Eigenschaften von Funktionen - lehrer.uni

Mathematik 11b
5. Klassenarbeit
30. März 2001
Thema: Eigenschaften von Funktionen (I)
Name: <KLASSE_11B> (Nr. <NR.>)
e-mail:
0. Für saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen
Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift erhältst du bis zu 3 Punkte.
1. Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion mit den Ableitungsregeln.
f(x) = 4x 8 − 3x 6
b) f(x) = − x44
c) f(y) = x $ y
Punkte
/3
a)
/3
2. In welchem Punkt hat das Schaubild von f(x) = x −2 die Steigung 2?
/3
3. Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen an das Schaubild an das Schaubild von
f(x) = 2 $ x 2 − 2x im Punkt P(1/y P ) .
/6
4. Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen von
g(x) = (2x − 1) 3 .
/4
5. Von den vier Schaubildern sind drei die Schaubilder einer
Funktion bzw. ihrer ersten zwei Ableitungen.
a) Welches Schaubild gehört nicht dazu? Begründen Sie!
b) Wie lautet die Reihenfolge der Schaubilder, wenn mit
f(x) begonnen wird und dann die Ableitungen folgen?
/5
 4 − x 2 für x [ 2
6. Untersuchen Sie, ob f(x) =  2
 x − 4 für x > 2
an der Stelle x o = 2 differenzierbar ist.
JOKER: Verwende möglichst wenige der folgenden Zahlen 1, 1, 3, 4, 5, 6 höchstens einmal, um mit
Hilfe der vier Grundrechenarten und eventuell Klammern die Zahl 356 (!2) in einem Term zu
berechnen.
Viel Spaß und viel Erfolg!
Punkte:
(von 30)
Schnitt:
Note:
Median:
Standardabweichung:
http://www.christof-hoeger.de/M11/00m11_5.pdf
Rückgabe 2001-04-30
/6
/3
Mathematik 11b
30. März 2001
Erwartungshorizont
1. a) f  (x) = 8 $ 4x 7 − 6 $ 3x 5 = 32x 7 − 18x 5
b) f  (x) = (−4) $ 4x −5 = − 16
x5
c) f  (y) = x
2. f  (x) = −2x −3 = 2
x 3 = −1
g
3. f  (x) = 2 $ 2x − 2 $
1
2 x
x = −1
f  (1) = 2 2 −
f(1) = 0
− 3 22 =
Ansatz für die Normale:
e P(−1/1)
y−0
x−1
1
2
2 =
3
2
2
y = − 13 2 (x − 1)
4. g(x) = 8x 3 − 12x 2 + 6x − 1
g  (x) = 24x 2 − 24x + 6
g ÂÂ (x) = 48x − 24
g ÂÂÂ (x) = 48
5. a) Schaubild C gehört nicht dazu, denn beim Ableiten nimmt der Grad der (ganzrationalen)
Funktion stets um 1 ab. Die Funktion mit dem höchsten Grad ist D (mind. 5), A und C
haben beide mindestens Grad 4 und B hat mindestens Grad 3. D hat bei x = 0 eine
waagerechte Tangente, daher muss seine Ableitungsfunktion bei x = 0 den Wert Null
annehmen. C hat aber an der Stelle x = 0 einen Wert ! 0.
b) Aus den Ausführungen von a) ergibt sich D - A - B
6. Für die Differenzierbarkeit ist die Stetigkeit notwendige Voraussetzung.
Also:
lim f(x) = 4 − 2 2 = 0 = f(2) =x‚2
lim f(x)
x~2
e f ist stetig bei x o = 2
Dann:
 −2x für x < 2
Zunächst Bestimmung der Ableitung f  (x) = 
 2x für x > 2
Â
Â
lim f (x) = −2 $ 2 = −4 ! x‚2
lim f (x) = 2 $ 2 = 4
x~2
e f ist nicht differenzierbar bei x o = 2
JOKER:
JOKE :
3 Punkte für:
2 Punkte für
1 Punkt für
356 = (3 $ 5 $ 6 − 1) $ 4
355 = (3 $ 4 $ 6 − 1) $ 5 oder
357 = (4 $ 5 $ 6 − 1) $ 3
354 = (3 $ 4 $ 5 − 1) $ 6 oder
358 = 6 $ 5 $ 4 $ 3 − 1 − 1
http://www.christof-hoeger.de/M11/00m11_5.pdf