W11 Elektromag Schwingkreis

– Elektromagnetischer Schwingkreis –
Team 1: Daniela Poppinga und Jan Christoph Bernack
Betreuer: Dr. Gerd Gülker
16. Juni 2009
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Daniela Poppinga, Jan Christoph Bernack
Inhaltsverzeichnis
1 Eigenfrequenz und Dämpfung im Serienkreis
1.1 Eigenfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
2 Resonanzverhalten des Serienkreises
2.1 Amplitudenresonanzverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
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Daniela Poppinga, Jan Christoph Bernack
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Eigenfrequenz und Dämpfung im Serienkreis
In diesem Versuchsteil geht es darum, einen Serien-Schwingkreis gem. Abb. 1 zu untersuchen.
Abbildung 1: Schaltbild eines Serien-Schwingkreises bestehend aus einem Funktionsgenerator F G,
einem in Reihe geschalteten Vorwiderstand bzw. Strombegrenzungswiderstand RV , einem parallel
geschalteten Widerstand R, einer in Reihe geschalteten Spule L und einem zum Widerstand R
parallel geschaltetem Kondensator C.
Für den Versuch wird dazu ein Rechtecksignal mit einem Agilent Funktionsgenerator (F G)
erzeugt und mit einem Vorwiderstand RV in einen Serien-Schwingkreis eingespeist. Der Schwingkreis besteht dabei aus einer in Reihe geschalteten Spule L mit einer Induktivität von L = 470µH,
einem parallel geschalteten Widerstand R und einem ebenfalls parallel geschalteten Kondensator
C mit einer Kapazität von C = 0, 37nF . Das Spannungssignal UC am Kondensator wird mit einem
Oszilloskop analysiert.
Im folgenden sollen nun die Eigenfrequenz ω und die Dämpfung, charakterisiert durch die
Halbwertszeit T1/2 , des Serien-Schwingkreises untersucht werden.
1.1
Eigenfrequenz
Die Eigenfrequenz des Serien Schwingkreises soll als Funktion der Kapazität ω(C) bestimmt werden. Dazu wird ein Widerstand mit R = 10Ω gewählt und für 11 verschiedene Kapazitäten
0, 5nF ≤ C ≤ 20nF die Periodendauern T des Signals bestimmt. Dies geschieht mit der Cursor Funktion des Digitaloszilloskops, wobei immer über mehrere Perioden gemittelt wurde. Bei
gemessener Periodendauer T ergibt sich dabei die Kreisfrequenz aus:
ω=
2π
, [Hz]
T
(1)
Die Messungenauigkeit ergibt sich dabei aus dem Ablesefehler der Periodendauer ∆T und wird
wie folgt berechnet:
2π ∆ω = − 2 ∆T
T
(2)
Theoretisch ergibt sich außerdem ein Wert nach folgender Gleichung:
ω=
r
1
R2
−
LC
4L2
Es ergeben sich so Messwerte mit den jeweiligen Theoriewerten gem. Tabelle 1.
(3)
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C/nF
4
0,5
1
2
3
5
7
10
12
15
20
T /µs
8,85
3,6
4,7
6,44
7,7
9,85
11,65
13,6
14,8
16,8
19,3
ω/kHz
709,96
1745,33
1336,85
975,65
816,00
637,89
539,33
462,00
424,54
374,00
325,55
∆ω
10,03
48,48
35,55
15,15
13,25
8,10
7,72
5,66
4,78
4,45
4,22
ωT heorie
720,34
1811,20
1374,47
1003,38
827,63
646,21
547,97
459,59
419,94
375,94
325,85
Tabelle 1: Gemessene Periodendauern T und sich daraus ergebene Kreisfrequenzen ω bei verschiedenen Kapazitäten C.
Man erkennt gerade bei kleinen Kapazitäten eine größere Abweichung zum Theoriewert. Diese
ist durch auftretende Störkapazitäten CS zu erklären, die durch Koaxialkabel, der Eingangskapazität des Oszilloskops und der Kondensatordekade zustande kommen. Trägt man die Messwerte
über der jeweiligen Kapazität C auf und fittet die Messwerte nach Gl. 3, wobei sich die Kapazität
aus C + CS zusammensetzt, ergibt sich ein Diagramm gem. Abb. 2.
Messwerte
2000
Theoriewerte
Fit für Störkapazität
1800
omegae (User)
Modell
y=sqrt(1/(L*(x*10^(-9)+C*1
1600
0^(-9)))-R^2/(4*L^2))/1000
Gleichung
1400
0,38232
/ kHz
Chi-Quadr
1200
Reduziert
0,99935
Kor. R-Quadrat
1000
W ert
800
B
Standardfehler
R
10
0
L
4,7E-4
0
C
0,1998
0,01649
600
400
200
0
5
10
15
20
C / nF
Abbildung 2: Mess- und Theoriewerte für die Kreisfrequenz ω über der Kapazität C aufgetragen
und gefittet.
Für den Fit wurde CS als freier und R und L als fester Parameter gewählt, sodass sich eine
Störkapazität von CS = 0, 20nF ± 0, 02nF ergibt.
1.2
Dämpfung
Die Dämpfungskonstante des Serien-Schwingkreises ist antiproportional zur Halbwertszeit T1/2 der
gedämpften harmonischen Schwingung. Es bezeichnet die Zeit, in der ein Spannungswert U auf
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die Hälfte, also U/2 absinkt. Für die Messung wurde dabei ein Kondensator mit C = 0, 37nF und
erneut eine Spule mit L = 470µH verwendet. Der Widerstand R wurde in diesem Fall variiert und
für 10 verschiedene Widerstände 5Ω ≤ R ≤ 50Ω die Halbwertszeit T1/2 über die Cursor Funktion
bestimmt. Dabei ergab sich ein genereller Ablesefehler von ±3µs.
Theoretisch ergibt sich dabei die Halbwertszeit aus:
T1/2 =
ln(2) · 2L
R2
(4)
Es ergaben sich so Messwerte gem. Tab. 2.
R/Ω
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
T1/2 /µs
40
31
22
18
16
13,5
13
12
11
10
T1/2 T heorie /µs
130,31
65,16
43,44
32,58
26,06
21,72
18,62
16,29
14,48
13,03
Tabelle 2: Gemessene Halbwertszeiten T1/2 bei verschiedenen Widerständen R.
Trägt man nun die Halbwertszeiten über die jeweiligen Widerstände R gem. Abb. 3 auf, fällt
eine große Abweichung bei kleinen Widerständen auf. Dieses lässt sich, analog zum vorherigen
Kapitel, erneut durch Störfaktoren erklären. In diesem Fall sind es Störwiderstände RS , u.a. durch
den Restwiderstand der Spule L hervorgerufen. Fittet man die Messwerte gem. Abb. 3 nun durch
Gleichung 4 an und ersetzt den Widerstand R durch R + RS , wobei RS ein freier Fitparameter ist,
erhält man den im Versuch enthaltenden Störwiderstand RS .
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Daniela Poppinga, Jan Christoph Bernack
Messwerte
Theoriewerte
140
strwiderstand (User)Fit von T
120
strwiderstand (
Modell
User)
y = ln(2)*2*L/(R
100
Gleichung
+R2)*10^6
0,28327
80
Reduziert
0,97341
Kor. R-Quadrat
T
1/2
/
s
Chi-Quadr
W ert
60
L
T
R2
40
Standardfehler
4,7E-4
0
11,98123
0,5427
20
0
0
10
20
30
40
50
R /
Abbildung 3: Halbwertszeiten T1/2 über die jeweiligen Widerstände R aufgetragen und gefittet.
Es ergibt sich somit ein Störwiderstand von RS = 11, 98Ω ± 0, 54Ω.
2
Resonanzverhalten des Serienkreises
In diesem Versuchsteil geht es darum, das Resonanzverhalten eines Serienkreises zu untersuchen.
Dazu wird jeweils eine Schaltung gem. Abb. 4 verwendet.
Abbildung 4: Schaltbild eines Serienkreises bestehend aus einem Funktionsgenerator F G, einem
dazu parallelen Widerstand Rp und einer dazu parallelen Reihenschaltung aus Widerstand R, Spule
L und Kondensator C.
Der Aufbau der Schaltung ist dem des ersten Versuchs sehr ähnlich. Parallel zum Funktionsgenerator F G ist ein relativ kleiner Widerstand Rp parallel geschaltet um die Amplitude des F G
möglichst konstant zu halten. Ebenfalls parallel zum F G sind dann ein Widerstand R, eine Spule
L und ein Kondensator C in Reihe geschaltet.
Im Folgenden soll zunächst das Amplitudenresonanzverhalten untersucht werden. Anschließend
wird auf die Phasenverschiebung bei verschiedenen Frequenzen eingegangen.
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2.1
Daniela Poppinga, Jan Christoph Bernack
Amplitudenresonanzverhalten
In diesem Teil soll die frequenzabhängige Antwort“ des Serienkreises mit verschiedenen Wi”
derständen R untersucht werden. Dazu bietet es sich an am Funktionsgenerator einen linearen
Frequenzsweep über den gewünschten Frequenzbereich einzustellen. Mithilfe des Sync-Signals des
Funktionsgenerators lassen sich dann sehr einfach sowohl die Eingangsspannung U (t) als auch
die Kondensatorspannung UC (t) des Serienkreises in Abhängigkeit von der Anregungsfrequenz am
Oszilloskop darstellen.
Verwendet wurde ein Frequenzsweep von 20kHz bis 170kHz mit ∆t = 500ms bei einer Amplitude von 2V und Widerstände R von 1Ω bzw. 10Ω bzw. 50Ω.
Die gemessenen Verläufe sind in Abb. 5 dargestellt.
16
14
Messwerte mit
R =
12
1
R = 10
R = 50
U / V
10
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Frequenz / kHz
Abbildung 5: Amplitudenresonanzkurven für einen Serienkreis mit Dämpfungswiderstand R = 1,
10 und 50 Ω.
Die Spitzen der Graphen stellen dabei jeweils die Eigenfrequenz des Schwingkreises da. Es ergibt
sich daraus eine gemessene Eigenfrequenz (per DataReader aus Origin) von ω0 = 461, 56kHz ±
1
= 461, 26kHz. Der gemessene Wert
6, 28kHz. Die theoretische Eigenfrequenz liegt bei ω0 = √LC
stimmt somit mit dem theoretischem überein. Es ist zu beachten, dass die Eigenfrequenz bei höherer
Dämpfung, d.h. größerem R, sich etwas verschiebt und kleiner wird. In Abb. 5 ist dieses Verhalten
am besten bei der untersten Kurve für R = 50Ω zu erkennen. Der Hochpunkt der Kurve liegt etwas
weiter links als bei den beiden anderen Kurven.
2.2
Phasenverschiebung
Betrachtet man die Anregungsspannung und die Spannung die an dem Kondensator im Serienkreis abfällt fällt auf, dass sich die Phasenverschiebung zwischen diesen mit zunehmender Frequenz
erhöht. Um dieses Verhalten näher zu untersuchen wird die letzte Schaltung aus dem vorhergegangenen Versuch verwendet (mit R = 50 Ω) und für einige Frequenzen zwischen 20 und 170 kHz die
Phasenverschiebung gemessen. Trägt man nun die Phasenverschiebung φ über der Frequenz auf
ergibt sich ein Verlauf gem. Abb. 6.
8
Daniela Poppinga, Jan Christoph Bernack
Messwerte
4,0
Theoretische Werte
3,5
3,0
/ rad
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
f / kHz
Abbildung 6: Phasenkurve für einen Serienkreis mit Dämpfungswiderstand R = 50 Ω.
Die theoretischen Werten berechnen sich dabei nach Skript Gl.39 wie folgt:
φ = arctan
mit ω02 =
1
LC
ω1 ·R2
L
!
−
π
2
(5)
1
2
LC − ω1
ω1 ·R2
L
!
−
π
2
(6)
ω02 − ω12
folgt:
φ = arctan
Die Phasenkurve zeigt einen typischen Verlauf von einer Verschiebung im Bereich von 0 − π. Sie
weißt des Weiteren eine Wendestelle bei der Eigenfrequenz f0 auf. Da der Dämpfungswiderstand in
diesem Versuch mit R = 50Ω relativ groß ist, ist die Kurve etwas abgeflacht. Diese Beobachtung ist
analog zu Abb. 5, da auch in diesem Fall die Kurve bei größerem Dämpfungswiderstand abgeflacht
ist.