2. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik II
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Friedrich-Schiller Universität Jena SoSe 15 2. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik II Abgabe am Dienstag der 3. Semesterwoche in der Vorlesung. Aufgabe 4: (4 Punkte) 1 Fermionen auf einer Sphäre: N identische und nicht-wechselwirkende Spin- 2 Teilchen mit Masse m bewegen sich auf einer Kugeloberfläche mit Radius R. Geben Sie die Zahl N der Teilchen im System für den Fall an, dass die Grundzustandsenergie des Systems den Wert 42h̄2 E0 = 2mR 2 annimmt. Aufgabe 5: (8 Punkte) Fermionen in einem Potentialtopf: Betrachten Sie einen ein-dimensionalen Potentialtopf ( 0 falls 0 ≤ x ≤ a V (x) = , ∞ sonst in dem sich N identische und nicht-wechselwirkende Spin- 12 Teilchen befinden. (a) Beantworten Sie folgende Fragen: – Welches Energieniveau ist durch den höchsten Zustand im Spektrum besetzt, falls sich das System im Grundzustand befindet? – Wie lautet die Energie E0 für den Grundzustand des Systems? – Wie verhält sich E0 im Limes N 1? – Welche Energie hätte der Grundzustand für ein analoges System aus N nichtwechselwirkenden Bosonen? (b) Betrachten Sie den Spezialfall N = 2: – Bestimmen Sie die beiden niedrigsten Energieeigenwerte des Systems, – den jeweiligen Entartungsgrad, – die normierten Wellenfunktionen jeweils aller Eigenzustände. Wählen Sie dafür eine Basis, in der die Wellenfunktionen jeweils in einen räumlichen und einen Spin-Anteil mit wohldefinierter Permutationssymmetrie faktorisieren. Aufgabe 6: Permutations-Operator für zwei Spin- 12 Teilchen: Wenden Sie den Operator (4 Punkte) 3 P12 1X = σµ ⊗ σµ , 2 µ=0 mit (σµ ) = (12 , σ) jeweils auf die Basiszustände 1 1 ⊗ , etc. 0 0 an, um zu zeigen, dass dieser Operator zwei Spin-Variablen vertauscht, d.h. P12 ψ(ms1 , ms2 ) = ψ(ms2 , ms1 ). (Hinweis: die “Leiteroperatoren” σ± = 21 (σx ± iσy ) könnten nützlich sein.)
