Page 1 Westfälische Wilhelms-Universität Münster Institut für

Westfälische Wilhelms-Universität Münster
Institut für Didaktik der Mathematik und Informatik
Dr. Astrid Brinkmann
Didaktische Grundlagen Arithmetik - Vertiefung
Übungen 2
Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.
(Émile Lemoine)
Aufgabe 1 (30 Punkte)
Prüfen Sie, ob die folgenden Relationen reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch bzw. transitiv
sind (mit Begründung). Geben Sie an, ob es sich jeweils um eine Äquivalenzrelation handelt
oder nicht (mit Begründung).
a) R1 := {( x, y ) ∈ ℤ × ℤ : x ist Teiler von y} ,
b) R2 := {( x, y ) ∈ ℝ × ℝ : x − y ∈ ℚ} ,
c) R3 := {( x, y ) ∈ ℕ × ℕ : x ⋅ y < 10} .
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Beweisen Sie:
Für alle a ∈ ℕ \ {1} gilt: a ist eine Quadratzahl ⇔ alle Exponenten der Primfaktorzerlegung
von a sind gerade. (Quadratzahlkriterium)
Aufgabe 3 (9 Punkte)
Bestimmen Sie eine Primfaktorzerlegung für
a) 420,
b) 2310,
c) 82944.
Aufgabe 4 (18 Punkte)
a) Bestimmen Sie T(12), T(32) und T(100).
b) Zeichnen Sie die Hasse-Diagramme zu den Teilermengen aus a).
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Geben Sie eine Teilermenge T(a) an, deren Hasse-Diagramm folgende Form hat:
Aufgabe 6 (14 Punkte)
a) Geben Sie die kanonische Primfaktorzerlegung1 für 108 und für 108000 an.
b) Geben Sie T (108) an und zeichnen Sie das zugehörige Hasse-Diagramm.
c) Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von T (108000) .
d) Vervollständigen Sie folgende Hasse-Diagramme:
81
75
Aufgabe 7 (9 Punkte)
a) Geben Sie jeweils zwei natürliche Zahlen an, deren Teilermengen die unten angegebenen
Hasse-Diagramme (i) bzw. (ii) bzw. (iii) besitzen.
1
Aus einer Primfaktorzerlegung erhält man die sog. kanonische Primfaktorzerlegung, indem man die Primfaktoren nach der Größe der Basen sortiert und gleiche Faktoren zu Potenzen zusammenfasst.
b) Wie lautet jeweils die kleinste mögliche Zahl?
(i)
(iii)
(ii)
Aufgabe 8 (5 Punkte)
Finden Sie ein „Primzahlloch“ aus mindestens 10 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen,
die keine Primzahlen sind.
Aufgabe 9 (20 Punkte)
a) Wir definieren (nur für diese Aufgabe!) analog zu Primzahlzwillingen die
Primzahldrillinge als drei Primzahlen der Form p, p + 2 und p + 4 . Beweisen oder
widerlegen Sie:
3, 5 und 7 sind die einzigen Primzahldrillinge.
b) Zeigen Sie, dass als Kandidaten für Primzahlzwillinge, die größer als 3 sind, nur Zahlen
der Form 6n − 1 und 6n + 1 in Frage kommen.
c)
Bestimmen Sie mit dem Sieb des Eratosthenes die Primzahlen bis 120. Schreiben Sie
dazu je 12 Zahlen in eine Reihe.
d) Überprüfen Sie die starke Goldbachsche Vermutung an den Zahlen 10, 20, 30, 40, 50, 60,
70, 80 90 und 100.
Aufgabe 10 (17 Punkte)
a)
Bestimmen Sie jeweils mit Hilfe der Primfaktorzerlegung ggT und kgV von:
(i) 30 und 75
(ii) 48 und 64
(iii) 12, 30 und 50
(iv) 15, 21 und 35
b) Bestimmen Sie mittels Überlagerung der entsprechenden Hasse-Diagramme jeweils ggT
und kgV von:
(i) 12 und 27
(ii) 100 und 1250