Höhere Mathematik 1 Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Dr. B. Ackermann,
M. Borgart,
Dr. I Rybak, M. Kutter,
J. Veenman
14. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Prof. Dr. A. Sändig
Höhere Mathematik 1
Wintersemester 2010/11
Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:
Hinweis: Die Abgaben zu diesen Aufgaben werden in der ersten Übung des kommenden
Semesters eingesammelt und zählen zum HM2-Schein.
Aufgabe H 40. Monotonie und Beschränkheit
Untersuchen Sie die Folge (an )n∈N jeweils auf Monotonie und Beschränkheit. Finden Sie
gegebenenfalls eine obere und untere Schranke.
n+1
(a) an =
2n + 1
1
(b) an = n sin π n −
2
n
3
(c) an = 1 + −
4
π πn (d) an = cos
cos
4
2
Lösungshinweise hierzu:
(a) Wir berechnen die ersten Folgenglieder
3
4
5
6
2
a1 = , a2 = , a3 = , a4 = , a5 = ,
3
5
7
9
11
...
Auf Grund dieser Ergebnisse versuchen wir zu zeigen, dass die Folge monoton fallend
ist.
!
an+1 ≦ an
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
n+2
n+1
≦
2n + 3
2n + 1
(2n + 1)(n + 2) ≦ (2n + 3)(n + 1)
2n2 + 5n + 2 ≦ 2n2 + 5n + 3
2≦3
Damit ist die untersuchte Folge monoton fallend und deshalb auch nach oben beschränkt durch a1 = 32 . Um eine untere Schranke zu finden schätzen wir die Folge ab
und erhalten
1
n + 21
n + 21 + 21
n+1
1
1
1
2
an =
=
=
+
≧ .
1
1 +
1 =
2n + 1
2 4n + 2
2
2(n + 2 )
2(n + 2 ) 2(n + 2 )
Damit haben wir auch eine untere Schranke gefunden, nämlich
tete Folge beschränkt.
1
.
2
Also ist die betrach-
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14. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
(b) Bevor wir die Folge auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen, vereinfachen wir
sie zu
an = (−1)n−1 n.
Wir berechnen wieder die ersten Folgenglieder und erhalten
a1 = 1, a2 = −2, a3 = 3,
...
Schon nach den ersten 3 Folgengliedern ist klar, dass die Folge weder monoton fallend
noch monoton steigend ist. Bleibt noch zu klären, ob die Folge beschränkt ist. Dazu
betrachtet man die Teilfolge a2k = 2k → ∞ und sieht, dass die Folge nicht beschränkt
sein kann.
(c) Wir berechnen die ersten Folgenglieder und erhalten
1
25
37
a1 = , a2 = , a3 = ,
4
9
64
...
Aus dieser Betrachtung sehen wir, dass die Folge nicht monoton ist. Man sieht auch,
dass die Folge beschränkt ist durch 2 von oben und durch 0 von unten. Es gilt nämlich
n
3
an = 1 + −
≦1+1=2
4
und
3
an = 1 + −
4
n
≧ 1 − 1 = 0.
(d) An der Struktur der Folge sieht man sofort, dass sie beschränkt ist. Obere bzw. untere
Schranke ist 1 bzw. −1, weil
π πn π πn cos
|an | = cos
= cos
· cos
≦1·1=1
4
2
4
2
Um die Folge auf Monotonie zu untersuchen berechnen wir die ersten Folgenglieder
und erhalten
√
√
2
2
a1 = 0, a2 = −
, a3 = 0, a4 =
, ...
2
2
An den ersten vier Folgengliedern erkennt man, dass die Folge nicht monoton ist.
Aufgabe H 41. Konvergenz
Untersuchen Sie die Folge (an )n∈N jeweils auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls
den Grenzwert
n−1
(a) an = −
n+1
Lösungshinweise hierzu:
Wir berechnen
n−1
n+1−2
2
an = −
=−
= −1 +
.
n+1
n+1
n+1
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14. Gruppenübung
Da
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2
→ 0 für n → ∞, konvergiert die Folge (an ) gegen −1.
n+1
lim an = −1.
n→∞
(b) an = (−1)n
n−1
n+1
Lösungshinweise hierzu:
Wie in (a) erhalten wir
n−1
= 1.
n→∞ n + 1
lim
Es gilt
lim an = −1,
n→∞
lim an = 1.
n→∞
Die Folge (an ) häuft sich bei 1 und −1, und ist divergent.
πn 2 sin
2
(c) an =
n2 + 1
Lösungshinweise hierzu:
Es gilt
Da
n2
2 sin πn 2 ≦ 2 .
|an | = 2
2
n +1 n +1
2
→ 0 für n → ∞, ist die Folge (an ) gegen Null konvergent.
+1
lim an = 0.
n→∞
(d) an = sin
π cos(πn)
4
Lösungshinweise hierzu:
Die Folge (an ) ist eine alternierende Folge
√
√
√
2
2
2
,
, −
,
−
2
2
2
Wegen
√
2
,
lim an = −
2
n→∞
√
2
,
2
lim an =
n→∞
...
√
2
,
2
ist die Folge (an ) divergent.
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14. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Aufgabe H 42. Babylonisches Wurzelziehen
Wir untersuchen einen Algorithmus zum Berechnen der Quadratwurzel einer Zahl x ≧ 1,
der schon in den Gesetzestafeln des Hammurabi im Jahre 1950 v.Chr stand. Wir definieren
rekursiv eine Folge reeller Zahlen wi mit
1
x
w0 = x wn+1 =
wn +
.
2
wn
2
(a) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N die Zahlen wn positiv sind und wn2 ≧ wn+1
≧ x gilt,
also jedes wn+1 die Wurzel mindestens so gut annähert wie wn .
Lösungshinweise hierzu: Aus der Iterationsvorschrift sehen wir, dass wn+1 ≧ 0,
wenn x ≧ 0 und wn ≧ 0. Nun ist w0 = x ≧ 0 und somit gilt mit vollständiger
Induktion wn ≧ 0 ∀n ∈ N.
Allgemein gilt: 0 ≦ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ⇒ 2ab ≦ a2 + b2 .
Durch quadratische Ergänzung erhält man
1
2ab + 2ab ≦ a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 ⇔ ab ≦ (a + b)2 .
4
x
1
2
Setzt man a := wn und b := wn , so ergibt sich 1 ≦ x ≦ 4 (wn + wxn )2 = wn+1
.
2
Wegen w0 = x gilt somit 1 ≦ wn und x ≦ wn ∀n ∈ N und folglich ist
x
w2
1
1
) ≦ (wn + n ) = wn .
1 ≦ wn+1 = (wn +
2
wn
2
wn
√
dem Komma durch Verwendung des obigen Al(b) Berechnen Sie 3 auf 4 Stellen hinter√
gorithmus, d.h. es ist ein wn mit wn − 3 < 0.5·10−4 zu berechnen. Zur Abschätzung
der Genauigkeit kann man folgende Ungleichung verwenden:
√
w2 − 3
w2 − 3
wn − 3 = n √ ≦ n
,
wn + 1
wn + 3
√
da 1 ≦ 3.
Lösungshinweise hierzu: Es ist
w0 =
w1
w2
w3
w4
3,
1
3
=
3+
=
2,
2
3
1
3
7
=
2+
=
,
2
2
4
1 7
97
4
=
=
+3·
,
2 4
7
56
56
18817
1 97
+3·
.
=
=
2 56
97
10864
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14. Gruppenübung
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Überprüfung der Genauigkeit:
w3 −
√
w4 −
3=
√
w32 − 3
w2 − 3
√ ≦ 3
≧ 1.1 · 10−4 > 0.5 · 10−4
w
+
1
w3 + 3
3
3=
w42 − 3
w2 − 3
√ ≦ 4
≦ 3 · 10−9 < 0.5 · 10−4
w4 + 1
w4 + 3
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