Summen von Quadratzahlen 12. September 2007 Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter Universität Leipzig 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1 1 2 4 4 5 8 9 9 10 13 18 16 16 17 20 25 32 25 25 26 29 34 41 50 36 36 37 40 45 52 61 72 49 49 50 53 58 65 74 85 98 64 64 65 68 73 80 89 100 113 128 81 81 82 85 90 97 106 117 130 145 162 100 100 101 104 109 116 125 136 149 164 181 200 2 M die Menge der Zahlen, die Summe von zwei Quadratzahlen sind. M = 0, 16, 36, 58, 81, 104, 128, 164, 197, 1, 17, 37, 61, 82, 106, 130, 169, 200, 2, 18, 40, 64, 85, 109, 136, 170, ... 4, 20, 41, 65, 89, 113, 137, 173, 5, 25, 45, 68, 90, 116, 145, 178, 8, 26, 49, 72, 97, 117, 146, 181, 9, 29, 50, 73, 98, 121, 149, 185, 10, 32, 52, 74, 100, 122, 157, 194, 3 13, 34, 53, 80, 101, 125, 162, 196, Primzahlen in M : 2, 5, 13, 17, 29, 41, 37, 53, 61, 73, 89, 97, . . . nicht in M : 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 71, 79, 83, 87, . . . Zweiquadratesatz (Fermat 1659): Eine ungerade Primzahl liegt in M genau dann, wenn sie den Rest 1 modulo 4 hat. 4 Beweis der Notwendigkeit n mod 4 n2 mod 4 0 0 1 1 2 0 3 1 Daher kann n2 + m2 die Werte 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2 mod 4 annehmen. 5 Eulers Produktformeln (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac − bd)2 + (ad + bd)2 Beispiel: (32 + 22)(52 + 12) = (9 + 4)(1 + 25) = 13 · 26 = 338 (3 · 5 − 2 · 1)2 + (3 · 1 + 2 · 5)2 = 132 + 132 = 169 + 169 = 338 Folgerung: Die Menge der Zahlen, die Summe von zwei Quadraten sind, ist unter Mulitiplikation abgeschlossen. 6 Zweiquadratesatz - der allgemeine Fall k k Sei n = p11 p22 . . . pkmm die Primfaktorzerlegung. Satz: n liegt in M genau dann, wenn ki gerade ist für pi = 3 mod 4. 7 Vierquadratesatz 7 ist nicht Summe von drei Quadratzahlen. Aber: Vierquadratesatz (Lagrange 1770): Jede natürlich Zahl lässt sich als Summe von höchstens vier Quadratzahlen schreiben. 7=4+1+1+1 27 = 16 + 9 + 1 + 1 Beweisidee: • Produktformel für Summen von vier Quadraten • Für Primzahlen ist die Aussage wahr modulo 8. Literatur: W. Scharlau, H. Opolka, Von Fermat bis Minkowski, Springer Verlag 1980. 8 Die Anzahlformel 50 = 49 + 1 = 25 + 25 = 25 + 16 + 9 = . . . Für n > 1 sei r(n) die Anzahl der Möglichkeiten, n als Summe von vier Quadraten zu schreiben. Beispiel: r(1) = 8, r(2) = 24 Der Satz von Jacobi (1828): r(n) = 8 X d d|n,4∤d Die rechte Seite ist positiv, also gilt der Vierquadratesatz! 9 Jacobis Beweisidee ϑ(q) := X 2 q m = 1 + 2q 1 + 2q 4 + 2q 9 + . . . m∈Z Dann ist ϑ(q)4 = X r(n)q n n≥0 Für q = eπiz , z ∈ C, Imz > 0 ist ϑ(z) differenzierbar. X X ∗ g2(q) := 1 − 24 d q 2n n≥1 d|n Beh: 1 z ϑ(z)4 = 3 4g2∗ (2z) − g2∗ ( 2 ) 10 Das moderne Argument: Modulformen Es gilt ϑ4(z + 2) = ϑ4(z) ϑ4(−z −1) = −z 2ϑ4(z) D.h. ϑ4 ist eine Modulform vom Gewicht 2. g2∗ (z + 1) = g2∗ (z) g2∗ (−z −1) = z 2g2∗ (z) 1 z ∗ ∗ D.h. 3 4g2(2z) − g2( 2 ) ist Modulform wie ϑ4. Zwei Modulformen dieses Typs sind gleich, wenn die Koeffizienten von q 0, q 1, q 2 übereinstimmen. Literatur: M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer Verlag 1998; Kapitel III §7 7.* 11