Quadratische Gleichungen

Einführung
in die
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zum Begriff WAHRSCHEINLICHKEIT
Die Wahrscheinlichkeit ist ein mathematisches ein Maß für die Sicherheit
bzw. Unsicherheit für ein Ereignis, das in der Zukunft liegt.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ordnet jedem Ereignis eines
Zufallsexperiments eine Wahrscheinlichkeit für sein Eintreten zu.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E wird mit P(E) angegeben.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses E ist immer eine
reelle Zahl zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 0% und 100%.
P(E) = 1 = 100 %
Ereignis tritt ganz sicher ein
P(E) = 0 = 0 %
Ereignis tritt ganz sicher ein
Je größer die Wahrscheinlichkeit P(E), umso "eher" ist anzunehmen, dass
dieses Ereignis tatsächlich eintritt..
Wichtige Begriffe
Zufallsexperiment
Versuch, der unter genau festgelegten Bedingungen durchgeführt wird und
einen zufälligen Ausgang hat.
Beispiele: Werfen eines Würfels, Ziehen einer Karte, Auswahl einer Person aus einer Gruppe,
Ziehen von Kugeln aus einer Urne, ...
Ergebnis 𝝎 eines Zufallsexperimentes
Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperimentes
Beispiel: Beim Werfen eines Würfels sind die möglichen Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 oder 6
Ergebnismenge 𝛀 eines Zufallsexperimentes
Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperimentes
Beispiel: Beim Werfen eines Würfels Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ereignis E: Jede Teilmenge der Ergebnismenge
Beispiel: Beim Werfen eines Würfels kann das Ereignis E =„Die gewürfelte Zahl ist gerade“
betrachtet werden. 𝐸 = {2, 4, 6}
Wahrscheinlichkeit als relative
Häufigkeit
Simon A. Eugster
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Thumbtacks_color.jpg#/media/File:Thu
mbtacks_color.jpg
• Ereignis E: "Der Reißnagel liegt mit der Spitze nach oben."
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(E)?
• Durch eine Versuchsserie lässt sich das Ergebnis abschätzen
Als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses E kann
man) die relative Häufigkeit von E bei n Versuchen nehmen.
𝑷 𝑬 ≈ 𝒉𝒏 (𝑬)
Empirisches Gesetz der großen Zahlen
Das Gesetz der großen Zahlen besagt,
dass sich die relative Häufigkeit eines
Zufallsergebnisses immer weiter an die
theoretische Wahrscheinlichkeit für
dieses Ergebnis annähert, je häufiger
das Zufallsexperiment durchgeführt
wird.
Je öfter der Versuch durchgeführt
wird, desto besser ist die relative
Häufigkeit eine Abschätzung für die
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.
Von Jörg Groß - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7713772
Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil
Österreich
8.700.471
Salzburg
545.815
Burgenland
291.011
Steiermark
Kärnten
560.482
Tirol
739.139
384.147
Niederösterreich
1.653.691
Vorarlberg
Oberösterreich
1.453.948
Wien
1.232.012
1.840.226
Bevölkerung zu Jahresbeginn nach Bundesland 2016
Q: STATISTIK AUSTRIA, Statistik des Bevölkerungsstandes. Erstellt am 08.02.2017.
Quelle:
http://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/bevoelkerung/bevoelkerungsstand_und_veraenderung/bevoelkerung_zu_jahres-_quartalsanfang/index.html
Für eine Umfrage werden Personen zufällig ausgewählt:
Wie wahrscheinlich ist es, dass eine zufällig ausgewählte Person
in Wien lebt?
1 840 226
𝑃 𝐸 =
= 0,2115 = 21,15%
8 700 471
Laplace'sche Wahrscheinlichkeit
Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace lautet:
𝐀𝐧𝐳𝐚𝐡𝐥 𝐝𝐞𝐫 𝐠ü𝐧𝐬𝐭𝐢𝐠𝐞𝐧 𝐄𝐫𝐠𝐞𝐛𝐧𝐢𝐬𝐬𝐞 𝐟ü𝐫 𝐝𝐚𝐬 𝐄𝐫𝐞𝐢𝐠𝐧𝐢𝐬 𝐄
𝐏 𝐄 =
𝐀𝐧𝐳𝐚𝐡𝐥 𝐝𝐞𝐫 𝐦ö𝐠𝐥𝐢𝐜𝐡𝐞𝐧 𝐄𝐫𝐠𝐞𝐛𝐧𝐢𝐬𝐬𝐞
Voraussetzung: alle einzelnen Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich.
Laplace'sche Wahrscheinlichkeit
Beispiel 1
In einer Schulklasse gibt es 15 Mädchen und 10
Buben.
Ein Kind wird zufällig ausgewählt.
Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Mädchen ausgewählt wird?
𝟏𝟓
𝑷 Mädchen =
= 𝟎, 𝟔 = 𝟔𝟎%
𝟐𝟓
Laplace'sche Wahrscheinlichkeit
Beispiel 2
In einer Urne sind 12 rote und 4 grüne Kugeln.
Eine Kugel wird gezogen.
Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein grüne
Kugel gezogen wird?
𝟒
𝑷 grün =
= 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟐𝟓%
𝟏𝟔
2017 Herwig Födermayr
Musik:
"Funky Chunk” Kevin MacLeod (incompetech.com)
Licensed under Creative Commons: By Attribution 3.0 License
http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/