Zahlensysteme

Bemerkungen zur Didaktik und Methodik der Themen Stellentafel, Zahlensysteme
und Potenzen (für Eltern und Lehrer)
Seit einigen Jahre unterrichte ich auch an einer OS. In der 5. Klasse wird
im 1. Kapitel (S. 6-35) zu den natürlichen Zahlen auch das 4er-und das
2er-System behandelt. Diese Systeme werden unter dem Gesichtspunkt
besprochen, dass sich Zahlen auch anderes als gewohnt darstellen lassen. So
wird als weiteres Beispiel für eine andere Darstellung der Zahlen das System
der Römer besprochen.
Dieser Aspekt wird der Behandlung des Themas m.E. absolut nicht gerecht. Auch
die Potenzen werden nicht in den Gesamtzusammenhang einbezogen. Daher will
ich meine Sicht der Dinge hier kurz vortragen.
Die Erfindung der Null war eine der größten Leistungen in der Mathematik,
denn dadurch lassen sich beliebig große Zahlen mit Hilfe dieser 0 und
zusätzlich einer bestimmten weiteren Anzahl von vorgegebenen Ziffern
darstellen. Außerdem ermöglicht es die Multiplikation wie wir sie kennen.
Mit den römischen Zahlen lassen sich solche Rechnungen nicht durchführen.
Auch konnten die Römer keine Brüche darstellen.
Vorbemerkung: Bevor man Zahlensysteme bespricht, sollte den Schülern der
Potenzbegriff geläufig sein. Dieser lässt sich leicht durch
Kopfrechenübungen festigen. Solche Kopfrechenübungen machen den meisten
Schülern Spaß. Außerdem herrscht eine ungewöhnlich große Konzentration, so
dass man solche Übungen unbedingt von Zeit zu Zeit durchführen sollte.
(Beispiele für Potenzen: 33=3·3·3, 45=4·4·4·4·4, usw.)
Zahlensysteme: Wir sind es gewohnt, dass wir die Ziffern 0 bis 9 benutzen.
Wir zählen also: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 usw. Nach der 9 wird
also eine neue Stelle eingeführt, die Zehnerstelle. 23 bedeutet im Prinzip:
2·10+3 oder 2Z + 3E, weil die 2 an der Zehnerstelle steht (Solche
Zerlegungsaufgaben werden dann auch im Unterricht behandelt, S.9). Links vor
der 10er-Stelle kommen dann die Hunderter usw. Dieses Stellenwertsystem ist
ebenfalls Thema in dieser Klassenstufe. Es wird dort leider nicht direkt in
einen Zusammenhang mit den anderen Zahlensystemen und den Potenzen gestellt.
Aber in anderen Systemen funktioniert das Zählen genauso. Das sei hier
beispielhaft ausgeführt:
Im 2er-System gibt es nur die Ziffern 0 und 1. Daher wird folgendermaßen
gezählt: 0, 1, 10, 11, 100, 101, usw.
Hier erscheint die 10 schon nach der 1, weil es keine größeren Ziffern als
die 1 gibt. Die 10er im 2er-System entsprechen also den Zweiern im
10er-System.
Im 3er-System gibt es drei Ziffern nämlich 0 1, und 2, man zählt:
0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, usw.
Im 6er-System (6 Ziffern:0,1,2,3,4,5): 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14,
15, 20, 21, ...... 55, 100, .....
D.h. man zählt an der Einerstelle von 0 bis zur größten Ziffer (0, .. 5),
dann kommt die 10, dann wird wieder die Einerstelle hochgezählt 11, .. 15),
dann wird die Zehnerstelle erhöht (20), dann wird wieder die Einerstelle
hochgezählt (21, .. 25)) usw. Dasselbe Prinzip wird dann auf die
Hunderterstelle angewandt. Man sieht, dass das Prinzip des
Stellenwertsystems in allen Zahlensystemen gleich ist. Das können die Schüler
selbst erarbeiten.
Die Bedeutung des Stellenwertsystems wird den Schülern erst dann klar, wenn
sie mehrere Stellenwertsysteme kennengelernt haben. Wird das nur für das
10er-System durchgeführt, so bleibt es im Wesentlichen totes Wissen.
Die Zehnerpotenzen werden auf S. 11 behandelt. Leider wird keine
Verallgemeinerung auf andere Potenzen durchgeführt, was aber unbedingt
erforderlich ist, wenn die Schüler den Potenzbegriff verstehen sollen (s.o.).
Daher übe ich ihn vor Einführung des Stellenwertsystems ein. Die
10er-Potenzen benötigt man nun für das Stellenwertsystem. Es gilt nämlich:
Zehner=Z=10=101, Hunderter=H=102=100, Tausender=T=103=1000, usw. Die
Hochzahl gibt an, wieviele Nullen hinter der 1 stehen bzw. wie oft die 10
mit sich selbst multipliziert werden muss, um das Ergebnis zu erhalten. So
bedeutet:
105 = 10·10·10·10·10 = 100000, oder 3·105 = 300000. (s.S.11).
Es werden dann Aufgaben folgender Art gerechnet:
32228662 = 3·107 + 2·106 + 2·105 + 2·104 + 8·103 + 6·102 + 6·10 + 2 oder auch:
7·104 + 3·103 + 9·102 + 9·10 + 6 = 73996
Damit soll ein Zusammenhang zwischen 10er-Potenzen und dem Stellenwert
hergestellt werden. Da die Schüler das aber nicht in anderen Systemen
kennenlernen, können sie die Verallgemeinerung nicht in ihrem Kopf selbst
durchführen. Es gilt nämlich in jedem System:
(1)
103·104 = 107
(die 10 hat aber natürlich in jedem System eine andere Bedeutung)
In unserem bekannten 10er-System würde die Gleichung bedeuten:
(2)
Tausend · Zehntausend = Zehnmillionen
Im 2er-System (0,1,10,11,100,101,110,111,1000,....) dagegen würde sie
bedeuten:
(3)
Acht · Sechzehn = Hundertachtundzwanzig
Das kann man daran erkennen, das die 10 im 2er-System der 2 im 10er-System
entspricht. D.h. die Gleichung (1) lässt sich im 10er-System so darstellen:
(4)
23 · 24 = 27
Um diese Zusammenhänge zu erarbeiten, benutze ich das Arbeitsblatt
"Zahlensysteme", das Sie ebenfalls herunterladen können und sich ausdrucken
können. Hier nun einige Erläuterungen zu diesem Arbeitsblatt:
1. Die erste Aufgabe besteht darin, das Zählen in verschiedenen Systemen zu
erlernen und damit das Stellenwertsystem zu verinnerlichen. Daran, dass
hier zunächst noch viele Fehler gemacht werden, erkennt man, dass das
zugrundeliegende Prinzip den Schülern eben nicht völlig klar ist. Damit
jeder feststellen kann, ob er Fehler gemacht hat, sind weiter unten
bestimmte Zellen der Tabelle bereits ausgefüllt. Ergibt sich diese Zahl
nicht richtig, so muss man seine Zählung überprüfen.
2. Im zweiten Schritt sollen die Schüler zu der "Entdeckung" geführt werden,
dass die Potenzen beliebiger Zahlen im 10er-System gerade den
10er-Potenzen in den entsprechenden Systemen entsprechen.
3.
4.
5.
6.
Also: 3=(31)10=(10)3, 9=(32)10=(100)3, 27=(33)10=(1000)3, usw.
Oder: 4=(41)10=(10)4, 16=(42)10=(100)4, 64=(43)10=(1000)4, usw.
Hinter den Klammern wird hier mit dem Index angegeben, in welchem System
die Zahl ausgedrückt wurde.
Nachdem man sich diese Orientierungspunkte erarbeitet hat, kann man nun
an die "Erforschung" einer allgemeinen Umrechnungsmethode gehen, d.h.
nach einer Methode zu suchen, wie man eine Zahl aus dem 10er-System in
eine Zahl aus einem anderen System umrechnen kann.
Man kann z.B. so vorgehen (2er-System: in Potenzen des 2er-Systems
zerlegen):
(35)10 = (32 + 2 + 1 = 25 + 21 + 1)10 = (105 + 10 + 1)2 = (100011)2
Für das 3er-System gilt entsprechend:
(35)10 =(27 + 2·3 + 2 = 33 + 2·31 + 2)3 =(1·103 + 0·102 + 2·101 + 2)3 =(1022)3
Danach kann die Suche nach dem umgekehrten Weg einsetzen, d.h. wie man
Zahlen aus anderen Systemen in das 10er-System umrechnet. Diese Aufgabe
ist an sich einfacher als die Umrechnung in andere Systeme. Ein Beispiel
dafür:
(321)4 = (3·102 + 2·101 + 1)4 = (3·16 + 2·4 + 1)10 = (48 + 8 + 1)10 = 57
Bei anderen Systemen geht das im Prinzip genauso:
(241)6 = (2·102 + 4·101 + 1)6 = (2·36 + 4·6 + 1)10 = (72 + 24 + 1)10 = 97
Nun könnte man die "Entdeckungsreise" noch fortsetzen, indem man überlegt,
wie man z.B. im 3er-System rechnet. Dazu benötigt man das kleine
Einmaleins. Die Bedeutung dieses "Einmaleins" dürfte den Schülern kaum
völlig klar sein. Hier erfahren sie, warum man für Rechnungen das kleine
Einmaleins auswendig beherrschen muss und dass im 3er-System ein anderes
Einmaleins benötigt wird als im 10er-System.
Schließlich kann man begabte Schüler auch an die Untersuchung des
16er-Systems heranführen, das deshalb von besonderer Schwierigkeit ist,
weil nun zusätzlich neue Ziffern eingeführt werden müssen. Eine Zahl wie
z.B. (A3)16 ist zunächst natürlich völlig ungewohnt. Im 10er-System wäre
es 163 (s. Tabelle im Arbeitsblatt). Ich will hier jetzt nicht näher auf
dieses System eingehen.
Hier zu Anschauung das Einmaleins im 5er- und 10er-System:
*
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
10er-System
4
5
6
4
5
6
8 10 12
12 15 18
16 20 24
20 25 30
24 30 36
28 35 42
32 40 48
36 45 54
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
*
1
2
3
4
1
1
2
3
4
5er-System
2
3
4
2
3
4
4 11 13
11 14 22
13 22 31
In den einzelnen Zeilen stehen jeweils die Vielfachen der Zahl links in der
Spalte. Im 10er-System habe ich die Vielfachen von 4, im 5er-System die
Vielfachen von 3 fett gedruckt.
Der Zusammenhang zwischen Stellenwertsystem und 10er-Potenzen sollte auch
durch das Aufstellen von Tabellen folgender Art hervorgehoben werden (S.12).
Die Zahl 23789146 lässt sich folgendermaßen in einer Stellentafel darstellen:
Potenz
107
106
105
104
103
102
101
Stelle
Zahl
ZMio Mio
2
3
HT
7
ZT
8
T
9
H
1
Z
4
E
6
Später in der 6. Klasse, wenn man bei der Bruchrechnung ist, sollte diese
Tabelle wieder aufgegriffen werden in folgender Weise fortgesetzt werden:
Potenz 107 106
Stelle ZMio Mio
Zahl
2
3
105
HT
7
104
ZT
8
103
T
9
102
H
1
101
Z
4
100
E
2
10-1
z
4
10-2
h
8
10-3
t
6
Dabei steht das Komma hinter 100.
Wenn man wirklich intensiver die verschiedenen Zahlensysteme "erforschen"
lässt, dann ist es sicher auch nützlich solche Tabellen, wie ich sie gerade
für das 10er-System aufgestellt habe für andere Systeme aufstellen zu lassen.
Im Prinzip sehen sie ganz ähnlich aus.
In der folgenden Tabelle stelle ich die Zahl (21201022)3 aus dem 3er-System
dar. In Potenzschreibweise würde diese Zahl sich so schreiben lassen:
21201022 = 2·107 + 1·106 + 2·105 + 0·104 + 1·103 + 0·102 + 2·101 + 2
Potenz
Zahl
107
2
106
1
105
2
104
0
103
1
102
0
101
2
1
2
Für die Umrechnung würde sich die Tabelle folgendermaßen darstellen lassen:
3er-Potenz
10er-Potenz
10er-Potenz
Zahl
107 106
37
36
2187 729
2
1
105
35
243
2
104
34
81
0
103
33
27
1
102
32
9
0
101
31
3
2
1
1
1
2
Die Zahl wäre also: (2·107 + 1·106 + 2·105 + 1·103 + 2·101 + 2)3 =
= (2·2187 + 1·729 + 2·243 + 0·81 + 1·27 + 0·9 + 2·3 + 2)10 = 562410
Ausblick: Gibt es in der Klasse Schüler, denen das Erforschen dieser
Zusammenhänge Spaß macht, so kann man sie später noch mit besonderen Aufgaben
betrauen, z.B. wenn man die Teilbarkeitsregeln in Klasse 6 behandelt. Sie
können dann z.B. versuchen Regeln für die Teilbarkeit in verschiedenen
Systemen zu finden.