Kapitel 3.1

Übungen zur Einführung in die Festkörperphysik WS16/17
Vorlesung: Prof. S.F. Fischer; Übungen: Dr. R. Mitdank, M. Kockert
Aufgaben zur 5. Übung - Besprechung am 28.11.16
17. Schallgeschwindigkeit – eindimensionale Kette
Betrachten Sie eine einatomige Kette mit Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn. Gegeben sei eine
Federkonstante f = 25 N/m, eine relative Atommasse m/mo = 28 und eine Gitterkonstante von
a = 0,5 nm. Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit und die maximal mögliche Phononenfrequenz.
18. Optische Phononen
Gegeben sei eine 2-atomige Kette, z.B. eine NaCl-Kette. Berechnen Sie für die optischen Phononen die Phasenund die Gruppengeschwindigkeit in den Fällen q = 0 und q = π/a.
(a bezeichnet den Abstand zwischen 2 Na bzw. 2 Cl-Atomen.)
19. Zustandsdichte von Phononen
a) Geben Sie die Zustandsdichte Z(ω) der Phononen eines einatomigen dreidimensionalen Kristalls in der
Debey‘schen Kontinuumsnäherung an (ω sei die Phononenkreisfrequenz).
Hinweis: Verwenden Sie den Zusammenhang

V
Z (q )d 3 q = 2 q 2 dq sowie eine lineare Dispersionsrelation
2π
für die akustischen Zweige.
3
b) Kupfer besitzt eine Dichte von ρ = 8.93 g/cm und die molare Masse mmol = 63.55 g/mol. Die Schallgeschwindigkeit in Kupfer beträgt vL = 4760 m/s bei longitudinaler bzw. vT = 2325 m/s bei transversaler Polarisation der Welle. Berechnen Sie mit Hilfe dieser Angaben die Debye-Frequenz von Kupfer, außerdem die mittels
ωD = k BΘ D definierte "Debye-Temperatur" Θ D des Festkörpers.
c) Berechnen Sie für die Debyefrequenz die Zustandsdichte Z(ωD). Berücksichtigen Sie, dass Cu eine fccStruktur besitzt. Verwenden Sie für V das Volumen der primitiven Elementarzelle.
20. Messung der Schallgeschwindigkeit
a) Ein polykristalliner Aluminium-Zylinder der Länge L = 50 cm wird zu longitudinalen Schwingungen angeregt.
Die Resonanzfrequenz der Grundschwingung beträgt fo = 5,2 kHz. Aluminium besitzt eine Dichte von
ρ = 2,7 g/cm³, und ein Elastizitätsmodul von E = 70,2 GPa. Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit von Al aus
der gemessenen Resonanzfrequenz sowie unter Verwendung des Elastizitätsmoduls.
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b) Aus den experimentell gewonnenen Dispersionskurven für KBr (NaCl-Struktur mit a = 6,59·10 m) ergibt
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sich für k ║ [100] und k = 2π/4a die Frequenz der longitudinalen akustischen Phononen zu f = 1,3·10 Hz.
Berechnen Sie
- die Wellenlänge,
- die Phasengeschwindigkeit der entsprechenden Gitterschwingungen,
- die Energie und
- den Quasiimpuls der Phononen.