Algebra

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Roger Burkhardt
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Fachhochschule Nordwestschweiz
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
FS 2009
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Komplexe Zahlen
1 Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen
1
Komplexe Zahlen
Einführung
Die Unvollkommenheit des Körpers der reellen Zahlen
Definition imaginäre Einheit
Definition
Definition komplexer Zahlen
Rechenoperationen
Gauss’sche Zahlenebene
Darstellung komplexer Zahlen
Betrag und Argument (Winkel) einer komplexen Zahl
Goniometrische Darstellung
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Potenzieren - Satz von Moivre I
Radizieren - Satz von Moivre II
Exponentialform
Logarithmieren
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Komplexe Zahlen
Einführung
Die Unvollkommenheit des Körpers der reellen Zahlen
In der Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, . . .} sind sowohl
Addition wie Multiplikation uneingeschränkt durchführbar, d.h.
zwei natürliche Zahlen addiert (bzw. multipliziert) ergibt wieder
eine natürliche Zahl. Will man nun auch noch die Subtraktion
einführen, so steht man vor dem Problem, dass es zu zwei
natürlichen Zahlen nicht immer eine natürliche Differenz gibt. Um
nun auch uneingeschränkt subtrahieren zu können, muss man eine
andere Zahlenmenge zugrunde legen. Am besten eine Zahlenmenge
in der die Menge der natürlichen Zahlen schon enthalten ist und
auf der die alten Operationen weiterhin definiert sind, eine
sogenannte Mengenerweiterung. Diese neue Zahlenmenge sind die
ganzen Zahlen Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
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Komplexe Zahlen
Einführung
Wie sieht es nun mit der Division - der Umkehrung der
Multiplikation - aus? Auch diese ist nicht uneingeschränkt in der
Menge der ganzen Zahlen durchführbar. Wieder müssen wir den
Zahlenbereich sinnvoll erweitern. DieseErweiterung findet man in
der Menge der rationalen Zahlen Q = b : b = nz , z ∈ Z, n ∈ N .
Soweit kamen auch die Pythagoräer (6 Jh.v.Ch.). Sie fanden ihre
Zahlen nicht nur schön sondern sahen auch göttliche Absicht in
den Zahlen (alles ist Zahl). Doch schon ein Schüler (Hippasos von
Metapont) von Pythagoras fand heraus, dass es etwas gibt, das
nicht durch rationale Zahlen darstellbar ist (z.B. die Diagonale in
einem Quadrat mit der Seitenlänge Eins). Um auch solche Grössen
zu beschreiben erweitert man die rationalen Zahlen zu den reellen
Zahlen. Hier eine Definition:
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Komplexe Zahlen
Einführung
Die reellen Zahlen
Definition
Eine Zahl heisst reell, wenn sie in Gestalt eines unendlichen
Dezimalbruches geschrieben werden kann, also Grenzwert einer
Ergänzungsfolge von Dezimalbrüchen ist.
Ein grosser Teil (Grenzwerte, Differentialrechnung,
Integralrechnung, usw.) der Analysis beruht auf dieser Definition.
Können wir uns nun zurücklehnen? Es gibt immer noch
Operationen die auf dieser Zahlenmenge nicht uneingeschränkt
durchführbar sind (z.B. die Quadratwurzel aus negativen Zahlen).
Betrachten wir die folgenden einfachen Gleichungen:
x2 − 1 = 0
x2 = 1
x1,2 = ±1
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x2 + 1 = 0
x 2 = −1
x =?
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Komplexe Zahlen
Einführung
Definition imaginäre Einheit
Die erste Gleichung besitzt reelle Lösungen die zweite Gleichung
nicht!
Ausgehend von der Gleichung x 2 + 1 = 0 definieren wir:
Definition
i :=
√
−1
(1)
Die Zahl i nennen wir imaginäre Einheit.
Nun gilt sicher:
Potenzen der imaginären Einheit
√
i = −1
√ 2
i 2 = −1 = −1
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Komplexe Zahlen
Einführung
Potenzen der imaginären Einheit (Fortsetzung)
i 3 = i 2 i = (−1)i = −i
i 4 = i 2 i 2 = (−1)(−1) = 1
i 5 = i 4i = i
Oder allgemein:
Satz
i k+4n = i k , ∀k, n ∈ Z
(2)
Wir können uns zwar noch nicht allzuviel unter dieser neuen Grösse
vorstellen, doch können wir nun alle quadratischen Gleichungen
lösen! Betrachten wir dazu zwei Beispiele:
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Komplexe Zahlen
Einführung
Beispiel
x2 + 4 = 0
x1,2
x 2 = −4
√ √
√
= ± −4 = ± 4 −1 = ±2i
Beispiel
x1,2
x2 + x + 1 = 0
1 2
3
x+
=−
2
4
r
√
1
1
3
3
=− ± − = ±
i
2
4
2
2
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Komplexe Zahlen
Einführung
MATLAB
MATLAB kennt die imaginäre Einheit i. So liefert die Wurzel aus
−1 in MATLAB:
>>sqrt(-1) => ans=0+1.0000i
MATLAB kann mit der imaginären Einheit rechnen. Hier einige
Potenzen:
>>i^5 => ans=0+1.0000i
>>i^10 => ans=-1
Neben dem Bezeichner i erkennt MATLAB auch noch j als
imaginäre Einheit!
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Komplexe Zahlen
Definition
Definition komplexer Zahlen
Ausgehend vom Resultat des letzten Beispiels definieren wir:
Definition
Die Summen z = a + ib mit a, b ∈ R aus einer reellen Zahl a und
dem Produkt einer reellen Zahl b mit der imaginären Einheit i
(kurz der imaginären Zahl ib) heissen komplexe Zahlen. Wir
bezeichnen a als Realteil und b als Imaginärteil der komplexen Zahl
z. Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet.
Nun haben wir eine neue Zahlenmenge definiert, doch was nutzen
uns diese neuen Zahlen, wenn wir nicht mit ihnen rechnen können?
Damit uns die komplexen Zahlen etwas nützen, müssen wir sie in
einem ersten Schritt in einen direkten Zusammenhang mit den
reellen Zahlen bringen. In einem zweiten Schritt wollen wir dann
sinnvolle Rechenoperationen auf C definieren, so dass die
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Komplexe Zahlen
Definition
Rechnungen mit reellen Zahlen als Spezialfall des Rechnens mit
komplexen Zahlen resultiert.
Satz
Die Menge der komplexen Zahlen enthält die Menge der reellen
Zahlen, es gilt also:
R⊂C
(3)
Dies ist einfach einzusehen, da sich jede reelle Zahl r als komplexe
Zahl z = r + i0 schreiben lässt. Bevor wir die Rechenoperationen
besprechen betrachten wir noch den folgenden Satz:
Satz
Zwei komplexe Zahlen z1 = a + ib und z2 = c + id (a, b, c, d ∈ R)
sind genau dann gleich, wenn sie in Real- und Imaginärteil
übereinstimmen. Formal:
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Komplexe Zahlen
Definition
Addition und Subtraktion
Satz (Fortsetzung)
a + ib = c + id ⇔ a = c ∧ b = d
(4)
Um die Rechenoperationen zu definieren, betrachten wir eine
komplexe Zahl z als eine abstrakten Term und rechnen einmal so,
als wären alles nur reelle Zahlen. So gilt dann für die Addition:
s = z1 + z2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
Wir definieren:
Definition
Man addiert (bzw. subtrahiert) zwei komplexe Zahlen, indem man
ihre Real- und Imaginärteile addiert (bzw. subtrahiert). Formal:
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Komplexe Zahlen
Definition
Definition (Fortsetzung)
(a + ib) ± (c + id) = (a ± c) + i(b ± d)
(5)
Diese Vorschrift ist einfach zu handhaben und stimmt mit der
Addition reeller Zahlen überein.
Beispiel
(1 + 2i) + (4 + 5i) = (1 + 4) + i(2 + 5) = 5 + 7i
(1 − 2i) + (−4 + 5i) = (1 − 4) + i(−2 + 5) = −3 + 3i
(1 + 2i) − (4 + 5i) = (1 − 4) + i(2 − 5) = −3 − 3i
Das Problem der Multiplikation gehen wir analog an:
z1 z2 = (a+ib)(c+id) = ab+iad+ibc+i 2 bd = (ac−bd)+i(ad+bc)
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Komplexe Zahlen
Definition
Multiplikation
Definition
Man multipliziert zwei komplexe Zahlen wie folgt:
(a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
(6)
Betrachten wir einige Beispiele:
Beispiel
(1+2i)(3−4i) = ((1)(3)−(2)(−4))+i((1)(−4)+(2)(3)) = 11+2i
(7 + i0)(−8 + i0) = ((7)(−8) − (0)(0)) + i((7)(0) + (0)(−8)) = −56
(a + ib)(a − ib) = (a2 − i 2 b 2 ) + i(a(−b) + ab) = a2 + b 2
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Komplexe Zahlen
Definition
Da wir nun multiplizieren können, können wir auch potenzieren
(allgemeine binom’sche Formel):
Beispiel
5 X
5
(1 + 2i) =
15−k (2i)k
k
5
k=0
= 1 + 5(2i) + 10(2i)2 + 10(2i)3 + 5(2i)4 + (2i)5 = 41 − 38i
Bevor wir die Division betrachten, führen wir noch eine wichtige
Grösse ein:
Definition
Zwei komplexen Zahlen die sich nur im Vorzeichen des
Imaginärteils unterscheiden, nennt man zueinander konjugiert
komplex. Wir schreiben:
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Komplexe Zahlen
Definition
Division
Definition (Fortsetzung)
z = a + ib = a − ib
(7)
Mit dem 3-ten Binom lässt sich ein Nenner reell machen:
a + ib
a + ib c − id
(ac + bd) + i(bc − ad)
=
=
c + id
c + id c − id
c2 + d2
Definition
Man dividiert zwei komplexe Zahlen wie folgt:
z1 z2
a + ib
ac + bd
bc − ad
z1
=
=
= 2
+i 2
2
z2
z2 z2
c + id
c +d
c + d2
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(8)
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Komplexe Zahlen
Definition
Beispiel
Mit der Formel:
1 + 2i
(1)(3) + (2)(−4)
(2)(3) − (1)(−4)
=
+i
2
2
3 − 4i
(3) + (−4)
(3)2 + (−4)2
=
−5
10
1
2
+i
=− +i
25
25
5
5
Beispiel
Mit Erweiterung:
1 + 2i
1 + 2i 3 + 4i
(1 + 2i)(3 + 4i)
−5 + 10i
1 2
=
=
=
= − +i
3 − 4i
3 − 4i 3 + 4i
(3 − 4i)(3 + 4i)
25
5 5
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Komplexe Zahlen
Definition
MATLAB
MATLAB kennt die komplexen Zahlen. So liefert der solve-Befehl
bei einer quadratischen Gleichung auch komplexe Lösungen:
>>double(solve(’x^2+x+1’))
=> ans=-0.5000+0.8660i,-0.5000-0.8660i
Eine komplexe Zahl lässt sich direkt eingeben oder mit der
Funktion complex erzeugen:
>>z1=3+4*i => z1=3.0000+4.0000i
>>z2=complex(3,4) => z2=3.0000+4.0000i
Mit den Befehlen real und imag lassen sich Real- und Imaginärteil
einer komplexen Zahl bestimmen:
>>real(z1) => ans=3
>>imag(z1) => ans=4
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Komplexe Zahlen
Definition
MATLAB
Die Berechnungen mit komplexen Zahlen erfolgt mit den normalen
Operationszeichen:
>>(3+4*i)+(1+2*i)/(-4+3*i) => ans=3.0800+3.5600i
>>(1+2*i)^5 => ans=41.0000-38.0000i
Mit dem Befehl conj kann die konjugiert-komplexe Zahl bestimmt
werden:
>>conj(1+2*i) => ans=1.0000-2.0000i
>>(1+2*i)*conj(1+2*i) => ans=5
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Gauss’sche Zahlenebene
Jeder komplexe Zahl z = a + ib (a, b ∈ R) kann ein geordnetes
Zahlenpaar (a, b) ∈ R2 zugeordnet werden. Ein geordnetes
Zahlenpaar kann man eindeutig einem Punkt im kartesischen
Koordinatensystem zuordnen. Dies ergibt uns die Möglichkeit die
komplexen Zahlen im zweidimensionalen, reellen Raum
darzustellen. Der komplexen Zahl z = a + ib entspricht dabei der
Punkt mit der Abszisse a und der Ordinate b.
Satz
Es gibt eine Abbildung f : C → R2 , a + ib 7→ (a, b), welche bijektiv
jeder komplexen Zahl z = a + ib ∈ C einen Punkt (a, b) ∈ R2
zuordnet. Diese Abbildung liefert uns eine Identifikation zwischen
C und dem R2 . Die Bildmenge dieser Abbildung nennt man die
Gauss‘sche Zahlenebene.
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
ℑ z 
b
z=aib
a
ℜz 
MATLAB
Mit dem plot Befehl lassen sich komplexe Zahlen in der
Gauss’schen Zahlenebene darstellen:
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
MATLAB
>>plot([1+2*i,2-3*i,4-5*i,-3+i,i,-6,-3-2*i],’r*’)
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Punkte in einem Koordinatensystem müssen nicht unbedingt in
kartesischen Koordinaten angegeben werden. Wir können z.B. auch
polare Koordinaten verwenden. Es gilt für die Umrechnung:
ϕ=







kartesisch
p → polar
r = x 2 + y 2
x >0
atan yx π + atan yx
x <0
π
x = 0, y > 0
2
− π2
x = 0, y < 0
polar → kartesisch
x = rcos(ϕ)
y = rsin(ϕ)
Somit lässt sich der Punkt (a, b) ∈ R2 auch in Polarkoordinaten
(r , ϕ) beschreiben und daher gibt es auch eine Zuordnung zur
entsprechenden komplexen Zahl.
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Betrag und Argument (Winkel) einer komplexen Zahl
ℑ z 
z=aib
b
r =∣z∣
=arg  z 
a
ℜz 
Aus der Darstellung komplexer Zahlen in der Gauss’schen
Zahlenebene finden wir die Grösse des Betrags und des Arguments
einer komplexen Zahl:
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Definition
Unter dem Betrag einer
Zahl z = a + ib ∈ C versteht
√
√ komplexen
2
man den Wert |z| = zz = a + b 2 ∈ R, welcher der Entfernung
des Punktes (a, b) ∈ R2 vom Ursprung entspricht. Formal:
p
|a + ib| = a2 + b 2
(9)
Definition
Unter dem Argument (Winkel oder Phasenwinkel) einer komplexen
Zahl z = a + ib ∈ C versteht man den Winkel arg (z), welcher
gegenüber der Polaren gemessen werden kann:

atan ba a>0



b
π + atan a
a<0
arg (a + ib) =
(10)
π

a
=
0, b > 0

2

− π2
a = 0, b < 0
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Beispiel
q
√
|1 − 2i| = (1)2 + (−2)2 = 5
−2
arg (1 − 2i) = atan
= −1.1071 = −63.4349◦
1
Beispiel
q
√
(−2)2 + (1)2 = 5
1
arg (−2 + i) = π + atan
= 2.6779 = 153.4349◦
−2
|−2 + i| =
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
MATLAB
Den Betrag und das Argument (im Bogenmass) einer komplexen
Zahl können in MATLAB mit den Befehlen abs und angle
berechnet werden:
>>z=-2+i => z=-2.0000+1.0000i
>>betrag=abs(z) => betrag=2.2361
>>sym(abs(z)) => ans=sqrt(5)
>>winkel=angle(z) => winkel=2.6779
>>winkel_grad=winkel/pi*180 => winkel_grad=153.4349
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Goniometrische Darstellung
Aus der Umrechnung kartesische ⇔ polare Koordinaten finden wir:
Definition
Jede komplexe Zahl z = a + ib (arithmetische Form) lässt sich
eindeutig in der goniometrischen Form schreiben:
z = r (cos(ϕ) + isin(ϕ)) = rcis(ϕ)
(11)
r = |z| ∈ R+
0 ist der Betrag und ϕ = arg (z) ∈ [0, 2π) das
a
Argument (oder Phasenwinkel) der komplexen Zahl z.
a
Die Einschränkung des Arguments auf ein Intervall macht die Beschreibung
eindeutig! Durch die Periodizität der trigonometrischen Funktionen gibt es zu
einer komplexen Zahl unendlich viele passende Argumente (ϕ + 2kπ, k ∈ Z).
Die Beschreibung mit dem Argument im gegebenen Intervall nennt man daher
auch den Hauptwert!
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Beispiel
z =1+
√
3i
⇒ |z| = 2, arg (z) =
π
3
π
π
π
⇒ z = 2(cos( ) + isin( )) = 2cis( )
3
3
3
Beispiel
√
z = −2 3 + 2i
⇒ |z| = 4, arg (z) =
⇒ z = 4(cos(
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5π
6
5π
5π
5π
) + isin( )) = 4cis( )
6
6
6
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Rechenoperationen in der Gauss’schen Zahlenebene
Die Addition zweier komplexer Zahlen lässt sich in der Gauss’schen
Zahlenebene als Summe zweier Pfeile (Vektoren) interpretieren.
Wir betrachten dazu ein Beispiel:
Beispiel
ℑ z 
b1b2
b2
s=z 1z 2=a 1a2 ib1 b2 
z 2=a 2ib 2
b1
z 1=a1ib 1
a2
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a1
ℜz 
a 1a2
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Bemerkung
Die Berechnung der Summe bzw. der Differenz zweier komplexer
Zahlen berechnet man immer in arithmetischer Form (die
goniometrische Form eignet sich nicht)!
Auch für die Multiplikation komplexer Zahlen findet man eine
schöne Interpretation in der Gauss’schen Zahlenebene. Dazu
suchen wir eine Berechnungsmethode in gonimetrischer
Darstellungsform:
z1 z2 = (r1 (cos(ϕ1 ) + isin(ϕ1 )))(r2 (cos(ϕ2 ) + isin(ϕ2 )))
= r1 r2 (cos(ϕ1 )cos(ϕ2 ) − sin(ϕ1 )sin(ϕ2 ))+
i(cos(ϕ1 )sin(ϕ2 ) + sin(ϕ1 )cos(ϕ2 ))
= r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + isin(ϕ1 + ϕ2 )) = r1 r2 cis(ϕ1 + ϕ2 )
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Bemerkung
Der Betrag des Produktes komplexer Zahlen (in goniometrischer
Dastellungsform) ist gleich dem Produkt der Beträge der Faktoren
und das Argument des Produktes ist gleich der Summe der
Argumente der einzelnen Faktoren!
Satz
(r1 cis(ϕ1 ))(r2 cis(ϕ2 )) = r1 r2 cis(ϕ1 + ϕ2 )
Beispiel
Das Produkt der beiden komplexen Zahlen z1 = 1 +
√
√
und z2 = − 2 − 2i = 2cis( 5π
4 ) ergibt:
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√
(12)
3i = 2cis( π3 )
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Beispiel (Fortsetzung)
5π
π 5π
19π
π
) = 4cis(
)
z1 z2 = 2cis( )2cis( ) = 2 ∗ 2cis( +
3
4
3
4
12
Beispiel
Das Produkt der beiden komplexen Zahlen z1 = a + ib = rcis(ϕ)
und z2 = z1 = a − ib = rcis(−ϕ) ergibt:
z1 z2 = rcis(ϕ)rcis(−ϕ) = r ∗ rcis(ϕ − ϕ) = r 2 cis(0) = r 2
Beispiel
Das Produkt der beiden komplexen Zahlen z1 = a + ib = rcis(ϕ)
und z2 = 1cis(α) ergibt:
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Beispiel (Fortsetzung)
z1 z2 = rcis(ϕ)cis(α) = rcis(ϕ + α)
Die Multiplikation des letzten Beispiels entspricht einer Drehung
des Pfeils zu z1 um den Winkel α in der Gauss’schen Zahlenebene!
ℑ z 
z 1 z 2=r 1 cis

z 1=r1 cis 

ℜz 
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Bemerkung
Wird die komplexe Zahl z = a + ib = rcis(ϕ) als Pfeil (bzw.
Zeiger) in der Gauss’schen Zahlenebene interpretiert, so bewirkt
die Multiplikation dieser komplexen Zahl f = scis(α) eine
Drehstreckung des Zeigers z. Der Zeiger wird dabei um den Faktor
s gestreckt und um den Winkel α (im gegenuhrzeigersinn) gedreht!
Für die Division gilt analog zur Multiplikation:
Satz
Die Division der beiden komplexen Zahlen z1 = r1 cis(ϕ1 ) und
z2 = r2 cis(ϕ2 ) ergibt:
r1
z1
r1 cis(ϕ1 )
=
= cis(ϕ1 − ϕ2 )
z2
r2 cis(ϕ2 )
r2
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(13)
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
Bemerkung
Der Betrag der Division ist gleich der Division der Beträge und das
Argument der Division entspricht der Differenz der Argumente.
Beispiel
Die Division z1 = 2cis( π3 ) durch z2 = 2cis( 5π
4 ) ergibt:
2cis( π3 )
z1
2
π 5π
11π
13π
=
= cis( −
) = cis(−
) = cis(
)
5π
z2
2
3
4
12
12
2cis( 4 )
Beispiel
Die Division z1 = rcis(ϕ) durch z2 = 1cis(α) ergibt:
z1
rcis(ϕ)
r
=
= cis(ϕ − α) = rcis(ϕ − α)
z2
cis(α)
1
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Komplexe Zahlen
Gauss’sche Zahlenebene
MATLAB
In MATLAB können mit dem Befehl compass komplexe Zahlen in
der Gauss’schen Zahlenebene auch als Zeiger dargestellt werden:
>>compass([1+2*i,2-3*i,4-5*i,-3+i,i,-6,-3-2*i])
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Komplexe Zahlen
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Potenzieren - Satz von Moivre I
Als nächstes betrachten wir die Operationen Potenzieren,
Radizieren und Logarithmieren. Wir beginnen mit der Potenz einer
komplexen Zahl. Da die Multiplikation in der goniometrischen
Darstellung einfacher zu berechnen ist, wollen wir die Potenzen
ebenfalls in goniometrischer Darstellung betrachten (ansonsten
müssten wir mit der binomischen Formel arbeiten). Als
einführendes Beispiel betrachten wir das Quadrat einer komplexen
Zahl:
Beispiel
z 2 = (rcis(ϕ))2 = (rcis(ϕ))(rcis(ϕ)) = r ∗ rcis(ϕ + ϕ) = r 2 cis(2ϕ)
Wie wir weiter vorne schon gesehen haben, werden bei der
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Algebra
Komplexe Zahlen
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Multiplikation die Beträge der Faktoren miteinander multipliziert
und die Argumente der Faktoren addiert. Beim Quadrieren wird
also der Betrag quadriert und das Argument verdoppelt. Allgemein
gilt:
Satz von Moivre I
Für ganzzahlige (n ∈ Z) Potenzen gilt:
z n = (rcis(ϕ))n = r n cis(nϕ)
(14)
Beispiel
Wir suchen
die 10-te Potenz
der komplexen Zahl
√
z = − 3 − i = 2cis 7π
.
Gemäss
dem Satz von Moivre finden wir:
6
z
10
=
2cis
7π
6
10
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7π
5π
= 2 cis 10
= 1024cis
6
3
10
Algebra
40/63
Algebra
Komplexe Zahlen
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Beispiel (Fortsetzung)
= 1024
√ !
√
1
3
−
i = 512 − 512 3i
2
2
MATLAB
In MATLAB können mit dem Befehlˆkomplexe Zahlen potenziert
werden:
>>(-sqrt(3)-i)^10 => ans=5.1200e+002-8.8681e+002i
Dabei arbeitet MATLAB immer in der arithmetischen Form. Für
Betrag und Argument müssen die entsprechenden Umrechnungen
noch vorgenommen werden:
>>abs((-sqrt(3)-i)^10) => ans=1024
>>angle((-sqrt(3)-i)^10) => ans=-1.0472
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Komplexe Zahlen
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Radizieren - Satz von Moivre II
Während es im Körper der reellen Zahlen beispielsweise nur zwei
Zahlen gibt, deren vierte Potenz gleich Eins ist (−1 und 1), enthält
der Körper der komplexen Zahlen vier solche Werte (−1,1,i und
−i). Die Gleichung z 4 = 1 hat im Körper der komplexen Zahlen
somit vier Lösungen.
Definition
Die Lösungen der Gleichung z n = u, z, u ∈ C ∧ n ∈ N heissen
komplexe n-te Wurzeln von u.
Die Zahl 1 hat also die komplexen vierten Wurzeln 1, i, −1 und −i.
Beispiel
Wir wollen alle
dritten Wurzeln der Zahl
√ komplexen
2π
u = −2 + 2 3i = 4cis( 3 ) bestimmen. Wir suchen also eine
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Komplexe Zahlen
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Beispiel (Fortsetzung)
komplexe Zahl z = a + ib = rcis(ϕ), welche in der dritten Potenz u
ergibt. Im Satz von Moivre eingesetzt ergibt sich für die dritte
Potenz von z:
2π
3
3
3
z = (rcisϕ) = r cis(3ϕ) = 4cis
3
Durch das Vergleichen der beiden Ausdrücke finden wir:
r3 = 4 ⇒ r =
√
3
4, 3ϕ =
2π
2π
⇒ϕ=
3
9
Eine der gesuchten drei komplexen Wurzeln lautet somit:
√
2π
3
z0 = 4cis
9
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Komplexe Zahlen
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Beispiel (Fortsetzung)
Die weiteren beiden Lösungen finden wir mit der Periodizität der
goniometrischen Darstellung:
2π
2π
= 4cis
+ 2kπ , k ∈ Z
u = 4cis
3
3
Der neue Vergleich liefert immer noch den selben Betrag aber wir
finden unterschiedliche Argumente:
3ϕ =
2π
2π 2kπ
+ 2kπ ⇒ ϕ =
+
3
9
3
Für k = 0 finden wir die Lösung von weiter oben. Für k = 1 und
k = 2 finden wir die beiden weiteren Lösungen:
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Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Beispiel (Fortsetzung)
√
3
√
2π 2π
8π
3
z1 = 4cis
+
= 4cis
9
3
9
√
√
2π 4π
14π
3
3
z2 = 4cis
+
= 4cis
9
3
9
u=−22  3 i=4cis 
2

3
2
3
z0
z1
z2
2
2
3
2
4
3
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Komplexe Zahlen
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Allgemein erhalten wir:
Satz von Moivre II
Jede von Null verschiedene komplexe Zahl u hat genau n
verschiedene komplexe n-te Wurzeln (n ∈ N). Der Betrag der n-ten
Wurzel von u = rcis(ϕ) ist gleich der n-ten Wurzel aus dem Betrag
von u. Die Argumente der komplexen n-ten Wurzeln erhält man,
indem man zum Argument der komplexen Zahl u das k-fache
k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 1} des Vollwinkels addiert und die Summe
durch n dividiert. Formal:
p
√
√
ϕ + 2kπ
n
n
n
, k ∈ {0, 1, 2, ..., n − 1}
zk = u = rcis(ϕ) = r cis
n
(15)
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Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Beispiel
Gesucht seien die Quadratwurzeln aus i. Umwandeln in
goniometrische Form: i = 1cis π2 . Nun finden wir mit dem Satz
von Moivre:
r π
√
+ 2kπ
π
= cis 2
z0,1 = i = cis
2
2
π 5π
⇒ z0 = cis
, z1 = cis
4
4
Beispiel
Gesucht seien die komplexen dritten Wurzeln aus 1. Umwandeln in
goniometrische Form: 1 = 1cis (0). Nun finden wir mit dem Satz
von Moivre:
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Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Beispiel (Fortsetzung)
z0,1,2 =
√
3
1=
p
3
cis(0) = cis
z0 = cis (0) = 1
1
⇒ z1 = cis 2π
3 = 2 +
1
z2 = cis 4π
3 = 2 −
2kπ
3
√
3
i
√2
3
2 i
Beispiel
Gesucht seien die komplexen vierten Wurzeln aus −16. Umwandeln
in goniometrische Form: −16 = 16cis (π). Nun finden wir mit dem
Satz von Moivre:
p
√
√
π + 2kπ
4
z0,1,2,3 = 4 −16 = 4 cis (π) = 16cis
4
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Beispiel (Fortsetzung)
√
√ √
√
= 2 22 + 22 i = 2 + 2i
√
√ √
√
2
2
z1 = 2cis 3π
=
2
−
+
i = − 2 + 2i
4
2
2
√
√ ⇒
√
√
2
2
z2 = 2cis 5π
=
2
−
−
i = − 2 − 2i
4
2
2
√
√ √
√
2
2
z3 = 2cis 7π
−
2 − 2i
=
2
4
2
2 i =
z0 = 2cis
π
4
Bemerkung
Radizieren und Potenzieren sind Umkehroperationen
voneinander:
n 1 n
√
n
z = zn = z
(16)
Die n-ten Wurzeln von z = rcis(ϕ) liegen auf einem Kreis in
√
der Gauss’schen Zahlenebene mit Radius R = n r .
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Bemerkung (Fortsetzung)
Die verschiedenen komplexen n-ten Wurzeln von z = rcis(ϕ)
unterscheiden sich nur im Argument. Zwischen zwei
benachbarten Wurzeln liegt der Winkel ∆α = 2π
n .
Die komplexen n-ten Wurzeln lassen sich aus dem Produkt
des aus dem Hauptwert gebildeten Wurzel und den n
verschiedenen koplexen Einheitswurzeln geschrieben werden:
ϕ 2kπ p
√
√
n
n
n
cis
(17)
z = rcis(ϕ) = r cis
n
n
| {z }
komplexe
Einheitswurzeln
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MATLAB
In MATLAB liefert der Befehlˆ(1/n) eine n-te Wurzel:
>>(-sqrt(3)-i)^(1/3) => ans=0.8099-0.9652i
Um alle komplexen Wurzeln zu erhalten, muss die entsprechende
Gleichung z n = u mit dem solve-Befehl gelöst werden:
>>double(solve(’z^3-(-sqrt(3)-i)’))
=> ans=0.8099-0.9652i,-1.2408-0.2188i,0.4309+1.1839i
Mittels compass können die Wurzeln graphisch dargestellt werden:
>>compass(double(solve(’z^3-(-sqrt(3)-i)’))) =>
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MATLAB (Fortsrtzung)
 =
2

3 0 = 3
2
 =
3
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n
R= r
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Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Exponentialform
Bevor wir mit dem Logarithmieren starten können benötigen wir
noch eine weitere Darstellungsform für die komplexen Zahlen. Dies
ist die sogenannte Exponentialform einer komplexen Zahl. Um
diese Darstellungsform herzuleiten arbeiten wir mit Potenzreihen:
∞
X xk
x2 x3
e =1+x +
+
+ ... =
2!
3!
k!
x
k=0
x 2k+1
∞
X
x3 x5 x7
sin(x) = x −
+
−
+ −... =
(−1)k
3!
5!
7!
(2k + 1)!
(18)
(19)
k=0
∞
cos(x) = 1 −
X
x2 x4 x6
x 2k
+
−
+ −... =
(−1)k
2!
4!
6!
(2k)!
(20)
k=0
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Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Das Argument der Funktionen sei hierbei reell. Doch was
geschieht, wenn wir in diesen Potenzreihen eine komplexe Zahl
einsetzen? Versuchen wir es einmal:
∞
e ix = 1 + ix +
X (ix)k
(ix)2 (ix)3
+
+ ... =
2!
3!
k!
k=0
x2
x3 x4
x5 x6
x7
−i
+
+i
−
−i
+ −...
2!
3!
4!
5!
6!
7!
x2 x4 x6
x3 x5 x7
= 1−
+
−
+ −... + i x −
+
−
+ −...
2!
4!
6!
3!
5!
7!
= 1 + ix −
=
∞
X
|k=0
∞
X
x 2k
x 2k+1
+i
(−1)k
(2k)!
(2k + 1)!
{z
} |k=0
{z
}
(−1)k
cos(x)
sin(x)
= cos(x) + isin(x) = cis(x)
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Komplexe Zahlen
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Euler’sche Formel
Ein sehr erstaunliches Resultat! Dieser Zusammenhang zwischen
der komplexen Eponentialfunktion und den reellen
trigonometrischen Funktionen nennt man Euler’sche Formel:
Satz (Eulersche Formel)
e ix = cos(x) + isin(x) = cis(x)
(21)
Wir können nun eine komplexe Zahl auch wie folgt schreiben:
Definition
Seien r und ϕ der Betrag und das Argument einer komplexen Zahl
z = a + ib = rcis(ϕ), so versteht man unter der Exponentialform
von z die Darstellung:
z = re iϕ
(22)
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Logarithmieren
Die Exponentialform beinhaltet wie die goniometrische Darstellung
den Betrag und das Argument der komplexen Zahl (also keine
neuen Informationen), doch können nun bestimmte Rechnungen
einfach einfach ausgeführt werden:
Beispiel
Wir suchen den natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl
√
√ i 3π
4 . Wir wenden den
z = −5 + 5i = 5 2cis 3π
4 = 5 2e
Logarithmus auf z in der Exponentialform an:
√ 3π ln(z) = ln 5 2e i 4
Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der
Logarithmen der einzelnen Faktoren. Wir haben in der
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Beispiel (Fortsetzung)
Exponentialform das Produkt aus dem Betrag der komplexen Zahl
mit der komplexen Exponentialfunktion z = re iϕ . Also finden wir:
√ 3π ln(z) = ln 5 2 + ln e i 4
Im zweiten Summanden (ln e iϕ ) heben sich Logarithmus und
Exponentialfunktion gegenseitig auf (Umkehrfunktionen):
√ 3π
ln(z) = ln 5 2 + i
4
Definition
Der komplexe Logarithmus einer komplexen Zahl z 6= 0 ist wieder
eine komplexe Zahl. Dabei ist der Realteil des Resultats gleich dem
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Definition (Fortsetzung)
Logarithmus des Numerus re ln re iϕ = ln(r ) und der
Imaginärteil gleich dem Argument des Numerus
(plus ein
ganzzahliges Vielfaches von 2π) re ln re iϕ = (ϕ + 2kπ), k ∈ Z.
Also gilt:
ln(z) = ln re iϕ = ln(r ) + i(ϕ + 2kπ), k ∈ Z
(23)
Beispiel
ln(−1) =? - Den Numerus z = −1 in Exponentialform
umwandeln: z = −1 = 1e iπ = e iπ . Nun kann der Logarithmus
berechnet werden:
ln(−1) = ln e i(π+2kπ) = i(π + 2kπ)
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Beispiel (Fortsetzung)
ln(−10i) =? - Wieder den Numerus in die Exponentialform
3π
umwandeln: z = −10i = 10e i 2 . Logaritmieren:
3π
i ( 3π
+2kπ
)
ln(−10i) = ln 10e 2
= ln(10) + i
+ 2kπ
2
√
√
√
√
7π
log2 ( 2 − 2i) =? - Es gilt: z = 2 − 2i = 2e i 4 . Um die
Aufgabe zu lösen, muss nun auch noch ein Basiswechsel
vorgenommen werden:
7π 7π ln 2e i 4
√
√
log2 ( 2 − 2i) = log2 2e i 4 =
=
ln(2)
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Beispiel (Fortsetzung)
ln(2) + i 7π
4 + 2kπ
=
=1+i
ln(2)
7π
4
+ 2kπ
ln(2)
Bemerkung
Neben dem Logarithmieren liefert die Exponentialform eine
Möglichkeit des Potenzierens mit der komplexen Zahl im
Exponenten. Wir wollen e z = e a+ib berechnen. Nun gilt:
e z = e a+ib = e a e ib = |{z}
e a cis( |{z}
b )
|e z |
(24)
arg (e z )
Beispiel
e 1+iπ =? - Direktes Berechnen liefert:
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Beispiel (Fortsetzung)
e 1+πi = e 1 e iπ = ecis(π) = −e
2i =? - Hier muss ein Basiswechsel vorgenommen werden:
i
2i = e (ln(2 )) = e iln(2) = cis(ln(2))
(−i)−i =? - Analog zum letzten Beispiel:
(−i)
−i
=e
ln((−i)−i )
=e
−iln(−i)
=e
3π
−iln e −i 2
3π
2 3π
= e −i ( 2 +2kπ) = e ( 2 +2kπ)
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MATLAB
In MATLAB können die letzten Beispielaufgabe einfach berechnet
werden:
>>log(-1) => ans=0+3.1416i
>>log(-10*i) => ans=2.3026-1.5708i
>>log2(sqrt(2)-sqrt(2)*i) => ans=1.0000-1.1331i
>>exp(1+i*pi) => ans=-2.7183+0.0000i
>>2^i => ans=0.7692+0.6390i
>>(-i)^(-i) => ans=0.2079
Achtung: Wenn es mehrere Lösungen gibt, liefert MATLAB bei der
direkten Ausrechnung immer nur eine Lösung!!
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Berechnungen in den verschiedenen Darstellungsformen
Bemerkung
ln( )
()
a
arithmetische
Form
z = a + ib
goniometrische
Form
z = rcis(ϕ)
Exponentialform
z = re iϕ
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