Physik-Formelsammlung II
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Physik-Formelsammlung 1 Daniel Ehrbar, D-BAUG Wichtige physikalische Konstanten Einheiten wichtiger physikalische Grössen - Erdbeschleunigung: Geschwindigkeit: [v] = m/s g = 9.81 m/s 2 Beschleunigung: [a] = m/s2 - Gravitationskonstante: G = 6.673 · 10-11 Nm2/kg2 - Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: 8 c0 = 2.99792458 · 10 m/s - Magnetische Feldkonstante: µ0 = 4π · 10-7 Vs/(Am) - Elektrische Feldkonstante: ε0 = 8.85418782 · 10-12 As/(Vm) - Elementarladung: e = 1.602176 · 10-19 C - Masse des Elektrons: me = 9.109382 · 10-31 kg - Masse des Protons: mp = 1.672622 · 10-27 kg - Masse des Neutrons: mn = 1.674927 · 10-27 kg - Elektronenvolt eV: 1 eV = 1.602176 · 10-19 J - Planck’sches Wirkungsquantum: Winkel: [γ] = m/m = – Frequenz: [ν] = 1/s Winkelgeschwindigkeit: [ω] = 1/s Impuls: [p] = kgm/s Kraft: [F] = N = kgm/s2 Energie: [E] = J = Nm = Ws = kgm2/s2 Leistung: [P] = W = J/s = Nm/s = kgm2/s3 Drehmoment: [M] = Nm = kgm2/s2 Winkelbeschleunigung: [α] = 1/s2 Trägheitsmoment: [J] = kgm2 Drehimpuls: [L] = Nms = kgm2/s Intensität: [I] = W/(m2s) = kg/s3 Druck: [p] = Pa = N/m2 = kg/(ms2) Elektrische Ladung: [Q] = C = As Elektrische Feldstärke: [E] = V/m = kgm/(As3) Elektrisches Potential: [φ] = J/C = kgm2/(As3) Elektrische Spannung: [U] = V = kgm2/(As3) Kapazität: [C] = F = C/V = A2s4/(kgm2) Elektrischer Widerstand: [R] = V/A = kgm2/(A2s3) h = 6.62619 · 10-34 Js Elektrische Energie: [W] = Ws = J = kgm2/s2 ħ = 1.054572 · 10-34 Js Elektrische Leistung: [P] = W = J/s = kgm2/s3 - Rydbergkonstante: Ry = 1.097373 · 107/m Magnetische Flussdichte: [B] = T = kg/(As2) Induktivität: [L] = H = Vs/A = kgm2/(A2s2) - Boltzmann-Konstante: k = 1.380650 · 10-23 J/K - Universelle Gaskonstante: R = 8.314472 J/(Kmol) - Avogadro-Zahl: NA = 6.022142 · 1023 1/mol Faktor 10 15 10 12 109 - Normdruck: Pn = 101325 N/m2 = 101325 Pa - Normtemperatur: Tn = 273.15 K SI-Vorsätze ↔ υ = 0°C - Molares Volumen eines idealen Gases bei Normdruck und Normtemperatur: Vmn = 22.414 · 10-3 m3/mol 10 6 103 10 2 10 10 -1 Vorsatz Peta Zeichen P Faktor Vorsatz Zeichen 10 -2 Centi c -3 Milli m Mikro µ Nano n Piko p Femto f Atto a Tera T 10 Giga G 10-6 Mega M 10 -9 Kilo k 10-12 h -15 Hekto Deka da Dezi d 10 18 10- Physik-Formelsammlung 2 Planimetrie Dreieck: Flächeninhalt: Kugel: A= A= 1 1 1 a ⋅ ha = b ⋅ hb = c ⋅ hc 2 2 2 a ⋅b ⋅c a ⋅b = sin γ 4r 2 Sinussatz: a b c = = = 2r sin α sin β sin γ Cosinussatz: a 2 = b 2 + c 2 − 2b ⋅ c ⋅ cosα Kreis: U = 2π ⋅ r Kreisinhalt: A = π ⋅ r2 ) π β= ⋅β 180° ) b = β ⋅r Bogenlänge: Sektorinhalt: Kugelinhalt: V= 4π 3 r 3 Kugelsektor: V= 2π 2 r ⋅h 3 Kugelschicht: V= A= β ⋅r 2 2 = π ⋅h 6 (3a π ⋅ h2 V= Kugeloberfläche: O = 4π ⋅ r 2 A = 2π ⋅ r ⋅ h 3 2 + 3b 2 + h 2 ) (3r − h ) Kugelsegment: Kugelhaubenfläche: Kreisumfang: Bogenmass: Daniel Ehrbar, D-BAUG Koordinaten und Koordinatentransformation Polarkoordinaten: b⋅r 2 Stereometrie Zylinder- und kegelförmige Körper, Prismatoid: x = r ⋅ cos ϕ r = x2 + y2 y = r ⋅ sin ϕ ϕ = arctan y x dA = r ⋅ dr ⋅ dϕ Kugelkoordinaten: x = r ⋅ sin ϑ ⋅ cos ϕ r = x2 + y 2 + z 2 y = r ⋅ sin ϑ ⋅ sin ϕ ϑ = arccos z = r ⋅ cosϑ ϕ = arctan z r y x dV = r 2 ⋅ sin ϑ ⋅ dr ⋅ dϑ ⋅ dϕ Zylinderkoordinaten: x = ρ ⋅ cos ϕ y = ρ ⋅ sin ϕ ρ = x2 + y2 ϕ = arctan y x z=z z=z dA = ρ ⋅ dρ ⋅ dϕ ⋅ dz Taylor’sche Reihe f (x) = f (x0 ) + f ' (x0 ) f ' ' ( x0 ) (x − x0 )1 + (x − x0 )2 + ... 1! 2! x0: Entwicklungspunkt (Annäherung von f(x) um x0) Ellipsoid: Ellipsoidvolumen: Linearisierung einer Funktion um x0: V= 4π a ⋅b⋅c 3 f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ' ( x0 ) ( x − x0 ) 1! Physik-Formelsammlung 3 1.2.1 Arbeit, Energie und Leistung 1. Klassische Mechanik 1.1 Kinematik des Massenpunktes v Geschwindigkeit s Strecke t Zeit a Beschleunigung b Bogenlänge [b] = m r Kreisradius [r] = m φ Winkelkoordinate [v] = m/s [s] = m [t] = s [a] = m/s2 [φ] = rad = m/m ω Winkelgeschwindigkeit f Frequenz T Umlaufzeit [ω] = 1/s [f] = 1/s = Hz [T] = s [az] = m/s2 az Zentripetalbeschleunigung v= ds = s& = r ω = 2πrf dt ω= ∆ϕ ∆t a= ω 1 = T 2π f = dv = v& dt ϕ= b r 2 az = Daniel Ehrbar, D-BAUG v = rω 2 r W Arbeit F Kraft (FS: Projektion auf Weg) α Winkel zwischen Kraft und Weg [α] = ° s Weg (Strecke) [s] = m m Masse [m] = kg v Geschwindigkeit [v] = m/s h Höhe über Bezugsniveau D Federkonstante y Auslenkung der Feder [W] = Nm = Ws = J [F] = N [h] = m [D] = N/m [y] = m Ekin kinetische Energie [Ekin] = Ws = J Epot potentielle Energie [Epot] = Ws = J EF Federenergie [EF] = Ws = J P momentane Leistung [P] = J/s = W P Mittlere Leistung I Intensität A Fläche [ P ] = J/s = W [I] = W/m2 [A] = m2 r r sB r r W = FS ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos α = F o s = ∫ F o ds sA 1.2 Dynamik des Massenpunktes m Masse [m] = kg V Volumen [V] = m ρ Dichte (spez. Gewicht) F Kraft [ρ] = kg/m3 [FG] = N FN Normalkraft [FN] = N µR Gleitreibungszahl [µR] = – µH Haftreibungszahl [µH] = – Auslenkung einer Feder [y] = m D Federkonstante [D] = N/m FR Gleitreibungskraft [FR] = N FH Haftreibungskraft [FH] = N FF Federkraft [FF] = N p Impuls [p] = kgm/s Fz Zentripetalkraft m ρ= V P= [F] = kgm/s2 = N FG Gewichtskraft y EF = 3 [Fz] = N mv 2 = mr ω 2 Fz = m ⋅ a z = r FR = µ R ⋅ FN FH ≤ µ H ⋅ FN p = m⋅v dp F = m⋅a = = p& dt FG = m ⋅ g FF = D ⋅ y 1 Dy 2 2 E kin = E pot = mgh 1 mv 2 2 r r W dW ∆E = F o v P = AB = dt ∆t ∆t I= ∆E P = ∆t ⋅ A A 1.2.2 Gravitation und Punktsysteme FG Gravitationskraft [FG] = N Epot potentielle Energie [Epot] = Ws = J = 6.67 · 10-7 Nm2/kg2 G Gravitationskonstante mi Masse der beiden Körper d [mi] = kg Abstand der beiden Körper [d] = m V Grav.potential (Bezug im ∞) [V] = Nm/kg rS Masenmittelpunkt [rS] = m pi Impuls eines Teilkörpers L [pi] = kgm/s Drehimpuls eines Systems [L] = Nms M Gesamtes Drehmoment FG = G m1m 2 d 2 r r ∑ m i ⋅ ri rS = m total V = −G m r [M] = Nm = J E pot = − G r r r L = ∑ ri × pi m1 m 2 d r r r M = ∑ ri × Fi Physik-Formelsammlung 4 1.3 Starre Körper 2. Mechanische Wellen Drehwinkel φ [φ] = rad ω Winkelgeschwindigkeit [ω] = 1/s Winkelbeschleunigung [α] = m/s2 α JS Trägheitsmoment bez. Schw.pkt. [JS] = kgm2 JP Trägheitsmoment bez. Punkt P [JP] = kgm2 J Trägheitsmoment bez. Drehachse m Masse a Abstand zwischen S und P [a] = m M Drehmoment [M] = Nm Erot Rotationsenergie [Erot] = Ws = J W Arbeit [W] = Ws = J Leistung ω= dϕ = ϕ& dt M = [J] = kgm2 [m] = kg P α = Elongation eines Teilchens am Ort [x] = m x zur Zeit t A Amplitude [A] = m ω Kreisfrequenz [ω] = 1/s t Zeit v Phasengeschwindigkeit T Periodendauer [T] = s λ Wellenlänge [λ] = m k Wellenzahl ν Frequenz eines Teilchens [t] = s [v] = m/s [k] = 1/m dL = L& dt E rot = 1 Jω 2 2 P = M ⋅ω [ν] = 1/s M = J ⋅α λ 2π T 2.2 Phasengeschwindigkeit [σ] = N/m2 A Fläche [A] = m2 ε Dehnung [ε] = – l Länge [l] = m E Elastizitätsmodul ν Frequenz eines Teilchens [w] = N/m3 w Energiedichte p Schweredruck / Druck [p] = N/m2 = Pa ρ Dichte (spez. Gewicht) [ρ] = kg/m3 h Eintauchtiefe [h] = m FA Auftriebskraft [FA] = N VK Eintauchvolumen des Körpers 3 2.3 Allgemeine Wellengleichung ∂ 2Ψ ∂x 2 [V] = m3 W Kompressionsarbeit [W] = J [χ] = 1/Pa σ 2 2E = ∆Ψ ( x, t ) = 1 ∂ 2Ψ ⋅ c 2 ∂t 2 2.4 Phasengeschwindigkeiten 2.4.1 Longitudinale Wellen (Längswelle) vph Phasengeschwindigkeit [vph] = m/s E Elastizitätsmodul [E] = N/m2 ρ Dichte [ρ] = kg/m3 [VK] = m V Volumen allgemein Kompressibilität [ν] = 1/s v ph = ν ⋅ λ [E] = N/m2 w= ω = 2π ⋅ν = L = J ⋅ω [FN] = N ∆l σ = l E 2π z x (t , z ) = A ⋅ sin ω t − = A ⋅ sin (ω t − kz ) v J P = J S + ma 2 FN Normalkraft auf Fläche ε = k= K Zugspannung F σ = N A x J = ∫ r 2 ⋅ dm ≈ ∑ mi ⋅ ri 2 dω = ω& = ϕ&& dt 1.4 Deformierbare Medien χ 2.1 Harmonische ebene Wellen [P] = W W = M ⋅ϕ σ Daniel Ehrbar, D-BAUG ∆V = − χ ⋅ ∆p V p = ρ ⋅ g ⋅ h FA = ρ ⋅ g ⋅ V K W = − ∫ p ⋅ dV v ph = E ρ 2.4.2 Transversale Wellen (Querwellen) [G] = N/m2 G Schubmodul v ph = G ρ Physik-Formelsammlung 5 Daniel Ehrbar, D-BAUG 2.4.3 Transversalwellen auf gespanntem Seil 2.5 Transmission und Reflexion F Spannkraft des Seiles, Drahtes o.ä. A0 Amplitude eintreffende Welle µ Masse pro Längeneinheit [µ] = kg/m T σ Zugspannung des Seiles o.ä. [σ] = N/m2 R Amplitude reflektierte Welle v ph = F µ = [F] = N α σ ρ [A0] = m Amplitude transmittierte Welle [T] = m [R] = m Verhältnis der Schallhärten der [α] = – beiden Medien T = 2 ⋅ A0 1+ α R=± 1−α ⋅ A0 1+α E2 ⋅ ρ 2 α= E1 ⋅ ρ1 in Gasen gilt: E = κ · p 2.6 Akustik LS Lautstärke [LS] = Phon = 10-12 W/m2 Imin minimal detektierbare Intensität des Ohrs I Schallintensität [I] = W/m2 dp Druckamplitude [dp] = N/m2 vph Phasengeschwindigkeit [vph] = m/s ρ Dichte [ρ] = kg/m3 ω Kreisfrequenz [ω] = 1/s a0 Amplitude der Welle [a0] = m LP Schalldruckpegel 2.4.4 Schallwellen in einem Gas κ Kompressibilität [κ] = – T absolute Temperatur in Kelvin [T] = K M Molekulargewicht v ph = pS Schalldruck der Hörschwelle = 2 · 10-15 Pa IT Intensität der transmittierten [IT] = W/m2 Schallwelle I0 Intensität der eintreffenden [I0] = W/m2 Schallwelle [M] = g/mol T κ RT [LP] = dB Amplitude der transmittierten [T] = m Schallwelle M A0 Amplitude der eintreffenden Schallwelle 2.4.5 Schallwellen in einer Flüssigkeit χ Kompressibilität v ph = [χ] = 1/Pa 1 ρ ⋅χ [A0] = m I LS = 10 ⋅ log10 I min I = v ph ⋅ w = 1 (dp ) 2 ⋅ 2 ρ ⋅ v ph dp = v ph ⋅ ρ ⋅ ω ⋅ a0 = v ph ⋅ ρ ⋅ u 0 I LP = 10 ⋅ log10 I min dp = 20 ⋅ log10 p S 2 T I T = ⋅ I 0 A0 Physik-Formelsammlung 6 3. Elektrizität 3.1 Punktladungen und Coulombkraft ε Dielektrizitätszahl (Vakuum: ε = 1) qi Punktladungen r [ε] = – [qi] = C = As Abstand [r] = m FC Coulombkraft r F= Daniel Ehrbar, D-BAUG V Elektrostat. Potential [V] = J/C = V U elektrische Spannung [U] = J/C = V Epot Potentielle Energie eines [Epot] = J geladenen Teilchens VP Potential einer Punktladung q ∞ r r V ( P ) = ∫ E o ds P2 r P2 r r r W = ∫ F o ds = q ⋅ ∫ E o ds [FC] = N P1 r q1q 2 r r 4πε 0 ε r 2 r [VP] = V P1 P 1 E pot = V ( P ) ⋅ q P2 r r U = V ( P1 ) − V ( P2 ) = ∫ E o ds P1 3.2 Elektrostatisches Feld F Kraft auf Probeladung q E Elektrostatisches Feld [E] = N/C = V/m r r F E= q [Er] = V/m r q⋅r r 4πε 0ε r 3 [C] = C/V = F Q = C ⋅U 3.5.1 Plattenkondensator [Ez] = V/m unendlich ausgedehnten Ebene σ 2ε 0ε d Plattenabstand = [d] = m [A] = m2 A Plattenfläche [σ] = C/m2 Flächenladungsdichte Ez = C Kapazität 1 Ez Feld einer homogen geladenen, σ 1 q r 4π ⋅ ε 0 ⋅ ε r 3.4 Kondensatoren Er Feld um eine Punktladung +q r r E (r ) = r VP ( r ) = [F] = N E= U d C = ε 0ε ⋅ A d 1 Q ⋅ 2ε 0ε A 3.5.2 Zylinderkondensator 3.3 Elektrischer Fluss und Satz von Gauss Φ Elektrischer Fluss ρ [Φ] = Vm = Wb [ρ] = C/m3 Ladungsdichteverteilung r r Q Φ = ∫∫ E ⋅ dA = A ε 0ε r 1 divE = ρ ε 0ε Q = ∫∫∫ ρdV Ri Innenradius [Ri] = m Ra Aussenradius [Ra] = m l Länge E (r ) = [l] = m Q 2πε 0ε ⋅ r ⋅ l C≅ 2πε 0ε ⋅ l R ln a Ri Er Feld um eine geladene Kugel mit Radius R und Ladung Q (Unterscheide: r > R und r < R) E r < R (r ) = 1 Q 4πε 0 ε R 3 r E r > R (r ) = 1 3.5.3 Freistehende Kugel Q C = 4πε 0ε ⋅ r 4πε 0 ε r 2 3.5.4 Kugelkondensator 3.4 Elektrisches Potential und Energie q von P1 nach P2 bewegte Ladung [q] = C s Strecke (ds = inf. Streckenstück) [s] = m E Elektrisches Feld W Arbeit [E] = V/m [W] = J Ri Innenradius [Ri] = m Ra Aussenradius [Ra] = m C= 4πε 0ε 1 1 − Ri Ra Physik-Formelsammlung 7 3.5.5 Kombination von Kondensatoren I = parallel : C = ∑ Ci 1 1 =∑ C i Ci in Serie : A i U = R⋅I = l l ⋅I = ρ ⋅I A σ ⋅A 3.8.2 Kombination von ohmschen Widerständen W im Kondensator gesp. Energie [W] = J 1 1 Q2 CU 2 = 2 2 C w= in Serie : R = ∑ Ri [w] = J/m3 w Energiedichte des elektr. Feldes 1 ε 0ε ⋅ E 2 2 Knotenregel : q Ladung eines Atoms [q] = C d Verschiebung Ladungsschw.pkte [d] = m p induziertes Dipolmoment P Polarisation [P] = C/m2 N Atome pro Volumeneinheit [N] = 1/m3 Phom Polarisation in hom. E-Feld [Phom] = C/m2 1 1 =∑ R Ri ∑ Ik Knoten =0 [p] = Cm Maschenregel : ∑ ( I ⋅ R) k = ∑ U i Masche EDiel el. Feldstärke im Dielektrikum [Ediel] = V/m EVak el. Feldstärke im Vakuum Masche [Evak] = V/m χ dielektrische Suszeptibilität M Drehmoment [χ] = – [M] = CV = Nm r r r M = p× E Phom = N ⋅ q ⋅ d r 1 r P = ∑ pi V parallel : 3.8.3 Kirchhoff’sche Gesetze 3.7 Dielektrika im elektrischen Feld r r p = q⋅d r r r i = ∑ ni ⋅ qi ⋅ vi = σ ⋅ E r r I = ∫ i o dA dQ dt i 3.6 Energie des elektrischen Feldes W = Daniel Ehrbar, D-BAUG E Diel = EVak ε = EVak 1+ χ 3.8 Elektrische Ströme (Gleichstrom) 3.8.4 Arbeit, Energie und Leistung 3.8.1 Allgemeine Formeln W Stromarbeit [W] = J U Spannung [U] = V I Stromstärke i Stromdichte (auch: J) [i] = A/m2 n Ladungsträgerdichte [n] = 1/m3 I Strom [I] = A q Ladung eines Trägers [q] = C t Zeit [t] = s v Driftgeschwindigkeit [v] = m/s P Leistung des el. Stromes σ spezifische Leitfähigkeit [σ] = S/m = 1/(Ωm) ρ spezifischer Widerstand [ρ] = Ωm U Spannung R ohmscher Widerstand A Leiterquerschnitt l Länge des Leiters [I] = A [U] = V [R] = V/A [A] = m2 [l] = m R ohmsche Widerstand WJ Joule’sche Wärme W = U ⋅ I ⋅t P =U ⋅I [R] = V/A [P] = J/s = W [WJ] = VC = Nm = J W = R ⋅ I 2 ⋅t = U2 t R Physik-Formelsammlung 8 3.9 Magnetfelder B Magnetische Flussdichte 3.9.2 Biot-Savart-Kraft 2 [B] = Vs/m = T I Strom durch ein Leiterstück [I] = A [q] = C l Länge des Leiterstücks [l] = m q bewegte Ladung v Geschw.t der bewegten Ladung E Elektrisches Feld F Lorentzkraft auf bewegte Ladung r r r r F = q ⋅ E + q ⋅ (v × B ) Daniel Ehrbar, D-BAUG [v] = m/s [E] = V/m B Magnetische Flussdichte [B] = T F [F] = N Biot-Savart-Kraft r r r dF = I ( dl × B ) [F] = N r divB = 0 b r r falls dl ⊥ B : F = I ⋅ l ⋅ B = I ⋅ ∫ B (r ) ⋅ dr a 3.10 Magnetfeld stationärer Ströme B Magnetische Flussdichte [B] = T s [s] = m Kurve um den stromdurchflossenen Leiter I Strom durch den Leiter i Stromdichte r r ∫ B o ds = µ 0 ⋅ I 3.9.1 Freie Ladungen im B-Feld, wenn E-Feld = 0 FZ Zentripetalkraft [FZ] = N FL Lorentzkraft [FL] = N m Masse des Teilchens [m] = kg q Ladung des Teilchens v Geschwindigkeit des Teilchens [q] = C [v] = m/s R Bahnradius des Teilchens [R] = m ω Winkelgeschw. (Larmorfrequenz) FZ = m v2 = qvB = FL R ω= [ω] = 1/s v qB = R m [I] = A [i] = A/m2 r r rotB = µ 0 ⋅ i Physik-Formelsammlung 9 Bg Magnetische Flussdichte eines unendlich langen, geraden stromdurchflossenen Leiters H Magnetische Erregung ds Umfang der umschliessenden [ds] = m [dA] = m2 dA stromdurchflossene Fläche BK Magnetische Flussdichte im Zentrum eines r r r r r 1 ∂E ∂E rotB = µ 0 ⋅ i + µ 0ε 0 ⋅ = µ0 ⋅ i + 2 ⋅ ∂t c ∂t r r r r ∂ ρ = 0 rot H = i + ∂D div ( i ) + ∂t ∂t Kreisstroms BK = [H] = A/m Fläche µ0 I 2πr Bg = Daniel Ehrbar, D-BAUG µ0 I 2r r BZ Magnetische Flussdichte eines stromdurch- r r r ∫ H o ds = ∫ i o dA flossenen langen, geraden Zylinders (mit Radius R) r < R : BZ ( r ) = µ I µ0 I r r > R : B z (r ) = 0 2 2πr 2πR 3.13 Induktionsgesetz von Faraday Uind induzierte Spannung [Uind] = V E Elektrisches Feld [E] = V/m stromdurchflossenen Spule mit Länge l, Spu- B Magnetische Flussdichte lendurchmesser d und N Windungen Φm magnetischer Feldfluss BS Magnetische Flussdichte im Inneren einer BS = µ 0 NI 2 l +d U ind = − 2 [B] = T [Φm] = Vs = Wb r r d d Φ m = − ∫∫ B o d A dt dt r d r rot E = − B dt 3.11 Materie im Magnetfeld [pm] = Am2 pm Magnetisches Dipolmoment I Strom A Fläche der Stromschleife [A] = m2 B Magnetische Flussdichte [B] = T [I] = A Dmech Drehmoment auf die [Dmech] = Nm = J Leiterschleife [V] = m3 V betrachtetes Volumen M Magnetisierung der Materie [M] = A/m H Magnetische Erregung [H] = A/m χ Magnetische Suszeptibilität r r pm = I ⋅ A r r r Dmech = pm × B r r r r B = B0 + µ 0 M = µ 0 µH 3.14 Selbstinduktion und gegenseitige Induktion [χ] = – r 1 r r 1 M = ⋅ Pm = ⋅ ∑ pm V V V r r r M = χ ⋅ H = ( µ − 1) ⋅ H L Induktivität [L] = Vs/A = H Φm Magnetischer Fluss I [Φm] = Vs = Wb Stromstärke B Magentische Flussdichte 3.12 Maxwell’scher Verschiebungsstrom B Magnetische Flussdichte A Flächenelement [B] = T i Stromdichte [i] = A/m2 E Elektrisches Feld [E] = V/m ρ Ladungsdichteverteilung [ρ] = C/m3 r r Φ m = ∫∫ B o dA = L ⋅ I [I] = A [B] = T [A] = m2 Physik-Formelsammlung 10 3.16 Transformatoren (Wechselspannung!) 3.14.1 Selbstinduktion Uind Induktionsspannung L [Uind] = V Induktivität [L] = Vs/A = H Φm Magnetischer Fluss I [Φm] = Vs = Wb Stromstärke [I] = A U ind = − LR Daniel Ehrbar, D-BAUG dΦ m dI = −L ⋅ dt dt U1 Primärspannung [U1] = V N1 Windungszahl der Primärspule [N1] = – U2 Sekundärspannung, ind. Spannung [U2] = V N2 Windungszahl der Sekundärspule [N2] = – I1 Primärstrom [I1] = A I2 Sekundärstrom [I2] = A Selbstinduktivität einer Ringspule mit Radius U1 N I = 1 = 2 U 2 N2 I1 R, N Windungen und Querschnittsfläche S LR = µµ 0 ⋅ LS SN 2 2πR Selbstinduktivität einer geraden Spule mit Länge l, N Windungen und Querschschnittsfläche A LS = µµ 0 ⋅ LK N2A l Selbstinduktivität eines Koaxialkabels mit 3.17 Übersicht Maxwell’sche Gleichungen Innenradius Ri und Aussenradius Ra LK = 3.15 Energie eines B-Feldes I Stromstärke im Leiter L Induktivität des Leiters W Arbeit (Energie) des B-Feldes w [D] = C/m2 D Dielektrische Verschiebung R µ0 ⋅ l ⋅ ln a 2π Ri ε Dielektrizitätszahl (Vakuum: ε = 1) E Elektrisches Feld [E] = V/m B Magnetische Flussdichte [I] = A [L] = Vs/A = H µ [ε] = – [B] = Vs/m2 = T Magnetische Permeabilität H Magnetische Erregung [µ] = – [H] = A/m [W] = J v Geschwindigkeit Ladungsträger Energiedichte des B-Feldes [w] = J/m3 i Stromdichte [i] = A/m2 H Magnetische Erregung [H] = A/m ρ Ladungsdichteverteilung [ρ] = C/m3 µ Magnetische Permeabilität [µ] = – σ Flächenladungsdichte F Lorentzkraft W = 1 2 LI 2 B2 1 1 w= = BH = µµ 0 H 2 2µµ 0 2 2 r r D = εε 0 ⋅ E [v] = m/s [σ] = Q/A [F] = N r r B = µµ 0 ⋅ H r r r r F = q ⋅ ( E + v × B) r r i =σ ⋅E r d r rotE = − B dt r r d r rotH = i + D dt r divD = ρ r divB = 0 Physik-Formelsammlung 11 4. Elektromagnetische Wellen 4.1.1 Wellengleichung und Ausbreitung E Elektrisches Feld ε Dielektrizitätszahl (Vakuum: ε = 1) [ε] = – µ Magnetische Permeabilität [µ] = – t Zeit c Ausbreitungsgeschwindigkeit n Brechungsindex [E] = V/m [t] = s [c] = m/s [n] = – 2 ∆E = ε 0 µ 0 ⋅ εµ ⋅ ∂ E c= ∂t 2 [B] = T 1 ε 0 µ 0 ⋅ εµ 2 n = εµ ≈ ε ∆B = 1 ∂ B ⋅ c 2 ∂t 2 c0 = 4.2 Wellenfortpflanzung längs Doppelleitungen und Koaxialkabel 4.1 Maxwellgleichungen und e.m. Wellen B Magnetische Flussdichte Daniel Ehrbar, D-BAUG εµ U Wechselspannung am Doppelleiter [U] = V U0 Spitzenwert der Wechselspannung [U0] = V ω Frequenz [ω] = 1/s t Zeit [t] = s I zeitabhängiger Strom [I] = A c Fortpflanzungsgeschwindigkeit eines Signals C* Kapazität pro Längeneinheit [C*] = F/m L* Selbstindukt. pro Längeneinh. [L*] = H/m R* Widerstand pro Längeneinh.t [R*] = V/(Am) Z0 Wellenwiderstand E = c⋅ B [SV] = W/m2 SM Energieflussdichte im Medium [SM] = W/m2 E Elektrisches Feld [E] = V/m H Magnetische Erregung [H] = A/m B Magnetische Flussdichte 1 ∂ 2 I R * ∂I ∂2I + ⋅ = ⋅ ∂z 2 L * ∂t L * C * ∂z 2 1 ∂ 2U R * ∂U ∂ 2U + ⋅ = ⋅ 2 2 L * ∂t L * C * ∂z ∂t r 1 r r SV = E×B µ0 r S M Falls [B] = Vs/m2 = T r r = E × H SM = Z0 = L* C* R* ∂ ∂2 ⋅ << 2 : L * ∂t ∂t L * C * = µ 0ε 0 ⋅ µε [SM] = W/m2 SM mittlere Intensität [Z0] = Vs/C U (t ) = U 0 ⋅ cos(ωt ) 4.1.2 Energietransport und Poynting-Vektor SV Energieflussdichte im Vakuum [c] = m/s 1 EH 2 c= 1 L*C * U ( z , t ) = U 0 ⋅ sin(ωt − kz ) I ( z , t ) = I 0 ⋅ sin(ωt − kz − ϕ ) 4.3 Entstehung e.m. Wellen im freien Raum 4.3.1 E.m. Feld eines schwingenden Dipols für E-Welle gilt: Polarisationsachse: x-Achse Ausbreitungsrichtung: x-Achse p elektrisches Dipolmoment l Abstand beider Punktladungen [l] = m q Ladung der Punktladungen [q] = C I Antennenstrom [I] = A r Abstand von der Dipolachse [r] = m B0 Magnetische Flussdichte λ Wellenlänge k Wellenzahl [p] = Cm [B0] = T [λ]= m [k] = 1/m r r r r p(t ) = l ⋅ q (t ) = l ⋅ q0 cos(ωt ) = p0 cos(ωt ) I = dq 1 dp = ⋅ dt l dt B (r ) = B0 2π B0 cos r = cos( kr ) r r λ Physik-Formelsammlung 12 4.3.2 Abstrahlung des schwingenden Dipols 5. Quantenphysik S Intensität [S] = W/m2 S zeitlicher Mittelwert der abge- [S] = W/m2 strahlten Leistung [N] = W/m2 N totale abgestrahlte Leistung r Abstand [r] = m υ Winkel [υ] = ° t Zeit [t] = s l Abstand beider Punktladungen [l] = m q0 max. Ladung der Punktladungen [q0] = C ω Frequenz [ω] = 1/s p0 2ω 4 r S ( r ,υ , t ) = cos 2 ω t − sin 2 (υ ) 2 3 2 16π ε 0 c ⋅ r c S ( r ,υ ) = p0 2ω 4 2 3 32π ε 0 c ⋅ r 2 sin 2 (υ ) N= Daniel Ehrbar, D-BAUG p0 2ω 4 12πε 0 c 5.1 Quantennatur des Lichtes 5.1.1 Photoelektrischer Effekt EPh Energie eines Photons ν [EPh] = J Frequenz des Lichts [ν] = 1/s νgr Grenzfrequenz, mit der Elektronen [νgr] = 1/s „Potentialtopf“ verlassen können λgr Grenzfrequenz, mit der Elektronen [λgr] = m „Potentialtopf“ verlassen können Ekin durch Photonenstrom übertragene kinetische Energie eines Elektrons ve Geschwindigkeit eines Elektrons [UB] = V Wa Austrittsarbeit eines Elektrons [Wa] = J (aus dem „Potentialtopf“) Φa Austrittspotential [Φa] = V E Ph = h ⋅ν = h ⋅ 2π ⋅ν 4.3.3 Abstrahlung einer beschleunigten Ladung Intensität r Abstand [r] = m υ Winkel [υ] = ° t Zeit [t] = s q schwingende Ladung a Beschleunigung der Ladung S (r ,υ , t ) = E kin = [S] = W/m2 S [ve] = m/s UB Bremsspannung 3 p0 = l ⋅ q0 [Ekin] = J ν gr = Wa = e ⋅ Φ a 1 me ⋅ (ve ) 2 = E Ph − Wa = hν − eΦ a = eU B 2 eΦ a W a c = = λ gr h h UB = h h ν − Φ a = ν − ν gr e e ( ) [q] = C [a] = m/s2 2 q ⋅ a ⋅ (t − r / c ) 2 sin (υ ) 2 3 r 16π ε 0 c 1 4.4 Lichtstreuung S zeitlicher Mittelwert der abge- [S] = W/m2 gestrahlten Leistung l Abstand der schwingenden Dipole ω Frequenz ħ [l] = m [ω] = 1/s υ Winkel [υ] = ° r Abstand [r] = m 2 2 S= e l ω 4 32π 2ε 0 c 3 ⋅ r 2 sin 2 (υ ) 5.1.2 Eigenschaften der Photonen Drehimpuls eines Photons [ħ] = Js SPh Photonenspin [SPh] = Js k [k] = 1/m Wellenvektor mPh Masse eines Photons [mPh] = kg ν Frequenz der Strahlung λ Wellenlänge der Strahlung [ν] = 1/s [λ] = m m0 Ruhemasse des Photons h= h 2π r S Ph r k = ±h ⋅ r k m Ph = = 0 kg hν c2 = m0 h = cλ 1− v2 / c2 Physik-Formelsammlung 13 Daniel Ehrbar, D-BAUG 5.2 Der Wellencharakter von Teilchen p Impuls eines Teilchens λ De-Broglie-Wellenlänge v Geschwindigkeit eines Teilchens [p] = kgm/s h h = = p mv h2 ⋅ε 0 n2 n2 n2 = ⋅ = 52 . 92 pm ⋅ Z π ⋅ me ⋅ e 2 Z Z [λ] = m [v] = m/s Ekin kinetische Energie eines Teilchens λ= rn = a0 ⋅ En = − Ry ⋅ h ⋅ c ⋅ Z2 n2 me ⋅e 4 ⋅ Z2 8 ⋅ (ε 0 ) 2 ⋅ h 2 n 2 ≅ −13.6eV ⋅ Z2 n2 [Ekin] = J ∆E = E k − E m = hν 1 1 − n 2 n 2 m k ν = Ry ⋅ c ⋅ Z 2 ⋅ h 2 m ⋅ E kin ve = n ⋅ 5.3 Materialwellen und Wellenfunktionen Etot totale Energie der Materialwelle [Etot] = J ω Frequenz der Materialwelle [ω] = 1/s E= =− h 2π ⋅ me ⋅ r h ⋅ω = h ⋅ω 2π 5.4 Heisenberg’sche Unschärferelation ∆px Unbestimmtheit des Impulses [∆px] = kgm/s eines Teilchens in x-Richtung ∆x Unbestimmtheit des Ortes [∆x] = m eines Teilchens ∆ x ⋅ ∆p x ≥ 5.6 Compton-Streuformel 1 1 h= h 2 4π λ0 Wellenlänge der Röntgenstrahlen [λ0] = m p0 Impuls d. einfallenden Photons [p0] = kgm/s 5.5 Bohr’sches Atommodell für Atome mit einem Elektron (z.B. H, He+, …) rn Bahnradien der Elektronen n ganze natürliche Zahl Z Anzahl Protonen im Kern [pe] = kgm/s λS langwellige Streustrahlung [rn] = m = 1, 2, 3, … [Z] = – a0 Bohr’scher Radius [a0] = m En Energie des Elektrons im Niveau n [En] = J Frequenz des absorbierten resp. [ν] = 1/s ν pe Impuls des Elektrons [λS] = m ps Impuls d. gestreuten Photons λC Compton-Wellenlänge φ = 2.4262 · 10-12 m Streuwinkel [φ] = ° ϕ ϕ λ S = λ0 + 2 ⋅ λC ⋅ sin 2 = λ0 + 4.8524 ⋅ 10 −12 ⋅ sin 2 2 Impulserha ltung: 2 r r r p0 = pe + p s emitierten Lichtes bei Wechsel 2 Energieerh altung : des Energieniveaus ∆E Absorption (∆E < 0) resp. Emis- [ps] = kgm/s [∆E] = J p p0 ⋅ c = e + p s ⋅ c 2me sion (∆E > 0) eines Lichtquants pe bei Übergang zwischen zwei Energieniveaus k,n Energieniveaus ve Geschwindigkeit der Elektronen [k] = [n] = – [v] = m/s λ0, p0 λs, ps Physik-Formelsammlung 14 5.6 Beugung am (Doppel-)Spalt Daniel Ehrbar, D-BAUG 6. Wärmelehre λ Wellenlänge (des Lichts o.ä.) [λ] = m b Breite des engen Spaltes [b] = m d Abstand beider engen Spalte [d] = m αmin Beugungswinkel für Intensitäts- [αmin] = ° minima αmax Beugungswinkel für die Intensi- 6.1 Wärme und Temperatur 6.1.1 Zustandsgleichung idealer Gase p b 1λ sin (α max ) = k + , k = 1,2,3,... 2 b λ d [N] = – idealen Gases im Volumen V absolute Temperatur [T] = K m Masse des Gases im Volumen V , k = 1,2,3,... am Doppelspalt : sin(α max ) = k [V] = m3 N Anzahl der Moleküle des T am Spalt : sin (α min ) = k [p] = Pa = N/m2 V Volumen des idealen Gases [αmax] = ° tätsmaxima λ Druck des idealen Gases ρ Dichte des Gases [ρ] = kg/m3 κ Kompressibilität des i. Gases [κ] = m2/N p ⋅V = N ⋅ k ⋅ T , k = 1,2,3,... ρ= 1 λ sin(α min ) = k + 2 d k = 1,2,3,... [m] = kg m V κ =− 1 ∂V V ∂p falls T = const . : κ = 1 p 6.1.2 Statistische Mechanik idealer Gase dN Energieverteilung eines einatomi- [dN] = – gen idealen Gases im thermodyn. Gleichgewicht bei Temperatur T (Zahl der Teilchen dN mit Energie zwischen E … E + dE) N Anzahl Teilchen [N] = – T [T] = K absolute Temperatur W Wahrscheinlichkeit, im Gas ein [W] = – Teilchen mit Geschwindigkeit 5.7 Bragg-Winkel zwischen v … v + dv d Abstand zwischen Gitterebenen [d] = m λ Wellenlänge der Röntgenstrahlen [λ] = m υ Bragg-Winkel [υ] = ° Bedingung für konstruktive Interferenz (Reflexion): n ⋅ λ = 2d ⋅ sinϑ , n = 0,1,2,... m Masse eines Teilchens im i. Gas [m] = kg v [v] = m/s Geschwindigkeitsbetrag eines Teilchens im idealen Gas M Molmasse v Mittlerer Geschwindigkeits- [M] = kg/mol [v] = m/s betrag der Teilchen vw Wahrscheinlichster Geschwin- [vw] = m/s digkeitsbetrag der Teilchen vrms „root-mean-square“-Geschwin- [vrms] = m/s digkeit (Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsbetrag) Ē Mittlere Energie der Schwerpunktsbewegung eines Atoms [Ē] = J Physik-Formelsammlung 15 US1 Innere Energie eines einatomigen [US1] = J (!) Gases Daniel Ehrbar, D-BAUG 6.1.4 Brown’sche Bewegung r m dN = N ⋅ 4π ⋅ 2π ⋅ k ⋅ T 3/ 2 m W (v ) = 4π ⋅ 2π ⋅ k ⋅ T ⋅e m⋅v 2 − 2⋅k ⋅T 3/ 2 ⋅e mittlerer Abstand zwischen den Molekülen 2 ⋅ v ⋅ dv m ⋅v 2 − 2⋅k ⋅T ⋅ v2 t Beobachtungszeit T Temperatur [T]= K d Durchmesser der als Kugeln [d]= m η [η] = Ns/m2 Viskosität r 2 = 6D ⋅ t = v= 2 ⋅ k ⋅T 2 = v m 2 i i i i i vrms = v 2 = 3 ⋅ k ⋅T 3π = v 8 m ∑ N ⋅v ∑N i vrms = 2 i i i i 3 1 3 E = kT = m ⋅ v 2 U S 1 = N ⋅ E = N ⋅ k ⋅ T 2 2 2 n0 Anzahl Moleküle pro Volumen N Anzahl Moleküle [Λ] = m T Temperatur [T] = K N Anzahl Moleküle [N] = – I Trägheitsmoment des Moleküls ω Oszillationsfrequenz d. Moleküls feff effektive Anzahl Freiheitsgrade [d]= m [Λ] = m σ Wirkungsquerschnitt [σ] = m2 τ Mittlere Zeit zwischen zwei [τ] = s Zusammenstössen zweier Moleküle 1 = 2 ⋅ πd 2 ⋅ n0 V 2 ⋅ πd 2 ⋅ N σ = πd 2 [ω] = 1/s [feff] = – [fTrans] = – [fRot] = – fOsz Oszillatorische Freiheitsgrade [fOsz] = – Exxx entsprechende Energie [n0] = 1/m Λ mittlere freie Weglänge Mittlere Geschwindigkeit d. M. [I] = kgm2 fRot Rotatorische Freiheitsgrade ETrans = [V] = m3 Durchmesser der als Kugeln Λ= [U] = J 3 idealisierten Gasmoleküle v Innere Energie eines idealen Gases (Vibration des Moleküls) [N] = – V Volumen d U fTrans Transitorische Freiheitsgrade 6.1.3 Mittlere freie Weglänge für Moleküle Λ mittlere freie Weglänge 2k ⋅ T t π ⋅η ⋅ d 6.2 Innere Energie eines idealen Gases ∑ N ⋅v v= ∑N 8 ⋅ k ⋅T NA ⋅ π M [t] = s idealisierten Gasmoleküle Maximum der Geschwindigkeitverteilung entspricht 8 ⋅ k ⋅T = π ⋅m [D] = m2/s D Diffusionskoeffizient vw = Betrag der Geschwindigkeit der dem vw = [r] = m [v] = m/s τ= Λ v E Rot = [Exxx] = J 1 3 N ⋅ k ⋅ T ⋅ fTrans = N ⋅ k ⋅ T 2 2 1 N ⋅ k ⋅ T ⋅ f Rot 2 EOsz = U = ETrans + E Rot + EOsz = 1 N ⋅ k ⋅ T ⋅ f Osz 2 1 N ⋅ k ⋅ T ⋅ f eff 2 f eff = fTrans + f Rot + f Osz Physik-Formelsammlung Typ Beispiel fTrans 1-Atomig He, Ar N-Atomig, H 2, N 2, lineares M. O2, CO2 N-Atomig, gewinkeltes fRot fOsz 2 kT >> ħ /I kT >> ħω 3 0 0 3 2 2(3N – 5) Daniel Ehrbar, D-BAUG CV Wärmekapazität eines idealen [CV] = J/K Gases bei konstantem Volumen Cp Wärmekapazität eines idealen [Cp] = J/K Gases bei konstantem Druck feff effektive Anzahl Freiheitsgrade NH3, 3 SF6 Molekül 16 3 2(3N – 6) dQ = C ⋅ dT CV = dU dT [feff] = – C p = CV + N ⋅ k V = konst . fRot und fOsz sind gleich 0, falls die Bedingung nicht erfüllt ist! Cp = 6.3 Erster Hauptsatz der Wärmelehre U Innere Energie [U] = J Q dem System von aussen zugeführte [Q] = J Wärmemenge W verrichtete Arbeit [W] = J ∆U = ∆Q + ∆W ∆U = − f eff 2 [Wit] = J Q Wärme [Q] = J U Innere Energie [U] = J [V1/2] = m3 N Anzahl Moleküle [N] = – T konstante Temperatur [T] = K p Druck (muss nicht konst. sein) [p] = Pa 2 V ∆Wit = − ∆Q = − ∫ p ⋅ dV = − N ⋅ k ⋅ T ⋅ ln 2 V1 1 Falls p = konstant: Temperatur [κ] = – feff Anzahl Freiheitsgrade des [feff] = – Moleküls [C] = J/K [T] = K [Q] = J U Innere Energie [U] = J V Volumen [V] = m3 p [p] = Pa N Anzahl Moleküle eines i. Gases [V] = m3 V Volumen T Temperatur [T] = K N Anzahl Moleküle im Volumen [N] = – W Arbeitsleistung bei adiabatischer [W] = J Volumenänderung Wi Arbeitsleistung bei adiabatischer [N] = – [Wi] = J Volumenänderung eine i. Gases adiabatisch ⇔ ∆Q = 0 κ −1 = N ⋅k CV κ= Cp CV = f eff + 2 f eff p ⋅ V κ = const . T2 T κ ⋅ p1−κ = const . T1 ∆Wi = CV (T2 − T1 ) ∆W = ∫ CV (T ) dT Q Wärmemenge Druck [Cp] = J/K Adiabatenkoeffizient T ⋅ V κ −1 = const . ∆W = − p ⋅ ∆V 6.3.2 Wärmekapazität von (idealen) Gasen T Cp Wärmekapazität eines idealen ∆W = −∆Q C Wärmekapazität [CV] = J/K Gases bei konstantem Volumen κ thermer Expansion von V1 auf V2 ∆U = 0 CV Wärmekapazität eines idealen Gases bei konstantem Druck 6.3.1 Isotherme Expansion eines idealen Gases V1/2 Anfangs- / Endvolumen 6.3.3 Adiabatische Zustandsänderungen W Wit total geleistete Arbeit bei iso- R ( f eff + 2) 2 ∆U = ∆W = CV ⋅ ∆T = 1 N ⋅ k ⋅ f eff ⋅ ∆T 2 Physik-Formelsammlung 17 6.3.4 Isobare Zustandsänderung Daniel Ehrbar, D-BAUG ptot Gesamtdruck aller Gase [ptot] = Pa [mi] = mol U Innere Energie [U] = J ni Molmenge des Gases i Q Wärme [Q] = J T T [T] = K V Volumen [V] = m3 mi Masse des Gases i [mi] = kg Temperatur CV Wärmekapazität eines idealen [CV] = J/K Gases bei konstantem Volumen Mi Molare Masse des Gases i Cp Wärmekapazität eines idealen [Cp] = J/K pi = ni ⋅ Gases bei konstantem Druck p Absolute Temperatur R ⋅ T mi R ⋅ T = ⋅ V Mi V konstanter Druck [p] = Pa N Anzahl Moleküle [N] = – 6.4.3 Wärmemischung feff effektive Anzahl Freiheitsgrade [feff] = – ci ∆Q = C p ⋅ ∆T Spezifische Wärmekapazität [T] = K [Mi] = kg/mol ptot = ∑ pi [ci] = J/(kgK) der Körper vor der Mischung ∆W = − p ⋅ ∆V cM spezifische Wärmekapazität 1 ∆U = CV ⋅ ∆T = N ⋅ k ⋅ f eff ⋅ ∆T 2 [cM] = J/(kgK) der Mischung mi Massen der Körper [mi] = kg mM Masse der Mischung 6.3.5 Isochore Zustandsänderung υi Temperatur der Körper vor U Innere Energie [U] = J Q Wärme [Q] = J υM Temperatur der Mischung in °C T [T] = K cK spezifische Wärmekapazität Temperatur CV Wärmekapazität eines idealen [N] = – feff effektive Anzahl Freiheitsgrade [feff] = – [υM] = °C [cK] = J/(kgK) des Kalorimeters (Mischgefäss) [CV] = J/K N Anzahl Moleküle [υi] = °C der Mischung in °C Gases bei konstantem Volumen ∆U = ∆Q = CV ⋅ ∆T = [mM] = kg c= C Q = m m ⋅ ∆ϑ mM = m1 + m2 c1 ⋅ m1 ⋅ (ϑM − ϑ1 ) + ck ⋅ (ϑM − ϑ1 ) = c2 ⋅ m2 ⋅ (ϑ2 − ϑM ) 1 N ⋅ k ⋅ f eff ⋅ ∆T 2 ϑM = c1 ⋅ m1 ⋅ ϑ1 + c2 ⋅ m2 ⋅ ϑ2 + ck ⋅ ϑ1 c1 ⋅ m1 + ck + c2 ⋅ m2 6.4 Kalorimetrie (Mischversuche) 6.5 Zweiter Hauptsatz der Wärmelehre 6.4.1 Mischung einatomiger Gase Ekin Mittlere kinet. Energie des Gases v [Ekin] = J Mittlere Geschwindigkeit des Gases [v] = m/s m Mittlere Massen des Gases E kin (Gas 1) = E kin (Gas 2) ηC 2 v1 m = 2 2 m1 v2 [pi] = Pa Carnot-Wirkungsgrad einer rever- [ηC] = – siblen Wärmekraftmaschine [m] = kg 6.4.2 Partialdruck von Gasen pi Partialdruck des Gases i 6.5.1 Carnot’scher Kreisprozess Wab abgegebene Arbeit [Wab] = J Wauf aufgenommene (ins Medium [Wauf] = J hineingesteckte) Arbeit Qzu aufgenommene Wärme [Q12] = J T1 [T1] = K Temperatur während isothermer Expansion Physik-Formelsammlung 18 T2 Temperatur nach adiabatischer Daniel Ehrbar, D-BAUG [T2] = K Expansion U Innere Energie des Arbeitsgases [U] = J Q Wärme [Q] = J W Arbeit [W] = J aufgenomme n : > 0 Kreisprozess : ηC = ⇔ abgegeben : < 0 ∑ ∆U = 0 ∑ ∆Q = −∑ ∆W Wab − Wauf Qzu = − ∑ Wij W P η = Nutzen = netto PAufwand Qzu Qzu = ∑Q ij Qzu 6.5.3 Carnot-Kühlmaschinen T −T ηC = 1 2 T1 ηK Wirkungsgrad einer reversiblen Carnot-Kühlmaschine T1 wärmeres Wärmebad [T1] = K T2 kälteres Wärmebad (zu kühlendes [T2] = K Medium) ηK = 6.5.2 Carnot-Wärmepumpen ηC Carnot-Wirkungsgrad einer rever- [ηC] = – siblen Wärmekraftmaschine ηWP Wirkungsgrad einer reversiblen [ηWP] = – Carnot-Wärmepumpe T1 wärmeres Wärmebad (zu heizen- [T1] = K des Medium) T2 kälteres Wärmebad ηWP = T1 1 = T1 − T2 η C [ηK] = – [T2] = K T2 T1 − T2 Physik-Formelsammlung 19 7. Diffusion und Wärmeleitung Q Wärme 7.1.1 Diffusion als Zufallsbewegung N0 Anzahl Teilchen zur Zeit t = 0 [N0] = – t Zeit z eindimensionale Ortskoordinate [z] = m k Anzahl Sprünge eines Teilchens [k] = – ν Sprungfrequenz (Sprünge / Sekunde) [ν] = 1/s [t] = s Sprunglänge [a] = m [D] = m2/s D Diffusionskonstante N ( z , t ) ⋅ dz = N0 2π ⋅ a 2 ⋅ν ⋅ t ⋅e − z2 2 a 2 ⋅v ⋅t ⋅ dz [N] = – V Volumeneinheit [V] = m3 [D] = m2/s a Sprunglänge ν Sprungfrequenz (Sprünge / Sekunde) [ν] = 1/s t Zeit [A] = m2 A Querschnittsfläche [i] = 1/(m2s) i Teilchenstromdichte n Teilchendichte z eindimensionale Ortskoordinate [n] = 1/m3 a 2 ⋅ν D= 2 i= [z] = m dN ∂n = −D ⋅ A ⋅ dt ∂z 1 dN A dt Teilchendichte t Zeit [λ] = W/(Km) A Querschnittsfläche [A] = m2 T Temperatur [T] = K z eindimensionale Ortskoordinate [z] = m ρ Dichte [n] = 1/m3 [r] = m [t] = s r r ∂n(r , t ) = D ⋅ ∆n ( r , t ) ∂t [ρ] = kg/m3 C Wärmekapazität pro Masseneinheit [C] = J/kg 2D : dQ ∂T = −λ ⋅ A ⋅ dt ∂z 3D : ∂T λ = ⋅ ∆T ∂t ρ ⋅ C dQ = const . dt λ Wärmeleitfähigkeit σ elektrische Leitfähigkeit T Temperatur [λ] = W/(Km) [σ] = A/m [T] = K λ π 2 ⋅k2 V2 = ⋅ T ≅ 2.443 ⋅ 8 2 ⋅ T 3e 2 10 K σ 7.2.3 Wärmeleitung in Gasen λ Wärmeleitfähigkeit n Dichte der Moleküle Λ mittlere freie Weglänge [λ] = W/(Km) [n] = 1/m3 [Λ] = m v mittlere Geschwindigkeit d. M. Ē mittlere Energie der Moleküle [Ē] = J T Temperatur [T] = K f Freiheitsgrade d Teilchendurchmesser 1 3 λ = n⋅Λ ⋅v ⋅ [ v ] = m/s [f] = – m Masse eines Moleküls 7.1.3 Diffusionsgleichung Ortsvektor Wärmeleitfähigkeit [a] = m [t] = s r λ [t] = s 7.2.2 Wärmeleitung in Metallen N Anzahl Teilchen n Zeit stationär : 7.1.2 Erste Fick’sche Gleichung D Diffusionskonstante [Q] = J t a 2 ⋅ν D= 2 k =ν ⋅t N n= V 7.2 Wärmeleitung 7.2.1 Wärmeleitung in festen Körpern 7.1 Diffusion a Daniel Ehrbar, D-BAUG [d] = m [m] = kg dE f k3 ⋅T = ⋅ dT 2.86 ⋅ d 2 π 3 ⋅ m Physik-Formelsammlung 20 Daniel Ehrbar, D-BAUG 8. Wärmestrahlung 9. Ergänzungen 8.1 Planck’sches Strahlungsgesetz 9.1 Freie Ladungsträger im Vakuum 8.1.1 Energiedichte und Strahlung im Hohlraum q Ladung des Ladungsträgers [q] = C [ρ] = J/m3 m Masse des Ladungsträgers [m] = kg [ω] = 1/s E konst. elektrisches Feld, in dem ρ Spektrale Energiedichte ω Frequenz T Temperatur [T] = K λ Wellenlänge [λ] = m ρ (ω , T ) ⋅ dω = ρ ( λ , T ) ⋅ dλ = ω2 π 2 ⋅c 8π ⋅ h ⋅ c λ5 h ⋅ω ⋅ dω hω / kT e −1 ⋅ 3 ⋅ sich der Ladungsträger bewegt F Kraft auf den Ladungsträger [F] = N U Spannung, in der sich der [U] = V Ladungsträger bewegt d 1 e hc / λkT − 1 ⋅ dλ [E] = V/m im E-Feld durchlaufener Weg Wkin kinetische Energie nach Durch- [d] = m [Wkin] = J lauf des Wegs d in U v Endgeschwindigkeit des [v] = m/s Ladungsträgers Wkin = F ⋅ d = q ⋅ E ⋅ d = q ⋅ U = v = 2⋅ 1 m ⋅ v2 2 q ⋅U m 9.2 Ablenkung eines Elektronenstrahls im elektrischen Feld y Ablenkung des Elektronenstrahls [y] = m e Ladung eines Elektrons [e] = C me Masse eines Elektrons [me] = kg E [E] = V/m 8.1.2 Wien’sches Verschiebungsgesetz λmax maximale Wellenlänge T Temperatur konstantes E-Feld im Plattenkondensator [λmax] = m U Spannung zwischen Kondensatorplatten [T] = K d λmax ⋅ T = 2.89 ⋅10 −3 K ⋅ m Abstand der Kondensatorplatten v0 Anfangsgeschwindigkeit des 8.1.3 Stefan-Boltzmann-Gesetz P totale von einer schwarzen Fläche T [P] = W [A] = m2 Temperatur π 2 ⋅k4 a Beschleunigung des Elektrons y= [v0] = m/s 5.67W P = A⋅ ⋅T = A ⋅ 8 2 4 ⋅T 4 2 3 60c ⋅ h 10 m K [a] = m/s2 1 1 F 2 1 E ⋅e 2 1 U e 2 a ⋅t2 = ⋅t = ⋅t = ⋅t 2 2 me 2 me 2 d me [T] = K 4 [d] = m Elektrons abgestrahlte Leistung A schwarze Fläche [U] = V y= 1U e 1 ⋅ ⋅ x2 2 d me v0 2 Physik-Formelsammlung 21 Daniel Ehrbar, D-BAUG [S] = m2 S Querschnittsfläche µ Magentische Permeabilität [µ] = – L Selbstinduktivität [L] = H r r r r B B ∫ H o ds = ∫ µ ( sr) ⋅ µ0 ds = µ0 1 ∫ µ ( s) ds r r B 2π ⋅ R d H ∫ o ds = µ0 µ + 1 = N ⋅ I 9.3 Kreisstrom im Magnetfeld r Radius des Leiterringes [r] = m m Masse des Leiterringes [m] = kg B B-Feld (~ konstant auf Höhe z0) [B] = T I [I] = A Strom der durch Leiterring fliesst Φm Magnetischer Feldfluss Fz Biot-Savart-Kraft auf Leiterring µ ⋅ µ0 ⋅ S ⋅ N 2 S⋅N L = B⋅ = I 2π ⋅ R + d ( µ − 1) [Φm] = Wb [Fz] = N r r Fz = I ∫ dl × dB z = 2π ⋅ r ⋅ I ⋅ B ⋅ cos α r r ∆φ m = ∫∫ B ⋅ dA = 2π ⋅ r ⋅ ∆r ⋅ B ⋅ sin α ( ) Kreisring ∆r = ∆z tan α 9.5 Rotierende Schlinge Gleichgewicht : Fz = FG B B-Feld (konstant) [B] = T Bewegungsg leichung : m ⋅ &z& = Fz − FG I Strom durch rotierende Schlinge [I] = A δ Gewicht pro Längeneinheit θ Auslenkungswinkel [δ] = kg/m [θ] = ° Wrot Arbeit während der Rotation [Wrot] = J MBS Moment aufgrund der Biot- [MBS] = Nm Savart-Kraft (FBS) MG Moment aufgrund der Gewichts- [MG] = Nm kraft (FG) M BS = 1 I4 ⋅ RS ⋅ B ⋅ cos θ ⋅ QR 24 3 1424 3 FBS 9.4 Ringspule H H-Feld (Magentische Erregung) [H] = A/m B B-Feld (stetig, auch im Spalt!) [B] = T N Anzahl Windungen [N] = – I [I] = A Strom durch Spule R Radius der Spule [R] = m d [d] = m Breite des Spaltes d QR M G = 2(QR + RS ) ⋅ δ ⋅ g ⋅ sin θ 1442443 2 1 4 2 4 3 FG d θ Wrot = ∫ M BS ⋅ dθ 0 Physik-Formelsammlung 22 Daniel Ehrbar, D-BAUG p(h) = p0 ⋅ e m⋅ g − k ⋅T h 9.7.2 Internationale Höhenformel p Luftdruck in h Metern über Meer h Meter über Meer [p] = Pa [h] = m 6 .5 p = 1.013 ⋅10 5 Pa ⋅ 1 − h 288km 9.6 Fallender Ring im variablen B-Feld B(y) variables B-Feld [B] = T 9.8 Dichte eines Gases d Durchmesser des Rings [d] = m ρ m Masse des Rings R el. Widerstand des Rings Iind induzierter Strom [m] = kg Uind induzierte Spannung P während des Falls dissipierte N Anzahl Moleküle im betrachteten Volumen [Iind] = A m Masse eines Moleküls [m] = kg [Uind] = V V betrachtetes Volumen [V] = m3 [P] = W ρ= Grenzgeschwindigkeit I ind = [N] = – [R] = Ω elektrische Leistung vgr [ρ] = kg/m3 Dichte eines Gases N ⋅m V [vgr] = m/s U ind 1 d A =− B( y ) ⋅ A = − B& ( y ) R R dt R 2 P = R ⋅ (I ind ) 2 Grenzgesch windigkeit : R ⋅ (I ind ) = m ⋅ g ⋅ v gr 9.9 Wärmeleitung durch eine Wand Q Wärme [Q] = J T Temperatur [T] = K t Zeit [t] = s [jQ] = W/m2 jQ Wärmestromdichte s Wanddicke λ Wärmeleitfähigkeit [s] = m [λ] = W/(Km) [Rg] = m2K/W Rg Gesamt-Wärmedurchlasswiderstand ∆T dQ = −λi ⋅ A ⋅ i = − jQ ⋅ A = const . dt si jQ = λ1 9.7 Barometerformel 9.7.1 Barometerformel mit konstanter Temperatur p Luftdruck in h Metern über Meer p0 Luftdruck auf Meereshöhe h Meter über Meer m Masse der „Luftmoleküle“ T über die Höhe konstante Temperatur Tinnen − T1 T −T = λ2 1 2 = ... s1 s2 Rg = [p] = Pa [p0] = Pa [h] = m [m] = kg [T] = K jQ = s1 λ1 + s2 λ2 + s3 λ3 + s4 λ4 1 (Tinnen − Taussen ) Rg Physik-Formelsammlung 23 Daniel Ehrbar, D-BAUG 10. Nützliche Bemerkungen - Geschlossene Leiterflächen haben dasselbe Potential. - Die technische Stromrichtung ist von Plus (+) nach Minus (-). Die Elektronen fliessen aber sinngemäss von Minus (-) nach Plus (+). - Parallele Ströme ziehen sich an, antiparallele stossen sich ab und rechtwinklige Ströme beeinflussen sich nicht gegenseitig.
