R - Altes Gymnasium Bremen

Freie Hansestadt Bremen
Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft
Abitur 2014 - Grundkurs Mathematik
Schulnr.:
Kursbezeichnung:
Name:
Aufgabe 5 - zum Themenbereich Analytische Geometrie
TR
Viertausender um Zermatt
Das Schweizer Bergdorf Zermatt Z wird umringt von einigen der
höchsten Berge der Alpen.
Das Koordinatensystem in Abbildung 2 zeigt einige dieser Berge
und Zermatt aus nördlicher Richtung.
Nachfolgend sind die Koordinaten von Zermatt und der Berggipfel
näherungsweise angegeben1:
(Die Koordinateneinheit ist ein Kilometer.)
Zermatt:
Monte Rosa:
Breithorn:
Matterhorn2:
Z (11| 0 |1,6)
R (1| 9 | 4,6)
B (2 | 0 | 4, 2)
M (5 | 6,5 | 4,5)
Bitte runden Sie alle Ergebnisse auf eine Nachkommastelle, also auf 100 Meter.
Alle Zeichenaufträge beziehen sich auf das Koordinatensystem der Abbildung 2.
a) Während eines Rettungseinsatzes fliegt ein Hubschrauberteam einen Verletzten vom Gipfel des Breithorns B direkt nach Zermatt Z .

Zeichnen Sie die Flugroute als Strecke BZ in das Koordinatensystem ein.

Geben Sie die Gleichung einer Geraden g an, so dass die Flugroute entlang dieser Geraden verläuft.

Berechnen Sie die Länge der Flugroute.
(4 Punkte)
b) Hubschrauberflüge finden häufig statt.
Die Flugroute von Zermatt Z zum Gipfel des Breithorns B verläuft entlang der Geraden g und
die Flugroute von Gipfel des Monte Rosa R zum Gipfel des Matterhorns M entlang der Geraden h :
 11 
 9 
  


g : x   0   r  0 
1,6 
 2,6 
 



und
 1 
 4 
 



h : x   9   s   15,5 
 4,6 
 0,1




Zeigen Sie, dass die Flugrouten sich nicht treffen.
(5 Punkte)
1
Der höchste Berg der Schweiz ist der Monte Rosa R mit 4634 m über NN (NN=Normalnull entspricht dem Meeresspiegel). In der Mitte
des Panoramas liegt das Breithorn B (4164m) und in der Ansicht rechts das vielbestiegene Matterhorn M (4478m).
2
Bildnachweis Matterhorn:
http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:3818_-_Riffelberg_-_Matterhorn_viewed_from_Gornergratbahn.JPG
MAT-GK-TR-N
Aufgabe 5
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c) In Zermatt Z wird ein Pfosten mit Schildern
aufgestellt, die auf die umliegenden Berggipfel
zeigen (siehe Abbildung 1).
Die Schilder zum Breithorn und zum Matterhorn können nach Sicht angebracht werden,
beim Schild in Richtung Monte Rosa R ist die
Sicht versperrt.
Gegeben ist der Vektor von Zermatt Z zum
Gipfel Monte Rosa R mit
 10 
 10 
 
 

waagerecht


ZR   9  und der Vektor v   9  .
 3 
 0 




Abbildung 1


 Zeichnen Sie die Vektoren ZR und v als Pfeile mit Ausgangspunkt Z in das Koordinatensystem ein.

Der Winkel  zwischen den beiden oben gegebenen Vektoren gibt an, wie schräg das Schild in
Richtung Gipfel Monte Rosa R angebracht werden muss (siehe Abbildung 1).
Berechnen Sie den Winkel  .
(4 Punkte)
d) In der folgenden Aufgabe wird gezeigt, dass die Sicht von Zermatt in Richtung Monte Rosa durch einen
kleinen Berg versperrt wird. Die Oberkante des kleinen Berges wird durch die Bergstation Sunnegga
S (10 | 1,5 | 2,3) und einen weiteren Punkt P (8 | 0,5 | 2,1) beschrieben.

Zeichnen Sie Punkte S und P und die senkrecht darunter liegenden Punkte S '(10 | 1,5 | 0) und P '
der x1 x2 -Ebene in das Koordinatensystem ein. Verbinden Sie die Punkte zu einem Viereck SPP ' S ' .

Sei E die Ebene, die die vier Punkte des Vierecks SPP ' S ' enthält.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E .
[Falls Sie die Koordinatengleichung nicht berechnet haben, rechnen Sie im Folgenden
mit E : x1  2 x2  7 .]
Die Gerade k verbindet Zermatt Z mit dem Gipfel des Monte Rosa R :
 11 
 10 
  


k : x   0   r   9 
 1,6 
 3 
 



Ermitteln Sie den Durchstoßpunkt der Gerade k mit der Ebene E .
[Gerundete Lösung zur Kontrolle: D(9,6 | 1,3 | 2,0) ].

Zeichnen Sie den Durchstoßpunkt D ein.

Begründen Sie ohne Rechnung, dass man von Zermatt Z den Gipfel des Monte Rosa R nicht sehen
kann.
(12 Punkte)
MAT-GK-TR-N
Aufgabe 5
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Schriftliche Abiturprüfung 2014
Aufgabe 5
Lehrermaterialien Grundkurs Mathematik
Erwartungshorizont und Bewertung nach Anforderungsbereichen
Monte Rosa
X3
4
R
Breithorn
B
3
Matterhorn
M
2

ZR
BZ
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
1
2
3
4
5
6
X2
2

v
3
P
S
4
5
D
6
Z
7
P
Zermatt
8
9
S
10
11
X1
Lösungsskizze
a)
Bewertung
I
II
2
2
III
Einzeichnen der Strecke ZB .
 2 
 9 
 



Mögliche Geradengleichung: g : x   0   r   0  .
 4, 2 
 2,6 




 9 
 

BZ   0   81  6,76  9, 4
 2,6 


Die Länge der Luftlinie des Fluges beträgt ca. 9,4 Kilometer.
b)
Da die zweite Koordinate des Richtungsvektors der Geraden g gleich 0 ist, ist dieser Vektor parallel zur x2 -Achse. Dies trifft bei dem Richtungsvektor der Geraden h
nicht zu. Daher sind die beiden Richtungsvektoren nicht parallel.
(Alternativ: mit Rechnung zur linearen Unabhängigkeit der Vektoren).
Überprüfung, ob ein Schnittpunkt vorhanden ist:
 11 
 9   1 
 4 
 9 
 4   10 
 

 






 

 0   r   0    9   s   15,5   r   0   s   15,5    9 
1,6 
 2,6   4,6 
 0,1
 2,6 
 0,1  3 
 

 






 

Die oberen beiden Zeilen führen zu r  238 / 279  0,85 und s  18 / 31  0,58 , dies
MAT-GK-TR-N-L
Erwartungshorizont Aufgabe 5
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Abitur 2014 - Grundkurs Mathematik
Schulnr.:
Kursbezeichnung:
Name:
Monte Rosa
X3
4
R
Breithorn
B
3
Matterhorn
M
2
1
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
1
2
3
4
5
6
X2
2
3
4
5
6
Z
7
Zermatt
8
9
10
11
X1
Abbildung 2
Die im Aufgabentext enthaltenen Koordinaten sind hier noch einmal angegeben:
(Die Koordinateneinheit ist ein Kilometer.)
Zermatt:
Monte Rosa:
Breithorn:
Matterhorn:
Z (11| 0 |1,6)
R (1| 9 | 4,6)
B (2 | 0 | 4, 2)
M (5 | 6,5 | 4,5)
Sunnegga:
S (10 | 1,5 | 2,3)
weiterer Punkt: P (8 | 0,5 | 2,1)
MAT-GK-TR-N
Aufgabe 5
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Die Senatorin für Bildung und Wissenschaft
Schriftliche Abiturprüfung 2014
Lehrermaterialien Grundkurs Mathematik
führt, eingesetzt in die unterste Zeile, zu dem Widerspruch:
r  2,6  s  (0,1)  0,85  2,6  s  (0,1)  2, 27  3
Somit sind die Geraden g und h windschief und die Flugrouten treffen sich nicht.
c)
3
1
2
5
6
1
10
13
2
Vektoren einzeichnen.
Winkelberechnung:
 10   10 

 

 9    9 
 3   0 
181

 

cos( ) 

 0,9760 ,
190  181
(10) 2  (9) 2  (3) 2  (10) 2  (9) 2
also   12, 6 . Der Winkel beträgt ca.   12,6 .
d)
2
1
S , P, S ', P ' einzeichnen, Viereck SPP ' S ' einzeichnen (siehe Koordinatensystem).
Koordinatengleichung:
Ansatz E : ax1  bx2  1 , da die Ebene parallel zur x3 -Achse ist und nicht durch den
Ursprung geht.
S : 10a  1,5b  1
P : 8a  0,5b  1
2
1
2
1
mit Lösung a  und b  . Wir erhalten x1  x2  1 bzw. E : x1  2 x2  7 .
7
7
7
7
Einsetzen von S und P liefert das LGS:
Alternativ kann die Koordinatengleichung mit Hilfe dreier Punkte aufgestellt werden.
Durchstoßpunkt:
Das Einsetzen der ersten beiden Zeilen der Geradengleichung k in die
Ebenengleichung E liefert: (11  10r )  2( 9r )  7 und damit r 
Die Koordinaten des Durchstoßpunktes erhalten wir mit r 
1
.
7
1
, eingesetzt in g :
7
 11 
 10   67 / 7 
   1 
67 9 71
 

OD   0     9    9 / 7  , also D ( |
| )  D (9,6 | 1,3 | 2)
7 7 35
1,6  7  3   71 / 35 
 

 

Einzeichnen von D (siehe Koordinatensystem).
Mögliche Lösung:
Da die Höhe des Durchstoßpunktes D kleiner als Höhe beider Punkte S und P des
kleinen Berges ist und die beiden anderen Koordinaten von D jeweils zwischen
denen von S und P liegen, liegt D innerhalb des Vierecks SPP ' S ' . Die Sicht auf
den Gipfel des Monte Rosa ist also vom Standpunkt Z in Zermatt durch den kleinen
Berg versperrt.
Verteilung der insgesamt 25 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche
MAT-GK-TR-N-L
Erwartungshorizont Aufgabe 5
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