Serie 10

Quantenmechanik II – SS 07 – Prof. M. Gaberdiel
Serie 10
Rückgabe 12.06.2007
Frage 1 [Klein-Gordon Gleichung ]:
(a) Leite aus der relativistischen Dispersionrelation (wir arbeiten mit c = 1 und ~ = 1)
E 2 = p2 + m2
mit Hilfe des Korrespondenzprinzips die Klein-Gordon Gleichung her
∂ 2 + m2 ψ(x, t) = 0 ,
wobei ∂ 2 = ∂µ ∂ µ =
∂2
∂t2
(1)
− ∆.
(b) Zeige, dass die Kontinuitätsgleichung
∂
ρ + div j = 0
∂t
gilt, wobei ρ und j durch
i
∂ψ ∗
∗ ∂
ρ =
ψ
ψ−
ψ
2m
∂t
∂t
1 ∗
∗
j =
ψ ∇ψ − (∇ψ) ψ
2im
definiert sind.
In der Quantenmechanik haben wir ρ als die Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert.
Wieso ist diese Interpretation hier nicht möglich?
(c) Konstruiere ebene Wellenlösungen der Klein-Gordon Gleichung, d.h. Lösungen der
Form
ψ(x, t) = N e−i(Et−p·x) .
Welche Energien E treten dabei auf?
Frage 2 [Dirac-Gleichung ]:
Wie wir in Aufgabe 1 gesehen haben, hat die Klein-Gordon-Gleichung Lösungen positiver und negativer Energie. Im wesentlichen kann dies darauf zurückgeführt werden,
dass die Klein-Gordon Gleichung eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist; dies hat
Dirac dazu bewogen, nach einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung zu suchen,
deren Quadrat gerade die Klein-Gordon Gleichung ist.
(a) Wir machen den Ansatz (Dirac Gleichung)
(iγ µ ∂µ − m)ψ = 0 .
Zeige, dass die Dirac-Gleichung die Klein-Gordon Gleichung impliziert
(−iγ µ ∂µ − m) (iγ ν ∂ν − m)ψ = ∂ 2 + m2 ψ = 0 ,
falls die γ µ die Dirac-Algebra erfüllen
{γ µ , γ ν } = 2g µν .
Hierbei ist g die Minkowski-Metrik, g = diag(1, −1, −1, −1).
(b) Zeige, dass die Matrizen
0 σ0
0
γ =
,
σ0 0
i
γ =
0 −σi
σi 0
,
i = 1, 2, 3 ,
eine Darstellung der Dirac-Algebra sind (Weyl-Darstellung). Hierbei sind die σµ die
zwei-dimensionalen Pauli-Matrizen
1 0
0 1
0 −i
1 0
σ0 =
,
σ1 =
,
σ2 =
,
σ3 =
.
0 1
1 0
i 0
0 −1
Da die γ µ 4 × 4 Matrizen sind, muss auch ψ ein 4-dimensionaler (Spalten-)Vektor
sein; er wird üblicherweise Dirac Spinor genannt.
(c) Zeige, dass die Kontinuitätsgleichung
∂
ρ + div j = 0
∂t
erfüllt ist, wobei nun
ρ = ψ̄ γ 0 ψ ,
j i = ψ̄ γ i ψ
und
ψ̄ = ψ † γ 0
ist. [ψ † ist also ein Zeilenvektor.] Was ist der wesentliche Unterschied zum Fall der
Klein-Gordon Gleichung?
(d) Bestimme die ebenen Wellenlösungen der Dirac-Gleichung
ψ (+) (x, t) = e−i(Et−p·x) u(E, p) ,
ψ (−) (x, t) = e+i(Et−p·x) v(E, p) .
[Hinweis: Da die Dirac-Gleichung die Klein-Gordon Gleichung impliziert, muss gelten, dass E 2 = p2 + m2 . Wegen der Lorentz-Invarianz der Dirac-Gleichung (die wir
nicht gezeigt haben), können wir dann annehmen, dass (E, p) = (m, 0).]
Hat Dirac’s Ansatz das Problem der Lösungen negativer Energie vermieden?