¤Info Kleines Computer-Lexikon (wird von LETRA98 benutzt

¤Info
Kleines Computer-Lexikon
(wird von LETRA98 benutzt)
Geometrie Sekundarstufe I
© by J. Widmer, ATEUS 98
Zweck:
 Nachschlagen von unbekannten Begriffen
 Repetition und Prüfungsvorbereitung
 Vernetzen des Lernstoffes durch "Surfen" im Lexikon
¤Achsenspiegelung
auch Geradenspiegelung, eine Kongruenzabbildung
s.a Achsenspiegelung_Film
Eigenschaften:
1. Originalfigur und Bildfigur haben gleiche Gestalt und Grösse,
sie sind deckungsgleich. Daraus folgt:
- die Länge einer Strecke bleibt erhalten
- die Grösse eines Winkels bleibt erhalten
- parallele Geraden bleiben parallel
2. Achsensymmetrische Punkte haben gleichen Abstand von der
Symmetrieachse. Punkte auf der Symmetrieachse fallen mit
ihrem Bildpunkt zusammen.
3. Die Verbindungsgerade achsensymmetrischer Punkte steht
rechtwinklig zur Symmetrieachse (= Mittelsenkrechte).
4. Achsensymmetrische Geraden sind parallel zur Symmetrieachse
oder schneiden sich auf der Achse und bilden mit ihr gleich
grosse Winkel (= Mittelparallele bzw. Winkelhalbierende)
5. Originalfigur und Bildfigur haben den gleichen Umlaufsinn.
6. Eine Achsenspiegelung (Geradenspiegelung) ist durch die
Spiegelachse (Symmetrieachse) eindeutig festgelegt.
BILDpict/spiegel.bmp
¤Achsenspiegelung_Film
s.a. Achsenspiegelung
BILDpict/achsensp.avi
¤Aehnlichkeitssätze
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei entsprechenden Winkeln
übereinstimmen.(ww)
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten
und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.(sws)
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten
und dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel
übereinstimmen.(ssW)
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis der drei Seiten
übereinstimmen. (sss)
¤Aussenwinkel
Ein Aussenwinkel am Dreieck ist gleich der Summe der nicht
anliegenden Innenwinkel
BILDpict/aussenwi.bmp
¤Basiswinkel
Im gleichschenkligen Dreieck gilt:
Basiswinkel sind gleich gross.
BILDpict/basisw.bmp
¤Berührungsradius
Der Berührungsradius steht rechtwinklig zur Tangenten.
BILDpict/kreis2.bmp
¤Bogen
Es gilt die Proportion:
Bogen : Umfang = Zentriwinkel : 360°
BILDpict/bogen.bmp
¤Drachenviereck
auch Deltoid
- es hat eine Symmetrieachse
- die Diagonalen stehen rechtwinklig zueinander
e·f
A = —————
2
BILDpict/drachenv.bmp
Fläche:
¤Drehung
auch Rotation, eine Kongruenzabbildung
s.a Drehung_Film
Eigenschaften:
1. Jeder Punkt der Originalfigur bewegt sich
- um den gleichen Drehwinkel
- im gleichen Drehsinn
- auf einem Kreis um das Drehzentrum
2. Originalfigur und Bildfigur haben gleiche Gestalt und Grösse,
sie sind deckungsgleich. Daraus folgt:
- die Länge einer Strecke bleibt erhalten
- die Grösse eines Winkels bleibt erhalten
- parallele Geraden bleiben parallel
3. Die Verbindungsstrecken entsprechender Punkte mit dem Drehzentrum bilden gleiche Winkel (= Drehwinkel).
4. Originalfigur und Bildfigur haben den gleichen Umlaufsinn.
5. Eine Drehung ist durch das Drehzentrum, den Drehwinkel und
den Drehsinn eindeutig festgelegt.
BILDpict/rotation.bmp
¤Drehung_Film
s.a. Drehung
BILDpict/drehung.avi
¤Dreieck
Grundlinie mal Höhe
Fläche des Dreiecks = ———————————————————
2
g·h
A = ———
2
BILDpict/dreieck.bmp
¤Flächenverhältnis
Das Verhältnis der Flächen zweier ähnlicher Figuren ist gleich
dem Quadrat des Streckungsfaktors:
2
A' : A = k
BILDpict/aehnl1.bmp
¤Flächenverwandlung Dreieck
auch Scherung
Solange die Grundlinie g und die zugehörige Höhe h im
Dreieck gleich bleiben, bleibt die Dreiecksfläche gleich.
BILDpict/scherdre.avi
¤Flächenverwandlung Parallelogramm
auch Scherung
Solange die Grundlinie g und die zugehörige Höhe h im
Rhomboid gleich bleiben, bleibt die Fläche gleich.
BILDpict/scherpar.avi
¤Gegenwinkel
Gegenwinkel an Parallelen messen zusammen 180 Grad
BILDpict/gegenwin.bmp
¤Geradenspiegelung
eine Kongruenzabbildung, siehe Achsenspiegelung
BILDpict/spiegel.bmp
¤g.O.
geometrischer Ort, geometrische Örter, Ortslinien
Linien, deren Punkte bestimmte Bedingungen erfüllen, heissen geometrische Örter.
Beispiele:
 Der g.O. aller Punkte, die von einem Punkt gleich weit entfernt sind, ist der
Kreis.
 Der g.O. aller Punkte die von 2 Punkten die gleiche Entfernung haben, ist die
Mittelsenkrechte.
 Der g.O. aller Punkte, die von 2 parallelen Geraden den gleichen Abstand haben,
ist die Mittelparallele.
 Der g.O. aller Punkte, die von einer Geraden den gleichen Abstand haben, ist das
Parallelenpaar.
 Der g.O. aller Punkte, die von zwei sich schneidenden Geradenb den gleichen
Abstand haben, ist das Winkelhalbierendenpaar.
 Der g.O. aller Punkte, von denen aus eine Strecke unter dem gleichen Winkel
erscheint, ist das Ortsbogenpaar.
¤geometrischer Ort
s. g.O.
¤gleichliegende Winkel
Gleichliegende Winkel (auch Stufenwinkel) an Parallelen
sind gleich gross
BILDpict/stufenwi.bmp
¤Höhensatz
s.a. Höhensatz_Film
Höhensatz des Euklid:
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe
flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten.
2
h
= pq
BILDpict/hoehens1.bmp
¤Höhensatz_Film
s.a. Höhensatz
BILDpict/hoehens.avi
¤Hypotenuse
Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
¤Hypotenusenabschnitte
Im rechtwinkligen Dreieck teilt der Fusspunkt der Höhe zur
Hypotenuse diese in die beiden Hypotenusenabschnitte.
(im Bild p und q)
BILDpict/hoehens1.bmp
¤Inkreismittelpunkt
Die Winkelhalbierenden im Dreieck schneiden sich im
Inkreismittelpunkt.
BILDpict/inkreism.bmp
¤Innenwinkel
Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°.
Die Summe der Innenwinkel im Viereck beträgt 360°.
¤Kathete
Die beiden kürzeren Seiten im rechtwinkligen Dreieck
heissen Katheten.
¤Kathetensatz
Kathetensatz des Euklid
s.a. Kathetensatz_Film
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete
flächengleich dem Rechteck, gebildet aus der Hypotenuse und
dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.
BILDpict/katheten.bmp
¤Kathetensatz_Film
s.a. Kathetensatz, Pythagoras
BILDpict/katheten.avi
¤Kongruenzsätze
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seiten
übereinstimmen. (sss)
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von
ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. (sws)
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden
anliegenden Winkeln übereinstimmen. (wsw)
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem
der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.
(ssW)
¤Kreis
Bezeichnungen:
1
2
3
4
5
6
Sehne
Sekante
Durchmesser
Zentrale
(Berührungs-)radius
Tangente
Berechnung:
u = 2r
7
8
9
10
11
Peripherie (Kreisrand)
Peripheriewinkel
Zentriwinkel
Sektor(-fläche)
Segment
A = r²
BILDpict/kreisbez.bmp
¤Mittelparallele im Dreieck
Sie halbiert zwei Dreiecksseiten und liegt
parallel zur dritten Seite.
BILDpict/mittelpa.bmp
¤Nebenwinkel
Nebenwinkel messen zusammen 180 Grad.
BILDpict/nebenwin.bmp
¤Ortsbogen
Der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus eine gegebene
Strecke unter einem gegebenen Winkel erscheint, ist das Ortsbogenpaar.
Alle Peripheriewinkel über der gleichen Sehne (bzw. über dem
gleichen Bogen) sind gleich gross.
Jeder Peripheriewinkel ist halb so gross wie der zugehörige
Zentriwinkel.
BILDpict/ortsboge.bmp
¤Parallelogramm
s. Rhomboid, Rhombus, Rechteck, Quadrat
¤Parallelverschiebung
auch Translation, eine Kongruenzabbildung
s.a. Parallelverschiebung_Film
Eigenschaften:
1. Jeder Punkt der Originalfigur bewegt sich
- um die gleiche Strecke
- in der gleichen Richtung
- auf einer Geraden, die zu den andern Verschiebungsgeraden parallel ist
2. Originalfigur und Bildfigur haben gleiche Gestalt und Grösse,
sie sind deckungsgleich. Daraus folgt:
- die Länge einer Strecke bleibt erhalten
- die Grösse eines Winkels bleibt erhalten
- parallele Geraden bleiben parallel
3. Eine in der Verschiebungsrichtung liegende Gerade wird in
sich selbst verschoben, jede andere Gerade geht in eine
entsprechende parallele Gerade über.
4. Originalfigur und Bildfigur haben den gleichen Umlaufsinn.
5. Eine Parallelverschiebung ist durch einen Schiebungspfeil
(Vektor) eindeutig festgelegt.
BILDpict/translat.bmp
¤Parallelverschiebung_Film
s.a. Parallelverschiebung
BILDpict/parallel.avi
¤Peripherie
s. Kreis
¤Peripheriewinkel
s.a. Peripheriewinkel_Film
Sie haben ihren Scheitelpunkt auf der Peripherie eines Kreises.
Ihre Schenkel schneiden die Peripherie (den Kreis)
Alle Peripheriewinkel über der gleichen Sehne (bzw. über dem
gleichen Bogen) sind gleich gross.
Jeder Peripheriewinkel ist halb so gross wie der zugehörige
Zentriwinkel.
BILDpict/peripher.bmp
¤Peripheriewinkel_Film
s.a. Peripheriewinkel
BILDpict/periwin.avi
¤Prisma
BILDpict/prisma.bmp
¤Proportion
Eine Proportion ist die Gleichsetzung zweier Verhältnisse
(auch Verhältnisgleichung oder Quotientengleichung):
z.B.:
a : b = c : x
Es gilt:
a : b = c : x
<=>
ax = bc (Kreuzprodukt,Produktengleichung)
—————————————
———————
x wird "4. Proportionale" genannt:
x = bc : a
Spezialfall:
die stetige Proportion
2
a : x = x : b <=>
x
=
ab
x wird "mittlere Proportionale" genannt:
x = Wurzel aus ab
¤Punktspiegelung
auch Drehung um 180 Grad, eine Kongruenzabbildung
s.a. Punktspiegelung_Film
Eigenschaften:
1. Jeder Punkt der Originalfigur bewegt sich
- um 180 Grad
- auf einem Kreis um das Drehzentrum
2. Originalfigur und Bildfigur haben gleiche Gestalt und Grösse,
sie sind deckungsgleich. Daraus folgt:
- die Länge einer Strecke bleibt erhalten
- die Grösse eines Winkels bleibt erhalten
- parallele Geraden bleiben parallel
3. Punktsymmetrische Punkte liegen gleich weit vom
Symmetriezentrum entfernt.
4. Die Verbindungsstrecke punktsymmetrischer Punkte geht
durch das Symmetriezentrum.
5. Punktsymmetrische Geraden sind parallel oder liegen auf einer
Geraden, die durch das Symmetriezentrum geht.
6. Originalfigur und Bildfigur haben den gleichen Umlaufsinn.
7. Eine Drehung ist durch das Drehzentrum (Symmetriezentrum)
eindeutig festgelegt.
BILDpict/punktspi.bmp
¤Punktspiegelung_Film
s.a. Punktspiegelung
BILDpict/punktsp.avi
¤Pyramide
A·h
V = —————
3
(A = Grundfläche)
BILDpict/pyramide.bmp
¤Pythagoras
Im rechwinkligen Dreieck gilt:
Das Hypotenusenquadrat ist gleich der Summe aus den beiden
Kathetenquadraten.
2
a
2
+
b
2
=
c
s.a. Kathetensatz, Kathetensatz_Film
BILDpict/pythagor.bmp
¤Quader
V = l·b·h
BILDpict/quader.bmp
¤Quadrat
spezielles Parallelogramm
Seitenlängen:
Gegenseiten:
Summe der Eckwinkel:
gegenüberliegende Winkel:
Länge der Diagonalen:
Diagonalenabschnitte:
Diagonalenwinkel:
Eckwinkel:
Symmetrieachsen:
Symmetriezentrum:
Inkreis:
Umkreis:
alle vier gleich lang
gleich lang, parallel
360 Grad
gleich gross, 90 Grad
gleich lang
alle gleich lang
je 90 Grad
90 Grad, werden halbiert
4: Diagonalen, Mittellinien
Diagonalenschnittpunkt
ja
ja
BILDpict/quadrat.bmp
¤Rechteck
spezielles Parallelogramm
Seitenlängen:
Gegenseiten:
Summe der Eckwinkel:
gegenüberliegende Winkel:
Länge der Diagonalen:
Diagonalenabschnitte:
Diagonalenwinkel:
Eckwinkel:
Symmetrieachsen:
Symmetriezentrum:
Inkreis:
Umkreis:
je zwei gleich lang
gleich lang, parallel
360 Grad
gleich gross
gleich lang
alle gleich lang
nicht 90 Grad
werden nicht halbiert
2: Mittellinien
Diagonalenschnittpunkt
nein
ja
¤Rechtwinkliges Dreieck
Die beiden kleineren Seiten heissen Katheten,
die grösste Hypotenuse.
Es gilt der Satz des Pythagoras:
Das Hypotenusenquadrat ist gleich der Summe aus den
Kathetenquadraten.
2
a
2
+
b
2
=
c
Der Umkreis des rechtwinkligen Dreiecks ist der Thaleskreis.
BILDpict/redrei1.bmp
¤Rhomboid
allgemeines Parallelogramm
Seitenlängen:
Gegenseiten:
Summe der Eckwinkel:
gegenüberliegende Winkel:
je zwei gleich lang
gleich lang, parallel
360 Grad
gleich gross
Länge der Diagonalen:
Diagonalenabschnitte:
Diagonalenwinkel:
Eckwinkel:
Symmetrieachsen:
Symmetriezentrum:
Inkreis:
Umkreis:
nicht gleich lang
je zwei gleich lang
nicht 90 Grad
werden nicht halbiert
keine
Diagonalenschnittpunkt
nein
nein
BILDpict/rhomboid.bmp
¤Rhombus
spezielles Parallelogramm
Seitenlängen:
Gegenseiten:
Summe der Eckwinkel:
gegenüberliegende Winkel:
Länge der Diagonalen:
Diagonalenabschnitte:
Diagonalenwinkel:
Eckwinkel:
Symmetrieachsen:
Symmetriezentrum:
Inkreis:
Umkreis:
alle vier gleich lang
gleichlang, parallel
360 Grad
gleich gross
nicht gleich lang
je zwei gleich lang
90 Grad
werden halbiert
2: Diagonalen
Diagonalenschnittpunkt
ja
nein
BILDpict/rhombus.bmp
¤Rotation
auch Drehung, eine Kongruenzabbildung
BILDpict/rotation.bmp
¤Scheitelpunkt
Schnittpunkt der Schenkel eines Winkels
¤Scheitelwinkel
Scheitelwinkel sind gleich gross.
BILDpict/scheitel.bmp
¤Schwerpunkt
Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) im Dreieck schneiden
sich im Schwerpunkt.
Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden
im Verhältnis 1 : 2
BILDpict/schwerpu.bmp
¤Segment
s. Kreis
¤Sehnen
Gleichlange Sehnen im gleichen Kreis haben
gleiche Abstände von Zentrum.
BILDpict/sehnen.bmp
¤Sehnenviereck
Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck
messen zusammen 180°.
BILDpict/sehnenvier.bmp
¤Seitenhalbierende
Die Seitenhalbierenden (Schwerlinien) im Dreieck schneiden
sich im Schwerpunkt.
Sie teilen sich im Verhältnis 1 : 2
BILDpict/schwerpu.bmp
¤Sektor
Für die Sektorfläche (A) gelten die Proportionen:
Sektorfläche : Kreisfläche = Bogen : Umfang
und
Sektorfläche : Kreisfläche = Zentriwinkel : 360 Grad
Es gilt auch:
A = b·r : 2
s.a. Kreis
BILDpict/sektor.bmp
¤Spiegelung
siehe Punktspiegelung oder Achsenspiegelung
¤Strahlensatz 1
Erster Strahlensatz:
Werden die Schenkel eines Winkels von parallelen Geraden
geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen
Schenkel wie die entsprechenden Abschnitte auf dem andern
Schenkel.
BILDpict/strahl1.bmp
¤Strahlensatz 2
Zweiter Strahlensatz:
Werden die Schenkel eines Winkels von parallelen Geraden
geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen
wie die Abschnitte auf einem Schenkel vom Scheitelpunkt aus
gemessen.
—————
BILDpict/strahl2.bmp
¤Streckung
siehe zentrische Streckung
¤Streckungsfaktor
auch Aehnlichkeitsverhältnis
bei ähnlichen Figuren gilt für den Streckungsfaktor k:
k = Bildstrecke : entsprechender Originalstrecke
k<1
k=1
k>1
—> Verkleinerung
—> Original- und Bildfigur sind kongruent
—> Vergrösserung
Flächenverhältnis:
Das Verhältnis der Flächen zweier ähnlicher Figuren ist gleich
dem Quadrat des Streckungsfaktors:
2
A' : A = k
BILDpict/aehnl1.bmp
¤Stufenwinkel
Stufenwinkel (auch gleichliegende Winkel) an Parallelen
sind gleich gross
BILDpict/stufenwi.bmp
¤Symmetrieachse
auch Spiegelachse, siehe Achsenspiegelung
BILDpict/spiegel.bmp
¤Symmetriezentrum
Drehzentrum einer Drehung um 180 Grad (Punktspiegelung)
BILDpict/punktspi.bmp
¤Tangente
Tangenten (t) stehen rechtwinklig zum Berührungsradius.(r)
BILDpict/kreis2.bmp
¤Tangenten an Kreis
Tangenten stehen rechtwinklig zum Berührungsradius.
BILDpict/tangente.bmp
¤Translation
auch Parallelverschiebung, eine Kongruenzabbildung
BILDpict/translat.bmp
¤Trapez
Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind
BILDpict/trapez.bmp
¤Umkreismittelpunkt
Die Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten schneiden sich
im Umkreismittelpunkt.
BILDpict/umkreism.bmp
¤Verhältnis
Unter dem Verhältnis zweier Grössen versteht man den Quotienten
ihrer Masszahlen.
Beispiel:
Eine Strecke a misst 6cm, eine Strecke b 4cm.
Ihr Verhältnis (a : b) ist
6cm : 4cm = 6 : 4 = 3 : 2 = 1,5 : 1 = 1,5
¤Wechselwinkel
Wechselwinkel an Parallelen sind gleich gross.
BILDpict/wechselw.bmp
¤Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierenden im Dreieck schneiden sich im Inkreismittelpunkt.
Die Winkelhalbierende teilt eine Dreiecksseite im Verhältnis der
anliegenden Seiten:
u : v = b : a
BILDpict/winkelha.bmp
¤Winkel halbieren
Konstruktion (Film)
BILDpict/winkelhalb.avi
¤Würfel
V = s³
O = 6s²
BILDpict/wuerfel.bmp
¤zentrische Streckung
Unter einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum Z und dem
Streckungsfaktor k verstehen wir eine punktweise Abbildung
nach folgender Vorschrift:
1. Jeder von Z verschiedene Punkt A wird in den Bildpunkt A'
abgebildet, dass gilt:
___
__
A'Z : AZ = k (Streckungsverhältnis)
A, Z und A' liegen auf der gleichen Geraden
2. Das Zentrum Z wird auf sich selbst abgebildet: Z=Z'
Eigenschaften zentrisch gestreckter Figuren:
- sie sind ähnlich (winkeltreu und verhältnistreu)
- Geraden durch Z werden auf sich selbst abgebildet,
jede andere Gerade wird in eine zu ihr parallelen Gerade
abgebildet
- der Umlaufsinn von Original- und Bildfigur ist gleich
Zum Beispiel im Bild:
Streckungsverhältnis:
k = a' : a = b' : b = c' : c = 5 : 2 = 2,5
(d.h. jede Bildstrecke ist 2,5 mal so lang wie ihre entsprechende Originalstrecke)
Flächenverhältnis:
k² = A' : A = 25 : 4 = 6,25
(Beispiel)
(d.h. die Bildfläche ist 6,25 mal so gross wie die Originalfläche)
BILDpict/zstreck1.bmp
¤zentrische Streckung (Film)
s.a. zentrische Streckung
BILDpict/streckg.avi
¤Zentriwinkel
Er hat seinen Scheitelpunkt im Zentrum eines Kreises.
Jeder Peripheriewinkel ist halb so gross wie der zugehörige
Zentriwinkel.
BILDpict/zentriw.bmp
¤Zylinder
d²
V = ————— · h
4
d²
O = ————— + dh
2
(dh = Mantel)
BILDpict/zylinder.bmp