Grundwissen Mathematik 7. Klasse 7.A Terme 7 - Gym

Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
7.A Terme
z.B. Ausdrücke wie (3a-b)(2a+4b) oder
In den Term T1(a,b)=(3a-b)(2a+4b) könnten
4
6a²+10ab-4b² oder x( x − 3) nennt man
für a und b alle rationalen Zahlen eingesetzt
Terme.
werden.
Der Wert eines Terms hängt davon ab,
welche Zahlen aus der Definitionsmenge
für die Variablen eingesetzt werden.
In T2 ( x) = x( x − 3) dürfen für x weder 0 noch
3 eingesetzt werden, da sonst der Nenner
Null wird.
Die letzte auszuführende Rechenoperation
T2 (2) =
entscheidet über die Struktur und den
Namen des Terms.
ist ein Quotient)
4
4
4
4
=
=
= − 2 (Der Term
2(2 − 3) 2 ⋅ (− 1) − 2
Nur gleichartige Terme lassen sich addieren z.B. 12a²b -7a²b = 5a²b ,
und subtrahieren.
3ab und 4a²b sind nicht gleichartig.
Alle Terme lassen sich multiplizieren.
Produkte von Summen wie (3a-b)(2a+4b)
lassen sich ausmultiplizieren.
z.B. 3a 2 b ⋅ 4a 3b 2 = 12a 5 b 3
(3a-b)(2a+4b) = 6a²+12ab-2ab-4b²
= 6a² +10ab-4b²
7.B Rechengesetze
Kommutativgesetz der Addition und
der Multiplikation (a, b, c rationale
Zahlen)
a + b = b + a und a · b = b · a
Assoziativgesetz der Addition und
der Multiplikation (a, b, c rationale
Zahlen)
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) und
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
Distributivgesetz (a, b, c rationale
Zahlen)
Einfache Potenzrechnung, wobei
a · (b + c) = ab + ac und a · (b – c) = ab – ac
und (a + b):c = a:c + b:c (c ≠ 0)
a m ⋅ a n = a m+ n und (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
am
Potenz heißt (für alle rationalen
Zahlen a, b und alle natürlichen Zahlen
n, m).
Sonderfall : a 0 = 1
Allgemeine Rechengesetze bei Termumformungen :
sowie (a m ) n = a m⋅ n
z.B. a 5 b 2 ⋅ a 3b 7 = a 8 b 9 und (a ⋅ b) 3 = a 3 b 3
sowie (a 3 ) 5 = a 3⋅ 5 = a15
 Klammern zuerst (innere vor äußeren)
 Potenz- vor Punkt- vor Strichrechnung
7.C Gleichungen
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Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenz- z.B.
umformungen (vorher jede Seite vereinfachen):
 auf beiden Seiten der Gleichung wird dieselbe
Zahl oder derselbe Term addiert(subtrahiert)
 auf beiden Seiten der Gleichung wird mit derselben, von Null verschiedenen Zahl multipliziert(dividiert).
4x – 5 + 2x = –2 + 8x + 4
6x – 5
= 2 + 8x
| –6x
–5 = 2 + 2x
| –2
–7 = 2x
|:2
–3,5 = x
Gleichungen der Art 3x –2 = 0 oder 5x + 2 = 3
nennt man lineare Gleichungen. Sie sind stets
eindeutig lösbar.
Sind Gleichungen nicht linear, dann können sie z.B. x² = 4 hat zwei Lösungen, -2 und 2,
auch mehrere Lösungen oder gar keine Lösung
die Lösungsmenge ist L = {-2;2}
haben.
dagegen x² = -4 ist nicht lösbar, die
Lösungsmenge ist die leere Menge
L={}
Eine Gleichung ist allgemein lösbar, wenn alle z.B. 2(x + 3) = 2x + 6 hat die Lösungsrationalen Zahlen Lösungen der Gleichung sind.
Menge L = Q (Menge der rationale
Zahlen)
7.D Daten auswerten
Notenspiegel
8
Diagramme
7
6
Anzahl
Für das Vergleichen von Daten sind z.B. Säulenund Balkendiagramme geeignet.
Notenverteilung
1
5
4
3
2
6
1
5
0
2
1
4
3
2
3
4
5
6
Note
Die Verteilung einer Gesamtheit kann mithilfe von
Kreisdiagrammen gezeigt werden.
Arithmetisches Mittel („Durchschnitt“)
Quotient aus der Summe aller Werte einer DatenReihe und der Anzahl der Werte.
z.B. Notenspiegel bei einer Schulaufgabe
1
2
3
4
5
6
3
6
8
6
5
1
3·1 + 6·2 + 8·3 + 6·4 + 5·5 + 1·6
29
≈ 3,24
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7.E Wichtige geometrische Sätze
α1
g1
δ1
g2
β1
Winkel an Geraden und Doppelkreuzungen
(mit parallelen Geraden g1 | | g2)
γ1
Nebenwinkel ergeben zusammen 180o
(z.B. β2 + α2 = 180o )
Scheitelwinkel sind gleich groß
(z.B. β1 = δ1 )
Stufenwinkel sind gleich groß
(z.B. α1 = α2 )
Wechselwinkel sind gleich groß
(z.B. α2 = γ1 )
Ergänzungswinkel ergeben zusammen 180o
(z.B. β2 + γ1 = 180o )
α2
β2
δ2
γ2
C
γ
Seiten-Winkel-Beziehungen im Dreieck
Der längeren Seite (hier: c) liegt stets der größte
Winkel (hier: γ) gegenüber, der kürzesten stets der
kleinste. Die Summe zweier Dreiecksseiten ist
stets größer als die dritte Dreieckseite.
A
α
β
B
c
Innenwinkelsätze
Die Summe der Innenwinkel im Dreieck ist 180o.
α + β + γ = 180o
Die Summe der Innenwinkel im Viereck beträgt 360o.
α + β + γ + δ = 360o
Kongruenzsätze für Dreiecke
Kongruenzsatz SSS:
Dreiecke sind kongruent, wenn…
sie in drei Seiten übereinstimmen.
Kongruenzsatz SWS:
 sie in zwei Seiten und ihrem
Zwischenwinkel übereinstimmen.
 sie in einer Strecke und den beiden
anliegenden Winkeln übereinstimmen.
 sie in einer Strecke, einem anliegenden
und einem nicht anliegenden Winkel
übereinstimmen.
 sie in zwei Seiten und dem
Gegenwinkel der größeren Seite
übereinstimmen.
Kongruenzsatz WSW:
Kongruenzsatz SWW:
Kongruenzsatz SSW:
C
Satz des Thales
Genau dann, wenn C auf einem Kreis mit dem
Durchmesser [AB] liegt, ist der Winkel ACB
ein rechter Winkel.
A
90 °
M
B