffschen Gesetze wurden bereits Methoden zur Zusammenfassung von Widerständen und Quellen eingeführt und dadurch eine Vereinfachung komplexer Schaltungen erreicht. Aus der Maschen- und Knotenregel lassen sich noch weitere Regeln herleiten, die das Berechnen von großen Schaltungen erleichtern. Zwei davon sind die Strom- und Spannungsteiler-Regel. Sie werden in diesem Kapitel behandelt. 7.1 Stromteilerregel Eine Parallelschaltung von Widerständen wird wie in Bild 7.1 mit einer Spannung UAB versorgt. Es ergibt sich ein Strom IG, der sich nach der Knotenregel in N Ströme I1 … IN durch die einzelnen Widerstände R1 … RN aufteilt. IG I1 R1 I2 R2 IN RN A U AB B Bild 7.1: Stromteiler bei der Parallelschaltung von Widerständen Aufgrund der Parallelschaltung liegt an allen Widerständen die gleiche Spannung UAB an. U AB U1 U2 ... UN (7.1) Die Anwendung des ohmschen Gesetzes auf die Einzelwiderstände ergibt U AB R1 I1 R2 I2 ... RN IN (7.2) Im Fall zwei parallel geschalteter Widerstände gilt: U AB R1 I1 R2 I2 (7.3) Aus der Gleichung kann das Verhältnis der Ströme durch die Widerstände R1 und R2 beschrieben werden, und es ergibt sich die Stromteilerregel für zwei Widerstände: I1 R2 G1 I2 R1 G2 (7.4) An zwei parallel geschalteten Widerständen verhalten sich die Ströme I1 und I2 wie die entsprechenden Leitwerte G1 und G2, durch die sie fließen. Allgemein gilt damit bei einer Parallelschaltung von Widerständen, dass sich die Ströme umgekehrt proportional zu den Widerständen beziehungsweise proportional zu deren Leitwerten verhalten. Die Stromteilerregel gilt auch für das Verhältnis eines Teilstromes In zum Gesamtstrom IG einer Parallelschaltung. Zur Herleitung wird wieder das Verhältnis von Spannung und Strom betrachtet. Für die Schaltung in Bild 7.1 gilt: UAB RG IG Rn In (7.5) Umformen des Ausdrucks führt zu In RG Gn IG Rn GG (7.6) Ein Teilstrom In in einer Parallelschaltung verhält sich zum Gesamtstrom IG wie der Leitwert Gn zum Gesamtleitwert GG. Im Online-Portal H.ErT.Z Online verdeutlicht die Simulation Stromteiler die Aufteilung eines Stroms in parallel geschaltete Widerstände. Beispiel: Stromteiler Zur Vertiefung der Stromteiler-Regel wird die in Bild 7.2 dargestellte Schaltung analysiert. R1 I1 100 U1 12 V I3 I2 R2 R3 220 100 Bild 7.2: Beispiel Stromteiler Um die Stromteiler-Regel anzuwenden, muss der Strom I1 bekannt sein, der sich auf die Widerstände R2 und R3 aufteilt. Werden die parallel geschalteten Widerstände R2 und R2 zusammengefasst, ergibt sich ein Ersatzwiderstand von R23 R2 || R3 R2 R3 68.75 R2 R3 (7.7) Unter Berücksichtigung des in Reihe geschalteten Widerstands R1 berechnet sich der Strom I1 zu I1 U1 12 V 71.1 mA R1 R23 100 68.75 (7.8) Der Strom teilt sich auf die Widerstände R2 und R3 auf. Bei der Formel für den Stromteiler ist der Widerstand RG = R23 und der Strom IG = I1. Damit gilt für die beiden Ströme I1 und I2 I2 R23 68.75 I1 71.1 mA 22.2 mA R2 220 (7.9) I3 R23 68.75 I1 71.1 mA 48.9 mA R3 100 (7.10) und Zusammenfassung Tabelle 7.1 fasst die Regeln zum Stromteiler zusammen. Tabelle 7.1: Regeln zum Stromteiler 7.2 In einer Parallelschaltung verhält sich ein Teilstrom In zum Gesamtstrom IG wie der Leitwert Gn zum Gesamtleitwert GG In RG Gn IG Rn GG An zwei parallel geschalteten Widerständen verhalten sich die Ströme I1 und I2 wie die entsprechenden Leitwerte G1 und G2 I1 R2 G1 I2 R1 G2 Spannungsteilerregel Die Spannungsteilerregel wird verwendet, wenn wie in Bild 8.3 mehrere Widerstände Rm in Reihe geschaltet sind und somit vom selben Strom durchflossen sind. Nach der Maschenregel teilt sich die Spannung UAB damit in M Teilspannungen auf. I R1 U1 R2 U2 A U AB RM UM B Bild 7.3: Spannungsteiler bei der Reihenschaltung von Widerständen Bei der Reihenschaltung von Widerständen wird gezeigt, dass die Ströme in einer Reihenschaltung durch alle Widerstände gleich sind. I1 I2 ... IM I (7.11) Damit gilt nach dem Ohmschen Gesetz U1 U2 U ... M I R1 R2 RM (7.12) Wird eine Reihenschaltung von zwei Widerständen betrachtet, gilt für das Verhältnis der zwei Spannungen U1 R1 U 2 R2 (7.13) Diese Gleichung ist als Spannungsteilerregel bekannt. An zwei in Reihe liegenden Widerständen verhalten sich die Spannungen wie die entsprechenden Widerstände, an denen die Spannungen abfallen. Diese Regel kann auch auf den Gesamtwiderstand RG der Schaltung angewendet werden, und es ergibt sich die Gleichung U m Rm U AB RG (7.14) Daraus folgt die alternative Formulierung der Spannungsteilerregel: Jede Teilspannung in einer Reihenschaltung verhält sich zur Gesamtspannung wie der entsprechende Teilwiderstand zum Gesamtwiderstand der Reihenschaltung. Aus der Aufteilung der Gesamtspannung auf Teilspannungen ergibt sich der Name Spannungsteiler. Unbelastete Spannungsteiler Es sollen einige Anwendungen der Strom- und Spannungsteilerregel anhand praktischer Beispiele angegeben werden. Gegeben ist die Schaltung nach Bild 7.4 bestehend aus einer idealen Spannungsquelle und zwei Widerständen. R1 U0 IL 0 R2 U2 Bild 7.4: Unbelasteter Spannungsteiler Zur Berechnung kann die Spannungsteilerregel nach Gleichung (7.14) angewendet werden. U 2 R2 R2 U0 RG R1 R2 (7.15) Damit lässt sich die Spannung U2 angeben. U2 R2 U0 R1 R2 (7.16) Der Spannungsteiler hat in der Elektrotechnik und Elektronik große Bedeutung. Er dient dazu, ein Signal abzuschwächen und wird zum Beispiel als Lautstärkeregler eines Audio-Verstärkers eingesetzt. Um die heruntergeteilte Spannung einstellbar zu machen, kann der Spannungsteiler mithilfe eines Potentiometers realisiert werden. U0 P x U2 Bild 7.5: Einstellbarer Spannungsteiler mit Potentiometer Häufig wird zur Beschreibung der Schleiferstellung die Variable x mit 0 < x < 1 verwendet. Der untere Teil des Widerstandes ist dann xP, der obere (1 - x)P, wobei P den Gesamtwiderstand des Potentiometers darstellt. Die Ausgangsspannung U2 ergibt sich damit zu U2 x P U x U0 1 x P x P 0 (7.17) Da die Variable x im Bereich 0 < x < 1 liegt, ist die Spannung U2 immer ein Bruchteil von U0, sie kann also niemals größer als die Eingangsspannung U0 werden. Beispiel: Unbelasteter Spannungsteiler Für die Schaltung in Bild 7.6 wird der Spannungsabfall an R2 berechnet. R1 100 I U0 R2 12 V 220 Bild 7.6: Beispiel unbelasteter Spannungsteiler Es handelt sich um einen unbelasteten Spannungsteiler. Damit ergibt sich die Spannung an R2 zu U2 R2 220 U0 12 V 8,25 V R1 R2 100 220 (7.18) Belastete Spannungsteiler Die in Gleichung (7.17) angewendete Spannungsteilerregel gilt nur dann, wenn alle Teilwiderstände vom gleichen Strom durchflossen werden. Der Spannungsteiler darf nicht belastet werden, sondern er muss unbelastet betrieben werden. In der Praxis kommt es jedoch häufig vor, dass am Ausgang des Spannungsteilers ein weiterer Widerstand RL angeschlossen ist. Dieser Widerstand wird auch als Last oder Lastwiderstand bezeichnet, woher der Ausdruck belasteter Spannungsteiler kommt. R1 R1 IL 0 U0 R2 RL U0 U2 RERS U2 Bild 7.7: Belasteter Spannungsteiler und sein Ersatzschaltbild Wie in Bild 7.7 zu erkennen ist, teilt sich der Gesamtstrom am Ausgangsknoten in zwei Teilströme durch die Widerstände R2 und RL auf. Die Gleichung des unbelasteten Spannungsteilers kann deshalb nicht ohne Weiteres zur Bestimmung der Spannung U2 angewandt werden. Zur Berechnung der Ausgangsspannung eines belasteten Spannungsteilers können jedoch die beiden Widerstände R2 und RL zu einem Widerstand zusammengefasst werden. Die Schaltung wird somit in die bereits bekannte Schaltung des unbelasteten Spannungsteilers überführt. Anschließend wird die bekannte Spannungsteilerregel angewendet. Mit der Abkürzung RERS R2 || RL R2 RL R2 RL (7.19) ergibt sich U2 RERS R1 RERS R2 RL R2 RL R2 RL U0 U0 U0 R R R1 R2 (R1 R2 ) RL R1 2 L R2 RL (7.20) Zusammengefasst ergibt sich, wenn die Gleichung in Zähler und Nenner noch durch RL geteilt wird, die Spannung U2 zu U2 R2 R1 R2 R1 R2 RL U0 (7.21) Da der Ausdruck R1R2/RL im Nenner steht, wird bei einem endlichen Lastwiderstand RL die Ausgangsspannung U2 kleiner als die Spannung U2 bei unbelastetem Spannungsteiler. Die Ausgangsspannung eines Spannungsteilers sinkt also bei Belastung ab. Für RL >> R1 oder RL >> R2 geht die Gleichung(7.21) wieder in die Spannungsteilergleichung (7.16) über, da der Ausdruck R1R2/RL gegen null geht. Der Spannungsteiler ist dann praktisch unbelastet. Für den einstellbaren Spannungsteiler mit Potentiometer und Lastwiderstand werden zur Darstellung des Spannungsteilerverhältnisses U2/U0 in Abhängigkeit der Schleiferstellung x des Potentiometers die Widerstände R1 1 x P (7.22) R2 x P (7.23) und eingeführt. Damit ergibt sich die Ausgangsspannung U2 mit RL/P als Parameter zu U2 x 1 1 x x P RL U0 (7.24) P U0 x RL U2 Ausgangsspannung U 2 / U 0 Das Ersatzschaltbild sowie die entsprechende grafische Darstellung des Ausgangssignals sind in Bild 7.8 zu sehen. RL / P = 1 0,5 0,25 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 Potentiometerstellung x 0,8 1 Bild 7.8: Schaltbild und Kennlinien des belasteten Spannungsteilers Mit P = RL ergibt sich bereits eine Kennlinie, die nur wenig vom linearen Verlauf des unbelasteten Spannungsteilers (RL/P = ∞) abweicht. Im Online-Portal H.ErT.Z Online bietet die Simulation Belasteter Spannungsteiler die Möglichkeit, den Einfluss des Lastwiderstandes auf das Teilungsverhältnis zu untersuchen. Beispiel: Temperaturmessung mit Pt1000 Zur Messung von Temperaturen werden Platinwiderstände Pt1000 eingesetzt. Sie haben einen temperaturabhängigen Widerstand von R R0 1 0 R0 1 (7.25) Dabei ist R0 = 1000 der Widerstand für = 0 = 0 °C und der lineare Temperaturkoeffizient mit = 3.8510-3 / K [Pt1000]. Widerstand R() / 1600 1400 1200 1000 800 -50 -25 0 25 50 75 Temperatur / °C 100 125 150 Bild 7.9: Foto und Kennlinie eines Pt1000 Zur Temperaturmessung werden die Widerstände als Spannungsteiler ausgewertet. R1 1000 U0 I R 5V U A Bild 7.10: Spannungsteiler zur Auswertung eines Pt1000 Es ergibt sich eine temperaturabhängige Ausgangsspannung von U A R R1 R U0 R0 1 R1 R0 1 U0 (7.26) Bei Messaufgaben ist weniger die Spannung als die Temperatur von Interesse. Deshalb wird die Gleichung nach der Temperatur aufgelöst. Über Ausmultiplizieren R 1 R0 1 U A R0 1 U0 (7.27) Trennen der Variablen R0 U A R0 U0 R0 U0 R1 R0 U A (7.28) und Ausklammern ergibt sich R0 U A U0 R0 U0 R1 R0 U A beziehungsweise (7.29) R0 U0 R1 R0 U A R0 U A U0 (7.30) Für einen Pt1000 mit einem Vorwiderstand R1 = 1000 sowie einer Versorgungsspannung von U0 = 5 V ergeben sich die in Bild 7.11 dargestellten Kennlinien. Spannung Spannungsteiler Berechnete Temperatur 150 Berechnete Temperatur / °C 3.2 Spannung UA() / V 3 2.8 2.6 2.4 2.2 -50 -25 0 25 50 75 100 125 150 Temperatur / °C 125 100 75 50 25 0 -25 -50 -50 -25 0 25 50 75 100 125 150 Temperatur / °C Bild 7.11: Kennlinien bei Temperaturmessungen mit Pt1000 Es zeigt sich, dass die Temperatur über die Spannungsmessung ideal zurückgerechnet werden kann. In praktischen Anwendungen wird dieses ideale Verhalten allerdings nicht erreicht, weil Toleranzen des Vorwiderstandes sowie Fehler bei der Spannungsmessung zu Abweichungen führen. Außerdem wird das nichtlineare Verhalten des Pt1000 in Gleichung (7.25) nicht berücksichtigt. Zusammenfassung Tabelle 7.1 fasst die Regeln zum Spannungsteiler zusammen. Tabelle 7.2: Regeln zum Stromteiler Bei einer Reihenschaltung von zwei Widerständen teilt sich die Gesamtspannung proportional zu den Widerständen auf. U1 R1 U 2 R2 Jede Teilspannung in einer Reihenschaltung verhält sich zur Gesamtspannung wie der entsprechende Teilwiderstand zum Gesamtwiderstand der Reihenschaltung, zum Beispiel zwei Widerstände Um R m U AB RG U2 Sonderfall: Spannungsteiler mit zwei Widerständen Sonderfall: Belasteter Spannungsteiler mit zwei Widerständen U2 R2 U0 R1 R2 R2 || RL U0 R1 R2 || RL R2 R1 R2 R1 R2 RL U0 7.3 Messen elektrischer Größen Beim Messen von Strömen und Spannungen wird ein Messgerät mit der Schaltung verbunden. Die Schaltung soll durch die Messung so wenig wie möglich beeinflusst werden. An zwei Beispielen wird gezeigt, welche Forderungen sich für das Messgerät ergeben. Das Messgerät wird bei diesen Messungen als ohmscher Widerstand modelliert, der als Innenwiderstand des Messgeräts bezeichnet wird. Bild 7.12 zeigt ein Messgerät und sein Ersatzschaltbild. RI RU Bild 7.12: Ersatzschaltbild eines Messgerätes für Strom- und Spannungsmessung RI Innenwiderstand bei Strommessung, RU Innenwiderstand bei Spannungsmessung Bei einer Strommessung werden die beiden linken Anschlüsse verwendet. Der Strom fließt über den Widerstand RI und erzeugt einen Spannungsabfall, der vom Messgerät erfasst wird. Bei einer Spannungsmessung werden die beiden rechten Anschlüsse verwendet. Der Strom fließt über den Widerstand RU, der parallel zu den beiden Klemmen geschaltet ist. Strommessung Zur Herleitung der Anforderungen an den Innenwiderstand von Messgeräten bei Strommessungen wird ein Stromteiler betrachtet. In Bild 7.13 sind der Stromteiler und das Messgerät in Form des Innenwiderstands RI eingezeichnet. RI IE I1 R1 IM R2 Bild 7.13: Strommessung bei einem Stromteiler Bei einem Stromteiler mit den beiden Widerständen R1 und R2 berechnet der Strom I2 zu IR 2 R1 IE R1 R2 (7.31) Für eine Strommessung wird in Reihe zum Widerstand R2 ein Messgerät mit dem Innenwiderstand RI geschaltet. Damit hat sich der ursprüngliche Stromteiler aus R1 und R2 geändert. Der gemessene Strom IM berechnet sich zu IM R1 IE R1 R2 RI (7.32) Ein Vergleich der Gleichungen (7.31) und (7.32) zeigt, dass der Widerstand RI gegen null gehen muss, damit der Messwert IM und der zu messende Strom I2 übereinstimmen. In dem Fall gilt lim IM lim RI 0 RI 0 R1 R1 IE IE I 2 R1 R2 RI R1 R2 (7.33) Dieses Ergebnis kann verallgemeinert werden. Für Strommessungen muss der Innenwiderstand RI des Messgerätes gegen null gehen, damit das Messgerät die Schaltung und damit den zu messenden Strom nicht beeinflusst. Spannungsmessung Zur Herleitung der Anforderungen an den Innenwiderstand von Messgeräten bei Spannungsmessungen wird ein Spannungsteiler betrachtet. In Bild 7.14 sind der Spannungsteiler und das Messgerät in Form des Innenwiderstands RU eingezeichnet. R1 UE R2 UR 2 RU UM Bild 7.14: Spannungsmessung bei einem Spannungsteiler Die Spannung am Widerstand R2 errechnet sich als unbelasteter Spannungsteiler zu UR 2 R2 UE R1 R2 (7.34) Für eine Spannungsmessung wird zum Widerstand R2 ein Messgerät mit dem Innenwiderstand RM parallel geschaltet. Damit ist der ursprüngliche Spannungsteiler aus R1 und R2 belastet. Die gemessene Spannung UM berechnet sich zu UM R2 || RU R2 RU UE UE R1 R2 || RU R1 R2 RU R2 RU R2 RU UE R1 R2 R1 RU R2 RU R2 R1 R2 R1 R2 RU UE (7.35) Ein Vergleich der Gleichungen (7.34) und (7.35) zeigt, dass der Widerstand RU gegen unendlich gehen muss, damit der Messwert UM und die zu messende Spannung UR2 übereinstimmen. In dem Fall gilt lim UM lim RU RU R2 R1 R2 R1 R2 RU UE R2 UE UR 2 R1 R2 (7.36) Auch dieses Ergebnis kann verallgemeinert werden. Für Spannungsmessungen muss der Innenwiderstand RU des Messgerätes gegen unendlich gehen, damit das Messgerät die Schaltung und damit die zu messende Spannung nicht beeinflusst. Zusammenfassung Tabelle 7.3 fasst die Anforderung an den Innenwiderstand von Messgeräten bei der Messung elektrischer Größen zusammen. Tabelle 7.3: Anforderung an Messgeräte bei der Messung elektrischer Größen 7.4 Strommessung RI 0 Spannungsmessung RU Vereinfachung von Schaltungen durch Ausnutzen von elektrischen Symmetrien Die Kenntnis der Spannungsteilerregel kann im Sonderfall der Schaltungssymmetrie auch zur Vereinfachung eines Widerstandsnetzwerkes genutzt werden. Das Verfahren wird an einem Beispiel vorgestellt, das in Bild 8.12 dargestellt ist. Alle Widerstände R1 … R12 haben denselben Wert R0. R1 A R3 R6 R8 B R11 R2 R4 R9 R7 R12 R5 R10 Bild 7.15: Symmetrisches Widerstandsnetzwerk Um die Symmetrie der Schaltung zu verstehen, werden die Widerstände R6 und R7 aus der Schaltung entfernt. Es ergibt sich die in Bild 7.16 gezeigte Schaltung. R1 A R3 C R8 R11 B R2 R4 R5 D E R9 R12 R10 Bild 7.16: Symmetrisches Widerstandsnetzwerk nach Entfernen der Widerstande R 6 und R7 Die Punkte (C), (D) und (E) haben nach der Spannungsteilerregel dasselbe Potential. UC UD UE U AB 2 (7.37) Deshalb fließt durch die Widerstände R6 und R7 kein Strom. Sie können aus der Schaltung entfernt werden. Die Schaltungen in Bild 7.15 und Bild 7.16 haben demnach dasselbe Verhalten. Der Gesamtwiderstand der Schaltung errechnet sich damit zu RAB R3 R8 || R1 R4 R9 || R2 R5 R10 R12 R11 4 2 R0 || 2 R0 2 R0 || 4 R0 2 R0 || 2 R0 R0 3 2 R0 || (7.38) 10 5 R0 R0 3 4 Alternativ können die Widerstände auch durch Kurzschlüsse ersetzt werden, da an beiden Polen der Widerstände ohnehin dasselbe Potential anliegt. Damit ergibt sich das in Bild 7.17 gezeigte Schaltbild. R1 A R3 R5 R4 R8 B R2 R11 R9 R12 R10 Bild 7.17: Symmetrisches Widerstandsnetzwerk nach Kurzschließen der Widerstande R 6 und R7 Der Gesamtwiderstand berechnet sich in diesem Fall zu RAB R3 || R1 R4 || R2 R5 R8 || R11 R9 || R10 R12 2 2 R0 || R0 R0 || 2 R0 2 R0 || R0 R0 3 (7.39) 5 5 2 R0 || R0 R0 3 4 Trotz der unterschiedlichen Rechenwege sind die Resultate identisch. Beide Rechnungen sind gegenüber der ohne Symmetrie erforderlichen Stern-Dreieck-Wandlung deutlich effizienter. Es muss allerdings berücksichtigt werden, dass beide Fälle Sonderfälle sind. Die Schaltungsvereinfachung ist nur bei wirklich symmetrischen Schaltungen zulässig. Allgemein können die in Tabelle 7.4 zusammengestellten Regeln zur Vereinfachung von Schaltungen angewendet werden, ohne das Verhalten der Schaltung zu verändern. Tabelle 7.4: Regeln zur Vereinfachung von Schaltungen aufgrund von Symmetrien Zweige, deren Knoten auf demselben Potenzial liegen, dürfen kurzgeschlossen werden. Zweige, durch die kein Strom fließt, können entfernt werden. 7.5 7.5.1 Literaturverzeichnis Literaturstellen zu den behandelten Grundlagen Elektrotechnik [Fueh11] A. Führer, K. Heidemann, W. Nerretter: Grundgebiete der Elektrotechnik: Band 1, 9. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2011 [Lind14] H. Lindner: Elektro-Aufgaben: Band 1, 30. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2014 7.5.2 Weiterführende Literatur zu den Beispielen [Jumo16] 7.5.3 Typenblatt Platin-Chip-Temperatursensoren mit Anschlussdrähten nach DIN EN 60 751 http://www.jumo.de/produkte/temperatur/platin-temperatursensoren/2916/draht.html JUMO GmbH, Fulda, Zugriff 12.09.2016 Interessante WEB-Links zum Thema [Leif16] Leifiphysik Elektrizitätslehre, http://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre Erklärung elektrischer Effekte mit Animationen, Versuchen und Aufgaben auf gut verständlichem Niveau, Zugriff 30.08.2016 [Simp16] TheSimplePhysics Elektrizität / E-Lehre, https://www.youtube.com/playlist?list=PLtChQtYYwX2OOFfJvpN_a3uLuoXG-_vD8 TheSimplePhysics, Online-Nachhilfe mit Lernvideos, Zugriff 30.08.2016 [Lbsb16] Landesbildungsserver Baden-Württemberg, http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_1/ Sammlung von Unterrichtsmaterialien für Schulen, Zugriff 30.08.2016 8 Lineare Quellen Ideale Quellen erzeugen als ideale Spannungsquelle eine konstante Quellenspannung und als ideale Stromquelle einen konstanten Quellenstrom. Ideale Quellen lassen sich aber, wie bereits in Kapitel 4.4 gezeigt, nicht ohne Weiteres realisieren. Im Folgenden werden reale Quellen eingeführt, deren einfachste Ausführung die lineare Quelle ist. Das Verhalten einer linearen Quelle lässt sich über eine Gerade beschreiben, die das Verhältnis von Strom zur Spannung wiedergibt. Eine solche Gerade ergibt sich bei der Vermessung einer 9-Volt-Blockbatterie. Bild 8.1 zeigt die ermittelte StromSpannungskennlinie. 50 Messwerte Ausgleichsgerade Strom I / mA 40 30 20 10 0 9,15 9,2 Spannung U / V 9,25 9,3 Bild 8.1: I-U-Kennlinie einer 9-V-Blockbatterie im Erzeuger-Pfeilsystem Die einzelnen Messpunkte liegen in guter Näherung auf einer Geraden. Auf diesem Zusammenhang beruht ein Modell für lineare Quellen, das die Beschreibung von Schaltungen hinsichtlich ihres Klemmenverhaltens vereinfacht. Dazu wird die sogenannte Quellenwandlung eingesetzt. Ihre Verallgemeinerung führt zu dem Satz der Ersatzquelle. 8.1 Lineare Quellen und ihre Ersatzschaltungen Bei einer linearen Quelle lässt sich die Abhängigkeit von Strom und Spannung als Gerade darstellen. Die Achsenabschnitte dieser I-U-Kennlinie stellen im Erzeuger-Pfeilsystem den Kurzschlussstrom I = IK und die Leerlaufspannung U = U0 dar. Annähernd lineares Verhalten liegt bei vielen Quellen vor, zum Beispiel bei einer Vielzahl elektrochemischer Elemente wie Batterien und Akkus. I k I passiv Lineare Quelle U Strom I + aktiv 0 passiv 0 Spannung U Bild 8.2: I-U-Kennlinie einer linearen Quelle im Erzeuger-Pfeilsystem U 0 Zunächst wird die Zweipolgleichung hergeleitet. Ausgangspunkt ist eine Geradengleichung in allgemeiner Form, bei der m die Steigung und c der Achsenabschnitt auf der Ordinate ist. I m U c (8.1) Zur Bestimmung von m und c werden zwei Bestimmungsgleichungen benötigt. Dazu werden die Koordinaten der beiden Punkte (0, IK) und (U0, 0) in die Geradengleichung (8.1) eingesetzt. IK m 0 c (8.2) 0 m U0 c (8.3) Aus diesem Gleichungssystem folgen die Beziehungen c IK (8.4) und m IK U0 (8.5) Damit lautet die Geradengleichung zur Beschreibung des Zweipols: I IK U IK U0 (8.6) Eine Quelle mit einer linearen Kennlinie kann durch eine Ersatzschaltung ersetzt werden. Eine Ersatzschaltung weist das gleiche Verhalten wie die zugehörige reale Anordnung auf. 8.1.1 Lineare Stromquelle Die hergeleitete Geradengleichung der linearen Quelle I IK U IK U0 (8.7) kann als Strombilanz im Sinne einer Knotenregel aufgefasst werden, die zum Ersatzschalbild in Bild 8.3 gehört. I IRI RI U IQ IK Bild 8.3: Ersatzschaltung einer linearen Quelle als Stromquelle mit Innenwiderstand RI (lineare Stromquelle) Das Ersatzschaltbild besteht aus einer idealen Stromquelle mit dem Quellenstrom IQ IK (8.8) Der Quelle ist ein Widerstand RI parallel geschaltet. Mit dem Knotensatz für den oberen Knoten gilt die Gleichung I IRI IK (8.9) Der Strom IRI lässt sich durch die Zweipolgleichung des ohmschen Widerstandes ersetzen. I U IK RI (8.10) Dies entspricht Gleichung (8.6) mit dem Innenwiderstand RI U0 IK (8.11) Die Ersatzschaltung der linearen Quelle in Bild 8.3 verhält sich also wie die entsprechende Geradengleichung. Auch die Interpretation der Schaltung in Bild 8.3 zeigt, dass die Schaltung das gewünschte Verhalten besitzt. Bei einem Kurzschluss zwischen den beiden Anschlussklemmen wird die Spannung U = 0. Folglich kann kein Strom IRI fließen. Damit entspricht der Ausgangsstrom dem Kurzschlussstrom I = IK. Bei Leerlauf ist der Strom I = 0. Der Quellenstrom IK fließt vollständig über den Widerstand. Damit ist IK = IRI und nach dem ohmschen Gesetz ergibt sich U RI IK U0 IK U 0 IK (8.12) Diese beiden Grenzfälle werden also korrekt wiedergegeben. Da eine Gerade über zwei Punkte festgelegt wird, sind damit damit alle weiteren Punkte der I-U-Kennlinie bekannt. Eine lineare Quelle kann damit als Stromquelle mit dem Quellstrom IK und dem Parallelwiderstand RI dargestellt werden. Der Grenzfall einer idealen Stromquelle mit I = IQ ergibt sich aus dem Grenzfall eines unendlichen Innenwiderstandes in Gleichung (8.10) U lim I lim IQ IQ RI RI RI (8.13) Eine ideale Stromquelle besitzt damit einen unendlich hohen Innenwiderstand RI, der parallel zur Stromquelle geschaltet ist. 8.1.2 Lineare Spannungsquelle Um zu zeigen, dass eine lineare Quelle auch als Spannungsquelle mit Innenwiderstand aufgefasst werden kann, wird Gleichung (8.6) nach der Spannung U aufgelöst. Über IK U IK I U0 (8.14) ergibt sich U U0 U IK I U 0 0 I IK IK (8.15) Die Geradengleichung einer linearen Quelle kann damit auch als Summe von Teilspannungen im Sinne einer Maschenregel aufgefasst werden, die zum Ersatzschalbild in Bild 8.4 gehört. URI I RI UQ U0 U Bild 8.4: Ersatzschaltung einer linearen Quelle als Spannungsquelle mit Innenwiderstand (lineare Spannungsquelle) Über die Spannungsquelle UQ = U0, den Innenwiderstand RI und die Klemmenspannung U lässt sich eine Masche bilden. U0 U URI (8.16) Die Spannung URI lässt sich durch die Zweipolgleichung des ohmschen Widerstandes ersetzen. Auflösen nach U führt damit zu U U0 RI I (8.17) Das Ergebnis entspricht Gleichung (8.15) mit dem Innenwiderstand RI U0 IK (8.18) Die Ersatzschaltung der linearen Quelle in Bild 8.4 verhält sich also wie die entsprechende Geradengleichung (8.6). Eine Analyse der Schaltung zeigt, dass bei einem Kurzschluss zwischen den beiden Anschlussklemmen die Spannung U = 0 wird. Folglich liegt am Widerstand RI die gesamte Quellenspannung U0, und es fließt der Strom I U0 IK RI (8.19) Bei Leerlauf ist der Strom I = 0. Der Spannungsabfall über dem Widerstand RI ist URI = 0. Damit wird die Klemmenspannung U = UQ = U0. Der Grenzfall einer idealen Spannungsquelle mit U = UQ ergibt sich aus dem Grenzfall eines unendlich kleinen Innenwiderstandes in Gleichung (8.17) lim U lim UQ RI I UQ RI 0 (8.20) RI 0 Eine ideale Spannungsquelle besitzt damit einen unendlich kleinen Innenwiderstand RI, der in Reihe zur Spannungsquelle geschaltet ist. 8.1.3 Schaltungsvereinfachung durch Quellenwandlung Das Prinzip der Quellenwandlung kann dazu genutzt werden, um Schaltungen bezüglich ihres Klemmenverhaltens einfacher zu beschreiben. Dabei wird davon Gebrauch gemacht, dass je nach Quellentyp eine Parallelschaltung oder eine Reihenschaltung entsteht. Lineare Quelle und Parallelwiderstand Weist eine Schaltung einen Widerstand auf, der parallel zu den Anschlussklemmen einer linearen Quelle geschaltet ist, wird eine lineare Stromquelle zur Beschreibung des Klemmenverhaltens verwendet. Der Parallelwiderstand der Quelle wird mit dem Widerstand der Schaltung zu einer linearen Stromquelle zusammengefasst. Beispiel: Quellenwandlung mit linearer Stromquelle Als Beispiel wird die Schaltung aus Abschnitt 7.1 aufgegriffen, bei der die Spannung UA berechnet werden soll. R1 U1 UA R2 R3 Bild 8.5: Beispiel Stromteiler Die lineare Spannungsquelle kann in eine lineare Stromquelle gewandelt werden. Es ergibt sich die in Bild 8.6 dargestellte Schaltung. U1 R1 R1 R2 R3 UA Bild 8.6: Schaltung nach Quellenwandlung Die parallel geschalteten Widerstände werden zu einem Widerstand zusammengefasst. Es ergibt sich eine lineare Stromquelle, die bei Bedarf wieder in eine lineare Spannungsquelle gewandelt werden kann. U1 R1 RG UA Bild 8.7: Ersatzschaltung als lineare Stromquelle Der Widerstand RG errechnet sich aus der Parallelschaltung der Widerstände R1, R2 und R3 zu RG R1 || R2 || R3 1 1 1 1 R1 R2 R3 (8.21) Die Schaltung aus Bild 8.5 kann damit auf eine lineare Quelle zurückgeführt werden und die Quellenspannung errechnet sich zu UQ R2 R3 U 1 1 U 1 1 1 R1 R2 R3 R1 R3 R1 R2 1 R1 R2 R3 (8.22) Wichtig bei der Wandlung ist, dass die eigentliche Zielgröße, in diesem Fall die Spannung UA, sichtbar bleibt. Lineare Quelle und Reihenwiderstand Weist eine Schaltung einen Widerstand auf, der in Reihe zu den Anschlussklemmen einer linearen Quelle geschaltet ist, wird eine lineare Spannungsquelle zur Beschreibung des Klemmenverhaltens verwendet. Der Innenwiderstand der Quelle wird mit dem Widerstand der Schaltung zu einer neuen linearen Spannungsquelle zusammengefasst. Beispiel: Quellenwandlung mit linearer Stromquelle Für die Schaltung in Bild 8.8 wird die Ausgangsspannung UR3 berechnet. R2 I1 R3 R1 UR 3 Bild 8.8: Beispiel zur Quellenwandlung mit linearer Spannungsquelle Um die Kombination von Parallel- und Reihenschaltung zu vereinfachen, wird die lineare Stromquelle in eine lineare Spannungsquelle gewandelt. R2 R1 I1 R1 R3 UR 3 Bild 8.9: Schaltung nach Quellenwandlung Die Widerstände R1 und R2 werden zu einem Widerstand RE zusammengefasst. RE UE R3 UR 3 Bild 8.10: Schaltung nach Zusammenfassen Mit dem Ersatzwiderstand RE R1 R2 (8.23) und der Ersatzspannung UE I1 R1 (8.24) ergibt sich die Ausgangsspannung UR3 zu UR 3 R3 R3 UE I1 R1 RE R3 R1 R2 R3 (8.25) Schaltungsvereinfachung durch mehrfache Anwendung der Quellenwandlung Das Prinzip der Quellenwandlung kann wiederholt durchgeführt werden. Damit lassen sich auch komplexe Schaltungen mit wiederholten Wechseln linearer Strom- und Spannungsquelle vereinfachen. Beispiel: Schaltungsvereinfachung durch Quellenwandlung Die Vorteile Quellenwandlung werden deutlich, wenn komplexere Schaltungen mit mehreren Quellen analysiert werden. Bild 8.11 greift das Beispiel aus Kapitel 5.4 auf. Es soll die Spannung UR3 berechnet werden. R1 U1 R2 UR 3 R3 U2 Bild 8.11: Netzwerk mit zwei Spannungsquellen und drei Widerständen Die beiden Spannungsquellen besitzen einen Innenwiderstand und sind damit lineare Spannungsquellen. Beide Quellen werden zu Stromquellen mit Parallelwiderstand gewandelt. U1 R1 U2 R2 R1 UR 3 R3 R2 Bild 8.12: Netzwerk nach Quellenwandlung Die beiden Stromquellen und die beiden Widerstände können zusammengefasst werden. U1 U2 R1 R2 R1 || R2 R3 UR 3 Bild 8.13: Netzwerk nach Zusammenfassung von Stromquellen und Widerständen Um das Prinzip des Spannungsteilers anwenden zu können, wird eine wieder eine Quellenwandlung durchgeführt. Es ergibt sich die in Bild 8.14 gezeigte Schaltung. RE UE UR 3 R3 Bild 8.14: Netzwerk nach erneuter Quellenwandlung Die Ausgangsspannung UR3 wird bei allen Umformungen eingezeichnet und errechnet sich mit den Ersatzgrößen RE R1 || R2 R1 R2 R1 R2 (8.26) und U U R R R2 R1 UE 1 2 1 2 U1 U2 R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2 (8.27) zu UR 3 R3 R R R3 1 2 R1 R2 R3 R2 U1 R1 U2 R2 R1 U1 U2 R1 R2 R1 R2 R2 R3 R1 R3 R1 R2 (8.28) Im Online-Portal H.ErT.Z Online verdeutlicht die Simulation Lineare Quelle die Quellenwandlung von Spannungs- zu Stromquelle. 8.1.4 Satz von der Ersatzspannungsquelle Bei der Zusammenschaltung von Widerständen wird gezeigt, dass beliebige Widerstandsnetzwerke zwischen zwei Klemmen als ein einziger Ersatzwiderstand dargestellt werden können. Diese Erfahrung lässt sich auf beliebige Schaltungen mit linearen Quellen erweitern. Eine Schaltung kann auch dann als ein Ersatzzweipol dargestellt werden, wenn sie nicht nur Widerstände, sondern auch lineare Quellen enthält. Da alle linearen Zweipole durch Geradengleichungen dargestellt werden können, muss die I-UKennlinie eines Ersatzzweipols, der aus einer beliebigen Schaltung linearer Zweipole besteht, stets eine Gerade sein. Dieser Ersatzzweipol kann dann durch eine lineare Quelle ersetzt werden. Helmholtz (1821 - 1894) hat diesen Sachverhalt als Satz von der Ersatzspannungsquelle angegeben, der hier ohne Beweis angegeben werden soll. Jede Schaltung aus idealen Spannungsquellen, idealen Stromquellen und ausschließlich linearen Schaltelementen kann bezüglich zwei beliebiger Schaltungsknoten in eine Spannungsquelle mit Innenwiderstand umgeformt werden. Bild 8.15 veranschaulicht diesen wichtigen Satz. I A I I A A RI U U0 RI U U IK B Äquivalente Ersatzspannungs quelle B Beliebige lineare Schaltung mit Stromquellen, Spannungsquellen und linearen Widerständen B Äquivalente Ersatzstrom quelle Bild 8.15: Visualisierung des Satzes von der Ersatzspannungsquelle: Lineare Schaltung mit den Klemmen A - B und Ersatzspannungsquelle beziehungsweise Ersatzstromquelle Eine lineare Schaltung kann hinsichtlich ihres Klemmenverhaltens durch eine lineare Spannungsquelle ersetzt werden, die als Ersatzspannungsquelle bezeichnet wird. Diese hat eine Quellenspannung UQ = U0 und einen Innenwiderstand RI. Die lineare Schaltung zwischen den Klemmen (A) und (B) kann alternativ als Ersatzstromquelle mit Quellenstrom IQ = IK mit Innenwiderstand RI dargestellt werden. Die zunächst unbekannten Größen UQ und RI der Ersatzspannungsquelle beziehungsweise IQ und RI der Ersatzstromquelle berechnen oder messen. Quellenspannung UQ Bei Leerlauf an den Klemmen A - B liegt die Leerlaufspannung an, die gemessen oder berechnet werden kann. UQ muss dieser Leerlaufspannung gleich sein, denn bei Leerlauf der Ersatzspannungsquelle liegt UQ = U0 an deren Klemmen. Quellenstrom IQ Der Strom, der über die kurzgeschlossenen Klemmen A und B fließt, wird gemessen oder berechnet. Denn bei Kurzschluss der Ersatzstromquelle fließt der Quellenstrom IQ über die Klemmen A und B. Innenwiderstand RI Zur Ermittlung des Innenwiderstandes werden die idealen Strom- und Spannungsquellen zu null gesetzt. Eine ideale Stromquelle, durch die trotz anliegender Spannung kein Strom fließt, verhält sich wie ein unendlich hoher Widerstand. Sie wird aus der Schaltung entfernt. Eine ideale Spannungsquelle, an der trotz Stromfluss keine Spannung abfällt, verhält sich wie ein unendlich kleiner Widerstand. Sie wird durch einen Kurzschluss ersetzt. Für die Schaltung ohne Quellen ergibt sich die Kennlinie eines passiven Zweipols, dessen I-U-Kennlinie durch den Nullpunkt läuft (Bild 8.16). I Strom I k 0 mit Strom- und Spannungsquellen ohne Quellen 0 Spannung U U 0 Bild 8.16: I-U-Kennlinie eines linearen Netzwerks an den Klemmen A und B mit Strom- und Spannungsquellen sowie ohne Quellen Die Steigung der I-U-Kennline I IK 1 U IK U IK U0 RI (8.29) ist ein Maß für den Widerstand. Sie ist unabhängig von den Quellen. Deshalb ergibt sich RI als Widerstand zwischen den Klemmen A und B dieses passiven Netzwerkes. Die Darstellung eines linearen Netzwerkes mit Quellen durch eine Ersatzspannungsquelle ist der Darstellung durch eine Ersatzstromquelle gleichwertig. Die Wahl der Ersatzquelle ist beliebig. Bei Reihenschaltungen erweist sich die Ersatzspannungsquelle vorteilhaft, während bei Parallelschaltungen die Ersatzstromquelle übersichtlichere Rechnungsabläufe liefert. 8.1.5 Grenzen der Gültigkeit von Ersatzstrom- und Ersatzspannungsquellen Die Rechnungen zeigen, dass eine lineare Quelle als lineare Spannungsquelle oder als lineare Stromquelle dargestellt werden kann. Beide Darstellungen sind bezüglich der I-U-Kennlinie und damit bezüglich des Verhaltens an den beiden Anschlussklemmen äquivalent. Diese Äquivalenz bezieht sich nur auf das Verhalten an den Klemmen, also auf den Zusammenhang zwischen Strom I und Spannung U. In den Ersatzschaltungen treten am Innenwiderstand RI innere Verluste auf. Bei der linearen Spannungsquelle ist das die Verlustleistung PI I 2 RI (8.30) Sie ist bei Leerlauf (I = 0) null und bei Kurzschluss (I = IK) maximal. Bei der linearen Stromquelle berechnet sich die Verlustleistung aus PI U 2 1 RI (8.31) Sie ist bei Kurzschluss (U = 0) null und bei Leerlauf (U = U0) maximal. In realen Quellen treten im Allgemeinen sowohl bei Leerlauf als auch bei Kurzschluss-Verluste auf. Daraus ergibt sich, dass die inneren Verluste in realen Quellen im Allgemeinen nicht mit den hier vorgestellten Ersatzschaltungen dargestellt werden können. 8.2 Bestimmung der Kenngrößen linearer Quellen Wie im letzten Kapitel hergeleitet, werden lineare Quellen durch die Kenngrößen U0, IK und RI bestimmt. Die zugehörige I-U-Kennlinie ist eine Gerade. Eine Gerade wird durch zwei Punkte festgelegt. Deshalb ist es möglich, alle Kenngrößen einer linearen Quelle mit zwei Messungen zu bestimmen. Am einfachsten wäre es, die lineare Quelle durch Messung der Leerlaufspannung und des Kurzschlussstromes zu bestimmen. Die Messung des Kurzschlussstromes ist bei vielen Quellen (Batterien, Akkus) aber unzulässig, da durch die hohen Ströme eine Zerstörung des Bauelements riskiert wird. Zur Bestimmung der Geraden werden deshalb zwei messbare Betriebspunkte (U1, I1) und (U2, I2) gewählt. I k I Strom I 1 I 2 0 0 U 1 U 2 U 0 Spannung U Bild 8.17: Darstellung zur Ermittlung der Kenngrößen einer linearen Quelle mit zwei Messungen Die Steigung der I-U-Kennlinie beträgt m I I 1 I 2 1 RI U2 U1 U (8.32) Zur Bestimmung der Quellenspannung U0 wird Gleichung (8.17) U U0 RI I (8.33) nach U0 aufgelöst. Für das Wertepaar (U1, I1) ergibt sich U0 U1 RI I1 (8.34) Der Kurzschlussstrom ergibt sich mit Gleichung (8.18) zu IK U0 RI (8.35) Beispiel: Ersatzschaltbild einer 9-V-Blockbatterie Zur Bestimmung des Ersatzschaltbildes einer 9-V-Blockbatterie werden zwei Messungen durchgeführt. Tabelle 8.1: Messungen zur Bestimmung des Ersatzschaltbildes einer 9-V-Blockbatterie Messung 1 2 Strom I / mA 50 100 Spannung U / V 9,15 8,97 Aus diesen Messungen ergibt sich der Innenwiderstand zu RI U 0,18 V 3,6 I 50 mA (8.36) und die Leerlaufspannung U0 zu U0 U1 RI I1 9.15 V+ 3,6 W 50 mA 9,33 V (8.37) 8.3 Zusammenfassung Tabelle 8.2 fasst die Gesetzmäßigkeiten zum Umgang mit linearen Quellen zusammen. Tabelle 8.2: Zusammenfassung zu linearen Quellen I Linearer Zusammenhang zwischen Spannung und Strom 1 U IK RI oder U U0 RI I I IRI Lineare Stromquelle RI U IQ IK URI I Lineare Stromquelle Quellenwandlung Strom- in Spannungsquelle Quellenwandlung Spannungs- in Stromquelle Satz der Ersatzquelle RI UQ U0 U U0 RI IK IK U0 RI Bestimmung des Innenwiderstandes RI nach Entfernen aller Stromquellen und Kurzschließen aller Spannungsquellen Bestimmung der Leerlaufspannung oder des Kurzschlussstroms 8.4 8.4.1 Literaturverzeichnis Literaturstellen zu den behandelten Grundlagen Elektrotechnik [Fueh11] A. Führer, K. Heidemann, W. Nerretter: Grundgebiete der Elektrotechnik: Band 1, 9. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2011 [Lind14] H. Lindner: Elektro-Aufgaben: Band 1, 30. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2014 8.4.2 Weiterführende Literatur zu den Beispielen [] 8.4.3 Interessante WEB-Links zum Thema [Leif16] Leifiphysik Elektrizitätslehre, http://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre Erklärung elektrischer Effekte mit Animationen, Versuchen und Aufgaben auf gut verständlichem Niveau, Zugriff 30.08.2016 [Simp16] TheSimplePhysics Elektrizität / E-Lehre, https://www.youtube.com/playlist?list=PLtChQtYYwX2OOFfJvpN_a3uLuoXG-_vD8 TheSimplePhysics, Online-Nachhilfe mit Lernvideos, Zugriff 30.08.2016 [Lbsb16] Landesbildungsserver Baden-Württemberg, http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_1/ Sammlung von Unterrichtsmaterialien für Schulen, Zugriff 30.08.2016 9 Superpositionsprinzip Einige Schaltungen weisen mehr als eine Quelle auf. Maschen- und Knotenregeln sowie der Satz der Ersatzquelle können verwendet werden, um diese Schaltungen zu analysieren. Trotz dieser Verfahren ist die Schaltungsanalyse oftmals aufwendig. Eine erhebliche Vereinfachung ergibt sich aus dem Superpositionsprinzip, bei dem die Wirkung jeder einzelnen Quelle berechnet und anschließend überlagert wird. Aus der bei diesem Prinzip verwendeten Überlagerung ergibt sich der Begriff Superpositionsprinzip. Voraussetzung für die Anwendung ist, dass das zu analysierende Netzwerk linear ist. 9.1 Lineare Zweipole Voraussetzung für ein lineares Netzwerk ist, dass die darin eingesetzten Bauelemente ideale Quellen und lineare Zweipole sind. Für den Linearitätsnachweis eines Zweipols müssen die Spannungsabfälle U1 und U2 bekannt sein, die sich bei den Strömen I1 und I2 ergeben. Ein Zweipol ist linear, wenn sich der Spannungsabfall U bei einer Linearkombination von Strömen I a I1 b I2 (9.1) aus derselben Linearkombination von entsprechenden Teilspannungen U1 und U2 ergibt. U a U1 b U2 (9.2) Bild 9.1 verdeutlicht die Voraussetzung für den Linearitätsnachweis und das Verhalten linearer Zweipole mit einem Schaltbild. Verhalten linearer Zweipole Voraussetzung für den Linearitätsnachweis I1 U1 Linearer Zweipol a I1 b I2 I2 U2 Linearer Zweipol a U1 b U 2 Linearer Zweipol Bild 9.1: Verhalten linearer Bauteile Der Nachweis der Linearität erfolgt über Einsetzen der Linearkombination von Strömen in die Bauelementegleichung. An einem Beispiel und einem Gegenbeispiel wird der Nachweis der Linearität verdeutlicht. Beispiel: Linearität eines ohmschen Widerstandes Für einen ohmschen Widerstand gilt das Ohmsche Gesetz. U R I (9.3) Damit gilt für einen Strom I1 U1 R I1 (9.4) und für einen Strom I2 U2 R I2 (9.5) Für die Linearkombination von Strömen I a I1 b I2 (9.6) ergibt sich damit die Ausgangsspannung U R I R a I1 b I2 R a I1 R b I 2 a R I1 b R I 2 a U1 b U2 (9.7) Die Spannung U weist dieselbe Linearkombination von Teilspannungen auf wie der Strom I. Ein ohmscher Widerstand ist damit ein linearer Zweipol. Beispiel: Prüfung der Linearität einer Diode Der Strom ID durch eine Diode als Funktion der anliegenden Spannung UD wird über die sogenannte Shockley-Gleichung berechnet. UD ID IS e n UT 1 (9.8) Dabei ist IS der Sättigungssperrstrom, n der Emissionskoeffizient und UT die Temperaturspannung [Stin15]. Es wird geprüft, ob die Diode ein lineares Bauteil ist. Die Ströme ID1 und ID2 bei den Spannungen UD1 und UD2 ergeben sich mit der Shockley-Gleichung zu UD 1 ID1 IS e n UT 1 (9.9) beziehungsweise ID 2 nUUD 2 IS e T 1 Wird das System mit der Linearkombination der Eingangspannungen (9.10) U D a U D1 b U D 2 (9.11) angeregt, ergibt sich der Diodenstrom nUUD aUDn1UbUD 2 anUUD1 bnUUD 2 T T I D IS e 1 IS e 1 IS e T e T 1 UD 1 UD 2 a IS e nUT 1 b IS e nUT 1 a ID1 b ID 2 (9.12) Der Strom ID durch die Diode ist nichtlinear zur Spannung UD, die an der Diode anliegt. Eine Diode ist damit ein nichtlineares Bauteil. Ein ohmscher Widerstand ist ein lineares Bauelement. Linearität ist eine idealisierte Eigenschaft. Zum Beispiel wird sich der Widerstand R nichtlinear verhalten, wenn in ihm eine hohe Verlustleistung umgesetzt wird und er sich erhitzt. Die Linearität von Zweipolen kann auch daran abgelesen werden, dass Spannungen und Ströme proportional zueinander sind. Da eine Diode ein nichtlineares Bauteil ist, ist auch eine Schaltung mit mindestens einer Diode nichtlinear. Die Analyse von Schaltungen mit nichtlinearen Bauelementen wird in Kapitel 10.2 behandelt. 9.2 Analyse eines linearen Netzwerks Die Idee des linearen Zweipols kann auf lineare Netzwerke mit mehreren Quellen erweitert werden. Zur Motivation werden zwei Netzwerke analysiert, die in Bild 9.2 und Bild 9.3 dargestellt sind. R1 U1 R2 UR 3 R3 Bild 9.2: Motivation des Superpositionsprinzips: erster Schaltungsteil In dieser Schaltung sind die Widerstände R2 und R3 parallel geschaltet. Der Spannungsabfall UR3 am Widerstand R3 lässt sich deshalb nach der Spannungsteilerregel berechnen. R2 R3 R2 || R3 R2 R3 R2 R3 UR 31 U1 U1 U1 R R R1 R2 || R3 R1 R2 R1 R3 R2 R3 R1 2 3 R2 R3 (9.13) R1 R2 UR 3 R3 U2 Bild 9.3: Motivation des Superpositionsprinzips: zweiter Schaltungsteil Bei der Schaltung in Bild 9.3 sind die Widerstände R1 und R3 parallel geschaltet. Der Spannungsabfall UR3 am Widerstand R3 kann wieder mit der der Spannungsteilerregel berechnen werden. UR 32 R1 R3 R1 || R3 R1 R3 R1 R3 U2 U2 U2 R R R2 R1 || R3 R1 R2 R1 R3 R2 R3 R2 1 3 R1 R3 (9.14) Die beiden Schaltungen in Bild 9.2 und Bild 9.3 sind identisch, nur die Spannungsquelle befindet sich in unterschiedlichen Zweigen. In Kapitel 5 wird die Schaltung mit beiden Spannungsquellen über die Maschen- und Knotenregel analysiert. R1 U1 R2 UR 3 R3 U2 Bild 9.4: Motivation des Superpositionsprinzips: Kombination beider Schaltungsteile Bei dieser Schaltung ergibt sich die Spannung UR3 am Widerstand R3 zu UR 3 R2 R3 R1 R3 U1 U2 R1 R2 R1 R3 R2 R3 R1 R2 R1 R3 R2 R3 (9.15) Ein Vergleich der Gleichungen (9.13), (9.14) und (9.15) zeigt, dass sich die Spannung UR3 bei Kombination der beiden Schaltungsteile aus den Teilspannungen UR 3 UR 31 UR 32 (9.16) zusammensetzt. Dieser Sachverhalt tritt immer dann auf, wenn es sich um ein Netzwerk handelt, das ausschließlich aus linearen Bauelementen und idealen Quellen besteht. Eine Verallgemeinerung dieser Idee führt zum sogenannten Superpositionsprinzip. 9.3 Superpositionsprinzip Ein Netzwerk, das ausschließlich aus linearen Bauelementen und idealen Quellen besteht, wird als lineares Netzwerk bezeichnet. In linearen Netzwerken überlagern sich die einzelnen Wirkungen unterschiedlicher Quellen auf einen Strom oder eine Spannung linear. Jeder Zweigstrom beziehungsweise jede Zweigspannung ergibt sich aus der richtungsabhängigen Summe aller Strom- beziehungsweise Spannungskomponenten, die die einzelnen Quellen für sich alleine durch den betreffenden Zweig treiben würden. Diese Überlagerung wird als Superposition bezeichnet. Der mathematische Beweis dieses Prinzips erfolgt über das Knotenpotenzialverfahren in Kapitel Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.. Sind in einem Netzwerk mehrere Quellen enthalten, werden zunächst die Wirkungen der einzelnen Quellen berechnet. Alle anderen Quellen verhalten sich passiv, ihre Spannungen und Ströme werden zu null gesetzt. Passive Spannungsquellen werden wie bei der Berechnung des Innenwiderstandes bei dem Satz der Ersatzquelle in Kapitel 8.1.4 durch einen Kurzschluss ersetzt. Passive Stromquellen werden dagegen durch einen Leerlauf ersetzt, was einem Entfernen der Stromquelle entspricht. Das Verfahren wird für jede Quelle durchgeführt. Die Gesamtwirkung, das heißt die Gesamtspannung oder der Gesamtstrom, ergibt sich dann aus der Summe der einzeln errechneten Teilspannungen beziehungsweise Teilströme. Das Superpositionsprinzip führt zu einfacheren und übersichtlicheren Lösungswegen zur Netzwerkberechnung. Tabelle 9.1: Ersetzen von passiven Spannungs- und Stromquellen beim Superpositionsprinzip Ideale Spannungsquelle Kurzschluss, Quelle wird kurzgeschlossen UQ Ideale Stromquelle IQ Leerlauf, Quelle wird entfernt Beispiel: Beispiel zum Superpositionsprinzip Zur Verdeutlichung des Superpositionsprinzips wird das Netzwerk aus Bild 9.5 analysiert. Es besteht aus idealen Quellen und ohmschen Widerständen. Es handelt sich damit um ein lineares Netzwerk. R1 UA R3 R2 I0 U0 R4 Bild 9.5: Lineares Netzwerk mit Spannungs- und Stromquelle Zur Berechnung der Ausgangsspannung UA wird das Superpositionsprinzip verwendet. Im ersten Schritt wird die Stromquelle zu null gesetzt. Gemäß den in Tabelle 9.1 aufgeführten Regeln wird die Stromquelle entfernt. Es ergibt sich das in Bild 9.6 gezeigt Ersatzschaltbild. R1 UA R3 R2 U0 R5 Bild 9.6: Netzwerk mit passiver Stromquelle Der Widerstand R1 war in Reihe zur Stromquelle geschaltet. Da der Zweig unterbrochen ist, hat der Widerstand keine Funktion mehr. Der Widerstand R3 ist parallel zur Spannungsquelle geschaltet, er geht in die Berechnung der Spannung UA nicht ein. Die Ausgangspannung ergibt sich in diesem Fall zu U A1 R2 U0 R2 R5 (9.17) Im zweiten Schritt wird die Spannungsquelle U0 zu null gesetzt. Nach den in Tabelle 9.1 aufgeführten Regeln wird die Spannungsquelle damit durch einen Kurzschluss ersetzt. Bild 9.7 zeigt das resultierende Ersatzschaltbild. R1 UA R3 R2 I0 R4 Bild 9.7: Netzwerk mit passiver Spannungsquelle Da der Widerstand R3 parallel zur Spannungsquelle geschaltet ist, wird er kurzgeschlossen und hat keine Funktion mehr. Der Widerstand R1 ist in Reihe zur Stromquelle I0 geschaltet und geht deshalb in die Berechnung der Spannung UA nicht ein. Damit ergibt sich eine Parallelschaltung von R2 und R4, die von einem Strom I0 durchflossen wird. Unter Berücksichtigung der Zählpfeilrichtung berechnet sich die Ausgangsspannung nach dem Ohmschen Gesetz zu U A2 R2 R 4 I0 R2 R 4 (9.18) Beide Teilergebnisse werden überlagert, und es ergibt sich die Ausgangsspannung U A 2 U A1 U A 2 R2 R R U 0 2 4 I0 R2 R5 R2 R 4 (9.19) Das Beispiel zeigt, wie Schaltungen mit mehreren Quellen mithilfe des Superpositionsprinzips in übersichtliche Teilschaltungen zerlegt werden können. Die Berechnung der Spannungen und Ströme wird dadurch vereinfacht und übersichtlicher. 9.4 Bedeutung des Superpositionsprinzips Viele Aufgabenstellungen der Elektrotechnik können in guter Näherung mit linearen Netzwerken beschrieben werden, die mehrere Quellen aufweisen. Beispiele dazu sind Hochspannungsnetze zur elektrischen Energieversorgung elektrische Speicher und ihre Ladungsregelungen elektrische Messsysteme Auch elektronische Netzwerke können über lineare Netzwerke beschrieben und mit dem Superpositionsprinzip analysiert werden. In Kapitel 12 werden Operationsverstärkerschaltungen behandelt, die mit dem Superpositionsprinzip berechnet werden können. Ergänzend dazu wird in diesem Abschnitt eine Transistorschaltung mit einem linearen Netzwerk beschrieben. Dabei wird die Transistorschaltung im sogenannten aktiven Bereich mit einem Ersatzschaltbild charakterisiert. Auch ohne Verständnis der eigentlichen Transistorschaltung verdeutlicht das Beispiel die Leistungsfähigkeit des Superpositionsprinzips. Transistorschaltung Ersatzschaltbild für den aktiven Bereich RC RC RB IB RB UBE 0 U2 UA U1 RE IB U1 U2 UA RE Bild 9.8: Transistorschaltung und ihr elektrisches Ersatzschaltbild im aktiven Bereich Das Ersatzschaltbild weist ausschließlich lineare Bauelemente und ideale Quellen auf. Einen Sonderfall nimmt die ideale Stromquelle ein, die eine sogenannte gesteuerte Quelle ist (Kapitel 11.2). Zur Berechnung der Schaltung wird der Strom IB benötigt. Er wird im Folgenden über das Superpositionsprinzip bestimmt. Aktive Spannungsquelle U1 Im ersten Schritt werden alle Quellen bis auf die Eingangsspannung U1 zu null gesetzt. Mit den Regeln in Tabelle 9.1 ergibt sich das in Bild 9.9 gezeigt Ersatzschaltbild. RB IB U1 RE Bild 9.9: Ersatzschaltbild für U1 als aktive Quelle Der Basisstrom errechnet sich in diesem Fall mit dem ohmschen Gesetz zu IB1 U1 RB RE (9.20) Aktive Spannungsquelle UBE0 Im zweiten Schritt werden alle Quellen bis auf die Spannung UBE0 zu null gesetzt. Es ergibt sich das das in Bild 9.10 gezeigt Ersatzschaltbild. RB IB UBE 0 RE Bild 9.10: Ersatzschaltbild für UBE0 als aktive Quelle Wieder berechnet sich die Ausgangsspannung mit dem ohmschen Gesetz. Unter Berücksichtigung der Zählpfeilrichtungen ergibt sich IB 2 UBE 0 RB RE (9.21) Aktive Stromquelle Im dritten Schritt werden alle Quellen bis auf die Stromquelle zu null gesetzt. Das Ersatzschaltbild ist in Bild 9.11 dargestellt. RB RC IB IB URE RE Bild 9.11: Ersatzschaltbild mit aktiver Stromquelle Der Strom der Quelle fließt durch die Parallelschaltung von RB und RC. Damit berechnet sich die Spannung an den Widerständen RE und RB zu URE IB RB || RE IB RB RE RB RE (9.22) Mit dem ohmschen Gesetz ergibt sich unter Berücksichtigung der Zählpfeilrichtung IB 3 URE IB RB RE RE IB RB RB RB RE RB RE (9.23) Aktive Spannungsquelle U2 Ist die Spannungsquelle U2 aktiv, ist die Stromquelle definitionsgemäß passiv und wird aus der Schaltung entfernt. Damit ist aber auch die Spannungsquelle U2 von der Schaltung abgekoppelt. Sie hat keinen Einfluss auf den Strom IB und wirkt sich erst auf die Berechnung der Ausgangsspannung aus. Überlagerung der Teilwirkungen Der Gesamtstrom IB errechnet sich aus der Überlagerung der Teilwirkungen. IB I B1 I B 2 I B 3 UBE 0 U1 RE IB RB RE RB RE RB RE (9.24) Da der Strom auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt, muss die Gleichung über IB IB und U UBE 0 RE 1 RB RE RB RE (9.25) IB RB RE RE U1 UBE 0 (9.26) nach dem Strom IB aufgelöst werden zu IB U1 UBE 0 RB RE 1 (9.27) Damit berechnet sich der Strom durch den Widerstand RC zu IC U1 UBE 0 RB RE 1 (9.28) Die gesuchte Ausgangsspannung UA ergibt sich über die Versorgungsspannung U2 und den Spannungsabfall am Widerstand RC zu U A U2 RC IC U2 RC U1 UBE 0 RB RE 1 (9.29) Wie in diesem Beispiel werden in unterschiedlichen Disziplinen der Elektrotechnik komplexe Aufgabenstellungen in Teilaufgaben zerlegt, die eine übersichtliche analytische Lösung erlauben. Das hier eingeführte Superpositionsprinzip wird nicht nur in der klassischen Elektrotechnik eingesetzt. Es eignet sich darüber hinaus zur Beschreibung elektromagnetischer Felder sowie linearer Systeme in der Systemtheorie und Regelungstechnik. 9.5 9.5.1 Literaturverzeichnis Literaturstellen zu den behandelten Grundlagen Elektrotechnik [Fueh11] A. Führer, K. Heidemann, W. Nerretter: Grundgebiete der Elektrotechnik: Band 1, 9. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2011 [Lind14] H. Lindner: Elektro-Aufgaben: Band 1, 30. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2014 9.5.2 Weiterführende Literatur zu den Beispielen [Stin15] 9.5.3 L. Stiny: Aktive elektronische Bauelemente, 2. Auflage, Springer ViewegVerlag, Wiesbaden, 2015 Interessante WEB-Links zum Thema [Leif16] Leifiphysik Elektrizitätslehre, http://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre Erklärung elektrischer Effekte mit Animationen, Versuchen und Aufgaben auf gut verständlichem Niveau, Zugriff 30.08.2016 [Simp16] TheSimplePhysics Elektrizität / E-Lehre, https://www.youtube.com/playlist?list=PLtChQtYYwX2OOFfJvpN_a3uLuoXG-_vD8 TheSimplePhysics, Online-Nachhilfe mit Lernvideos, Zugriff 30.08.2016 [Lbsb16] Landesbildungsserver Baden-Württemberg, http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_1/ Sammlung von Unterrichtsmaterialien für Schulen, Zugriff 30.08.2016 10 Verbindung von Zweipolen In diesem Kapitel wird die Verbindung eines aktiven und eines passiven Zweipols diskutiert. Dabei wird zunächst von linearen Zweipolen ausgegangen. Das vorgestellte Verfahren eignet sich aber darüber hinaus auch für die Bestimmung von Spannung und Strom bei nichtlinearen Zweipolen. Ausgangspunkt ist der Betrieb eines passiven Zweipols an einer linearen Quelle. I1 I2 RI U0 U1 U2 RL Bild 10.1: Stromkreis mit Quelle und ohmschen Widerstand als Verbraucher Wenn eine Quelle über verlustfreie Leitungen mit einem Verbraucher verbunden ist, sind die Spannungen an den Klemmen der beiden Zweipole gleich groß. U1 U2 U A (10.1) Da bei der Quelle das Erzeugerpfeilsystem und beim Verbraucher das Verbraucherpfeilsystem angewendet wird, herrscht im Stromkreis in Bild 10.1 überall die gleiche Stromstärke. I1 I2 I A (10.2) Der Strom IA und die Spannung UA, die sich in der Schaltung einstellen, werden als Arbeitspunkt bezeichnet. Sie können analytisch oder grafisch ermittelt werden. 10.1 Analytische Bestimmung der Ströme und Spannungen bei linearem Verbraucher Die Zweipolgleichung der lineare Spannungsquelle lautet U1 U0 RI I1 (10.3) Der Verbraucher ist ein ohmscher Widerstand mit der Zweipolgleichung U2 RL I2 (10.4) Die Ströme I1 und I2, die sich in der Schaltung einstellen, entsprechen dem Strom IA im Arbeitspunkt. Die Spannungen U1 und U1, die sich in der Schaltung einstellen, entsprechen der Spannung UA im Arbeitspunkt. Mit diesen Voraussetzungen ergeben sich die beiden Gleichungen UA U0 RI IA (10.5) U A RL I A (10.6) Damit liegen zwei unabhängige Gleichungen für UA und IA vor. Die Lösung lässt sich bestimmen, in dem die beiden Gleichungen voneinander subtrahiert werden. 0 U0 RI IA RL IA (10.7) Diese Gleichung lässt sich nach der Unbekannten IA auflösen, und es ergibt sich der Strom IA U0 RI RL (10.8) Dieser Strom kann in eine der beiden Gleichungen (10.5) oder (10.6) eingesetzt werden, und es ergibt sich die Klemmenspannung U A RL U0 RL U0 RI RL RI RL (10.9) Da die Gleichung für die Quelle (10.5) und die Gleichung für den Verbraucher (10.6) voneinander unabhängig sind, ergibt sich eine eindeutige Lösung. 10.2 Grafische Bestimmung der Ströme und Spannungen Der auf analytischem Weg berechnete Strom IA und die Spannung UA können auch grafisch bestimmt werden. Dazu werden die beiden I-U-Kennlinien in ein gemeinsames Diagramm eingetragen. Da die Zählpfeile für die Ströme I1 und I2 und die Spannungen U1 und U2 identisch sind, können die I-UKennlinien von Quelle und Verbraucher in das gleiche Diagramm eingezeichnet werden. Linearer Verbraucher Bild 10.2 stellt die Kennlinien für die Schaltung aus Bild 10.1 dar. Quelle Verbraucher I Strom I = I1 = I2 K I Arbeitspunkt A 0 0 UA U0 Spannung U = U1 = U2 Bild 10.2: I-U-Kennlinien von Quelle und Verbraucher mit Arbeitspunkt A Da es sich um einen ohmschen Widerstand handelt, ist die I-U-Kennlinie des Verbrauchers eine Ursprungsgerade. Die Bedingungen I1 = I2 und U1 = U2 sind nur im Schnittpunkt beider Kennlinien erfüllt. Dieser Schnittpunkt ergibt den sogenannten Arbeitspunkt A. Er ist gekennzeichnet durch das oben bereits analytisch bestimmte Wertepaar UA und IA. U A U1 U2 (10.10) I A I1 I2 (10.11) Nichtlinearer Verbraucher Das im Folgenden beschriebene grafische Verfahren ist besonders dann vorteilhaft, wenn die Kennlinie der Quelle oder des Verbrauchers nichtlinear ist. Die Lösung zweier Gleichungen mit den beiden Unbekannten I und U, von denen eine Gleichung nichtlinear ist, ist nur in Sonderfällen analytisch lösbar. Mit der grafischen Methode können der Strom IA und die Spannung UA jedoch stets ermittelt werden. Dies wird im nächsten Beispiel verdeutlicht, bei dem eine Diode an eine lineare Quelle angeschlossen wird. Die Schaltung ist in Bild 10.3 dargestellt. I1 I2 RI U1 U0 U2 Bild 10.3: Schaltung aus idealer Spannungsquelle, Widerstand und Diode Die Kennlinie der Diode liegt grafisch vor und ist in Bild 10.4 dargestellt. Die verbleibende Schaltung bestehend aus einer idealen Spannungsquelle und dem Innenwiderstand kann als lineare Quelle interpretiert werden. Quelle Verbraucher I Strom I = I1 = I2 K I A 0 0 Arbeitspunkt UA U0 Spannung U = U1 = U2 Bild 10.4: Lineare I-U-Kennlinien von Quelle und nichtlinearem Verbraucher (Diode) Die Leerlaufspannung der linearen Quelle ist U0, im Diagramm als Schnittpunkt der Gerade mit der U-Achse zu erkennen. Der Kurzschlussstrom IK = - U0 / RI ist der Schnittpunkt der Geraden mit der I-Achse. Die Gerade, die die Strom-Spannungskennlinie der linearen Quelle beschreibt, und die Kennlinie der Diode werden in ein gemeinsames Diagramm eingezeichnet. Der Schnittpunkt der beiden Kennlinien ergibt wieder den Arbeitspunkt, der durch das Wertepaar IA und UA festgelegt ist. Die Bestimmung des Arbeitspunktes gelingt mit dem grafischen Verfahren immer. Das grafische Verfahren wird bei linearen Lasten angewendet, wenn ein Überblick über die Lage des Arbeitspunktes gefunden werden soll oder eine Kennlinie nur als grafische I-U-Kennlinie vorliegt. Bei nichtlinearen Zweipolen wird der Arbeitspunkt typischerweise grafisch bestimmt, da eine analytische Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems nicht immer möglich oder aufwendig ist. Beispiel: Betrieb einer Leuchtdiode an einer 3.3 V Spannungsquelle Bei einem Mikro-Controller soll ein aktiver Ausgang durch das Leuchten einer Leuchtdiode (LED) angezeigt werden. Die Beschaltung ist in Bild 10.5 dargestellt. UR ID R UD U0 Bild 10.5: Leuchtdiode an dem Ausgang eines Mikro-Controllers Leuchtdioden können wie normale Dioden betrachtet werden. Sie leuchten, wenn ein ausreichend großer Strom in Durchlassrichtung fließt. LEDs haben eine höhere Durchlassspannung als normale Dioden. Sie liegt je nach Typ der Leuchtdiode zwischen 1,5 und 4,0 Volt (Tabelle 10.1). Tabelle 10.1: Durchbruchspannung unterschiedlicher Leuchtdiodentypen [MIKR16] Farbe Rot Gelb Grün Blau Weiß Durchlassspannung 1,8 V 2,0 V 2,2 V 3,6 V 3,6 V Der Ausgang des Mikro-Controllers hat eine Ausgangsspannung von U0 = 3,3 V. Der Innenwiderstand kann in dem relevanten Betriebsbereich vernachlässigt werden. Es soll ein Betriebsstrom von ID = 15 mA erreicht werden. Dazu benötigt die Leuchtdiode nach der Kennlinie in Bild 10.6 eine Spannung von UD = 1,95 V. Der Rest der Spannung soll bei demselben Strom am Vorwiderstand abfallen. Der Widerstand berechnet sich damit zu R UR U0 UD 3,3 V 1,95 V 90 ID ID 0,015 mA (10.12) Der Widerstand R und die Mikro-Controller-Spannungsquelle bilden zusammen eine lineare Quelle. Die Schnittpunkte der Kennlinien der Diode und der linearen Quelle ergeben den Arbeitspunkt. 40 Lineare Quelle Diode Strom I / mA 30 20 Arbeitspunkt 10 0 0 1 2 Spannung U / V 3 4 Bild 10.6: I-U-Kennlinien von Mikro-Controller-Ausgang und Leuchtdiode bei Betrieb mit einem Lastwiderstand von R = 90 In der Leuchtdiode wird eine zulässige Leistung von PD UD ID 1,95 V 0,015 mA 20 mW (10.13) umgesetzt. 10.3 Leistungsanpassung Wird ein Verbraucher an eine reale Quelle angeschlossen, fließt sowohl durch den Innenwiderstand als auch durch den Lastwiderstand derselbe Strom. Die im Innenwiderstand der Quelle und die im Lastwiderstand umgesetzte Leistungen sind von diesem Strom abhängig. Bei einer Leistungsanpassung werden die Widerstände so dimensioniert, dass die im Verbraucher umgesetzte Leistung maximal wird. Herleitung der Anpassungsbedingung In der Schaltung Bild 10.7 wird eine lineare Spannungsquelle mit Innenwiderstand mit einem ohmschen Verbraucher belastet. Für diese Schaltung wird eine Leistungsanalyse durchgeführt. I1 I2 RI U0 U1 U2 RL Bild 10.7: Verbindung einer linearen Spannungsquelle mit einem Verbraucher Die Leistung, die der Verbraucher aufnimmt, beträgt P2 U2 I2 Der Strom I2 ergibt sich aus der Anwendung des ohmschen Gesetzes auf RI zu (10.14) I2 I1 U U1 U0 U2 URI 0 RI RI RI (10.15) Damit ergibt sich die Verbraucherleistung P2 P2 U2 I2 U 2 U0 U 2 1 U0 U 2 U 22 RI RI (10.16) Wegen des negativen Vorzeichens vor U22 ist das eine nach unten geöffnete Parabel. Für U2 = 0 ist die Leistung P2 = 0, sodass die Parabel durch den Ursprung geht. Bild 10.8 zeigt die Verbraucherleistung als Funktion der Spannung U2. Leistungsanpassung P Leistung P2 2MAX 0 0 U2MAX U0 Spannung U2 Bild 10.8: Verbraucherleistung als Funktion der Klemmenspannung U2 Der Scheitelpunkt der Parabel kann bestimmt werden, indem die Steigung der Parabel ermittelt und zu null gesetzt wird P2 1 U 0 2 U 2 U2 RI (10.17) Diese Steigung ist im Maximum von P2 null. P2 1 U0 2 U2MAX 0 U2 RI (10.18) In diesem Punkt stellt sich die Spannung U2MAX ein, die sich berechnet aus U2MAX U0 2 (10.19) Aus Gleichung (10.15) ergibt sich die zugehörige Stromstärke I2MAX I2MAX U0 2 U 0 IK RI 2 RI 2 U0 Für den Punkt U2 = U2MAX und I2 = I2MAX ergibt sich die Leistung zu (10.20) P2MAX U 2MAX I2MAX U 0 IK U2 0 4 4 RI (10.21) und der Lastwiderstand muss den Wert RLMAX U2MAX U0 2 U0 2 RI RI I2MAX 2 IK 2 U0 (10.22) aufweisen. Dieser Betriebspunkt wird Leistungsanpassung genannt. Ein Verbraucher entnimmt einer linearen Quelle maximale Leistung, wenn sein Widerstand genauso groß ist wie der Innenwiderstand der Quelle: RL = RI. Diese Bedingung für die beiden Widerstände wird als Anpassungsbedingung bezeichnet. Wegen der Äquivalenz von linearer Strom- und Spannungsquelle gilt entsprechend für die Leistungsanpassung bei einer linearen Stromquelle GL 1 1 GI RL RI P2MAX I02 RI I2 0 4 4 GI (10.23) (10.24) Anwendungen der Leistungsanpassung In der Nachrichtentechnik und in der Messtechnik sind die Leistungen von Quellen gewöhnlich relativ klein. Hier wird die Leistungsanpassung häufig vorgenommen, da zum Beispiel in dem Fall einer Antenne die maximale Leistung entnommen werden kann. Ein Betrieb einer Quelle mit RL RI wird als Fehlanpassung bezeichnet, wobei ein Betrieb mit RL < RI als Unteranpassung und ein Betrieb mit RL > RI als Überanpassung unterschieden werden. Bei großen Leistungen, wie sie in der Energie- und Kraftwerkstechnik auftreten, würde bei Leistungsanpassung die Quelle unzulässig erwärmt werden, da wegen RL = RI die gleichen Leistungen in RL und RI umgesetzt werden. Außerdem wären der niedrige Wirkungsgrad und der hohe Spannungsabfall ungünstig und nicht im Sinne der Energieversorgungsunternehmen. In der Energietechnik sind daher die Betriebsströme kleiner als 10 % des Kurzschlussstroms. Auch beim sinnvollen Einsatz einer Batterie wird der maximale Strom deutlich kleiner als 10 % des Kurzschlussstroms sein. Bei der Solarzelle ist eine Leistungsanpassung sinnvoll, da in diesem Fall die maximale Leistung aus der Zelle entnommen werden soll. Bei einer Solarzelle wird das Maximum der Leistung anhand der I-U-Kennlinie ermittelt. Zur Leistungsanpassung wird eine Schaltung angeschlossen, die den optimalen Arbeitspunkt einstellt. Zusammenfassung Tabelle 10.2 fasst die Bedingung für Leistungsanpassung zusammen. Tabelle 10.2: Zusammenfassung Leistungsanpassung Leistungsanpassung, maximale Leistung im Lastwiderstand bei Betreib mit linearer Quelle RL RI Unteranpassung RL RI Überanpassung RL RI Beispiel: Maximum-Power-Point bei einer Solarzelle In einem Versuch mit Solarzellen soll der Lastwiderstand ermittelt werden, bei dem die Solarzelle ihre maximale Leistung abgibt. Da die Solarzelle wegen des PN-Übergangs keine lineare Quelle ist, wird der Punkt der maximalen Leistungsabgabe experimentell bestimmt. Dazu wird der Ausgang der Solarzelle mit einem variablen Widerstand belastet. IL UL Solarzelle RL Bild 10.9: Versuchsaufbau zur Ermittlung des Maximum-Power-Point einer Solarzelle Für unterschiedliche Widerstände RL ergeben sich unterschiedliche Kombinationen von Ausgangsstrom IL und Ausgangsspannung UL, die in Tabelle 10.3 und Tabelle 10.4 für direkte Sonneneinstrahlung und Schatten aufgeführt sind. Auf Basis dieser Messwerte wird das Leistungsmaximum numerisch bestimmt. Tabelle 10.3: Ausgangsstrom und Ausgangsspannung bei direkter Sonneneinstrahlung und Belastung eines Solarmoduls mit unterschiedlichen Lastwiderständen IL / mA 10 30 40 50 70 80 100 110 120 138 UL / V 2,85 2,75 2,70 2,62 2,44 2,32 2,05 1,92 1,67 0,20 PL / mW 28,5 82,5 108,0 131,0 170,8 185,6 205,0 211,2 200,4 27,6 Tabelle 10.4: Ausgangsstrom und Ausgangsspannung bei Betrieb im Schatten und Belastung eines Solarmoduls mit unterschiedlichen Lastwiderständen IL / mA 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 7,5 8,8 10,0 11,5 13,0 UL / V 1,60 1,56 1,52 1,48 1,42 1,25 1,12 0,98 0,54 0,10 PL / mW 1,60 3,12 4,56 5,92 7,10 9,38 9,76 9,80 6,21 1,30 Die Strom-Spannungskennlinien sind für beide Betriebsarten in Bild 10.10 dargestellt. Betrieb bei direkter Sonneneinstrahlung Betrieb im Schatten 3 2 1,75 Spannung UL / V Spannung UL / V 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 25 50 75 100 Strom IL / mA 125 0 0 150 2,5 5 7,5 10 Strom IL / mA 12,5 15 Bild 10.10: Strom-Spannungskennlinien der Solarzelle für den Betrieb bei direkter Sonneneinstrahlung und für den Betrieb im Schatten Es zeigt sich, dass eine Solarzelle eine nichtlineare Quelle ist. Die Kennlinien für den Betrieb bei direkter Sonneneinstrahlung und für den Betrieb im Schatten unterscheiden sich erwartungsgemäß. Die Leistung, die in dem Widerstand umgesetzt wird, ergibt sich für jedes Wertepaar aus dem Produkt von Spannung und Strom. Sie ist ebenfalls in die beiden Tabellen eingetragen und in Bild 10.11 als Funktion des Ausgangsstrom IL dargestellt. Betrieb bei direkter Sonneneinstrahlung Betrieb im Schatten 250 Leistung Maximale Leistung 12,5 Leistung PL / mW Leistung PL / mW 200 15 150 100 50 0 0 Leistung Maximale Leistung 10 7,5 5 2,5 25 50 75 100 Strom IL / mA 125 150 0 0 2,5 5 7,5 10 Strom IL / mA 12,5 15 Bild 10.11: Verbraucherleistung als Funktion des Stroms IL der Solarzelle für den Betrieb bei direkter Sonneneinstrahlung und für den Betrieb im Schatten Aufgrund des nichtlinearen Verhaltens bildet sich keine klassische Parabel, wie sie zum Beispiel in Bild 10.8 zu sehen ist. Aber auch in diesen Beispielen stellt sich ein Leistungsmaximum ein. Bei direkter Sonneneinstrahlung wird bei einem Strom von 110 mA eine Leistung von 211 mW erreicht. Im Schatten wird bei einem Strom von 10 mA ein Leistungsmaximum 9,8 mW erreicht. Dieser Betriebspunkt wird als Maximum-Power-Point bezeichnet. Die Schaltung, die die elektrische Leistung der Solarzelle weiterverarbeitet, wird den Strom in Abhängigkeit der Sonneneinstrahlung so einstellen, dass der Solarzelle immer die maximale Leistung entnommen wird. 10.4 Literaturverzeichnis 10.4.1 Literaturstellen zu den behandelten Grundlagen Elektrotechnik [Fueh11] A. Führer, K. Heidemann, W. Nerretter: Grundgebiete der Elektrotechnik: Band 1, 9. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2011 [Lind14] H. Lindner: Elektro-Aufgaben: Band 1, 30. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2014 10.4.2 Weiterführende Literatur zu den Beispielen [MIKR16] Plattform für Anwender von Mikrocontrollern Mikrocontroller.net, http://www.mikrocontroller.net/articles/LED Artikel LED, Zugriff 06.10.2016 10.4.3 Interessante WEB-Links zum Thema [Leif16] Leifiphysik Elektrizitätslehre, http://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre Erklärung elektrischer Effekte mit Animationen, Versuchen und Aufgaben auf gut verständlichem Niveau, Zugriff 30.08.2016 [Simp16] TheSimplePhysics Elektrizität / E-Lehre, https://www.youtube.com/playlist?list=PLtChQtYYwX2OOFfJvpN_a3uLuoXG-_vD8 TheSimplePhysics, Online-Nachhilfe mit Lernvideos, Zugriff 30.08.2016 [Lbsb16] Landesbildungsserver Baden-Württemberg, http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_1/ Sammlung von Unterrichtsmaterialien für Schulen, Zugriff 30.08.2016 11 Vierpole In den vorhergehenden Kapiteln werden ausschließlich elektrische Netzwerke behandelt, die aus Zweipolen bestehen und wiederum selbst Zweipole sind. Diese Netzwerke und Bauelemente sind nur an zwei Klemmen zugänglich und durch das Strom-Spannungs-Verhalten mathematisch beschrieben. Neben den Zweipolschaltungen gibt es auch elektrische Netzwerke und Bauteile, die vier Klemmen besitzen. Sie werden als Vierpole bezeichnet. Eine Untergruppe der Vierpole sind sogenannte Zweitore, bei denen ein Klemmenpaar als Eingangsklemmen und das andere als Ausgangsklemmen bezeichnet werden. Typische Beispiele sind Transformatoren und Verstärker, die vor allem in der Energietechnik und in der Informationstechnik Verwendung finden. Im Kapitel 12 werden Operationsverstärker beschrieben, die zwei Ein- und zwei Ausgangsklemmen aufweisen und damit ebenfalls Zweitore sind. In diesem Kapitel werden unterschiedliche Beschreibungsformen für das Verhalten von Vierpolen und insbesondere Zweitore vorgestellt. Beim ersten Verfahren wird das Klemmenverhalten von Eingang und Ausgang über Matrizen beschrieben. Dieses Verfahren wird zum Beispiel in der Energie- oder Nachrichtentechnik genutzt, um das Verhalten von Leitungen zu beschreiben. Auch wenn sich das Verfahren zur Beschreibung von Verstärkerschaltungen nicht durchgesetzt hat, wird es an einem einfachen Beispiel kurz skizziert und diskutiert. Transistor- und Verstärkerschaltungen werden bevorzugt über gesteuerte Quellen beschrieben. Dieses wichtige zweite Verfahren wird in diesem Kapitel eingeführt. Sie sind Voraussetzung für das Verständnis von den in Kapitel 12 behandelten Operationsverstärkerschaltungen. 11.1 Beschreibung des Klemmenverhaltens von linearen Vierpolen Ein Vierpol ist ein elektrisches Netzwerk mit vier Anschlüssen, das aus verschiedenen elektrischen oder elektronischen Bauteilen besteht. Typischerweise werden zwei dieser Anschlüsse als Eingang und die beiden anderen als Ausgang angesehen. Bild 11.1 stellt Vierpole und die Bezeichnung der Ein- und Ausgangsklemmen dar. I11 I21 Vierpol U1 I12 I1 U2 I22 I2 Zweitor U1 I1 U2 I2 Bild 11.1: Schaltzeichen und Zählpfeile für allgemeine Vierpole und den Sonderfall der Zweitore Im Allgemeinen müssen die Ströme I11 und I12 sowie I21 und I22 nicht gleich groß sein. In vielen Anwendungsfällen ist das jedoch der Fall. Die entsprechenden Vierpole werden als Zweitore bezeichnet. Bei Zweitoren ist der Strom I11, der in den einen Eingangsknoten fließt, genauso groß wie der Strom I12, der aus dem anderen Eingangsknoten fließt. Der Strom wird deshalb als I1 bezeichnet. Dasselbe gilt für die Ströme I21 und I22 am Ausgang. Diese Ströme werden mit I2 bezeichnet. Das entsprechende Schaltzeichen und die Zählpfeile sind Bild 11.1 zu entnehmen. Ein Zweitor ist damit eine beliebige elektronische Schaltung, die durch vier Klemmen von außen beschrieben werden kann und die Bedingungen I11 I12 I1 (11.1) I21 I22 I2 (11.2) und erfüllt. Ob ein Vierpol als Zweitor behandelt werden darf oder nicht, richtet sich nicht nur nach seinem inneren Aufbau, sondern auch nach seiner äußeren Beschaltung. Beispielsweise kann eine äußere Leitung wie in Bild 11.2 um den Vierpol herum dazu führen, dass die Bedingung I11 = I12 und I21 = I22 nicht eingehalten wird. RI U0 Zweitor RL RQ Bild 11.2: Zweitor mit äußerer Beschaltung Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass es sich bei den zu analysierenden Schaltungen um Zweitore handelt, die teilweise auch als Vierpole bezeichnet werden. In Kapitel 9 wird gezeigt, dass das Verhalten von linearen Schaltungen unabhängig von Spannung und Strom ist und dass für lineare Schaltungen das Superpositionsprinzip gilt. Es kann gezeigt werden, dass ein Zweitor, das nur aus passiven linearen Bauelementen Widerstand, Spule und Kondensatoren besteht, immer linear ist. Lineare Zweitore sind Gegenstand der klassischen Vierpoltheorie. Nur für sie gelten die linearen Zweitorgleichungen und damit die im Folgenden beschriebene Matrizendarstellung der Zweitorparameter. Typische Beispiele für lineare Vierpole sind Filter, Transformatoren und Verstärker. Bild 11.3 demonstriert an einigen Beispielen, wie unterschiedliche Schaltungen als Vierpole aufgefasst werden können. RC-Glied Transformator Nichtinvertierender Verstärker Transistorschaltung Bild 11.3: Beispiele für die Darstellung von Schaltungen als Vierpol Zum besseren Verständnis der Vierpoltheorie wird zunächst die Beschreibung von Vierpolen über Matrizen eingeführt, die aber in diesem Buch nicht weiterverfolgt wird. Bild 11.1 zeigt, dass an einem linearen Zweitor vier Größen an den Klemmen gemessen werden können, nämlich U1, U2, I1 und I2. Werden zwei dieser Größen vorgegeben, ergeben sich die beiden anderen Größen über die Zweitorgleichungen. Je nach Auswahl der abhängigen und unabhängigen Größen ergeben sich unterschiedliche lineare Gleichungssysteme in Form von Matrizengleichungen, deren wichtigste Vertreter in Tabelle 11.1 zusammengefasst sind. Tabelle 11.1: Matrizen zur Beschreibung von Vierpolen Matrix-Form Gleichung Widerstand-Matrix U1 R11 R12 I1 U2 R21 R22 I2 Leitwert-Matrix I1 G11 G12 U1 I2 G21 G22 U2 Ketten-Matrix U1 A11 A12 U2 I1 A21 A22 I2 Da die Beschreibung von Vierpolen über Matrizen in diesem Buch nicht weiterverfolgt wird, wird das Vorgehen nur an einem Beispiel aufgezeigt. Ausführliche Herleitungen und Anwendungen sind in [Altm03] zu finden. Beispiel: Beschreibung einer Schaltung mit Kettenmatrizen Eine Schaltung, die aus einem Spannungsteiler und einem Verstärker besteht, wird mit Hilfe von Kettenmatrizen beschrieben. Bild 11.4 zeigt den Schaltungsaufbau. Spannungsteiler I1 R1 U1 Verstärker mit Innenwiderstand I3 I2 R2 U2 R3 E U2 U3 Bild 11.4: Beispiel für die Beschreibung einer Schaltung mit Kettenmatrizen Die Schaltung wird in zwei Teile zerlegt. Der erste Teil ist ein Spanungsteiler, der als Vierpol beschrieben wird. Um die Kettenmatrix aufstellen zu können, müssen die Spannung U1 und der Strom I1 als Funktion von U2 und I2 beschrieben werden. Mit der Knotenregel gilt I1 U2 1 I2 U2 I2 R2 R2 (11.3) Außerdem ergibt sich für die Masche am Eingang U R R1 U1 R1 I1 U2 R1 2 I2 U2 2 U2 R1 I2 R2 R2 (11.4) Damit kann das Übertragungsverhalten des Spannungsteilers mit der Matrizengleichung R2 R1 U1 U2 R2 A1 1 I1 I2 R2 R1 U2 I2 1 (11.5) beschrieben werden. Der zweite Schaltungsteil ist ein Verstärker, dessen Ausgangsspannung U3 über den Verstärkungsfaktor E von der Eingangsspannung U2 abhängt. Es gilt der Zusammenhang U3 E U2 (11.6) beziehungsweise U2 1 U3 E Außerdem kann der Strom I2 am Eingang berechnet werden über (11.7) I2 U3 U2 R3 E R3 (11.8) Damit kann der zweite Schaltungsteil beschrieben werden als 1 U U 3 E 2 A 2 I2 I3 1 E R 3 0 U 3 I 0 3 (11.9) Der Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen U1 und I1 und den Ausgangsgrößen U3 und I3 berechnet sich über die Gleichung U3 U3 U1 U2 A1 A1 A2 A I1 I2 I3 I3 (11.10) Das Schaltungsverhalten kann mit der Matrix A beschrieben werden, die sich aus dem Produkt von A1 und A2 ergibt. R1 1 R 2 A A1 A2 1 R2 1 R1 E 1 1 E R3 R2 R1 R1 0 E R2 E R3 1 1 0 E R2 E R3 0 0 (11.11) Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen R R1 R1 U1 2 E R3 E R2 U3 (11.12) und 1 1 I1 E R E R3 2 U3 (11.13) Das Beispiel zeigt, wie mehrstufige Schaltungen mithilfe der Matrizengleichungen formell beschrieben werden können. Der Vorteil der Darstellung ist, dass komplexe Schaltungen in übersichtlichere Teile zerlegt werden können. Jeder Schaltungsteil wird über eine Matrizengleichung charakterisiert. Die Beschreibung des Gesamtsystems ergibt sich aus der Kombination der unterschiedlichen Matrizengleichungen. Allerdings gehen wegen der abstrakten Beschreibungsform Kausalzusammenhänge verloren. Zum Beispiel suggeriert Gleichung (11.13), dass der Eingangsstrom I1 unabhängig von dem Widerstand R1 ist, was aber nicht der Fall ist. Die Abhängigkeit ergibt sich über die Spannung U3. Die Schaltungsbeschreibung über Matrizen hat sich deshalb nicht allgemein durchgesetzt. 11.2 Beschreibung des Klemmenverhaltens über gesteuerte Quellen Statt der Beschreibung von Zweitoren mit Matrizen werden zur Modellierung ihres Verhaltens gesteuerte Quellen eingesetzt. Eine gesteuerte Quelle kann eine Strom- oder eine Spannungsquelle sein. Eine Steuerung kann durch einen Strom oder durch eine Spannung erfolgen. Folglich lassen sich vier verschiedene Typen von gesteuerten Quellen betrachten: Spannungsgesteuerte Spannungsquelle Stromgesteuerte Stromquelle Spannungsgesteuerte Stromquelle Stromgesteuerte Spannungsquelle Sie werden im Folgenden vorgestellt. 11.2.1 Spannungsgesteuerte Spannungsquelle Bei einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle wird eine Eingangsspannung U1 um einen Faktor E verstärkt. Das Schaltbild einer idealen spannungsgesteuerten Spannungsquelle ist in Bild 11.5 dargestellt. I1 U1 R1 I2 E U1 U2 Bild 11.5: Schaltbild einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle Die Ausgangsspannung wird durch die Gleichung U2 E U1 (11.14) beschrieben, der Verstärkungsfaktor E ist dimensionslos. Der Ausgangsstrom I2 hängt von der Beschaltung der Spannungsquelle EU1 ab. Der Eingangsstrom I1 ist von dem Eingangswiderstand R1 der Schaltung abhängig. Im Idealfall ist der Eingangswiderstand R1 unendlich groß, sodass der Eingangsstrom zu null (I1 = 0) wird und die Signalquelle nicht belastet wird. I1 U1 R1 (11.15) Typische Beispiele für spannungsgesteuerte Spannungsquellen sind Audioverstärker, die eine AudioSpannung im Bereich von 500 mV verstärken und den Lautsprechern die erforderliche Leistung zur Verfügung stellen. Auch der in Kapitel 12 behandelte Operationsverstärker wird als spannungsgesteuerte Spannungsquelle aufgefasst. 11.2.2 Stromgesteuerte Stromquelle Bei einer stromgesteuerten Stromquelle wird ein Eingangsstrom I1 um einen Faktor F verstärkt. Das Schaltbild ist in Bild 11.6 angegeben. I1 I2 F I1 U1 U2 R1 Bild 11.6: Schaltbild einer stromgesteuerten Stromquelle Der Ausgangsstrom wird durch die Gleichung I2 F I1 (11.16) beschrieben, der Verstärkungsfaktor F ist dimensionslos. Die Spannung U2 hängt von der Beschaltung der Stromquelle ab. Der Eingangsspannung U1 ist von dem Eingangswiderstand R1 abhängig. Im Idealfall ist der Eingangswiderstand R1 unendlich klein, sodass am Eingang keine Spannung abfällt (U1 = 0). U1 R1 I1 (11.17) Stromgesteuerte Stromquellen werden insbesondere bei der Schaltungsberechnung mit Transistoren verwendet. Dabei wird der sogenannte Kollektorstrom als ein vom sogenannten Basisstrom gesteuerter Strom aufgefasst. 11.2.3 Spannungsgesteuerte Stromquelle Bei einer spannungsgesteuerten Stromquelle wird am Ausgang ein Strom I2 erzeugt, der proportional zur Eingangsspannung U1 ist. I2 G U1 (11.18) Das Schaltbild ist in Bild 11.7 gezeigt. I1 I2 G U1 U1 R1 U2 Bild 11.7: Schaltbild einer spannungsgesteuerten Stromquelle Der Verstärkungsfaktor G beschreibt den Zusammenhang von Strom zu Spannung. Er hat damit die Dimension eines Leitwertes. G I 2 1 U1 (11.19) Die Spannung U2 hängt von der Beschaltung der Stromquelle ab. Der Eingangsstrom I1 ist von dem Eingangswiderstand R1 abhängig. Im Idealfall ist der Eingangswiderstand R1 unendlich groß, sodass der Eingangsstrom zu null wird (I1 = 0) und die Signalquelle nicht belastet wird. I1 U1 R1 (11.20) Stromgesteuerte Spannungsquellen werden in der Automatisierungstechnik zum Beispiel für die analoge Signalübertragung mit Stromschnittstellen eingesetzt. Dabei wird ein analoger Spannungsmesswert in einen Strom gewandelt, der von der Steuerung ausgewertet wird. 11.2.4 Stromgesteuerte Spannungsquelle Bei einer stromgesteuerten Spannungsquelle wird eine Ausgangsspannung U2 erzeugt, die proportional zu einem Eingangsstrom I1 ist. U2 H I1 (11.21) Das entsprechende Schaltbild ist in Bild 11.8 angegeben. I1 U1 R1 I2 H I1 U2 Bild 11.8: Schaltbild der stromgesteuerten Spannungsquelle Der Verstärkungsfaktor H beschreibt den Zusammenhang von Spannung zu Strom. Er hat damit die Dimension eines Widerstandes. H U1 I 2 (11.22) Der Ausgangsstrom I2 hängt von der Beschaltung der Spannungsquelle HI1 ab. Der Eingangsspannung U1 ist von dem Eingangswiderstand R1 abhängig. Im Idealfall ist der Eingangswiderstand R1 unendlich klein, sodass am Eingang keine Spannung abfällt (U1 = 0). U1 R1 I1 (11.23) Stromgesteuerte Spannungsquellen werden zum Beispiel bei der Auswertung des Fotostroms von Fotodioden eingesetzt. Dabei wird der Strom einer Fotodiode für U1 = 0 in eine proportionale Ausgangsspannung gewandelt, die im Gegensatz zu einem Strom von einem Analog-Digital-Wandler erfasst werden kann. 11.2.5 Zusammenfassung gesteuerte Quellen Tabelle 10.2 zeigt eine Übersicht über die gesteuerte Quellen, die zur Beschreibung von Zweitoren verwendet werden. Tabelle 11.2: Übersicht über gesteuerte Quellen Bezeichnung Eingangswiderstand und Idealfall Schaltbild I1 Spannungsgesteuerte Spannungsquelle R1 U1 ! I1 U1 R1 I2 E U1 I1 Stromgesteuerte Stromquelle R1 U1 ! 0 I1 I2 F I1 U1 U2 R1 I1 Spannungsgesteuerte Stromquelle R1 U1 ! I1 I2 G U1 U1 U2 R1 I1 Stromgesteuerte Spannungsquelle R1 U1 ! 0 I1 U2 U1 R1 I2 H I1 U2 11.3 Literaturverzeichnis 11.3.1 Literaturstellen zu den behandelten Grundlagen Elektrotechnik [Fueh11] A. Führer, K. Heidemann, W. Nerretter: Grundgebiete der Elektrotechnik: Band 1, 9. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2011 [Lind14] H. Lindner: Elektro-Aufgaben: Band 1, 30. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2014 [Altm03] S. Altmann: Lehr- und Übungsbuch Elektrotechnik, 3. Auflage, Fachbuchverlag, Leipzig, 2003 11.3.2 Weiterführende Literatur zu den Beispielen [MIKR16] Plattform für Anwender von Mikrocontrollern Mikrocontroller.net, http://www.mikrocontroller.net/articles/LED Artikel LED, Zugriff 06.10.2016 11.3.3 Interessante WEB-Links zum Thema [Leif16] Leifiphysik Elektrizitätslehre, http://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre Erklärung elektrischer Effekte mit Animationen, Versuchen und Aufgaben auf gut verständlichem Niveau, Zugriff 30.08.2016 [Simp16] TheSimplePhysics Elektrizität / E-Lehre, https://www.youtube.com/playlist?list=PLtChQtYYwX2OOFfJvpN_a3uLuoXG-_vD8 TheSimplePhysics, Online-Nachhilfe mit Lernvideos, Zugriff 30.08.2016 [Lbsb16] Landesbildungsserver Baden-Württemberg, http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_1/ Sammlung von Unterrichtsmaterialien für Schulen, Zugriff 30.08.2016 12 Operationsverstärker Ein Operationsverstärker (OP) ist ein elektronischer Verstärker mit einer sehr hohen, idealerweise unendlich hohen Verstärkung. Dieser elektronische Verstärker wurde dem Verhalten eines Elektronenröhrenverstärkers nachempfunden, der in analogen Computern zur Realisierung mathematischer Operationen eingesetzt wurde. Sein Verhalten kann durch entsprechende Beschaltung so beeinflusst werden, dass er eine mathematische Operation ausführt. Er kann als Summierer, Integrierer, Differenzierer oder Begrenzer arbeiten. Zum Beispiel durch den Einsatz von Dioden kann er darüber hinaus nichtlineare Übertragungsfunktionen realisieren. Zunächst war sein Einsatz in Analogrechnern zu finden, die zur Lösung von Differentialgleichungen eingesetzt wurden. Derartige Analogrechner sind heute durch digitale Computer ersetzt, die Differentialgleichungen mit numerischen Verfahren leistungsfähiger und flexibler lösen können. Nach wie vor bietet der Operationsverstärker aber die Möglichkeit, grundlegende Operationen mit analogen Signalen effizient durchzuführen. Operationsverstärker wurden in der Vergangenheit diskret aufgebaut. Auf den internen Aufbau und die Auslegung von Operationsverstärkern wird in diesem Buch nicht weiter eingegangen. Er ist zum Beispiel in [Tiet16] und [Stin15] beschrieben. Durch die kostengünstige Fertigung als integrierte Schaltkreise (IC) ist es heute möglich, Operationsverstärker zu einem sehr günstigen Preis auf dem Markt anzubieten. Im Rahmen dieses Buchs werden Operationsverstärker als ideale Operationsverstärker betrachtet, um die grundsätzlichen Eigenschaften der Schaltung zu verstehen. Die Darstellungen konzentrieren sich auf die Anwendung von Operationsverstärkern und die Beschreibung des Verhaltens an den Klemmen. Dabei werden zwei grundsätzliche Anwendungen unterschieden. Wird der Ausgang des Operationsverstärkers auf den negativen Eingang zurückgekoppelt, wird von einer Gegenkopplung gesprochen. Es ergibt sich eine Verstärkerschaltung. Wird der Ausgang des Operationsverstärkers auf den positiven Eingang zurückgekoppelt, wird von einer Mitkopplung gesprochen. Es ergibt sich eine sogenannte Schmitt-Trigger-Schaltung. Beide Anwendungsarten werden im Folgenden diskutiert. Abschließend wird ein Ausblick in die Eigenschaften realer Operationsverstärker gegeben. Ausführliche Information zu Anwendungen und Eigenschaften von von Operationsverstärkerschaltungen sind in [Tiet16] zu finden. 12.1 Grundlagen zur Beschreibung von Operationsverstärkern 12.1.1 Eigenschaften idealer Operationsverstärker Der ideale Operationsverstärker ist ein Verstärker mit zwei Eingängen, einem Ausgang und Masse als Bezugspotenzial. IP 0 UD IN 0 UP UN IP 0 IA IA AD UD UD AD UA UA IN 0 Bild 12.1: Schaltbild und Zählpfeile für einen idealen Operationsverstärker und Beschreibung eines idealen Operationsverstärkers als spannungsgesteuerte Quelle Die Eingänge sind der nichtinvertierende oder positive Eingang (+) und der invertierende oder negative Eingang (-). Das Differenzsignal UD UP UN (12.1) das zwischen den beiden Eingängen anliegt, wird um den Faktor AD verstärkt. Am Ausgang ergibt sich eine Ausgangsspannung UA mit U A AD UP UN AD UD (12.2) Beim idealen Operationsverstärker ist dieser Faktor AD unendlich. Da der Ausgang beim unbeschalteten Operationsverstärker nicht zurückgekoppelt wird, wird der Faktor AD als offene Schleifenverstärkung (open loop gain) bezeichnet. Die analytische Auslegung von Schaltungen erfolgt typischerweise unter der Annahme, dass ein idealer Operationsverstärker vorliegt. Die wesentlichen Eigenschaften eines idealen Operationsverstärkers können wie folgt beschrieben werden: Die offene Schleifenverstärkung AD ist unendlich. Der Eingangsstrom des Operationsverstärkers ist null, es gilt IP = 0 und IN = 0. Der Ausgang kann einen beliebig großen Strom zur Verfügung stellen, der Ausgangsstrom IA hängt nur von der äußeren Beschaltung ab. Die Verstärkung eines idealen Operationsverstärker hängt nicht von der Anregungsfrequenz ab. Ein idealer Operationsverstärker ist damit eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle mit dem Steuerfaktor E = AD = . Dein Ersatzschaltbild ist Bild 12.1 dargestellt. Auch wenn die angegebenen Eigenschaften auf den ersten Blick sehr unrealistisch erscheinen, kommen verfügbare Operationsverstärker diesem Ideal sehr nahe. Die Unabhängigkeit der Verstärkung eines realen Operationsverstärker von der Frequenz ist die Forderung, die am ehesten vom idealen Operationsverstärker abweicht. Operationsverstärker mit hoher Bandbreite sind verfügbar, aber teuer und müssen häufig andere Kompromisse eingehen. Außerdem kann das Ausgangssignal UA nicht kleiner als eine minimale Ausgangsspannung UAMIN und nicht größer als eine maximale Ausgangsspannung UAMAX sein, die sich aus der Spannungsversorgung des Operationsverstärkers ergeben. Diese Aspekte werden in Abschnitt 12.1.2 ausführlicher diskutiert. 12.1.2 Versorgungsspannung von Operationsverstärkern Der ideale Operationsverstärker ist als spannungsgesteuerte Spannungsquelle ein lineares Element. Da der Ausgangsstrom IA beliebige Werte annimmt, kann der ideale Operationsverstärker eine beliebige Leistung abgeben. Damit ist der Operationsverstärker ein aktives Element. Im Gegensatz zu passiven Elementen wie zum Beispiel Widerständen und Dioden, die nur Leistung aufnehmen können, kann der Operationsverstärker also Leistung abgeben. Um dies zu erreichen, muss ein Operationsverstärker an eine Spannungsversorgung angeschlossen werden, die diese Leistung liefert. Ein realer Operationsverstärker hat daher neben den beiden Eingängen und dem Ausgang noch zwei Spannungsversorgungsklemmen (UCC+ und UCC-). Die maximal mögliche Versorgungsspannung für Standard- Operationsverstärker beträgt in der Regel 30 V. Um eine symmetrische Aussteuerung am Ausgang zu erreichen, wird üblicherweise eine Versorgungsspannung von UCC+ = 15 V und UCC- = - 15 V verwendet. Bild 12.2 zeigt einen invertierenden Verstärker mit Spannungsversorgung. R1 R2 U1 UCC UCC UA Bild 12.2: Invertierender Verstärker mit Spannungsversorgung In Schaltbildern, die mehrere Operationsverstärker beinhalten, wird üblicherweise auf das Einzeichnen der Spannungsversorgung verzichtet, um die Schaltung nicht unnötig unübersichtlich zu machen. Stattdessen wird in einer Ecke des Schaltbildes die Angabe zur Spannungsversorgung eingezeichnet oder beschrieben. Die schaltungstechnische Realisierung der im Operationsverstärker eingebauten Ausgangsstufe erlaubt es nicht, den gesamten Spannungsbereich von UCC- bis UCC+ auszunutzen. Die maximale erreichbare Ausgangsspannung ergibt sich aus der Beziehung UAMAX UCC USAT (12.3) Dabei wird mit USAT+ die Sättigungsspannung gegen die positive Versorgungsspannung UCC+ bezeichnet. Sie liegt in der Größenordnung von 1 … 3 V und ist vom Typ und Hersteller abhängig. Dasselbe gilt auch für die minimal mögliche Spannung. UAMIN UCC USAT (12.4) Ausgangsspannung UA Dabei wird mit USAT- die Sättigungsspannung gegen die negative Versorgungsspannung bezeichnet. Auch diese Spannung beträgt je nach Typ und Hersteller - 3 … - 1 V. Für einen Operationsverstärker mit endlicher Versorgungsspannung wird die sogenannte Übertragungskennlinie aufgetragen. Sie beschreibt die Ausgangsspannung UA als Funktion der Differenzspannung UD und ist in Bild 12.3 dargestellt. UCC+ U AMAX U SAT+ 0 USAT- U AMIN U CC- 0 Eingangsspannung UD Bild 12.3: Übertragungskennlinie eines Operationsverstärkers mit endlicher Versorgungsspannung Die Ausgangsspannung wird durch die endliche Versorgungsspannung UCC+ und UCC- sowie die Sättigungsspannungen USAT+ und USAT- begrenzt. 12.1.3 Bauformen von Operationsverstärkern Operationsverstärker werden in unterschiedlichen Bauformen angeboten. Tabelle 12.1 gibt einen Überblick über die gängigste Bauformen. Tabelle 12.1: Auswahl unterschiedlicher Operationsverstärker in THT und SMD-Technik Bauform TO-Gehäuse THT-Technik PDIP-Gehäuse THT-Technik SOP-Gehäuse SMD-Technik DFN-Gehäuse SMD-Technik Linienbreite 1.7 mm 2.54 mm 0.65 0.5 mm Abbildung Die unterschiedlichen Bauformen ergeben sich zum einen aus einem Kompromiss zwischen Handhabbarkeit bei dem Aufbau von Prototypen und Platzbedarf bei Serienprodukten. Zum anderen kann ein größeres Gehäuse typischerweise mehr Verlustleistung abführen, sodass aus der umgesetzten Verlustleistung eine untere Grenze für die Bauformgröße resultiert. 12.2 Operationsverstärker als Komparatoren Ist der Operationsverstärker nicht zurückgekoppelt, arbeitet er als Verstärker mit sehr großer Verstärkung AD . Bild 12.4 zeigt das Schaltbild für einen Operationsverstärker ohne Rückkopplung. I 2 IN 0 UD I1 IP 0 U2 UA U1 Bild 12.4: Operationsverstärker als Komparator Das Eingangssignal UD wird mit der offenen Schleifenverstärkung AD verstärkt. Abgesehen von einem sehr kleinen Übergangsbereich beträgt das Ausgangssignal UAMIN, sobald eine negative Spannungsdifferenz UD U1 U2 (12.5) Ausgangsspannung UA / V vorliegt, und UAMAX, sobald eine positive Spannungsdifferenz vorliegt. Die Kennlinie eines Komparators ist in Bild 12.5 dargestellt. Verhalten mit Spannungsbegrenzung Ideales Verhalten 10 0 -10 -50 -10 0 10 50 Eingangsspannung UD / µV Bild 12.5: Ausgangskennlinie eines Komparators mit UAMIN = - 10 V, UAMAX = 10 und AD = 10 6 Sobald die Ausgangsspannung rechnerisch außerhalb der maximalen Aussteuergrenzen UAMIN UA UAMAX liegt, wird vom Operationsverstärker die minimale Spannung UAMIN beziehungsweise die maximale Spannung UAMAX ausgegeben. Operationsverstärker ohne Rückkopplung werden deshalb als Komparatoren eingesetzt, die zwei Spannungen U1 und U2 miteinander vergleichen. Ein positives Ausgangssignal UA > 0 signalisiert, dass U1 größer als U2 ist und umgekehrt. Eine Erweiterung des einfachen Komparators bilden sogenannte Schmitt-Trigger-Schaltungen, die in Abschnitt 12.5 vorgestellt werden. Der Einsatz von Operationsverstärkern macht - abgesehen vom Komparator - nur mit äußerer Beschaltung Sinn, da eine unendlich hohe Verstärkung für praktische Aufgabenstellungen über den Komparator hinaus nicht einsetzbar ist. Im Folgenden werden deshalb die wesentlichen Grundschaltungen mit Operationsverstärkern behandelt. Dabei beschränken sich die Darstellungen auf die Grundschaltungen der Gleichstromtechnik und damit auf Grundschaltungen mit ohmschen Widerständen. 12.3 Verstärkerschaltungen mit Operationsverstärkern Wird der Ausgang des Operationsverstärkers über ein Netzwerk auf den negativen Eingang zurückgekoppelt, ergeben sich Verstärkerschaltungen. Einige Grundschaltungen für die Realisierung von Verstärkerschaltungen mit Operationsverstärkern werden im Folgenden analysiert und mathematisch beschrieben. 12.3.1 Invertierender Verstärker Als Erstes wird die Schaltungsanordnung aus Bild 12.6 analysiert, bei der der Operationsverstärker mit zwei Widerständen beschaltet wird. IR 1 R1 A R2 IR 2 IN 0 UD U1 IP 0 UA Bild 12.6: Invertierender Verstärker Für den Knoten (A) gilt die Knotengleichung. Da beim idealen Operationsverstärker außerdem der Eingangsstrom IN = 0 ist, ergibt sich IR 1 IR 2 IN 0 (12.6) Die Ströme IR1 und IR2 lassen sich mit der Maschenregel bestimmen zu IR 1 UR1 U1 UD R1 R1 (12.7) IR 2 UR 2 U A UD R2 R2 (12.8) und Mit der Knotengleichung (12.6) ergibt sich U1 UD U A UD 0 R1 R2 (12.9) Da bei einem idealen Operationsverstärker die offene Schleifenverstärkung AD unendlich ist und bei sinnvoller Beschaltung und Betrieb des Operationsverstärkers eine endliche Spannung UA erwartet wird, muss die Spannung UD näherungsweise UD = 0 sein, denn nach Gleichung (12.2) gilt UD lim AD UA 0 AD (12.10) Das bedeutet, dass der Knoten (A) am invertierenden Eingang (-) auf gleichem Potential liegt wie der nichtinvertierende Eingang (+). Unter Berücksichtigung von UD = 0 vereinfacht sich Gleichung (12.9) damit zu U1 U A 0 R1 R2 (12.11) Sie kann nach der Ausgangsspannung UA aufgelöst werden: UA R2 U1 R1 (12.12) Die Schaltungsanordnung verhält sich also wie ein linearer Verstärker mit dem Verstärkungsfaktor E R2 R1 (12.13) Das Minuszeichen beschreibt die Invertierung des Eingangsignals. Daher der Name invertierender Verstärker. Ausgangsstrom Damit die Schaltung ordnungsgemäß funktioniert, muss der Ausgang des Operationsverstärkers den erforderlichen Strom durch den Widerstand R2 aufbringen. Da der ideale Operationsverstärker definitionsgemäß einen beliebigen Ausgangsstrom IA liefern kann, wird diese Bedingung erfüllt. Gegenkopplung Für den Nachweis, dass die Anordnung ein endliches Ausgangssignal liefert und damit stabil ist, wird das Signalverhalten analysiert. Liegt eine positive Differenzspannung UD vor, wird die Ausgangsspannung UA wegen der positiven Verstärkung AD ansteigen. Über den Widerstand R2 wird dieses Ansteigen der Ausgangsspannung auf den negativen Eingang zurückgekoppelt, sodass die Differenzspannung UD ausgeglichen wird. Die Ausgangsspannung UA wirkt also über R2 der angenommenen Erhöhung entgegen. Es wird deshalb von einer Gegenkopplung gesprochen. Damit kann eine allgemeine Aussage getroffen werden: Soll der Operationsverstärker ein endliches Ausgangssignal aufweisen und eine Eingangsspannung UD ≈ 0 besitzen, muss die Rückkopplung stets auf den invertierenden (-) Eingang zurückgeführt werden. Eingangswiderstand Aus der Spannungsquelle U1 am Eingang fließt ein Strom I1 = IR1. Er berechnet sich zu I1 IR1 UR1 U1 R1 R1 (12.14) Die Schaltung verhält sich für die Spannungsquelle U1 so, als wäre ein Widerstand R1 angeschlossen. Dieser Widerstand wird als Eingangswiderstand der Schaltung bezeichnet. Damit kann der invertierende Verstärker als spannungsgesteuerte Spannungsquelle mit Verstärkungsfaktur E = - R2/R1 sowie Eingangswiderstand R1 dargestellt werden. Bild 12.7 zeigt sein Ersatzschaltbild und seine Ausgangskennlinie. I1 U1 R1 R2 U1 R1 UA Ausgangsspannung UA / V 15 10 5 0 -5 -10 -15 -0,2 -0,1 0 0,1 Eingangsspannung U1 / V 0,2 0,3 Bild 12.7: Invertierender Verstärker als spannungsgesteuerte Spannungsquelle und Ausgangskennlinie des invertierenden Operationsverstärkers mit E = - 50 12.3.2 Invertierender Verstärker für Operationsverstärker mit endlicher Verstärkung In Abschnitt 12.3.1 wird von einer unendlich hohen Verstärkung AD des Operationsverstärkers ausgegangen. In diesem Abschnitt wird für den invertierenden Verstärker der Fall einer endlichen offenen Schleifenverstärkung AD < untersucht. Der Eingangsstrom wird weiterhin vernachlässigt, es gilt also weiterhin IN = 0. Gleichungen (12.6) und (12.9) gelten auch in diesem Fall. UD wird durch den Ausdruck ersetzt, der den Zusammenhang zwischen Eingangsspannung und Ausgangsspannung ergibt. Nach Gleichung (12.2) gilt UA AD UD (12.15) Durch Einsetzen in Gleichung (12.9) ergibt sich U1 UA AD R1 UA UA AD R2 0 (12.16) Diese Gleichung lässt sich nach UA auflösen, und die Ausgangsspannung UA ergibt sich zu UA R2 R1 1 U1 R2 1 1 1 R1 AD (12.17) Es wird deutlich, dass für große Verstärkungswerte AD der Nennerausdruck zu 1 wird und sich der Verstärkungsfaktor E = - R2/R1 ergibt. Gleichung (12.17) geht damit für den Grenzwert einer unendlichen Verstärkung AD in Gleichung (12.12) über. Beispiel: Vergleich der Rechnung für idealen und realen Verstärker Bei einem idealen invertierenden Verstärker mit R1 = R2 errechnet sich die Verstärkung zu UA R2 U1 U1 R1 (12.18) In Abschnitt 12.1.1 werden Eigenschaften realer Operationsverstärker zusammengefasst. Dabei wird für den realen Operationsverstärker UA 741 von einer offenen Schleifenverstärkung AD = 2105 angegeben. Damit ergibt sich UA R2 R1 1 1 1 U1 U1 U1 5 2 1 10 R2 1 1 1 1 2 105 R1 AD (12.19) 1 10 5 U1 0,99999 U1 Der Fehler, der aus der Annahme eines idealen Operationsverstärkers mit AD = folgt, ergibt sich zu U A U1 0,99999 U1 0,00001 U1 (12.20) Das entspricht einem relativen Fehler von 0,001 %, der in aller Regel vernachlässigt werden kann. 12.3.3 Invertierender Summierverstärker Der invertierende Verstärker kann um weitere Eingangsspannungsquellen Un mit n = 1 … N erweitert werden. Es ergibt sich der invertierende Summierverstärker. Er ist in Bild 12.8 dargestellt. IR 1 Rn IRn IRN A RN RF IRF IN 0 U1 Un UN UD IP 0 UA Bild 12.8: Invertierender Summierverstärker mit N Eingangsspannungen Un Die Knotengleichung für den Knoten (A) lässt sich bei einem Eingangsstrom IN = 0 aufstellen zu N IR1 IR 2 ... IRN IRF IRn IRF 0 (12.21) n 1 Unter Annahme einer unendlichen Verstärkung liegt der Knoten (A) auf Massepotenzial, und die Ströme IRn und IRF lassen sich angeben als IRn Un Rn (12.22) IRF UA RF (12.23) und Damit ergibt sich aus der Knotengleichung (12.21) N U1 U2 U U U U ... N A n A 0 R1 R2 RN RF n 1 Rn RF (12.24) Durch Auflösen nach UA ergibt sich die Ausgangsspannung zu N RF Un n 1 Rn U A (12.25) Da die Schaltungsstruktur dieselbe wie beim invertierenden Verstärker ist, bleibt die Invertierung der Eingangsspannung erhalten. Die Eingangsspannungen werden gewichtet mit dem Faktor RRF/Rn aufsummiert und stehen invertiert am Ausgang UA zur Verfügung. 12.3.4 Strom-Spannungswandler Eine Variante des invertierenden Verstärkers ist ein Strom-Spannungswandler. Dabei wird der Strom IR1, der beim invertierenden Verstärker durch den Widerstand R1 fließt, durch eine Stromquelle mit dem Strom I1 ersetzt. A R IR IN 0 I1 UD IP 0 UA Bild 12.9: Strom-Spannungswandler Für den Knoten (A) gilt weiterhin die Knotengleichung. Da beim idealen Operationsverstärker der Eingangsstrom IN = 0 ist, ergibt sich I1 IR IN 0 Der Strom IR lässt sich mit der Maschenregel bestimmen zu (12.26) IR UR U A UD R R (12.27) Mit der Knotengleichung (12.26) ergibt sich I1 U A UD 0 R (12.28) Da bei einem idealen Operationsverstärker die offene Schleifenverstärkung AD unendlich ist und bei sinnvoller Beschaltung und Betrieb des Operationsverstärkers eine endliche Spannung UA erwartet wird, muss die Spannung UD näherungsweise UD = 0 sein. Damit vereinfacht sich Gleichung (12.28) zu I1 UA 0 R (12.29) Sie kann nach der Ausgangsspannung UA aufgelöst werden: U A R I1 (12.30) Die Schaltungsanordnung verhält sich wie eine stromgesteuerte Spannungsquelle mit dem Verstärkungsfaktor H R (12.31) Die Stromquelle I1 am Eingang wird mit dem negativen Eingang des Operationsverstärkers verbunden. Da UD = 0 ist, entspricht die Spannung UN dem Massepotenzial. Damit kann der der StromSpannungswandler als stromgesteuerte Spannungsquelle mit Verstärkungsfaktur H = - R dargestellt werden. Bild 12.7 zeigt sein Ersatzschaltbild und seine Ausgangskennlinie. I1 U1 R I1 UA Ausgangsspannung UA / V 10 5 0 -5 -10 -0,1 -0,05 0 0,05 Eingangsstrom I1 / mA Bild 12.10: Strom-Spannungswandler als stromgesteuerte Spannungsquelle und Ausgangskennlinie des Strom-Spannungswandlers mit H = - R = - 100 k 0,1 12.3.5 Nichtinvertierender Verstärker Der nichtinvertierende Verstärker wird durch die Schaltung in Bild 12.11 realisiert. Zur Analyse der Schaltung wird wieder ein idealer Operationsverstärker vorausgesetzt. IR 1 R1 A R2 IR 2 IN 0 UD U1 IP 0 UA Bild 12.11: Nichtinvertierender Verstärker Für die Knotengleichung am Knoten (A) gilt wegen IN = 0 die Beziehung IR 1 IR 2 (12.32) Da der Operationsverstärker eine unendliche Verstärkung besitzt, muss wegen der Rückkopplung und des stabilen Verhaltens der Schaltung UD = 0 sein. Damit gilt UR1 U1 (12.33) Die Ausgangsspannung UA ergibt sich aus der Maschengleichung U A UR 2 UR1 UR 2 U1 (12.34) Einsetzen der Gleichungen (12.33) und (12.34) in die Knotengleichung (12.32) U1 U A U1 R1 R2 (12.35) und Auflösen nach UA führt zu U A U1 R2 R U1 1 2 U1 R1 R1 (12.36) Durch das Einspeisen des Signals am nichtinvertierenden Eingang ist der Verstärkungsfaktor positiv. Wegen der positiven Widerstände ist die Verstärkung immer größer oder gleich 1. Vorteil dieser Schaltung ist, dass die Spannungsquelle U1 nicht belastet wird, da der Strom im Idealfall I1 = IP = 0 ist. Die Schaltung besitzt damit einen unendlich hohen Eingangswiderstand. Damit kann der nichtinvertierende Verstärker als spannungsgesteuerte Spannungsquelle mit Verstärkungsfaktur E = (1+ R2/R1) dargestellt werden. Bild 12.12 zeigt sein Ersatzschaltbild, in dem der unendlich hohe Eingangswiderstand R1 entfernt ist, und seine Ausgangskennlinie. Ausgangsspannung UA / V 15 I1 0 R2 1 U1 R1 U1 UA 10 5 0 -5 -10 -15 -0,2 -0,1 0 0,1 Eingangsspannung U1 / V 0,2 0,3 Bild 12.12: Nichtinvertierender Verstärker als spannungsgesteuerte Spannungsquelle und Ausgangskennlinie des nichtinvertierenden Verstärkers mit E = 50 12.3.6 Spannungsfolger Der sogenannte Spannungsfolger ist ein Sonderfall des nichtinvertierenden Verstärkers. Er ergibt sich, wenn beim nichtinvertierenden Verstärker den Widerstand R2 zu null gesetzt wird. Der Verstärkungsfaktor ergibt sich dann nach Gleichung (12.36) zu UA 0 R1 U1 U1 R1 (12.37) Der Verstärkungsfaktor wird zu 1 und die Ausgangsspannung folgt der Eingangsspannung, daher der Begriff Spannungsfolger. Der Widerstand R1 hat für die Schaltung keine Bedeutung mehr. Sein Wert kann damit unendlich groß gemacht oder weggelassen werden. Es ergibt sich die Schaltung in Bild 12.13. IN 0 UD U1 IP 0 UA Bild 12.13: Idealer Spannungsfolger Der Vorteil dieser Schaltung besteht darin, dass der Ausgang trotz eines Eingangsstroms I1 = IP = 0 beliebig belastet werden kann. Der Spannungsfolger wird deshalb immer dann verwendet, wenn eine Spannung abgegriffen werden soll, ohne die Spannungsquelle U1 zu belasten. Bild 12.14 zeigt sein Ersatzschaltbild, in dem der unendlich hohe Eingangswiderstand R1 wieder entfernt ist. I1 0 U1 U1 UA Bild 12.14: Spannungsfolger als spannungsgesteuerte Spannungsquelle 12.3.7 Differenzverstärker oder Subtrahierverstärker Als weitere Grundschaltung wird die Kombination eines invertierenden und nichtinvertierenden Verstärkers analysiert. R1 A IR 1 R2 IR 2 IN 0 UD U1 IP 0 R3 U2 B UA R4 Bild 12.15: Idealer Subtrahierverstärker Der Operationsverstärker wird wieder als ideal angenommen. Damit ist diese Schaltungskonfiguration linear und die Ausgangsspannung kann nach dem Superpositionsprinzip berechnet werden. Die Wirkungen der beiden Eingangsspannungen U1 und U2 auf die Ausgangsspannung UA werden getrennt berechnet und ihre Beiträge addiert. Wird die Eingangsspannung U2 zu null gesetzt, liegt der Knoten (B) auf Massepotential, weil kein Strom durch die Widerstände fließt. Die Schaltung verhält sich damit wie ein invertierender Verstärker mit der Eingangsspannung U1. U A1 R2 U1 R1 (12.38) Wir die Spannung U1 zu null gesetzt, ergibt sich ein nichtinvertierender Verstärker mit Eingangsspannung UB. Die Eingangsspannung UB des nichtinvertierenden Verstärkers wird über einen Spannungsteiler berechnet. UB R4 U2 R3 R4 Damit ergibt sich die Ausgangsspannung (12.39) R R4 R R2 R4 U A2 1 2 U2 1 U2 R1 R3 R4 R1 R3 R4 (12.40) Für den Sonderfall R1 = R3 und R2 = R4 vereinfacht sich die Gleichung zu U A2 R2 U2 R1 (12.41) Nach dem Superpositionsprinzip für lineare Netzwerke ergibt sich damit für den Sonderfall R1 = R3 und R2 = R4 die Ausgangsspannung des Subtrahierverstärkers UA R1 R2 R4 R R U2 2 U1 2 U2 U1 R1 R3 R4 R1 R1 (12.42) Die Schaltungsanordnung erzeugt also am Ausgang eine Spannung, die der Differenz der beiden Eingangsspannungen U2 - U1 skaliert um den Faktor R2/R1 entspricht. Der Eingangsstrom I1 berechnet sich unter Berücksichtigung der Spannung UP zu U UB I1 1 R1 U1 R2 U2 R R2 U1 R2 U2 R1 R2 1 R1 R1 R1 R2 (12.43) Der Eingangstrom I2 ergibt sich unter Berücksichtigung von IP = 0 zu I2 U1 U1 R3 R4 R1 R2 (12.44) 12.3.8 Zusammenfassung Gleichstrom-Grundschaltungen mit Operationsverstärkern Die in diesem Abschnitt beschriebenen Grundschaltungen stellen eine Klasse von Schaltungen dar, die mithilfe des idealen Operationsverstärkers mathematische Operationen ausführen können, daher der Name Operationsverstärker. Tabelle 12.2 zeigt in einer Übersicht die Grundschaltungen mit idealen Operationsverstärkern und einem Eingangssignal, Tabelle 12.3 Grundschaltungen mit idealen Operationsverstärkern und mehreren Eingangssignalen. Tabelle 12.2: Operationsverstärker Gleichstrom-Grundschaltungen mit idealen Operationsverstärkern und einem Eingangssignal Schaltung Ausgangsspannung und Eingangsstrom Beschaltung A R1 IR 1 R2 IR 2 UA IN 0 invertierender Verstärker UD U1 UA IP 0 A StromSpannungswandler R U A R I1 U1 0 UD UA IP 0 IR 1 A R1 R2 IR 2 R U A 1 2 U1 R1 IN 0 nichtinvertierender Verstärker UD U1 IP 0 IN 0 UA U1 IP 0 I1 0 U A U1 UD Spannungsfolger U1 R1 IR IN 0 I1 I1 R2 U1 R1 UA I1 0 Tabelle 12.3: Operationsverstärker Gleichstrom-Grundschaltungen mit idealen Operationsverstärkern und mehreren Eingangssignalen Schaltung Ausgangsspannung und Eingangsstrom Beschaltung IR 1 Rn IRn A RN IRN invertierender Summierverstärker RF N RF Un n 1 Rn U A IRF IN 0 In U1 Un UD UN UA IP 0 R1 A IR 1 R2 IR 2 UA IN 0 Subtrahierverstärker UD U1 IP 0 U2 R3 B R4 Un Rn UA I1 R2 U2 U1 R1 R1 R2 U1 R2 U2 R1 R1 R2 I2 U2 R1 R2 12.4 Vorgehen bei der Analyse von Operationsverstärkerschaltungen Neben den im Abschnitt 12.1.3 analysierten Grundschaltungen werden individuelle Schaltungen eingesetzt, die eine spezifische Funktion erfüllen sollen. Zur Analyse und Synthese dieser Schaltungen können unterschiedliche Konzepte verfolgt werden. Drei davon werden in den folgenden Abschnitten vorgestellt. 12.4.1 Schaltungsvereinfachung und Anwendung der Grundschaltungen Bei dem ersten Verfahren wird die individuelle Schaltung mithilfe der bekannten Verfahren wie Quellenwandlung oder Superposition auf einzelne Grundschaltungen zurückgeführt. Als ein Beispiel wurde in Abschnitt 12.3.7 der Differenzverstärker mithilfe des Superpositionsprinzips auf den invertierenden und nichtinvertierenden Verstärker zurückgeführt. Das Verfahren wird zusätzlich am Beispiel eines Instrumentenverstärkers demonstriert. Beispiel: Instrumentenverstärker Zur Auswertung von Messbrücken werden Operationsverstärkerschaltungen verwendet, die als Instrumentenverstärker bezeichnet werden. Die dabei verwendete Grundschaltung ist in Bild 12.16 dargestellt. Operationsverstärker OP1 UE 1 U D1 0 R3 R1 R3 UN 1 UE 1 U A1 R2 R1 UN 2 UE 2 UA U A2 R3 R3 UD 2 0 UE 2 Operationsverstärker OP3 Operationsverstärker OP2 Bild 12.16: Schaltbild Instrumentenverstärker Operationsverstärker können als gesteuerte Quellen angesehen werden. Deshalb wird die Schaltung gedanklich in drei Teilschaltungen mit jeweils einem Operationsverstärker zerlegt. Zur Berechnung der Übertragungsfunktion werden im ersten Schritt die beiden Spannung UA1 und UA2 bestimmt und daraus die Spannung UA berechnet. Da zwei Eingangsspannungen anliegen, bietet es sich an, das Superpositionsprinzip anzuwenden. Ist die Eingangsspannung UE2 = 0 und der Operationsverstärker 2 ideal (UD2 = 0), liegt am negativen Eingang von OP2 eine Spanung UN2 = 0 an. Damit arbeitet der Operationsverstärker OP1 wie ein nichtinvertierender Verstärker, und es ergibt sich R U A11 1 1 UE1 R2 (12.45) Ist die Eingangsspannung UE2 = 0 und der Operationsverstärker OP1 ideal (UD1 = 0), arbeitet der Operationsverstärker OP2 wie ein invertierender Verstärker. Da UD1 = 0 ist, liegt am negativen Eingang von OP1 die Spannung UN1 = UE1 an, und es ergibt sich U A 21 R1 UE 1 R2 Aufgrund der Symmetrie der Schaltung ergibt sich für den Fall UE1 = 0 (12.46) U A12 R1 UE 2 R2 (12.47) und R U A 22 1 1 UE 2 R2 (12.48) Durch Superposition ergeben sich die Spannungen R R U A1 1 1 UE 1 1 UE 2 R2 R2 (12.49) und U A2 R1 R UE 1 1 1 UE 2 R2 R2 (12.50) Die Spannungen UA1 und UA2 können als gesteuerte Spannungsquellen betrachtet werden. Der dritte Operationsverstärker OP3 wird damit als Subtrahierverstärker mit dem Verstärkungsfaktor 1 betrieben, und die Ausgangsspannung ergibt sich sich zu U A U A 2 U A1 R1 R R R UE 1 1 1 UE 2 1 1 UE 1 1 UE 2 R2 R2 R2 R2 R1 R R R UE 1 UE 2 1 UE 2 UE 1 1 UE 1 1 UE 2 R2 R2 R2 R2 (12.51) 2 R1 1 U E 2 U E 1 R2 Die Ausgangsspannung ist proportional zur Differenz der beiden Eingangsspannungen. Da die beiden Eingänge direkt auf den Eingang des Operationsverstärkers geführt werden, werden die beiden Quellen UE1und UE2 nicht belastet. Das hier gezeigte Vorgehen weist drei charakteristische Schritte auf: Zerlegen der Schaltung in Teilschaltungen, deren Ausgang als ideale Quelle angesehen werden kann Zurückführen der Teilschaltungen auf bekannte Grundschaltungen zum Beispiel mit dem Superpositionsprinzip oder der Quellenwandlung Bestimmung der Ausgangsgröße Dieses Verfahren bietet sich immer dann an, wenn eine mehrstufige Verstärkerschaltung vorliegt und die einzelnen Verstärkerstufen in eine Grundschaltung überführt werden können. 12.4.2 Analyse von Operationsverstärkerschaltungen mit Maschen- und Knotengleichungen Bei dem zweiten Verfahren werden wie bereits in den vorhergehenden Abschnitten Maschen- und Knotenregeln genutzt, um die Übertragungsfunktion der Schaltung zu bestimmen. Charakteristisch ist dabei, dass für den Rückführungsknoten Knotengleichungen aufgestellt werden. Die auftretenden Ströme werden dann durch Maschengleichungen für den Ein- und Ausgang bestimmt. Das Verfahren wird an einer sogenannten Sallen-Key-Schaltung vertieft. Beispiel: Analyse einer Sallen-Key-Schaltung mit Maschen- und Knotengleichungen Folgende Operationsverstärker-Schaltung wird für die Realisierung aktiver Filter verwendet. Der Operationsverstärker ist ideal, die Eingangsströme sind null IP = IN = 0, die Verstärkung unendlich (AD = ) und die Eingangsspannung ist null (UD = 0). Gesucht ist der Zusammenhang zwischen Einund Ausgangsspannung. IR 1 UR1 R1 UR 2 R2 U1 IR 2 IR 3 X IN 0 UR 3 UD 0 R3 IR 4 IP 0 UA R4 UA Bild 12.17: Differenzverstärker als spannungsgesteuerte Spannungsquelle Bei vielen Anwendungen ist es sinnvoll, die Knotengleichung für den Rückführungsknoten aufzustellen. Der Rückführungsknoten ist der Knoten, bei dem der Ausgang des Operationsverstärkers auf den Eingang zurückgeführt wird. In diesem Fall ist das der Knoten (X). Mit den eingezeichneten Zählpfeilen ergibt sich IR 2 IR1 IR 3 0 (12.52) Um die einzelnen Spannungen in Relation zueinander zu bringen, werden die Ströme mithilfe der jeweiligen Maschenregel bestimmt. Wird die Spannung am Knoten (X) mit UX bezeichnet, berechnet sich der Strom IR2 zu IR 2 UR 2 U1 U X R2 R2 (12.53) Der Strom IR1 ergibt sich mit dem ohmschen Gesetz zu IR 1 UR1 U X U A R1 R1 (12.54) Die Eingangsspannung des Operationsverstärkers beträgt UD = 0, damit liegt am Widerstand R4 die Spannung UA an und der Strom IR4 errechnet sich zu IR 3 IR 4 UA R4 (12.55) Da der Eingangsstrom in den Operationsverstärker null ist, sind IR3 und IR4 gleich. Damit beträgt die Spannung am Knotenpunkt (X) U X U A IR 4 R3 U A R R3 UA R3 4 UA R4 R4 (12.56) Damit berechnen sich die Ströme zu R4 R3 UA R U R4 R3 U A R4 4 1 R2 R2 R4 (12.57) R4 R3 UA UA R R3 UA R4 UA UR 1 R4 IR 1 4 R1 R1 R1 R4 (12.58) IR 2 UR 2 R2 U1 und Einsetzen in die Knotengleichung führt zu R4 U1 R4 R3 U A R2 R4 R4 R3 U A R4 U A R1 R4 UA 0 R4 (12.59) In der Gleichung kommen nur noch die Eingangsspannung U1 und die Ausgangsspannung UA vor. Multiplikation mit R1R2R4 und Sortieren nach Ein- und Ausgangsspannung führt zu R1 R4 U1 R1 R4 UA R1 R3 UA R2 R3 UA R1 R2 UA (12.60) Schließlich berechnet sich die Ausgangsspannung zu UA R1 R4 U1 R1 R2 R1 R3 R1 R4 R2 R3 (12.61) Das hier gezeigte Verfahren weist drei charakteristische Schritte auf: Knotengleichung für den Rückführungsknoten Ströme mithilfe des ohmschen Gesetzes und Maschenregeln ausdrücken Auflösen nach der Ausgangsgröße Dieses Verfahren bietet sich immer dann an, wenn keine Standardschaltung vorliegt und eine Umformung der Schaltung in eine Standardschaltung nicht möglich ist. 12.4.3 Analyse von Operationsverstärkerschaltungen mit Bilanzen Bei diesem Verfahren werden die Spannungen UN und UP am positiven und negativen Eingang des Operationsverstärkers berechnet. Da es sich um einen idealen Operationsverstärker handelt, ist UD = 0. Damit gilt die Beziehung UN UP (12.62) Durch ein Auflösen der Gleichung wird die Übertragungsfunktion bestimmt. Auch dieses Verfahren wird mit einem Beispiel veranschaulicht. Beispiel: Schaltungsanalyse mit Spannungsbilanz Eine Messbrücke mit den Widerständen R1 … R4 wird an einen Operationsverstärker angeschlossen. Die Ausgangsspannung wird über den Widerstand R5 auf den negativen Eingang zurückgekoppelt. Es ergibt sich das in Bild 12.18 gezeigte Schaltbild. R5 R1 R2 IN 0 UN U0 UD UP R3 IP 0 UA R4 Bild 12.18: Schaltbild der zu analysierenden Operationsverstärkerschaltung Zur Bestimmung der Ausgangsspannung werden die Spannungen UP und UN berechnet. Die Spannung UP ergibt sich wegen IP = 0 als unbelasteter Spannungsteiler zu UP R3 U0 R1 R3 (12.63) Zur Bestimmung der Spannung UN wird ein Ersatzschaltbild aufgestellt, bei dem die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers mit einer idealen Spannungsquelle modelliert wird. R5 R2 U0 UN R4 UA Bild 12.19: Ersatzschaltbild zur Bestimmung der Spannung UN Mit dem Superpositionsprinzip ergibt sich UN zu UN R4 || R5 R2 || R4 U0 UA R2 R4 || R5 R5 R2 || R4 R4 R5 R2 R4 U0 UA R2 R4 R2 R5 R4 R5 R5 R2 R5 R4 R2 R4 (12.64) Da die Eingangsspannung UD = 0 ist, können UP und UN gleichgesetzt werden. R3 R4 R5 R2 R4 U0 U0 UA R1 R3 R2 R4 R2 R5 R4 R5 R5 R2 R5 R4 R2 R4 (12.65) Auflösen nach UA ergibt R3 R4 R5 R R3 R2 R4 R2 R5 R4 R5 UA 1 U0 R2 R4 R5 R2 R5 R4 R2 R4 (12.66) Das hier gezeigte Verfahren weist drei charakteristische Schritte auf: Berechnung der Spannungen am positiven und negativen Eingang des Operationsverstärkers Gleichsetzen der beiden Spannungen Auflösen nach der Ausgangsgröße Auch dieses Verfahren bietet sich an, wenn keine Standardschaltung vorliegt und eine Umformung der Schaltung in eine Standardschaltung nicht möglich ist. 12.5 Schmitt-Trigger-Schaltungen In den Abschnitten 12.3 und 12.4 werden Operationsverstärkerschaltungen behandelt, bei denen der Ausgang auf den negativen Eingang zurückgekoppelt wird. Durch diese Gegenkopplung ergeben sich Verstärkerschaltungen, bei denen die Differenzspannung UD in guter Näherung null ist. Wird der Ausgang einer Operationsverstärkerschaltung auf den positiven Eingang zurückgekoppelt, gilt diese Annahme nicht mehr. Liegt eine positive Abweichung UD > 0 vor, wird die Ausgangsspannung UA wegen der positiven Differenzspannung UD und der positiven Verstärkung AD ansteigen. Über den Rückkopplungswiderstand R2 wird dieses Ansteigen der Ausgangsspannung auf den positiven Eingang zurückgekoppelt. Dadurch steigt die Differenzspannung und damit auch die Ausgangsspannung UA weiter an, bis die Ausgangspannung UA den maximalen Wert von UAMAX erreicht. Es wird von einer Mitkopplung gesprochen. Die entsprechende Schaltung wird als Schmitt-Trigger-Schaltung bezeichnet. Wie bei den Verstärkerschaltungen kann sie invertierend oder nichtinvertierende aufgebaut werden. 12.5.1 Invertierende Schmitt-Trigger-Schaltung Bild 12.20 zeigt eine invertierende Schmitt-Trigger-Schaltung. IR 1 R1 A R2 IR 2 IP 0 UD U1 IN 0 UA Bild 12.20: Invertierende Schmitt-Trigger-Schaltung Wegen der Rückkopplung auf den positiven Eingang ist Differenzspannung UD nicht null. Die Ausgangsspannung der Schaltung weist entweder den minimalen Wert UAMIN oder den maximalen Wert UAMAX auf. Um das Verhalten der Schaltung zu analysieren, wird zunächst davon ausgegangen, dass die Ausgangsspannung den minimalen Wert UAMIN < 0 aufweist. Mit IP = 0 ergibt sich eine Spannung UP von UP UR 1 R1 U AMIN R1 R2 (12.67) Die Spannung UP wird mit der Spannung UN = U1 verglichen. Sobald UP > U1 ist, ändert sich die Ausgangspannung zu UAMAX > 0. In dem Fall ergibt sich die Spannung UP zu UP UR1 R1 U AMAX R1 R2 (12.68) Wenn die Spannung U1 den Wert UP = UR1 überschreitet, ändert sich die Ausgangsspannung entsprechend zu UAMIN < 0. Aus den Aussteuergrenzen UAMAX und UAMIN ergeben sich zwei unterschiedliche Schaltschwellen U1EIN R1 U AMIN 0 R1 R2 (12.69) R1 U AMAX 0 R1 R2 (12.70) und U1AUS Je nach Zustand der Ausgangsspannung UA gilt die Schaltschwelle U1MAX oder U1MAX. Damit ergibt sich eine Ausgangskennlinie, die von dem aktuellen Ausgangssignal abhängig ist. Sie ist in Bild 12.21 dargestellt. Ausgangsspannung UA UA < 0 UA > 0 U AMAX 0 UAMIN U1EIN 0 U1AUS Eingangsspannung U1 Bild 12.21: Ausgangskennlinie eines invertierenden Schmitt-Triggers In Bild 12.21 lässt sich erkennen, dass die Schaltung ein Gedächtnis besitzt. Der aktuelle Zustand des Ausgangssignals bestimmt über die aktuelle Schwelle. Der invertierende Schmitt-Trigger besitzt eine sogenannte Hysterese. UHYS U1AUS U1EIN R1 U AMAX U AMIN R1 R2 (12.71) Sie ergibt sich aus der Beschaltung des Operationsverstärkers und verhindert, dass kleine Spannungsänderungen das Ausgangssignal ändern. Wegen der definierten Schaltschwellen und des Umschaltens der Ausgangsspannung von einem Zustand in den anderen wird die Schmitt-Trigger-Schaltung auch als Schwellwertschalter bezeichnet. 12.5.2 Nichtinvertierender Schmitt-Trigger-Schaltung Bild 12.20 zeigt eine nichtinvertierende Schmitt-Trigger-Schaltung. IR 1 R1 A R2 IR 2 IP 0 U1 UD IN 0 UA Bild 12.22: Nichtinvertierende Schmitt-Trigger-Schaltung Um das Verhalten der Schaltung zu analysieren, wird zunächst wieder davon ausgegangen, dass die Ausgangsspannung den minimalen Wert UAMIN < 0 aufweist. Mit IP = 0 und dem Superpositionsprinzip ergibt sich eine Spannung UP von UP R2 R1 U1 U AMIN R1 R2 R1 R2 (12.72) Die Spannung wird mit der Spannung UN = 0 verglichen. Damit ändert sich die Ausgangsspannung UAMAX, sobald UP > 0 ist. Dazu muss die Spannung U1 den Wert U1 R1 U AMIN R2 (12.73) aufweisen. Weist die Ausgangsspannung einen Wert UAMAX > 0 auf, ergibt sich die Spannung UP zu UP R2 R1 U1 U AMax R1 R2 R1 R2 (12.74) Die Spannung wird wieder mit der Spannung UN = 0 verglichen. Sobald UP > 0 ist, ändert sich die Ausgangspannung. Dazu muss die Spannung U1 den Wert U1 R1 U AMAX R2 (12.75) aufweisen. Auch bei nichtinvertierenden Schmitt-Trigger ergeben sich aus den Aussteuergrenzen UAMAX und UAMIN zwei unterschiedliche Schaltschwellen U1EIN und R1 U AMAX 0 R2 (12.76) U1AUS R1 U AMIN 0 R2 (12.77) Es ergibt sich eine Ausgangskennlinie, die von dem aktuellen Ausgangssignal abhängig ist. Sie ist in Bild 12.23 dargestellt. Ausgangsspannung UA UA > 0 UA < 0 U AMAX 0 UAMIN U1EIN 0 U1AUS Eingangsspannung U1 Bild 12.23: Ausgangskennlinie eines nichtinvertierenden Schmitt-Triggers Bild 12.23 zeigt, dass auch die nichtinvertierende Schmitt-Trigger-Schaltung ein Gedächtnis besitzt. Sie besitzt wieder eine Hysterese von UHYS U1EIN U1AUS (12.78) R1 U AMAX U AMIN R2 Die Ausgangskennlinie ähnelt der des invertierenden Schmitt-Triggers. Es hat sich im Wesentlichen das Vorzeichen der Ausgangsspannung und die Bestimmung der Schaltschwellen geändert. Beispiel: Vergleich der Verhalten von Komparator und nichtinvertierendem Schmitt-Trigger In dem Beispiel wird das Verhalten eines Komparators und eines nichtinvertierenden Schmitt-Triggers verglichen. Dabei wird von einem gestörten Eingangssignal ausgegangen, das zum Zeitpunkt t = 0,5 s von - 1 V auf + 1 V schaltet. Das Signal ist in Bild 12.24 dargestellt. Eingangsspannung U1 3 2 1 0 -1 -2 -3 0 0,2 0,4 0,6 Zeit t / s 0,8 1 Bild 12.24: Gestörtes Signal Wird das Eingangssignal mit einem Komparator ausgewertet, schaltet das Ausgangssignal bei jedem Vorzeichenwechsel des Eingangssignals. Das Ausgangssignal ist in Bild 12.25 zu sehen. Der Schaltpunkt t = 0,5 s ist damit nicht mehr sicher zu detektieren. Der nichtinvertierende Schmitt Trigger wird so ausgelegt, dass er bei U1MIN R1 U AMAX 1 V R2 (12.79) R1 U AMIN 1 V R2 (12.80) und U1MAX schaltet. Bei einer Ausgangsspannung mit einem Aussteuerbereich von 10 V wird dazu ein Widerstandsverhältnis von R1 1 R2 10 (12.81) benötigt, das zum Beispiel mit R1 = 10 k und R2 = 100 k realisiert werden kann. Damit ergibt sich das in Bild 12.25 gezeigte Signal. Nichtinvertierender Schmitt-Trigger 15 10 10 Ausgangsspannung UA Ausgangsspannung UA Komparator 15 5 0 -5 -10 -15 0 0,2 0,4 0,6 Zeit t / s 0,8 1 5 0 -5 -10 -15 0 0,2 0,4 0,6 Zeit t / s 0,8 1 Bild 12.25: Ausgangssignal von Komparator und nichtinvertierendem Schmitt-Trigger Da die gestörte Eingangsspannung die untere Schaltschwelle von - 1 V nach dem Spannungssprung nie unterschreitet, schaltet der nichtinvertierende Schmitt-Trigger nur zum Zeitpunkt t = 0. 5 s. 12.5.3 Zusammenfassung Komparator und Schmitt-Trigger-Schaltungen Schmitt-Trigger-Schaltungen werden als Schwellwertschalter eingesetzt. Sie zeichnet eine Schalthysterese aus. Ihr Schaltbild sowie ihre Schaltschwellen sind in Tabelle 12.4 zusammengefasst. Auch ein Komparator ist ein Schwellwertschalter, wenn auch ohne Hysterese. Deshalb ist er ebenfalls in Tabelle 12.4 aufgeführt. Tabelle 12.4: Zusammenfassung zu Komparator und Schmitt-Trigger-Schaltungen Schaltung Beschaltung Schaltschwellen I 2 IN 0 UD Komparator U1 U2 I1 IP 0 U2 UA U1 A R1 IR 1 R2 IR 2 IP 0 invertierender Schmitt-Trigger R1 U AMIN 0 R1 R2 U1MAX R1 U AMAX 0 R1 R2 UD IN 0 U1 IR 1 nichtinvertierender Schmitt-Trigger U1MIN R1 UA A R2 IR 2 U1MIN IP 0 R1 U AMAX 0 R2 U1 U1MAX UD IN 0 UA R1 U AMIN 0 R2 12.6 Reale Operationsverstärker Reale Operationsverstärker weichen von den Annahmen für ideale Operationsverstärker ab. Die Abweichungen werden am Beispiel des Operationsverstärkers UA 741 von ST Microelectronics diskutiert [Stmi01]. Zur besseren Übersicht wird die Auswirkung der realen Eigenschaften auf Gleichstromund Wechselstrom-Eigenschaften aufgeteilt. 12.6.1 Auswirkung auf Gleichstrom-Eigenschaften Offene Schleifenverstärkung Bei der Berechnung von Verstärkerschaltungen wird in vorangegangenen Abschnitten vereinfachend davon ausgegangen, dass die offene Schleifenverstärkung AD unendlich groß ist. Bei Verstärkerschaltung wird dadurch die Differenzspannung UD praktisch zu null, weil die Ausgangsspannung UA einen endlichen Wert aufweist. Die offene Schleifenverstärkung beträgt beim Operationsverstärker UA 741 AD = 2105. Dieser Wert ist ausreichend groß, um die verbleibende Differenzspannung UD U AMAX 10 V 50 V AD 2 105 (12.82) in den meisten Rechnungen vernachlässigen zu können. Bei Komparator-Schaltungen wirkt sich die offene Schleifenverstärkung auf die Steilheit des Übergangbereichs aus. Wird für die Ausgangspannung wieder ein Bereich von 10 V angenommen, reicht eine Spannungsdifferenz UD U AMAX 10 V 50 V AD 2 105 (12.83) um die maximale Ausgangsspannung UAMAX zu erreichen. Nullpunkt Die Schaltungsberechnung geht bei idealen Operationsverstärkern davon aus, dass die Differenzspannung UD null ist, wenn das Ausgangssignal UA = 0 V beträgt. Tatsächlich verläuft die Übertragungskennlinie eines realen Operationsverstärker nicht durch den Ursprung sondern ist geringfügig verschoben. Der Operationsverstärker verhält sich so, als würde am Eingang die Spannung UD = UOFF anliegen. Diese Spannung UOFF wird Offsetspannung genannt. Sie hat beim Operationsverstärker UA 741 einen Betrag von UOFF = 1 mV. Dieser Effekt ist in praktischen Anwendungen größer als die Auswirkung einer endlichen offenen Schleifenverstärkung. Insbesondere bei messtechnischen Anwendungen muss die Offsetspannung deshalb berücksichtigt werden. Eingangsstrom Die Rechnungen mit Operationsverstärkern werden durch die Annahme IP = IN = 0 stark vereinfacht. Es wird von einem unendlich hohen Eingangswiderstand des Operationsverstärkers ausgegangen. Bei dem Operationsverstärker UA 741 betragen die maximalen Eingangsströme IP = IN = 12 nA, die im Normalfall vernachlässigt werden können. Ausgangswiderstand und maximaler Ausgangsstrom Der Ausgang eines idealen Operationsverstärkers wird als ideale Spannungsquelle betrachtet. Reale Operationsverstärker können als Spannungsquelle mit Innenwiderstand angesehen werden. Beim unbeschalteten Operationsverstärker UA 741 beträgt der Innenwiderstand RI = 75 . Zusätzlich wird der maximal mögliche Ausgangsstrom begrenzt. Beim Operationsverstärker UA 741 beträgt der maximale Ausgangsstrom IAMAX = 25 mA. Common-Mode-Rejection-Ratio Wenn die Spannungen UP und UN gleich groß sind, liegt eine sogenannte Gleichtaktaussteuerung vor (Common Mode). Da die Eingangsspannung UD demzufolge null ist, sollte beim idealen Operationsverstärker auch die Ausgangsspannung UA null sein. Bei realen Operationsverstärkern ist die Ausgangsspannung jedoch von der absoluten Größe der Gleichtakteingangsspannung UP = UN = UGL abhängig. Mit AGL als Gleichtaktverstärkung ergibt sich UA AGL UGL (12.84) Das Verhältnis der erwünschten offenen Schleifenverstärkung AD zur unerwünschten Gleichtaktverstärkung AGL wird als Gleichtaktunterdrückung (Common Mode Rejection Ratio) bezeichnet und ist ein Gütekriterium für den Operationsverstärker. CMRR AD AGL (12.85) Für ideale Operationsverstärker ist dieser Wert CMRR = . Beim Operationsverstärker UA 741 ist die Gleichtaktunterdrückung CMRR > 3104, sodass dieser Effekt in vielen Anwendungen vernachlässigt werden kann. Power-Supply-Rejection-Ratio Der ideale Operationsverstärker ist unempfindlich gegenüber Schwankungen der Versorgungsspannung. Bei realen Operationsverstärkern hängt die Ausgangsspannung in geringem Maß auch von Schwankungen der Versorgungsspannung ab, da die Versorgungsspannung Einfluss auf die Eigenschaften der elektronischen Schaltung im Innern des Operationsverstärkers hat. Dies wird durch die Versorgungsspannungsunterdrückung (Power-Supply-Rejection-Ratio PSRR) gekennzeichnet. Sie gibt das Verhältnis der Versorgungsspannungsänderung UCC zur Offset-Spannungsänderung UOFF an, die zu derselben Änderung UA am Ausgang führen. Für einen idealen Operationsverstärker ist die Versorgungsspannungsunterdrückung PSRR = . Bei dem Operationsverstärker UA 741 ist 4 PSRR > 310 , sodass dieser Effekt abgesehen von absoluten Präzisionsanwendungen vernachlässigt werden kann. 12.6.2 Auswirkung auf Wechselstrom-Eigenschaften Gain-Bandwidth-Product In diesem Buch werden nur Gleichströme betrachtet. Bei Wechselstrom-Anwendungen ist die Frequenzabhängigkeit des Operationsverstärkers von Bedeutung. Bei idealen Operationsverstärkern wird davon ausgegangen, dass ihre Verstärkung nicht von der Frequenz des Signals abhängt. Die Unabhängigkeit der Verstärkung von der Frequenz ist eine Forderung, die von realen Operationsverstärkern nicht eingehalten werden kann. Reale Operationsverstärker weisen auch ohne äußere Beschaltung eine Tiefpass-Charakteristik auf. Es zeigt sich, dass das Produkt von maximaler Signalfrequenz (Bandbreite) und Verstärkung konstant bleibt. Die Größe wird als Gain-Bandwidth-Product bezeichnet und im Datenblatt spezifiziert. Der Operationsverstärker UA 741 besitzt bei Gleichstromanwendungen eine offene Schleifenverstärkung AD = 2105. Bei einer Frequenz von 1 MHz beträgt der Verstärkungsfaktor nur noch AD = 1. Spannungsanstiegsrate Die Spannungsanstiegsrate (Slew Rate) gibt die maximal mögliche Spannungsänderung am Ausgang des Operationsverstärkers pro Zeit an. Sie repräsentiert die maximal mögliche Flankensteilheit des Ausgangssignals. Ein idealer Operationsverstärker weist eine unendlich hohe Spannungsanstiegsrate auf, bei realen Operationsverstärkern ist sie begrenzt. Beim Operationsverstärker UA 741 beträgt die Spannungsanstiegsrate 0.5V/µs. 12.7 Literaturverzeichnis 12.7.1 Literaturstellen zu den behandelten Grundlagen Elektrotechnik [Fueh11] A. Führer, K. Heidemann, W. Nerretter: Grundgebiete der Elektrotechnik: Band 1, 9. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2011 [Lind14] H. Lindner: Elektro-Aufgaben: Band 1, 30. Auflage, Carl Hanser Verlag, München, 2014 [Altm03] S. Altmann: Lehr- und Übungsbuch Elektrotechnik, 3. Auflage, Fachbuchverlag, Leipzig, 2003 12.7.2 Weiterführende Literatur zu den Beispielen [Stmi01] Datenblatt Operationsverstärker UA 741 von ST Microelectronics, http://www.st.com/content/st_com/en/products/amplifiers-and-comparators/operationalamplifiers-op-amps/standard-op-amps/ua741.html, 2001, Zugriff 03.03.2017 [Stin15] L. Stiny: Aktive elektronische Bauelemente, 2. Auflage, Springer ViewegVerlag, Wiesbaden, 2015 [Tiet16] U. Tietze, Ch. Schenk, E. Gamm: Halbleiter-Schaltungstechnik, 15.Auflage, Springer Verlag, Berlin, 2016 12.7.3 Interessante WEB-Links zum Thema [Leif16] Leifiphysik Elektrizitätslehre, http://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre Erklärung elektrischer Effekte mit Animationen, Versuchen und Aufgaben auf gut verständlichem Niveau, Zugriff 30.08.2016 [Simp16] TheSimplePhysics Elektrizität / E-Lehre, https://www.youtube.com/playlist?list=PLtChQtYYwX2OOFfJvpN_a3uLuoXG-_vD8 TheSimplePhysics, Online-Nachhilfe mit Lernvideos, Zugriff 30.08.2016 [Lbsb16] Landesbildungsserver Baden-Württemberg, http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_1/ Sammlung von Unterrichtsmaterialien für Schulen, Zugriff 30.08.2016
