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1.4.5. Binomialverteilung
DEF: Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der
Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 – p.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge heißt
BINOMINALVERTEILUNG.
SATZ: Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei einem n-stufigen Bernoulliversuch berechnet sich
nach der Formel:
n
P(X  k)     pk  qn-k
k 
Beispiel: Eine Münze wird 5-mal geworfen. Zu bestimmen ist die Verteilung der Zufallsgröße X:
Anzahl der Wappen.
k
P(X=k)
0
1
 5  1   1 
     
0  2   2 
1

32
 0,03125
0
5
 5  1   1 
    
1  2   2 
5

32
 0,15625
1
2
4
 5  1   1 
    
2  2   2 
10

32
 0,3125
2
3
4
 5  1   1 
    
 3  2   2 
10

32
 0,3125
3
3
5
 5  1   1 
    
4  2   2 
5

32
 0,15625
2
4
1
 5  1   1 
     
 5  2   2 
1

32
 0,03125
5
0
Diese Verteilung lässt sich auch in einem Histogramm darstellen.
P(X=k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
Aus dieser Verteilung lassen sich bestimmen:
- höchstens 3-mal Wappen
P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) =
-
weniger als 3-mal Wappen
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =
-
1 5 10 10 26
     0,8125
32 32 32 32 32
1 5 10 16
    0,5
32 32 32 32
mindestens 1-mal Wappen
P(X ≥ 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) =
5 10 10 5 1 31
      0,96875
32 32 32 32 32 32
-
mehr als 1-mal Wappen
10 10 5 1 26
     0,8125
32 32 32 32 32
P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) =
Binomialverteilungen lassen sich auch mit Tabellenkalkulationen berechnen. In Excel dienen dazu
folgende Funktionen:
Binomialverteilung:
=BINOMVERT(k;n;p;FALSCH)
kumulierte Binomialverteilung:
=BINOMVERT(k;n;p;WAHR)
n=
p=
Anzahl der
Erfolge
genau 3 Mal
Wappen
k
0
1
2
3
4
5
Anzahl der
Versuche
5
0,5
P(X=k)
0,03125
0,15625
0,31250
0,31250
0,15625
0,03125
P(X<=k)
0,03125
0,18750
0,50000
0,81250
0,96875
1,00000
Wahrscheinlichk
eit für „Erfolg“
weniger als
3 Mal
Wappen
höchstens 3
Mal
Wappen
„Mindestens 1-mal Wappen“ entspricht „höchstens 4-mal Zahl“. Man erhält aus der Tabelle für k = 4
die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 4) = 0,96875.
„Mehr als 1-mal Wappen“ (P(X > 1) ist das Gegenereignis zu „höchstens 1-mal Wappen“ P(X ≤1).
Damit ist (P(X > 1) = 1 – 0,1875 = 0,8125.