Junior Euler Society – Aufgabenblatt 8 Kongruenzen

Junior Euler Society – Aufgabenblatt 8
Kongruenzen
Elisa Gorla
13. und 20. Mai 2009
Aufgabe 1 Was für einen Wochentag haben wir in 1000 Tagen ab heute?
Aufgabe 2 Zeige, dass 3099 + 61100 durch 31 teilbar ist.
9
Aufgabe 3 Was ist die letzte Ziffer von 20082008 ? Was ist die letzte Ziffer von 99 ?
Aufgabe 4 Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen (den FibonacciZahlen), bei der sich die jeweils folgende Zahl durch Addition der beiden vorherigen Zahlen
ergibt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .. Zeige, dass jede fünfte Fibonacci-Zahl durch 5
teilbar ist.
Aufgabe 5 Beweise, dass eine Zahl und ihre Quersumme modulo 9 kongruent sind.
Schliesse daraus, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist genau dann, wenn ihre Quersumme
durch 9 teilbar ist. Erkläre, wie die bekannte Teilbarkeitsregel für die Zahl 9 aus diesem
Argument folgt. Finde ähnliche Teilbarkeitsregeln für die Zahlen 11, 7, 13. Wie kann man
eine Teilbarkeitsregel für eine beliebige natürliche Zahl m finden?
Aufgabe 6 a sei eine ganze Zahl und p eine Primzahl, so dass a durch p nicht teilbar ist.
Zeige, dass die Zahlen 0·a, 1·a, 2·a, . . . , (p−1)·a modulo p unterschiedlich sind. Schliesse
daraus, dass die Zahlen 0 · a, 1 · a, 2 · a, . . . , (p − 1) · a und 0, 1, 2, . . . , p − 1 kongruent (ohne
Beachtung der Reihenfolge) sind.
1
Aufgabe 7 a sei eine ganze Zahl und p eine Primzahl, so dass a durch p nicht teilbar
ist. Zeige, dass die Gleichung
ax ≡ 1 (mod. p)
eine Lösung für x hat.
a und m sind beliebige natürliche Zahlen, so dass a durch m nicht teilbar ist. Hat
die Gleichung ax ≡ 1 (mod. m) immer eine Lösung für x?
Aufgabe 8 a, b und c seien ganze Zahlen und p eine Primzahl, so dass a durch p nicht
teilbar ist. Zeige, dass
ab ≡ ac (mod. p)
genau wenn a ≡ b (mod. p).
Finde natürliche Zahlen a, b, c und m, so dass: a durch m nicht teilbar ist und
ab ≡ ac (mod. m)
aber a 6≡ b (mod. m).
Aufgabe 9 a sei eine ganze Zahl und p eine Primzahl, so dass a durch p nicht teilbar
ist. Zeige, dass
ap−1 ≡ 1 (mod. p).
Aufgabe 10 Berechne 290 (mod. 91). Ist 91 eine Primzahl?
Berechne 2340 und 3340 (mod. 341). Ist 341 eine Primzahl?
Berechne 21048582 , 31048582 , 41048582 , 51048582 und 61048582 (mod. 1048583). Ist 1048583
eine Primzahl?
Aufgabe 11 a sei eine ganze Zahl, so dass ggT (a, 6) = 1. Zeige, dass
a2 ≡ 1(mod. 6).
a sei eine ganze Zahl, so dass ggT (a, 15) = 1. Zeige, dass
a8 ≡ 1(mod. 15).
2