Mathematik 1 für Studierende der Biologie Teil I: Erinnerungen

Mathematik 1 für Studierende der Biologie
Teil I: Erinnerungen
Christian Leibold
18. September 2014
Rechnen mit reellen Zahlen
Gleichungen, Ungleichungen, Intervalle
Proportionalität, Dreisatz, Geraden
Quadrate und Parabeln
Funktionen
Allgemeines
Komposition von reellen Funktionen
Monotonie
Umkehrfunktion
Potenzen, Exponentialfunktion, Logarithmus
Potenzen
Exponentialfunktion
Logarithmen
Gleichungen, Ungleichungen
Die reellen Zahlen (IR) lassen sich ihrer Größe nach anordnen,
wobei für je zwei reelle Zahlen x und y genau eine der drei
Relationen gilt:
x <y
x =y
x >y
kleiner
gleich
größer
Merke:
1) Zwischen jedem Paar x < y reeller Zahlen liegen unendlich viele
andere reelle Zahlen a mit x < a < y .
2) Ungleichheitsrelationen können zusammengefasst werden: x ≤ y
(kleiner gleich), bzw. x ≥ y (größer gleich).
Es gelten folgende Rechenregeln:
1) x < y ↔ y > x, 2) x < y & y < z → x < z (Transitivität)
3) x < y → −x > −y , 4) x < y → x + a < y + a für alle a ∈ IR.
Intervalle
Aus der Anordnung der reellen Zahlen folgt die Möglichkeit
Intervalle zu definieren:
Definition (Intervalle)
abgeschlossenes Intervall:
offenes Intervall:
halboffene Intervalle:
[a, b] = {x ∈ IR|a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ IR|a < x < b}
[a, b) = {x ∈ IR|a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ IR|a < x ≤ b}
Besondere Intervalle
−
IR+ = (0, ∞), IR− = (−∞, 0), IR+
0 = [0, ∞), IR0 = (−∞, 0]
Intervalle sind Lösungsmengen L von (Un-)Gleichungen einer
Unbekannten x: z.B:
x + 3 ≤ 0 → L = (−∞, −3]
oder
2 − x = 0 → L = [2, 2] = {2}
Brüche
Die reelle Gleichung
ax = b , a = 0
wird gelöst durch die reelle Zahl
x=
b
a
und ebenso folgt für die Gleichung
ax +c = b ⇒ x =
b c
− .
a a
Bringt man zuerst c auf die andere Seite folgt
ax + c = b ⇒ x =
und damit
b−c
a
b−c
b c
= − .
a
a a
Ähnlich leitet man die weiteren Bruchrechenregeln her:
b
a =
◮ 1 =
a/b
◮ 1 + 1
a
b
◮
c
cb
a
b
a
=
b+a
ab
Oft ist letztere Regel auch zu kompliziert und es reicht als
Hauptnenner das kleinste gemeinsame Vielfache, z.B.
1 1
3
2
5
+ =
+
=
.
4 6
12 12
12
Allgemein findet man das kleinste gemeinsame Vielfache über die
Primfaktorzerlegung, z.B.
1
2
3 + 22 · 5
90 = 2 · 5 · 3 , 27 = 3 ⇒
+
= 3
.
90 27
3 ·2·5
2
3
Dreisatz
Ein wichtiges Grundkonzept ist das der direkten Proportionalität:
Es besagt, dass zwei Größen sich immer um einen konstanten
Faktor unterscheiden.
Beispiel: Letztes Jahr haben 5 Tutoren 110 Studenten betreut.
Wieviele Tutoren T sind notwendig, um S Studierende zu
betreuen?
Der Zusammenhang zwischen Tutoren T und Studierenden S wird
durch die mathematische Gleichung T = S k beschrieben. Sie
enthält einen unbestimmten Parameter k. Dieser Faktor kann
anhand des Beispiels aus dem Vorjahr berechnet werden
5
.
k = T /S = 5/110. Damit gilt für alle weiteren Jahre T = S 110
Man spricht hier von einem linearen Zusammenhang zwischen T
und S. Allgemein heißt eine Abbildung f (x) linear, falls gilt
f (a x + y ) = a f (x) + f (y ) .
Geraden
Eine Abbildung der Form
f (x) = m x + t ,
heißt Gerade. Der Graph von f ist eine gerade Linie. Die Funktion
hat zwei Parameter, die Steigung m und der y -Achsenabschnitt t.
y = mx + t
m = dy/dx
dy
dx
t
x
Die Steigung m bestimmt man über das Steigungsdreieck, t ist der
Funktionswert bei x = 0.
Es gibt genau eine Gerade die durch ein gegebenes Paar von
Punkten (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) läuft.
Betrag
Eine wichtige aus zwei Geraden zusammengesetzte Funktion ist der
Betrag.
Definition (Betrag)
Für alle x ∈ IR gilt |x| =
x
−x
wenn x ≥ 0
wenn x < 0
Eigenschaften des Betrags
|x| ≥ 0,
|x| ≥ x,
|x| ≥ −x,
|x| = 0 ⇔ x = 0,
|x + y | ≤ |x| + |y | (Dreiecks-Ungleichung)
Damit sind folgende Schreibweisen äquivalent
|x| < 4 ↔ x ∈ (−4, 4) ↔ −4 < x < 4
oder
|x − 1| < 2 ↔ x ∈ (−1, 3) ↔ −1 < x < 3
Binomische Formeln
Es gilt für x, a ∈ IR
(x + a)2 = x 2 + 2 x a + a2
(x − a)2 = x 2 − 2 x a + a2
(x + a) (x − a) = x 2 − a2
Damit lösen wir folgende Ungleichungen:
x 2 + 4 x + 4 < 1 → (x + 2)2 < 1 → |x + 2| < 1 → x ∈ (−3, −1)
Parabeln
Eine Abbildung der Form
f (x) = a (x − b)2 + c
heißt Parabel. Der Graph von f ist eine gebogen Kurve mit einem
Scheitelpunkt bei (x, y ) = (b, c). Der Parameter a heißt
Krümmung. Ist a > 0, so ist die Parabel nach oben offen, für a < 0
ist die Parabel nach unten offen.
2
y = a(x−b) + c
c
a<0
b
x
Es gibt genau eine Parabel die durch drei gegebene Punkte läuft.
Quadratische Lösungsformel
Einen Lösungsweg für allgemeine quadratische (Un-)Gleichungen
liefert die quadratische Ergänzung:
p
p
x +p x +q = x + 2 x +
2
2
2
2
p
2
p
−
2
2
p
+q = x +
2
2
p2
+q −
4
0
Bezeichnet man D = p 2 /4 − q als Diskriminante, so ist die
Gleichung x 2 + p x + q = 0 äquivalent zur Gleichung
2 = D. Demnach hat x 2 + p x + q = 0
(x
+
p/2)
√

 zwei Lösungen x1/2 = −p/2 ± D, wenn D = p 2 /4 − q > 0
eine Lösung
x = −p/2,
wenn D = 0

keine Lösung,
wenn D < 0
Kurz:
p2
p
−q
x1/2 = − ±
2
4
Allgemeines zu Funktionen
Konzentration
Systematische Beziehungen zwischen zwei (oder mehreren) Größen
werden mathematisch durch Funktionen beschrieben. Dabei wird
einer unabhängigen Variable (z.B. der Zeit) eine abhängige
Variable (z.B. die Konzentration eines Enzyms) zugeordnet.
[E]
t
Zeit
Werte der unabhängigen Variable werden so auf Werte der
abhängigen Variable abgebildet. Deshalb spricht man bei einer
Funktion auch von einer Abbildung.
Definition (Funktion)
Seien X und Y zwei beliebige nichtleere Mengen. Eine Abbildung
(Funktion) f von X nach Y
f :X →Y
ordnet jedem Element x ∈ X genau ein Element y ∈ Y zu:
x → y = f (x)
Hierbei heißt x das Argument der Funktion f und f (x) der Wert der
Funktion f an der Stelle x.
X heißt Definitionsbereich von f , Y heißt Zielmenge. Der Wertebereich W einer Funktion ist die Menge aller y ∈ Y , für die ein x ∈ X
existiert, so dass y = f (x). Eine Funktion heißt reell wenn X ⊆ IR
und Y ⊆ IR.
Bemerkungen:
1) Für obige Definition des Funktionenbegriffs ist es unwesentlich
welcher Art die Mengen X und Y sind. Sie müssen nicht die
reellen Zahlen sein. Man definiert deshalb eine reellwertige
Funktion als Abbildung, für die Y ⊂ IR gilt.
2) Essenz der Funktionsdefinition: Eine Funktion besteht aus drei
Dingen,
der Definitionsmenge,
der Zielmenge und
der Abbildungsvorschrift.
Beispiel: Die Wurzelfunktion
f : X = IR+
0 → Y = IR, x → y = f (x) =
√
x
Der Wertebereich W entspricht nicht der Zielmenge Y , da nur
nichtnegative Werte y ≥ 0 angenommen werden.
2.5
2
f(x)
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
x
4
5
Komposition von reellen Funktionen
f(x), g(x)
Viele komplizierte Funktionen können als Kombination von
mehreren einfachen Funktionen erzeugt werden. Meist geschieht
dies durch folgende Transformationen:
1) Translation (Verschiebung) in y-Richtung
c
x → y = g (x) = f (x) + c
x
x → y = g (x) = f (x − a)
Vorsicht: Ist a > 0, so erzeugt
f (x − a) eine Verschiebung nach
rechts, wohingegen f (x + a) eine
Verschiebung nach links erzeugt!
Als Merkhilfe überlegt man sich
wo g (0) = f (±a) liegt.
f(x), g(x)
2) Translation in x-Richtung
a
x
x → y = g (x) = f (x b) , b > 0
f(x), g(x)
3) Streckung / Stauchung in x-Richtung
Für b > 1 liegt eine Stauchung
vor.
Für b < 1 liegt eine Streckung
vor.
x
x → y = g (x) = k f (x) , k > 0
Für k < 1 liegt eine Stauchung
vor.
Für k > 1 liegt eine Streckung
vor.
f(x), g(x)
4) Streckung / Stauchung in y-Richtung
x
f(x), g(x)
5) Spiegelung an der x-Achse
x → y = g (x) = −f (x)
x
f(x), g(x)
6) Spiegelung an der y-Achse
x → y = g (x) = f (−x)
Eine reelle Funktion heißt gerade, wenn f (x) = f (−x) gilt, sie
heißt ungerade, wenn f (x) = −f (−x) gilt.
x
Monotonie
Ein wichtiges Klassifikationskriterium reeller Funktionen ist ihre
Monotonie. Monotone Funktionen haben sehr angenehme
Eigenschaften.
Definition (Monotonie)
Seien x1 , x2 ∈ IR. Eine reelle Funktion heißt
monoton steigend,
streng monoton steigend,
monoton fallend,
streng monoton fallend,
wenn
wenn
wenn
wenn
aus
aus
aus
aus
x1
x1
x1
x1
< x2
< x2
< x2
< x2
stets
stets
stets
stets
f (x1 ) ≤ f (x2 )
f (x1 ) < f (x2 )
f (x1 ) ≥ f (x2 )
f (x1 ) > f (x2 )
folgt.
folgt.
folgt.
folgt.
Beispiele für streng monoton steigende reelle Funktionen sind
x → f (x) = x
x → f (x) = e x
Umkehrfunktion
Am Beispiel der Quadratwurzel und der Quadratfunktion haben wir
gesehen, dass manche Abbildungen sich gegenseitig aufheben.
Aber gibt es zu jeder Funktion eine entsprechende
Umkehrfunktion? Nach welchen Kriterien kann man entscheiden,,
ob so eine Funktion existiert? Um dies systematisch zu
untersuchen, führen wir zunächst folgende drei Begriffe ein.
Definition (Injektiv, Surjektiv, Bijektiv)
a) Eine Abbildung f heißt injektiv, wenn zwei verschiedenen Elementen x1 = x2 ∈ X immer zwei verschiedene Werte f (x1 ) = f (x2 ) ∈ Y
zugeordnet werden.
b) Eine Abbildung f heißt surjektiv, wenn es zu jedem Element y ∈
Y mindestens ein x ∈ X gibt, so dass y = f (x).
c) Eine Abbildung f heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv
ist.
f(x)
f(x)
x1
x2
x
x1
x2
x
Die Funktion, die durch den linken Graph repräsentiert wird, ist
injektiv, die Funktion des rechten Graphen nicht.
f(x)
f(x)
Schlussfolgerung: Streng monotone Funktionen sind injektiv!
x
x
Die Funktion, die durch den linken Graph repräsentiert wird, ist
surjektiv (falls Y = IR+
0 ), die Funktion des rechten Graphen nicht.
Definition (Umkehrfunktion)
Sei f : X → Y , mit x → y = f (x). Existiert eine Funktion f −1 :
Y → X , so dass
für jedes y ∈ Y f f −1 (y ) = y gilt und
für jedes x ∈ X f −1 (f (x)) = x gilt,
so heißt f umkehrbar oder invertierbar. Die Abbildung f −1 heißt dann
Umkehrfunktion von f .
Beispiel: x → f (x) = x 2
+
Sei X = IR+
0 und Y = IR0 , so ist f umkehrbar und ihre Inverse
lautet
√
f −1 (y ) = y
Test:
√
√
1) f (f −1 (y )) = f ( y ) = ( y )2 = y
√
−1
−1
2
2) f (f (x)) = f (x ) = x 2 = x
Dies gilt für alle y ∈ Y und für alle x ∈ X . Folglich ist die
Wurzelfunktion die Umkehrung des Quadrats auf IR+
0.
+
Wenn aber nun X = IR und Y = IR0 gilt, ist f nicht umkehrbar,
da
√
f −1 (f (x)) = f −1 (x 2 ) = x 2 = |x| = x .
Folglich hängt die Umkehrbarkeit einer Funktion stark von
Definitionsmenge und Zielmenge ab.
Bemerkungen:
1) Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann umkehrbar, wenn sie
bijektiv ist. Die Definition verlangt nämlich, dass die
Umkehrfunktion für jedes y ∈ Y definiert ist und für jedes x ∈ X
eine eindeutige Zuordnung besteht.
2) Eine umkehrbare Funktion ist identisch mit der Umkehrfunktion
ihrer Umkehrfunktion:
(f −1 )−1 = f
3) Aus dem Graph einer umkehrbaren Funktion f erhält man den
Graph der Umkehrfunktion f −1 durch Spiegelung an der
Winkelhalbierenden.
Winkelhalbierende
−1
f (x)
f(x)
x
Potenzen
Viele wichtige geometrische und physikalische Zusammenhänge
folgen Potenzgesetzen. So verhält sich z.B. die Oberfläche einer
Kugel wie das Quadrat des Radius (r 2 ), wohingegen ihr Volumen
mit der dritten Potenz (r 3 ) anwächst. Allgemein gilt die
Definition (Potenzen mit natürlichen Exponenten)
Für eine reelle Zahl a ∈ IR ist die Potenz der Basis a zum natürlichen
Exponenten n > 1 gegeben durch
an = a · an−1
und
a1 = a
Dabei bezeichnet man als natürliche Zahlen die Menge IN =
{1, 2, 3, . . . }.
Bemerkungen:
1) Eine derartige Definition heißt rekursiv. Eine explizite Definition
der Potenz lautet
an = a · · · · · a
n Mal
2) Eine Abbildung f : IR → IR heißt Polynom, wenn Sie aus einer
endlichen linearen Kombination von Potenzen mit natürlichen
Exponenten zusammengesetzt ist:
f (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + aN x N
f heißt Polynom vom Grad N, falls N die höchste auftretende
Potenz ist und der Koeffizient aN nicht verschwindet.
Für natürliche Exponenten n und m gilt offenbar die Rechenregel
x n x m = x n+m . Potenzen können leicht auf negative Exponenten
verallgemeinert werden, so dass diese Regel erhalten bleibt durch
die
Definition (Potenzen mit ganzzahligen Exponenten)
Für eine reelle Zahl a ∈ IR ist die Potenz der Basis a = 0 zum
negativen ganzzahligen Exponenten −n gegeben durch
1
an
2
2
1
1
0
f(x)
f(x)
a−n =
x1
2
x
−1
0
x−1
−2
x
−1
3
x
x−3
4
−2
−2
x
−1
0
x
1
2
−2
−2
x−4
−1
0
x
1
2
Graphen der Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten.
Bemerkung:
Der Exponent 0 kann demnach durch Kombination der Exponenten
+n und −n erzeugt werden. Daher gilt (zunächst für x = 0)
0
x =x
n−n
xn
= n =1
x
Als Konvention definiert man überdies ebenso 00 = 1.
Wurzeln
Auf IR+ sind die Potenzfunktionen x n mit negativem Exponenten
n streng monoton fallend und die Potenzen mit positivem n streng
monoton steigend. Der Wertebereich der Potenzfunktionen ist
ebenfalls IR+ . Folglich sind Potenzenfunktionen auf IR+ bijektiv
und damit umkehrbar.
Die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen heißen Wurzeln.
Schreibt man die Umkehrfunktion als Potenz x = ab und verlangt
x n = a, so folgt ab n = a und damit für den Exponenten der
Umkehrfunktion b = 1/n.
Definition (Wurzeln)
Sei n = 0 ganzzahlig und x > 0. Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion
f : IR+ → IR+ , x → a = f (x) = x n
heißt n-te Wurzel
x=
√
n
a oder x = a1/n
+
Für n > 0 gilt sogar f : IR+
0 → IR0 .
2
1.5
1.5
1
f(x)
f(x)
2
x1
x1/2
0.5
x1/4
0.5
1
x
1.5
x−1/2
x−1/3
x−1/4
1
0.5
x1/3
0
0
x−1
2
0
0
0.5
1
x
1.5
2
Graphen der Wurzelfunktionen.
Die Definition der Wurzeln lässt sich nun leicht auf Potenzen mit
beliebigem rationalen Exponenten verallgemeinern: Sei a > 0 und p
und q = 0 ganzzahlig, dann gilt
p
aq =
wobei
√
q
√
q
√
ap = ( q a)p
als Umkehrfunktion der q-ten Potenz definiert ist.
Um nun Potenzen rationaler Exponenten r = qp auf Potenzen
beliebiger reeller Exponenten s ∈ IR verallgemeinern zu können,
geht man über einen Grenzprozess rationaler Zahlen rn mit
limn→∞ rn = s. Damit kann man definieren
as = lim arn .
n→∞
Dazu muss man aber zunächst Konvergenzkriterien von Folgen zur
Hand haben.
Rechenregeln
Seien a ∈ IR+ \{1}, u, v , z ∈ IR. Dann gilt
a0 = 1
a1 = a
au av = au+v
au /av = au−v
(au )z = az u
Exponentialfunktion
Bei Potenzfunktionen x n fungiert die Basis x als unabhängige
Variable. Wenn man nun als unabhängige Variable den Exponenten
betrachtet spricht man von einer Exponentialfunktion.
Definition (Exponentialfunktion)
Sei a ∈ IR+ . Die reelle Funktion f : IR → IR+ ,
x → y = f (x) = ax
heißt Exponentialfunktion zur Basis a. Die Exponentialfunktion zur
Basis der Eulerschen Zahl e = 2.7182818284... heißt einfach nur
Exponentialfunktion
x → y = e x = exp(x)
Bemerkungen:
1) Die Exponentialfunktion (für a = 1) ist streng monoton (→
injektiv!)
2) Die Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, die beide
folgenden Eigenschaften besitzt:
1) exp(x + y ) = exp(x) exp(y )
2) exp(x) ≥ 1 + x
Logarithmen
Die Exponentialfunktion f : IR → IR+ , x → ax (für a = 1) ist
streng monoton steigend und daher injektiv. Außerdem ist die
Zielmenge identisch mit dem Wertebereich, was die
Exponentialfunktion auch surjektiv, damit bijektiv und damit
umkehrbar macht. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
heißt Logarithmus.
Definition (Logarithmus)
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a ∈
IR+ \{1}, f : IR → IR+ , x → f (x) = ax heißt Logarithmus zur
Basis a.
loga : IR+ → IR x → f −1 (x) = loga (x)
Aus der graphischen Konstruktion liest man folgende
Eigenschaften des Logarithmus ab:
- loga (1) = 0
- limx→0 loga (x) = −∞
- limx→∞ loga (x) = ∞
3
2
f(x)
1
0
−1
x
ex
ln x
−2
−3
−2
0
x
2
Spezielle Logarithmen:
1) Der Logarithmus zur Basis der Eulerschen Zahl e heißt
natürlicher Logarithmus. Man schreibt loge = ln
2) Der Logarithmus zur Basis 2 heißt Logarithmus dualis. Man
schreibt log2 = ld
3) Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer Logarithmus.
Man schreibt log10 = log
Vorsicht: Viele Computerprogramme bezeichnen mit log den
natürlichen Logarithmus.
Rechenregeln
Seien a ∈ IR+ \{1}, x, y , z ∈ IR. Dann gilt
loga 1 = 0
loga a = 1
loga (x y ) = loga x + loga y
loga (x/y ) = loga x − loga y
loga (x z ) = z loga x
(y = 0)
Um die Rechenregeln herzuleiten benutzt man den Trick
x = aloga (x) . Damit folgert man z.B.
aloga (x y ) = x y = aloga (x) aloga (y ) = aloga (x)+loga (y )
⇒ loga (x y ) = loga (x) + loga (y )
Die Herleitungen der anderen Rechenregeln sind analog.
Um Gleichungen der Art ax = b y lösen zu können, muss man
Logarithmen zu verschiedenen Basen vergleichen können. Es zeigt
sich, dass alle Logarithmen äquivalent sind im Sinne, dass sie sich
nur durch einen multiplikativen Faktor unterscheiden. Es gilt
nämlich beim
Basiswechsel
Seien a, b ∈ IR+ \{1}, dann gilt
logb x = loga x logb a =
loga x
loga b
Herleitung: logb x = logb aloga x = loga x logb a. Außerdem, da
1 = logb b = loga b logb a, gilt auch logb a = 1/ loga b und somit
das letzte “=” in der obigen Formel zum Basiswechsel.
Anwendungen des Logarithmus:
1) Halbwertszeit des exponentiellen Zerfalls
2) Doppelt-Logarithmische Darstellung von Potenzfunktionen