b - mathpoint.ch

zusf_stuetzkurs.nb
1
Urs Vonesch
Kurzrepetition Stützkurs
1. Die vier Grundoperationen
1.1. Grundbegriffe
a+b
Summand plus Summand
= Summe (Addition)
a-b
Minuend minus Subtrahend =
Differenz (Subtraktion)
a•b
Faktor mal Faktor =
Produkt (Multiplikation)
a:b
Dividend durch Divisor =
Quotient (Division)
an
Basis hoch Exponent = Potenz
7•y oder 7y
7 = Koeffizient, y = Variable
Der Multiplikationspunkt wird
meist weggelassen.
(+6) - (-1) + (-2) - (+3)
Wir unterscheiden
Vorzeichen und
Operationszeichen.
Zahlen mit Vorzeichen werden in
Klammern gesetzt.
Vorzeichenregeln:
a + (+b) =
a + (-b) =
a - (+b) =
a - (-b) =
a+b
Printed by Mathematicaafor
- Students
b
a-b
a+b
Zahlen mit Vorzeichen werden in
Klammern gesetzt.
zusf_stuetzkurs.nb
Vorzeichenregeln:
a + (+b) =
a + (-b) =
a - (+b) =
a - (-b) =
a+b
a-b
a-b
a+b
a•0=
0:a=
a:0
0
0
nicht erlaubt
(wird "unendlich gross")
Zahl und Gegenzahl:
Gegenzahl zu 3.5
Gegenzahl zu -7
Gegenzahl zu (a - b)
-3.5
+7
-(a - b) oder (b - a)
Die Gegenzahl ist die auf dem
Zahlenstrahl an 0 gespiegelte
Zahl. Es ist die mit (-1)
multiplizierte Zahl.
Es ist (b - a) = (-1)•(a - b) = - (a - b)
Zahl und reziproke Zahl (Kehrwertzahl)
Kehrwert zu 5
Kehrwert zu ÅÅÅÅ13
Kehrwert zu ÅÅÅÅ27
Kehrwert zu x
Kehrwert zu ÅÅÅÅ1x
ÅÅÅÅ15
3
ÅÅÅÅ72
ÅÅÅÅ1x
x
1.2. Addition und Subtraktion
2 a) c + c + c + c
b) xyz +xyz + xyz
c) 7a + 9a + 15 a
d) 55 r + 48 r + 13 r
6a) 5(a + b) + 7(a + b)
5
+
12
+
b) 12(m + n) + m + n
7
=
12
=
13
Printed by Mathematica for Students
8a) x - (y + z)
b) a + (b - c)
2
d) 55 r + 48 r + 13 r
zusf_stuetzkurs.nb
6a) 5(a + b) + 7(a + b)
5
+
12
+
8a) x - (y + z)
7
=
12
=
13
b) a + (b - c)
9a) m + (p - m)
10a) 15a - (2a - b)
b) 12(m + n) + m + n
b) a - (b + c - d)
b) 27 x - (10y - 37)
c) 9x2 - (4x2 + y)
11) (-17x) + (-15y) + 28x + (-36y) + (-33x)
12) 29m - 18n - (-54n) - (-71m)
13) a + 2b - 5a + 6b + 7a - 12b
14a) a + b - (a - b)
15.
b) a + b - (12x + 6b) - (4x + 8b - 10x + 10b)
37a + [22b - (17c + 12b - 11a) + 25c] - [18a - (7b - 3c)]
Mehrfache Klammern von innen her auflösen.
Behalten Sie die Form der übrigen Klammern {[ ]} bei.
Gegeben eine Summe in einer Klammer, vor der ein Minuszeichen steht.
Löst man die Klammer auf, so ändern sich die Operationszeichen aller Glieder, die
vorher in der Klammer standen.
Beispiel: 15
- (x - 2y + 3z - 12) = 15 - x + 2y - 3z + 12 = 27 - x + 2y - 3z
Terme mit Zahlen und Buchstaben werden in der Regel alphabetisch geordnet,
und die Zahlen werden an den Anfang oder an den Schluss des Terms gebracht
(siehe Beispiel oben).
16. 15a - {6a - (3b + 5c - 2a) + [3c - (5a + 7b)]}
17. a - {[(b - 3ab) - (a + 3ab)] - (6a - 3b)}
Printed by Mathematica for Students
18a) a - {[(b + c) - d] + e}
b) 25a - [(14a - 9b + 3c) - (9a + 13b)]
3
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16. 15a - {6a - (3b + 5c - 2a) + [3c - (5a + 7b)]}
17. a - {[(b - 3ab) - (a + 3ab)] - (6a - 3b)}
18a) a - {[(b + c) - d] + e}
b) 25a - [(14a - 9b + 3c) - (9a + 13b)]
19a) 18a - [-(14a - 8b) + 3a - 4b]
b) (x - y) + {z + [2z - 3y) + p] - y}
Lösungen:
2a) 4c
b) 3xyz
c) 31a
d) 116r
6a) 12(a + b) b) 13(m + n)
8a) x - y - z
b) a + b - c
9a) m + p - m
b) a - b - c + d
10a) 13a + b b) 27x - 10y + 37
c) 5x2 - y
11) -22x - 51y
12) 100m + 36n
13) 3a - 4b
14a) 2b
b) a - 23b - 6x
15) 30a + 17b + 5c
16) 12a + 10b + 2c
17) 8a - 4b + 6ab
18a) a - b - c + d - e b) 20a + 22b - 3c
19a) 29a - 4b
b) x - 5y + 3z + p
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4
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5
1.3. Multiplikation
a+a+a+a=
4•a = 4a.
(4 = Koeffizient, a = Variable)
4a • 5b =
20 ab.
Man darf vertauschen und die
Koeffizienten miteinander
multiplizieren.
3ax2 •7x =
21ax3
Vorzeichenregeln:
4a•3b =
(-5a)•(4c) =
7a • (-2x) =
(-3p)•(-2q) =
12ab
-20ac
-14ax
6 pq
Distributivgesetz:
a (b + c) =
ab + ac ("ausmultiplizieren")
umgekehrt: ab + ac =
a (b + c) ("ausklammern")
n (a + b - c) =
na + nb - nc
umgekehrt: na + nb - nc =
n (a + b - c)
(+•+ = +)
(- • + = -)
(+ • - = -)
(- • - = +)
ausklammern und ausmultiplizieren von rechts:
(b + c) a =
ba + ca oder ab + ac
Punktrechnung vor Strichrechnung: Multiplizieren vor Addieren
3+4•5=
23
3•5+2•4=
23
Multiplikation von Klammersummen:
(a + b)(c + d) =
ac + ad + bc + bd
(a + b)(c - d) =
ac - ad + bc - bd
(a - b)(c + d) =
(a - b)(c - d) =
Printed by Mathematica for Students
ac + ad - bc - bd
ac - ad - bc + bd
Multiplikation von Klammersummen:
(a + b)(c + d) =
ac + ad + bc + bd
(a + b)(c - d) =
ac - ad + bc - bd
(a - b)(c + d) =
ac + ad - bc - bd
(a - b)(c - d) =
ac - ad - bc + bd
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Ausklammern gemeinsamer Koeffizienten:
12x - 6x2 + 4ax - 2bx -2x =
2x (6 - 3x + 2a - b - 1)
(-1) ausklammern:
-3x2 + 7x - 3
b 2 - a2
-2x - 7y
- (3x2 - 7x + 3)
- (a2 - b2 )
- (2x + 7y)
Ausklammern von Klammern:
(a + b) c
+
(a + b) d
c +
=
d
(a + b) (c + d)
=
(c + d)
Klammern Sie gemeinsame Klammern aus. Manchmal müssen Sie zuerst eine zweite
Klammer selber setzen.
a) (a + b)x - (a + b)y =
b) a(x+1)+b(x+1)=
c) (4a - 2b) (x + y) - (3a + 4b) (x + y) =
d) x (3a + 4b) + 3a + 4b =
e) x + y + ax + ay =
f) 3a (x - 2) - x + 2 =
g) 2ax + 2ay + 3bx + 3by =
(Hier entsteht die gemeinsame Klammer erst nach einem Zwischenschritt!)
Kommentar zu den Aufgaben a) bis h):
Printed by Mathematica for Students
a), b) Klammer ausklammern
c)
Klammer ausklammern. Die zweite Klammer [...] enthält in sich weitere Klammern,
die zuerst aufzulösen sind.
d)
Die zweite Klammer ist zuerst herzustellen. Achtung: Neutralelement 1 beachten!
6
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7
Kommentar zu den Aufgaben a) bis h):
a), b) Klammer ausklammern
c)
Klammer ausklammern. Die zweite Klammer [...] enthält in sich weitere Klammern,
die zuerst aufzulösen sind.
d)
Die zweite Klammer ist zuerst herzustellen. Achtung: Neutralelement 1 beachten!
e)
Vorne: Klammer herstellen; hinten: a ausklammern. Erst jetzt Klammer ausklammern.
Neutralelement 1 beachten!
f)
Hintere Klammer herstellen -> Wechsel des Operationszeichens!
Dann Klammer ausklammern.
g)
Vordere zwei Summanden: a ausklammern, hintere zwei Summanden:b ausklammern.
Jetzt die gemeinsam entstandene Klammer ausklammern
Lösungen:
a) (a + b)(x - y)
d) (3a + 4b)(x + 1)
g) (x + y)(2a + 3b)
b) (x + 1)(a + b)
e) (x + y)(1 + a)
c) (x + y)(a - 6b)
f) (x - z)(3a - 1)
1.5. Brüche und Division
Das Vorzeichen beim Dividieren:
ÅÅÅÅab =
+ ÅÅÅÅab
-a
ÅÅÅÅ
bÅÅÅ =
- ÅÅÅÅab
a
ÅÅÅÅ
ÅÅÅ =
-b
- ÅÅÅÅab
-a
ÅÅÅÅ
ÅÅÅ =
-b
+ ÅÅÅÅab
Weitere Beziehungen:
ÅÅÅÅaa =
1
-a
ÅÅÅÅ
ÅÅÅ =
-a
1
-a
ÅÅÅÅ
ÅÅÅ =
a
-1
a
ÅÅÅÅ
ÅÅÅ =
-a
-1
Printed by Mathematica for Students
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8
a-b
ÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ =
b-a
a- b
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = -1
-Ha - bL
Zahl
(Eine wichtige Beziehung: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = -1)
Gegenzahl
3 a H2 b + c - 6 dL
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3a
6 ab + 3 ac - 18 ad
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =
3a
= 2b + c - 6d
Achtung: Summanden dürfen nicht einzeln gekürzt werden!
nx
nx
x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
nx + an - bn
nHx + a - bL
x+a-b
Das Kürzen erfolgt über vorgängiges Ausklammern!
-
-ÅÅÅÅÅa = ÅÅÅÅaÅÅÅÅÅ (Das Vorzeichen kann vor dem Bruch, im Zähler
Beachten Sie: ÅÅÅÅab = ÅÅÅÅ
b
-b
oder im Nenner sein.)
Übungen:
-a
f) ÅÅÅÅ
ÅÅÅ
-a
a) ÅÅÅÅ0a
2.
-20 xy
a) -180a : 3c b) -25b : -5x c) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅ
-4 ab
-36 abc
-24
f) - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g) - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
-8 xz
-6
3.
x- y
a) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
y-x
4.
(8ac - 4adx - 2a) : 2a
5.
(-42abx + 28ab2 x - 56a2 bx) : (-14abx)
6.
18 ab
21 ab
12 ab
( ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ) : 3ab
3y
2y
y
7.
15 ab
25 ab
5 ab
(- ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ) : (-5ab)
8x
12 x
16 x
8.
18ax : (9ac - 36ad + 18ax)
9.
Ausklammern und kürzen:
Printed by Mathematica for Students
(70ac - 90bc) : (14a - 18b)
10.
0
b) ÅÅÅÅ
ÅÅÅ c) ÅÅÅÅa1
-a
-a
d) ÅÅÅÅ
ÅÅÅ e) ÅÅÅÅaa
1
1.
2
a -1
b-a
b) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ c) - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
1 - a2
a-b
y-x
d) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
-Hx - yL
(30ax - 12ay - 40bx + 16by) : (10x - 4y)
g) ÅÅÅÅa0
-3 a
d) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ
5a
-9 ab
e) - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
3 xy
- H1 - x L
e) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
x2 - 1
2
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9
8.
18ax : (9ac - 36ad + 18ax)
9.
Ausklammern und kürzen:
(70ac - 90bc) : (14a - 18b)
10.
(30ax - 12ay - 40bx + 16by) : (10x - 4y)
11.
30 ax + 24 bx - 35 ay - 28 by
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
5a+4b
Lösungen:
1a) 0 b) 0
c) a
-60 a
2a) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
cÅÅÅÅÅ
5 xy
5b
3 ab
9 abc
b) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ d) - ÅÅÅÅ35 e) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ f) - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
xÅÅÅÅ c) ÅÅÅÅab
xy
2 xzÅÅÅÅ
3a) -1 b) -1
c) 1
4) 4c - 2dx - 1
1
7) ÅÅÅÅ
48ÅÅÅÅxÅÅ
d) -a
d) 1
e) 1
f) 1
g) -4
e) 1
3
6) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
2y
5) 3 - 2b + 4a
2x
8) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ2ÅÅÅÅxÅÅ
c-4d +
g) unbestimmt, nicht erlaubt
9) 5c
10) (30ax - 12ay - 40bx + 16by) : (10x - 4y) = (30ax - 40bx - 12ay + 16by) : (10x - 4y) =
10x (3a - 4b) - 4y (3a - 4b) : (10x - 4y) = (10x - 4y)(3a - 4b) : (10x - 4y) = 3a - 4b
11)
H6 x - 7 yL H5 a + 4 bL
5a+4b
30 ax + 24 bx - 35 ay - 28 by
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
5a+4b
6 xH5 a + 4 bL - 7 yH5 a + 4 bL
5a+4b
= 6x - 7y.
Methoden der Umwandlung von Brüchen in Dezimalbrüche:
Methode 1:
Dividieren: ÅÅÅÅ34 = 3 : 4 = 0.75
Methode 2:
875
Erweitern auf einen Dezimalnenner: ÅÅÅÅ78 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ = 0.875;
1000
2
4
ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = 0.04
50
100
7.
Verwandeln Sie in einen Bruch: 0.125 0.75 2.25
3.04
7.28
1.8
Methode der Umwandlung von Dezimalbrüchen in gewöhnliche Brüche:
125
0.125 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ = (kürzen) ÅÅÅÅ18 ;
1000
25
2.25 = 2 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = 2 ÅÅÅÅ14 ;
100
Printed by Mathematica for Students
8
1.8 = 1 ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1 ÅÅÅÅ45
10
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8.
10
Kürzen Sie:
3 abc
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
3 bc
60 x y2 zq
ab + ac
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
4 ax
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
72 xyz
ac - ad + bc - bd
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ac + ad + bc + bd
(Faktorzerlegung Zähler und Nenner)
Summanden können nicht einzeln gekürzt werden. Zähler und Nenner müssen in
Faktoren zerlegt werden. Gleiche Faktoren können gekürzt werden.
Erweitern heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. Der
Wert des Bruches bleibt unverändert.
Kürzen heisst, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren. Der Wert des
Bruches bleibt unverändert.
10.
Erweitern Sie folgende Brüche, so dass ganzzahlige Zähler und Nenner
entstehen:
Beispiele:
ÅÅÅÅ13
ÅÅÅÅÅ
Å
5
=
2.5
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
7
ÅÅÅÅ13 • 3
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ
5• 3
3.25
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ
4.5
ÅÅÅÅ1
ÅÅÅÅ43 Å
1
2.7
2.7 • 10
27
= ÅÅÅÅÅÅ
; ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ
15
8
8 • 10
80
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ
0.25
11.
a) ÅÅÅÅ27 + ÅÅÅÅ23
b) ÅÅÅÅ78 - ÅÅÅÅ15
12,
a) ÅÅÅÅ79 • ÅÅÅÅ25
b) 1 ÅÅÅÅ23 •2 ÅÅÅÅ35
c) ÅÅÅÅ14 + 0.75
d) 0.8 - ÅÅÅÅ12
Multiplikation von Brüchen:
Grundregel: Zähler mal Zähler; Nenner mal Nenner
13.
4
ÅÅÅÅ89 : ÅÅÅÅ
ÅÅ
27
Division Bruch durch Bruch:
d
ad
Bruch1 : Bruch2 = Bruch1 mal Kehrwert Bruch 2. ÅÅÅÅab : ÅÅÅÅdcÅ = ÅÅÅÅab • ÅÅÅÅ
Å = ÅÅÅÅ
ÅÅ
c
bc
14.
a) 3• ÅÅÅÅ27
b) ÅÅÅÅ78 • 6
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zusf_stuetzkurs.nb
11
Bruch mal ganze Zahl:
42
21
Die ganze Zahl wird in den Zähler hinaufmultipliziert: ÅÅÅÅ78 •6 = ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ = 5 ÅÅÅÅ14
8
4
15.
a) ÅÅÅÅ14 : 5
b) ÅÅÅÅ23 : 7
c) 3 ÅÅÅÅ34 : 6
Bruch durch ganze Zahl:
15
Der Divisor (die ganze Zahl) wird in den Nenner multipliziert: 3 ÅÅÅÅ34 : 6 = ÅÅÅÅ
ÅÅ : 6 =
4
15
5
ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅ8
24
16.
a) 5 : ÅÅÅÅ37
b) 2 : ÅÅÅÅ13
Ganze Zahl durch Bruch:
Ganze Zahl durch Bruch = Ganze Zahl mal Kehrwert des Bruches: 2 : ÅÅÅÅ13 = 2 • ÅÅÅÅ31
= 2•3 = 6.
Lösungen:
20
1) >1 sind ÅÅÅÅ76 ; ÅÅÅÅ
ÅÅ ; ÅÅÅÅ32
4
2) 1 ÅÅÅÅ27 = 1 + ÅÅÅÅ27
19
83
3) ÅÅÅÅ
ÅÅ ; ÅÅÅÅ
ÅÅ ; ÅÅÅÅ83
5
10
4) 3 ÅÅÅÅ14 ; 8 ÅÅÅÅ13 ; 2 ÅÅÅÅ12
21
54
56
5) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ; ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ; ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
126
126
126
6) 0.75; 0.4; 0.875; 0.1; 0.003; 1.25; 2.04
1
7
4
7) ÅÅÅÅ18 ; ÅÅÅÅ34 ; 2 ÅÅÅÅ14 ; 3 ÅÅÅÅ
25ÅÅ ; 7 ÅÅÅÅ
25ÅÅ ; 1 ÅÅÅÅ
5
5 qy
b+c
c-d
8a) a; ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ ; ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ; ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
6
4x
c+d
8 abe
5
13
1
9) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ 10) ÅÅÅÅ
ÅÅ ; ÅÅÅÅ
ÅÅ ; ÅÅÅÅ
ÅÅ ; ÅÅÅÅ81 = 8
6 cde
14
18
12
20
11a) ÅÅÅÅ
ÅÅ
21
3
d) ÅÅÅÅ
ÅÅ
10
14a) ÅÅÅÅ67 b) 5 ÅÅÅÅ14
27
b) ÅÅÅÅ
ÅÅ
40
c) 1
1
2
15a) ÅÅÅÅ
ÅÅ b) ÅÅÅÅ
ÅÅ c) ÅÅÅÅ58
20
21
14
12a) ÅÅÅÅ
ÅÅ
45
b) 4 ÅÅÅÅ13
16a) 11 ÅÅÅÅ23
13) 6
b) 6
Printed by Mathematica for Students
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12
2.6. Selbsttest
1.
2.
Kürzen Sie:
H5 x - bL H2 a + cL
a) - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
-c - 2 a
5 x Ha + nL
b) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Ha + nL 15 bx
2 ab + 3 ay - 2 bx - 3 xy
c) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2 bc + 3 cy - 2 bx - 3 xy
4 xy + x
d) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
3x
2a+4b
e) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
6a-4b
20 a + 8 b - 12 c
f) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
-4
b-2
g) - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ
2-b
ax - a + 2 x - 2
h) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ax + a + 2 x + 2
Addieren oder subtrahieren Sie, indem Sie zuerst gleichnamig
machen, d.h. den Hauptnenner suchen:
16 ac + 12 ab
20 ac + 26 ab
b) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4
5
Achtung: Bruchstrich = Klammer!
7
a) ÅÅÅÅ
ÅÅ - ÅÅÅÅ56 + ÅÅÅÅ38
12
5a
3b
c) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ23
3a-9b
4 a - 12 b
3.
5a
3a
7a
d) ÅÅÅÅ
ÅÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
2x
8x
12 b
Multiplizieren Sie:
a) ÅÅÅÅ37 • ÅÅÅÅ52 •3
x+ y
2 Hx + yL
3 Ha - bL
a-b
b) ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ) ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ )
6 Hx + yL
2 Hx + yL
a-b
3 Ha - bL
by
a+c a-c
cx
c) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
•
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
•
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ • ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ
x
ac
a+c a-c
5a
5b
5c
6x
d) ( ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ ) ( ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ )
12 x
6x
4x
5 a - 10 b + 15 c
4.
Division:
a) ÅÅÅÅ27 : ÅÅÅÅ35
2 uv
3v
b) (- ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ) : ÅÅÅÅ
ÅÅ
3x
2x
a
x
c) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ : ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ
a+b
a+b
9
3
d) ÅÅÅÅ
ÅÅ : ÅÅÅÅ
ÅÅ
20
20
5 by + 5 cy
yH6 a + 2 bL
3 abHa + bL
5 abHb + cL
abH3 a + bL
3a+3b
e) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ : ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ : ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ : ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
5 xyHc - dL
5c-5d
4 dx
16 d
5 cx
10 c
Printed by Mathematica for Students
Beachten Sie: Punktrechnung kommt vor Strichrechnung!
4.
Division:
a) ÅÅÅÅ27 : ÅÅÅÅ35
2 uv
3v
b) (- ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ) : ÅÅÅÅ
ÅÅ
3x
2x
zusf_stuetzkurs.nb
a
x
c) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ : ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ
a+b
a+b
9
3
d) ÅÅÅÅ
ÅÅ : ÅÅÅÅ
ÅÅ
20
20
5 by + 5 cy
yH6 a + 2 bL
3 abHa + bL
5 abHb + cL
abH3 a + bL
3a+3b
e) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
:
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
:
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
:
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
5 xyHc - dL
5c-5d
4 dx
16 d
5 cx
10 c
Beachten Sie: Punktrechnung kommt vor Strichrechnung!
6a-2b
4c
f) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ : ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
3 x + 15
6 x + 30
5.
Vereinfachen Sie die Doppelbrüche:
ÅÅÅÅ5
ÅÅÅÅ2
ÅÅÅÅ2
ÅÅÅÅ3
ÅÅÅÅ7
a) ÅÅÅÅÅÅÅÅ82 Å
b) ÅÅÅÅÅÅÅÅ73 Å + ÅÅÅÅÅÅÅÅ35 Å
c) ÅÅÅÅÅÅÅÅ81 Å : ÅÅÅÅÅÅÅÅ95ÅÅÅÅÅÅ
7
8
6
6
11
ÅÅÅÅ1 + ÅÅÅÅ1
x
d) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅyÅÅ
ÅÅÅÅ1 - ÅÅÅÅ1
x
y
13.
Vereinfachen Sie, indem Sie gleichnamig machen:
2
5
7
7
a) ÅÅÅÅ3x + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ
b) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ5b
c) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
x-1
1-b
3- p
1- p
14.
Kürzen Sie:
100 • 100
a) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
25 • 8
Lösungen:
1a) 5x - b
x-1
h) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
x + Å1ÅÅÅ
1
a-x
b) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ c) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
3b
c-x
-11 ab
4 a + 11 b
2a) ÅÅÅÅ18 b) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ c) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
5
4 Ha - 3 bL
3
3a) 3 ÅÅÅÅ
14ÅÅ
by
b) - ÅÅÅÅ49 c) ÅÅÅÅ
aÅÅ
60 • 32 •21
b) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
20 • 8 • 7
4 y+1
a+2b
d) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ e) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ f) -5a - 2b + 3c g) 1
3
3a-2b
a H69 b - 14 xL
69 ab - 14 ax
d) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ oder ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
24 bx
24 bx
d) ÅÅÅÅ12
10
-4 u
4 ab
4a) ÅÅÅÅ
ÅÅ b) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ c) ÅÅÅÅax d) 3 e) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
21
9
xy
3a-b
f) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
c
y+x
3
59
135
5a) 2 ÅÅÅÅ
ÅÅ b) 1 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ c) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ d) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
16
105
308
y-x
3 Hx - 1L
2•x
5x-3
13a) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
x Hx - 1L
Hx-1L •x
x Hx - 1L
7 H1 - pL - 7 H3 - pL
-14
c) ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
H3 - pL H1 - pL
H3 - pL H1 - pL
14a) 50
5 H1 - bL
5 •b
5
b) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
H1-bL •b
bH1 -bL
bH1 - bL
b) 36
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zusf_stuetzkurs.nb
14
2. Die Binomischen Formeln
Die 1. Binomische Formel:
a
b
ab
b2
b
a2
ab
a
Ha + bL2 =
a2 + 2ab + b2
In Worten: Erster Summand im Quadrat plus 2 Mal erster Summand mal zweiter
Summand plus zweiter Summand im Quadrat.
Also Achtung: Beim Quadrieren einer Summe dürfen nicht einfach die Summanden
quadriert werden! Vielmehr entsteht beim Quadrieren von (a + b) neben den
Quadraten a2 und b2 noch der Zwischenterm 2ab.
Beispiel:
H3 uv + 4 wL2 = 9u2 v2 + 2•3uv•4w + 16w2 = 9u2 v2 + 24uvw + 16w2
Übungen:
Bestimmen Sie die Quadrate, indem Sie die 1.Binomische Formel anwenden.
a) H1 + xL2
e) Hz2 + 3 uvL
b) Hz + 7L2
c) H3 x + 2 yL2
d) H5 xy + 2 aL2
2
Umgekehrt: Schreiben Sie die Terme unten als Quadrat einer Summe:
a) a2 + 2a + 1
b) 9a2 + 6a + 1 c) x4 + 2x2 y2 + y4
d) 49x2 + 28x + 4
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15
Die 2. Binomische Formel:
Ha - bL2 =
a2 - 2ab + b2
In Worten: Erster Summand im Quadrat minus 2 Mal erster Summand mal zweiter
Summand plus zweiter Summand im Quadrat.
Übungen:
Bestimmen Sie die Quadrate, indem Sie die 2.Binomische Formel anwenden.
a) H1 - xL2
b) Hz - 7L2
e) Hz2 - 3 uvL
c) H3 x - 2 yL2
d) H5 xy - 2 aL2
2
Umgekehrt: Schreiben Sie die Terme unten als Quadrat einer Differenz:
a) 36a2 - 60ab + 25b2
b) 9 p2 - 6p + 1 c) 4 - 12z + 9z2
Die 3. Binomische Formel: Differenz zweier Quadrate
a2 - b2
(a + b) (a - b) =
und umgekehrt:
a2 - b2 =
(a + b) (a - b)
Die Differenz zweier Quadrate kann in zwei Faktoren zerlegt werden.
Übungen
Bestimmen Sie mit Hilfe der 3. Binomischen Formel:
a) (3 - 5p)(3 + 5p)
b) (2x + 7y)(2x - 7y)
d) (1 - r)(1 + r)
e) (ax + 2p)(ax - 2p)
c) (a2 - pq)(a2 + pq)
Umgekehrt: Zerlegen Sie die Differenz der folgenden Quadrate in zwei Faktoren:
a) 4c2 - 9d 2
b) 49 p2 - 1
c) 16c4 - 1
e) b2 - 361
f) 4a2 c2 - 25b2 d 2
h) x2 - 1
i) 1 - x2 j) x4 - 1k) x6 - y6
d) a2 b2 - c4
g) x4 - y4
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Umgekehrt: Zerlegen Sie die Differenz der folgenden Quadrate in zwei Faktoren:
zusf_stuetzkurs.nb
a) 4c2 - 9d 2
b) 49 p2 - 1
e) b2 - 361
f) 4a2 c2 - 25b2 d 2
h) x2 - 1
i) 1 - x2 j) x4 - 1k) x6 - y6
c) 16c4 - 1
16
d) a2 b2 - c4
g) x4 - y4
Merken Sie sich:
Die Differenz zweier Quadrate können Sie stets nach der 3. Binomischen
Formel in zwei Faktoren zerlegen.
Auch 1 ist eine Quadratzahl!
Gerade Potenzen (x4 , x6 , x8 , usw.) sind Quadrate (von x2 , x3 , x4 , usw.)
Zusammenfassung:
(
+
2
) =
(
-
2
) =
(
+
)(
-
2
2-
+2
+
2
+
)=
2 -
ausmultiplizieren
Faktorzerlegung
Übungen zu den Binomischen Formeln
1.
H5 x + 3 yL2
2.
H-5 x2 - 2 yL
2
3.
H2 + 3 kL2 H2 - 3 kL2
4.
(a - 9b)(a + 9b)
5.
Zerlegen Sie in Faktoren: 1 - 4 x2
6.
Ebenso: h4 - 16
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7.
Ebenso: w2 - 4wx + 4x2
2
2
2
4.
(a - 9b)(a + 9b)
zusf_stuetzkurs.nb
5.
Zerlegen Sie in Faktoren: 1 - 4 x2
6.
Ebenso: h4 - 16
7.
Ebenso: w2 - 4wx + 4x2
8.
Ebenso: 25r2 + 20 rs + 4s2
9.
Ebenso: 3a2 + 48 b2 - 24ab (Erster Schritt ist immer Ausklammern!)
10.
Ebenso: 7x2 - 42xy + 63y2 (Erster Schritt ist immer Ausklammern!)
11.
Ebenso: xy2 + 2xy + x (Erster Schritt ist immer Ausklammern!)
12.
Zerlegen Sie vollständig in Faktoren: a (x2 - y2 ) + b (x2 - y2 )
13.
Zerlegen Sie in Faktoren: x4 - y4
14.
Zerlegen Sie: -c4 - 2c3 d - c2 d 2 (Erster Schritt ist immer Ausklammern!)
15.
Zerlegen Sie: 36z + 81z2 + 4
16.
a -b
Kürzen Sie: ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3a+3b
17.
u + 2 uv + v
Kürzen Sie: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4u+4v
18.
n -n
Kürzen Sie: ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
n3 + n2
19.
2 ac - 5 bc
Kürzen Sie: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
4 a2 - 20 ab + 25 b2
20.
2-2 p
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4-4 p
21.
b -a
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2a-2b
22.
b -9
2b-6
Vereinfachen Sie: ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ : ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
b+3
b2
23.
Machen Sie gleichnamig und rechnen Sie dann weiter:
b
b
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
a-b
a+b
24.
Ebenso:
b
b
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
a-b
a+b
2
2
2
2
3
2
2
2
2
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17
23.
Machen Sie gleichnamig und rechnen Sie dann weiter:
b
+ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
a+b
24.
Ebenso:
b
b
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
a-b
a+b
zusf_stuetzkurs.nb
b
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
a-b
Lösungen:
1.
25x2 + 30xy + 9y2
2. 25x4 - 2•(-5x2 )2y + 4y2 = 25x4 + 20x2 y + 4y2
2
3.
@H2 + 3 kL H2 - 3 kLD2 = H4 - 9 k 2 L = 16 - 72k 2 + 81k 4
4.
a2 - 81b2
5. (1 - 2x)(1 + 2x)
6. (h2 -4)(h2 +4)
7.
Hw - 2 xL2
8. H5 er + 2 sL2
9.
3 (a2 + 16b2 - 8ab) = 3 (a2 - 8ab + 16b2 ) = 3 Ha - 4 bL2
10.
7 Hx - 3 yL2
11. x (y2 + 2y + 1) = x Hy + 1L2
12.
(x2 - y2 )(a + b) = (x - y)(x + y)(a + b)
13.
(x2 - y2 )(x2 + y2 ) = (x - y)(x + y)(x2 + y2 )
14.
-c2 (c2 + 2cd + d 2 ) = -c2 Hc + dL2
15.
81z2 + 36z + 4 = H9 z + 2L2
Ha - bL Ha + bL
Hu + vL2
a-b
u+v
16.
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
=
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
Å
17.
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ
3 Ha + bL
3
4 Hu + vL
4
18.
19.
21.
22.
23.
24.
n Hn - 1L
n Hn - 1L Hn + 1L
n Hn - 1L
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
n2 Hn + 1L
n2 Hn + 1L
n2
2
c H2 a - 5 bL
c
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ
2ÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
2
a
5b
H2 a - 5 bL
2 H1 - p L
2 H1 - pL H1 + pL
1+ p
20. ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
4 H1 - pL
4 H1 - pL
2
2
Hb - aL Hb + aL
Hb - aL Hb + aL
b+a
a+b
a+b
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
2 Ha - bL
-2 Hb - aL
-2
-2
2
Hb - 3L Hb + 3L
Hb - 3L b
b
b
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ • ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ
Hb + 3L
2 Hb - 3L
2 Hb - 3L
2
b Ha + bL
bHa - bL
ab + b2 + ab - b2
2 ab
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
2 -ÅÅÅÅ
a2 - b2
a2 - b2
a22 - b2
a
b2
b Ha + bL
bHa - bL
ab + b - H ab - b2 L
ab + b2 - ab + b2
2 b2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
a2 - b2
a2 - b2
a2 - b2
a2 - b2
a2 - b2
2
2
2
3. Faktorzerlegung
3.1. Ausklammern gemeinsamer Faktoren
a) am + bm - cm + xm = m (a + b - c + x)
b) 27u2 - 12u3 x + 21uv = 3u (9u - 4u2 x + 7v)
c) bx - b = b (x - 1). Vergessen Sie das Element 1 nicht!
d) -2a - 3ab + 4ac = a (-2 - 3b + 4c).
Das Ausklammern ist immer der erste Schritt bei der Faktorzerlegung.
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3.2. Ausklammern ganzer Klammern
e) a (x + 1)
a
+ b (x + 1)
+
= (a + b)• (x + 1)
b
=
(a + b)
f) (4a - 2b) (x + y) - (3a + 4b) (x + y) = (x + y) [(4a - 2b) - (3a + 4b)]
= (x + y) (4a - 2b - 3a - 4b) = (x + y) (a - 6b)
g) x (3a + 4b) + 3a + 4b = x (3a + 4b) + 1•(3a + 4b)
= (3a + 4b) (x + 1).
Wieder darf das Element 1 nicht vergessen werden!
h) x + y + ax + ay = 1 (x + y) + a (x + y) = (x + y)(1 + a)
i) 3a (x - 2) - x + 2.
Hier muss im hinteren Teil die Klammer zuerst gesetzt werden.
Dabei wechselt das Operationszeichen:
3a(x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(3a - 1).
Dieser Aufgabentyp kommt oft in Prüfungen vor!
3.3. Teilweise ausklammern
j) 2ax + 2ay + 3bx + 3by = 2a (x + y) + 3b (x + y).
Erst jetzt entsteht eine gemeinsame Klammer, die in einem zweiten
Schritt ausgeklammert werden kann:
(x + y) (2a + 3b)
k) Manchmal muss man die Summanden erst umordnen wie dieses Beispiel
zeigt. Zu allererst muss aber hier der gemeinsame Faktor 2 ausgeklammert
werden:
2ax - 2ay + 2bx - 2by - 2cx + 2cy = 2 (ax - ay + bx - by - cx + cy)
= 2 (ax + bx - cx -ay - by + cy) = 2 [x (a + b - c) - y (a + b - c)] =
2 (a + b - c) (x - y)
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20
3.4. Binomische Formeln anwenden
Vorgängig müssen aber gemeinsame Faktoren ausgeklammert werden!
Bei der folgenden Aufgabe muss z.B. zuerst ein gemeinsames x ausgeklammert
werden:
l) x3 - 36 x = x (x2 - 36) = x (x - 6) (x + 6)
Bei der folgenden Aufgabe wird zuerst ein gemeinsamer Faktor 2 ausgeklammert,
denn alle Koeffizienten sind gerade Zahlen:
m) 2 p2 - 20 pq + 50q2 = 2( p2 - 10 pq + 25q2 ) = 2 Hp - 5L2
3.5. Zweckmässiges Raten
Manchmal kann die binomische Formel nicht angewendet werden, da auch nach
eventuellem Ausklammern gemeinsamer Faktoren der hinterste Summand kein
Quadrat ist. Manchmal hilft dann "zweckmässiges Raten".
Beispiel 1: "Plus - Plus":
a2 + 8a + 15
Wir raten: (a + .....) (a + .....)
15 erhält man durch 1•15, 3•5, 5•3 oder 15•1. Der Koeffizient 8 entsteht nur bei der
Wahl 3•5 oder 5•3. Wir erhalten:
a2 + 8a + 15 = (a + 3) (a + 5).
Beispiel 2: "Minus - Plus":
x2 - 29x + 210
Rate-Ansatz: (x - .....) (x - .....). Warum wählen wir zwei Minuszeichen?
210 = 2•3•5•7. Der Koeffizient 29 entsteht bei der Wahl 210 = 14•15:
x2 - 29x + 210 = (x - 14) (x - 15)
Beispiel 3: "Plus - Minus":
a2 + 2a - 15
Rate-Ansatz: (a + .....) (a - .....). Warum?
15 = 3•5. Wo ist die 3, wo die 5 einzusetzen? Der mittlere Faktor 2 ist positiv, d.h. 5
steht in der "Plus-Klammer" und 3 in der "Minusklammer":
a2 + 2a - 15 = (a + 5) (a - 3)
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Beispiel 4: "Minus - Minus":
2
Beispiel 3: "Plus - Minus":
a2 + 2a - 15
21
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Rate-Ansatz: (a + .....) (a - .....). Warum?
15 = 3•5. Wo ist die 3, wo die 5 einzusetzen? Der mittlere Faktor 2 ist positiv, d.h. 5
steht in der "Plus-Klammer" und 3 in der "Minusklammer":
a2 + 2a - 15 = (a + 5) (a - 3)
Beispiel 4: "Minus - Minus":
a2 - 2a - 15
Rate-Ansatz: (a + .....) (a - .....). Warum?
15 = 3•5 führt ebenfalls zur Lösung, aber diesmal steht die 5 in der "MinusKlammer":
a2 - 2a - 15 = (a + 3) (a - 5)
3.6. Zusammenfassung Faktorzerlegung
1. Gemeinsame Faktoren ausklammern. Dies ist immer der erste Schritt!
Ev. auch (-1) ausklammern, z.B. bei "vertauschten Differenzen":
Hb - aL Hb + aL
H-1L Ha - bL Ha + bL
b2 - a2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = -(a + b)
a-b
a-b
a-b
2. Folgende Methoden ausprobieren:
2.1. Gemeinsame Klammern ausklammern. Dabei müssen einige
Klammern ev. zuerst gesetzt werden.
2.2. Teilweise ausklammern; dabei müssen ev. einige Summanden zuerst
vertauscht werden. Es entstehen dann gemeinsame Klammern, die
wiederum ausgeklammert werden können.
2.3. Binomische Formeln anwenden. Den Blick schulen auf:
Ê "vorne und hinten Quadrate"
Ê "Differenz von zwei Quadraten" (auch 1 ist ein Quadrat!)
2.4. Zweckmässiges Raten
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22
3.7. Uebungen zur Faktorzerlegung
1.
a) ab + ac
b) 8a + 8
c) z3 + z2
d) 13a2 - 13a
e) 5z - 5
f) x2 y2 - xy
g) a4 - a2
h) 2ab - 2b
2.
a) 14f - 21g + 28
3.
a) 16my - 24ny + 18y b) 9ax3 - 12a2 x2 - 15a3 x
4.
Klammern Sie (-1) aus:
a) -x -1
b) -mx + n
5.
b) 12x - 8y - 4
c) -a + b -1
d) -(a + b) - (c - d)
a) a (x + y) + b (x + y)b) a (a - b) + b(a - b)
c) 2a (a - b) - c(a - b)
d) 4m (m - n) - 3n (m - n)
e) 2x (2a - 1) - (2a - 1) f) 5b (3a - 1) - (3a - 1)
6.
g) f + g - a(f + g)
h) 7m (a - b) - 3n (a - b) - (a - b) + 3n (a - b)
i) 4a (x + y) + x + y
j) 5a (2a - b) + 2a - b
k) 7(4a - 3) - 4a + 3
(a + c)(c + d) + (2a + 3b)(c + d)
a) (3a - c)(4m + 5n) - (2a + c)(4m + 5n)
b) 4x2 (3a + 5c) + x3 (3a + 5c)
7.
a) 12bx - 16b + 27 x - 36
b) 52c + 39d - 56bc - 42bd
8.
a) 20ab + 4b - 5a - 1
9.
a) 51a2 - 34a - 135ac + 90c
10.
a) 15mp - 5mq + 10mr - 3p + q - 2r
11.
a) 36a2 - 60ab + 25b2 b) 49 p2 - 1
b) a4 - 2a3 c - a3 b + 2a2 bc
b) 25xy3 -50y3 z-15x2 y2 +30xy2 z
c) 4c2 - 9d 2
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9.
a) 51a2 - 34a - 135ac + 90c
10.
a) 15mp - 5mq + 10mr - 3p + q - 2r
11.
a) 36a2 - 60ab + 25b2 b) 49 p2 - 1
12.
a) 6a2 - 6
13.
a) 2x2 - 4x + 2
b) ab2 + 2ab + a
d) -a2 - 2ab - b2
e) -3a2 + 18ab - 27b2
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14.
b) a3 - a
b) 25xy3 -50y3 z-15x2 y2 +30xy2 z
c) 4c2 - 9d 2
c) 9x3 - 36x
Zweckmässiges Raten:
a) m2 + 23 m + 102 b) a2 + 2a - 24
d) a2 c - c
c) -x2 + 4x - 4
c) c2 - 9c + 20
d) r2 - 15r + 54e) m2 + 19m + 90
15.
a)* 255 + 32a + a2
b) c2 + 6c - 7
16.
a) a2 - 2ab + b2 - c2
b) 625a3 - 225ab2
17)
a2 - a + 2b - 4b2
Lösungen:
1a) a(b + c)
e) 5(z - 1)
b) 8(a + 1)
f) xy (xy - 1)
2a) 7 (2f - 3g + 4)
c) z2 (z + 1)
d) 13a(a - 1)
2
g) a (a-1)(a+1)h) 2b (a - 1)
b) 4 (3x - 2y - 1)
3a) 2y (8m - 12n + 9)
b) 3ax (3x2 - 4ax - 5a2 )
4a) -(x+1)
c) -(a - b + 1)
b) -(mx - n)
d) -a-b-c+d = -(a+b+c-d)
5a) (x + y)(a + b)
b) (a - b)(a + b)
c) (a - b)(2a - c)
d) (m - n)(4m - 3n)
e) (2a - 1)(2x - 1)
f) (3a - 1)(5b - 1)
g) (f + g)(1 - a)
h) (a - b)(7m - 3n - 1 + 3n) = (a - b)(7m - 1)
i) (x + y)(4a + 1)
j) (2a - b)(5a + 1)
k) (4a - 3)(7 - 1) = 6 (4a - 3)
l) (c + d) (a + c + 2a + 3b) = (c + d)(3a + 3b + c)
6a) (4m + 5n)[(3a - c) - (2a + c)] = (4m + 5n)(3a - c - 2a - c) = (4m+3n)(a - 2c)
b) (3a + 5c)(4x2 + x3 ) = (3a + 5c) •x2 • (4 + x)
7a) 3x (4b + 9) - 4(4b + 9) = (4b + 9)(3x - 4)
b) 4c (13 - 14b) + 3d (13 - 14b) = (13 - 14b)(4c + 3d)
8a) 4b (5a + 1) - (5a + 1) = (5a + 1) (4b - 1)
b) a2 (a2 - 2ac - ab + 2bc) = a2 [a(a - b) - 2c(a - b)] = a2 (a - b)(a - 2c)
9a) 17a (3a - 2) - 45c (3a - 2) = (3a - 2)(17a -Printed
45c) by Mathematica for Students
3
2
b) 25y (x - 2z) - 15xy (x - 2z) = (x - 2z) (25y3 - 15xy2 ) = (x - 2z)•5y2 •(5y - 3x)
10a) 5m (3p - q + 2r) - (3p - q + 2r) = (3p - q + 2r)(5m - 1)
23
7a) 3x (4b + 9) - 4(4b + 9) = (4b + 9)(3x - 4)
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b) 4c (13 - 14b) + 3d (13 - 14b) = (13 - 14b)(4c + 3d)
8a) 4b (5a + 1) - (5a + 1) = (5a + 1) (4b - 1)
b) a2 (a2 - 2ac - ab + 2bc) = a2 [a(a - b) - 2c(a - b)] = a2 (a - b)(a - 2c)
9a) 17a (3a - 2) - 45c (3a - 2) = (3a - 2)(17a - 45c)
b) 25y3 (x - 2z) - 15xy2 (x - 2z) = (x - 2z) (25y3 - 15xy2 ) = (x - 2z)•5y2 •(5y - 3x)
10a) 5m (3p - q + 2r) - (3p - q + 2r) = (3p - q + 2r)(5m - 1)
11a) H6 a - 5 bL2
12a) 6(a - 1)(a + 1)
d) c (a - 1)(a + 1)
b) (7p - 1)(7p + 1)
c) (2c - 3d)(2c + 3d)
b) a(a - 1)(a + 1)
c) 9x (x - 2)(x + 2)
13a) 2 Hx - 1L2
b) a Hb + 1L2
d) -(a2 + 2ab + b2 ) = -Ha + bL2
c) -(x2 - 4x + 4) = -Hx - 2L2
e) -3(a2 - 6ab + 9b2 ) = -3Ha - 3 bL2
14a) m2 + 23m + 102 = (m + 6)(m + 17)
b) a2 + 2a - 24 = (a + 6)(a - 4)
c) (c - 4)(c - 5)
d) (r - 6)(r - 9) e) (m + 10)(m + 9)
15a) (a2 + 32 a + 256) - 1 = Ha + 16L2 - 1 = (a + 16 - 1)(a + 16 + 1) =
(a +15)(a + 17)
b) (c + 7)(c - 1)
16a) Ha - bL2 - c2 = [(a - b) - c] [(a - b) + c] = (a - b - c)(a - b + c)
b) 25a (25a2 - 9b2 ) = 25a (5a - 3b)(5a + 3b)
17) a2 - 4 b2 - a + 2b = (a - 2b)(a + 2b) - (a - 2b) = (a - 2b)(a + 2b - 1)
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24
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25
4. Gleichungen und Ungleichungen
5.1. Selbstevaluation
Lösen Sie die folgenden Aufgaben. Was geht gut? Wo entstehen Probleme?
1. Das Doppelte einer Zahl ist ÅÅÅÅ47 . Wie heisst die Zahl?
2. Das Dreifache einer Zahl ist ÅÅÅÅ75 . Wie heisst die Zahl?
3. Bestimmen Sie x:
a) ÅÅÅÅ3x • ÅÅÅÅ25 = 6
49
b) ÅÅÅÅ5x • ÅÅÅÅ76 = ÅÅÅÅ
ÅÅ
2
10
c) ÅÅÅÅ5x • ÅÅÅÅ23 = ÅÅÅÅ
ÅÅ
21
4. Welche Zahl muss zu den folgenden Zahlen addiert werden, um 2 zu erhalten?
Formulieren Sie die Gleichungen.
13
4
a) ÅÅÅÅ34
b) ÅÅÅÅ87
c) ÅÅÅÅ
ÅÅ
d) ÅÅÅÅ
ÅÅ
9
11
5. Berechnen Sie x:
5
a) x + ÅÅÅÅ13 = ÅÅÅÅ
ÅÅ
12
6. Lösen in in  = :
a) x + 5 = 8
d) x + 2x = x
g) 12 - 7x = -23
j) 3.6x = 15 + x
m) -4x > 20
7
b) x + 3 ÅÅÅÅ58 = 7 ÅÅÅÅ
ÅÅ
12
b) 8 - x = x
e) x + 13 > 0.
h) -4x = 5 + x
k) 3x ≥ -x
c) x - 4 • ÅÅÅÅ34 = ÅÅÅÅ78
c) 8 + x = x
f) 2x ≤ x
i) 4x > 20
l) 9 - x > -0.5x + 1
7. a) 19x - 32 + 17x = 18x - 30 + 16x - 4
b) 56x - 43 - 53 - 29x = 7 - 72x - 56x + 165x - 112
8. a) ÅÅÅÅ12 (5x - 3) ≥ ÅÅÅÅ54 (2x + 1)
3 H2 X - 7L
7x+1
c) 4 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ ≤ 1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
5
8
15 x
11 x
9. a) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - 25 = 0
16
12
2x+1
2x-1
c) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ54 = 0
3
4
e)
6 x - 1.5
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
12
+
1-4x
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
8
4x-3
9x-5
b) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - 2 ≥ 1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ + 4
2
5
2 x + 19
x+5
d) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - 3 ≤ 1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ
3
7
x+3
2x-8
b) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
5
3
x-5
x
d) 2x - 3 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ
17
51
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= 0.
3 H2 X - 7L
7x+1
c) 4 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ ≤ 1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
5
8
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15 x
11 x
9. a) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
16
12
- 25 = 0
2x+1
2x-1
c) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ54 = 0
3
4
2 x + 19
x+5
d) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - 3 ≤ 1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ
3
7
x+3
2x-8
b) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
5
3
x-5
x
d) 2x - 3 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ
17
51
6 x - 1.5
1-4x
e) ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = 0.
12
8
10a) 52 + 7x - [8(x + 3) - 3(12 - x)] - 11(5 - 3x) = 9(1 - x) + 10x
b) (x + 1)(x + 7) = (x + 2)(x + 3)
c) (x + 2)(x - 3) - 3(2x - 3) = Hx - 6L2 + 2
11. Lösen Sie die folgenden Gleichungen mit Parametern nach x auf:
a) x + a = 7 - a
b) a(x + 2) = 7
c) cx - d = 7d
d) px + r = r
e) ax + bx = c
f) qx = 1 - px
2
g) fx = f + f
h) mx - nx = 2m - 2n i) Hx - bL2 = Hx - aL2
Lösungen und Hinweise:
4
1. 2x = ÅÅÅÅ47 |•7 ó 14x = 4 |:14 ó x = ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅ27
14
7
2. 3x = ÅÅÅÅ75 |•5 ó 15x = 7 |:15 ó x = ÅÅÅÅ
ÅÅ
15
2x
7x
49
x
3a) ÅÅÅÅ15ÅÅÅ = 6 ó 2x = 90 ó x = 45 b) ÅÅÅÅ30ÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ |:7 ó ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅ72 ó x = 105
2
30
10
10
1
1
c) ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ |:10 ó ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ |•21x ó 7 = x
3x
21
3x
21
4a) x + ÅÅÅÅ34 = ÅÅÅÅ84 ó 4x + 3 = 8 ó 4x = 5 ó x = ÅÅÅÅ54
14
b) x + ÅÅÅÅ87 = ÅÅÅÅ
ÅÅ ó 7x + 8 = 14 ó 7x = 6 ó x = ÅÅÅÅ67
7
13
18
c) x + ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ ó 9x + 13 = 18 ó 9x = 5 ó x = ÅÅÅÅ59
9
9
4
22
18
d) x + ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ ó 11x + 4 = 22 ó 11x = 18 ó x = ÅÅÅÅ
ÅÅ
11
11
11
1
5
1
5a) x + ÅÅÅÅ3 = ÅÅÅÅ
ÅÅ |•12 ó 12x + 4 = 5 ó 12x = 1 ó x = ÅÅÅÅ
ÅÅ
12
12
29
91
95
b) x + ÅÅÅÅ8ÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ |•24 ó 24x + 87 = 182 ó 24x = 95 ó x = ÅÅÅÅ
ÅÅ
12
24
31
c) x - 3 = ÅÅÅÅ78 |•8 ó 8x - 24 = 7 ó 8x = 31 ó x = ÅÅÅÅ
ÅÅ
8
6a) 3 b) 8 = 2x ó x = 4
c) unlösbar,  = {}
d) 3x = x |-x (Achtung: Division durch x bringt keine Lösung!)
ó 2x = 0 ó x = 0.
e)  = {x œ ; x > -13}
f) 2x ≤ x | -x (keine Division durch x!) ó x ≤ 0.  = {x œ ; x ≤ 0}
g) 7x = 35 ó x = 5
h) -5 = 5x ó x = -1
150
75
i)  = {x œ ; x > 5} j) 2.6x = 15 |•10 26x = 150 |:26 ó x = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ
26
13
k) 4x ≥ 0 ó x ≥ 0;  = {x œ ; x ≥ 0}
l) 9 - x > -0.5x + 1ó9 > 0.5x + 1ó8 > 0.5x |•2ó16 > x,  = {x œ ; x <16}
m) -4x > 20 |: 4 ó -x > 5 |•(-1) ó x
<
5.  = {x œ ; x <5}
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26
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27
Achtung: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder
durch eine negative Zahl dividiert, so ändert das Relationszeichen: "<" ö
">".
4.2. Theorie
‡ Die Gleichungs-Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn Sie auf beiden Seiten die
gleiche Veränderung vornehmen.
‡ Wird eine Ungleichung beidseits mit einer negativen Zahl multipliziert
oder wird sie beidseits durch eine negative Zahl dividiert, so ändert das >bzw. das <-Zeichen:
21
<
-7x
| • (- ÅÅÅÅ17 )
-3
>
x
‡ Vorgehen bei Bestimmungsgleichungen
3 x + 24 a
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - 6b = 3(a - 2b)
Brüche weg: beidseits • 4
4
Wegfallende Bruchstriche müssen ev.
durch Klammern ersetzt werden,
da Bruchstriche auch Klammern sind.
3x + 24a - 24b = 12(a - 2b)
Klammern auflösen
3x + 24a - 24b = 12a - 24b
Alle Glieder mit der Unbekannten (x)
auf eine Seite bringen; wenn nötig
x ausklammern
3x = 12 a - 24 b - 24a + 24 b
gleichartige Glieder miteinander
verrechnen
3x = -12a
x allein stellen (Division)
x = -4a
Ev. Kontrolle, indem die Lösung
in die ursprüngliche Gleichung
eingesetzt wird.
‡ Noch ein Beispiel:
ax + 5 = 6ax + 5x
Printed by Mathematica for Students
Terme mit x auf eine Seite
x = -4a
zusf_stuetzkurs.nb
Ev. Kontrolle, indem die Lösung
in die ursprüngliche Gleichung
eingesetzt wird.
‡ Noch ein Beispiel:
ax + 5 = 6ax + 5x
5 = 6ax - ax + 5x
5 = 5ax + 5x
Terme mit x auf eine Seite
Jetzt 5x ausklammern!
5 = 5x (a + 1)
1 = x (a + 1)
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = x
a+1
|:5
| : (a + 1)
‡ Notieren Sie das Gleichheitszeichen immer auf der Höhe des Hauptbruchstrichs.
4.3. Selbsttest
1.
x - ax = 3 (x ausklammern)
2.
xp + 7 = 3ax - 5 (alle Ausdrücke mit x auf eine Seite bringen und dann
x ausklammern)
3.
(x - 1)• p = 2x - 5 (ausmultiplizieren, sortieren, x ausklammern)
4.
3x - (2x + 15) = 11 - [(23x - 11) + (7x - 9) - (18x + 19)]
5.
2x-3
8 x - 11
3 - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4
12
(Vorsicht nach Gleichnamigmachen: Bruchstrich = Klammer!)
Vergessen Sie nicht, auch die Zahl 3 auf den Nenner 12 zu bringen:
36
3 = ÄÄÄÄ
ÄÄ .
12
6.
c Hc + aL
2 a Hx - cL
cx
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = x + ÅÅÅÅ
ÅÅ
a
c
a
7.
2x
2
2x -6
8
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ
1-x
x-1
1 - x2
x+1
2
Lernen Sie aus dieser Aufgabe den Umgang mit "fast ähnlichen"
Ausdrücken: (x - 1) und (1 - x).
2
8.
14 - 3 x
x -6x+2
5x
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ76 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
4+2x
4 - x2
6-3x
9.
cx - dx = c2 - 2cd + d 2
5
3
Printed by Mathematica for Students
28
1-x
x-1
1-x
x+1
Lernen Sie aus dieser Aufgabe den Umgang mit "fast ähnlichen"
Ausdrücken: (x - 1) und (1 - x).
zusf_stuetzkurs.nb
2
8.
14 - 3 x
x -6x+2
5x
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ76 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
4+2x
4 - x2
6-3x
9.
cx - dx = c2 - 2cd + d 2
10.
5
3
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0
x2 - 9
x2 - 6 x + 9
11.
4
x-3
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
10 x - 5
6 x2 + x - 2
12.
2
2
x-3
ÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄ = ÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄÄÄ .  = ?  = ?
x-2
x+2
4 - x2
13.
x+1
x-5
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ .  = ?  = ?
x-3
x
14.
2x
x
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = 1.  = ?  = ?
x+3
x-1
15.
3
1
3 x+ 9
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ .  = ?  = ?
x-2
x+2
x2 - 4
16.
5 Hx-6L
32
x+10
8
ÅÅÅÅ
ÅÅ • ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ • ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ .
20
8
10
4
17.
2
1
5
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ .  = ?  = ?
3x-4
20
6x-8
18.
9
1
6
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = 2 ÅÅÅÅ
ÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ .  = ?  = ?
4x-6
10
2x-3
19.
5 H1 - 3 xL
2x+1
2x-3
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ .  = ?  = ?
x+5
x-5
x2 - 25
20.
1
1
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ .  = ?  = ?
xHx - 4L
xHx + 4L
x2 - 16
21.
Zwei Zahlen unterscheiden sich um 4. Das Fünffache der kleineren Zahl ist
um 2 grösser als das Dreifache der grösseren Zahl.
Wie heissen die beiden Zahlen?
22.
Welche Zahl muss man von 84 subtrahieren, um das Doppelte der Zahl zu
erhalten?
23.
Von welcher Zahl ist das Siebenfache um 32 grösser als das Fünffache?
24.
Addiert man 3 zum Vierfachen einer Zahl und multipliziert diese Summe
mit 4, so erhält man das Zwanzigfache der Zahl.
25.
Vier aufeinanderfolgende natürliche Zahlen ergeben die Summe 62.
Wie heissen sie?
Printed by Mathematica for Students
26.
Zwei Zahlen unterscheiden sich um 6. Das Vierfache der kleineren Zahl ist
29
24.
Addiert man 3 zum Vierfachen einer Zahl und multipliziert diese Summe
mit 4, so erhält man das Zwanzigfache der Zahl.
25.
Vier aufeinanderfolgende natürliche Zahlen ergeben die Summe 62.
Wie heissen sie?
26.
Zwei Zahlen unterscheiden sich um 6. Das Vierfache der kleineren Zahl ist
um 5 kleiner als das Dreifache der grösseren Zahl. Wie heissen die Zahlen?
27.
Von welcher Zahl ist das Dreifache um 10 grösser als die Hälfte der Zahl?
28.
Zum Zähler und Nenner des Bruches ÅÅÅÅ79 soll die gleiche Zahl addiert werden.
Der neue Bruch erhält dann den Wert ÅÅÅÅ56 . Welche Zahl wurde addiert?
29.
Der Zähler eines Bruches ist um 2 kleiner als der Nenner. Vergrössert man
den Zähler und den Nenner je um 1, so entsteht ein Bruch mit Wert ÅÅÅÅ45 .
Wie heisst der ursprüngliche Bruch?
zusf_stuetzkurs.nb
Lösungen:
3
12
1) x (1 - a) = 3 ó x = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅpÅÅÅ
1 - ÅaÅÅÅ ; 2) 12 = 3ax - px = x (3a - p) ó x = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
3ap-5
3) xp - p = 2x - 5 ó xp - 2x = p - 5 ó x (p - 2) = p - 5 ó x = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
p-2
4) x = 5
5) x = 4
6) x = c
7) x = 4
8) x = 1
9) x = c - d
23
10) x = 12
11) - ÅÅÅÅ
Å7 Å
12) -5
13)  =  \ {0, 3}  = { ÅÅÅÅ53 }
14)  =  \ {1, -3}  = { ÅÅÅÅ37 }
15)  =  \ {-2, 2}  = {-1}
16) x = 10
17)  =  \ { ÅÅÅÅ43 }  = {-2}
18)  =  \ { ÅÅÅÅ32 }  = {4}
19)  =  \ {-5, 5}  = {}: 5 ist nicht Element von , weil sonst der Nenner 0 wird.
20)  =  \ {-4, 0, 4}.  = . Jede Zahl aus  löst die Gleichung!
21) Zahlen: x und x+4. Gleichung: 5x = 3(x+4) + 2 ó x = 7; x+4 = 11. Probe machen!
22) 84 - x = 2x ó x = 28. Probe!
23) 7x = 5x + 32 ó x = 16. Probe!
24) (4x + 3)•4 = 20x.ó x = 3.
25) x + (x+1) + (x+2) + (x+3) = 62 ó x = 14. Die Zahlen heissen 14, 15, 16 und 17.
26) Zahlen: x und x+6. Gleichung: 4x + 5 = 3(x+6) ó x = 13. Die Zahlen sind 13 und 19.
7+x
27) 3x - 10 = ÅÅÅÅ2x ó x = 4.
28) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ56 ó x = 3.
9+x
x-2
x-2+1
29) Ursprünglicher Bruch: ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ . Gleichung: ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ45 ó x = 9.
x
x+1
7
Antwort: Der ursprüngliche Bruch hiess ÅÅÅÅ9 . (Am Schluss die Frage nochmals lesen!)
Printed by Mathematica for Students
30
zusf_stuetzkurs.nb
31
5. Die lineare Funktion; Steigung einer Strecke
5.1. Steigung und Gefälle einer Strasse
Höhenunterschied
Steigung als Bruchzahl: m = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ =
horizontale Strecke
Dy
ÄÄÄÄÄÄÄ
Dx
∆y
∆x
Aufgabe
Bestimmen Sie die Steigung der beiden Geraden g1 und g2 .
y
7
6
5
4
3
2
1
g1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
g2
Lösung:
Dy
g1 : m = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = - ÅÅÅÅ39 = - ÅÅÅÅ13 . In Worten: "9 nach rechts (x) und 3 nach unten (y)"
Dx
Dy
g2 : m = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅ48 = ÅÅÅÅ12 .
Dx
Printed by Mathematica for Students
In Worten: "8 nach rechts (x) und 4 nach oben (y)"
zusf_stuetzkurs.nb
32
Lösung:
Dy
g1 : m = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = - ÅÅÅÅ39 = - ÅÅÅÅ13 . In Worten: "9 nach rechts (x) und 3 nach unten (y)"
Dx
Dy
g2 : m = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅ48 = ÅÅÅÅ12 .
Dx
In Worten: "8 nach rechts (x) und 4 nach oben (y)"
Die Dreiecke nennt man Steigungsdreiecke.
Aufgabe
Bestimmen Sie die Steigung der schrägen Strecke der folgenden Steigungsdreiecke:
Lösungen:
oben: - ÅÅÅÅ13 ; - ÅÅÅÅ23 ;
mitte: 1; ÅÅÅÅ14 ;
unten: - ÅÅÅÅ16 ; -1
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zusf_stuetzkurs.nb
33
y
x
∆x = 4 - (-3) = 7
A(-3 | -1)
∆y = -5 - (-1) = -4
B(4 | -5)
g
Regel:
Steigung zwischen zwei Punkten mit Koordinaten A (x1 | y1 ) und B (x2 | y2 ):
m=
y2 - y 1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
x2 - x 1 Å
Aufgabe
Bestimmen Sie die Steigung der folgenden Geraden, indem Sie passende
Steigungsdreiecke zeichnen.
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zusf_stuetzkurs.nb
Lösungen:
a) - ÅÅÅÅ13 b) - ÅÅÅÅ32 = - 1.5 c) 3
34
d) ÅÅÅÅ23
Die Steigungsdreiecke können verschieden gross gewählt werden. Die
Steigungsdreiecke der gleichen Geraden sind aber alle ähnlich zueinander. Das
Dy
bedeutet gleichzeitig, dass der Quotient ÅÅÅÅ
ÅÅÅ bei all diesen Dreiecken derselbe ist.
Dx
Im Beispiel unten ist dieser Quotient, d.h. die Steigung gleich - ÅÅÅÅ13 = - ÅÅÅÅ26 .
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zusf_stuetzkurs.nb
35
5.2. Die lineare Funktion
y
7
6
5
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Das Bild zeigt eine Reihe von Punkten, die auf einer Geraden liegen.
Die Koordinaten dieser Punkte hängen auf besondere Weise zusammen.
Wir stellen dies in einer Wertetabelle dar:
x-Wert:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y-Wert:
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Der y-Wert ist hier stets das Doppelte des x-Wertes.
Wir drücken dies so aus:
y = 2•x ("y ist das Doppelte von x").
Dies nennt man die Funktionsgleichung der Geraden.
Man nennt y = 2x auch eine lineare Funktion. Im Koordinatensystem stellt diese
Funktion eine Gerade dar (deshalb der Name lineare Funktion).
Können wir aus der Funktionsgleichung y = 2x auch die Steilheit ablesen?
Ja, die Steilheit wird durch die Zahl 2, die beim Buchstaben x steht, angezeigt.
Der Koeffizient 2 gibt gewissermassen den "Übersetzungsfaktor" von x nach y an:
Pro x-Einheit nach rechts geht's 2 y-Einheiten nach oben.
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Funktion eine Gerade dar (deshalb der Name lineare Funktion).
zusf_stuetzkurs.nb
Können wir aus der Funktionsgleichung y = 2x auch die Steilheit ablesen?
Ja, die Steilheit wird durch die Zahl 2, die beim Buchstaben x steht, angezeigt.
Der Koeffizient 2 gibt gewissermassen den "Übersetzungsfaktor" von x nach y an:
Pro x-Einheit nach rechts geht's 2 y-Einheiten nach oben.
Zusammenfassung:
y = m • x stellt im Koordinatensystem eine
Gerade mit Steigung m dar.
Sie geht durch den Punkt (0 | 0).
Beispiele:
y=2x
y = - 2x
y = ÅÅÅÅ12 x
y = - ÅÅÅÅ32 x
y=x
y = -x
y = -7.5x
y = 4.25 x
y = 0x = 0:
steigende Gerade mit Steigung 2 = ÅÅÅÅ21
fallende Gerade mit Steigung -2 = - ÅÅÅÅ21
steigende Gerade mit Steigung ÅÅÅÅ12
fallende Gerade mit Steigung - ÅÅÅÅ32
steigende Gerade mit Steigung 1 (denn y = x bedeutet ja y = 1•x)
fallende Gerade mit Steigung -1 (denn y = -x bedeutet y = -1•x)
15
sehr steil fallende Gerade mit Steigung - ÅÅÅÅ
ÅÅ
2
1
17
steigende Gerade mit Steigung 4 ÅÅÅÅ4 = ÅÅÅÅ4ÅÅ
waagrechte Gerade (x-Achse), Steigung 0.
Wie zeichnen Sie Geraden ins Koordinatensystem ein?
Beispiel 1:
y = 3.5 x
Verwandeln Sie die Steigung in einen Bruch:
Dy
y = 3 ÅÅÅÅ12 x = ÅÅÅÅ72 x. Die Steigung ist ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅ72 .
Dx
Das bedeutet: In x-Richtung 2 nach rechts und in y-Richtung 7 nach oben.
Beispiel 2:
y = -1.25x
-5
y = -1 ÅÅÅÅ14 x = - ÅÅÅÅ54 x. Steigung m = - ÅÅÅÅ54 = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ .
4
In x-Richtung 4 nach rechts und in y-Richtung 5 nach unten.
Aufgabe
Zeichnen Sie in untenstehendes Koordinatensystem die folgenden linearen
Funktionen (Geraden) ein. Verwandeln Sie dazu die Steigungen m zuerst in Brüche.
a) y = 3.5 x
b) y = x
c) y = 1.25 x
Printed by Mathematica for Students
e) y = -0.75 x
f) y = - ÅÅÅÅ27 x
g) y = -5x
d) y = 0.5x
36
Aufgabe
Zeichnen Sie in untenstehendes Koordinatensystem die folgenden linearen
Funktionen (Geraden) ein. Verwandeln Sie dazu die Steigungen m zuerst in Brüche.
zusf_stuetzkurs.nb
a) y = 3.5 x
b) y = x
c) y = 1.25 x
e) y = -0.75 x
f) y = - ÅÅÅÅ27 x
g) y = -5x
d) y = 0.5x
y
7
6
5
4
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Die allgemeine lineare Funktion y = mx + q
Die allgemeine lineare Funktion hat die Form y = mx + q.
Als Bild: Die Gerade y = mx wird in y-Richtung um den Wert q verschoben. Es
entsteht eine dazu parallele Gerade.
q nennt man y-Achsenabschnitt.
q kann positiv oder negativ sein.
Bemerkung: In verschiedenen Büchern und Aufgabenstellungen werden für die allgemeine lineare Funktion auch
andere Buchstaben verwendet:
y = mx + q
(Steigung m, y-Achsenabschnitt q)
y = ax + b
(Steigung a, y-Achsenabschnitt b)
y = mx + b
(Steigung m, y-Achsenabschnitt b).
Dies soll Sie nicht verwirren.
Printed by Mathematica for Students
37
zusf_stuetzkurs.nb
38
y
q=3
y = 0.5x + 3
y = 0.5x
x
q= -4
y = 0.5x - 4
Aufgabe
Erstellen Sie zur Funktion y = 0.5x + 3 eine Wertetabelle:
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-----------------------------------------------------------------------------------y
Aufgabe
Gegeben ist die Gerade g: y = 3x - 10.
Ein Punkt P, der auf g liegt, muss mit seinen Koordinaten die Gleichung "erfüllen".
Beispiel:
P (5 | -5): Wir setzen die Koordinaten y = -5 und x = 5 in der Gleichung von g ein:
-5 = 3 • 5 - 10.
Die Gleichung stimmt nicht ï P – g.
Q(8 | 14): y = 14, x = 8 einsetzen: 14 = 3 • 8 - 10, , Q œ g.
Welche der folgenden Punkte liegen auf g, welche nicht?
A(0 | -10)
B(-3 | -19)
C(-1 | 3)
Aufgabe
Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der folgenden Funktionen, indem Sie m
und q ablesen. m können Sie mit Hilfe der beiden markierten Punkte berechnen: m =
Dy
ÅÅÅÅ
ÅÅÅ .
Dx
Printed by Mathematica for Students
zusf_stuetzkurs.nb
39
y
y
10
10
10
x
10
1
y
y
10
10
10
Lösungen
14
a) m = ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1.4;
10
7
b) m = - ÅÅÅÅ
ÅÅ ;
13
11
c) m = ÅÅÅÅ
ÅÅ ;
16
15
d) m = - ÅÅÅÅ
ÅÅ = -3;
5
x
q = -2;
q = 7;
q = 5;
q = 15;
x
x
10
y = 1.4x - 2
7
y = - ÅÅÅÅ
ÅÅ x + 7
13
11
y = ÅÅÅÅ
ÅÅ x + 5
16
y = -3x + 15
Explizite Form der Geradengleichung und andere Formen
Ist die Gerade g in der Form g: y = mx + q gegeben, so können Steigung und
y-Achsenabschnitt sofort abgelesen werden. Die Funktion kann dann rasch
gezeichnet werden.
Diese Form nennt man die explizite Form der Geradengleichung. Es ist die nach y
aufgelöste Form der Gleichung.
Ist die Gleichung in einer andern Form gegeben und will man m und q ablesen, so
muss man diese Form zuerst in die explizite Form verwandeln.
Printed by Mathematica for Students
Beispiel:
14 = x - 2y.
Diese Form nennt man die explizite Form der Geradengleichung. Es ist die nach y
aufgelöste Form der Gleichung.
zusf_stuetzkurs.nb
Ist die Gleichung in einer andern Form gegeben und will man m und q ablesen, so
muss man diese Form zuerst in die explizite Form verwandeln.
Beispiel:
14 = x - 2y.
Umwandeln: 14 = x - 2y ó 14 + 2y = x ó 2y = x - 14 ó y = ÄÄÄÄ12 x - 7 ï
m = 0.5; q = -7.
Die "Zweipunkte-Aufgabe":
Wie lautet die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte
A (3 | -2) und B(-4 | 7) ?
7 - H-2L
9
a) Steigung m berechnen: m = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = - ÅÅÅÅ97
-4 - 3
-7
b) Die Geradengleichung lautet somit bisher: y = - ÅÅÅÅ97 x + q
27
c) q berechnen durch Einsetzen z.B. von A: -2 = - ÅÅÅÅ97 • 3 + q oder -2 = - ÅÅÅÅ
ÅÅ + q
7
13
ï -14 = -27 + 7q ï 13 = 7q ï q = ÅÅÅÅ
ÅÅ .
7
13
d) Es folgt für die Geradengleichung: y = - ÅÅÅÅ97 x + ÅÅÅÅ
ÅÅ .
7
Printed by Mathematica for Students
40