Folien 11.2
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Physik auf grundlegendem Niveau Kurs Ph2 2013-2015 Kurze Erinnerung Operatorenliste zu finden unter: http://www.nibis.de/nli1/gohrgs/operatoren/operatoren_ab_2012/op09_10N W.pdf Kerncurriculum zu finden unter: http://db2.nibis.de/1db/cuvo/datei/kc_physik_go_i_2009.pdf Diese Folien finden Sie voraussichtlich regelmäßig unter: http://physik2015.sukaos.de Themen der Semester Elektrizität (11.1) Schwingungen und Wellen (11.2) Quantenobjekte Atomhülle Atomkern “ Die größte Sehenswürdigkeit, die es gibt, ist die Welt – sieh sie dir an. Kurt Tucholsky (1890 - 1935) ” Schwingungen Schwingungen Zahlreiche Zustandsänderungen wiederholen sich. Solche wiederholten Schwankungen um eine Ruhelage bezeichnen wir als Schwingung. Sie treten in der Welt überall auf: Einsturz der Tacoma-Narrows-Brücke 1940 (siehe Einstiegsbeispiel) Federn als Stoßdämpfer Schwingungen von Atomen und Molekülen Herzschlag Musikinstrumente Beschreibung von Schwingungen Zur Vorhersage von Vorgängen benötigen wir Gesetzmäßigkeiten. Voraussetzung dafür: exakte Beschreibung des Bekannten Begriffe zur Beschreibung Elongation s(t): gibt die Auslenkung zu einem bestimmten Zeitpunkt an. Amplitude A: gibt die maximale Auslenkung von der Nulllage aus an. Schwingungsdauer T (Periodendauer): Zeit bis zur nächsten Wiederholung (Achtung, nicht von Nulldurchgang zu Nulldurchgang!) Frequenz f: Anzahl der Schwingungen pro Sekunde. Einheit: 1 Hz Schwingungsdauer Amplitude Harmonische Schwingung Die Messung der Elongation 𝑠(𝑡) eines Feder-Masse-Pendels mittels eines Ultraschallsensors liefert uns als Zeit-Elongations-Diagramm: Offenbar lässt sich die Kurve durch eine Sinusfuktion modellieren. Jede Schwingung, die sich durch eine Sinusfunktion beschreiben lässt, bezeichnen wir als harmonische Schwingung. Genauere Betrachtung der Funktion Allgemeine Sinusfunktion: a ∗ sin 𝑏 ∗ 𝑥 + 𝑐 + 𝑑 Aufgabe: Untersuchen Sie mit Ihrem GTR die Auswirkungen der 4 Parameter und übertragen Sie diese mathematischen Erkenntnisse auf ihre Bedeutung für die modellierte Schwingung eines Feder-Masse-Pendels. Wir ordnen zu: -x muss die Zeit t sein -a modelliert die Amplitude der Schwingung -c verschiebt die Funktion entlang der Zeit und gibt damit einen Start außerhalb des Nulldurchgangs an -d verschiebt die Funktion nach oben oder unten und hat für eine harmonische Schwingung um den Nullpunkt keine Relevanz Abhängigkeiten der Schwingungsdauer - Vermutungen Feder-Masse-Pendel Fadenpendel Masse Masse Feder Fadenlänge Auslenkung zu Beginn Auslenkung zu Beginn Untersuchung der Abhängigkeiten Führen Sie das auf dem Arbeitsblatt angegebene Schülerexperiment durch. Abhängigkeiten der Schwingungsdauer - Versuchsergebnisse Feder-Masse-Pendel Fadenpendel Masse Masse Feder Fadenlänge Auslenkung zu Beginn Auslenkung zu Beginn Vorhersagen der Schwingungsdauer (1) Vorhersage von Bewegungen über die Ursache Kräfte Zunächst beim Feder-Masse-Pendel: Wieso schwingt das Pendel? Erläutern Sie qualitativ die Entstehung der Schwingung unter Berücksichtigung der auftretenden Kräfte. Kräfte beim Feder-Masse-Pendel Es gibt zwei beteiligte Kräfte: Federkraft 𝐹𝑠 und Gewichtskraft 𝐹𝐺 Gewichtskraft 𝐹𝐺 = 𝑚 ∗ 𝑔 Federkraft? Federkraft 𝐹𝑠 Vermutung: 𝐹𝑠 ~𝑠 Aufgabe: Untersuchen Sie die Abhängigkeit der Kraft 𝐹𝑠 von der Auslenkung. Ergebnis: Hookesches Gesetz: 𝐹𝑠 = 𝐷 ∗ 𝑠 Vorhersagen der Schwingungsdauer (2) Vorhersage von Bewegungen über die Ursache Die Kraft 𝐹𝑠 verursacht nach der Grundgleichung der Mechanik eine Beschleunigung (und damit die Bewegung): 𝐹𝑠 = 𝑚 ∗ 𝑎 −𝐷 ∗ 𝑠 = 𝑚 ∗ 𝑎 Die Auslenkung s und die Beschleunigung a ändern sich aber laufend. Es handelt sich also um Funktionen! −𝐷 ∗ 𝑠 𝑡 = 𝑚 ∗ 𝑎(𝑡) Vorhersagen der Schwingungsdauer (3) −𝐷 ∗ 𝑠 𝑡 = 𝑚 ∗ 𝑎 𝑡 Die Beschleunigung ist zugleich die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit: −𝐷 ∗ 𝑠 𝑡 = 𝑚 ∗ 𝑠′′(𝑡) In der Physik schreiben wir dies vereinfacht: −𝐷 ∗ 𝑠 = 𝑚 ∗ 𝑠 Welche Funktion erfüllt nun diese Bedingung? Wie wir gesehen haben modelliert eine Sinus-Funktion einen Schwingungsvorgang recht gut. Vorhersagen der Schwingungsdauer (4) Versuchen wir es mit der allgemeinen Variante 𝐴 ∗ sin 𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑0 Die zweite Ableitung ist dann: −𝐴 ∗ 𝜔2 ∗ sin 𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑0 Eingesetzt in −𝐷 ∗ 𝑠 = 𝑚 ∗ 𝑠 erhalten wir dann −𝐴 ∗ 𝐷 ∗ sin 𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑0 = − 𝐴 ∗ 𝑚 ∗ 𝜔2 ∗ sin 𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑0 Vorhersagen der Schwingungsdauer (5) Die Gleichung −𝐴 ∗ 𝐷 ∗ sin 𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑0 = − 𝐴 ∗ 𝑚 ∗ 𝜔2 ∗ sin 𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑0 ist genau dann erfüllt, wenn gilt 𝐷 = 𝑚 ∗ 𝜔2 Da gilt 𝜔 = 2𝜋 ∗ 𝑓 = 2𝜋 𝑇 erhalten wir für die Periodendauer T: 𝑚 𝑇 = 2𝜋 ∗ 𝐷 Richtgröße / Verallgemeinerung Die Variable D nennt man auch Richtgröße. Man findet sie auch bei anderen Schwingungsvorgängen, nicht nur bei einem Federpendel. In unserer Herleitung haben wir nur angenommen, dass 𝐹 = −𝐷 ∗ 𝑠 ist. Solange die Ursache der Bewegung also solch ein lineares Kraftgesetz ist, erhalten wir immer eine Sinusfunktion als Lösung. Es handelt sich dann also immer um eine harmonische Schwingung. Übersicht zu Schwingungen Zeit-Elongations-Gesetz: Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz: v 𝑡 = 𝐴 ∗ 𝜔 ∗ cos 𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑0 Zeit-Beschleunigungs-Gesetz: a 𝑡 = −𝐴 ∗ 𝜔2 ∗ sin 𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑0 Periodendauer: 𝑇 = 2𝜋 Dies gilt immer wenn die Rückstellkraft F proportional zur Auslenkung s ist. Der Proportionalitätsfaktor D ist dann die Richtgröße der Schwingung. 𝑠 𝑡 = 𝐴 ∗ sin 𝜔 ∗ 𝑡 + 𝜑0 𝑚 𝐷 Verstanden? 2𝜋 𝑇 Begründen Sie den Zusammenhang 𝜔 = Nennen Sie ein Argument dafür, dass ein immer wieder aufspringender Ball keine harmonische Schwingung vollführt. Verstanden! Die Winkelgeschwindigkeit 𝜔 gibt den pro Zeiteinheit überstrichenen Winkel im Bogenmaß an. Für die Zeit T einer ganzen Schwingung ist dies der vollständige Kreiswinkel von 2𝜋. Die Rückstellende Kraft ist nicht proportional zur Auslenkung. Sie wirkt beim Ball nicht während der Flugphase. Eine neue Darstellung Eine harmonische Schwingung ist eng mit der gleichförmigen Kreisbewegung verbunden. In der Mathematik haben Sie Sinus und Kosinus am Einheitskreis kennengelernt. Wir nutzen in Zukunft eine ähnliche Darstellung: Zeigerdiagramme Zeigerdiagramm und Sinuskurve Der grüne Punkt gibt die aktuelle Phase an. Im Zeigerdiagramm ist diese als Winkel (gegen den Uhrzeigersinn) ablesbar. Zeigerdarstellung Elongation s 𝜑 Die Zeigerdarstellung gibt an • Länge des Zeigers: Amplitude • Winkel 𝜑: aktuelle Phase • Projektion auf die y-Achse: Elongation Die Frequenz bzw. Periodendauer ist nicht ablesbar! Verstanden? In der folgenden Abbildung ist die Bewegung eines Federmassependels mithilfe der Zeigerdarstellung zu verschiedenen Zeitpunkten dargestellt. Beschreiben Sie jeweils den Schwingungszustand, indem Sie die Position des Schwingers zwischen den Umkehrpunkten einzeichnen. Umkehrpunkt Ruhelage Umkehrpunkt Verstanden! In der folgenden Abbildung ist die Bewegung eines Federmassependels mithilfe der Zeigerdarstellung zu verschiedenen Zeitpunkten dargestellt. Beschreiben Sie jeweils den Schwingungszustand, indem Sie die Position des Schwingers zwischen den Umkehrpunkten einzeichnen. Umkehrpunkt Ruhelage Umkehrpunkt Verstanden? Die Elongation eines harmonischen Oszillators beträgt 0,2s nach dem Nulldurchgang y=4cm. Die Amplitude ist 6cm. Berechnen Sie die Frequenz und Periodendauer der Schwingung. Verstanden! 𝑠 0,2𝑠 = 0,04𝑚 0,06𝑚 ∗ sin 𝜔 ∗ 0,2𝑠 = 0,04𝑚 𝜔 ∗ 0,2𝑠 = sin−1 𝜔 = 3,65 𝑠 𝑓 = 2𝜋 = 0,58 𝐻𝑧 𝑇= 1 𝜔 1 𝑓 = 1,72 𝑠 0,04𝑚 0,06𝑚 (hier auf Bogenmaß im Taschenrechner achten!) Wellen Quelle: wikipedia.de Schülerexperiment: gekoppelte Pendel Gekoppelte Pendel Beobachtung eines Pendels über die Zeit: Schwingung mit sich ändernder Amplitude Amplitude nimmt zu und dann wieder ab Beobachtung aller Pendel zu einem Zeitpunkt: sieht aus wie eine Sinuskurve Einzelne Pendel haben unterschiedliche Amplituden Beobachtung aller Pendel über die Zeit: Störung/Schwingung wandert von Pendel zu Pendel Wellenbewegung Gekoppelte Pendel Aufgaben: Versuchen Sie eine Definition für den Begriff Welle zu geben. Stellen Sie die einzelnen Schwinger mittels je eines Zeigers nebeneinaner dar. Sie erhalten eine sogenannte Zeigerkette. Was ist eine Welle Unsere erarbeitete Definition: „Eine durch einen Erreger ausgelöste Bewegung, bei der die Energie auf die einzelnen, miteinander verbundenen harmonischen Oszillatoren nacheinander übertragen wird.“ Eine Lehrbuch-Definition: „Eine sich im Raum mit einer bestimmten Geschwindigkeit ausbreitende Störung heißt Welle. Eine Welle transportiert Energie und Impuls.“ (aus: ImpulsePhysik 11/12 Niedersachsen, 1. Auflage, 2010) Darstellung einer Welle als Zeigerkette 𝑡 = 0𝑇 1 𝑡= 𝑇 8 2 𝑡= 𝑇 8 3 𝑡= 𝑇 8 4 𝑡= 𝑇 8 Harmonische Welle Lässt sich das räumliche Muster einer Welle als Sinuskurve beschreiben, so spricht man von einer harmonischen Welle. Diese entsteht, wenn eine harmonische Schwingung als Erreger dient. Begriffe zur Beschreibung Wellenlänge 𝜆 (gesprochen: lambda): gibt den räumlichen Abstand zwischen zwei gleichschwingenden Oszillatoren an. Frequenz f, Phase 𝜑 und Periodendauer T sind wie bei Schwingungen benannt Ausbreitungsgeschwindigkeit c: die Geschwindigkeit mit der sich die Störung/Schwingung ausbreitet. Nicht zu verwechseln mit der Geschwindigkeit v(t) mit der sich ein Oszillator momentan bewegt. Eventuell hilfreich: http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/mechanischewellen#Gr%C3%B6%C3%9Fen%20zur%20Beschreibung%20einer%20Welle Ausbreitungsgeschwindigkeit Die Störung wandert jede Periode um genau eine Wellenlänge weiter. s 1 𝜆 2 𝜆 Sie legt also in der Zeit T die Strecke 𝜆 zurück: 𝑐 =𝑇 =𝜆∗𝑓 𝜆 2𝜆 x Verstanden? Eine lineare Querwelle schreite mit der Geschwindigkeit 𝑐 = 2,5 𝑚 𝑠 längs der x-Achse eines Koordinatensystems fort. Der Erreger starte zur Zeit 𝑡 = 0 seine Sinusschwingung mit der Frequenz 𝑓 = 50 𝐻𝑧 und der Amplitude 𝑠 = 2 𝑐𝑚 längs der s-Achse nach oben. a) Zeichnen Sie die Welle zu den Zeiten 𝑡1 = 0,050 𝑠 und 𝑡2 = 0,055 𝑠. b) Zeichnen Sie das Diagramm der Teilchenschwingung am Ort 𝑥 = 3,75 𝑐𝑚. c) Welcher grundlegende Unterschied besteht zwischen den Kurven in a) und b)? Verstanden! Nach 0,050 s ist die Welle um 12,5 cm fortgeschritten; nach 𝑡2 um 13,75 cm. Beim Zeichnen beginnt man sinnvoller Weise rechts am weitesten fortgeschritten Punkt und zeichnet nach oben links eine ansteigende Elongation. Bei 3,75 cm ist die Welle nach 0,015 s angelangt. Wegen 𝑓 = 50 𝐻𝑧 ist T=0,02s Die ersten Bilder zeigen den räumlichen Verlauf der Welle zu einem Zeitpunkt. Das Bild in b) zeigt den zeitlichen Verlauf eines Oszillators. Zwei Arten von Wellen Querwellen LaOla-Welle Radiowellen Röntgenstrahlung Längswellen Schallwellen Transversalwellen (Querwellen) schwingen senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung. Longitudinalwellen (Längswellen) schwingen in Ausbreitungsrichtung. Die Wellengleichung Bei der Beschreibung von Wellen haben wir festgestellt, dass es darauf ankommt, welche Perspektive man wählt: Zeit oder Ort Beide Perspektiven führen im Fall einer harmonischen Welle zu einer Sinuskurve. Tipp zur Vereinfachung: einzelne Orte als Zeigerdiagramme betrachten (Schwingung) einzelne Zeiten als Sinuskurve betrachten, die aus einer Zeigerkette entsteht (Welle) Die Wellengleichung (2) Die momentane Elongation bei einer Welle hängt also sowohl davon ab welchen Oszillator wir betrachten (Ort), als auch davon zu welchem Zeitpunkt wir uns gerade dort befinden. Elongation einer Welle: 𝑠(𝑥, 𝑡) Jeder Oszillator einer harmonischen Welle lässt sich durch eine Sinusfunktion beschreiben: 𝑠 𝑡 = 𝑠 ∗ sin 𝜔 ∗ 𝑡 Nun ist aber ein Zeiger der weiter in der Ausbreitungsrichtung entfernt liegt mit der Schwingung noch nicht so weit fortgeschritten. Er liegt um einen bestimmten Phasenwinkel zurück: 𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑠 ∗ sin 𝜔 ∗ 𝑡 − 𝜑(𝑥) Die Wellengleichung (3) 𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑠 ∗ sin 𝜔 ∗ 𝑡 − 𝜑(𝑥) Der Winkel beträgt nun bei einem Abstand von genau einer Wellenlänge 𝜆 gerade 2𝜋. Damit gilt 𝑥 𝜑 𝑥 = 2𝜋 ∗ 𝜆 (überprüfbar etwa mit einfachem Dreisatz) Die Winkelgeschwindigkeit lässt sich zudem ersetzen mit 𝜔 = Insgesamt folgt (nach einsetzen und ausklammern): 𝑡 𝑥 𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑠 ∗ sin 2𝜋 ∗ − 𝑇 𝜆 2𝜋 𝑇 Das ist wichtig (1) Begriff der harmonischen Schwingung, Elongation und Frequenz Modellierung mit Sinus-Funktion Einfluss der Parameter Amplitude und Phase Formel für Periodendauer: 𝑇 = 2𝜋 𝑚 𝐷 Mathematische Zusammenhänge in Messdaten finden (Regression) Darstellung eines Oszillators als Zeiger Harmonische Wellen übertragen Energie Begriffe: Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenlänge, Frequenz, Amplitude, Phase Longitudinalwelle vs. Transversalwelle Experimente mit Ultraschall Zur Untersuchung einzelner Wellenphänomene nutzen wir Ultraschall. Machen Sie sich mit den Schülerexperiment-Kästen vertraut. Führen Sie Versuch 6 durch. Überlagerung von Wellen Wir messen die Spannung des Empfängers während wir die Position eines Senders verändern. Beobachtung: Es wechseln sich immer Minima und Maxima ab. Der Abstand der Maxima voneinander beträgt konstant etwa 5 cm. Überlagerung von Wellen (2) Untersuchen Sie mittels Zeigerdiagrammen (empfohlen) oder Sinuskurven die Überlagerung der beiden Wellen für folgende 3 Fälle: 1. Die Sender sind etwa 1 cm auseinander. 2. Die Sender sind genau eine Wellenlänge auseinander. 3. Die Sender sind genau eine halbe Wellenlänge auseinander. Deuten Sie mithilfe Ihrer Erkenntnisse das regelmäßige auftreten der Minima und Maxima. Welche Annahmen haben Sie dabei über die Sender bzw. die Wellen getroffen? Überlagerung von Wellen (3) Zwei Wellen können sich ungestört überlagern. Ihre Amplituden addieren sich jeweils. Hinter der Überlagerung breitet sich jede Welle einzeln weiter aus. Die Überlagerung gleichartiger Wellen wird auch als bezeichnet. Interferenz Interferenz Wir haben bei der Überlagerung Minima und Maxima beobachtet. Obwohl sich die Wellen überall ausgebreitet haben, gab es Stellen ohne Schwingung. Ausschlaggebend ist die Phasendifferenz zwischen den beiden Wellen. Man bezeichnet diese als Gangunterschied 𝛿. Entscheidend ist dessen Verhältnis zur Wellenlänge 𝜆. Interferenz (2) Sind die Wellen gar nicht oder genau um eine (zwei, drei, …) Wellenlänge verschoben, so verdoppeln sich die Zeiger genau. Man spricht von konstruktiver Interferenz. Sind die Zeiger genau entgegengesetzt, also die Phase um 𝜋 bzw. die Wellen um eine halbe Wellenlänge verschoben, so heben sich die Amplituden gegenseitig auf. Man spricht von destruktiver Interferenz. Kundtsches Rohr Kundtsches Rohr - Beobachtungen Ab einer gewissen Lautstärke und Frequenz beginnt das Korkmehl zu schwingen. Es bilden sich Orte starker Schwingung und Orte ohne Schwingung aus. Die Abstände zwischen diesen Orten sind gleich, ändern sich aber mit der Frequenz. Eine größere Frequenz führt zu kleineren Abständen. Stehende Wellen (1) Im Rohr überlagern sich zwei Wellen: eine ankommende und eine reflektierte Welle. Es entsteht durch Überlagerung eine sogenannte stehende Welle. Die Stellen permanenter Ruhe nennt man Knoten, die Stellen maximaler Amplitude werden als Bäuche bezeichnet. Reflexion von Wellen Wir vergleichen das Kundtsche Rohr mit einem auf dem Boden schwingenden Seil. Bei geeigneter Frequenz und Amplitude erkennen wir auch hier Knoten und Bäuche. Das eine Ende kann starr festgehalten werden oder in einem größeren Abstand (also lose) befestigt sein. Reflexion am losen Ende Reflexion am festen Ende Stehende Wellen (2) Im Kundtschen Rohr entsteht durch Reflexion am (festen) Ende eine stehende Welle. Am Ende befindet sich daher ein Knoten (der Elongation). Aus dem Abstand der Knoten von Eine hilfreiche Simulation findet sich unter http://phet.colorado.edu/sims/wave-on-a-string/wave-on-a-string_en.html 𝜆 2 können wir leicht die Wellenlänge ablesen. Interferenz bei Ultraschall Schülerexperiment: 2 Ultraschallsender + 1 Empfänger Kohärenz Zwei Sender mit gleicher Frequenz und Phasendifferenz nennt man kohärent. Mikrowellen Polarisation Das ist wichtig (2) Begriff der Kohärenz Interferenz (konstruktiv und destruktiv) Gangunterschied (zeichnerisch und rechnerisch) Stehende Wellen und Wellenlängenbestimmung t-s-Gesetz Zeigerkette Algebraisch Zeiger Periodendauer T t-v-Gesetz Grafisch Amplitude 𝑠 t-a-Gesetz T= 2𝜋 Sinuskurve Darstellung 𝑚 𝐷 Frequenz f 𝐹 = −𝐷 ⋅ 𝑠 Größen Wellenlänge λ Ausbreitungsgeschwindigkeit c harmonisch Größen festes Ende Phase 𝜑 Schwingung Wellen Oszillator loses Ende Störung Reflexion Schwingungsrichtung Energietransport Stehende Wellen Kohärenz longitudinal Interferenz Gangunterschied ∆𝑠 transversal Polarisation destruktiv konstruktiv Elongation s Checkliste zur Klausur Fähigkeit Ich kenne das Induktionsgesetz und die Größe magnetischer Fluss. Ich kann Induktionsvorgänge aufgrund von Flächen- oder Flussdichteänderung erkennen. Ich kann die Größen zur Beschreibung einer Schwingung bzw. Welle erläutern und mit Ihnen rechnen. Ich kann Werte aus Zeigerdiagrammen und Sinuskurven ablesen und solche Diagramme erstellen. Ich kenne den Unterschied zwischen der Betrachtung einer Welle zu einem Zeitpunkt und derjenigen an einem Ort. Ich kann die Ursache stehender Wellen erläutern. Ich kenne den Begriff Interferenz und ihre Bedingungen. Ich kann über den Gangunterschied Aufgaben zur Interferenz zeichnerisch und rechnerisch lösen. Ich kenne den Unterschied zwischen Transversal- und Longitudinalwellen und den Begriff Polarisation. Weitere Aufgaben
