Übungen zur eoretischen Physik I . Gleichmäßig beschleunigte

WS 2008
Prof. Nikolaos Papadopoulos
Florian Jung
Übungen zur Theoretischen Physik I
Blatt 2 – Abgabe: 3.11.2008
4. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (2 P)
Bestimmen Sie die Kurve r(t) für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in
nigung b(t) = const und Anfangsbedingungen r(t 0 ) = r 0 und v(t 0 ) = v 0 .
R3 mit Beschleu-
5*. Parametrisierte Kurven und Begleitzweibein (10 P)
R
Gegeben sei eine ebene Kurve α ∶ [0; a] → 2 , t ↦ α(t). Die Bogenlänge s(t) der Kurve α vom
Punk p 0 = α(0) bis zum Punkt p t = α(t) ist bekanntlich gegeben als:
s(t) =
∫
0
t
dt ′
√
ṙ(t ′ ) ⋅ ṙ(t ′ ) .
Gegeben sind zwei weitere Kurven: β(s) ∶= α(t(s)) und γ(u) ∶= α(3u).
dβ
(a) Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit der Kurve β, welche als E(s) ∶= d s (s) definiert ist,
immer den Betrag 1 hat, und dass die Beschleunigung ddEs (s) = κ(s)N(s) immer senkrecht
zu E(s) steht.
Hierbei ist die Funktion κ(s) = ∣ ddEs ∣ so gewählt, dass der Vektor N(s) auch den Betrag 1 hat.
Das System (E(s), N(s)) stellt somit ein orthonormales System (Begleitzweibein) längs aller
obiger drei Kurven dar.
(b) Drücken Sie die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Kurven α und γ mit Hilfe des
obigen Begleitzweibeins aus.
6. Interpretation von 1/κ (5 P)
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aus der Aufgabe 5? Berechnen Sie zu diesem Zweck die
Was ist die Bedeutung der Funktion κ(s)
Beschleunigung für die zwei einfachen ebenen Kurven:
α(t) = (a + R cos t, b + R sin t) und
β(t) = r 0 + v 0 t ,
und interpretieren Sie das Ergebnis. Eine Skizze ist dabei hilfreich.
7*. Exponentialabbildung von Matrizen (4 P)
Berechnen Sie für die Matrix X = I3 = m(e 3 ) (vgl. Blatt 1, Aufgabe 2) den Wert der Exponentialabbildung:
∞
1
R = e X ∶= ∑ X n .
n=0 n!
8. Transformation zwischen Koordinatensystemen (4 P)
Bezüglich eines Inertialsystems IS möge ein Teilchen sich gemäß r(t) = v 0 t mit der Geschwindigkeit v 0 = (0, v0 , 0) bewegen. Man skizziere, wie dieselbe Bewegung aus einem Koordinatensystem
KS aussieht, welches gegenüber IS um den Winkel φ um die z-Achse gedreht ist:
x ′ = x cos φ + y sin φ ,
y′ = −x sin φ + y cos φ ,
z′ = z .
Betrachten Sie die beiden Fälle φ = const. und φ = ωt mit ω = const.
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