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Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Zufallsexperiment und Ereignis
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1
1.1 Zufallsexperimente
Ein Vorgang, der unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden kann, heißt
Experiment.
Beispiele für Experimente:
Experiment 1. Werfen einer Münze und Feststellen, ob Wappen oder Zahl.
Experiment 2: Werfen eines Würfels und Feststellen der Augenzahl.
Experiment 3: Werfen eines Tennisballs und Feststellen, ob er wieder auf den
Boden fällt.
Definition Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften:
Es kann unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden.
Es sind mindestens zwei Ergebnisse möglich.
Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar.
Arbeitsauftrag:
Welche der drei Experimente sind Zufallsexperimente? Begründen Sie.
All diese Experimente können beliebig oft in gleicher Weise wiederholt werden und
das Ergebnis ist eindeutig feststellbar. Den Ausgang von Experiment 1 und 2 kann
man nicht mit Sicherheit voraussagen. So sind beim Werfen mit der Münze zwei
Ergebnisse möglich, aber es ist nicht sicher, welche der beiden Seiten oben liegen wird.
Beim Würfeln mit einem Spielwürfel sind sogar sechs Ergebnisse möglich, aber es ist nicht
vorhersagbar, welche Augenzahl fallen wird. Beim Experiment 3 kann man den Ausgang mit
Sicherheit voraussagen, denn der Tennisball wird immer wieder auf den Boden fallen. Daher
sind nur Experiment 1 und 2 Zufallsexperimente.
Experimente mit nur einem möglichen Ausgang heißen deterministische Experimente.
Arbeitsauftrag: Geben Sie jeweils die Ergebnismenge an.
ZE: Werfen einer Münze
ZE: Werfen eines Spielwürfels.
Mögliche Ergebnisse:
Mögliche Ergebnisse:
W = Wappen
Z = Zahl
T = Der Würfel zeigt eine Sechs.
N = Der Würfel zeigt keine Sechs.
Ergebnismenge:Ω = {W,Z}
Ergebnismenge:Ω = {T, N}
Definition:
Ein einzelner Ausgang von mehreren möglichen Ausgängen eines Zufallsexperiments
heißt Ergebnis ω.
Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments fasst man in der
Ergebnismenge Ω = {ω1, ω2, ….., ωn} zusammen. Die Mächtigkeit IΩI der Ergebnismenge
ist die Anzahl n der Elemente von Ω.
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1.2 Mehrstufige Zufallsexperimente
2
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Alle bisher betrachteten Zufallsexperimente nennt man einstufig, da die Ergebnisse nur aus
einem einzigen Vorgang resultieren, wie z.B. das einmalige Werfen einer Münze. Besteht ein
Zufallsexperiment aus mehreren Vorgängen bzw. Experimenten, so nennt man es
mehrstufig, z.B. das mehrfache Werfen einer Münze. Um die Ergebnismengen mehrstufiger
Zufallsexperimente systematisch zusammenstellen zu können, veranschaulicht man sie in
einem Baumdiagramm. Jedem Ergebnis entspricht dabei ein Weg im Baum.
Einführungsbeispiel
Sonst musst du
abwaschen.
Wenn 2x
Wappen oder
2x Zahl fällt,
bist du dran.
Jonas und Aron werfen dreimal eine 1-EuroMünze. Wer soll Geschirr waschen?
Hierbei handelt es um ein 3-stufiges Zufallsexperiment.
Arbeitsauftrag: Erstellen Sie ein Baumdiagramm.
Start
1. Wurf
= 1. Stufe
W
Z
2. Wurf
= 2. Stufe
W
W
Z
Z
3. Wurf
= 3. Stufe
W
Z
W
Z
W
Z
W
Z
Wie viele Ergebnisse sind bei diesem Zufallsexperiment insgesamt möglich?
Da es 8 verschiedene Wege durch den Baum gibt, können 8 Ergebnisse eintreten.
Geben Sie die Ergebnismenge an.
Ω = {(wIwIw), (wIwIz), (wIzIw), (wIzIz), (zIwIw), (zIwIz), (zIzIw), (zIzIz)}
Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss Jonas bzw. Aron abwaschen?
Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. Jedes Ergebnis hat die Wahrscheinlichkeit 1/8.
Wahrscheinlichkeit Jonas: 2/8
Wahrscheinlichkeit Aron: 6/8
Merke:
(1) Manche Zufallsexperimente sind aus einfachen Zufallsexperimenten zusammengesetzt,
die in einer bestimmten Reihenfolge ablaufen. Solche Zufallsexperimente heißen
mehrstufig.
(2) Die Ergebnisse mehrstufiger Zufallsexperimente lassen sich durch k-Tupel beschreiben
(2-Tupel heißen Paare, 3-Tupel heißen Tripel). Die Ergebnismenge Ω ist dann die
Menge all dieser Tupel. Die Ergebnismenge lässt sich durch ein Baumdiagramm
veranschaulichen. Jedem Ergebnis entspricht ein Pfad durch das Baumdiagramm.
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1.3 Ereignisse
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3
Ergebnisse eines Zufallsversuchs lassen sich zu Ereignissen zusammenfassen. Ereignisse
und die zugehörigen Mengen werden mit großen Buchstaben A, B, C, ... bezeichnet.
Einführungsbeispiel:
ZE: „Werfen eines Würfels“
Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
•
Ereignis A: „Augenzahl gerade“ A = { 2; 4; 6 }
•
Ereignis B: „Augenzahl größer als 2“ B = { 3; 4; 5; 6 }
•
Ereignis C: „das unmögliche Ereignis“ in Worten beispielsweise „gar keine Augenzahl“
oder „Augenzahl größer als 9“ C = { }
•
Ereignis D: „das sichere Ereignis“ D = Ω = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }
•
Ereignis E: „Augenzahl kleiner oder gleich 2“
Das ist das Gegenereignis zu B, Schreibweise: E = B = { 1; 2 }
•
Ein Elementarereignis F (praktisch wie ein einzelnes Ergebnis) z.B. F = { 3 }
Merke:
Jede Teilmenge A von Ω eines Zufallsexperiments nennt man Ereignis.
Bezeichnungen
(1) Das Ergebnis, das bei jedem Versuch eintritt, heißt sicheres Ergebnis. Die zugehörige
Menge ist die Ergebnismenge.
(2) Das Ergebnis, das bei keinem Versuch eintritt, heißt unmögliches Ergebnis. Die
zugehörige Menge ist die leere Menge.
(3) Das Ergebnis, das genau dann eintritt, wenn ein Ereignis A nicht eintritt, heißt
Gegenereignis von A (Symbol: Ā, lies: nicht A).
(4) Einelementige Teilmengen von Ω nennt man Elementarereignisse.
(5) Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignismenge und wird mit P(Ω) bezeichnet.
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1.4 Verknüpfungen von Ereignissen
Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments. Durch
geeignete Verknüpfung von Ereignissen kann man neue Ereignisse bilden. So lassen sich
komplexe Ereignisse auf einfachere zurückführen. Da Ereignisse durch Mengen dargestellt
werden, können die Relationen und Operatoren der Mengenlehre verwendet werden, um
Verknüpfungen von Ereignissen darzustellen.
Einführungsbeispiel:
ZE: Ein Laplace-Würfel wird einmal geworfen und die Augenzahl notiert.
Ergebnismenge: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Wahrscheinlichkeit: P(ω) = 1/6
Ereignis A: „Die Augenzahl ist größer als 3.“
A = {4, 5, 6}
P(A) = 3/6 = 1/2
Ereignis B: „Die Augenzahl ist gerade.“
B = {2, 4, 6}
P(B) = 3/6 = 1/2
Ein neues Ereignis wird wie folgt festgelegt:
Ereignis C: „Die Augenzahl ist größer als 3 und die Augenzahl ist gerade.“
Das Ereignis C ist eine Verknüpfung aus A und B. Durch die Verknüpfung zweier Ereignisse
durch das Wort „und“ ist ein neues Ereignis, ein so genanntes UND-Ereignis, entstanden.
Wie lautet die Ereignismenge C?
Lösung:
Das Ereignis C entspricht der Schnittmenge von A und B, also der Menge aller Ergebnisse,
die sowohl zu A als auch zu B gehören.
In der Mengenschreibweise bedeutet dies: C = A ∩ B = {4, 6}
Es gilt: P(A ∩ B) = P({4, 6}) = P(4) + P(6) = 1/6 +1/6 = 1/3
Fortsetzung Einführungsbeispiel
Ein neues Ereignis wird wie folgt festgelegt:
Ereignis D: „Die Augenzahl ist größer als 3 oder die Augenzahl ist gerade.“
Das Ereignis D ist eine ebenfalls eine Verknüpfung aus A und B. Durch die Verknüpfung
zweier Ereignisse durch das Wort „oder“ ist ein neues Ereignis, ein so genanntes ODEREreignis, entstanden. Wie lautet die Ereignismenge D?
Lösung:
Das Ereignis D entspricht der Vereinigungsmenge von A und
B, also der Menge aller
Ergebnisse, die zu A oder zu B gehören.
In der Mengenschreibweise bedeutet dies: D = A U B = {2, 4, 5, 6}
Es gilt: P(A U B) = P({2, 4, 5, 6}) = 1/6 +1/6 +1/6 +1/6 = 4/6 =2/3
Zur Veranschaulichung solcher Verknüpfungen verwendet man Venn-Diagramme. Dabei
werden die Ergebnismenge Ω als Rechteck und die Ereignisse A und B als Ellipsen oder
Kreise dargestellt.
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UND-Ereignis
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5
ODER-Ereignis
Wir wollen nun allgemein Rechenregeln zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines
ODER-Ereignisses herleiten. Die Punkte im Bild symbolisieren alle Ergebnisse.
Es sei
P(A) = Summe aller P(ω) mit ω ∈ A und
P(B)= Summe aller P(ω) mit ω ∈ B.
Additionsregel:
P(A U B) = Summe aller P(ω) mit ω ∈ A
+ Summe aller P(ω) mit ω ∈ B
- Summe aller P(ω) mit ω ∈ A ∩ B.
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
AUĀ=1
A = (A ∩ B) U (A ∩ B )
Gegenereignisregel: P(A) + P(Ā) = 1
Zerlegungsregel: P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B )
Bemerkung: Das Ereignis A und sein Gegenereignis Ā können nicht gemeinsam eintreten.
Es gibt jedoch in fast allen Fällen ein anderes Ereignis B, das auch nicht gemeinsam mit A
eintreten kann, d.h. dass A ∩ B = { } . Die Ereignisse A und B heißen dann unvereinbar oder
disjunkt.
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Satz (Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten)
Sind A und B Ereignisse eines Zufallexperiments, so gilt:
(1) P(A) + P(Ā) = 1
Gegenereignisregel
(2) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Additionsregel
(3) P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B )
Zerlegungsregel
Arbeitsauftrag: Bestimme die Wahrscheinlichkeit des ODER-Ereignisses „„Die Augenzahl ist
größer als 3 oder die Augenzahl ist eine gerade Zahl“, mit Hilfe der Additionsregel.
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 1/2 + 1/2 -1/3 = 2/3
Weitere Verknüpfungen lassen sich ebenfalls durch Mengenverknüpfungen ausdrücken und
ihre Wahrscheinlichkeiten berechnen.
„Keines der beiden Ereignisse tritt ein.“
Es tritt weder A noch B ein.
Also gilt die Gegenereignisregel.
_______
P( A ∪ B ) = 1 – P(A U B) = 1- 2/3 = 1/3
„Höchstens eines der beiden Ereignisse tritt ein.“
Die Ereignisse dürfen nicht gleichzeitig eintreten.
Also gilt die Gegenereignisregel.
_______
P( A ∩ B ) = 1 – P(A ∩ B) = 1- ⅓ = 2/3
„A tritt ein und B nicht“
Also gilt die Zerlegungsregel.
P(A ∩ B ) = P(A) – P(A ∩ B) = ½ - ⅓ = 1/6
Umgangssprache
Beide Ereignisse treten ein.
Mindestens eins von beiden
Ereignissen tritt ein.
Keines der beiden Ereignisse tritt ein.
Höchstens eines von beiden
Ereignissen tritt ein.
Genau eines von beiden Ereignissen
tritt ein.
Ereignissprache
A und B tritt ein.
A oder B tritt ein.
Mengensprache
A∩B
AUB
(nicht A) und (nicht B) tritt ein.
Nicht (A und B) tritt ein
Ā∩ B
(A und nicht B) oder (B und nicht
A) tritt ein.
(A∩ B ) U (Ā∩B)
_______
A ∩B
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Regel von de Morgan und Arbeiten mit der Vierfeldertafel
Für die Ereignisse A, B c Ω gilt:
_______
1. A ∩ B = Ā U B
_______
2. ( A ∪ B = Ā∩ B
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8
Beispiel : Würfeln
B
B
E2
E2
E1
{2}
{1; 3}
E1
{4; 6}
{5}
E1 = {1; 2; 3}
E2 = {2; 4; 6}
A
E3 = {3}
{ A∩B ; A∩ B ; A } ist
eine Zerlegung von Ω
E4 = Ω
A
E5 = { }
Darstellungsmöglichkeiten:
Symbol
Sprechweise
A
A∩B
A∪B
A ∩B = A ∪B
A ∩B = A ∪B
( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B)
(A ∪ B)\(A ∩ B)
Mengendarstellung
Gegenereignis:
- nicht A
Durchschnitt:
- A und B
- Sowohl A als auch B
- Beide Ereignisse
Vierfeldertafel
E1 = {4; 5; 6}
A
A
Ω
A
Ω
B B
A
Ω
Vereinigung:
- A oder B
- Mindestens eines
der Ereignisse
A
- Keines der
Ereignisse
- Weder A noch B
A
A
Ω
B B
Ω
A
Ω
B B
Ω
A
Ω
B B
- Höchstens eines der
Ereignisse
- Nicht beide
A
- Genau eines der
Ereignisse
- Entweder A oder B
A
Ω
A
Ω
B B
Ω
A
E1 ∪ E2 = {4; 5;6} ∪{1;3; 5} = Ω\{2}
( E1 ∩ E2)∪( E1 ∩ E2 ) =
A
B
E1 ∩ E2 = {4;5;6}∩{1;3;5}={5}
E1 ∩ E2 = {1;3;4;5;6} = Ω\{2}
A
B
E1 ∪ E1 = Ω
E1 ∪ E2 = {5}
A
B
E2 ∩ E5 = { }
E1 ∪ E2 = {1;2;3;4;6} = Ω\{5}
A
B
E4 = { }
E1 ∩ E2 = {2}
A
B
Beispiele
Ω
({4;5;6} ∩ {2;4;6})∪ ({1;2;3} ∩ {1;3;5})
= {4;6} ∪ {1;3} = {1;3;4;6}
2. Das Wahrscheinlichkeitsmaß
2.1
Gesetz der großen Zahlen
Arbeitsauftrag:
a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten.
b) Welche Eigenschaften besitzen relative Häufigkeiten allgemein?
Einführungsbeispiel
Die Klasse 11a hat für das Schulfest ein großes Glücksrad aufgebaut. Für 20 Cent Einsatz
darf man den Zeiger drehen. Bleibt der Zeiger auf einem schwarzen Sektor stehen, ergibt
das einen Gewinn, ein grauer Sektor ergibt einen Trostpreis und die weißen Sektoren sind
Nieten.
Tina hat bei 45 Versuchen dieses Zufallsexperiments die aufgetretenen Ergebnisse in einer
Strichliste festgehalten:
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Ergebnis
Strichliste
absolute Häufigkeit
relative Häufigkeit
Gewinn
 
8
8/45 = 0,18
Trostpreis
 
8
8/45 = 0,18
Niete
     
29
29/45 = 0,64
45
Summe
1
Marc hat anschließend 60 Versuche beobachtet und folgende Strichliste erhalten:
Ergebnis
Strichliste
Gewinn
 
Trostpreis
Niete
absolute Häufigkeit
relative Häufigkeit
8
8/60 = 0,13
  
13
13/60 = 0,22
       
39
39/60 = 0,65
Summe
60
1
Definition
Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgeführt.
Ein bestimmtes Ergebnis ω tritt dabei z-mal ein.
z heißt absolute Häufigkeit des Ergebnisses ω in der Versuchsreihe.
hn(ω) =
z
heißt relative Häufigkeit des Ergebnisses ω in der Versuchsreihe.
n
Satz
Relative Häufigkeiten haben folgende Eigenschaften:
-
Die relative Häufigkeit ist stets eine Zahl zwischen 0 und 1.
-
Addiert man die relativen Häufigkeiten erhält man 1.
Beispiel:
ZE:
Ein Spielwürfel wird 10, 20, …,100 Mal geworfen. Es wird überprüft, wie oft die
Augenzahl 2 aufgetreten ist.
Häufigkeitstabelle:
n
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
z
4
6
6
8
9
10
12
13
15
18
0,4
0,3
0,2
0,2
0,18
0,17
0,17
0,16
0,17
0,18
h(ω)
Verhalten der relativen Häufigkeiten:
Bei kleinen Versuchszahlen der Wert der relativen Häufigkeit h(ω) noch stark schwankt. Mit
wachsender Versuchszahl n werden die Schwankungen geringer und die relative Häufigkeit
pendelt sich in der Nähe der Zahl 0,17 ein.
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10
Merke:
Eine weitere Eigenschaft der relativen Häufigkeit ist ihre Stabilisierung:
Bei langen Versuchsreihen, also bei häufiger Wiederholung eines Zufallsexperiments,
weichen die relativen Häufigkeiten nur selten von einer festen Zahl ab. Diese
Erfahrungstatsache nennt man das empirische Gesetz der großen Zahlen.
Definition:
Sei Ω die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments.
Eine Abbildung der Form P: p(Ω) → IR; A→P(A) heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn
folgende Eigenschaften gelten:
P1: P(A) ≥ 0 für alle A є p(Ω) (Nichtnegativität)
P2: P(Ω) = 1 (Normiertheit)
P3: A∩B = Ø => P(A∩B) = P(A) + P(B) (Additionsregel für unvereinbare Ereignisse)
Hierbei handelt es sich Axiomengesetze von Kolmogoroff.
2.2
Folgerungen aus dem Kolmogorow-Axiomen
Siehe Buch S. 28 ff.
2.3 Arbeiten mit der Vierfeldertafel
___
B
___.
A
A
P( A ∩ B)
P( A ∩ B)
__ _
B
___
.
___
P(B)
___
P( A ∩ B)
P( A ∩ B)
P(A)
P(A)
___
P(B)
___
___
Die Summe der ersten Zeile ergibt P(B), die Summe der 2. Zeile ergibt P(B). Ebenso ergibt
die Summe der ersten Spalte P(A), die Summe der 2. Spalte P(A).
Daher gilt:
o
P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = P (B )
o
P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = P (B )
o
P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = P ( A)
o
P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = P ( A)
___
___
___
___
___
___
___
___
___
___
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
2.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung
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11
Bisher haben wir Zufallsexperimente durchgeführt und ausgewertet. Jetzt wollen wir
Angaben zur Eintrittschance von Ergebnissen bei Zufallsexperimenten machen. Diese
Chance soll durch eine reelle Zahl - die so genannte Wahrscheinlichkeit – gemessen werden.
Beispiel 1
ZE: Eine Urne enthält 4 gleichartige Kugeln: zwei weiße, eine graue und eine schwarze. Eine
Kugel wird blind gezogen, ihre Farbe festgestellt und wieder zurückgelegt.
Mögliche Ergebnisse:
w = Die gezogene Kugel ist weiß.
g = Die gezogene Kugel ist grau.
s = Die gezogene Kugel ist schwarz.
Ergebnismenge Ω = {w,g,s}
Beschreibung der Eintrittschancen durch Zahlen:
Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses w ist 0,5, denn bei entsprechend langen
Versuchsreihen kann man für das Ergebnis als relative Häufigkeit die Zahl 0,5 erwarten.
Wir schreiben kurz: P(w) = 0,5 (lies: P von w).
Die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse g und s ist jeweils 0,25, denn man kann jeweils die
relative Häufigkeit die Zahl 0,25 erwarten. Wir schreiben kurz: P(g) = 0,25; P(s) = 0,25
Zur besseren Übersicht fassen wir alle Ergebnisse in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
zusammen:
Ergebnis ω
Wahrscheinlichkeit P({ω})
w
0,5
g
0,25
s
0,25
Summe
1
Definition
Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse eines Zufallsexperiments legt man wie folgt fest:
1. Alle Wahrscheinlichkeiten sind größer oder gleich 0: P({ω}) ≥0
2. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist gleich 1: P({ω1}) + P({ω1}) + … + P({ωn}) = 1
3. Die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse sind Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten
der Ergebnisse.
Jedem Ergebnis ω ist also genau eine Zahl P({ω}) zugeordnet. Die P: Ω→ IR heißt
Wahrscheinlichkeitsverteilung (WV).
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12
Beispiel 2
ZE: Eine Urne enthält 10 gleichartige Kugeln: vier mit der Nummer 1, drei
mit der Nummer 2, zwei mit der Nummer 3 und eine mit der Nummer 4.
Eine Kugel wird blind gezogen, ihre Farbe festgestellt und wieder
zurückgelegt.
Mögliche Ergebnisse:
1 = Die gezogene Kugel trägt die Nummer 1.
…
4 = Die gezogene Kugel trägt die Nummer 4.
Ergebnismenge Ω = {1,2,3,4}
Beschreibung der Eintrittschancen durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Ergebnis ω
Wahrscheinlichkeit P(ω)
1
2
3
4
Summe
0,4
0,3
0,2
0,1
1
Merke:
Ein Zufallsexperiment modellieren heißt
(1) eine Ergebnismenge Ω wählen.
(2) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P festlegen.
Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
Einführungsbeispiel:
ZE: Drehen eines Glücksrades
Ergebnismenge Ω = {1,2,3,4}
Bestimmen wir die Anteile der einzelnen Sektoren an der gesamten Glücksradfläche, so
erscheint folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung sinnvoll:
ω
P({ω})
1
0,125
2
0,125
3
0,25
4
0,5
Summe
1
Wir betrachten das Ereignis A: “Der Zeiger bleibt im Sektor 1, 2 oder 3 stehen“.
Vergleichen wir die Wahrscheinlichkeit von A und die Wahrscheinlichkeiten der zu A
gehörenden Ergebnisse, so ergibt sich folgender Zusammenhang:
P(A) = P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,125 +0,25 = 0,5
Wir betrachten das Ereignis B: “Der Zeiger bleibt im Sektor 1 oder 2 stehen“.
Wahrscheinlichkeit von B: P(B) = P(1) + P(2) = 0,125 + 0,125 = 0,25
Merke:
Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten
aller Ergebnisse, bei denen das Ereignis A eintritt.
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Wir betrachten das Ereignis C: “Der Zeiger bleibt im Sektor 2 oder 3 stehen“.
Wahrscheinlichkeit von C: P(C) = P(2) + P(3) = 0,125 + 0,25 = 0,375
Das Gegenereignis von C lautet: “Der Zeiger bleibt auf dem Sektor 1 oder 4 stehen.“
_
Wahrscheinlichkeit von C: P( C ) = P(1) + P(4) = 0,125 + 0,5 = 0,625
_
Es besteht folgender Zusammenhang. P( C ) + P (C) = 0,375 + 0,625 = 1
Gegenereignis-Regel
Für die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses A und seines Gegenereignisses Ā gilt:
P(A) + P(Ā) = 1
2.5 Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff von Laplace
Merke:
(1) Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind, heißt LaplaceExperiment.
(2) Sind n Ergebnisse möglich, so hat jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit 1/n.
ZE: Drehen eines Glücksrades
Beispiel:
Gegenbeispiel:
2
3
1
2
4
3
1
4
Ergebnismenge Ω = {1,2,3,4}
Ergebnismenge Ω = {1,2,3,4}
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
ω
P(ω)
1
2
3
4
Summe
0,25
0,25
0,25
0,25
1
ω
P(ω)
1
2
0,125 0,125
3
4
Summe
0,25
0,5
1
Feststellung:
Feststellung: Es gibt Ergebnisse, die nicht
Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.
gleichwahrscheinlich sind.
Arbeitsauftrag: Nennen Sie Beispiele und Gegenbeispiele für Laplace-Experimente.
Beispiele:
Würfeln, z.B. 1/6
Münzwurf ½
Gegenbeispiele:
Verkehrszählungen (Die verschiedenen Fahrzeugarten treten nicht
gleichwahrscheinlich auf)
Klassensprecherwahlen
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Die Wahrscheinlichkeiten von Laplace-Experimenten können wir mithilfe der Laplace-Formel
bestimmen.
Laplace-Formel
Bei Laplace-Experimenten gilt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A:
P(A) =
IAI
IΩI
=
Anzahl der für A günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
IAI und IΩI bezeichnen dabei die Anzahl der Elemente der Mengen A und Ω.
Beispiel:
ZE: In einer Urne befinden sich fünfzig von 1 bis 50 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel
wird blind gezogen, ihre Nummer festgestellt und wieder zurückgelegt.
Ergebnismenge Ω = {1,2,3,….,50}
Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse des Laplace-Experiments.
a) Ereignis A: “Die Nummer der Kugel ist durch 11 teilbar.“
Zugehörige Menge A = {11, 22, 33, 44}
P(A) =
IAI
4
=
= 0.08
IΩI 50
b) Ereignis B: “Die Nummer der Kugel liegt zwischen 20 und 40.“
Zugehörige Menge B = {21, 22, 23,……… 39}
P(B) =
IBI 19
=
= 0.38
IΩI 50
_
c) Gegenereignis B : “Die Nummer der Kugel liegt nicht zwischen 20 und 40.“
_
P( B ) = 1 - P(B) = 1 - 0,38 = 0,62
d) Ereignis C: “Die Nummer der Kugel ist eine zweistellige Primzahl.“
zugehörige Menge B = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}
P(C) =
ICI 11
=
= 0,22
IΩI 50
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Fröhlich Schuljahr 2011/12
3. Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsexperimente
3.1 Baumdiagramme und Pfadregeln
Werden Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsexperimente gesucht, können sie mit Hilfe
des
Ergebnisbaums
berechnet
werden,
indem
man
seine
Zweige
mit
den
Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ergebnisse kennzeichnet.
Beispiel 1:
ZE: Werfen einer Münze zweimal hintereinander
0,5
Start
0,5
1. Wurf
= 1. Stufe
W
Z
0,5
0,5
0,5
W
0,5
W
Z
2. Wurf
= 2. Stufe
Z
Ergebnismenge: Ω = {(WIW), (WIZ); (ZIW), (ZIZ)}
Die Wahrscheinlichkeit für das einzelne Ergebnis erhält man durch Multiplikation der
Wahrscheinlichkeiten der Zweige längs des Pfades.
P(WIW) = 0,5 · 0,5 = 0,25
P(WIZ) = P (ZIW) = P(ZIZ) = 0,25
Beispiel 2:
ZE: In einer Urne befinden sich zwei schwarze und drei weiße Kugeln. Es
werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
2
5
sswww
swww
s
1
4
3
4
ssww
w
3
5
s
w
s
1
2
w
1
2
Ergebnismenge: Ω = {(sIs), (sIw); (wIs), (wIw)}
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
ω
P(ω)
(sIs)
(sIw)
(wIs)
(wIw)
Summe
2 1 1
⋅ =
5 4 10
2 3 3
⋅ =
5 4 10
3 1 3
⋅ =
5 2 10
3 1 3
⋅ =
5 2 10
1
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16
Satz (Multiplikationsregel für Wege oder 1. Pfadregel)
Bei einem zusammengesetzten Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses (eines „Weges“) gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des
zugehörigen Weges im Ergebnisbaum.
In Kapitel 1 haben wir die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen bestimmt:
Merke:
Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten
aller Ereignisse, bei denen das Ereignis A eintritt.
Dies gilt auch hier. So erhalten wir z.B. für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: „Die
zweite Kugel ist schwarz“:
P(A) = P(sIs) + P(wIs) =
1
3
4 2
+
=
=
10 10 10 5
Übertragen wir die Regel auf mehrstufige Zufallsexperimente, so erhalten wir die so
genannte Additionsregel für Wege:
Satz (Additionsregel für Wege oder 2. Pfadregel)
Besteht
im
Ergebnisbaum
ein
Ereignis
aus
mehreren Wegen,
so
werden
die
Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Wege addiert.
Beispiel 3
ZE: In einer Urne befinden sich zwei schwarze und drei weiße Kugeln. Es werden zwei
Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Ergebnisbaum:
2
5
sswww
sswww
s
2
5
s
3
5
w
sswww
3
5
w
s
2
5
w
3
5
Man erhält folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
ω
P(ω)
(sIs)
(sIw)
(wIs)
(wIw)
Summe
2 2
4
⋅ =
5 5 25
2 3
6
⋅ =
5 5 25
3 2
6
⋅ =
5 5 25
3 3
9
⋅ =
5 5 25
1
Wir wollen bei diesem Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: „Es wird
zweimal eine gleichfarbige Kugel gezogen“ berechnen.
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
P(A) = P(sIs) + P(wIw) =
4
9
13
+
=
25 25 25
Arbeitsauftrag:
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Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B: „Die zweite
Kugel ist schwarz.“
P(B) = P(sIs) + P(wIs) =
4
6
10 2
+
=
=
25 25 25 5
Werden die Ergebnisbäume unübersichtlich, kann man sich gegebenenfalls auf die
wirklich benötigten Pfade beschränken.
2
5
sswww
sswww
2
5
s
sswww
3
5
s
w
s
2
5
Bemerkung: Da in einem Baumdiagramm jede Astgabel ein Teilexperiment repräsentiert, ist
die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die vom selben Verzweigungspunkt
ausgehen stets 1.
3.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bei manchen Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet man das Eintreten von
Ereignissen in Abhängigkeit von bestimmten anderen Ereignissen.
Einführungsbeispiel:
ZE: Eine Urne enthält drei rote und eine weiße Kugel. Es wird zweimal blind ohne
Zurücklegen eine Kugel gezogen und die Farbe festgestellt.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für rot im 1. Zug und rot im 2. Zug.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für rot im 2. Zug, wenn schon bekannt ist, dass im 1.
Zug rot gezogen wurde?
Lösung
Festlegung der Ereignisse:
a) Gesucht ist P(A ∩ B).
Ergebnisbaum:
A: Rot im 1. Zug
B: Rot im 2. Zug
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P(A) =
2
3
3
4
r
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*
1
3
18
* PA(B) = 2
r
3
w
w
1
4
r
1
Mit der Pfadmultiplikationsregel:
Bemerkung P(B) =
3 2 1
3
⋅ + ⋅1 =
4 3 4
4
P(A) · P(B) =
3 3 9
⋅ =
4 4 16
b) Unter der Voraussetzung, dass im 1. Zug rot gezogen wurde, weiß man, dass noch 2 rote
Kugeln und 1 weiße Kugel in der Urne sind. Die Wahrscheinlichkeit für rot im 2. Zug ist
dann
2
3
(vgl. Ergebnisbaum).
Für die Wahrscheinlichkeit von B (Rot im 2. Zug) unter der Bedingung, dass A (Rot im 1.
Zug) bereits eingetreten ist, wählt man die Bezeichnung PA(B).
Es gilt: PA(B) =
2
3
Bezeichnung
Mit PB(A) bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses A unter der Bedingung,
dass das Ergebnis B eingetreten ist.
Man nennt PB(A) auch die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
(lies: P von A unter der Bedingung B).
Zusammenhang zwischen P(A ∩ B) und PA(B).
2
P(A) =
3
4
PA(B) = 3
r
r
3 2 1
⋅ =
4 3 2
P(A ∩ B) = P(A) · PA(B)
P(A ∩ B) =
Pfadmultiplikationsregel: P(A ∩ B) = P(A) · PA(B)
Satz
Gegeben ist ein Zufallsexperiment und zwei Ereignisse A und B mit P(A)>0.
Für die Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses B unter der Bedingung, dass das Ereignis A
bereits eingetreten ist, gilt:
PA(B)=
P(A∩B)
.
P(A)
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Beispiel 1
Die Angehörigen eines Unternehmens werden nach den folgenden Merkmalen eingeteilt:
Raucher R
_
Nichtraucher R
Summe
Frauen F
Männer M
Summe
200
800
1000
300
200
500
500
1000
1500
Ein Angehöriger des Betriebes wird zufällig ausgesucht und es wird festgestellt, ob es sich
um einen Mann oder um eine Frau und um ein Raucher oder Nichtraucher handelt.
Arbeitsauftrag: Gib die Wahrscheinlichkeiten P(R), P(F) und P(R∩F) an:
P(R)=
1000 2
=
1500 3
P(F)=
500 1
=
1500 3
P(R∩F)=
200 2
=
1500 15
Arbeitsauftrag: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man aus den Frauen eine
Raucherin auswählt?
2
P(R∩F) 15 2
PF(R)=
= = .
1 5
P(F)
3
PF(R)ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von R unter der Bedingung F.
Beispiel 2:
Bei einem Glücksspiel wird von einer Glücksfee ein Laplace-Würfel geworfen und die
Augenzahl festgestellt.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(ω) = )=
1
6
Ereignis A: „Die Augenzahl ist durch 3 teilbar.“
A = {3, 6}
Ereignis B: „Die Augenzahl ist eine Primzahl.“
A = {2, 3, 5}
Tom gewinnt den doppelten Einsatz, wenn eine Primzahl fällt.
2 1
=
6 3
3 1
P(B) = =
6 2
P(A) =
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Arbeitsauftrag: Nach dem Werfen nennt ihm die Glücksfee nicht direkt die Augenzahl,
sagt ihm aber, dass die geworfene Augenzahl durch 3 teilbar ist. Sie erlaubt ihm jetzt
noch den Einsatz zu erhöhen oder zu verringern. Was soll er tun?
Lösung:
1
P(A∩B) 6 1
PA(B)=
= =
1 2
P(A)
3
Daher lohnt es sich für Tom nicht den Einsatz zu verändern, weil die Wahrscheinlichkeit für
eine Primzahl trotz des zusätzlichen Tipps unverändert bleibt.
Beispiel 3
Auch bei mehrstufigen ZE spielt die bedingte Wahrscheinlichkeit eine wichtige Rolle.
Aus einem Skatspiel werden nacheinander zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen und
festgestellt, ob die jeweilige Karte ein Ass ist oder nicht.
Ergebnismenge: Ω = {AA, AĀ, ĀA, ĀĀ}
Ereignis A1: „Die erste Karte ist ein As.“
Ereignis A2: „Die zweite Karte ist ein As.“
A1= {AA, AĀ}
A1= {AA, ĀA}
Ergebnisbaum:
3
P(A1) = 4_
32
PA1(A2) = 31
A1
28
PA1(Ā2) = 31
Start
4
P(Ā1) = 28
A1 ∩ A2 = {AA}
A2
Ā1
32
PĀ1(A2) = 31
PĀ1(Ā2) = 27
Ā2
A2
Ā2
A1 ∩ Ā2 = {AĀ}
Ā1 ∩ A2 = {ĀA}
Ā1 ∩ Ā2 = {ĀĀ}
31
Mit Hilfe der Multiplikationsregel für Wege erhalten wir den Zusammenhang zwischen der
Wahrscheinlichkeit für das UND-Ereignis A1 ∩ A2 und den Wahrscheinlichkeiten P(A1) und
PA1(A2).
Es gilt: P(A1 ∩ A2) = P(A1) · PA1(A2)
Analog ergibt sich:
P(A1 ∩ Ā2) = P(A1) · PA1(Ā2)
P(Ā1 ∩ A2) = P(Ā1) · PĀ1(A2)
P(Ā1 ∩ Ā2) = P(Ā1) · PĀ1(Ā2)
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Satz (Produktsatz)
Gegeben ist ein Zufallsexperiment und zwei Ereignisse A und B mit P(A)>0, dann gilt:
P(A ∩ B) = P(A) · PA(B)
Beispiel 4
Für einen Ausflug nach Trier wird ein Schüler der Oberstufen als Organisator ausgelost. Die
folgende Vierfeldertafel gibt Auskunft über die Ortskundigkeit der Schüler:
_
Frauen B
Männer B
Summe
Raucher A
15
20
35
Nichtraucher Ā
16
29
45
Summe
31
49
80
Arbeitsauftrag:
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgeloste Person ortskundig ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgeloste Person ortskundig ist, wenn
bekannt ist, dass eine Frau ausgelost wurde?
Lösung
_
Frauen B
Raucher A
Nichtraucher Ā
Summe
Männer B
Summe
_
P(A∩B) = 15/80
P(A∩ B ) = 20/80
P(A)= 35/80
_
P(Ā∩B) = 16/80
P(Ā∩ B ) = 29/80
P(Ā) = 45/80
_
P(B) = 31/80
a) P(A) = 35/80 = 0,4375
P( B ) = 49/80
P(Ω) = 1
15
P(A∩B) 80 15
b) PB(A) =
= =
31 31
P(A)
80
In Worten:
P(A ∩ B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgesuchte Person ortskundig und eine
Frau ist.
PB(A) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgesuchte Person ortskundig ist, unter der
Bedingung, dass es eine Frau ist. Kurz: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau
ortskundig ist.
PA(B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ortskundige Person eine Frau ist.
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1 Ein Vorgang, der unter gleichen Bedingungen beliebig oft