ML 1 SS 2014

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Musterlösung zum Kurs 42110,
EA zu KE 1, SS 2014
Musterlösung zur Einsendearbeit zum
Kurs
42110
„Preisbildung auf unvollkommenen
Märkten und allgemeines Gleichgewicht“,
Kurseinheit
1
Die folgende Lösungsskizze soll Ihnen einen Anhaltspunkt geben, wie die Bearbeitung der
Aufgaben aussehen könnte. Des Weiteren sind einige Stichpunkte angegeben, welche behandelt
werden sollten. Die Lösungen zu den Rechenaufgaben sind sehr knapp gehalten. Beachten Sie
bitte, dass in der Klausur Ihre Ergebnisse nachvollziehbar sein müssen (vgl. hierzu auch die
ergänzenden Hinweise zu den Lösungen dieser Einsendeaufgabe).
Aufgabe 1
(100 Punkte)
In Copya produzieren zwei Firmen identische Kopiergeräte. Die Inverse Nachfragefunktion
nach Kopiergeräten lautet P(X) = 1000 − X, wobei X = XS + XB den Industrieoutput
bezeichnet. Die Firmen „Super Copy“ (S) und „Blitz Copy“ (B) haben konstante Grenzkosten
in Höhe von 100 €. Fixe Kosten können vernachlässigt werden.
Hinweis: Überprüfen Sie im Rahmen der Marginalanalyse bei allen folgenden Teilaufgaben
auch die Bedingungen zweiter Ordnung.
a) Gehen Sie zunächst davon aus, dass die Anbieter simultan ihre Produktionsmengen
festlegen. (27 Punkte)
− Wie nennt man das zugrunde gelegte Modell?
− Beschreiben Sie bitte in einem Satz, was mit dem Begriff der Reaktionsfunktion
gemeint ist.
− Leiten Sie bitte die Reaktionsfunktionen mathematisch her und stellen diese
anschließend grafisch dar.
Da die Firmen simultan ihre Angebotsmengen festlegen, handelt es sich um das CournotModell.
Eine Reaktionsfunktion im Cournot-Modell beschreibt die beste Antwort einer Firma auf
die Ausbringungsmenge der/des Konkurrenten.
Kosten der Firmen: cS = cB = 100
Gewinnfunktion von Firma i: Gi �Xi , Xj � = �1000 − 100 − Xi − Xj �Xi = �900 − Xi − Xj �Xi
Bedingung erster Ordnung:
𝜕𝜕Gi �Xi ,Xj �
𝜕𝜕Xi
= 900 − 2Xi − Xj = 0
⇔
Xi �Xj � =
900−Xj
2
Die Bedingung zweiter Ordnung ist erfüllt, da die zweiten Ableitungen den Wert -2<0
annehmen.
Reaktionsfunktionen: XS (XB ) =
900−XB
2
∧
XB (XS ) =
900−XS
2
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b) Bestimmen Sie bitte die folgenden Größen:
− Den Preis, die Produktionsmengen der Firmen sowie den Industrieoutput im NashGleichgewicht.
− Die Gewinne der beiden Firmen und die Produzentenrente im Nash-Gleichgewicht.
Ergänzen Sie bitte Ihre Abbildung aus Teilaufgabe a) um das ermittelte NashGleichgewicht. (23 Punkte)
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Cournot-Nash-Gleichgewicht: einsetzen von XS (XB ) in XB (XS )
⇒ XBCN =
900 −
⇒ XSCN = 300
900 − XBCN
2
⇔ XBCN = 300
2
Industrieoutput: X CN = XSCN + XBCN = 600
Gleichgewichtspreis: P CN = 1000 − 600 = 400
Gewinne der Firmen im Gleichgewicht: GSCN �XSCN , XBCN � = (P CN − cS )XSCN = 90000
GBCN �XSCN , XBCN � = (P CN − cB )XBCN = 90000
Produzentenrente im Gleichgewicht: PRCN = 180000
c) Gehen Sie nun davon aus, dass die Firmen simultan ihre Preise festlegen und nicht wie in
den vorangegangenen Teilaufgaben ihre Mengen. Allerdings habe Firma B nun einen
Kostenvorteil gegenüber Firma S. Nehmen Sie an, dass sich die konstanten Grenzkosten
von B auf 50 € belaufen, wohingegen sich die Kosten von S nicht verändert haben.
(50 Punkte)
− Wie nennt man das zugrunde gelegte Modell?
− Welche Preise wählen die Firmen im Gleichgewicht? Begründen Sie bitte ausführlich
Ihr Vorgehen.
− Welche Mengen setzen die Firmen im Gleichgewicht ab und wie hoch ist der
Industrieoutput?
− Bestimmen Sie bitte die Produzentenrente.
Hinweis: Überprüfen Sie bei der Bestimmung der gleichgewichtigen Preise in Teilaufgabe
c), inwiefern Firma B einen drastischen Kostenvorteil hat, d.h. ob sie in der Lage
ist, den Monopolpreis zu setzen, ohne dass Firma S Firma B unterbieten kann.
Berechnen Sie dazu den Monopolpreis, den Firma B verlangte, wenn sie als
einziger Anbieter auf dem Markt aktiv wäre.
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Es handelt sich um das Bertrand-Modell, da beide Firmen simultan ihre Preise festlegen.
Allerdings ist zu berücksichtigen, dass sich die Grenzkosten der Firmen nun unterscheiden,
weshalb Preis=Grenzkosten kein Nash-Gleichgewicht darstellt.
Bestimmung der gleichgewichtigen Preise:
Zunächst ist zu überprüfen, inwiefern die Unternehmung B einen drastischen Kostenvorteil
gegenüber S hat. Denn wenn der Monopolpreis von B unterhalb der Grenzkosten von S liegt, so
kann Firma B ihren Monopolpreis setzen, ohne dass S sie unterbieten könnte.
(i) Bestimmung des Monopolpreises von Firma B:
GBM = (1000 − 50 − XBM )XBM = (950 − XBM )XBM
Bedingung erster Ordnung:
M
𝜕𝜕GM
B �XB �
𝜕𝜕XM
B
= 950 − 2XBM = 0
⇔
XBM = 475
Die Bedingung zweiter Ordnung ist erfüllt, da die zweite Ableitung den Wert -2<0 annimmt.
Monopolpreis von Firma B: PBM = 1000 − 475 = 525 > DK(XS ) = GK(XS ) = 100
Somit kann Firma B nicht ihren Monopolpreis setzen, da sie ansonsten unmittelbar durch
Firma S unterboten würde.
(ii) Aufgrund der Ergebnisse in (i) wird Firma B ihren Preis so setzen, dass sie die komplette
Nachfrage auf sich zieht. Firma S hat sodann keine Möglichkeit Firma B zu unterbieten, da
sie, wenn sie es täte, unmittelbar Verluste erzielte. Somit wird Firma S als Preis ihre
Grenzkosten wählen. Firma B unterbietet Firma S um eine marginale Einheit ε, wobei
ε ⟶ 0.
Formal: P BN = �PSBN , PBBN � = (100, 100 − ε), ε ⟶ 0
Gleichgewichtsmengen:
Firma S: Da Firma S durch Firma B marginal unterboten wird und die Produkte homogen sind,
kaufen alle Kunden bei Firma B. Somit hat Firma S einen Output von Null, d.h.: XSBN = 0.
Firma B: 100 − ε = 1000 − XBBN ⇔ XBBN = 900 + ε, ε ⟶ 0
Industrieoutput: X BN = XSBN + XBBN = 900 + ε, ε ⟶ 0
Gewinne im Gleichgewicht:
(i) Firma S macht Nullgewinne, da Firma B aufgrund der marginalen Unterbietung die
komplette Nachfrage an sich ziehen kann, d.h.: GSBN �PSBN , PBBN � = 0
(ii) Gewinn von Firma B: GBBN �PSBN , PBBN � = (100 − ε − 50)(900 + ε) = 45000 − 850ε − ε2
(iii)Produzentenrente: PRBN = 0 + 45000 − 850ε − ε2 = 45000 − 850ε − ε2 , ε ⟶ 0
Hinweis: Es wurde auch als richtig gewertet, wenn das 𝜀𝜀 bei der Berechnung weggelassen
wurde und lediglich darauf hingewiesen wurde, dass Firma B die Firma S um eine
marginale Einheit unterbietet.