Ubungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Institut für Informatik II
der Universität Bonn
Ch. Strelen / W. Sandmann
Römerstraße 164
53117 Bonn
27. April 2000
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
Blatt 3, Besprechung: Donnerstag, 4. Mai 2000, 13.30 Uhr, HS C
Alles in allem stellten sich 92 Prozent der wissenschaftlich nicht vorgebildeten und immerhin
65 Prozent der einer Hochschule angehörenden Leserbriefschreiber gegen sie. Doch Marylin
blieb unbeeindruckt. Lösungen mathematischer Probleme werden nicht durch Abstimmung
”
entschieden“, meinte sie nur.1
... jeder normalbegabte Zwölftkläßler“ könne schließlich begreifen, daß Frau Savants Rat ty”
”
pische Laienfehler“ enthalte, haarsträubender Unsinn“, Quatsch“ und Nonsens“, absurd“
”
”
”
”
und abstrus“ sei ... Die alles dies zu Papier brachten, waren zum großen Teil Akademiker,
”
einige mit einschlägiger Ausbildung in Statistik: Prof. Dr.–Ing., Dr. sc. math., Dr. med, Dr.
jur. usw. Sie schrieben auf Institutsbriefbögen, legten seitenlange Beweise bei, es kam sogar
Post aus den Niederlanden, aus Italien, aus Togo. Zustimmende Briefe blieben rar.2
Die Antwort [zu Aufgabe 18] wurde in den Sitzungssälen der CIA und den Baracken der
Golfkrieg-Piloten debattiert. Sie wurde von Mathematikern am Massachusetts Institute of
Technology und von Programmierern am Los Alamos National Laboratory in New Mexico
untersucht und in über tausend Schulklassen des Landes analysiert.3
Aufgabe 12
Ein fairer Würfel werde solange geworfen, bis zum ersten Mal eine Sechs geworfen wird. Es seien Bk
das Ereignis, daß dies im k–ten Versuch der Fall ist (k ≥ 1), und An das Ereignis, daß in den ersten n
Versuchen keine Sechs geworfen wurde (n ≥ 1). Berechnen Sie P {Bk } und P {Bn+k |An }.
Aufgabe 13
Eine Maschine produziert mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 3% Teile, die in Packungen zu je 100
Stück abgepackt werden. Eine Packung soll nicht ausgeliefert werden, wenn sie mehr als drei fehlerhafte Teile enthält. Um dies zu prüfen, werden jedoch nicht alle, sondern nur zehn Teile jeder Packung
untersucht; eine Packung wird dann zurückbehalten, wenn mindestens zwei der zehn Teile defekt sind.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft dieser Test die falsche Entscheidung? (Beachten Sie, daß es zwei
mögliche Fehler gibt!)
Hinweis: Definieren Sie für 0 ≤ i ≤ 10 bzw. 0 ≤ k ≤ 100 die Ereignisse
Ai = die Stichprobe enthält i fehlerhafte Teile“
”
Bk = die Packung enthält k fehlerhafte Teile“
”
und berechnen Sie zunächst mit Hilfe von Satz 1.11 die Wahrscheinlichkeit P {Ai ∩ Bk }.
1
Die Fragestellung aus Aufgabe 18 wurde 1991 von der amerikanischen Journalistin Marylin vos Savant in ihrer
Rätselkolumne behandelt und korrekt gelöst. Danach erhielt die Autorin Tausende von Leserbriefen, deren Absender fast
alle darauf bestanden, daß sie unrecht habe (Spektrum der Wissenschaft, Nov. 1991, S. 12 ff.).
2
Die Reaktion auf einen Artikel in der Zeit, in dem ebenfalls die Fragestellung aus Aufgabe 18 und die entsprechende
Lösung von Marylin vos Savant beschrieben wurde; zitiert nach G. von Randow: Das Ziegenproblem – Denken in
Wahrscheinlichkeiten.
3
Titelseite der New York Times vom 21.07.1991; zitiert nach G. von Randow: Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten.
Aufgabe 14
Gegeben seien 3n Zahlen ai mit a1 ≤ . . . ≤ an < an+1 ≤ . . . ≤ a2n < a2n+1 ≤ . . . ≤ a3n , aus denen zufällig
drei Zahlen ausgewählt werden (mit Zurücklegen); dabei sei x die der Größe nach mittlere dieser drei
Zahlen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt an+1 ≤ x ≤ a2n ? Wie ändert sich diese Wahrscheinlichkeit,
wenn x die mittlere von fünf gezogenen Zahlen ist?
Anmerkung: Diese Wahrscheinlichkeit spielt in einigen Implementationen des Quicksort–Algorithmus eine
Rolle.
Aufgabe 15
Bei einem Zufallsexperiment trete das Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit P {A} = p ein. Das Experiment werde nun solange wiederholt, bis A zum r–ten Mal eingetreten ist (r ≥ 1). Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit, daß dies im (k + r)–ten Versuch (k ≥ 0) der Fall ist.
Aufgabe 16
Gegeben sei ein Zufallszahlengenerator, der Zufallszahlen zwischen 0 und 1 erzeugt. Die Zufallszahlen
seien perfekt in dem Sinne, daß zwei aufeinanderfolgende Zahlen unabhängig sind und daß die Zahlen
über dem reellen Intervall (0, 1) gleichverteilt sind. Ein Paar (x, y) aus zwei aufeinanderfolgenden Zahlen
dieses Generators spezifiziert einen Punkt in der reellen Zahlenebene.
a) Betrachten Sie in dem Quadrat, in das die zufällig gewählten Punkte fallen, einen Viertelkreis um
den Nullpunkt mit Radius 1, und konstruieren Sie danach einen Algorithmus, mit dem sich eine
Näherung für die Kreiszahl π berechnen läßt.
b) Nehmen Sie an, daß beim Rechnen mit reellen Zahlen keine Rundungsfehler auftreten. Wie groß
ist (exakt) die Wahrscheinlichkeit, daß man nach n gezogenen Zufallszahlenpaaren mit Ihrem Algorithmus π mit einem absoluten Fehler kleiner als ein gegebenes ∈ IR+ berechnet hat?
c) Bei einer Ausführung dieses Algorithmus hatte man nach 134 000 erzeugten Punkten π ≈ 3, 14137
berechnet. Das sieht noch ganz passabel aus, aber nach einer Million Punkten lautete die Schätzung
π ≈ 3, 13948 (tatsächlich gilt π = 3, 14159265 . . .).
Geben Sie analog zur Argumentation im Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen obere Schranken für die Wahrscheinlichkeiten an, daß der Schätzwert für π nach einer Million (zwei Millionen,
fünf Millionen) Punkten noch mindestens um ein Tausendstel vom exakten Wert abweicht. Kann
man allein aufgrund dieser Schranken eine Bewertung des Verfahrens vornehmen?
Aufgabe 17
Die drei Schiffbrüchigen Abel, Bebel und Cebel treiben in einem Rettungsboot auf hoher See. Der Proviant
ist erschöpft und kein Land in Sicht. Sie wollen auslosen, wer von ihnen sich als Speise für die anderen
opfern muß. Abel nimmt drei Streichhölzer, ein kurzes und zwei lange – wer den kürzeren zieht, hat Pech
gehabt. Cebel entscheidet sich in Gedanken für das erste Streichholz, doch zuerst darf (oder muß) Bebel
ziehen. Bebel zieht das dritte Streichholz und atmet auf, es ist lang. Sollte Cebel jetzt seine Wahl ändern?
Aufgabe 18
Am Ende einer Fernseh–Show wird der Sieger vor drei Türen A, B, C gestellt. Hinter zwei der Türen sind
Nieten, hinter der dritten verbirgt sich der Hauptgewinn, ein Auto. Nachdem der Kandidat zufällig eine
Tür ausgewählt hat (z.B. die Tür A), wird diese nicht sofort geöffnet. Stattdessen öffnet der Showmaster,
der natürlich die richtige“ Tür kennt, eine der beiden anderen Türen (z.B. die Tür C) und zeigt dem
”
Kandidaten, daß sich dahinter eine Niete befindet. Jetzt hat der Kandidat zwei Möglichkeiten: Er kann
bei der ursprünglich von ihm gewählten Tür bleiben (im Beispiel die Tür A) oder seine Meinung ändern
und sich für die dritte, noch ungeöffnete Tür (im Beispiel die Tür B) entscheiden.
Was würden Sie in dieser Situation tun?
Berechnen Sie für beide Strategien des Kandidaten jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit der er die zum
Gewinn führende Tür auswählt.