Frage 1: Die Entfernung Erde–Sonne durch Triangulation

Einführung in die Astronomie i
Wintersemester 2015/2016
Übungsaufgaben 1 – Musterlösung
J. Wilms/I. Kreykenbohm
20. Oktober 2015
Frage 1: Die Entfernung Erde–Sonne durch Triangulation
a) Die Methode der Triangulierung geht auf Aristarch von Samos (250 v. Chr.) zurück, der mit dieser
Methode die Entfernung Erde–Sonne abschätzte. Als Basis der Triangulierung verwandte er die
Strecke Erde–Mond und bestimmte den Winkel β (vgl. Skizze) während des Halbmondes, da dann
der Winkel bei M grob 90◦ beträgt.
Mit modernen Methoden wird β = 89◦ 510 gemessen. Bestimmen Sie das Verhältnis von Sonnen- zu
Mondentfernung.
M
S
β
E
Lösung: cos β =EM/ES und mit Einsetzen: ES = 381EM.
b) Zur Bestimmung der Entfernung Erde–Mond wird von zwei möglichst weit entfernten Punkten der
Erdkugel (z.B. Wien mit der nördlichen geografischen Breite ϕ1 = 48◦ 150 und Kapstadt mit der
südlichen Breite ϕ2 = 33◦ 580 ), die in etwa auf gleicher geographischer Länge liegen, ein bestimmter
Punkt des Mondes angepeilt. In diesem Fall seien die folgenden Winkel zur Zenitrichtung gemessen
worden: Wien z1 = 27◦ 400 und Kapstadt z2 = 55◦ 430 .
Beachten Sie, dass die Winkelsumme im Viereck EKMW 360◦ ist. Benutzen Sie ferner, sofern
angebracht, die Kleinwinkelnäherung für die trigonometrischen Funktionen. Benutzen Sie den
Sinussatz der ebenen Trigonometrie.
rE
W
z1
ϕ1
ϕ2
Äquator
M
K z2
1
Lösung: Im Winkelmass gilt
ϕ1 + ϕ2 + (π − z1 ) + (π − z2 ) + α1 + α2 = 2π
(s1.1)
wo α1 = ∠EMW und α2 = ∠EMK. Damit
α1 + α2 = z1 + z2 − ϕ1 − ϕ2
(s1.2)
Ferner gilt im Dreieck EWM:
rer
sin α1
=
sin(π − z1 )
e
Da sin(π − z1 ) = sin z1 , folgt in Kleinwinkelnäherung:
α1 =
rer
sin z1
e
(s1.3)
(s1.4)
und analog für α2 .
Setzt man diese Beziehungen ein (Umrechnung in’s Bogenmass!), so ergibt sich:
e = rer
sin z1 + sin z2
z1 + z2 − ϕ1 − ϕ2
(s1.5)
Einsetzen der Werte: e = 63rer
c) Berechnen Sie mit den obigen Ergebnissen die Entfernung Erde–Sonne.
Lösung: ES = 381 × 63 × 6378 km = 1.53 × 108 km
Frage 2: Sternbedeckungen durch Asteroide
Asteroide sind kleine Körper im Sonnensystem, die sich meist auf Bahnen zwischen Mars und Jupiter
bewegen. Weil Asteroide Durchmesser von maximal einigen 100 km haben, ist es sehr schwierig, durch
Teleskopbeobachtungen z.B. Informationen über ihre Form zu bekommen.
Achtung: In der folgenden Aufgabe sollten Sie immer überlegen, ob Sie wirklich trigonometrische
Rechnungen durchführen müssen oder ob z.B. die Kleinwinkelnäherung ausreichend ist. Geben Sie
zudem Winkel in sinnvollen Einheiten an. Häufig werden dies nicht Grad oder Radian sein, sondern
z.B. Bogenminuten oder Bogensekunden.
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Ein Weg, direkt den Durchmesser eines Asteroiden zu bestimmen, sind Beobachtungen der Bedeckung
von Sternen durch Asteroiden. Hier zieht ein Asteroid vor einem Stern vorbei und dieser Stern wird
kurzzeitig abgedunkelt. Da Asteroide nicht zu weit weg von uns sind, sind derartige Bedeckungen
nur in einem kleinen Streifen auf der Erde beobachtbar. Die Breite dieses Streifens ist ein Maß für
die “Dicke” des Asteroiden, also seine Ausdehnung rechtwinklig zu der von der Erde aus gesehenen
Fortbewegungsrichtung. In der Skizze stellt die durchgezogene Linie den scheinbaren Weg eines
Asteroiden dar, der den (orangenen) Stern bedeckt. Die gestrichelte Linie ist der Weg, den der Asteroid
von einem anderen Ort auf der Erde aus gegen den (im Unendlichen befindlichen) Sternhintergrund
zurücklegt.
a) Ein Asteroid habe eine Entfernung von der Erde von 0.5 AU, wo 1 AU = 150 × 106 km. Wie weit
verschiebt sich der Asteroid gegen den Sternhimmel, wenn er vom Nordpol und vom Äquator
der Erde aus beobachtet wird? (Erdradius: r♁ = 6371 km). Diesen Winkel bezeichnet man als die
Parallaxe des Asteroiden.
p
r♁
p
d
Lösung:
Mit der Zeichnung ist (Kleinwinkelnäherung!)
r
6371 km
p= ♁ =
= 8.5 × 10−5 rad = 0.00487 deg = 17.500
d
7.5 × 107 km
(s2.1)
b) Der Asteroid sei kugelförmig (das ist im Normalfall keine gute Annahme!) und habe einen Radius
von 50 km. Was ist sein Winkeldurchmesser? Wie breit ist der Streifen auf der Erde, in dem man
eine Bedeckung des Asteroiden beobachten kann? Nehmen Sie an, der Asteroid werde vom Äquator
aus beobachtet und befinde sich dort im Zenith.
Unter sehr guten Bedingungen ist es möglich, mit optischen Teleskopen Winkel von 0.100 gerade noch aufzulösen, d.h.
Bilder können von Objekten mit Winkeldurchmessern > 0.100 erhalten werden.
Lösung: Der Winkeldurchmesser θ des Asteroiden beträgt
θ=
2r
100 km
=
= 1.3 × 10−6 rad = 0.2700
d
75 × 106 km
Das beste Bild des Asteroiden hat also eine Größe von drei Auflösungselementen.
Da wir den Asteroiden vom Äquator aus im Zenith beobachten, gilt folgende Skizze:
3
(s2.2)
Beachten Sie dabei, dass sich der Stern sich im Unendlichen befindet!
Der Streifen hat damit eine Breite von 2 × 50 km = 100 km.
c) Der Asteroid bewege sich auf einer Kreisbahn mit einem Radius von 1.5 AU. Nach dem 3. Kepler’schen Gesetz beträgt seine Umlaufperiode damit 1.84 Jahre. Wie lange dauert von der Erde aus
beobachtet die Bedeckung? Nehmen Sie an, dass der Asteroid in Opposition zur Sonne steht und
sich in die gleiche Richtung wie die Erde bewegt.
Bei der Opposition eines Planeten oder Asteroiden geht der Planet auf, wenn die Sonne untergeht.
1 Jahr habe 365.25 Tage.
Lösung: Bei der Opposition stehen die Sonne, die Erde und der Asteroid in einer Reihe. Wir müssen
für die Berechnung der Dauer der Bedeckung damit die Relativgeschwindigkeit von Asteroid und
Erde ausrechnen.
Die Bahngeschwindigkeiten von Erde und Asteroid sind
v♁ =
2π · 1 AU
= 29.87 km s−1
365.25 · 86400 s
und
vasteroid = 24.35 km s−1
(s2.3)
Die Relativgeschwindigkeit der beiden beträgt also ∆v = v♁ − vasteroid = 5.52 km s−1 . Damit dauert
die Bedeckung ca. 18 s.
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