Terme und Formeln: Umgang mit Termen
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Terme und Formeln Umgang mit Termen Al Charazmi (* um 780, † um 840) war ein persischer Mathematiker, Astronom und Geograph. Vom Titel seines Werkes „Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-ùabr wa’l-muqabala“ (Arabisch für „Ein kurz gefasstes Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“) rührt der Begriff Algebra her. 1. Allgemeines zu Termen Definition:: Ein Term ist eine sinnvolle Zusammensetzung von Zahlen, Variablen, Operationszeichen und Klammern. Terme sind sozusagen die grammatikalisch korrekten Wörter oder Wortgruppen in der Sprache der Mathematik. Beispiele: .............................................................................................................................. ....................................................................................................................................... Gegenbeispiele: .................................................................................................................... ....................................................................................................................................... In Buchstabentermen werden ………………………… anstelle von Zahlen geschrieben. So können Sachverhalte in allgemeiner Form, ohne dass die speziellen Werte bekannt sind, notiert werden. Besonders in den Naturwissenschaften sind solche …………………………. von hohem Wert. Aufgabe 1: Überlege dir zusammen mit deiner Pultnachbarin, deinem Pultnachbarn, welche wichtigen Terme und Formeln ihr bereits kennengelernt habt. Notiert euch, was durch die Formel ausgedrückt wird und was die Buchstaben in der Formel bedeuten? Kreisfläche r2 · π wobei r der Radius und π = 3.14159… (Pi) ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... Terme und Formeln: Umgang mit Termen Seite 2 www.mathema.ch (November 11) 2. Auswerten von Termen Aufgabe 2: Diese Seite aus dem „Formeln und Tafeln“ enthält einige Formeln für die Berechnung von Körperflächen und Volumina. a) Berechne Oberfläche, Volumen und Länge der Raumdiagonalen eines Quaders mit den Abmessungen 50 cm, 70 cm und 90 cm. b) Die Cheops-Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 230.36 m und einer Höhe von 146.6 m. Berechne ihr Volumen. c) Berechne das Volumen eines geraden Kreiskegels mit einer Höhe von 12 cm und einer Grundfläche mit einem Radius von 5 cm. Berechne auch die Oberfläche des Kreiskegels. d) Zeige, dass die Formel für das Volumen des geraden Kreiskegels ein Spezialfall der Formel für das Volumen des geraden Kreiskegelstumpfes ist. e) Schätze das Volumen eines erwachsenen Menschen. Terme und Formeln: Umgang mit Termen Seite 3 www.mathema.ch (November 11) Aufgabe 3: Im „Fundamentum Mathematik und Physik“ finden wir einige Angaben zu den platonischen Körpern. a) Berechne die Oberfläche S eines Dodekaeders mit einer Kantenlänge a = 25 cm. b) Berechne das Volumen eines Ikosaeders mit der Kantenlänge 100 cm. Aufgabe 4: Du kennst den Satz des Pythagoras. Das „Formeln und Tafeln“ kennt noch zwei weitere Sätze, die an einem rechtwinkligen Dreieck gelten. a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 5 cm und die eine Kathete 3 cm lang. Wie lang ist die andere Kathete? b) Berechne die beiden Hypotenusenabschnitte p und q. c) Welche Höhe hat dieses Dreieck? d) Wie kannst Du prüfen, ob die Ergebnisse von b) und c) stimmen? Aufgabe 5: Diese Formeln für die Zinsrechnung aus dem „Fundamentum Mathematik und Physik“ sollten Dir bekannt vorkommen. a) Welchen Zins erhältst Du nach acht Monaten, wenn deine 1500 Franken auf einem Konto mit einem Zinssatz von 1.25% Zins liegen? b) Ein Kapital von 34'567.80 Fr. nimmt in 68 Tagen um 269.35 Fr. zu. Berechne den Zinssatz! c) Ein Kapital von 5400 Fr. wächst bei einem Zinsfuss von 2.5% auf 5445 Fr. an. Wie lange wurde das Kapital angelegt? d) Kannst Du die Formel für das Kapital K aus der Formel für den Zins Z herleiten? Terme und Formeln: Umgang mit Termen Seite 4 www.mathema.ch (November 11) 3. Aufstellen von Termen Aufgabe 6: Nimm ein A4 Blatt und bastle eine Schachtel gemäss dieser Anleitung. Du darfst die Grösse x frei wählen. Die Quadrate in den Ecken werden weggeworfen. a) Berechne das Volumen deiner Schachtel! b) Haben alle Schachteln in der Klasse dasselbe Volumen? c) Kannst Du das Volumen jeder solchen Schachtel ganz allgemein aufschreiben? Gesucht ist ein Buchstabenterm, in dem die Grösse x vorkommt. d) Kannst Du nun durch Einsetzen in den Term, das Volumen der Schachtel deiner Pultnachbarin, deines Pultnachbars berechnen? Nota bene:: Vereinfache in den folgenden Aufgaben, die gefunden Terme soweit du kannst. Ganz allgemein muss du Terme immer soweit wie möglich vereinfachen! Aufgabe 7: Ein Rechteck hat die Länge x und die Breite y. a) Wie gross ist seine Fläche? b) Wie gross ist sein Umfang? Aufgabe 8: Beschreibe den Flächeninhalt und den Umfang des nebenstehenden Schnittmusters durch einen Term. Berechne dann den Term für a = 2 cm und b = 3 cm. Aufgabe 9: Dieselbe Figur auf zwei Arten ausgedrückt: a) Einem Quadrat mit der Seitenlänge a hat man in jeder Ecke ein Quadrat der Seitenlänge q weggeschnitten. Wie lauten die Terme für Flächeninhalt und Umfang? b) Einem Quadrat mit der Seitenlänge b hat man an jeder Seite ein Rechteck der Breite q angesetzt. Wie lauten die Terme für Flächeninhalt und Umfang? Terme und Formeln: Umgang mit Termen Seite 5 www.mathema.ch (November 11) Aufgabe 10: Wir betrachten ein regelmässiges Sechseck. a) Drücke den Umfang dieses Sechsecks durch seine Seitenlänge s aus. b) Wie lang ist der Weg von A nach B über die Sechseckseiten? c) Wie lang ist die kürzeste Verbindung zwischen A und B? d) Wie gross ist seine Fläche? e) Berechne die Fläche für s = 2 cm. Aufgabe 11: Übersetze diese Texte in Buchstabenterme. a) Subtrahiere von 10 das 6-fache einer Zahl x. b) Subtrahiere von zehn die Zahl x und versechsfache das Ergebnis. c) Wähle eine Zahl x, verfünffache sie und addiere 4. Multipliziere das Ergebnis mit der gewählten Zahl. d) Wähle eine Zahl x und multipliziere sie mit sich selbst. Addiere 4 und verfünffache das Ergebnis. e) Wähle eine Zahl x und addiere 4. Multipliziere das Ergebnis mit dem Produkt von 5 und der gewählten Zahl. Aufgabe 12: Übersetze auch diese Texte in Terme. a) Addiere zum Siebenfachen von x das Fünffache von y. b) Multipliziere das Dreifache einer Grösse mit dem Vierfachen einer andern Grösse. c) Man subtrahiert vom Siebenfachen einer unbekannten Grösse das um 6 verminderte Dreifache der gleichen Grösse. Aufgabe 13: Summiere drei aufeinanderfolgende natürliche, aber unbekannte Zahlen. Aufgabe 14: Betrachte diese Folge von Würfelhäusern. a) Aus wie vielen Würfeln besteht das 5. Haus? b) Aus wie vielen Würfeln besteht das 60. Haus? c) Aus wie vielen Würfeln besteht das n-te Haus? Aufgabe 15: Wie viele Würfel werden für eine Treppe mit n-Stufen gebraucht? Aufgabe 16: Mutter, Vater und Kind besuchen einen Tennismatch. Eine Erwachsenenkarte kostet x Franken. Eine Kinderkarte kostet um y Franken weniger als eine Erwachsenenkarte. Stelle eine Formel für den Gesamtpreis G auf. Aufgabe 17: Denke dir eine Zahl, addiere 10, verdopple das Ergebnis und subtrahiere das Doppelte der ursprünglichen Zahl. Welche Zahl erhältst Du? (Es gibt 20. - Erstaunlich!) Stelle einen Buchstabenterm und vereinfache ihn. Schreibe x für die gedachte Zahl. Aufgabe 18: Wird das Produkt und die Differenz zweier Zahlen addiert und dann 1 subtrahiert, so ergibt sich das Produkt aus der um 1 verminderten ersten Zahl und der um 1 vermehrten zweiten Zahl. Zeige, dass diese Aussage stimmt! Terme und Formeln: Umgang mit Termen Seite 6 www.mathema.ch (November 11)
