ExPhys 1, Vorlesung 5, 10.11.2010

Zur Erinnerung
Stichworte aus der Allgemeine Bewegung in einem beliebigen Kraftfeld
4. Vorlesung:
Ortsabhängige Kräfte (2. kosmische Geschwindigkeit)
Arbeit, Leistung
Konservative, nicht-konservative Kraftfelder
Linienintegral
Potentielle Energie (nur definiert in konservativen
Kraftfeldern), Wahl des Nullpunktes
Vorzeichendefinition, geleistete Arbeit (=Zunahme/Abnahme
der potentiellen Energie)
Kinetische Energie,
Energiesatz der Mechanik
Experimentalphysik I WS 2010/11
5-1
„Energieerhaltung“
Fadenpendel,
Federpendel:
Energiebilanz:
Experimentalphysik I WS 2010/11
5-2
Konservatives Kraftfeld
Definition über die
Arbeit längs einem
geschlossenen Weg:
 Fdr  0

F ist konservativ
Mathematisch „korrekte“ Formulierung
rot F  0
Das Kraftfeld ist an jedem Ort wirbelfrei!
Mit:


 Fz Fy Fx Fz Fy Fx 
rot F  

,

,



y

z

z

x

x

y
 

 

(
rot
F
)
y
( rot Fz )
 ( rot Fx )

Beweis über Satz von Stokes:
 F (r )dr   rot F dA  0
Experimentalphysik I WS 2010/11
(s. math. Ergänzungen)
5-3
Arbeit, potentielle und kinetische Energie
2

Arbeit: W1, 2  Fdr  E pot (1)  E pot (2)
1
Potentielle Energie: r2
 

W1,   Fdr  E pot (r1 )  E pot (r  )  0
1
1 2
E

mv
Kinetische Energie
kin
2
Energiesatz: Ekin ( P0 )  E pot ( P0 )  Ekin ( P1 )  E pot ( P1 )
Zusammenhang zwischen:
Potentielle Energie  Potential
Experimentalphysik I WS 2010/11

Kraft
5-4
Kraft und potentielle Energie (1)
Konservatives
Kraftfeld:
E pot 
E pot
x
x 
E pot
y
W  F  r  E pot
y 
E pot
x
Fy  
z
z
E pot  Fx x  Fy y  Fz z 
Vergleich für beliebiges x,
 Fx  
E pot
E pot
y
y, z
Fz  
E pot
z
F   gradE pot
Experimentalphysik I WS 2010/11
5-5
Kraft und potentielle Energie (2)
Gradient:
Definition:
gradE pot
Skalar
 E pot E pot E pot   

,
,
   E pot
y
z  
 x
Vektor
Weitere Definitionen:
  
 E pot   , ,  E pot
 x y z 

 E pot E pot E pot 
 E pot  
,
,
  gradE pot
y
z 
 x
  
Nabla-Operator:    , , 
 x y z 


Damit wieder:

F   gradE pot    E pot
Nicht verwechseln mit (s. später):
Fx Fy Fz



 div F
 
  F


x

y

z
Vektor Vektor
Skalar

Experimentalphysik I WS 2010/11
5-6
Gradient
2-dim.:
Der „Gradient“ der skalaren Funktion F(x.y) (hier: Fläche,
also 2-dimensional), berechnet am Punkt Pi = (xi, yi) ist
ein Vektor, der in Richtung der maximalen Steigung der
Fläche zeigt.
Experimentalphysik I WS 2010/11
5-7
Potentielle Energie, Potential und Feldstärke (1)
Definition des Potentielle Energie Epot einer Probemasse m bezogen
Potentials V: auf die Probemasse am Ort P für verschwindend kleine
Probemasse.
1
E pot ( P)
m0 m
V ( P)  lim
Beispiel Gravitationsfeld
der Erde:
Gravitationsfeldstärke:
V (r )  
GM E
r
m  M E
= „Kraft pro Masse“
F   gradE pot
G
F
m
E pot 
F
  grad
m
m 
  G   gradV
E pot

V

m
Feldstärke = - (Gradient des Potentials)
Experimentalphysik I WS 2010/11
5-8
Potentielle Energie, Potential und Feldstärke (2)
Kraftfeld: Konservatives Kraftfeld
F  F (r )
F   gradE pot
Potentielle Energie: Nullpunkt frei wählbar
(abh. von Masse m)
Potential: Epot bezogen auf
Probemasse
(unabh. von Masse m)
Feldstärke: Kraft pro Masse m
(unabh. von Masse m)
E pot   Fdr
1
E pot ( P)
m0 m
V ( P)  lim
G
F
m
G   gradV
Experimentalphysik I WS 2010/11
5-9
2.8 Drehimpuls (1)
Drehimpuls: Eine der wichtigsten Größen in der Physik (insbesondere
im Bereich der Mikrophysik, Elektronenhülle der Atome etc.);
wesentliche Größe der Dynamik für alle periodischen
Bewegungen
Verbindung der kinetischen Größen wie
Abstand r
Definition:
L  r  p  m(r  v)
v, p mit einem
Bewegung in einer Ebene
aufgespannt durch r und v
Lx  ypz  zp y
r  (rx , ry ,0)
Ly  zpx  xpz
p  ( p x , p y ,0)
Lz  xp y  ypx
 L  (0,0, Lz )
Experimentalphysik I WS 2010/11
L steht senkrecht auf r und p
5-10
Drehimpuls (2)
Richtungsbeziehungen
beim Drehimpuls:
z
L = (0, 0, Lz)
L=rp=mrv
L
y
v = (vx, vy, 0)
v t
v t
r = (x, y, 0)
x
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5-11
Drehimpuls (3)
Richtungsbeziehungen
beim Drehimpuls:
L = (0, 0, Lz)
L=rp=mrv
z
y
L
v = (vx, vy, 0)
v = Komponente  vr
vr = radiale
Komponente
x
v = (vr, v, 0)
vr dt = dr ⇅ r(t) bewirkt Änderung von |r(t)|
vdt = dr  r(t) bewirkt Änderung von , Richtung von r(t)
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5-12
Drehimpuls (4)

Bewegung in einer L  mr  v   m r  (vr  v )
festen Ebene:
L  mr  v 
da

r vr
Für Kreissegment gilt:
r  v  r  v  r  s
mit
ds  rd  s  r  v  r
r  v  r 2

Experimentalphysik I WS 2010/11
L  mr 2  mr 2  m  v  r
5-13
Drehimpuls (5)
Drehimpuls bei
gradliniger Bewegung:
L  mr  v
L  L  mvr sin  mvb

L = const. (unabhängig von r !) falls v = const.
Stoßparameter:
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b = „Stoßparameter“
5-14
Drehimpuls (6)
Drehimpuls bei
gleichförmiger
Kreisbewegung:
L  mr  v  
Mit
v  r
L  mr 2
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folgt:
(Betrag)

L  mr  
2
L  mrv  sin( r,v )  mrv da r  v
(vektoriel l)
5-15
Drehimpuls, Kraft, Drehmoment
Zeitliche Änderung L  r  p
des Drehimpulses:
dL
 r  p  r  p 
dt
 v  p  r  p   r  p 

v  p  v  mv   mv  v   0 )
(weil
Wegen
p  F
folgt
L  r  F 
Drehmoment: D  r  F 
D  L
Analogie
„Linearbewegung <>
dp
Drehbewegung“: F 
dt
Experimentalphysik I WS 2010/11
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses
ist gleich dem wirkenden Drehmoment

D
dL
dt
5-16
Drehimpuls und Drehmoment
Drehimpuls-Erhaltung:
D
dL
0
dt

L  const.
Analogie zum 2. Newtonschen Axiom:
Das Drehmoment ist die Ursache für eine Änderung des
Drehimpulses.
Zentralkraftfeld: F (r )  f (r )  rˆ
Kreisbahn
Ellipsenbahn
D  r  F   f (r )r  rˆ  0

L  const.
Bei einer Bewegung in einem Zentralkraftfeld bleibt der
Drehimpuls konstant.
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5-17
Drehimpulserhaltung (1)
Drehstuhlversuch: frei drehbar nur um z-Achse
Drehung um x- und y-Achse
nicht möglich, wird durch
Auflage verhindert.
Gesamtdrehimpuls bleibt
erhalten.
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5-18
Drehimpulserhaltung (2)
Drehstuhlversuch: Änderung der Massenverteilung:
L1
m
m
r1
L1  2mr121
L2
m
D0 
r2
L2  2mr222
L  const 
2mr121  2mr222
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m
L1  L2 

2
r2  r1  2  1
2 r1

 2

1 r2

5-19
Drehimpulserhaltung (3)
Drehstuhlversuch: Zusätzlicher Drehimpuls:
z
m
L1  L1z  0
L1
r1
m
x
L2
L2  L2 x  0 L2 z  0
L2
L2  L2 z  0
Drehimpulserhaltung:
D  0  L  const  L1  L2  0
 L2 z  L1z  0  L1z   L1x
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5-20
Drehimpulserhaltung (4)
„Fallende Katze“:
Experimentalphysik I WS 2010/11
5-21
Präzession (1)
Definition: Richtungsänderung des Drehimpulses durch
einwirkendes Drehmoment
z
S = Schwerpunkt
dL
LS
y
r
L´
dL = L dt  L (!)
D
F
D=L
Experimentalphysik I WS 2010/11
x
5-22
Präzession (2)
z
S = Schwerpunkt
dL
L
L´
S
r
dL = L dt  L (!)
D
F
D=L
Experimentalphysik I WS 2010/11
y
x
5-23